Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika. Oleh: Margareta Inke Mayasari NIM :

Transkripsi

1 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI PRHIUNGAN BAAS RNAH NILAI PRBANINGAN ANARA SUHU BY AN SUHU KRISAL SCARA NUMRIK UNUK MNNUKAN PNGARUH SUHU RHAAP PANAS JNIS KRISAL Skripsi iajukan untuk Mmnuhi Salah Satu Syarat Mmprolh Glar Sarjana Sains Program Studi Fisika Olh: Margarta Ink Mayasari NIM : 0400 PROGRAM SUI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULAS MAMAIKA AN ILMU PNGAHUAN ALAM UNIVRSIAS SANAA HARMA YOGYAKARA 007

2 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI ii

3 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI iii

4 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI MOO AN PRSMBAHAN " an apa saja yang kamu minta dalam doa dngan pnuh kprcayaan, kamu akan mnrimanya " ( Matius :) PRSMBAHAN : "Skripsi ini aku prsmbahkan untuk Ayah dan Ibuku srta kakakku mas Robrt yang slalu mmbrikan dukungan, smangat, doa, dan kasih sayang spanjang hidupku" i

5 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI PRHIUNGAN BAAS RNAH NILAI PRBANINGAN ANARA SUHU BY AN SUHU KRISAL SCARA NUMRIK UNUK MNNUKAN PNGARUH SUHU RHAAP PANAS JNIS KRISAL ABSRAK lah dilakukan prhitungan scara numrik trhadap batas trndah nilai prbandingan antara suhu by dan suhu kristal yang digunakan dalam prhitungan panas jnis by satu dimnsi, dua dimnsi dan tiga dimnsi dngan mnggunakan pakt program Mathmatica 5.0. Hasil prhitungan scara numrik mnunjukkan bahwa untuk k < nilai intgral I brgantung pada suhu, sdangkan untuk k nilai intgral I konstan. Nilai k untuk satu dimnsi adalah k 9, untuk dua dimnsi, dan untuk tiga dimnsi adalah 5. k k

6 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI CALCULAION OF H RAIO VALU LOWR LIMI BWN BY AN CRYSAL MPRAURS NUMRICALLY FOR RMINING H MPRAUR FFC ON H CRYSAL SPCIFIC HA ABSRAC h calculations of th ratio alu lowr limit btwn by tmpratur and crystal tmpratur which is usd on th calculation of th by hat spcific for on, two, and thr dimnsion(s) ha bn prformd numrically by using Mathmatica 5.0 packag program. h numrical rsults show that th alus of th intgral I for k < ar dpnd on th tmpratur (), manwhil for k th alus of th I ar constants. h alus of th k ar k 9, k, and k 5 corrsponding to on, two, and thr dimnsion (s) rspctily. i

7 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI KAA PNGANAR Puji dan syukur pnulis panjatkan kpada Ysus Kristus atas sgala kasih dan karunia-nya shingga pnulis dapat mnylsaikan skripsi ini dngan baik. Skripsi ini brjudul : PRHIUNGAN BAAS RNAH NILAI PRBANINGAN ANARA SUHU BY AN SUHU KRISAL SCARA NUMRIK UNUK MNNUKAN PNGARUH SUHU RHAAP PANAS JNIS KRISAL, yang diajukan sbagai salah satu syarat untuk mmprolh glar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Unirsitas Sanata harma Yogyakarta. Pnulis mngucapkan trima kasih kpada smua pihak yang tlah mmbantu pnulis baik brupa waktu, tnaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang pnulis butuhkan dalam pnylsaian skripsi ini. Pada ksmpatan ini pnulis ingin mngucapkan trima kasih kpada:. Bapak rs. rs. Vt. Asan amanik, M.Si. slaku dosn pmbimbing yang tlah banyak mluangkan waktu untuk mmbimbing, mndampingi, mmbrikan dorongan dan smangat dalam pngrjaan tugas akhir ini.. Ayah dan Ibuku trcinta yang tanpa hnti mmbrikan dukungan, dorongan, doa, dan kasihnya shingga pnulis dapat mnylsaikan skripsi ini. ii

8 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI. Kakakku trcinta mas Robrt yang slalu mmbrikan smangat dan doanya pada waktu pnulis mngrjakan skripsi ini. 4. rig yang slama ini slalu mnmaniku, mmbrikan dorongan, smangat dan doanya pada waktu pngrjaan tugas akhir ini. 5. Adik spupuku Wahyu dan Angga yang snantiasa mmbrikan dukungannya. 6. Mbak Asti dan mas Anto yang slama ini tlah mmbrikan dukungannya. 7. mn-tman kosku trutama Chika, Jul dan Anis yang slalu mmbrikan smangat dan mnjadi sahabat yang baik bagiku srta mnmaniku mngrjakan skripsi. 8. mn-tman fisika yang slama brtahun-tahun slalu brjuang brsamaku. 9. r. di Santosa, M.S. slaku dosn pndamping akadmik yang sudah banyak mmbrikan pndampingan slama mnjadi mahasiswa. 0. Sluruh Staff Pngajar Jurusan Fisika yang tlah mmbrikan pngajaran dan pndampingan.. Smua pihak yang tidak dapat disbutkan satu dmi satu. rimakasih atas sgala bantuannya. iii

9 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI Pnulis mnyadari bahwa dalam pnulisan ini masih banyak kkurangan, olh karna itu pnulis sangat mngharapkan saran dan kritik yang sangat mmbangun dari brbagai pihak. Akhirnya pnulis brharap smoga skripsi ini dapat brmanfaat bagi dunia pndidikan dan khususnya pmbaca. Yogyakarta, Juni 007 Pnulis i

10 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI

11 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI AFAR ISI HALAMAN JUUL... HALAMAN PRSUJUAN PMBIMBING... HALAMAN PNGSAHAN... HALAMAN MOO PRSMBAHAN.... ABSRAK. ABSRAC.. KAA PNGANAR... PRNYAAAN KASLIAN KARYA. AFAR ISI. AFAR GAMBAR BAB I. PNAHULUAN... Latar Blakang... Prumusan Masalah... Batasan Masalah...4. ujuan dan Manfaat Pnlitian.4.. ujuan Pnlitian Manfaat Pnlitian..5. Sistmatika Pnulisan... BAB II. ASAR ORI... i ii iii i i ii i i i

12 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI.. Panas Jnis Zat Padat.. Panas Jnis Mnurut ori Klasik.. Panas Jnis Mnurut ori instin..4. Panas Jnis Mnurut ori by..4.. Panas Jnis Zat Padat alam Satu imnsi Panas Jnis Zat Padat alam ua imnsi Panas Jnis Zat Padat alam iga imnsi...5. Intgrasi Numrik ngan Mnggunakan Mathmtica 5.0. BAB III. MOOLOGI PNLIIAN... Jnis Pnlitian... Sarana Pnlitian.... Langkah-Langkah Pnlitian BAB IV. HASIL AN PMBAHASAN. 4.. Hasil Intgrasi Numrik 4... Panas Jnis Zat Padat Satu dimnsi Panas Jnis Zat Padat ua imnsi Panas Jnis Zat Padat iga imnsi Pmbahasan.. BAB V. PNUUP Ksimpulan Saran ii

13 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI AFAR PUSAKA 5 LAMPIRAN A LAMPIRAN B LAMPIRAN C iii

14 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI AFAR GAMBAR Gambar. Panas jnis Cu pada olum ttap sbagai fungsi Gambar. Gambar 4. Gambar 4. Gambar 4. Gambar 4.4 Panas Jnis Cu pada olum ttap dngan 40K Grafik I sbagai fungsi untuk kristal satu dimnsi Grafik I sbagai fungsi untuk kristal dua dimnsi Grafik I sbagai fungsi untuk kristal tiga dimnsi Gabungan grafik satu dimnsi, dua dimnsi dan tiga dimnsi i

15 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI C cal/g mol, K BAB I PNAHULUAN.. Latar Blakang alam fisika diktahui ada tiga modl atau tori mngnai panas jnis suatu zat padat, yaitu tori Klasik, tori instin dan tori by. Mnurut tori Klasik nilai panas jnis suatu zat padat pada olum ttap ( c ) tidak brgantung pada suhu ( ). ngan kata lain, panas jnis suatu zat pada olum ttap mnurut tori Klasik adalah c R (.) dngan R ttapan gas umum ( R 8. 0 J / kmol K.99 kcal / kmol K). Brdasarkan hasil ksprimn, nilai panas jnis suatu zat pada olum ttap brgantung pada suhu atau scara matmatis dapat dituliskan ( ) c c. (.) Sbagai contoh, panas jnis Cu brdasarkan hasil ksprimn (Omar, 975) diprlihatkan pada Gambar Cu: 40 K , K Gambar. Panas jnis Cu pada olum ttap sbagai fungsi

16 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI ari gambar. trlihat bahwa nilai c pada suhu tinggi mndkati R (ssuai dngan tori Klasik), ttapi pada suhu rndah nilai c sangat brgantung pada. Untuk mngatasi klmahan tori Klasik trsbut, instin mrumuskan tori panas jnis pada olum ttap dngan mnganggap (mngandaikan) bahwa zat padat trsusun dari atom-atom yang brgtar scara bbas (indpndn) diskitar titik kstimbangannya satu dngan yang lainnya. ngan asumsi trsbut, instin mmprolh nrgi rata-rata sbsar (Omar, 975) : n 0 (.) n / k n 0 n / k n dngan n n + hω (h ttapan Planck trduksi, h h dan ω frkunsi π gtar), shingga (Sars dan Salingr, 975) c R / / ( ). (.4) Pada suhu tinggi nilai c mnurut tori instin mndkati nilai R (ssuai tori Klasik) dan pada suhu rndah (Omar, 975) c / R (.5) dngan suhu instin.

17 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI C cal/g mol, K Cu: 40 K , K Gambar. Panas jnis Cu pada olum ttap dngan 40 K Jika dibandingkan nilai c mnurut tori instin trhadap hasil ksprimn untuk Cu dngan 40 K maka trlihat bahwa nilai c brdasarkan prhitungannya tori instin untuk << 00 K kurang ssuai dngan hasil ksprimn (Gambar.). Klmahan tori instin trsbut diprbaiki olh by, yang mngasumsikan bahwa kisi kristal itu adalah suatu kontinum lastik dngan olum V (Suwitra, 989). Suatu kontinum lastik akan mmiliki distribusi frkunsi yang kontinu pada intral frkunsi ω sampai ω + dω. naga kontinum lastis by dibrikan olh (Omar, 975) ( ω) g( ω) dω, (.6) dngan g( ω) adalah rapat modus, dan hω k hω / adalah nrgi rata-rata atom kristal. Rapat modus g ( ω) untuk kontinum lastik olum V dibrikan olh

18 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI L ω g ω (.7) ( ) π s dngan L panjang rusuk olum V, ω frkunsi kontinum lastik, dan s kcpatan glombang. Shingga prsamaan (.6) dapat dituliskan mnjadi V ω π s 0 hω dω. (.8) hω / k Jika didfnisikan hω, k hω, dan k hω atau k k ω ( h adalah suhu by), maka panas jnis pada olum ttap dibrikan olh c 9R 4 0 ( ) d. (.9).. Prumusan Masalah ari prsamaan (.9) trlihat bahwa nilai intgral I 0 ( ) 4 d (.0) untuk suhu rndah ( << ) adalah 4π 4 5 (suatu konstanta). Scara umum hasil intgral prsamaan (.0) masih mrupakan fungsi dan atau ( ) I I,. (.) Yang mnjadi prmasalahan adalah brapa batas trndah nilai agar hasil intgral prsamaan (.0) untuk suhu rndah ( << ) trpnuhi. 4

19 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI.. Batasan Masalah Masalah yang ditliti dalam pnlitian ini dibatasi pada masalah. Pnntuan batas trndah nilai agar hasil intgral prsamaan (.9) untuk suhu rndah trpnuhi.. Implikasi batas trndah nilai trhadap panas jnis by pada panjang ttap, luas ttap dan olum ttap..4. ujuan dan Manfaat Pnlitian.4.. ujuan Pnlitian ujuan dari pnlitian ini adalah untuk:. Mnntukan batas trndah nilai agar hasil intgral pada prsamaan (.0) untuk suhu rndah trpnuhi.. Mngtahui implikasi batas trndah nilai trhadap panas jnis suatu zat pada panjang ttap, luas ttap dan olum ttap ( c )..4.. Manfaat Pnlitian Pnlitian ini brmanfaat untuk pngmbangan ilmu pngtahuan khususnya pngtahuan trhadap panas jnis pada panjang ttap, luas ttap dan olum ttap dan kaitannya dngan suhu by dan. 5

20 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI.5. Sistmatika Pnulisan Sistmatika pnulisan pnlitian ini adalah sbagai brikut: BAB I. PNAHULUAN Pada Bab I dijlaskan mngnai latar blakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat pnlitian, dan sistmatika pnulisan. BAB II. ASAR ORI alam Bab II dijabarkan tori panas jnis zat padat mnurut tori Klasik, instin, dan by. BAB III. MOOLOGI PNLIIAN Pada Bab III akan dijlaskan tntang jnis pnlitian, sarana pnlitian dan langkah-langkah pnlitian. BAB IV. HASIL AN PMBAHASAN Pada Bab IV akan ditampilkan hasil pnlitian scara numrik srta pmbahasannya BAB V. KSIMPULAN AN SARAN Pada Bab V disajikan ksimpulan dan saran. 6

21 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI BAB II ASAR ORI.. Panas Jnis Zat Padat Zat padat trbntuk dari atom-atom (brupa ion atau atom ntral) atau molkul yang sangat trsusun dngan posisi sangat brdkatan. nrgi zat padat dapat diklompokkan mnjadi dua klompok, yaitu nrgi trmal dan nrgi lain. nrgi lain dapat brasal dari nrgi kintik, nrgi potnsial listrik, nrgi potnsial magntik nrgi rotasi, nrgi potnsial graitasi, dll. Prubahan nrgi trmal tiap satu satuan prubahan suhu disbut kapasitas panas C (Suwitra, 989) C. (.) Slain konsp kapasitas panas, diknal juga konsp panas jnis yang didfnisikan sbagai jumlah kalor atau nrgi yang diprlukan olh satu mol zat untuk mnaikkan suhunya sbsar K. Scara matmatis, panas jnis dituliskan sbagai c (.) m dngan c panas jnis ( satuan J / kmol atau kcal / kmol K) dan m adalah bsarnya massa satu mol zat. Jika suatu sistm bkrja pada olum ttap, maka panas jnis itu disbut panas jnis pada olum ttap ( c ), scara matmatis dituliskan c (.) m Mnurut hukum I trmodinamika, jika sjumlah kalor dq dibrikan kpada suatu sistm, maka kalor/nrgi trsbut dapat digunakan olh sistm 7

22 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI untuk mngubah nrgi dalamnya ( du ) dan untuk mlakukan sjumlah krja (dw ). Hukum trmodinamika trsbut dapat dituliskan sbagai (Nainggolan, 978) dq du + dw (.4) nrgi dalam sistm ditntukan olh olum ( V ) dan suhu sistm (Sars dan Salingr, 975) ( ) shingga U U du d + dv (.5) V Jika prsamaan (.5) disubstitusikan k prsamaan (.4) maka diprolh U dq U d + V dv + dw (.6) Mngingat dw p dv, prsamaan (.6) dapat dituliskan kmbali dalam bntuk Maka kapasitas panas ( C ) pada olum ttap ( 0) U U dq d + + p dv. V (.7) C dv dibrikan olh Q U. (.8) Slain konsp kapasitas panas, diknal juga konsp panas jnis ( yang didfnisikan sbagai jumlah kalor atau nrgi yang diprlukan olh satu mol zat untuk mnaikkan suhunya sbsar K. Scara matmatis panas jnis ( pada olum ttap dituliskan c c ) ) 8

23 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI c Q m U m (.9) Slanjutnya panas jnis zat padat ditinjau mnurut tiga tori, yaitu tori Klasik, tori instin, dan tori by... Panas Jnis Mnurut ori Klasik Mnurut tori klasik dngan mnggunakan tori kintik gas, jika suatu kotak yang mmpunyai olum V diisi N molkul gas dngan masing-masing molkul mmiliki massa m dan brgrak dngan kcpatan (sarah sumbu ), maka akan trjadi tumbukan antara molkul dngan luasan (A) dinding kotak shingga prubahan momntum sblum dan ssudah trjadinya tumbukan adalah m. Bsarnya prubahan momntum dalam intral sampai + d dibrikan olh (Bradbury, 984) Δ p m A dn( ) (.0) dngan adalah panjang lintasan, dan dn ( ) adalah jumlah molkul tiap satu satuan olum sbagai fungsi. Prubahan momntum trsbut trjadi dalam intral waktu Δ t. (.) Prubahan gaya yang dihasilkan dalam luasan A akibat trjadinya tumbukan adalah 9

24 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI df Δ p ma dn ( ). (.) Δ t shingga A m dn ( 0 F ). (.) Nilai dibrikan olh (Bradbury, 984) + dn ( ) ( ) dn ( ) 0. (.4) + N / V dn Jika prsamaan (.) dan (.4) digabungkan, maka akan diprolh F m N P (.5) A V dngan P adalah tkanan. Prsamaan (.5) dapat dituliskan dalam bntuk PV N m, (.6) sbab dan y z + y +. ngan dmikian nrgi kintik z molkul gas dapat dituliskan mnjadi m k. (.7) Pada prsamaan (.7) digunakan rlasi P V N k (Martin, 986) Slain mmiliki nrgi kintik, molkul-molkul gas trsbut juga mmiliki nrgi potnsial. ari prsamaan (.) dan (.) diprolh rlasi 0

25 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI df Δp atau df Δ Δ p (.8) Bsarnya gaya dalam luasan A adalah ( ) Δ t df m A dn ( ) (.9) Δt Prsamaan (.9) dapat dituliskan mnjadi Δ t df m A ( Δt) dn ( ). (.0) Mningat nilai adalah (.) shingga dari prsamaan (.0) diprolh dn ( ) dn ( ) ari prsamaan (.5) diprolh 0 dn ( ) N V t df m A Δ 0 N V Δt. (.) df dp. (.) A Jika ruas kiri dan kanan prsamaan (.) dikalikan Δ, maka diprolh A Δ dp df Δ AΔ dp df Δt

26 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI atau V dp Δ t df (.4) Jika prsamaan (.4) diintgralkan, maka dihasilkan P V Δt df 0 Jika dimasukkan k dalam prsamaan (.) t df m A Δ 0 N V Δt ma PV / N / V Δ t m A N PV Δt V N A m A N k ΔtV m A N k Δt N V A atau m A N k (.5) V N Δt A Jika m A N V N A Δt c, maka prsamaan (.5) mnjadi

27 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI k c (.6) shingga bsarnya nrgi potnsial adalah adalah k. ngan dmikian bsarnya panas jnis c (satu dimnsi) mnurut tori klasik ditinjau dari tori kintik gas adalah sbsar (Omar, 975) c Untuk panas jnis ( c ) tiga dimnsi N A k c R. (.7) c R Brdasarkan hasil ksprimn (Gambar.) panas jnis zat padat brgantung pada suhu khususnya pada suhu rndah. Pada suhu tinggi c mndkati R. Olh sbab itu tori panas jnis klasik masih mmiliki klmahan karna tidak dapat mnjlaskan kbrgantungan trhadap. c.. Panas Jnis Mnurut ori instin Mnurut tori panas jnis instin osilasi zat padat mngikuti statistik Bos-instin (Suwitra, 989). instin juga mngajukan asumsi bahwa smua fonon (osilator) mmiliki frkunsi yang sama. iap atom brprilaku sbagai tiga osilator harmonis yang indpndn. Mnurut mkanika kuantum, tnaga osilator harmonik dibrikan olh (Alonso dan Finn, 968) n n + h ω, n 0,,,,... (.8)

28 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI dngan ω frkunsi osilator harmonik, dibrikan olh (Omar, 975) n 0 n 0 h n h π / k n. naga rata-rata osilator harmonik (.9) n / k Jika dituliskan β k, maka prsamaan (.9) dapat dituliskan n 0 n 0 n β n n β (.0) Untuk mmudahkan prhitungan prsamaan (.0) digunakan substitusi Z n 0 β n (.) yang diknal sbagai fungsi partisi (Mandl, 988). ngan dmikian, maka tnaga rata-rata pada prsamaan (.0) mnjadi Z ( ln Z ) (.) Z β β Jika prsamaan (.8) disubstitusikan k dalam prsamaan (.0) maka diprolh Z n 0 n + hωβ hωβ / nhωβ n 0 hωβ hωβ hωβ ( ) hωβ / (.) 4

29 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI ωβ Jika h ωβ > 0, maka h <<, shingga bntuk drt pada prsamaan (.) dapat dituliskan mnjadi + hωβ + hωβ + hωβ +... hωβ ngan dmikian fungsi partisi dapat dituliskan mnjadi hωβ / Z hωβ (.4) ngan substitusi prsamaan (.4) k dalam prsamaan (.) diprolh tnaga rata-rata osilator harmonik satu dimnsi sbsar ln Z β ( ) β hωβ hωβ ln ( ) hω + hωβ (.5) Jika ditinjau osilator tiga dimnsi dan ada sjumlah N osilator, maka tnaga total osilator harmonik sbsar N N h ω + / k (.6) hω Kalau ada satu mol zat (kristal), maka N N A (bilangan Aogadro). ngan dmikian panas jnis c dibrikan olh c 5

30 ( ) / / k k A k k N ω ω ω h h h ( ) / / k k R (.7) dngan dan k N R A k ω h yang diknal sbagai suhu instin. Untuk mngtahui daya prdiksi panas jnis instin trsbut, ditinjau dua kadaan kstrim yaitu pada suhu rndah dan suhu tinggi. Pada suhu tinggi >> atau << shingga + /. Jadi panas jnis instain pada suhu tinggi dapat dituliskan R c + R (.8) Pada suhu rndah c R << atau >>, shingga. Jika, maka faktor. Jadi panas jnis instin pada suhu rndah dapat dituliskan / >> / >> / / R c / (.9) 6 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI

31 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI Modl panas jnis instin hanya cocok untuk suhu tinggi, sdangkan pada suhu rndah kurang ssuai..4. Panas Jnis Mnurut ori by by mngmbangkan suatu modl dngan mngasumsikan bahwa kisi kristal itu adalah suatu kontinum lastik dngan olum V (Suwitra, 989). Pada modl by, suatu kontinum lastik akan mmiliki distribusi frkunsi yang kontinu pada intral frkunsi ω sampai ω + dω, dan tnaga total dibrikan olh ω 0 g ( ω) ( ω) dω (.40) dngan g (ω) adalah rapat modus dan ω adalah frkunsi by. Rapat modus didfnisikan dngan N adalah jumlah modus. dn g ( ω) (.4) d ω.4.. Panas jnis zat padat dalam satu dimnsi Jumlah modus fonon untuk satu dimnsi adalah L N (.4) λ dngan λ adalah panjang glombang. Mngingat λ k π, prsamaan (.4) λ dapat dituliskan mnjadi 7

32 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI L N π k λ. (.4) Sbab k dapat juga dituliskan sbagai k λ s ω, maka N L ω. (.44) π s Jadi rapat modus untuk satu dimnsi adalah L g( ω) (.45) π s ngan mnggunakan prsamaan (.44), frkunsi ω untuk glombang satu dimnsi dibrikan olh N ω π s (.46) L ngan dmikian tnaga kontinum lastis satu dimnsi dibrikan olh hω ω g 0 hω / k ( ω) dω Lh π s ω 0 hω ω dω / k (.47) Jika didfnisikan hω, k hω, dan k hω atau k k ω ( adalah suhu by), maka panas jnis c L zat padat satu dimnsi h dibrikan olh c L 8

33 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI L π s k h ( ) 0 d (.48) atau c L (.49).4.. Panas jnis zat padat dalam dua dimnsi Jumlah modus fonon dua dimnsi L N π k λ L ω π s (.50) Shingga rapat modus dibrikan olh L ω g( ω ), (.5) π s dan frkunsi ω untuk glombang dua dimnsi dibrikan olh π N ω s (.5) L Jadi tnaga kontinum lastis dua dimnsi dibrikan olh hω ( ω) dω ω g 0 ω / k h L h π s ω 0 ω hω / k dω (.5) 9

34 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI Mngingat hω, k hω, dan k hω atau k k ω ( adalah suhu h by), maka panas jnis zat padat untuk dua dimnsi dibrikan olh c A L π s k h 0 ( ) d (.54) atau c A (.55).4.. Panas jnis zat padat dalam tiga dimnsi Jumlah modus fonon tiga dimnsi L N π 4π k λ L ω (.56) π 6 s shingga rapat modus dibrikan olh L ω g( ω ), (.57) π s dan frkunsi ω untuk glombang tiga dimnsi dibrikan olh 6π N ω s (.58) L 0

35 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI Jadi tnaga kontinum lastis tiga dimnsi dapat dituliskan sbagai hω ( ω) dω ω g 0 ω / k h L h π s ω 0 ω hω / k dω (.59) Mngingat hω, k hω k h k, dan ω atau k ω ( adalah suhu h by), maka panas jnis c untuk zat padat tiga dimnsi adalah c L π s k h 4 0 ( 4 ) d (.60) atau c (.6) Bntuk intgrasi numrik yang trdapat dalam panas jnis by satu dimnsi (prsamaan (.48)), dua dimnsi (prsamaan (.54)), dan tiga dimnsi (prsamaan (.60)) akan dislsaikan dngan mnggunakan pakt program Mathmatica 5.0

36 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI abl. mpratur by ( ) untuk bbrapa unsur dan snyawa (Omar, 975) Unsur / Li Na K Cu Ag Au Al Ga Pb G Si C NaCl KCl CaF LiF SiO Snyawa (K)

37 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI.5. Intgrasi Numrik Mnggunakan Mathmatica 5.0 Bntuk- bntuk intgrasi numrik yang ada di dalam prsamaan (.48), (.54) dan (.60) akan dislsaikan scara numrik dngan mnggunakan pakt program Mathmatica 5.0. Scara umum pnylsaian intgrasi numrik untuk I ma min f ( ) d dngan mnggunakan pakt program Mathmatica 5.0 adalah NIntgrat[f, {, min, ma}], dngan f adalah fungsi yang akan diintgralkan, min adalah batas bawah, maks adalah batas atas, dan NIntgrat adalah printah yang digunakan untuk mngaluasi intgrasi numriknya. Slain itu ada juga pnylsaian intgrasi numrik dngan abl[nintgrat[f, {, min, y}],{y,ymin,ymaks}], dimana {y,ymin,ymaks} dihitung dahulu nilai intgralnya kmudian hasilnya akan digunakan sbagai batas dalam {, min, y}. Contoh : In[]: NIntgrat[p[-^], {, 0, Infinity}] Out[] Hasil pnylsaian contoh diatas trsbut hanya untuk satu nilai dalam suatu darah intgral. Contoh : In[]: abl[nintgrat[(^)/(p[]-),{,0,y}],{y,0,8}] Out[] {0.,0.4805,.764,.55,.87705, , ,6.007,6.96} Hasil pnylsaian contoh tidak sprti hasil pnylsaian contoh. Hasil pnylsaian contoh brupa nilai-nilai hasil intgrasi numrik skaligus dalam intral trtntu untuk nilai trtntu.

38 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI BAB III MOOLOGI PNLIIAN.. Jnis Pnlitian Jnis pnlitian yang dilakukan dalam pnulisan skripsi ini adalah pnlitian studi pustaka dan pakt program Mathmatica Sarana Pnlitian Sarana yang dibutuhkan dalam pylsaian skripsi ini adalah buku-buku yang brhubungan dngan panas jnis zat padat yang trdapat di UP Prpustakaan Sanata harma Yogyakarta... Langkah langkah pnlitian Langkah langkah yang dilakukan dalam pnlitian ini adalah sbagai brikut:. Mnlusuri bahan bahan mngnai tori panas jnis Klasik, instin dan by srta intgrasi numrik dngan mnggunakan pakt program Mathmatica Mnglaborasi tori-tori panas jnis Klasik, instin dan by scara analitik.. Mnylsaikan tori panas jnis by scara numrik dngan mnggunakan pakt program Mathmatica Batasan angka dsimal numrik yang akan diambil untuk panas jnis satu dimnsi dan dua dimnsi adalah lima digit sdangkan 4

39 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI untuk panas jnis tiga dimnsi adalah mpat digit. Batasan angka dsimal numrik yang akan diambil mngikuti pakt program Mathmatica Mnntukan batas trndah nilai agar hasil intgral pada prsamaan (.0) untuk suhu rndah trpnuhi. 6. Mnarik ksimpulan dan saran dari pnlitian yang tlah dilakukan. 5

40 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI BAB IV HASIL AN PMBAHASAN 4.. Hasil Intgrasi Numrik Sbagaimana diktahui dari prsamaan (.48), (.54) dan (.60) bahwa panas jnis kristal pada panjang ttap ( c L ), luas ttap ( A ) c dan olum ttap ( ) c trgantung pada nilai intgrasi I 0 f ( ) d ngan f ( ) adalah fungsi yang bntuknya brssuaian dngan dimnsi kristal. ari brbagai studi litratur (Omar, 975 ; Sars, 975 ; Mandl, 988) nilai intgral I konstan Panas Jnis Zat Padat Satu imnsi Untuk panas jnis satu dimnsi hasil intgrasi numrik dari 0 ( ) d dapat dilihat pada Lampiran A dan jika hasil intgrasi numrik (Lampiran A) digambar maka hasilnya trlihat pada Gambar 4.. ari gambar 4. trlihat bahwa nilai I ttap pada darah 9. Sdangkan untuk darah < 9 nilai I brgantung pada. 6

41 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI.5 I Gambar 4. Grafik I sbagai fungsi untuk kristal satu dimnsi 4... Panas Jnis Zat Padat ua imnsi Sprti halnya panas jnis satu dimnsi, untuk panas jnis dua dimnsi hasil intgrasi numrik dari 0 ( ) d dapat dilihat pada Lampiran B. Jika hasil intgrasi numrik (Lampiran B) digambar maka hasilnya trlihat pada Gambar 4.. ari Gambar 4. trlihat bahwa nilai I ttap pada darah. Sdangkan untuk darah < nilai I brgantung pada. 7

42 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI 8 I Gambar 4. Grafik I sbagai fungsi untuk kristal dua dimnsi 4... Panas Jnis Zat Padat iga imnsi Untuk panas jnis satu dimnsi hasil intgrasi numrik dari 0 ( 4 ) d dapat dilihat pada Lampiran C dan jika hasil intgrasi numrik (Lampiran C) digambar maka hasilnya trlihat pada Gambar 4.. ari Gambar 4. trlihat bahwa nilai I ttap pada darah 5. Sdangkan untuk darah < 5 nilai I brgantung pada. 8

43 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI 0 I Gambar 4. Grafik I sbagai fungsi untuk kristal tiga dimnsi 4.. Pmbahasan Brdasarkan hasil intgrasi numrik yang tlah dilakukan trhadap prsamaan (.48), (.54), dan (.60) (Lampiran A, B dan C ) trlihat bahwa panas jnis kristal satu dimnsi nilai I ttap pada darah 9, untuk kristal dua dimnsi nilai I ttap pada darah, dan untuk kristal tiga dimnsi nilai I ttap pada darah 5. Jika nilai lbih kcil dari nilai-nilai trsbut, maka nilai I brgantung pada sprti trlihat pada Gambar 4., 4., dan 4.. 9

44 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI Brdasarkan nilai-nilai k yang tlah diprolh, dapat dihitung suhu kristal (satu, dua, dan tiga dimnsi) dngan mnggunakan rlasi brikut: hω k k ω h Jika nila i dan diktahui, maka nilai dapat diprolh. Contohnya unsur Li (pada abl.) untuk tiga dimnsi, 5, 5, nilai dapat dihitung dngan mnggunak an prsamaan diatas, yaitu K Nilai yang tlah dihitung untuk bbrapa unsur dan snyawa brdasarkan rlasi dan data abl. disajikan pada abl.. Unsur / snyawa (K) Na Cu 4.7 Ag N acl 80. 0

45 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI Brdasarkan prhitungan yang tlah dilakukan, jika nilai < maka nilai panas jnis brgantung pada suhu. tapi jika nilai maka nilai panas jnis mndkati klasik. Sbagaimana yang tlah diktahui dari buku-buku tks (Omar, 975 ; Sars, 975 ; Mandl, 988) yang mmuat panas jnis by bahwa nilai intgrasi 4π 4 pada prsamaan (.9) adalah sbsar 5 untuk kristal tiga dimnsi (suatu adalah sama dngan yang ada di bukukonstanta). ngan mnggunakan pakt program Mathmatica 5.0 nilai intgrasi pada prsamaan (.9) untuk darah 5 buku tks yaitu 4 4 π. tapi untuk < 5 nilai intgral prsamaan (.9) 5 brgantung pada nilai. Nilai-nilai I trsbut akan mmpngaruhi panas jnis by, dimana jika pada darah 5 panas jnisnya adalah sbsar R (untuk kristal tiga dimnsi), sdangkan jika pada darah < 5 nilainya trtntu atau dngan kata lain panas jnisnya buka n R. mikian juga dngan panas jnis kristal satu dimnsi, dua dimnsi dan tiga dimnsi, yang masing-masing mmiliki batas darah dimana nilai intgrasinya mulai konstan. Jika ktiga grafik pada Gambar 4., 4., dan 4. digabungkan, maka diprolh gambar grafik sprti trlihat pada Gambar 4.4.

46 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI I I (satu dimnsi) I (dua dimnsi) I (tiga dimnsi) Gambar 4.4 Gabungan grafik satu dimnsi, dua dimnsi dan tiga dimnsi Sprti yang tlah diktahui bahwa pada panas jnis satu dimnsi 9, dua dimnsi dan tiga dimnsi 5. ari Gambar 4.4 diatas prbandingan (batas mulainya nilai I yang konstan) antara panas jnis satu dimnsi, dua dimnsi k dan tiga dimnsi adalah 9 : : 5. Jadi nilai k smakin bsar jika dimnsi kristal yang ditinjau smakin bsar.

47 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI BAB V PNUUP 5.. Ksimpulan Brdasarkan ksluruhan pross yang tlah dilakukan dalam pnlitian ini dapat diprolh ksimpulan sbagai brikut. Pada panas jnis zat padat satu dimnsi nilai I ttap ( konstan ) pada darah 9, dua dimnsi pada darah dan tiga dimnsi pada darah 5.. Nilai I ttap ( konstan ) jika k k ( adalah batas mulainya nilai I yang konstan ). Sdangkan untuk < k nilai I brgantung pada.. Untuk suhu yang sangat rndah khususnya pada darah <9, <, dan < 5 nilai I sangat brgantung suhu (), pngaruh suhu trhadap panas jnis zat padat satu dimnsi c L ~, dua dimnsi c A ~, dan tiga dimnsi ~ mnybabkan c bsarnya panas jnis satu dimnsi c L ~ I( ), dua dimnsi ( ) c A ~ I, dan tiga dimnsi c ~ I( ).

48 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI 5.. Saran Saran yang dapat dibrikan untuk pnympurnaan dan pngmbangan tulisan ini adalah. Prlu dilakukan pnlitian lanjutan tntang prbandingan hasil intgrasi numrik mnggunakan pakt program Mathmatica 5.0 dngan pakt program lainnya.. Untuk suhu yang sangat rndah khususnya pada darah <9, <, dan < 5 nilai I sangat brgantung suhu (), olh karna itu nilai I haruslah diprhitungkan karna akan mmpngaruhi bsarnya panas jnis zat padat satu dimnsi, dua dimnsi, dan tiga dimnsi. 4

49 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI AFAR PUSAKA Alonso, M., dan Finn,.J., 986, Quantum and Statistical Physics, Unitd Stats of Amrica: Addison-Wsly Publishing Company. Bradbury,. C., 984, Mathmatical Mthods with Applications to Problm in th Physical Scincs, Canada: Addison Wsly Publishing Company. Mandl, F., 988, Statistical Physics, Manchstr : John Wily & Sons. Martin, M. C., 986, lmnts of hrmodynamics, Nw Jrsy : Prntic Hall. Nainggolan, W.S., 978, hrmodinamika, Bandung: Pnrbit Armico. Omar, M. A., 975, lmntary Solid Stat Physics, Massachussts : Addison Wsly Publishing Company. Sars, F. W., dan Salingr, G. L., 975, hrmodynamics, Kintic hory, and Statistical hrmodynamics, Massachustts : Addison-Wsly Publishing Company. Suwitra, N., 989, Pngantar Fisika Zat Padat, Jakarta : prtmn Pndidikan dan Kbudayaan. Zmansky, M. W., dan ittman, R. H., 98, Hat and hrmodynamics, Nw York : McGraw-Hill Book Company. Wolfram, S., 007, Mathmatica6.0, tutorial/numricalintgration.html. 5

50 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI LAMPIRAN A abl hasil intgrasi numrik I 0 ( ) d untuk kristal satu dimnsi I

51 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI LAMPIRAN B abl hasil intgrasi numrik I 0 ( ) d untuk kristal dua dimnsi I

52 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI LAMPIRAN C abl hasil intgrasi numrik I 0 ( 4 ) d untuk kristal tiga dimnsi I

53 PLAGIA MRUPAKAN INAKAN IAK RPUJI BIOGRAFI Nama lngkap pnulis Margarta Ink Mayasari, lahir di Margodadi, 9 mi 985, mrupakan anak kdua dari pasangan Bapak Hadi Suprapto dan Ibu Maria Sumiyati. Pada waktu S (tahun 990) brskolah di SN I Margodadi, SMP (996) brskolah di SMP Xarius Pringswu, SMU (tahun 999) brskolah di SMU Xarius Pringswu, kmudian pada tahun 00 mlanjutkan jnjang pndidikannya di Unirsitas Sanata harma Yogyakarta, Fakultas Matmatika dan Ilmu Pngtahuan Alam, Jurusan Fisika.