PEMODELAN MATRIKS SENSITIVITAS DISPERSI KECEPATAN GRUP GELOMBANG LOVE DENGAN METODE BEDA HINGGA

Transkripsi

1 Berkala Fisika ISSN : Vol. 5, No., Januari 00 al 7 PEMODELAN MATRIKS SENSITIVITAS DISPERSI KECEPATAN GRUP GELOMBANG LOVE DENGAN METODE BEDA HINGGA Kusworo Adi, Yulianto G Laboratorium Instrumentasi dan Elektronika, Jurusan Fisika, Universitas Diponegoro Laboratorium Geofisika, Jurusan Fisika, Universitas Diponegoro Abstract It ave been carried out calculation and analzing of sensitivit matrices of Love waves group velocit dispersion curve b using finite-different metod. Sntetic data used to model a single laer of crust. Te model parameter tat is sear wave velocit in dispersion relation is disturbed amount ±0,05 km/s. Te result of tis stud sow tat te igest resolution is 5-30 s. Its mean tat in tis period, te probabilit of Moorovicic discontinuit is te igest too. Kewords : sensitivit matrices, dispersion, finite-different Intisari Tela dilakukan peritungan dan analisis matriks sensitivitas dispersi kecepatan grup gelombang Love dengan metode beda ingga. Peritungan dilakukan dengan data sintetik untuk model satu lapisan kerak dan dengan mengganggu paramater model aitu kecepatan gelombang geser dalam persamaan dispersi sebesar β=±0,05 km/s. Hasil peritungan menunjukkan bawa dalam model kerak bumi satu lapis ini resolusi terbesar diperole pada periode 5-30 detik ang menunjukkan kebolejadian keberadaan diskontinuitas Moorovicic ang merupakan batas antara kerak dan mantel bumi. Katakunci : matriks sensitivitas, dispersi, beda ingga Pendauluan Turunan parsial merupakan al ang sangat penting dalam penentuan modifikasi dari paramater model dan sangat berpengaru teradap konvergensi dari langka inversi. Turunan parsial juga disebut sebagai matriks sensitivitas karena menunjukkan ketergantungan pengamatan teradap perioda ang digunakan. Langka praktis dalam peritungan turunan parsial kecepatan gelombang permukaan teradap parameter model adala dengan metode pendekatan beda ingga bila fungsi ang diuji merupakan fungsi ang tidak linear. Sala satu fungsi ang tidak linear adala dispersi gelombang permukaan ang banak digunakan dalam penentuan struktur lapisan bumi. Metode lain dalam peritungan turunan parsial kecepatan grup teradap gelombang geser adala dengan menggunakan metode ang diberikan ole Rodi k [] tetapi dalam al ini diperlukan data dispersi kecepatan fase sedangkan kadang-kadang dari penelitian tidak diperole kecepatan fase. Pada penelitian ini digunakan dispersi kecepatan grup gelombang Love karena gelombang Love ini dapat langsung diamati pada komponen z (up-down pada seismogram tanpa arus merotasi komponen seperti perotasian komponen N-S menjadi komponen radial dan komponen E- W menjadi komponen tangensial. Gelombang Love Gelombang Love terjadi dari interaksi gelombang-gelombang SH (gambar. 7

2 Kusworo Adi dan Yulianto, G. Permodelan Matriks Menurut Stein [] serta La dan Wallace [3], bila lapisan mempunai ketebalan dengan kecepatan β terletak pada suatu medium setenga ruang tak beringga dengan kecepatan ang lebi tinggi β, pergeseran total dalam lapisan medium merupakan penjumlaan pergeseran gelombang ang ke atas (upgoing dan ke bawa (downgoing : u (, z, t = B e + B e ( i( ωt k + k s z ( i( ωtk + k s z,...( sedangkan pada medium setenga ruang takberingga ana dibutukan satu suku persamaan, aitu : u (, z, t = B' e z ( i ωt k k s z ( J i ( β, ρ Gambar Suatu lapisan terletak di atas medium setenga ruang tak beringga. Jika β <β maka akan terjadi gelombang Love. Energi gelombang dianggap terjebak dekat dengan permukaan, tidak merambat ke dalam medium setenga ruang tak beringga ( ik z jika s e menjadi eksponensial ang real negatif dan berkurang ketika z. Hal ini akan terjadi jika kecepatan gelombang Love lebi kecil daripada kecepatan gelombang S dalam medium setenga ruang tak beringga, seingga diperole : c c s = = i = is *. (3 β β Kondisi c < β terjadi ketika gelombang SH pada lapisan ang lebi atas datang pada bidang batas dengan sudut ang lebi besar daripada sudut kritis, seingga gelombang Love dapat dipandang sebagai asil interferensi gelombang SH ang terjebak dalam lapisan. Permukaan β, ρ Amplitudo-amplitudo B, B dan B dapat diperole dari sarat batas pada permukaan bebas dan pada pada bidang batas antara lapisan dan setenga ruang. Pada permukaan bebas, stress akan sama dengan nol ang dapat diberikan sebagai : z u (,0, t = µ (,0, t z σ, (4 seingga diperole B = B. Pada bidang batas, pergeseran akan kontinu seingga : B s s s [ e e ] = B' e +. ( ( tk ( ( e i ω iks B B = = µ 0. (5 Komponen stress σ z juga arus kontinu pada bidang batas seingga : [ ] s ( ik s e e µ s B s [ e ] = µ s B'. (6 Dengan mengkombinasikan eksponensialeksponensial kompleksna, maka persamaan (5 dan persamaan (6 dapat dituliskan kembali sebagai : B cos( k s s = B' e, (7a iµ sb sin( ks = µ sb'sin( iks. (7b Dengan membagi persamaan (7b dengan (7a maka akan diperole : tan( µ s µ s k s = =, (8 iµ s i µ s ang memberikan ubungan antara bilangan gelombang k dan kecepatan gelombang c dalam ara orizontal ang arus dipenui seingga gelombang Love ini ada. Dari ubungan c=ω/k tampak bawa kecepatan orizontal dari gelombang Love ang terjadi mempunai bilangan-bilangan gelombang orizontal dan frekuensi-frekuensi sudut ang spesifik. Untuk suatu periode atau frekuensi sudut tertentu, gelombang Love ana dapat mempunai kecepatankecepatan orizontal atau bilangan gelombang tertentu. Frekuensi-frekuensi ang berbeda mempunai kecepatan ang * 8

3 Berkala Fisika ISSN : Vol. 5, No., Januari 00 al 7 berbeda dan gejala ini disebut dengan dispersi. Persamaan (8 diatas memberikan kecepatan c sebagai suatu fungsi peuba ω atau k disebut sebagai relasi dispersi atau persamaan periode. Dispersi Gelombang Permukaan Semua gelombang permukaan, kecuali gelombang Raleig dalam medium setenga ruang tak beringga isotropis, menunjukkan fenomena dispersi dengan kecepatan sepanjang permukaan bergantung pada frekuensina []. Hampir semua sumber seismik menimbulkan gelombang-gelombang ang terdiri dari suatu spektrum frekuensi ang kontinu dengan komponen armonik ang masing-masing mempunai sebua kecepatan c(ω ang disebut dengan kecepatan fase. Ketika suatu spektrum frekuensi muncul, gelombang-gelombang tersebut berinterferensi dan mengasilkan pola-pola konstruktif dan destruktif ang mempengarui gerakan tana total. Pola-pola interferensi konstruktif berkelakuan sebagai paket-paket gelombang ang merambat sebagai gangguan sepanjang permukaan ang dikenal sebagai kecepatan grup U(ω. Menurut La dan Wallace [3] bila dua gelombang armonik dengan amplitudo ang sama tetapi dengan frekuensi ang berbeda sedikit berinterferensi maka persamaan pergeseran totalna dapat diberikan sebagai : u = cos( ω ' t + k' + cos( ω'' t + k'', (9 dengan k =ω /c dan k =ω /c adala masing-masing bilangan gelombang, ω dan ω adala frekuensi masing-masing gelombang, serta c dan c adala kecepatan fase masing-masing gelombang armonik. Kemudian didefinisikan ω sebagai rata-rata dari ω dan ω seingga ω' + δω = ω = ω' ' δω, dan k=ω/c seingga k' + δk = k = k' ' δk dengan δω << ω dan δ k << k. Dengan menggunakan aturan cos: cos( cos( = cos( + + cos(, dan kemudian menisipkanna ke dalam persamaan (9 maka diperole : u = cos( ωt kcos( δωt δk, (0 ang merupakan perkalian dari dua cosinus, dengan suku kedua beruba lebi lambat daripada suku pertama. Amplop (envelope sinal termodulasi merambat dengan suatu kecepatan ang berbeda dari kecepatan fase dari suku armonik rata-rata c, ang didefinisikan sebagai kecepatan grup: δω U =. ( δ k Pada limit δω dan δk 0, maka : δω d( kc U = = = c + k δk dc dc = c λ. dλ ( Tampak bawa bawa kecepatan grup bergantung kepada kecepatan fase dan perubaan kecepatan fase teradap bilangan gelombangna. Jika dc = 0 maka kecepatan fase sama dengan kecepatan grup. Secara umum, pada material bumi kecepatan fase berkurang secara monoton teradap frekuensi, seingga dc < 0 dan U< c. Metode Beda Hingga Metode beda ingga ini merupakan metode pendekatan untuk menelesaikan persamaan-persamaan diferensial [5]. Bila operator D mewakili d/d maka pada z-i dapat diperole : Dz i (-z i- + z i+ / (, (3 seperti ang ditunjukkan pada gambar 3. 9

4 Kusworo Adi dan Yulianto, G. Permodelan Matriks z z i- z i z i+ i- i i+ Gambar 3 Ilustrasi metode beda ingga secara sederana Matriks Sensitivitas Pada matriks sensitivitas ang diperole dengan metode pendekatan beda ingga, perubaan kecil kecepatan grup pada perioda tertentu ang disebabkan ole perubaan kecil pada parameter model m aitu β dan digunakan sebagai pendekatan untuk memperole turunan parsial kecepatan grup teradap β dan. Skema beda pusat (central difference sceme ang sering digunakan dalam beberapa penelitian adala pendekatan ang diberikan ole Rodi k [], aitu : U m i j Uij m j, (4 dengan U adala selisi antara kecepatankecepatan grup untuk parameter model m dengan m diuba sebesar + m dan m pada masing-masing lapisan model. Hasil Peritungan dan Analisis Pada penelitian ini digunakan data sintetik (gambar 3 ang merujuk pada data ang digunakan ole Dorman dan Ewing [4] dengan model kerak bumi satu lapis. Pada model ang digunakan tersebut ketebalan kerak bumi adala 5 km. Gambar 3 Kurva dispersi kecepatan grup gelombang Love ang digunakan dalam penelitian U U β β T =,06,475,7070,6958,495,38,007 0,684 0,3630 0,3953 0,57 0,055 0,94 0,374 Gambar 4 Matriks sensitivitas asil peritungan Peritungan turunan parsial kecepatan grup teradap kecepatan gelombang Love pada penelitian ini dilakukan dengan menggunakan persamaan (4 dengan β= ± 0,05 km/s untuk lapisan kerak dan mantel pada perioda-perioda seperti pada gambar 4. Dari gambar 4 tampak bawa nilai terbesar pada matriks sensitivitas untuk lapisan kerak bumi (kolom pertama terletak pada periode 5 detik sedangkan nilai tertinggi pada lapisan mantel bumi (kolom kedua adala pada periode 45 detik. Berdasarkan kecenderungan kurva dispersi tersebut kebolejadian keberadaan diskontinuitas Moorovicic sebagai batas kerak dan mantel bumi terletak pada kedalaman antara 5-30 km. Untuk memperole resolusi ang lebi tinggi maka data ang digunakan sebaikna mempunai interval ang lebi rapat atau bila tidak diperole data ang diinginkan maka dapat digunakan metode interpolasi. Pada kolom kedua dari matriks sensitivitas 0

5 Berkala Fisika ISSN : Vol. 5, No., Januari 00 al 7 tampak bawa nilai negatif pada lapisan mantel terjadi sampai dengan periode 35 detik ang dapat diartikan bawa keberadaan lapisan mantel mempunai kebolejadian pada kedalaman setela 35 km. Kesimpulan Dari penelitian ini dapat diperole kesimpulan bawa berdasarkan matriks sensitivitas dengan pendekatan beda ingga dengan model lapisan bumi seperti ang diberilkan ole Dorman dan Ewing diperole kesimpulan bawa resolusi model terbesar gelombang Love terdapat pada perioda 0-35 detik untuk lapisan kerak bumi dan pada perioda detik pada lapisan mantel, ang sesuai dengan model ang digunakan ole Dorman dan Ewing. DAFTAR PUSTAKA [] Rodi, W, L., P. Glover, R.M.C. Li, and S.S. Aleander, 975, A Fast, Accurate Metode for Computing Group Velocit Partial Derivatives for Raleig and Love Waves, Bull. Seismol. Soc. Am., 65, 05-4 [] Stein, S., 99, Introduction to Seismolog, Eartquakes, and Eart Structure, Nortwestern Universit [3] La, T. and T.C. Wallace, 995, Modern Global Seismolog, Academic Press, San Diego [4] Dorman, J., and Ewing, M., 96, Numerical Inversion of Seismic Surface Wave Dispersion Data and Crust-Mantle Structure in Te New York-Pennslvania area, J. Geops. Res., 67, [5] Lindfield, G. and J. Penn, 995, Numerical Metods Using MATLAB, Ellis Horwood, Singapore