ALGORITMA PARTICLE SWARM (APS) UNTUK OPTIMASI DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

Transkripsi

1 PROSIDING Nov,03 Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY,9 ISBN : ,hal. MT DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK Hanna Arini Parhusip Program Studi Matematika, FSM-UKSW hannaariniparhusip@yahoo.co.id Abstrak Makalah ini menunukkan algoritma Particle Swarm (APS) yang digunakan optimasi untuk ungsi tuuan variabel dan multivariabel. Domain sebagai dugaan adanya solusi divariasi dari beberapa kurva parametrik. Domain ini sebagai dugaan awal untuk solusi pada algoritma Particle Swarm. Program dibuat dengan bahasa MATLAB. Hasil optimasi dianalisa dengan mengamati siat matriks Hessian di titik optimal. Kata kunci: Particle Swarm, ungsi parametrik, Hessian A. PENDAHULUAN Terdapat beberapa algoritma modern yang tidak mendasarkan nilai optimumnya pada gradient ungsi tuuan, diantaranya algoritma koloni semut dan modiikasinya (Dai, dkk, 009), (Wang,006). Algoritma Particle Swarm (APS) mendasarkan teorinya pada perilaku suatu koloni atau sekawanan seperti semut, lebah, kumpulan burung atau ikan. Jadi algoritma ini memperhatikan tingkah laku hewan-hewan tersebut. Kata partikel menelaskan suatu lebah dalam suatu koloni atau seekor burung dalam sekawanannya. Setiap individu berlaku sehingga terdistribusi sedemikian hingga menggunakan intelegensianya untuk menemukan lintasan terbaik dalam menemukan makanan. Pada konteks optimasi multivariabel, insek diasumsikan berukuran tetap dengan setiap partikel pada awalnya berlokasi secara random pada ruang multidimensi. Setiap partikel diasumsikan mempunyai karakteristik : posisi dan kecepatan. Setiap partikel beralan tanpa arah berkeliling pada ruang dan mengingat posisi terbaik yang berkaitan dengan sumber makanan (atau nilai ungsi tuuan) telah ditemukan. Setiap partikel mengkomunikasikan posisi terbaiknya. Sebagai suatu contoh, perbaikan perilaku burung dalam sekawanannya. Sekalipun tiap buruk sangat terbatas secara intelegensia, ada aturan yang berlaku :. Setiap burung tidak berusaha mendekati burung yang lain. Burung menuu pada arah rata-rata burung lain. 3. Burung akan berusaha mencocokkan dengan posisi rata-rata antara burung berbeda dengan gap antar burung tidak terlalu besar. Jadi perilaku sekawanan burung, inseks berdasarkan 3 hal utama :. Kohesi : berupaya selalu bersama. Separasi : tidak mendekat terlalu dekat 3. Alignment : mengikuti aturan pimpinan kawanan burung. APS disusun sebagai berikut :. Jika burung berlokasi pada target atau makanan (maksimum/minimum ungsi tuuan), dengan segera burung itu akan menginormasikan pada semua burung-burung yang lain.. Semua burung tertarik menuu target/makanan (maksimum/minimum ungsi tuuan tetapi tidak secara langsung). Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 03 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

2 DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK 3. Ada suatu komponen pada setiap burung yang berpikir secara independent Jadi model mensimulasikan pencarian random ruang disain untuk nilai maksimum dari -ungsi tuuan sedemikian hingga setelah melalui banyak iterasi, burung-burung akan menuu target (maksimum/minimum ungsi). Untuk selanutnya algoritma dan aplikasi dari algoritma ini dinyatakan pada Bab -4. B. PARTICLE SWARM untuk OPTIMASI B. Implementasi Komputasi APS Perhatikan masalah optimasi tak berkendala Maksimalkan (X) l) dengan X X X ( ( n) (l) (n) dengan X dan X menyatakan berturut-turut batas bawah dan batas atas X. Prosedur APS dapat diimplementasikan dengan tahapan sebagai berikut (Rao,009). Asumsikan ukuran inseks (banyaknya partikel) adalah N. Untuk mereduksi total perhitungan ungsi yang dihitung untuk menemukan penyelesaian, kita perlu mengasumsikan ukuran inseks yang lebih kecil. Akan tetapi ika terlalu kecil akan menyebabkan kita mendapatkan solusi lebih lama. Dalam beberapa kasus bahkan dapat menyebabkan kita tidak memperoleh solusi sama sekali. Biasanya kita menggunakan ukuran N = 0 atau N=30 partikel. ( l) ( n). Bangkitkan populasi awal X dalam X X X secara random sebagai X, X,..., X N. Setelah ini, partikel posisi ke- dan kecepatannya pada iterasi ke-i disimbolkan secara berturut-turut sebagai X dan V. Jadi mula-mula partikel dibangkitkan dalam bentuk (i) (i) X ( 0), X (0),..., X N (0) dikatakan partikel-partikel atau vektor-vektor koordinat dari partikel-partikel (analog dengan kromosom pada algoritma genetika). Hitung nilai nilai ungsi tuuan yang berkaitan yaitu [ X(0)], [ X (0)],..., [ X N (0)]. 3. Tentukan kecepatan partikel. Setiap partikel akan bergerak pada titik optimal dengan suatu kecepatan. Awalnya, kecepatan partikel adalah 0. Kita sebut sebagai iterasi ke-. 4. Pada iterasi ke-i, tentukan parameter penting berikut ini yang digunakan pada setiap partikel : (a) Nilai (i) terbaik (koordinat-koordinat semua partikel hingga pada iterasi tersebut) adalah X X (i) yang membuat ungsi tuuan [ X ( i)] terbesar pada iterasi tersebut, sebutlah P terbaik, Susun untuk semua partikel, sebutlah sebagai G terbaik. (b) Tentukan kecepatan partikel pada iterasi ke-i sebagai berikut : V ( i) V( i ) cr Pbest, X ( i ) cr G best X ( i ),=,...,n () dimana c dan c berturut turut sebagai lau individu dan lau sosial (grup) dimana r dan r sebagai bilangan random berdistribusi uniorm pada interval 0 dan. Parameter c dan c menyatakan relati pentingnya memori (posisi) dari partikel itu sendiri ke memori (posisi) sekawanan. Nilai parameter c dan c biasanya diasumsikan sehingga c r dan c r menamin bahwa partikel-partikel tidak akan terbang melebihi target sekitar setengah waktu. (c) Tentukan posisi koordinat partikel ke- pada iterasi ke-i sebagai X ( i) X ( i ) V ( i) ; =,,...,N. () Yogyakarta, 9 November 03

3 DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK dimana step waktu (dt) diasumsikan pada persamaan (). (Ingat ormula kecepatan secara X ( i) X ( i ) diskrit yaitu V ( i) ). Hitung nilai-nilai ungsi tuuan yang berkaitan dengan dt partikel yaitu [ X( i)], [ X ( i)],..., [ X N ( i)] 5. Cek konvergensi penyelesaian saat itu. Jika posisi semua partikel konvergen pada nilai-nilai pada himpunan yang sama, metode diasumsikan konvergen. Jika kriteria konvergen tidak dipenuhi, step 4 diulang dengan mengupdate/memperbaharui bilangan iterasi dan menghitung nilai-nilai baru P terbaik, = [ X ( i)] dan G terbaik. B. Perbaikan APS Seringkali ditemukan bahwa kecepatan partikel meningkat terlalu cepat dan nilai maksimum ungsi tuuan terlampaui. Oleh karena itu perlu diperkenalkan suku inersia (sebutlah ) yang ditambahkan untuk mengurangi kecepatan. Biasanya nilai diasumsikan bervariasi secara linear dari 0.9 hingga 0.4 dalam proses perkembangan iterasi. Kecepatan partikel ke-, dengan suku inersia diasumsikan sebagai V( i) V( i ) cr Pbest, X ( i ) cr G best X ( i ),=,...,n (3) Bobot inersia menyebabkan mengeksplorasi area baru untuk optimum lokal tetapi nilai yang besar untuk menyebabkan optimal yang benar tidak diperoleh. Untuk mencapai keseimbangan pencarian optimum lokal dan global dan mempercepat konvergensi pada optimum yang benar, bobot inersia yang nilainya menurun secara linear dengan banyaknya iterasi yang telah digunakan : dimana max imax dan min i i i max min ( ) (4) max max berturut-turut merupakan nilai awal dan nilai akhir dari bobot inersia dan adalah banyaknya iterasi maksimum yang digunakan dalam APS. Nilai max dan min umumnya digunakan adalah max =0.9 dan min = 0.4. Ada pula perbaikan APS yang lain dengan cara membuang partikel yang tidak bermakna dalam mendapatkan posisi optimal (Benmessahel,dan Touahria,M, 0) akan tetapi hal ini tidak dibahas disini..3 Masalah Optimasi yang diselesaikan oleh APS dan program APS Bentuk umum masalah optimasi yang diselesaikan oleh APS adalah Maksimalkan (X) (5a) dengan kendala g ( X ) 0; =,,...,m (5b) Fungsi tak berkendala F(X) dikonstruksi oleh ungsi inalti yang memuat kendala. Ada tipe ungsi inalti. Pada APS kita menggunakan ungsi inalti F(X) yang dideinisikan sebagai F( X ) ( X ) C( i) H( X ) (6) dimana C(i) menyatakan parameter inalti dinamik yang termodiikasi yang bervariasi sesuai dengan bilangan i dan H(X) menyatakan aktor inalti yang berkaitan dengan kendala c m C( i) i ; qi X H( X ) g X q X yang Yogyakarta, 9 November 03 3

4 DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK dengan c, q X a b q X e q X max 0, g ( X ) ; =,,...,m (7) (X menyatakan besarnya kendala ke-,a, b konstan. Perhatikan bahwa ) dilanggar, [ ( X )] menyatakan ungsi penugasan yang kontinu, yang diasumsikan dalam q bentuk eksponensial sebagaimana ditunukkan pada pers (7)(ketiga) dan [ q i ( X )] menyatakan pangkat ungsi yang terlanggar. Nilai c= 0.5,, a 50, b 0 dengan ika q ( X ) [ q ( X )]. ika q ( X ) Contoh. Tentukan nilai maksimum ungsi ( x) x x pada interval [-, ] dengan metode APS. Gunakan 4 partikel (N= 4) dengan posisi awal x 5, x 0, x 5, x 5. Susunlah komputasi secara detail untuk iterasi ke- dan ke-. Jawab : Tahap. Susun ungsinya dalam nama ungsi ku.m unction =ku(x) %Contoh 3.4 hal 7 =-x^+*x+; Tahap. Buat APS dalam nama ile dan hal ini ditunukkan pada Tabel. Tabel. Program APS untuk dimensi N=4; x=[ ]; %hitung ungsi tuuan pada x awal or i=:n (i)=ku(x(i)); end %kecepatan awal vlama=zeros(n,); %cari Pbest dan Gbest Pbest=x; indeks=ind(pbest==max(pbest)); Gbest=x(indeks); %Susun ke(cepatan partikel %asumsikan c=c= c=;c=c; r=rand(,); %lakukan setiap iterasi i=; or =:N v()=vlama() + r()*i(pbest()-x()) +... r()*(gbest-x()); %x baru q Gambar. y x x Tabel. Hasil keluaran APS untuk pemaksimum dan nilai maksimum y x x x* y* Hasil keluaran APS ditunukkan dengan datar nilai x* dan y* pada Tabel 3. Dari kalkulus kita dapat memperoleh bahwa nilai maksimum secara eksak adalah (,). Jadi keempat koordinat telah menunukkan hasil yang cukup baik. Yogyakarta, 9 November 03 4

5 DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK xb=x + v %hitung pada x yang baru or i=:n (i)=ku(xb(i)); end i=i+; Pbest=vb End C. METODE PENELITIAN Penelitian dilakukan dengan menyusun algoritma Particle Swarm untuk ungsi tuuan variabel dimana nilai optimal secara analitik diketahui. Selanutnya program dikembangkan untuk ungsi tuuan variabel bebas. Oleh karena itu posisi dugaan pada domain tidak lagi dapat didatar secara manual. Untuk itu perlu dibentuk ormulasi domain yang dimungkinkan memuat titik-titik pengoptimal. Beberapa domain dibentuk dari ungsi parametrik yang dapat uga digunakan transormasi sebagai domain baru. Beberapa domain ini diuicobakan untuk suatu ungsi tuuan. Matriks Hessian dianalisa untuk tiap titik pengoptimal. D. ANALISA DAN PEMBAHASAN D. Kasus dimensi Pada bagian ini akan dibahas penggunaan APS untuk ungsi tuuan variabel yaitu Fungsi yang akan dicari maksimumnya adalah ( x, x) 0.5exp x x exp 0x x x x (8.0) Tahap. Menuliskan ungsi variabel yang akan dicari maksimumnya unction =Kasus(x) bantu=x()^ +x()^; =-0.5*exp(-bantu)-exp(-0*(bantu-*x()-*x()+)); Tahap. Menuliskan algoritma APS untuk ungsi variabel (Lampiran ) Tahap 3. Keluaran program Untuk menganalisa program, kita dapat menerapkan kondisi optimum dari kalkulus yaitu Hessian matriks haruslah negative semideinite pada titik optimum. Untuk itu kita perlu menyusun Hessian yaitu H x xx dimana setiap komponen matriks Hessian adalah x 0.5 0exp x x x exp x x 0.54 x exp x x 0x x x x 0x 0 exp 0x x x x x x 0x 0 0x 0exp 0x x x x (8.) x x exp (8.) x x Yogyakarta, 9 November 03 5

6 DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK x exp x x x exp x x 0exp 0x x x x 0x 0 exp 0x x x x (8.3) Dengan mensubstitusikan nilai optimum ini pada Hessian matriks kita dapat menyimpulkan bahwa hasil telah optimal. Syarat bahwa pengoptimal benar memaksimalkan adalah haruslah negative (semi)deinite, yaitu : 0 dan det H 0 yaitu 0 x. (8.4) x x xx Hasil observasi untuk persamaan (8.4) diperoleh titik optimal adalah (x*,y*)=(-.5,-.5) dan x xx sehingga H dan det H 0. Jadi negative x xx x semi deinite dipenuhi oleh karena itu (x*,y*)=(-.5,-.5) pemaksimum (lokal) dan nilai maksimum adalah D. Berbagai hasil optimasi untuk domain yang berbeda Kasus. Domain dugaan merupakan ungsi parametrik yang berbentuk x ( a b) a bcos t bcos t ; y a b t bsin t b ( a b) sin (9) b Domain dari persamaan (9) digunakan sebagai titik-titik dugaan posisi optimal. Dengan menggunakan 0 t 0, a, b maka diperoleh kurva menurut Gambar. Dari kurva ini kita tidak perlu mendatar titik dugaan sebagaimana pada Contoh, tetapi program akan dapat menyusun 500 titik secara mudah dan disubstitusikan pada program untuk Kasus dimensi (ungsi tuuan persamaan 8.0). Hasil titik optimal adalah (x*,y*) =(3.46,.0) dimana titik ini dapat diduga merupakan bentuk (,0) dan nilai maksimal ungsi adalah *= dimana matriks Hessian dan determinannya berturut-turut adalah H, det H = Yang menunukkan matriks H negative semideinite. Kasus. Domain diperoleh dari kompleks dari kurva parametrik yang dipetakkan oleh (z)=cos(z) dan (z)=/z. Domain yang berikutnya adalah hasil transormasi (z)=cos(z) untuk z adalah bilangan kompleks yang dinyatakan oleh titik-titik dari kurva parametrik. Jadi pasangan titik dari persamaan (9) dipetakkan oleh ungsi kompleks dengan cara menyusun bagian real (u(x,y) dan bagian imainair v(x,y)) dari (z) berturut-turut berbentuk y y y y 0.5e e cos( ) dan v( x, y) 0.5e e sin( x) u( x, y) x Pada program ditulis : u=0.5*(exp(yh)+exp(-yh)).*cos(xh); v=0.5*(exp(-yh)-exp(yh)).*sin(xh);. Yogyakarta, 9 November 03 6

7 DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK Gambar. Graik persamaan (9) 0 t 0, a, b Gambar 3. Graik persamaan (9) 0 t 0, a, b yang ditransormasikan dalam (z)=cos(z) dimana titik-titik z adalah titik titik dari kurva parametrik Gambar 4. Graik persamaan (9) 0 t 0, a, b yang ditransormasikan dalam (z)=/z dimana titik-titik z adalah titik titik dari kurva parametrik Dengan domain pada Gambar 3, ternyata matriks Hessian mendekati matriks 0 sehingga hasil optimasi yang diperoleh disimpulkan tidak valid untuk pada persamaan (8.0). Dapat dikatakan pula bahwa domain bukan domain easible karena tidak memuat solusi yang menyebabkan optimal. Demikian pula domain pada Gambar 4 yang diperoleh dari pemetaan (z)=/z. Domain ini digunakan sebagai dugaan untuk ungsi tuuan pada persamaan (8.0). Sekalipun Hessian matriks hampir berbentuk matriks 0, ungsi tuuan masih dapat mencapai dimana pengoptimalnya adalah (-.087,3.005). Perlu diketahui bahwa matriks Hessian yang semi deinite positive menunukkan titik optimal meminimumkan ungsi tuuan (Peressini,988). Jelas bahwa untuk domain yang berbeda maka nilai optimal uga berbeda tergantung dimanakah ungsi tuuan dideinisikan. Pemilihan berbagai domain ini bermanaat untuk menyusun dugaan solusi dengan banyak titik tanpa mendatar satu persatu. Kasus 3. Fungsi tuuan berbentuk (Parhusip dan Hartini,03) P( K, M) X ( K)cos( nm ) X( K)sin( nm ) (0a) dimana n bilangan bulat X(K) dan nk nk nk nk X ( K) ce cke c3e c4ke. (0b) dimana nilai-nilai parameter c, c, c3, c4 dan n diketahui dan ditunukkan pada Tabel 3. Tabel 3.Datar parameter untuk ungsi tuuan persamaan (0a)-(0b) Nilai Parameter ungsi biharmonik c c c c n c Kita akan memaksimalkan ungsi tuuan tersebut dengan APS. Karena merupakan ungsi variabel bebas maka program pada Kasus dapat digunakan. Akan tetapi domain dapat dipilih dengan bilangan random karena data telah disusun pada interval (0,]. Jadi kita dapat menggunakan ungsi rand(n) dimana N menyatakan matriks NxN dan ungsi rand akan membentuk pasangan titik dimana setiap titik bernilai yang memenuhi (0,]. Hasil optimasi dengan APS ditunukkan pada Tabel 4. Perlu diketahui bahwa APS bekera dengan bilangan random. Oleh karena itu hasil yang diperoleh selalu tidak sama setiap dilakukan menalankan program. Selain itu semua variabel dalam interval (0,]. Jadi ika hasil optimal lebih dari batas maksimum data maka hasil tidak layak. Dari Tabel 4, semua titik optimal berada pada daerah deinisi ungsi sehingga optimal P dapat diterima. Dari kolom ke-3, maka nilai maksimal P* adalah baris ke-3. Inormasi ini berkaitan dengan material/data yang menghasilkan ungsi tuuan. T Yogyakarta, 9 November 03 7

8 DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK Table 4. Pasangan titik optimal untuk untuk persamaan (0a)-(0b) Nilai Parameter ungsi biharmonik (K*,M*) Maksimal (P*) Minimal K c c c c n (data) c 3 4 T Minimal M (data) (0.7609,0.9794) (0.8735, 0.980) (0.9898,0.8400) (0.6089, ) (0.7880, ) E. SIMPULAN DAN SARAN Pada makalah ini telah ditunukkan algoritma PS untuk ungsi tuuan variabel dan beberapa ungsi tuuan yang bertipe sama yaitu ungsi harmonik dengan nilai parameter yang berbeda tiap ungsi tuuan. Domain yang diui untuk ungsi tuuan variabel sebagai domain ungsi merupakan hasil pemetaan ungsi parametrik. Akan tetapi hasil optimasi ustru membuat matriks Hessian ungsi tuuan tidak terdeinisi dengan baik. Demikian pula untuk ungsi tuuan variabel dipelaari dengan domain sebagai dugaan memuat titik pengoptimal berupa pasangan bilangan random dimensi. Hasil optimal ungsi tuuan dapat diperoleh tetapi belum diselidiki apakah nilai optimal ungsi tuuan terbaik secara analisis. Perbaikan APS pada Bab B. belum diimplementasikan secara detail. Demikian pula hasil optimal maksimum P belum dianalisa lebih lanut. Hal ini dapat dilakukan dalam penelitian selanutnya. DAFTAR PUSTAKA Dai,W., Liu, S, and Liang, S, 009. An Improved Ant Colony Optimization Cluster Algorithm Based on Swarm Intelligence., Journal o Sotware, Vol.4, No.4, Academic Publisher. Parhusip, H.A dan Hartini, 03. Biharmonic Protein Function In MOCORIN and Its Optimization, accepted paper, akan dipresentasikan pada International Seminar on Applied Technology, Science, and Art (4 th APTECS 03), ITS, Surabaya, 0 Desember 03. Rao, S.S, 009. Engineering Optimization, Theory and Practice, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. Wang, H, Shi,Z., Ma, J.,A, 006. Modiied Ant Colony Algorithm or Multi-constraint Multicast Routing, IEEE,Vol., Peressini, A.L, Sullivan, F.E., Uhl,J The Mathematics o Nonlinear Programming, Springer Verlag, New York, Inc. Benmessahel,B, Touahria,M, 0. An improved Combinatorial Particle Swarm Optimization Algorithm to Data base Vertical Partition, Journal o Emerging Trends in Computing and Inormation Sciences, Volume No. 3, ISSN Yogyakarta, 9 November 03 8