Bukti : Dengan menggunakan aturan peluang total (law of total probability), dapat kita nyatakan. e e n. n k

Transkripsi

1 LAMPIRAN

2 Lampiran 1. Pembuktian Lema 1 Lema 1 (Jumlah Peubah Acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut λ 1 dan λ. Maka X + Y memiliki sebaran Poisson dengan parameter λ 1 + λ. (Taylor and Karlin 1984) Bukti : Dengan menggunakan aturan peluang total (law of total probability), dapat kita nyatakan n n k nk 1 1 k0 k n! k!( n k)! P X Y n P X k, Y n k k 0 k 0 k 0 P P X k Y n k ( X dan Y saling bebas) k 1 nk 1 e e k 0 k! ( n k)! 1 e e n! k 1 n! k!( n k)! k 0 Ingat, dengan perluasan binomial kita dapat menyatakan, untuk setiap integer positif n, k nk 1 Sehingga dengan mensubstitusikan () ke (1) kita peroleh ruas kanan (1) adalah e n! ( 1 ) nk n 1. Bentuk (3) di atas adalah fungsi peluang dari sebaran Poisson dengan parameter (λ 1 + λ ). (1) () (3) Maka Lema 1 terbukti.

3 Lampiran. Pembuktian Lema 3 Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan rataan µ dan ragam σ, maka untuk setiap k > 0, P X k k. (1) (Ross 007) Bukti : Untuk membuktikan pertidaksamaan Chebyshev diperlukan Pertidaksamaan Markov (Lema 4) berikut : Lema 4 (Pertidaksamaan Markov) Jika X adalah peubah acak dengan E(X) terbatas, maka untuk setiap a > 0, P X a E a X. () Bukti : Misalkan A X a maka X ai, dengan I adalah fungsi indicator dari A, yaitu : I Jika kita tentukan nilai harapannya, maka akan diperoleh A E X E ai 1, jika X a. 0, jika X a A aei A ap X a. Sehingga diperoleh P Jadi Lema 4 terbukti. X a E a X. Selanjutnya dengan Pertidaksaman Markov (Lema 4) maka kita dapat membuktikan Lema 3. P P. X k X k E k X k Jadi Lema 3 terbukti.

4 Lampiran 3. Program Penentuan Gambar (s) Random<-function(n,tau) maxlambda<-5.5 LAB<-(maxlambda)*n N<-rpois(1,LAB) points<-runif(n,0,n) lambda<-*exp(cos((*pi*points)/tau)) p<-lambda/maxlambda p[p<0]< p[p>=1]< hold<-rbinom(n,1,p)==1 selected<-points[hold] return(selected) # Membangkitkan proses Poisson tak homogen dengan n = 1000 dan tau = 5

5 Lampiran 3. (Lanjutan) Duga<-function(Data,n,titik,band,tau) K<-floor((n-titik)/tau) vdt<-1:k for(k in 1:K) pusat<-titik+(k-1)*tau bawah<-pusat-band atas<-pusat+band sample<-data[data>=bawah&data<=atas] vdt[k]<-length(sample)/(*band) Dugaan<-(sum(vdt)*tau)/n return(dugaan) Penduga<-function(Data,n,a,b,band,tau) yduga<-seq(a,b,0.1) K<-length(yduga) for(k in 1:K) titik1<-x[k] yduga[k]<-duga(data,n,titik1,band,tau) return(yduga) Gambar<-function(a,b,tau) ytrue<-*exp(cos((*pi*x)/tau)) plot(x,ytrue,xlim=c(0,5),ylim=c(0,6),type="l",col=4) par(new=t) plot(x,yduga,xlim=c(0,5),ylim=c(0,6),type="o",col=6) # Program menampilkan gambar fungsi sebenarnya vs fungsi dugaan dengan a,b adalah batas bawah dan batas atas dan bandwidth 0.8. # Untuk me-run program: Data<-Random(n,tau) yduga<-penduga(data,n,a,b,band,tau) Gambar1<-Gambar(a,b,tau)

6 Lampiran 4. Program Penentuan Gambar (s) Penduga_tp<-function(Data,n,a,b,band,tau) yduga_tp<-seq(a,b,0.1) K<-length(yduga_tp) for(k in 1:K) titik<-x[k]+band titik3<-x[k]-band duga1<-duga(data,n,titik,band,tau) duga<-duga(data,n,titik3,band,tau) yduga_tp[k]<-((duga1-duga)/(*band)) return(yduga_tp) Grafik<-function(a,b,tau) ytrue_tp<-(-4*exp(cos((*pi*x)/tau))*pi*sin((*pi*x)/tau))/tau plot(x,ytrue_tp,xlim=c(0,5),ylim=c(-4,4),type="l",col=4) par(new=t) plot(x,yduga_tp,xlim=c(0,5),ylim=c(-4,4),type="o",col=6) # Program menampilkan gambar fungsi sebenarnya vs fungsi dugaan dengan a,b adalah batas bawah dan batas atas dan bandwidth , 0.40, dan # Untuk me-run program: Data<-Random(n,tau) yduga_tp<-penduga_tp(data,n,a,b,band,tau) Gambar<-Grafik(a,b,tau)

7 Lampiran 5. Program Penentuan Gambar (s) Penduga_tk<-function(Data,n,a,b,band,tau) yduga_tk<-seq(a,b,0.1) K<-length(yduga_tk) for(k in 1:K) titik4<-x[k]+(*band) titik5<-x[k]-(*band) titik6<-x[k] duga3<-duga(data,n,titik4,band,tau) duga4<-duga(data,n,titik5,band,tau) duga5<-duga(data,n,titik6,band,tau) yduga_tk[k]<-((duga3+duga4-(*duga5))/(4*(band)^)) return(yduga_tk) Kurva<-function(a,b,tau) ytrue_tk<-((8*pi^* exp(cos((*pi*x)/tau))* sin((*pi*x)/tau)^)/(tau^))-( 8*pi^* exp(cos((*pi*x)/tau))* cos((*pi*x)/tau))/(tau^) plot(x,ytrue_tk,xlim=c(0,5),ylim=c(-8,5),type="l",col=4) par(new=t) plot(x,yduga_tk,xlim=c(0,5),ylim=c(-8,5),type="o",col=6) # Program menampilkan gambar fungsi sebenarnya vs fungsi dugaan dengan a,b adalah batas bawah dan batas atas serta bandwidth , , dan # Untuk me-run program: Data<-Random(n,tau) yduga_tk<-penduga_tk(data,n,a,b,band,tau) Gambar3<-Kurva(a,b,tau)

8 Lampiran 6. Program Penentuan Nilai Harapan dan Ragam Turunan Pertama dan Kedua Penduga<-function(n,titik,band,tau,M) Dugaan<-1:M for(m in 1:M) Data<-Random(n,tau) Dugaan[m]<-Duga(Data,n,titik,band,tau) return(dugaan) Penduga1<-function(n,titik,band,tau,M) titik1<-titik+band titik<-titik-band Dugaan_Turunan1<-1:M for(m in 1:M) Data<-Rpnh(n,tau) Dugaan1<-Duga(Data,n,titik1,band,tau) Dugaan<-Duga(Data,n,titik,band,tau) Dugaan_Turunan1[m]<-((Dugaan1-Dugaan)/(*band)) return(dugaan_turunan1) Penduga<-function(n,titik,band,tau,M) titik3<-titik+(*band) titik4<-titik-(*band) Dugaan_Turunan<-1:M for(m in 1:M) Data<-Rpnh(n,tau) Dugaan<-Duga(Data,n,titik,band,tau) Dugaan3<-Duga(Data,n,titik3,band,tau) Dugaan4<-Duga(Data,n,titik4,band,tau) Dugaan_Turunan[m]<-((Dugaan3+Dugaan4-(*Dugaan))/(4*(band)^)) return(dugaan_turunan)

9 # Untuk mencari nilai harapan dan ragam turunan pertama dengan nilai s = 0.8, s = dan s = 4.1 dengan nilai bandwidth-nya masing-masing. Dugaan_Turunan1<-Penduga1(n,titik,band,tau,M) Nilai_Harapan1<-mean(Dugaan_Turunan1) Ragam1<-(sd(Dugaan_Turunan1))^ # Untuk mencari nilai harapan dan ragam turunan kedua dengan nilai s = 3.9, s = 4.1 dan s = 4.9 dengan nilai bandwidth-nya masing-masing. Dugaan_Turunan<-Penduga(n,titik,band,tau,M) Nilai_Harapan<-mean(Dugaan_Turunan) Ragam<-(sd(Dugaan_Turunan))^