HIMPUNAN LEMBUT BERPARAMETER KABUR INTUISIONISTIK DAN APLIKASINYA DALAM PENGAMBILAN KEPUTUSAN

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND HIMPUNAN LEMBUT BERPARAMETER KABUR INTUISIONISTIK DAN APLIKASINYA DALAM PENGAMBILAN KEPUTUSAN RONI HAPIZ Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, gegeroni@gmail.com Abstrak. Pada tulisan ini akan dikaji kembali tentang himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik dan beberapa sifat-sifat aljabarnya. Selanjutnya akan dikonstruksi metode pengambilan keputusan berdasarkan konsep dari himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik. Pada akhirnya dengan menerapkan metode dan operasi-operasi pada himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik, didapatkan algoritma dalam pengambilan keputusan yang digunakan untuk pemilihan karyawan perusahaan. Kata Kunci: Himpunan Lembut, himpunan Kabur, himpunan Lembut Kabur, himpunan Kabur Intuisionistik, himpunan Lembut Berparameter Kabur, himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik 1. Pendahuluan Teori tentang himpunan Kabur terlahir karena begitu banyak masalah dalam kehidupan melibatkan data-data yang tidak tegas atau kabur. Konsep himpunan Kabur yang dikonsep oleh Zadeh [6] dikembangkan menjadi himpunan Kabur Intuisionistik oleh Atanassov. Konsep ini dapat digunakan pada beberapa aplikasi, diantaranya adalah pada bidang ekonomi, teknik, lingkungan, ilmu sosial, ilmu kedokteran dan lain-lain. Pada tulisan ini Himpunan Kabur Intuisionistik telah dikembangkan bersamaan dengan himpunan Lembut Berparameter Kabur menjadi himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik. Definisi 1.1. [6] Misalkan U adalah himpunan semesta. Suatu himpunan Kabur ( Fuzzy set) X atas U adalah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi µ X yang disajikan oleh pemetaan µ X : U [0, 1]. Di sini, µ X disebut fungsi keanggotaan atas X. Fuzzy set X atas U direpresentasikan sebagai berikut. X = {(µ X (u)/u) : u U, µ X (u) [0, 1]}. Himpunan semua himpunan Kabur atas U dilambangkan dengan F (U). Himpunan Kabur kemudian dikembangkan oleh Atanassov [4] dengan mengenalkan himpunan Kabur Intuisionistik (Intuitionistic Fuzzy set) sebagai berikut. 86

2 Himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik 87 Definisi 1.2. [4] Misalkan E adalah himpunan semesta. Suatu himpunan Kabur Intuisionistik A atas E didefinisikan sebagai berikut. A = {(x, µ A (x), γ A (x) : x E)}. Fungsi µ A disebut fungsi keanggotaan atas X, γ A disebut sebagai derajat bukan keanggotaan atas A, sedemikian sehingga, µ A : E [0, 1], dan γ A : E [0, 1], 0 µ A + γ A 1 untuk setiap x E. Selanjutnya, Molotdsov [5] memperkenalkan konsep baru tentang himpunan Lembut (Soft set) yang membantu dalam menyelesaikan masalah ketidakpastian dan kekaburan. Definisi 1.3. [5] Misalkan U adalah suatu himpunan semesta, P (U) adalah suatu himpunan kuasa atas U, E adalah suatu himpunan parameter dan A E. Maka himpunan Lembut ( Soft set) F A atas U adalah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi f A yang disajikan sebagai himpunan pasangan terurut F A = {(x, f A (x)) : x E, f A (x) P (U)}, f A : E P (U) sedemikian sehingga f A (x) = φ jika x A. Himpunan semua himpunan lembut atas U dilambangkan dengan S(U). Caqman dkk. [1] mengembangkan konsep himpunan Lembut Kabur (Fuzzy Soft set) yang merupakan perpaduan dari himpunan Kabur dan himpunan Lembut. Definisi 1.4. [1] Misalkan U adalah suatu himpunan semesta, E adalah suatu himpunan parameter, A E dan γ A (x) adalah himpunan Kabur atas U untuk semua x E. Maka himpunan Lembut Kabur ( Fuzzy Soft set/ FS-set) Γ A atas U adalah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi γ A yang disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut Γ A = {(x, γ A (x)) : x E, γ A (x) I u }, dengan I u adalah koleksi dari himpunan-himpunan Kabur atas U dan γ A : E I u sedemikian sehingga γ A (x) = φ jika x A. Koleksi dari himpunan Lembut Kabur atas U dinotasikan dengan F S(U). Selanjutnya, Caqman dan Erdogan [2] mengembangkan konsep baru yaitu himpunan Lembut Berparameter Kabur (Fuzzy Parameterized Soft set) dengan definisi sebagai berikut. Definisi 1.5. [2] Misalkan U adalah suatu himpunan semesta, P (U) adalah suatu himpunan kuasa atas U, E adalah suatu himpunan parameter dan X adalah suatu

3 88 Roni Hapiz himpunan Kabur atas E dengan fungsi keanggotaan µ X : E [0, 1]. Maka himpunan Lembut Berparameter Kabur ( FPS-set) F X atas U adalah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi f X yang disajikan dalam bentuk pasangan terurut. F X = {(µ X (x)/x, f X (x)) : x E, f X (x) P (U), µ X (x) [0, 1]}, f X : E P (U) sedemikian sehingga f X (x) = φ jika µ X (x) = 0. Himpunan semua himpunan Lembut Berparameter Kabur atas U dinotasikan dengan F P S(U). Selanjutnya, Irfan Deli dan Caqman [3] memperkenalkan Konsep himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik yang dapat diaplikasikan dalam pengambilan keputusan. Pada tulisan ini, konsep tersebut akan diaplikasikan pada pemilihan karyawan perusahaan. 2. Sifat-sifat Aljabar Dari Himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik Pada bagian ini akan dibahas definisi dari himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik (IFPS-Set) beserta sifat-sifat aljabarnya. Definisi 2.1. [3] Misalkan U adalah suatu himpunan semesta, P (U) adalah suatu himpunan kuasa atas U, E adalah suatu himpunan parameter dan K adalah suatu himpunan Kabur Intuisionistik atas E. Himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik ( IFPS-set) Ψ K atas U adalah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi f X yang disajikan dalam bentuk pasangan terurut. Ψ K = {[(x, α K (x), β K (x)), f K (x))] : x E}, α K : E [0.1], β K : E [0.1] dan f K : E P (U), dengan sifat f K (x) = jika α K (x) = 0 dan β K (x) = 1. Fungsi α K adalah fungsi keanggotaan dan β K adalah fungsi bukan keanggotaan dari himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik. Sedangkan nilai dari α K (x) dan β K (x) adalah derajat penting dan derajat tidak penting dari parameter x. Himpunan semua IFPS-set atas U dinotasikan dengan IF P S(U). Definisi 2.2. [3] Misal Ψ K IF P S(U). Jika α K (x) = 0 dan β K (x) = 1 untuk setiap x E, maka Ψ K disebut himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik kosong, dinotasikan dengan Ψ. Definisi 2.3. [3] Misal Ψ K IF P S(U). Jika α K (x) = 1, β K (x) = 0 dan f K (x) = U untuk setiap x E, maka Ψ K disebut himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik Semesta, dinotasikan dengan ΨẼ. Definisi 2.4. [3] Ψ K, Ψ L IF P S(U). Ψ K adalah himpunan Bagian Lembut Berparamater Kabur Intuisionistik dari Ψ L, dinotasikan dengan Ψ K Ψ L, jika dan hanya jika α K (x) α L (x), β K (x) β L (x) dan f K (x) f L (x) untuk semua x E.

4 Himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik 89 Catatan 2.5. [3] Ψ K Ψ L tidak mengakibatkan bahwa setiap anggota dari Ψ K anggota dari dari Ψ L sebagaimana terdapat pada definisi himpunan bagian klasik. Sebagai contoh, asumsikan bahwa U = {u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 } adalah himpunan semesta dari objek dan E = {x 1, x 2, x 3 } adalah himpunan semua parameter. Jika K = {x 1, 0.4, 0.6}, L = {(x 1, 0.5, 0.5), (x 3, 0.4, 0.5)}, Ψ K = {[x 1, 0.4, 0.6), {u 1, u 4 }]}, Ψ L = {[(x 1, 0.5, 0.5), {u 2, u 3, u 4 }], [(x 3, 0.4, 0.5), {u 1, u 5 }]}, maka untuk semua x E, berlaku α K (x) α L (x), β K (x) β L (x), dan f k (x) f L (x). Sehingga, Ψ K Ψ L. Jelas bahwa [(0.4, 0.6), {u 1, u 4 }] Ψ K, tetapi [(0.4, 0.6), {u 1, u 4 }] Ψ L. Proposisi 2.6. [3] Misalkan Ψ K, Ψ L IF P S(U). maka (1) Ψ K ΨẼ. (2) Ψ Ψ K. (3) Ψ K Ψ K. Definisi 2.7. [3] Misalkan Ψ K, Ψ L IF P S(U), maka Ψ K dan Ψ L adalah himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik sama, ditulis dengan Ψ K = Ψ L, jika dan hanya jika α K (x) = α L (x), β K (x) = β L (x) dan f K (x) = f L (x) untuk setiap x E. Proposisi 2.8. [3] Misalkan Ψ K, Ψ L, Ψ M IF P S(U). Maka (1) Ψ K = Ψ L dan Ψ L = Ψ M Ψ K = Ψ M. (2) Ψ K Ψ L dan Ψ L Ψ K Ψ K = Ψ L. (3) Ψ K Ψ L dan Ψ L Ψ M Ψ K Ψ M. Definisi 2.9. [3] Misalkan Ψ K IF P S(U), maka komplemen dari Ψ K, dinotasikan dengan Ψ c K, adalah himpunan Lembut Berparameter Kabur intuisionistik yang didefinisikan dengan f K c(x) = U \ f K (x). Ψ c K = {[(x, β K (x), α K (x)), f K c(x)] : x E}, Proposisi [3] Misalkan Ψ K IF P S(U). Maka (1) (Ψ c K )c = Ψ K. (2) Ψ c = Ψ Ẽ. (3) Ψ c Ẽ = Ψ. Definisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L IF P S(U). Gabungan dari Ψ K dan Ψ L yang dinotasikan dengan Ψ K Ψ L, didefinisikan sebagai berikut. Ψ K Ψ L = {[(x, max(α K (x), α L (x)), min(β K (x), β L (x))), f K L (x)] : x E}, f K L = f K (x) f L (x). Proposisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L, Ψ M IF P S(U). Maka

5 90 Roni Hapiz (1) Ψ K Ψ K = Ψ K. (2) Ψ K Ψ = Ψ K. (3) Ψ K ΨẼ = ΨẼ. (4) Ψ K Ψ L = Ψ L Ψ K. (5) (Ψ K Ψ L ) Ψ M = Ψ K (Ψ L Ψ M ). Definisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L IF P S(U). Irisan dari Ψ K dinotasikan dengan Ψ K Ψ L, didefinisikan sebagai berikut. dan Ψ L yang Ψ K Ψ L = {[(x, min(α K (x), α L (x)), max(β K (x), β L (x))), f K L (x)] : x E}, f K L = f K (x) f L (x). Proposisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L, Ψ M IF P S(U). Maka (1) Ψ K Ψ K = Ψ K. (2) Ψ K Ψ = Ψ. (3) Ψ K ΨẼ = Ψ K. (4) Ψ K Ψ L = Ψ L Ψ K. (5) (Ψ K Ψ L ) Ψ M = Ψ K (Ψ L Ψ M ). Catatan Misalkan Ψ K IF P S(U). Jika Ψ K Ψ atau Ψ K ΨẼ, maka Ψ K Ψ c K Ψ Ẽ dan Ψ K Ψ c K Ψ. Proposisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L, Ψ M IF P S(U). Maka (1) Ψ K (Ψ L Ψ M ) = (Ψ K Ψ L ) (Ψ K Ψ M ) (2) Ψ K (Ψ L Ψ M ) = (Ψ K Ψ L ) (Ψ K Ψ M ) Proposisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L IF P S(U). maka (1) (Ψ K Ψ L ) c = Ψ c K Ψ c L. (2) (Ψ K Ψ L ) c = Ψ c K Ψ c L. Definisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L IF P S(U). Maka OR-sum dari Ψ K dan Ψ L yang dinotasikan dengan Ψ K + Ψ L didefinisikan oleh Ψ K + Ψ L = {(x, α K (x) + α L (x) α K (x)α L (x), β K (x)β L (x), f K L (x)) : x E}, f (K L) (x) = f K (x) f L (x). Definisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L IF P S(U). Maka AND-sum dari Ψ K dan Ψ L yang dinotasikan dengan Ψ K + Ψ L didefinisikan oleh Ψ K + Ψ L = {(x, α K (x) + α L (x) α K (x)α L (x), β K (x)β L (x), f K L (x)) : x E}, f K L (x) = f K (x) f L (x). Proposisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L, Ψ M IF P S(U) (1) Ψ K + Ψ = Ψ K. (2) Ψ K + ΨẼ = ΨẼ. (3) Ψ K + Ψ L = Ψ L + Ψ K.

6 (4) Ψ K + Ψ L = Ψ L + Ψ K. (5) (Ψ K + Ψ L ) + Ψ M = Ψ K + (Ψ L + Ψ M ). (6) (Ψ K + Ψ L ) + Ψ M = Ψ K + (Ψ L + Ψ M ). Himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik 91 Definisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L IF P S(U). Maka OR-product dari Ψ K dan Ψ L, dinotasikan dengan Ψ K Ψ L didefinisikan oleh Ψ K Ψ L = {(x, α K (x)α L (x), β K (x) + β L (x) β K (x)β L (x), f K L (x)) x E}, f K L (x) = f K (x) f L (x). Definisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L IF P S(U). Maka AND-product dari Ψ K dan Ψ L yang dinotasikan dengan Ψ K Ψ L didefinisikan oleh Ψ K Ψ L = {(x, α K (x)α L (x), β K (x) + β L (x) β K (x)β L (x)), f K L (x)) : x E} f K L (x) = f K (x) f L (x). Proposisi [3] Misalkan Ψ K, Ψ L, Ψ M IF P S(U) (1) Ψ K Ψ = Ψ. (2) Ψ K ΨẼ = Ψ K. (3) Ψ K Ψ L = Ψ L Ψ K. (4) Ψ K Ψ L = Ψ L Ψ K. (5) (Ψ K Ψ L ) Ψ M = Ψ K (Ψ L Ψ M ). (6) (Ψ K Ψ L ) Ψ M = Ψ K (Ψ L Ψ M ). 3. Algoritma Pengambilan Keputusan Menggunakan Konsep IFPS-set Algoritma metode pengambilan keputusan berdasarkan konsep IFPS-set disusun berdasarkan definisi-definisi berikut. Definisi 3.1. [3] Misalkan Ψ K = {[(x, α K (x), β K (x), f K (x) : x E} adalah himpunan Lembut Berparameter Kabur intuisionistik (IFPS (U)). Maka, sebuah penurunan himpunan kabur intuisionistik dari Ψ K, dinotasikan dengan K rif, didefinisikan sebegai berikut: dengan K rif = {(u, α Krif (u), β Krif (u)) : u U}, α Krif (u) : U [0, 1], α Krif (u) = 1 U β Krif (u) : U [0, 1], β Krif (u) = 1 U χ fk (x)(u) = x E,u U x E,u U { 1, untuk u fk (x), 0, untuk u f K (x). α K (x)χ fk (x)(u), β K (x)χ fk (x)(u), Fungsi α Krif dan β Krif disebut operator dari K rif. Jelas bahwa K rif adalah sebuah himpunan kabur intuisionistik atas U.

7 92 Roni Hapiz Definisi 3.2. [3] Misalkan himpunan Ψ K adalah himpunan Lembut Berparameter Kabur intuisionistik ( IFPS (U)) dan K rif adalah penurunan himpunan Kabur Intuisionistik dari Ψ K. Suatu penurunan himpunan Kabur dari K rif adalah himpunan kabur atas U, yang dinotasikan dengan K rf, didefinisikan sebagai berikut. K rf = {µ Krf (u)/u u U}, µ Krf : U [0, 1], µ Krf (u) = α Krif (u)(1 β Krif (u)). Selanjutnya dikonstruksikan suatu metode pengambilan keputusan lembut berparameter kabur intuisionistik (IFPS Method) dengan algoritma berikut untuk menghasilkan himpunan kabur dari suatu himpunan crisp alternatif. (1) Mengkonstruksi himpunan kabur intuisionistik K yang mungkin atas himpunan parameter-parameter E. (2) Mengkonstruksi suatu himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik Ψ K. (3) Hitunglah penurunan himpunan Kabur Intuisionistik K rif dari Ψ K. (4) Hitunglah penurunan himpunan Kabur K rf dari K rif. (5) Pilihlah elemen dari K rf yang memiliki derajat keanggotaan maksimum. 4. Pengaplikasian IFPS Method pada Pemilihan Karyawan Perusahan Misalkan bahwa pada sebuah perusahaan terdapat satu posisi/jabatan yang kosong. Lima kandidat telah mengajukan lamaran untuk mengisi posisi tersebut. Seorang pengambil keputusan (Decision Maker) dari Departemen Sumber Daya Manusia menggunakan IFPS Method untuk memilih kandidat yang cocok pada posisi tersebut. Asumsikan bahwa himpunan para kandidat U = {u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 }, kriteria penilaiannya direpresentasikan sebagai himpunan parameter E = {x 1, x 2, x 3, x 4 }, dengan x 1 = pengalaman kerja, x 2 = Pengusaan Teknik Informasi, x 3 = Pelatihan yang pernah diikuti. Langkah-langkah penyelesaiannya diberikan dalam algoritma berikut. (1) Asumsikan bahwa pengambil keputusan menentukan faktor-faktor yang dipertimbangkan untuk memilih kandidat yang tepat dan mengkonstruksi himpunan kabur intuisionistik atas himpunan parameter-parameter E berikut. K = {(x 1, 0.7, 0.3), (x 2, 0.2, 0.5), (x 3, 0.5, 0.5)}. (2) Pengambil keputusan mengkonstruksi himpunan Lembut Berparameter Kabur intuisionistik Ψ K atas himpunan U. Himpunan ini menjelaskan tentang kandidat-kandidat mana saja yang memenuhi kriteria dari parameterparameter yang telah ditetapkan sebagai berikut. Ψ K = {[(x 1, 0.7, 0.3), {u 1, u 2, u 4 }], [(x 2, 0.2, 0.5), U], [(x 3, 0.5, 0.5), {u 1, u 2, u 4 }]}.

8 Himpunan Lembut Berparameter Kabur Intuisionistik 93 (3) Pengambil keputusan menghitung penurunan himpunan kabur intuisionistik K rif atas Ψ K, berdasarkan Definisi 3.1 maka diperoleh hasilnya sebagai berikut. K rif = {(u 1, 0.47, 0.43), (u 2, 0.40, 0.43), (u 3, 0.06, 0.16), (u 4, 0.33, 0.43), (u 5, 0.06, 0.17)}. (4) Pengambil keputusan menghitung penurunan himpunan kabur K rf dari K rif, berdasarkan Definisi 3.2 maka diperoleh hasilnya sebagai berikut: K rf = {0.2021/u 1, /u 2, /u 3, /u 4, /u 5 }. (5) Akhirnya, berdasarkan K rf pengambil keputusan memilih u 2 untuk menempati posisi tersebut karena dia yang memiliki derajat maksimum yaitu diantara kandidat-kandidat yang lain. 5. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Admi Nazra, Ibu Dr. Yanita, Ibu Dr. Ferra Yanuar, Ibu Dr. Susila Bahri dan Bapak Dr. Jenizon yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [1] Cagman. N. Enginoglu. S. Citak, F Fuzzy Soft Set Theory and Its Application. J. Fuzzy Syst. Iran 8(3) : [2] Cagman. N. Enginoglu. S. Erdogan. F Fuzzy Parameterized Soft Sets Theory and Its Application. Ann Fuzzy Math Inform. : [3] Deli. Irfan. Cagman. N Intuitionistic Fuzzy Parameterized Soft Sets and Its Decision Making. Appl. Soft Comp. 28 : [4] Maji. P. K. Biswas. R. Roy. A. R Soft Set Theory. Comput. Math. Appl. 45 : [5] Molodtsov. D. A Soft Set Theory, First Result. Comput. Math. Appl. 37 : [6] Zadeh. L. A Fuzzy sets. Information and Control 8 :