PEMODELAN SIRPS UNTUK PENYAKIT INFLUENZA DENGAN VAKSINASI PADA POPULASI KONSTAN

Transkripsi

1 PEMODELAN SIRPS UNTUK PENYAKIT INFLUENZA DENGAN VAKSINASI PADA POPULASI KONSTAN skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Ardian Dwi Anggoro JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2013

2 LEMBAR PENGESAHAN Skripsi yang berjudul Pemodelan SIRPS untuk Penyakit Influenza dengan Vaksinasi pada Populasi Konstan disusun oleh Ardian Dwi Anggoro telah dipertahankan di hadapan sidang panitia ujian Skripsi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada: Hari : Tanggal : Ketua, Panitia Ujian Sekertaris, Prof. Dr. Wiyanto, M.Si NIP Drs. Arief Agoestanto, M.Si NIP Ketua Penguji Drs. Moch Chotim, M.S NIP Anggota Penguji/ Pembimbing I Anggota Penguji/ Pembimbing II Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc. NIP Drs. Supriyono, M.Si. NIP ii

3 PERNYATAAN Saya menyatakan bahwa dalam isi skripsi ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dirujuk dalam skripsi ini dan disebutkan dalam daftar pustaka. Semarang, Maret 2013 Ardian Dwi Anggoro NIM iii

4 MOTTO DAN PERSEMBAHAN MOTTO Hanya kepada Engkaulah kami menyembah dan hanya kepada Engakaulah kami mohon pertolongan (Al Fatihah : 5). Barang siapa yang mempermudah urusan orang lain, maka Allah SWT akan mempermudah urusan kita di akhirat. Satu langkah lebih berarti dari pada hanya diam. Allah lebih tahu apa yang terbaik untuk kita. PERSEMBAHAN Untuk Allah SWT yang telah mengabulkan doaku. Untuk kedua Orang tuaku yang selalu memberikan kasih sayang, dukungan dan semangat Untuk Mamas Nurul dan mba lilies yang selama ini memberikan semangat dan dukungan Untuk Teman-teman Matematika 08 yang menemaniku dalam berjuang menghadapi semua tantangan dan rintangan Para pejuang The kontrakan gang imam bonjol (alm.hari, Aliep, peri, simbah, surip, mbleteng, kang eri, barokokok) Semua pihak yang telah menginspirasi, memotivasi dan membantuku dalam karya ini Untuk Almamaterku. iv

5 KATA PENGANTAR Puji syukur ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul Pemodelan SIRPS untuk Penyakit Influenza dengan Vaksinasi pada Populasi Konstan. Penulisan skripsi ini sebagai syarat mutlak yang harus dipenuhi oleh penulis untuk memperoleh gelar sarjana sains di Universitas Negeri Semarang. Penulisan skripsi ini dapat terselesaikan karena adanya bimbingan, bantuan, dan dukungan dari berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Prof. Dr. H. Sudijono Sastroatmodjo, M.Si, Rektor Universitas Negeri Semarang. 2. Prof. Dr. Wiyanto, M.Si, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang. 3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang. 4. Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc, Pembimbing Utama yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan pengarahan. 5. Drs. Supriyono, M.Si, Pembimbing Pendamping yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan pengarahan. 6. Drs. Moch Chotim, M.S, Dosen Penguji Utama yang telah memberikan inspirasi, kritik, saran, dan motivasi kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi. 7. Bapak dan Ibu serta keluarga tercinta yang senantiasa mendoakan serta memberikan dukungan baik secara moral maupun spiritual. v

6 8. Mas nurul, mba lilies, dan mba lia yang selama ini memberikan dukungan, semangat serta inspirasi untuk penulis. 9. Sahabat-sahabat saya di The Kontrakan (alm.hari, allief, feri, yanuar, surip, candra, eri, dan legenda) yang telah memberikan banyak motivasi, kritik, usulan yang menjadikan terselesaikannya penulisan skripsi ini. 10. Mahasiswa matematika angkatan 2008 yang telah memberikan dorongan dan motivasi. 11. Semua pihak yang telah membantu terselesaikannya penulisan skripsi ini. Penulis sadar dengan apa yang telah disusun dan disampaikan masih banyak kekurangan dan jauh dari sempurna. Untuk itu penulis menerima segala kritik dan saran yang sifatnya membangun untuk skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Semarang, Maret 2013 Penulis vi

7 ABSTRAK Anggoro, Ardian Pemodelan SIRPS untuk Penyakit Influenza dengan Vaksinasi pada Populasi Konstan. Skripsi, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang. Pembimbing Utama Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc. dan Pembimbing Pendamping Drs. Supriyono, M.Si. Kata kunci: Influenza, model SIRPS, titik kesetimbangan, dan vaksinasi. Skripsi ini membahas model matematika untuk penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi. Model matematika yang digunakan berupa model SIRPS dengan laju kelahiran diasumsikan sama dengan laju kematian. Permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini adalah bagaimana menurunkan model SIRPS pada penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi, bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan pada penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi, bagaimana simulasi model dan interpretasi perilaku model pada penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi menggunakan program Maple 12. Metode yang digunakan untuk menganalisis masalah adalah dengan studi pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan adalah menentukan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, analisis pemecahan masalah, dan penarikan kesimpulan. Sebagai hasil penelitian, model yang diperoleh adalah ds = μ + ep μs βqsi (1 q)s dt di = βqsi μi ci dt dr = ci + (1 q)s μr δr dt dp = δr μp ep dt Dari model tersebut diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Analisis yang dilakukan diperoleh angka rasio reproduksi dasar R = βq (μ+c)(+) Setelah dianalisis kestabilan pada titik kesetimbangan, titik kesetimbangan bebas penyakit akan stabil asimtotis untuk R < < 1. Sedangkan titik kesetimbangan R 0 endemik akan stabil asimtotis untuk 1. Selanjutnya, untuk mengilustrasikan model tersebut maka dilakukan simulasi model dengan menggunakan program Maple 12. Untuk nilai 1 q < 0.36 maka penyakit masih mewabah atau tidak akan menghilang dan untuk nilai 1 q 0.36 maka penyakit tidak akan meluas dalam artian minimal ada 36% yang divaksinasi dari seluruh individu yang rentan jika ingi penyakit influenza menghilang. vii

8 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... HALAMAN PENGESAHAN... PERNYATAAN... MOTTO DAN PERSEMBAHAN... KATA PENGANTAR... ABSTRAK... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPIRAN... i ii iii iv v vii viii xi xii xiii BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat Sistematika Penulisan... 7 BAB 2 LANDASAN TEORI Influenza Pemodelan Matematika Pendekatan pada Pemodelan Matematika viii

9 2.4 Tahapan Pemodelan Persamaan Differensial Persamaan Differensial Linear dan Tak Linear Solusi Persamaan Differensial Titik Kesetimbangan Nilai Eigen dan Vaktor Eigen Kestabilan Titik Tetap Kriteria Routh-Hurwitz Maple BAB 3 METODE PENELITIAN Menentukan Masalah Merumuskan Masalah Studi Pustaka Analisis dan Pemecahan Masalah Penarikan Kesimpulan BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Model Matematika untuk Penyebaran Penyakit Influenza Pembentukan Model Matematika Titik Kesetimbangan Angka Rasio Reproduksi Dasar Analisis Kestabilan Simulasi Model ix

10 BAB 5 PENUTUP Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN x

11 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1. Bagan Alur Penyelesaian Masalah Gambar 4.1. Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Influenza Gambar 2.2. Tipe kestabilan dari titik kesetimbangan Gambar 4.1. Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Influenza dengan Vaksinasi Gambar 4.2. Proporsi individu susceptibles (hitam), infectious (biru), recovered (merah) dan partial immunity class (hijau) Gambar 4.3. Proporsi individu infectious untuk q = 1, q = 0.9, q = 0.8, dan q = Gambar 4.4. Proporsi individu infectious untuk q = 0.6, q = 0.5, q = 0.4, dan q = xi

12 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4.1. Daftar Variabel-variabel Tabel 4.2. Daftar Parameter-parameter Tabel 4.3. Nilai Parameter untuk Simulasi Model Tabel 4.4. Nilai Parameter untuk R > Tabel 4.5. Titik kesetimbangan dan rasio reproduksi dasar untuk q = 1, q = 0.9, q = 0.8, dan q = Tabel 4.6. Nilai-nilai 1 q untuk perubahan kondisi R 0 saat β = Tabel 4.7. Nilai-nilai 1 q untuk perubahan kondisi R 0 saat β = Tabel 4.8. Nilai-nilai 1 q untuk perubahan kondisi R 0 saat β = xii

13 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Print Out Maple Model Epidemi SIRPS Tanpa Vaksinasi Lampiran 2. Print Out Maple Model Epidemi SIRPS denganvaksinasi xiii

14 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perkembangan dan kemajuan dunia modern saat ini tidak bisa dipisahkan dari matematika. Hampir seluruh aktivitas manusia berkaitan dengan matematika. Matematika digunakan sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu pengetahuan alam, rekayasa medis dan ilmu pengetahuan sosial seperti ekonomi dan psikologi. Penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari nampak pada pengembangan aplikasi matematika pada seluruh aspek kehidupan manusia. Selain itu, matematika terapan berperan sebagai ilmu pengetahuan pembantu yang sangat penting bagi ilmu pengetahuan lainnya, terutama bagi ilmu pengetahuan sosial dan ekonomi. Peran matematika pada masalah kehidupan sehari-hari maupun pada ilmu-ilmu lain disajikan dalam pemodelan matematika. Representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan matematika dikenal sebagai model matematika. Model matematika digunakan dalam banyak disiplin ilmu dan bidang studi yang berbeda (Widowati dan Sutimin, 2007:1). Salah satu cabang dari ilmu matematika modern yang penting dan mempunyai cakupan wilayah penelitian yang luas adalah persamaan diferensial. Persamaan diferensial merupakan cabang dari matematika yang cukup strategis karena berkaitan dengan bagian-bagian sentral dalam Analisis, Aljabar, Geometris 1

15 2 dan lainnya yang akan sangat berperan dalam pengenalan konsep maupun pemecahan masalah yang berkaitan dengan dunia nyata. Kebanyakan masalahmasalah yang muncul di dalam persamaan diferensial adalah bagaimana menemukan solusi eksak (analitik) dari model-model matematika yang diperoleh dari masalah nyata (Waluya, 2006:1). Persaamaan diferensial seringkali muncul dalam model-model matematik yang menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan hipotesa-hipotesa dapat diterjemahkan ke dalam persamaan yang mengandung turunan melalui bahasa matematik. Salah satu masalah yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial yaitu penyebaran penyakit Influenza. Influenza merupakan suatu penyakit infeksi saluran pernapasan.influenza lebih dikenal dengan sebutan flu, yang disebabkan oleh virus RNA dari famili Orthomyxoviridae (virus influenza), yang menyerang unggas dan mamalia. Gejala yang paling umum dari penyakit ini adalah menggigil, demam, nyeri tenggorokan, nyeri otot, sakit kepala, batuk, dan rasa tidak nyaman. Dalam Casagrandi dkk (2006) disebutkan bahwa virus yang menyebabkan epidemi flu dapat dibedakan dalam tiga tipe berbeda yaitu tipe A, B, dan C. Virus tipe A secara epidemiologi sangat berpengaruh terhadap kehidupan manusia karena dapat menggabungkan gen-gennya dengan strain-strain virus yang beredar di populasi binatang seperti burung, babi, dan kuda. Contoh epidemi flu yang disebabkan oleh virus tipe A adalah epidemi flu burung dan epidemi flu babi. Virus tipe A mempunyai kemampuan untuk bermutasi atau menghasilkan strainstrain baru sehingga manusia yang sudah sembuh dari epidemi flu mempunyai kemungkinan untuk tertular lagi.

16 3 Salah satu usaha yang dilakukan untuk menanggulangi wabah ini adalah dengan melakukan vaksinasi. Vaksinasi dilakukan terhadap orang yang belum terkena influenza. Dalam Carman dkk (2000) disebutkan bahwa vaksinasi memberikan konstribusi besar dalam penurunan jumlah pasien flu. Dalam Govaert dkk (1994) disebutkan bahwa ada penurunan pasien flu pada orang dewasa setelah dilakukan vaksinasi. Kwong dkk (2009) menyatakan bahwa vaksinasi mempunyai potensi yang lebih tinggi dalam mengurangi jumlah penderita flu dibandingkan dengan penggunaan antibiotik. Potter dkk (1997) juga menyatakan bahwa vaksinasi direkomendasikan sebagai salah satu strategi untuk mencegah wabah influenza pada orang usia lanjut dalam jangka waktu yang panjang. Dalam Bridges dkk (2000) dinyatakan bahwa vaksinasi pada orang usia produktif (< 65 tahun) dapat mengurangi tingkat penularan influenza (jumlah penderita flu). Dalam Nichol dkk (2003) disebutkan bahwa pada orang tua, vaksinasi terhadap influenza dikaitkan dengan penurunan risiko rawat inap untuk penyakit jantung, penyakit serebrovaskular, dan pneumonia atau influenza serta resiko kematian dari semua penyebab selama musim influenza. Temuan ini menyoroti manfaat dari upaya vaksinasi dan dukungan untuk meningkatkan tingkat vaksinasi di kalangan orang tua. Model matematika digunakan untuk mempelajari tingkah laku epidemi terkait bilamanakah epidemi tersebut mewabah atau meluas dan bilamanakah epidemi tersebut hilang. Model matematika juga digunakan untuk memprediksi apakah suatu epidemi yang terjadi meluas atau hilang untuk beberapa waktu ke depan. Hasil yang diperoleh dari model tersebut dapat digunakan sebagai bahan

17 4 pertimbangan dalam pengambilan keputusan oleh pihak-pihak yang berkepentingan. Pembentukan model epidemi SIRPS didasari oleh adanya penyakit menular dengan adanya virus baru yg masuk yang kebal terhadap vaksinasi. Misal, populasi yang diberikan dibagi ke dalam empat kelas, yakni kelas populasi rentan (susceptibles), kelas populasi terinfeksi (infectious), kelas individu yang tidak kebal terhadap virus baru (partial immunity class), dan kelas populasi kebal penyakit (recovered). Dengan N(t) merupakan populasi fungsi terhadap waktu (t), atau dapat ditulis: N(t) = S(t) + I(t) + R(t) + P(t) Pada populasi, penyebaran penyakit menular model dinamik SIRPS (Susceptible > Infected > Recovered > Partial Immunity class > Susceptible). Model SIRPS ini menggambarkan bahwa individu yang rentan terserang penyakit menjadi individu yang terinfeksi penyakit, kemudian sembuh dengan kekebalan sementara terhadap penyakit tersebut,setelah itu ada virus baru yang masuk dan kebal terhadap vaksin, karena kekebalan tersebut menghilang, mengakibatkan individu yang rentan terserang penyakit tersebut kembali terinfeksi penyakit yang sama. Keberadaan suatu alat bantu untuk mempermudah menentukan solusi atau penyelesaian suatu persamaan diferensial secara cepat dan tepat sangat diperlukan. Dewasa ini perkembangan teknologi komputer dan perangkat lunaknya dirasakan sangat pesat khususnya di bidang pendidikan. Salah satu kegunaannya adalah sebagai alat bantu dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan

18 5 matematika. Salah satunya perangkat lunak (hardware) berbasis matematika yang dikembangkan untuk kepentingan sistem komputer aljabar adalah Maple. Maple banyak digunakan oleh para ilmuwan untuk membantu menyelesaikan permasalahan-permasalahan matematika, karena merupakan perangkat lunak yang lengakap dan komunikatif. Persoalan yang dapat diselesaikan dengan Maple merupakan persoalan matematika murni, seperti aljabar, geometri, statistika, dan persamaan diferensial. Berdasarkan latar belakang di atas, pada skripsi ini penulis mengangkat judul Pemodelan SIRPS untuk Penyakit Influenza dengan Vaksinasi pada Populasi Konstan. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis merumuskan beberapa permasalahan sebagai berikut : (1) Bagaimana model matematika SIRPS pada penyakit influensza dengan vaksinasi pada populasi konstan? (2) Bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan? (3) Bagaimana simulasi model dan interpretasi perilaku model pada penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi menggunakan program Maple? (4) Bagaimana menentukan proporsi vaksinasi minimum?

19 6 1.3 Batasan Masalah Pada penulisan ini, permasalahan dibatasi dengan laju kelahiran yang terjadi dalam populasi diasumsikan sama dengan laju kematian, Jumlah populasi diasumsikan selalu konstan, analisa kestabilan terhadap endemik dilakukan saat e = 0 artinya diasumsikan masa wabah lebih pendek dari masa kehilangan kekebalan, dan program yang digunakan software maple Tujuan Tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai beikut. (1) Menentukan model matematika SIRPS pada penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasipada populasi konstan. (2) Mengetahui titik kesetimbangan dan analisis kestabilan penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasipada populasi konstan. (3) Mengatahui simulasi model penyakit influenza dengan vaksinasi menggunakan maple 12. (4) Mengetahui proporsi vaksinasi minimum penyakit influenza. 1.5 Manfaat Manfaat yang diharapkan dari penyusunan skripsi ini adalah sebagai berikut. (1) Bagi Peneliti Peneliti dapat mengetahui pemodelan matematika SIRPS penyakit influenza dengan vaksinasipada populasi konstan.

20 7 (2) Bagi pihak lain Dengan adanya penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangsih kepada mahasiswa untuk melakukan penelitian selanjutnya. 1.6 Sistematika Penyusunan Skripsi Penulisan skripsi disusun dalam tiga bagian utama, yaitu bagian awal, bagian inti, dan bagian akhir skripsi Bagian Awal Skripsi Bagian awal skripsi terdiri dari halaman sampul, halaman judul, halaman pernyataan, pengesahan, motto dan persembahan, kata pengantar, abstrak, daftar isi, daftar gambar,daftar tabel, dan daftar lampiran Bagian Inti Skripsi Bagian inti skripsi dibagi menjadi lima bab yaitu: BAB 1: PENDAHULUAN Bab ini memuat gambaran singkat tentang isi skripsi dan membahas tentang latar belakang, permasalahan, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaatpenelitian, dan sistematika penulisan skripsi. BAB II: TINJAUAN PUSTAKA Tinjauan pustaka berisi mengenai teori-teori yang mendukung dan berkaitan dengan pembahasan skripsi sehingga dapat membantu penulis maupun pembaca dalam memahami isi skripsi. Bab ini terdiri dari pengertian penyakit influenza,

21 8 persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik ekuilibrium, vektor eigen dan nilai eigen, dan Kriteria Routh- Hurwitz. BAB III: METODE PENELITIAN Metode penelitian berisi tentang proses atau langkah penulisan. Bab ini meliputi menentukan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, analisis pemecahan masalah, dan penarikan simpulan. BAB IV :HASIL DAN PEMBAHASAN Padabab ini berisi permodelan penyebaran penyakit influenza pada populasi konstan, analisa model yang meliputi titik setimbang, angka rasio reproduksi dasar, analisa kastabilan, simulasi model dengan menggunkan Maple. BAB V: PENUTUP Bab ini berisi tentang simpulan dan saran yang diperoleh dari pembahasan Bagian Akhir Skripsi Bagian akhir skripsi berisi daftar pustaka sebagai acuan untuk memberikan informasi tentang buku dan literatur lain yang digunakan dalam penulisan skripsi serta lampiran yang mendukung kelengkapan skripsi.

22 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Influenza Influenza merupakan suatu penyakit infeksi saluran pernapasan.influenza lebih dikenal dengan sebutan flu, yang disebabkan oleh virus RNA dari famili Orthomyxoviridae (virus influenza), yang menyerang unggas dan mamalia. Pada tahun 412 SM, penyakit influenza telah tercatat sebanyak 31 kali menjadi pandemi (wabah dunia). Khususnya pada abad yang lalu berlangsung pada tahun 1918, 1957, dan Meskipun penyakit flu ini kelihatannya ringan namun jumlah mereka yang meninggal pada waktu pandemi bisa mencapai ratusan ribu orang. Sebagai ilustrasi, sewaktu terjadi pandemik influenza pada tahun 1918, banyaknya orang yang meninggal karena flu lebih banyak dari banyak kematian pada Perang Dunia I. Pada tahun nonpandemik, kematian karena flu bisa mencapai hingga orang per tahun, banyaknya itu meningkat hingga lebih dari orang pada tahun pandemik (Tapan, 2004:1). Pada tahun 2009 merebak epidemi flu burung kemudian diikuti epidemi flu babi. Epidemi flu tersebut menyebabkan beberapa kasus kematian dan banyak manusia yang masuk ke rumah sakit lihat Jansen dkk (2007) dan Yang dkk (2009). Epidemi flu burung disebabkan oleh strain (turunan) virus H5N1 dan epidemi flu babi disebabkan oleh strain virus H1N1. Gejala yang ditimbulkan mirip dengan flu musiman yang disebabkan oleh strain virus H3N2. 9

23 Penularan dan gejala influenza Shedding virus influenza (waktu di mana seseorang dapat menularkan virus pada orang lain) dimulai satu hari sebelum gejala muncul dan virus akan dilepaskan selama antara 5 sampai 7 hari, walaupun sebagian orang mungkin melepaskan virus selama periode yang lebih lama. Orang yang tertular influenza paling infektif pada hari kedua dan ketiga setelah infeksi. Jumlah virus yang dilepaskan nampaknya berhubungan dengan demam, jumlah virus yang dilepaskan lebih besar saat temperaturnya lebih tinggi. Anak-anak jauh lebih infeksius dibandingkan orang dewasa dan mereka melepaskan virus sebelum mereka mengalami gejala hingga dua minggu setelah infeksi. influenza dapat disebarkan dalam tiga cara utama yaitu melalui penularan langsung (saat orang yang terinfeksi bersin, terdapat lendir hidung yang masuk secara langsung pada mata, hidung, dan mulut dari orang lain); melalui udara (saat seseorang menghirup aerosol (butiran cairan kecil dalam udara) yang dihasilkan saat orang yang terinfeksi batuk, bersin, atau meludah), dan melalui penularan tangan-ke-mata, tangan-ke-hidung, atau tangan-ke-mulut, baik dari permukaan yang terkontaminasi atau dari kontak personal langsung seperti bersalaman.

24 Pemodelan Matematika Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk mempresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem pada dunia real dalam pernyataan matematik, sehingga diperoleh pemahaman dari dunia real ini menjadi lebih tepat. Representasi matematika yang dihasilkan dari proses ini dikenal sebagai model matematika. Kontruksi, analisis dan penggunaan model matematika dipandang sebagai salah satu aplikasi matematika yang paling penting. Model matematika digunakan dalam banyak disiplin ilmu dan bidang studi yang berbeda. Kita dapat mencari aplikasi model matematika di bidangbidang seperti fisika, ilmu biologi dan kedokteran, teknik, ilmu sosial dan politik, ekonomi, bisnis dan keuangan, juga problem-problem jaringan komputer. Bidang dan tipe aplikasi yang berbeda menghendaki bidang-bidang matematika yang berbeda (Widowati dan Sutimin, 2007:1). 2.3 Pendekatan pada Pemodelan Matematika Perlu diketahui bahwa terdapat perbedaan pendekatan pemodelan matematika dalam memformulasikan model matematika. Terdapat beberapa jenisjenis model matematika yang meliputi model empiris, model simulasi, model stokastik dan deterministik. a. Model Empiris Pada model empiris, data yang berhubungan dengan problem menentukan peran yang penting. Dalam pendekatan ini, gagasan yang utama adalah mengkonstruksi formula (persamaan) matematika yang dapat menghasilkan grafik yang terbaik untuk mencocokan data.

25 12 b. Model Simulasi Dalam pendekatan ini program komputer dituliskan didasarkan aturanaturan. Aturan-aturan ini dipercaya untuk membentuk bagaimana suatu proses atau fenomena akan berjalan terhadap waktu dalam kehidupan nyata. Program komputer ini dijalankan terhadap waktu sehingga implikasi interaksi dari berbagai variabel dan komponen yang dikaji dan diuji. c. Model Deterministik dan Stokastik Model deterministik meliputi penggunaan persamaan atau himpunan persamaan untuk merepresentasikan hubungan antara berbagai komponen (variabel) suatu sistem atau problem. Misalnya persamaan differensial biasa yang menjelaskan bagaimana suatu kuantitas (yang dinyatakan oleh variabel tak bebas dari persamaan) dan waktu sebagai variabel bebas. Diberikan syarat awal yang sesuai, persamaan differensial dapat diselesaikan untuk memprediksi perilaku sistem model. Dalam model deterministik, variasi random diabaikan. Dengan kata lain persamaan ini digunakan untuk menyatakan problem dunia nyata yang diformulasikan berdasarkan pada hubungan dasar faktor-faktor yang terlibat dalam problem ini (Widowati dan Sutimin, 2007:1-2).

26 Tahapan Pemodelan Tahapan mencari solusi permasalahan kehidupan sehari-hari maupun pada ilmu-ilmu lain dengan menggunakan bantuan matematika diberikan sebagai berikut. 1. Pemodelan matematika untuk menyelesaikan masalah kehidupan seharihari diawali dengan mengenali masalah tersebut terlebih dahulu yaitu melalui beberapa langkah yaitu identifikasi masalah, lambang, satuan dan variabel atau konstanta serta menentukan besaran yang terlibat, selain itu dalam proses penterjemahan masalah selalu terdapat hukum yang mengendalikan. 2. Menentukan variabel atau konstanta yang penting dan merinci keterkaitan antara variabel atau konstanta tersebut sehingga dapat disusun model matematika. Model matematika yang terbentuk harus bebas satuan. 3. Dengan memanfaatkan teori-teori dalam matematika dapat diperoleh solusi model. 4. Dengan menginterpretasikan solusi model ditentukan solusi masalah. Pada proses ini satuan muncul kembali (Nagle, 1993:3).

27 14 Uraian diatas dapat dilihat pada Gambar 1. PEMODELAN MATEMATIKA Identifikasi besaran yang terlibat Pemberian lambang HUKUM YANG MENGENDALIKAN Penentuan satuan Variabel atau Konstanta MASALAH Menterjemahkan MODEL MATEMATIKA Teori Matematika SOLUSI MASALAH Interpretasi SOLUSI MODEL Gambar 2.1. Bagan alur penyelesaian masalah 2.5 Persamaan Differensial Banyak masalah yang sangat penting dalam mesin, ilmu fisika, ilmu sosial dan yang lainnya, ketika memformulakan dalam bentuk matematika mensyaratkan fungsi yang memenuhi persamaan yang memuat satu atau lebih turunan-turunan dari fungsi yang tidak diketahui. Persamaan-persamaan di atas disebut persamaan diferensial. Persamaan diferensial diperoleh berdasarkan pemodelan matematika dari permasalahan yang ada di dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh penerapan matematika pada ilmu fisika. Persamaan diferensial dari hukum Newton II yang timbul karena gejala alam, bahwa massa kali percepatan

28 15 dari suatu benda sama dengan gaya luar yang bekerja pada benda itu. Dituliskan dalam F = m. a. Jika y(t) menyatakan posisi partikel bermassa m pada waktu t dan dengan gaya F, selanjutnya maka didapatkan m d y dy = F t, y, (2.1) dt dt Dimana gaya F mungkin merupakan fungsi dari t, y, dan ke cepatan. Jadi persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari satu atau lebih variabel terikat yang tergantung pada satu atau lebih variabel bebas. Beberapa contoh dari persamaan diferensial: y = 0, 2. y + 2y 6 = = 0, dan = 0. Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dari satu atau lebih variabel terikat yang tergantung pada variabel bebas tunggal disebut persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan diferensial yang memuat turunan parsial dari satu atau lebih variabel terikat yang tergantung pada variabel bebas tidak tunggal adalah persamaan diferensial parsial. Contoh 1 dan 2 adalah persamaan diferensial biasa, sedangkan contoh 3 dan 4 merupakan persamaan diferensial parsial. Order dari persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan. Contoh 1 merupakan persamaan

29 16 diferensial order dua, karena y adalah pangkat terbesar/tertinggi yang muncul pada persamaan. (Waluya, 2006:3). 2.6 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear Persamaan diferensial biasa Ft, y, y,, y () = 0 dikatakan linear jika F dalam variabel-variabel y, y,, y (). Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial sebagian (diferensial parsial). Jadi secara umum persamaan diferensial biasa linear order n diberikan dengan a (t)y () + a (t)y () + + a (t)y () = g(t) (2.2) Persamaan yang tidak dalam bentuk persamaan (2.1) merupakan persamaan tak linear (Waluya, 2006:6). Contoh: 1) t y = 0 ; merupakan persamaan diferensial linear, 2) (1 + y ) + x + 2y = e ; merupakan persamaan diferensial tak linear, karena suku(1 + y )dan 2y. 2.7 Solusi Persamaan Diferensial Perhatikan persamaan diferensial biasa orde n berikut. (t) = ft, (t), (t),, () (t) (2.3) Sebuah solusi dari persamaan (2.3) pada interval terbuka α < t < β adalah sebuah fungsi sedemikian sehingga (t), (t),, () (t) ada dan memenuhi persamaan (2.3) untuk setiap t dalam α < t < β. Asumsikan bahwa fungsi f untuk persamaan (2.3) adalah fungsi bernilai riil dan tertarik untuk mendapatkan solusisolusi yang bernilai riil y = (t) (Waluya, 2006:5).

30 17 Solusi pada persamaan diferensial dibedakan menjadi dua yaitu solusi umum dan solusi khusus. Solusi umum suatu persamaan diferensial adalah solusi yang mengandung sembarang konstan, sedangkan solusi khusus suatu persamaan diferensial adalah solusi yang dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang konstan yang terdapat pada solusi umum. Berikut merupakan solusi persamaan diferensial linear baik order satu mauupun order dua: (1) Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Satu Suatu fungsi y y(x) dinyatakan solusi persamaan diferensial F ( x, y, y) 0 apabila y y(x) atau turunannya yakni y memenuhi persamaan diferensial tersebut. Contoh: y = x + 1 adalah solusi persamaan diferensial y = 2x Demikian pula y x 2 c untuk c adalah konstanta, merupakan solusi persamaan diferensial y 2x. Solusi y x 2 1 disebut solusi khusus dan y x 2 c disebut solusi umum. (2) Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Dua (a) Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen Perhatikan persamaan diferensial yang berbentuk y py qy 0, (2.4) dimana p dan q konstanta-konstanta. Misalkan mx y e merupakan solusi persamaan diferensial (2.4) dengan m memenuhi persamaan tersebut.

31 18 Untuk itu akan dicari m agar mx y e merupakan solusi persamaan diferensial (2.4). Dari mx y e diperoleh mx y me dan y m 2 e mx sehingga jika y, y, y disubstitusikan ke persamaan (2.4) didapat 2 mx mx mx persamaan m e mpe qe 0. Dengan demikian mx y e dikatakan suatu solusi dari persamaan diferensial (2.4), jika m merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat 2 mx m pm q 0. Dan karena e 0, untuk setiap m dan x, maka 2 m pm q 0 (2.5) 2 Persamaan m pm q 0 disebut persamaan karakteristik dari persamaan diferensial (2.4) dan akar-akarnya disebut akar-akar karakteristik. Akar-akarnya adalah 2 b b 4ac m1 dan 2a Dengan a = 1, b = p, c = q. m 2 2 b b 4ac (2.6) 2a Dari perhitungan di atas jelas bahwa m1 x y e 1 dan m2x y2 e merupakan solusi dari persamaan diferensial y py qy 0. Karena a dan b merupakan bilangan real, maka akar-akar dari 2 persamaan karakteristik m pm q 0 terbagi dalam 3 kasus, yaitu: dua akar berbeda, dua akar sama, dan dua akar kompleks. i. Akar real berlainan Bila m 1 dan m 2 dua akar real berbeda maka m x e 1 dan m x e 2 adalah solusi yang bebas linear sehingga m1 x m2x y Ae Be merupakan solusi umum persamaan diferensial (2.3).

32 19 ii. Kedua akar sama 2 Misalkan kedua akar persamaan m pm q 0 sama, yakni m 1 =m 2 =a maka solusi umum persamaan diferensial y py qy 0 adalah y ax ax Ae Bxe. iii. Akar kompleks 2 Misalkan salah satu akar persamaan m pm q 0 adalah m i, maka akar yang lain yakni m i, sehingga solusi 1 umum persamaan diferensial tersebut adalah x y e Acosx Bsin x}. (Rahadian, 2008). (b) Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan solusi persamaan diferensial linear order tak homogen. Antara lain Metode Koefisien Tak Tentu, Metode Variasi Parameter, dan Operator D. Sebuah solusi Y dari persamaan linear tak homogen orde ke-n dengan koefisien konstan dapat diperoleh dengan metode koefisien tak tentu (tebakan) bila g(t) dalam bentuk tertentu. Perhatikan persamaan tak homogen berikut ini: y" + p(t)y + q(t)y = g(t) (2.7) dimana p(t), q(t) dan g(t) adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval I. 2

33 20 Teorema 1 Solusi umum persamaan tak homogen dapat dinyatakan sebagai y = Ø(t) = c y + c y + y(t), dimana y dan y adalah basis dari persamaan homogen, c 1 dan c 2 adalah konstanta-konstanta, dan y(t) adalah penyelesaian khusus dari persamaan tak homogen (Waluya, 2006:77). Teorema ini memberikan langkah-langkah membangun solusi persamaan tak homogen adalah sebagai berikut: (1) Temukan solusi umum persamaan homogennya, (2) Temukan sebuah solusi untuk persamaan tak homogen, (3) Jumlahkan keduanya, dan (4) Temukan c 1 dan c 2 dari kondisi-kondisi awalnya. Jika fungsi tebakan merupakan salah satu dari solusi homogennya, maka fungsi tebakan yang dipilih tak pernah membangun sebuah suku yang memenuhi ruas kanan tak homogen g(t) sehingga fungsi tebakannya harus dikalikan dengan t. Ada beberapa urutan yang relatif mudah untuk menemukan solusi khusus dengan metode koefisien tak tentu, yaitu sebagai berikut: (1) g(t) polinom berderajat n Solusi partikulir y p diandaikan sebagai berikut: a. y = A + A t + A t + + A t apabila m = 0 bukan akar bukan akar karakteristik untuk PD homogen (2.7), yaitu m = 0 bukan akar persamaan m + pm + q = 0.

34 21 b. y = t (A + A t + A t + + A t ), apabila m = 0 akar berkelipatan k, k = 1,2 untuk persamaan m + pm + q = 0. Koefisien-koefisien. A, A, A,, A akan ditentukan kemudian setelah y disubstitusikan pada PD (2.7). Contoh: Tentukan solusi umum PD y + 3y + 2y = t + 5. Penyelesaian: PD homogen y + 3y + 2y = 0. Persamaan karakteristik m + 3m + 2 = 0 maka akar-akar karakteristik adalah m 1 = -1 dan m 2 = -2. Jadi solusi y = Ae + Be. Solusi y diandaikan y = A + A t + A t. Karena m = 0 bukan akar dari persamaan m + 3m + 2 = 0. Dengan menurunkan y, maka diperoleh: y = A + A t y = 2A Substitusikan pada PD y + 3y + 2y = t + 5 maka diperoleh 2A + 3(A + 2A t ) + 2(A + A t + A t ) = t + 5 2A t + (2A + 6A )t + (2A + 3A + 2A ) = t + 5 2A = 1 A = 1 2 2A + 6A = 0 2A = 3 A = 3 2 2A + 3A + 2A = 5 2A = A = 17 2

35 22 Jadi y = t t Jadi y = y + y y = t t + Ae + Be. (2) g(t) berbentuk g(t) = (B + B t + + B t )e, α real Misal g(t) = (t + 1)e ; g(t) = (2t + 2t)e. Untuk kasus ini, solusi partikulir y p diandaikan sebagai berikut: a. y = (A + A t + A t + + A t )e apabila α bukan akar persamaan m + pm + q = 0. b. y = t (A + A t + A t + + A t )e apabila α akar berkelipatan k, k = 1,2 untuk persamaan m + pm + q = 0. Koefisien-koefisien. A, A, A,, A akan ditentukan kemudian setelah y disubstitusikan pada PD (2.7). Contoh: Tentukan solusi umum PD y + y 6y = (t + 3)e PD homogennya y + y 6y = 0 Persamaan karakteristik m + m 6 = 0 maka akar-akar karakteristik adalah m 1 = 2 dan m 2 = -3. Jadi solusi y = Ae + Be. Karena α = 1 bukan akar dari persamaan m + 3m + 2 = 0, maka Solusi y diandaikan y = (A + A t)e. Dengan menurunkan y, maka diperoleh: y = (A + A t)e + A e = (A + A t + A ) e

36 23 y = (A + A t + A )e = (A + A t + 2A ) e Substitusikan pada PD y + y 6y = (t + 3)e, diperoleh: (A + A t + 2A )e + (A + A t + A )e 6(A + A t)e = (x + 3)e ( 4A 4A t + 3A )e = (t + 3)e 4A 4A t + 3A = t + 3 4A t = t A = 1 4 4A + 3A A = (3A 3) A =. Jadi y = (A + A t)e. y = t e 4 jadi jadi solusi umum y = y + y. y = t e + Ae + Be. (3) g(t) berbentuk g(t) = (C + C t + + C x )e cos βt atau g(t) = (D + D t + + D x )e sin βt atau g(t) = {P(t) cos(βt) + Q(t)sin (βt)} atau g(t) = e {Q(t) cos(βt) + P(t)sin (βt)} dimana P(t) dan Q(t) masing-masing polinom berderajat n dan m dengan n m. Untuk kasus ini solusi partikulir y p yang diandaikan. a. y = e {(A + A t + A t + + A t ) cos βt + (B + B t + + B t ) sin βt} apabila α + βi bukan akar kompleks persamaan m + pm + q = 0.

37 24 b. y = te {(A + A t + A t + + A t ) cos βt + (B + B t + + B t ) sin βt} apabila α + βi akar kompleks persamaan m + pm + q = 0. Koefisien-koefisien. A, A,, A, B, B,, B, akan ditentukan kemudian setelah y disubstitusikan pada PD (2.7). 2.8 Titik Kesetimbangan (Ekuilibrium) Definisi 1. Titikx R disebut titik ekuilibriumx = f(x) jika (x) = 0. Definisi 2. Titik ekuilibrium x R sistem x = f(x) dikatakan (Supriyono,2011:55) (Perko, 1991). (1) Stabil lokal jika untuk setiapε > 0 terdapat δ > 0sedemikian hingga untuk setiap solusi x(t) yang memenuhi x(t ) x < δ berlaku x(t) x < ε untuk setiap t t. (2) Stabil asimtotik lokal jika titik ekuilibrium x R stabil dan terdapatδ > 0 sedemikian hingga untuk setiap solusi x(t) yang memenuhi x(t ) x < δ berlaku lim x(t) = x. (3) Tidak stabil jika titik ekuilibrium x R tidak memenuhi 1. (Wiggins, 2003).

38 25 Definisi 3. Jika E R Ehimpunan terbukaf C(E), i = 1,2,, n,danx E maka terdapat a > 0 sehingga masalah nilai awal x = f(x) denganx(0) = x mempunyai penyelesaian tunggal x(t)pada interval [ a, a] (Perko, 1991). Dibawah ini diberikan definisi dari sistem linear dan non linear. Diberikan sistemx = f(x), dengan E R danf: E R fungsi kontinu pada E. Sistem x = f(x) dikatakan linear jika f, f,..., f masing-masing linear terhadap x, x,, x Jadi sistem x = f(x) dapat ditulis dalam bentuk x a x a x... a x x 1 2 x n a a 11 1 x a 21 1 x a n n x... a 2 2n x... a n2 2 nn n x x n n (2.6) Denganx =, f (t)kontinu pada a t b, a, b R, i = 1,2,, n dan j = 1,2,, nselanjutnya sistem x = f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk x = Axdenganx Edan A matriks berukuran n n Diberikan sistem x = f(x) dengan E R dan f: E R fungsi kontinu pada E. Sistem x = f(x) dikatakan non linear jika terdapat i sedemikian hingga f tidak linear.perilaku solusi di sekitar titik ekuilibrium sistem nonlinear x = f(x) dapat ditentukan melalui linearisasi di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut.

39 26 Definisi 4. Diberikan fungsi f = (f,, f )pada sistem x = f(x) denganf C(E), i = 1,2,, n. Matriks ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x f J n n n n n n (2.7) dinamakan matriks Jacobian dari f di titik x (Kocak, 1991). Definisi 5. Sistem linearx = Jf(x )(x x ) disebut linearisasi sistem x = f(x) di sekitar titikx.(perko, 1991). 2.9 Nilai eigen dan Vektor eigen Kata eigen berasal dari bahasa jerman dan inggris.dalam bahasa Jerman eigen yang berarti sebenarnya atau karakteristik. Oleh karena itu, nilai eigen dapat juga dinamakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik, dalam literature lama kadang-kadang dinamakan akar-akar latent. Definisi 6. Jika A adalah matriks nxn, maka vektor tak nol x di dalam R n dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x yakni, Ax = λx

40 27 Untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. (Anton, 1992: 277). Nilai eigen mempunyai tafsiran geometric yang bermanfaat dalam R 2 dan R 3. Jika λ adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan x, maka Ax = λx, sehingga perkalian oleh A akan memperbesar x, atau membalik arah x, yang bergantung pada nilai λ, sedangkan untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n xn dapat dilakukan dengan cara menuliskan kembali Ax = λx sebagai Ax = λix (2.8) Karena I suatu matriks identitas jadi Ax = λx memiliki nilai yang sama dengan Ax = λix. Atau secara ekivalen ditulis (λi A)x = 0 (2.9) Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan ini. Persamaan (17) akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika det(λi A) = 0 (2.10) Ini dinamakan persamaan karakteristik A; skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Bila diperluas, maka det(λi A) adalah polinom λ yang dinamakan polinom karakteristik dari A. Jika A adalah matriks nxn, maka polinom karakteristik A harus memnuhi n dan koefisien λ n adalah 1. Berikut bentuk polinom karakteristik dari matriks nxn det(λi A)x = λ + c λ + + c (2.11) (Anton, 1992: 278).

41 Kestabilan Titik Tetap Teorema 1 Diberikan matriks Jacobian Jf(x ) dari Sistem nonlinear x = f(x) dengan nilai eigen λ. (1) Stabil asimtotik lokal, jika semua nilai eigen dari matriks Jf(x ) bernilai negatif. (2) Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen matriks Jf(x ) bernilai positif. (Olsder, 1994) 2.11 Kriteria Routh-Hurwitz Kriteria Routh-Hurwitz ini digunakan ketika nilai eigen persamaan karakteristik tidak dapat ditentukan dengan mudah. Jika diberikan persamaan karakteristik P(λ) = λ + a λ + + a = 0 maka didefinisikan kmatriks sebagai berikut:,, , 1, j j j j j j a a a a a a a a a a a a a H a a a H a H k k a a a a a a a a a H (2.12) Dengan syarat setiap unsur (l, m)pada matriks H adalah

42 29 H = a, untuk 0 < 2l m k 1, untuk 2l = m 0, untuk 2l < m atau 2l > k + m Dengan demikian, titik tetap x stabil jika dan hanya jika det H > 0 untuk setiap i = 1,2,, k. Untuk k = 3 dan k = 4 kriteria Routh-Hurwitz diberikan berikut ini. k = 3; a > 0, a > 0, a > 0, a. a a > 0, k = 4; a > 0, a > 0, a > 0, a. a a > 0 dan a (a. a a ) a. a > 0 (Edelstein-Keshet, 1988) 2.12 Maple Maple merupakan salah satu perangkat lunak (software) yang dikembangkan oleh Waterloo Inc. Kanada. Maple sering digunakan untuk keperluan ComputerAlgebraic System (CAS). Menu-menu yang terdapat pada tampilan program Maple ini terdiri dari menu File, Edit, View, Insert,Format, Spreadsheet, Option, Window, dan Help. Sebagian besar menu-menu di atas merupakan menu standar yang dikembangkan untuk program aplikasi pada system operasi Windows. Maple sering digunakan untuk keperluan penyelesaian permasalahan persamaan diferensial dan visualisasinya, karena Maple memiliki kemampuan menyederhanakan persamaan, hingga suatu solusi persamaan diferensial dapat dipahami dengan baik. Keunggulan lain dari Maple untuk aplikasi persamaan diferensial adalah kemampuan melakukan animasi grafik dari suatu fenomena gerakan yang dimodelkan ke dalam persamaan diferensial yang memiliki nilai awal dan syarat batas (Kartono, 2001).

43 30 Pernyataan yang sering digunakan untuk keperluan menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial antara lain: diff digunakan untuk mendiferensialkan (menurunkan) suatu fungsi, dsolve digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial, evalf memberikan nilai numeric dari suatu persamaan, dan simplify digunakan untuk menyederhanakan suatu persamaan. Namun tentu saja pernyataan-pernyataan awal seperti restart dan deklarasi variabel/konstanta yang diperlukan tidak boleh diabaikan. Untuk membuat grafik pada Maple digunakan perintah plot, plot2d,plot3d, tergantung dimensi dari pernyataan yang dimiliki. Untuk membuat gerakan animasi digunakan perintah animate3d (Kartono, 2001). Bahasa yang digunakan pada Maple merupakan bahasa pemrograman yang sekaligus sebagai bahasa aplikasi, sebab pernyataan atau statement yang merupakan input pada Maple berupa deklarasi pada bahasa program dan perintah (command) yang sering digunakan pada bahasa aplikasi.

44 BAB 3 METODE PENELITIAN Pada penelitian ini metode yang penulis gunakan adalah studi pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut. 3.1 Menentukan Masalah Dalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih bagian dalam sumber pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai permasalahan yang akan dikaji. Dalam hal ini penulis mengambil materi tentang pemodelan SIRPS pada penyakit influenza dengan vaksinasi. 3.2 Perumusan Masalah Masalah yang ditemukan kemudian dirumuskan kedalam pertanyaan yang harus diselesaikan yaitu sebagai berikut. (1) Bagaimana model matematika SIRPS pada penyakit influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan? (2) Bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan pada penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan? (3) Bagaimana simulasi model matematika SIRPS pada penyakit influenza dengan vaksinasimenggunakan program Maple? (4) Bagaimana menentukan proporsi vaksinasi minimum? 31

45 32 Perumusan masalah di atas mengacu pada beberapa pustaka yang ada. Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan teoritik maka dapat ditemukan jawaban permasalahan sehingga tercapai tujuan penulisan skripsi. 3.3 Studi Pustaka Dalam langkah ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara mengumpulkan data atau informasi yang berkaitan dengan masalah, mengumpulkan konsep pendukung yang diperlukan dalam menyelesaikan masalah, sehingga didapatkan suatu ide mengenai bahan dasar pengembangan upaya pemecahan masalah. 3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah Dari berbagai sumber pustaka yang sudah menjadi bahankajian, diperoleh suatu pemecahan masalah di atas. Selanjutnya dilakukanlangkahlangkah pemecahan masalah sebagai berikut. (1) Menentukan model matematika SIRPS pada penyakit influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan. (2) Menentukantitik kesetimbangan dan analisis kestabilan pada penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan. (3) Mengatahui bagaimana simulasi pemodelan SIRPS pada penyakit influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan. (4) mengetahui proporsi vaksinasi minimum penyakit influenza.

46 Penarikan Kesimpulan Langkah terakhir dalam metode penelitian adalah penarikan kesimpulan yang diperoleh dari hasil langkah pemecahan masalah.

47 BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Matematika untuk Penyebaran Penyakit Influenza Model yang akan dibahas pada bab ini adalah model SIRPS (Susceptibles, Infectious, Recovered, Partial Immunity Class, Susceptibles) pada penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi, dengan memperhatikan faktafakta dan asumsi-asumsi Fakta-fakta dan Asumsi Fakta-fakta yang diperoleh dari berbagai sumber tentang penyakit influenza diberikan sebagai berikut: 1. Virus yang menyebabkan epidemi flu dapat dibedakan dalam tiga tipe berbeda yaitu tipe A, B, dan C. (Casagrandi dkk, 2006) 2. Vaksinasi memberikan konstribusi besar dalam penurunan jumlah pasien flu. (Carman dkk, 2000) 3. Terjadi penurunan pasien flu pada orang dewasa setelah dilakukan vaksinasi. (Govaert dkk, 1994) 4. vaksinasi mempunyai potensi yang lebih tinggi dalam mengurangi jumlah penderita flu dibandingkan dengan penggunaan antibiotik. (Kwong dkk, 2009) 34

48 35 5. vaksinasi direkomendasikan sebagai salah satu strategi untuk mencegah wabah influenza pada orang usia lanjut dalam jangka waktu yang panjang. (Potter dkk, 1997) 6. vaksinasi pada orang usia produktif (< 65 tahun) dapat mengurangi tingkat penularan influenza (jumlah penderita flu). (Bridges dkk, 2000) 7. Pada orang tua, vaksinasi terhadap influenza dikaitkan dengan penurunan risiko rawat inap untuk penyakit jantung, penyakit serebrovaskular, dan pneumonia atau influenza serta resiko kematian dari semua penyebab selama musim influenza. (Nichol dkk, 2003) Dalam pembentukan model ini dibatasi oleh beberapa asumsi. Asumsiasumsi yang digunakan dalam model penyebaran penyakit influenza sebagai berikut: 1. Individu yang terinfeksi penyakit Influenza dapat disembuhkan. 2. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar 3. Setiap individu yang belum terserang penyakit masuk ke subpopulasi susceptibles (rentan terserang). 4. Penyakit menular melalui kontak langsung antara individu rentan dengan penderita. 5. Tidak ada masa inkubasi apabila terjadi proses penularan. 6. Individu yang sudah sembuh dapat menjadi rentan kembali terserang virus yang baru.

49 36 7. Individu yang rentan diberikan vaksinasi dengan ukuran vaksinasi tertentu sehingga dapat menyebabkan individu yang diberikan vaksin kebal terhadap penyakit. 8. Penyaki tidak fatal ( tidak terjadi kematian karena infeksi). Selanjutnya, asumsi yang digunakan terhadap vaksinasi dalam model ini adalah sebagai berikut. 1. Pemberian vaksin diasumsikan tidak terkendala oleh faktor biaya. 2. Kekuatan vaksinasi 100%, berarti setiap individu yang mendapat vaksin akan kebal dari penyakit Influenza. 3. Kekebalan yang terjadi karena vaksin bersifat permanen. Hal tersebut berarti individu yang mendapat vaksin tidak dapat terinfeksi oleh penyakit yang sama sampai waktu tertentu. 4. Terdapat virus baru yang kebal terhadap vaksin. Dari asumsi-asumsi di atas, pembentukkan model matematika untuk penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi dapat dibatasi. 4.2 Pembentukkan Model Matematika Pembentukan model SIRPS didasari oleh adanya penyakit menular. Populasi yang diberikan dibagi ke dalam empat kelas yakni kelas populasi rentan (susceptibles), kelas populasi terinfeksi (infectious), kelas populasi bebas penyakit (recovered) dan kelas individu yang menurun kekebalannya dan tidak kebal terhadap virus baru (partial immunity class). Adapun variabel-variabel dan parameter-parameter yang digunakan dalam model penyebaran penyakit influenza disajikan dalam tabel dibawah ini:

50 37 Tabel 4.1 Daftar Variabel-variabel Variabel Keterangan Syarat N(t) Jumlah populasi pada waktu t N ( t) 0 S(t) I(t) Jumlah individu yang rentan terinfeksi penyakit pada waktu t Jumlah individu yang terinfeksi penyakit pada waktu t S ( t) 0 I ( t) 0 R(t) Jumlah individu yang telah sembuh atau kebal dari infeksi virus yang sedang mewabah pada waktu t R ( t) 0 P(t) Jumlah individu yang mulai kehilangan kekebalan terhadap infeksi virus, terutama virus yang baru pada waktu t P ( t) 0

51 38 Tabel 4.2 Daftar Parameter-parameter Parameter Keterangan Syarat µ Laju kelahiran dan laju kematian 0 q Proporsi banyaknya Individu rentan yang tidak divaksinasi 0 q 1 1 q Proporsi banyaknya individu yang divaksinasi Laju kontak infektif antara individu yang rentan dengan individu yang terinfeksi 0 q 1 0 c Laju kesembuhan c > 0 δ Penurunan kekebalan δ > 0 e Laju perpindahan individu menjadi rentan kembali e 0 Secara skematis proses penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi dalam suatu populasi dapat disajikan dalam diagram transfer pada Gambar 4.1 di bawah ini.

52 39 (1 q) S μs μi μr μp μn β qs N I ci S I R δr P ep Gambar 4.1. Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Influeza dengan Vaksinasi. Jumlah individu yang lahir dalam populasi adalah konstan. Jumlah individu yang lahir dengan total populasi N. Oleh karena itu, jumlah individu yang lahir dalam populasi adalah N dengan merupakan laju kelahiran. Nilai adalah jumlah individu yang lahir tiap satuan waktu Model Matematika (a) Laju perubahan jumlah individu yang rentan (S) = μn + ep μs β I (1 q)s (4.1) (b) Laju perubahan jumlah individu yang terinfeksi (I) = β I μi ci (4.2) (c) Laju perubahan jumlah individu yang telah sembuh (R) = ci + (1 q)s μr δr (4.3) (d) Laju perubahan jumlah individu yang tidak kebal terhadap virus baru (P) = δr μp ep (4.4)