ANALISIS KESTABILAN MODEL VIRUS KOMPUTER DENGAN INFEKSI TUNDA DAN PEMULIHAN TUNDA ANIF LAILIL ACHADIYAH

Transkripsi

1 ANALISIS KESTABILAN MODEL VIRUS KOMPUTER DENGAN INFEKSI TUNDA DAN PEMULIHAN TUNDA ANIF LAILIL ACHADIYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan Model Virus Komputer dengan Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juli 2015 Anif Lailil Achadiyah NIM G

4 ABSTRAK ANIF LAILIL ACHADIYAH. Analisis Kestabilan Model Virus Komputer dengan Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan ENDAR H NUGRAHANI. Model dinamik dalam tulisan ini disusun dari model virus komputer dengan mempertimbangkan waktu tunda terhadap komputer yang terinfeksi dan komputer yang pulih. Analisis kestabilan dilakukan terhadap model tanpa waktu tunda dan dengan waktu tunda. Model tanpa waktu tunda memiliki dua titik tetap, salah satunya bersifat stabil dan lainnya tidak stabil. Sedangkan model dengan waktu tunda memiliki titik tetap yang salah satunya bersifat spiral stabil. Jika nilai waktu tunda yang digunakan relatif besar, maka dapat berakibat terjadinya perubahan kestabilan dari spiral stabil ke spiral tak stabil sehingga muncul limit cycle dan terjadi bifurkasi Hopf. Kata kunci: bifurkasi Hopf, model virus komputer, waktu tunda ABSTRACT ANIF LAILIL ACHADIYAH. Stability Analysis of Computer Virus Model with Infection Delay and Recovery Delay. Supervised by ALI KUSNANTO and ENDAR H NUGRAHANI. In this paper, a dynamical model is composed of computer virus model that considers time delay of infection and recovery processes. Stability analysis is performed to both models, i.e. the models with and without time delay. The model without time delay has two fixed points, which one of them is stable and the other is unstable. On the other hand, the model with time delay has fixed points which one of them is spiral stable. If the value of time delay is sufficiently large, then it will imply the stability changes from spiral stable to spiral unstable and subsequently the appearance of limit-cycle and Hopf bifurcation. Keywords: computer virus model, Hopf bifurcation, time delay

5 ANALISIS KESTABILAN MODEL VIRUS KOMPUTER DENGAN INFEKSI TUNDA DAN PEMULIHAN TUNDA ANIF LAILIL ACHADIYAH Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

6

7 Judul Skripsi Nama NIM Anal isis Kestabilan Model Virus Komputer clengan Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda Anif Lailil Achacliyah G Disetujui oleh 4~ Drs Ali Kusnanto. MSi Pembimbing 1 Dr Ir Endar H. Nugrahani. MS Pembimbing II Diketahui oleh... Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus: " ~ I. ::J..... ~~._ 20 15

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wa ta ala atas segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah yang berjudul Analisis Kestabilan Model Virus Komputer dengan Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada: 1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya, 2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman, 3 Almarhum Ayahanda Suyatmin tercinta yang senantiasa menjadi inspirasi dan motivasi penulis untuk semangat menyelesaikan karya ilmiah ini. Ibunda Sulistiyaningsih tersayang, Mas Eko, Mbak Devi, dan Dika yang penulis sayangi yang selalu memberikan doa, semangat, motivasi dan kasih sayang yang tiada henti, 4 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi, dan Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya selama membimbing penulis, serta Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji, 5 staf tata usaha Departemen Matematika IPB, 6 sahabat-sahabat: Zunita, Aring, Rifa, Riris, Septian, Zaenal, dan ppj (Dini, Rika, Arinda, Sabila, Disti, Siti) yang telah memberikan motivasi, bantuan, keceriaan, dan arti sahabat juga keluarga bagi penulis, 7 teman-teman satu bimbingan: Hasan dan Mula yang senantiasa saling mengingatkan, membantu dan memberikan motivasi dalam penyusunan karya ilmiah ini, 8 saudara ipar: Mbak Resty dan Mas Argo atas doa dan dukungannya, 9 teman-teman ikmp 48, mahasiswa Matematika 48, PB Gumatika, PSDM Gumatika 2013/2014, tim basket Matematika, Gemilang, dan Erna atas doa, semangat, serta kebersamaannya selama ini, 10 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Bogor, Juli 2015 Anif Lailil Achadiyah

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 2 LANDASAN TEORI 2 HASIL DAN PEMBAHASAN 4 Pemodelan 4 Pembahasan 6 A. Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda 6 Penentuan Titik Tetap Model 6 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model 6 Analisis Kestabilan Titik Tetap T 1 6 Analisis Kestabilan Titik Tetap T 2 7 B. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda 9 Pelinearan Model dengan Waktu Tunda 9 Penentun Nilai eigen Model 10 Kasus 1 (τ 1 > 0, τ 2 = 0) 10 Kasus 2 (τ 1 = 0, τ 2 > 0) 11 Bifurkasi Hopf 12 SIMULASI NUMERIK 14 SIMPULAN 22 DAFTAR PUSTAKA 22 LAMPIRAN 24 RIWAYAT HIDUP 48

10 DAFTAR TABEL 1 Titik tetap model tanpa waktu tunda 9 2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi 14 3 Pemilihan nilai waktu tunda 19 DAFTAR GAMBAR 1 Bidang fase model virus komputer (SIR) 15 2 Bidang solusi komputer yang rentan 15 3 Bidang solusi komputer yang terinfeksi 15 4 Bidang solusi komputer yang pulih 15 5 Bidang fase model virus komputer saat τ 1 = 2 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang rentan saat τ 1 = 2 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat τ 1 = 2 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang pulih saat τ 1 = 2 dan τ 2 = Bidang fase model virus komputer saat τ 1 = 5 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang rentan saat τ 1 = 5 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat τ 1 = 5 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang pulih saat τ 1 = 5 dan τ 2 = Bidang fase model virus komputer saat τ 1 = 0 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang rentan saat τ 1 = 0 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat τ 1 = 0 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang pulih saat τ 1 = 0 dan τ 2 = Bidang fase model virus komputer saat τ 1 = 0 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang rentan saat τ 1 = 0 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat τ 1 = 0 dan τ 2 = Bidang solusi komputer yang pulih saat τ 1 = 0 dan τ 2 = 7 21 DAFTAR LAMPIRAN 1 Penentuan titik tetap model tanpa waktu tunda 24 2 Analisis kestabilan titik tetap T Analisis kestabilan titik tetap T Pelinearan dan penentuan matriks Jacobi 31 5 Persamaan karakteristik 33 6 Penjabaran kasus 1 (τ 1 > 0, τ 2 = 0) 35 7 Penjabaran kasus 2 (τ 1 = 0, τ 2 > 0) 37 8 Bifurkasi Hopf 40 9 Penjabaran kondisi transversabilitas Program plot bidang fase model virus komputer tanpa waktu tunda (Gambar 1) 44

11 11 Program plot bidang solusi model virus komputer rentan tanpa waktu tunda (Gambar 2) Program plot bidang solusi model virus komputer terinfeksi tanpa waktu tunda (Gambar 3) Program plot bidang solusi model virus komputer pulih tanpa waktu tunda (Gambar 4) 47

12

13 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Komputer merupakan salah satu alat penting yang digunakan dalam kehidupaan sehari-hari. Seiring berkembangnya teknologi sekarang ini, jaringan komputer telah menjadi populer di kalangan masyarakat. Jaringan komputer terdiri atas sejumlah komputer dan perangkat jaringan lainnya yang bekerja bersama-sama dan terhubung satu sama lain baik dengan maupun tanpa kabel. Melalui jaringan komputer, masyarakat dapat menemukan banyak hal maupun informasi yang baru dan berguna. Namun, hal itu tidak lepas dengan adanya virus komputer yang ada pada jaringan komputer. Virus komputer merupakan ancaman besar pada jaringan komputer. Sama halnya seperti virus biologi, virus komputer bekerja dengan cara menggandakan dirinya sendiri dan menyebar dengan cara menyisipkan dirinya ke sel makhluk hidup. Penggunaan sistem jaringan komputer, menyebabkan virus komputer dapat menyebar dari komputer satu ke komputer lainnya yang saling terhubung. Komputer yang sudah terjangkit virus tidak dapat bekerja secara optimum karena semakin lama virus tersebut dapat menyebabkan kerusakan pada software maupun hardware komputer. Oleh karena itu, perlu adanya pengontrolan perkembangbiakan virus komputer pada jaringan komputer. Pengontrolan perkembangbiakan virus komputer dapat dilakukan dengan model matematika. Zhang et al. (2012) mempelajari tentang sebuah model impuls untuk virus komputer dan menentukan dinamika global pada model. Yang et al. (2013) menganalisis model virus komputer dengan gradasi tingkat kesembuhan komputer dan menunjukkan bahwa dinamika global ditentukan dengan bilangan reproduksi dasar. Selain itu, pengontrolan juga dapat menggunakan nilai ambang epidemiologi. Ada beberapa penelitian tentang model epidemiologi. Misalnya, Ma et al. (2004) menganalisis stabilitas global model epidemi SIR dengan waktu tunda. Wang dan Zhao (2012) memperoleh bilangan reproduksi dasar model epidemi reaksi-difusi dengan struktur kompartemen yang dianggap mempengaruhi heterogenitas spasial dan mobilitas penduduk pada penyakit transmisi dengan model spasial. Salah satu cara yang digunakan untuk mengontrol perkembangbiakan virus komputer adalah dengan model matematika. Model matematika tentang virus komputer ini terdiri dari tiga kategori komputer, yaitu komputer yang rentan (suspectible), terinfeksi (infected), dan pulih (recovered). Untuk melihat perkembangan virus komputer dengan model matematika ini akan digunakan dua waktu tunda, yaitu waktu tunda terinfeksi dan waktu tunda pemulihan. Model virus komputer ini digambarkan dalam suatu persamaan matematika yang telah dikembangkan sebelumnya oleh Song et al. (2014) dalam jurnal Stability and Hopf Bifurcation of Computer Virus Model with Infection Delay and Recovery Delay. Dalam karya ilmiah ini akan direkonstruksi model Song et al. ini dan

14 2 selanjutnya akan dibahas pengaruh waktu tunda pada infeksi virus komputer dan pemulihan komputer yang terkena virus terhadap kestabilan model virus komputer ini. Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk: 1. mengkonstruksi model virus komputer tanpa dan dengan waktu tunda yang dituliskan oleh Song et al. (2014), 2. menganalisis kestabilan model virus komputer tanpa dan dengan waktu tunda, 3. menentukan pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem, 4. menentukan keberadaan bifurkasi Hopf pada model virus komputer. LANDASAN TEORI Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai : dengan x 1 (t) x = x n (t) dan f t, x = x = f(t, x) (1) f 1 (t, x 1, x 2,, x n ) f n (t, x 1, x 2,, x n ). Jika f(t, x) fungsi tak linear pada x 1, x 2,, x n, maka sistem persamaan diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial tak linear. Jika f(t, x) fungsi linear maka sistem persamaan diferensial (1) disebut persamaan diferensial linear (Braun 1983). Misalkan juga, suatu model populasi dengan k spesies yang berinteraksi dalam komunitas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan : dx 1 dx 2 dx k atau dapat ditulis dalam notasi vektor = f 1 (x 1, x 2,, x k ), = f 2 (x 1, x 2,, x k ), = f k (x 1, x 2,, x k ), dx = f(x) (2) dengan X = (x 1, x 2,, x k ) dan f = (f 1, f 2,, f k ) fungsi taklinear pada x 1, x 2,, x k.

15 3 Kestabilan sistem (2) tersebut dapat ditentukan dengan urutan sebagai berikut: 1 menentukan titik tetap (x ) yang memenuhi f x = 0. 2 pelinearan dengan menentukan matriks Jacobi pada titik tetap, yaitu: J = f (x) atau x J = f 1 x 1 f 1 x 2 f 1 x k f k x 1 f k x 2 f k x k 3 menentukan nilai eigen, dengan menyelesaikan det J λi = 0. Nilai eigen (λ) ini akan memenuhi persamaan karakteristik berikut: λ n + a 1 λ n 1 + a 2 λ n a k = 0. (Edelstein-Keshet 1998) Selanjutnya untuk melihat kestabilan sistem dapat menggunakan kriteria perilaku kestabilan titik tetap sebagai brikut: 1 stabil, jika a. setiap nilai eigen real adalah negatif ( λ i < 0 untuk setiap i ), b. setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol ( Re(λ i ) 0 untuk setiap i ), 2 tak stabil, jika a. setiap nilai eigen real adalah positif ( λ i > 0 untuk setiap i ), b. setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar dari nol ( Re λ i > 0 untuk setiap i ), 3 sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen sembarang adalah ngatif (λ i λ j < 0 untuk suatu i dan j ). (Perko 1991) Jika suatu sistem dinamika mengalami perubahan seperti perubahan banyaknya titik tetap atau perubahan kestabilan titik tetap maka kondisi seperti ini dinamakan bifurkasi. Titik yang mengalami bifurkasi disebut titik bifurkasi. Pada bifurkasi satu-dimensi ditemukan kasus bifurkasi saddlenode, bifurkasi transcritical, bifurkasi pitchfork (supercritical dan subcritical). Sedangkan pada kasus dua-dimensi ditemukan kasus bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf terjadi pada saat kesetimbangan sistem mengalami perubahan stabilitas dari spiral stabil ke spiral tak stabil atau sebaliknya (Strogatz 1994). Sistem dinamika yang berkaitan dengan penyakit, biasanya terdapat bilangan reproduksi dasar (R 0 ) yaitu nilai harapan yang dihasilkan pada suatu populasi yang seluruhnya rentan oleh suatu jenis individu yang terinfeksi atau menular. Kondisi yang akan timbul adalah sebagai berikut: 1. Jika R 0 < 1 maka setiap individu yang menular akan menginfeksi kurang dari 1 individu baru dan penyakit tidak dapat berkembang atau punah..

16 4 2. Jika R 0 > 1 maka setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih dari 1 individu baru dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi sehingga menjadi wabah. (Driessche dan Watmough 2002) HASIL DAN PEMBAHASAN PEMODELAN Dalam penelitian ini akan dikonstruksi model virus komputer tanpa dan dengan waktu tunda yang diambil dari jurnal Stability and Hopf Bifurcation of Computer Virus Model with Infection Delay and Recovery Delay (Song et al. 2014). Asumsi yang digunakan dalam model adalah semua nilai parameter positif. Model virus komputer tanpa dan dengan waktu tunda mendeskripsikan tentang penyebaran virus komputer pada berbagai komputer. Ada tiga kategori komputer dalam model tersebut yaitu komputer yang rentan (suspectible), terinfeksi (infected), dan pulih (recovered) sehingga model disebut juga dengan model dinamik SIR. Suspectible Infected Recovered 1. Model virus komputer tanpa waktu tunda dengan ds(t) di (t) dr(t) Model virus komputer tanpa waktu tunda berbentuk: ds(t) = b βs t I t + vr t μs(t), di(t) dr(t) = βs t I t μ + γ I(t), (3) = γi t vr(t) μr(t), : laju pertumbuhan komputer yang rentan terhadap virus komputer per satuan waktu, : laju pertumbuhan komputer yang terinfeksi oleh virus komputer per satuan waktu, : laju pertumbuhan komputer yang pulih per satuan waktu, S t : komputer yang rentan, I(t) : komputer yang terinfeksi, R(t) : komputer yang pulih, b : tingkat pertumbuhan komputer yang terhubung ke jaringan,

17 5 β μ γ v : tingkat terinfeksi, : tingkat kematian (komputer tidak dapat digunakan kembali) pada kelas S t, I t, R t, : tingkat pemulihan komputer yang terinfeksi karena kemampuan antivirus pada jaringan, : tingkat dimana satu komputer pulih beralih ke rentan. 2. Model virus komputer dengan waktu tunda dengan ds(t) di (t) dr(t) Model virus komputer dengan waktu tunda berbentuk: ds(t) = b βs t I t τ 1 e μτ 1 + vr(t τ 2 ) μs(t), di(t) = βs t I t τ 1 e μτ 1 μ + γ I(t), (4) dr(t) = γi t vr(t τ 2 ) μr(t), : laju pertumbuhan komputer yang rentan terhadap virus komputer per satuan waktu, : laju pertumbuhan komputer yang terinfeksi oleh virus komputer per satuan waktu, : laju pertumbuhan komputer yang pulih per satuan waktu, S t : komputer yang rentan, I(t) : komputer yang terinfeksi, R(t) : komputer yang pulih, b : tingkat pertumbuhan komputer yang terhubung ke jaringan, β : tingkat terinfeksi, μ : tingkat kematian (komputer tidak dapat digunakan kembali) pada kelas S t, I t, R t, γ : tingkat pemulihan komputer yang terinfeksi karena kemampuan antivirus pada jaringan, v : tingkat dimana satu komputer pulih beralih ke rentan, τ 1 : waktu tunda terinfeksi, τ 2 : waktu tunda pemulihan, e μ τ 1: peluang kelangsungan hidup komputer yang terinfeksi pada selang (0,1]. Secara umum desain penelitian yang dilakukan adalah menentukan titik keseimbangan model, melinearisasi model, menganalisis kestabilan dari titik keseimbangan, dan melakukan simulasi numerik. Software komputasi yang digunakan pada penelitian ini adalah dengan menggunakan Wolfram Mathematica 10.0.

18 6 PEMBAHASAN A. Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda Penentuan Titik Tetap Titik tetap diperoleh dengan menentukan ds(t) dr t = 0, = 0 terhadap persamaan (3), sehingga persamaan menjadi di t = 0 dan b βs t I t + vr(t) μs t = 0, βs t I t μ + γ I t = 0, (5) γi t vr(t) μr t = 0. Berdasarkan persamaan (5) diperoleh dua titik tetap (bukti dapat dilihat pada Lampiran 1), yaitu T 1 S(t), I(t), R(t) = b, 0,0, (6) μ T 2 S(t), I(t), R(t) = μ+γ β, bβ μ 2 μγ (μ+v) β (μ 2 +μv +μγ ) bβ μ 2 μγ γ,. (7) β (μ 2 +μv +μγ ) Kemudian berdasarkan persamaan (3) diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut : J = βi t μ βs t v βi t βs t μ + γ 0 0 γ v μ. (8) Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Pada pembahasan sebelumnya terhadap model tanpa waktu tunda telah diperoleh dua titik tetap pada persamaan (6) dan (7). Analisis kestabilan dilakukan dengan cara mencari nilai eigen pada masing-masing titik tetap. Analisis kestabilan di titik tetap T 1 Titik tetap T 1 = b, 0,0 disubstitusikan ke dalam persamaan (8), μ sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: J T1 = μ 0 bβ μ bβ μ μ μ +γ μ v 0 0 γ v μ.

19 7 Nilai eigen ditentukan dari persamaan J T1 λi = 0. Dari sini diperoleh nilai eigen sebagai berikut: λ 1 = μ, λ 2 = v μ, atau λ 3 = bβ. μ μ (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2) Karena nilai semua parameter yang digunakan adalah positif (b, β, μ, γ > 0), analisis kestabilan yang akan diperoleh sebagai berikut: 1. Jika bβ < μ μ + γ, maka λ 1 < 0, λ 2 < 0, λ 3 < 0 sehingga titik tetap bersifat simpul stabil. 2. Jika bβ > μ μ + γ, maka λ 1 < 0, λ 2 < 0, λ 3 > 0 sehingga titik tetap bersifat sadel. 3. Jika bβ = μ μ + γ, maka λ 3 = 0 sehingga diperoleh bilangan reproduksi dasar (R 0 ) sebagai berikut: R 0 = bβ μ (μ +γ) μ (μ +γ). (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2) Berdasarkan kriteria yang ketiga, diperoleh kriteria untuk bilangan reproduksi dasar (R 0 ) : 1. Jika bβ < μ μ + γ, maka R 0 < 1 sehingga virus akan menghilang. 2. Jika bβ > μ μ + γ, maka R 0 > 1 sehingga virus akan meningkat dan menjadi wabah. Analisis kestabilan di titik tetap T 2 Titik tetap T 2 = μ +γ β, bβ μ 2 μγ (μ +v) β(μ 2 +μv +μγ ) disubstitusikan ke dalam persamaan (8), sehingga diperoleh :, bβ μ 2 μγ γ β (μ 2 +μv +μγ ) J T2 = bβ μ 2 μγ (μ +v) (μ 2 +μv +μγ ) bβ μ 2 μγ (μ +v) (μ 2 +μv +μγ ) μ μ γ v γ v μ. Nilai eigen pada titik tetap T 2 diperoleh dengan menggunakan software dan disederhanakan (bukti dapat dilihat pada Lampiran 3) sebagai berikut: λ 1 = μ, λ 2 = μ (μ +γ+v) 4μ μ + γ + v λ 3 = μ (μ +γ+v) 4μ μ + γ + v [ bβ + μv (μ + v) + bβ + μv μ + v 2 μ + v 2 + μ + v γ bβ μ 2 μγ [ bβ + μv (μ + v) + bβ 1 2 ], + μv μ + v 2 μ + v 2 + μ + v γ bβ μ 2 μγ Kemudian dilakukan penyederhanaan dengan R 0 = eigen λ 2 dan λ 3, sehingga diperoleh bβ μ (μ +γ) 1 2 ]. pada nilai

20 8 λ 2 = 1 2 μ +γ+v μ + γ R 0 + v (μ + v) + dan λ 3 = μ + γ R 0 + v (μ + v) 2 4(R 0 1) μ + γ + v 1 2 μ +γ+v μ + γ R 0 + v (μ + v) + μ + v 2 + μ + v γ. Misalkan μ + γ R 0 + v (μ + v) 2 4(R 0 1) μ + γ + v μ + v 2 + μ + v γ m = μ + γ R 0 + v (μ + v) 2 4(R 0 1) μ + γ + v μ + v 2 + μ + v γ, sehingga λ 2 = dan λ 3 = 1 2 μ +γ+v μ + γ R 0 + v (μ + v) + m 1 2 μ +γ+v μ + γ R 0 + v (μ + v) + m. Karena semua nilai parameternya positif (b, β, μ, γ > 0), diperoleh kriteria untuk analisis kestabilan sebagai berikut: 1. Jika R 0 < 1 maka m > 0 2. Jika R 0 > 1 maka ada ketentuan yang memungkinkan mendapatkan nilai dari m sebagai berikut: Jika μ + γ R 0 + v (μ + v) 2 > 4(R 0 1) μ + γ + v μ + v 2 + μ + v γ, maka nilai m > 0. Jika μ + γ R 0 + v (μ + v) 2 < 4(R 0 1) μ + γ + v μ + v 2 + μ + v γ, maka nilai m < 0. Selanjutnya, untuk mengetahui kestabilan dari λ 2 digunakan ketentuan seperti berikut: 1. m > 0, μ + γ R 0 + v (μ + v) > 0. Jika μ + γ R 0 + v (μ + v) < m maka λ 2 > 0. Jika μ + γ R 0 + v (μ + v) > m maka λ 2 < 0. Jika μ + γ R 0 + v (μ + v) = m maka λ 2 = m < 0, μ + γ R 0 + v (μ + v) > 0 maka λ 2 imajiner. Sedangkan, untuk mengetahui kestabilan dari λ 3 digunakan ketentuan seperti berikut: 1. Jika m > 0 maka λ 3 < Jika m < 0 maka λ 3 imajiner. (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3)

21 9 Berdasarkan ketentuan yang telah dijabarkan sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1. Jika m > 0, μ + γ R 0 + v (μ + v) < m maka λ 1 < 0, λ 2 > 0, λ 3 < 0, sehingga titik tetap bersifat sadel. 2. Jika m > 0, μ + γ R 0 + v (μ + v) > m maka λ 1 < 0, λ 2 < 0, λ 3 < 0, sehingga titik tetap bersifat simpul stabil. 3. Jika m < 0, μ + γ R 0 + v μ + v > 0, maka λ 1 < 0, λ 2 imajiner, λ 3 imajiner, sehingga titik tetap bersifat spiral stabil. Ringkasan kriteria untuk menentukan kestabilan T 1 dan T 2 dapat dilihat dalam Tabel 1 berikut. Tabel 1 Titik tetap model tanpa waktu tunda Kriteria T 1 T 2 R 0 < 1, m > 0, μ + γ R 0 + v (μ + v) < m Simpul stabil Sadel R 0 < 1, m > 0, μ + γ R 0 + v μ + v > m Simpul stabil Simpul stabil R 0 > 1, m > 0, μ + γ R 0 + v μ + v > m R 0 > 1, m < 0, μ + γ R 0 + v μ + v > 0 Sadel Sadel Simpul stabil Spiral stabil B. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda Pelinearan Model dengan Waktu Tunda Model virus komputer dengan waktu tunda pada persamaan (4), dianalisis menggunakan pendekatan model linear. Misalkan x t = S t S S t = x t + S, y t = I t I I t = y t + I, (9) z t = R t R R t = z t + R. Kemudian mensubstitusikan persamaan (8) ke dalam persamaan (4), sehingga didapat hasil pelinearan (bukti dapat dilihat pada Lampiran 4) sebagai berikut: x t = μx t βi e μτ 1x t βs e μτ 1y t τ 1 + vz t τ 2 βe μτ 1x t y t τ 1, y t = βi e μτ 1x t μ + γ y t + βs e μτ 1y t τ 1 + βe μτ 1x t y t τ 1, z t = γy t μz t vz t τ 2. (10)

22 10 Berdasarkan persamaan (10) yang telah diperoleh, matriks Jacobi dapat dikonstruksi menjadi μ βi e μτ 1 βs e μτ 1e λτ 1 ve λτ 2 J = βi e μτ 1 μ γ + βs e μτ 1e λτ 1 0. (11) 0 γ μ ve λτ 2 Penentuan Nilai Eigen Model Penentuan nilai eigen model menggunakan rumus J λi = 0 seperti persamaan yang diperoleh berikut: μ βi e μτ 1 λ βs e μτ 1e λτ 1 ve λτ 2 βi e μτ 1 μ γ + βs e μ τ 1e λτ 1 λ 0 0 γ μ ve λτ 2 λ = 0. Akibatnya didapatkan persamaan karakteristik (bukti dapat dilihat pada Lampiran 5) sebagai berikut: λ + μ [λ 2 + λ 2μ + γ + βi e μτ 1 + μ 2 + βi γe μτ 1 + μβi e μτ 1 + μγ] + λ + μ e λτ 1 βs e μτ 1λ βs e μτ 1μ + λ + μ e λτ 2 vλ + μv + βi ve μτ (12) 1 + γv + λ + μ e λ τ 1+τ 2 βs ve μτ 1 = 0. Ada dua kasus yang akan dibahas untuk model virus komputer dengan waktu tunda pada persamaan (4), yaitu saat τ 1 > 0, τ 2 = 0 dan saat τ 1 = 0, τ 2 > 0. Kasus 1 ( τ 1 > 0, τ 2 = 0 ) Pada kasus 1 ini, dimasukkan nilai τ 1 > 0, τ 2 = 0 ke dalam persamaan (12) sehingga didapatkan nilai eigen seperti berikut: λ = μ λ 2 + p 1 λ + p 0 + e λτ 1 q 1 λ + q 0 = 0 dengan p 1 = μ + γ + μ + v + βi e μτ 1, p 0 = μ + γ + μ + v + μ + γ + v βi e μτ 1, q 1 = βs e μτ 1, q 0 = μ + v βs e μ τ 1. Untuk λ = μ selalu bernilai negatif. Sedangkan untuk mencari nilai dari persamaan λ 2 + p 1 λ + p 0 + e λτ 1 q 1 λ + q 0 = 0, dilakukan dengan cara mensubstitusikan λ = iω, ω > 0 ke dalam persamaan sehingga diperoleh persamaan berikut: (iω) 2 + p 1 (iω) + p 0 + e iωτ 1 q 1 (iω) + q 0 = 0. Karena e iωτ = cos ωτ isin(ωτ), persamaan menjadi ω 2 + p 1 iω + p 0 + q 1 ωi cos ωτ 1 + q 0 cos ωτ 1 + (13) q 1 ωsin ωτ 1 q 0 isin ωτ 1 = 0. Selanjutnya memisahkan bagian real dan imajiner pada persamaan (13), sehingga diperoleh ω 2 + p 0 + q 0 cos ωτ 1 + q 1 ωsin ωτ 1 = 0, ω 2 p 0 = q 1 ω sin ωτ 1 + q 0 cos ωτ 1.

23 11 p 1 ω + q 1 ω cos ωτ 1 q 0 sin ωτ 1 = 0, p 1 ω = q 0 sin ωτ 1 q 1 ω cos ωτ 1. Setelah memisahkan bagian real dan imajiner, kemudian menguadratkan kedua ruas masing-masing, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: (ω 2 p 0 ) 2 = (q 1 ω sin ωτ 1 + q 0 cos ωτ 1 ) 2, ω 4 2ω 2 p 0 + p 0 2 = q 1 2 ω 2 sin 2 ωτ 1 + q 0 2 cos 2 ωτ 1 + 2q 0 q 1 ω sin ωτ 1 cos ωτ 1. (p 1 ω) 2 = (q 0 sin ωτ 1 q 1 ω cos ωτ 1 ) 2, p 1 2 ω 2 = q 0 2 sin 2 ωτ 1 + q 1 2 ω 2 cos 2 ωτ 1 2q 0 q 1 ω sin ωτ 1 cos ωτ 1. Kemudian kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan sesuai pangkat ω dengan cos 2 ωτ 1 + sin 2 ωτ 1 = 1 sehingga diperoleh polinomial berderajat empat ω 4 + p 1 2 2p 0 q 1 2 ω 2 + p 0 2 q 0 2 = 0. Untuk kasus ini, jika p 0 2 q 0 2 = 2 μ + γ μ + v + μ + γ + v βi e μ τ 1 μ + γ + v βi e μτ 1 > 0 dan p 1 2 2p 0 q 1 2 = μ + v 2 + (βi e μτ 1) 2 + 2μβI e μτ 1 > 0, maka tidak ada akar realnya. Jika tidak ada akar real, maka λ = iω tidak berlaku. Dengan demikian titik tetap tidak mungkin spiral. Jadi kasus ini bersifat asimtotik stabil. Berdasarkan teorema, jika R 0 > 0, maka kesetimbangan infeksi virus E * adalah asimtotik lokal stabil sehingga tidak ada Bifurkasi Hopf. (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 6) Kasus 2 (τ 1 = 0, τ 2 > 0) Pada kasus 2 dimasukkan nilai τ 1 = 0, τ 2 > 0 ke dalam persamaan (12) sehingga diperoleh nilai eigen seperti berikut: λ = μ λ 2 + a 1 λ + a 2 + e λτ 2(b 1 λ + b 2 ) = 0 dengan a 1 = 2μ + γ + βi βs, a 2 = μ μ + γ + βi βs + βi γ, b 1 = v, b 2 = v μ + γ + βi βs. Untuk λ = μ selalu bernilai negatif. Sedangkan untuk mencari nilai dari persamaan λ 2 + a 1 λ + a 2 + e λτ 2(b 1 λ + b 2 ) = 0, dilakukan dengan cara mensubstitusikan λ = iω, ω > 0 ke dalam persamaa sehingga diperoleh persamaan berikut: (iω) 2 + a 1 (iω) + a 2 + e iω τ 2(b 1 (iω) + b 2 ) = 0. Karena e iωτ = cos ωτ isin(ωτ), persamaan menjadi ω 2 + a 1 iω + a 2 + b 1 ωi cos ωτ 2 + b 2 cos ωτ 2 + (14) b 1 ωsin ωτ 2 b 2 isin ωτ 2 = 0.

24 12 Selanjutnya memisahkan bagian real dan imajiner pada persamaan (14) sehingga diperoleh ω 2 + a 2 + b 2 cos ωτ 2 + b 1 ω sin ωτ 2 = 0, ω 2 a 2 = b 1 ω sin ωτ 2 + b 2 cos ωτ 2. (15) a 1 ω + b 1 ω cos ωτ 2 b 2 sin ωτ 2 = 0, a 1 ω = b 2 sin ωτ 2 b 1 ω cos ωτ 2. (16) Setelah memisahkan bagian real dan imajiner, kemudian menguadratkan kedua ruas masing-masing sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: (ω 2 a 2 ) 2 = (b 1 ω sin ωτ 2 + b 2 cos ωτ 2 ) 2, ω 4 2ω 2 a 2 + a 2 2 = b 1 2 ω 2 sin 2 ωτ 2 + b 2 2 cos 2 ωτ 2 + 2b 2 b 1 ω sin ωτ 2 cos ωτ 2. (a 1 ω) 2 = (b 2 sin ωτ 2 b 1 ω cos ωτ 2 ) 2, a 1 2 ω 2 = b 2 2 sin 2 ωτ 2 + b 1 2 ω 2 cos 2 ωτ 2 2b 2 b 1 ω sin ωτ 2 cos ωτ 2. Kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan sesuai pangkat ω dengan cos 2 ωτ 1 + sin 2 ωτ 1 = 1. Akibatnya diperoleh polinomial berderajat empat ω 4 + a 1 2 2a 2 b 1 2 ω 2 + a 2 2 b 2 2 = 0. (17) Dari persamaan (17) dapat dilihat bahwa persamaan tersebut merupakan polinomial berderajat genap. Bila didefinisikan ω ± 2 sebagai akar persamaan (17) akan diperoleh ω 2 ± = a a 2 b 1 ± a a 2 b 1 4(a2 2 2 b 2 ). 2 Selanjutnya, untuk mengetahui nilai tundaan kritis dilakukan pengubahan dalam bentuk secan pada persamaan (15) dan (16) dan disamadengankan. Sehingga diperoleh nilai tundaan kritis sebagai berikut: τ ± k = 1 tan 1 ω ±(a 2 b 1 b 1 ω 2 ± a 2 b 1 a 1 b 2 ) ω ± a 1 b 1 ω 2 ± (ω 2 + 2kπ, k = 0,1,2,3, (18) ± a 2 )b 2 ω ± (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 7) Bifurkasi Hopf Teorema 1 (Kar 2003) Misalkan ada sebuah bilangan bulat positif m sedemikian sehingga m berubah kestabilan dari stabil ke tidak stabil atau sebaliknya. Jika τ 0, τ 0 + τ 0 +, τ 0 (τ m 1, τ m + ) titik tetap bersifat stabil dan τ τ 0 +, τ 0 τ 1 +, τ 1 (τ m 1 +, τ m 1 ) titik tetap bersifat tidak stabil, maka sistem akan terjadi bifurkasi Hopf terhadap titik tetap untuk τ = τ k ±, k = 0,1,2, Untuk membuktikan Teorema 1 Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi transversabilitas, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah

25 13 d Re λ dτ τ = τ k + > 0 dan d Re λ dτ τ = τ k < 0. Langkah pertama untuk memenuhi Teorema 1 Kar (2003), persamaan λ 2 + a 1 λ + a 2 + e λτ 2(b 1 λ + b 2 ) = 0 diturunkan terhadap τ, sehingga diperoleh 2λ dλ dτ 2 + a 1 dλ dτ 2 + b 1 e λτ 2 τ 2 dλ dτ 2 = 0 atau dλ dτ 2 dλ dτ 2 + b 1 λe λτ 2 λ τ 2 dλ dτ 2 1 = 2λ+a 1 e λτ2 λ(b 1 λ+b 2 ) + + b 2 e λτ 2 λ b 1 λ(b 1 λ+b 2 ) τ 2 λ. (19) Dari persamaan λ 2 + a 1 λ + a 2 + e λτ 2(b 1 λ + b 2 ) = 0, didapat e λτ 2 = (b 1 λ+b 2 ). (λ 2 +a 1 λ+a 2 ) diperoleh Oleh karena itu, Kemudian disubstitusikan pada persamaan (19) sehingga dλ dτ 2 1 = 2λ+a 1 λ(λ 2 +a 1 λ+a 2 ) + b 1 λ(b 1 λ+b 2 ) τ 2 λ. sign d Reλ dτ 2 λ=iω = sign Re dλ dτ 2 1 λ=iω = sign Re 2λ+a 1 λ λ 2 +a 1 λ+a 2 λ=iω + Re 2 b 1 (ω 2 a 2 ) 2 +a 2 1 ω b 2 +b1 ω 2 = sign 2ω 2 +a 1 2 2a 2 = sign 2ω 2 +a 1 2 b 1 2 2a2 (ω 2 a 2 ) 2 +a 1 2 ω 2 = sign 2ω 2 + a 1 2 b 1 2 2a 2. Untuk nilai ω = ω + diperoleh sign b 1 + Re τ 2 λ(b 1 λ+b 2 ) λ=iω λ λ=iω (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 8) d Reλ dτ 2 λ=iω + = sign 2ω a 1 2 b 1 2 2a 2 sehingga terpenuhi bahwa = sign a 1 2 2a 2 b (a 2 2 b 2 2 ), d Re λ dτ 2 τ2 =τ k + > 0. Untuk nilai ω = ω diperoleh sign d Reλ dτ 2 λ=iω = sign 2ω 2 + a 1 2 b 1 2 2a 2

26 14 = sign a 1 2 2a 2 b (a 2 2 b 2 2 ), sehingga terpenuhi bahwa d Re λ dτ 2 τ2 =τ k < 0. Oleh karena itu, kondisi transversabilitas terpenuhi. Jadi, τ k ± merupakan perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (10) sehingga terjadi bifurkasi Hopf. (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 9) SIMULASI NUMERIK Simulasi numerik digunakan untuk memberikan ilustrasi secara visual dari hasil analisis kestabilan kasus 4. Analisis kestabilan pada model virus komputer ini, digambarkan oleh kurva bidang fase dan bidang solusi pada waktu t. Solusi numerik dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan berdasarkan analisis ke dalam persamaan model matematika virus komputer dengan waktu tunda. I. Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus komputer tanpa waktu tunda (persamaan (3)) menggunakan beberapa nilai parameter tetap, yaitu: b = 10, β = 5, μ = 3, γ = 2, v = 5 dengan nilai awal S 0 = 0.4, I 0 = 0.4, dan R 0 = 0.2. Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer. Simulasi dilakukan dengan menggunakan software Matematica 10.0 pada model virus komputer tanpa waktu tunda sesuai parameter yang telah ditetapkan sebelumnya. Dari hasil simulasi ini diperoleh bidang solusi yang menunjukkan komputer rentan, terinfeksi dan pulih (SIR). Dalam simulasi ini, nilai titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 2 berikut ini. Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi Luaran Titik Tetap T 1 T 2 S I R λ λ i λ i Jenis kestabilan Sadel Spiral Stabil

27 15 Gambar 1 Bidang fase model virus komputer (SIR) Gambar 2 Bidang solusi komputer yang rentan Gambar 3 Bidang solusi komputer yang terinfeksi Gambar 4 Bidang solusi komputer yang pulih

28 16 Gambar 1 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan. Gambar 2 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat yang kemudian mengalami penurunan dan stabil pada titik 1. Gambar 3 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami peningkatan yang pesat dan akhirnya stabil pada titik Sedangkan Gambar 4 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami peningkatan dan setelah itu stabil di titik II. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda τ 1 > 0, τ 2 = 0 Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus komputer dengan waktu tunda terinfeksi (persamaan (4)) menggunakan beberapa nilai parameter tetap, yaitu: b = 10, β = 5, μ = 3, γ = 2, v = 5 dengan nilai awal S 0 = 0.4, I 0 = 0.4, dan R 0 = 0.2. Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer. Kasus 1 (τ 1 = 2, τ 2 = 0) Gambar 5 Bidang fase model virus komputer saat τ 1 = 2 dan τ 2 = 0 Gambar 6 Bidang solusi komputer yang rentan saat τ 1 = 2 dan τ 2 = 0

29 17 Gambar 7 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat τ 1 = 2 dan τ 2 = 0 Gambar 8 Bidang solusi komputer yang pulih saat τ 1 = 2 dan τ 2 = 0 Gambar 5 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan. Gambar 6 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat dan stabil pada titik Gambar 7 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami penurunan dan akhirnya stabil pada titik 0. Sedangkan Gambar 8 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami penurunan dan stabil di titik 0. Kasus 2 (τ 1 = 5, τ 2 = 0) Gambar 9 Bidang fase model virus komputer saat τ 1 = 5 dan τ 2 = 0

30 18 Gambar 10 Bidang solusi komputer yang rentan saat τ 1 = 5 dan τ 2 = 0 Gambar 11 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat τ 1 = 5 dan τ 2 = 0 Gambar 12 Bidang solusi komputer yang pulih saat τ 1 = 5 dan τ 2 = 0 Gambar 9 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan. Gambar 10 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat dan stabil pada titik Gambar 11 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami penurunan dan akhirnya stabil pada titik 0. Sedangkan Gambar 12 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami penurunan dan stabil di titik 0. III. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda τ 1 = 0, τ 2 > 0 Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus komputer dengan waktu tunda pemulihan (persamaan (4)) menggunakan beberapa nilai parameter tetap, yaitu: b = 10, β = 5, μ = 3, γ = 2, v = 5

31 19 dengan nilai awal S 0 = 0.4, I 0 = 0.4, dan R 0 = 0.2. Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer. Pada model virus komputer dengan waktu tunda τ 1 = 0 dan τ 2 > 0 untuk menetapkan pilihan nilai τ 2 menggunakan hasil yang telah diperoeh sebelumnya yaitu persamaan (18) dengan memasukkan nilai parameter yang telah ditetapkan tersebut ditunjukkan dengan hasil pada Tabel 3. Kasus 1 (τ 1 = 0, τ 2 = 1) Tabel 3 Pemilihan nilai waktu tunda k τ k Gambar 13 Bidang fase model virus komputer saat τ 1 = 0 dan τ 2 = 1 Gambar 14 Bidang solusi komputer yang rentan saat τ 1 = 0 dan τ 2 = 1

32 20 Gambar 15 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat τ 1 = 0 dan τ 2 = 1 Gambar 16 Bidang solusi komputer yang pulih saat τ 1 = 0 dan τ 2 = 1 Gambar 13 menyatakan bahwa adanya osilasi atau naik turunnya komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih. Namun demikian, Gambar 13 stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan. Gambar 14 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan mengalami osilasi dan stabil pada titik 1. Gambar 15 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami osilasi dan stabil pada titik Sedangkan Gambar 16 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami osilasi dan stabil di titik Kasus 2 (τ 1 = 0, τ 2 = 7) Gambar 17 Bidang fase model virus komputer saat τ 1 = 0 dan τ 2 = 7

33 21 Gambar 18 Bidang solusi komputer yang rentan saat τ 1 = 0 dan τ 2 = 7 Gambar 19 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat τ 1 = 0 dan τ 2 = 7 Gambar 20 Bidang solusi komputer yang pulih saat τ 1 = 0 dan τ 2 = 7 Gambar 17 menyatakan bahwa adanya osilasi atau naik turunnya komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih secara terus menerus atau tertutup sehingga menyebabkan adanya limit cycle. Gambar 18 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan mengalami osilasi secara terus menerus dan tidak stabil. Gambar 19 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami osilasi secara terus menerus dan tidak stabil. Sedangkan Gambar 20 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami osilasi secara terus menerus dan tidak stabil. Berdasarkan hasil simulasi pada kasus 1 dan 2 yang telah diperoleh, diketahui bahwa pada masing-masing komputer terjadi perubahan kestabilan yaitu dari spiral stabil (saat τ 2 = 1) menjadi spiral tak stabil (saat τ 2 = 7).

34 22 Perubahan kestabilan ini menggambarkan adanya bifurkasi Hopf pada model virus komputer. SIMPULAN Model tanpa waktu tunda diperoleh dua titik tetap, di mana keduanya bersifat stabil dan tidak stabil. Kondisi ini tidak akan menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf. Model virus komputer dengan waktu tunda memiliki dua jenis waktu tunda yaitu waktu tunda terinfeksi dan waktu tunda pemulihan. Ketika model menggunakan waktu tunda terinfeksi, komputer yang terinfeksi tidak langsung menginfeksi komputer lain dan ketika model menggunakan waktu tunda pemulihan, komputer yang pulih mengalami perlambatan proses pemulihannya. Model virus komputer dengan waktu tunda terinfeksi memiliki jenis kestabilan yang bersifat stabil karena kestabilan sistem tidak berubah ketika waktu tunda terinfeksi yang diberikan semakin besar. Sedangkan pada model virus komputer dengan waktu tunda pemulihan, semakin besar nilai waktu tunda pemulihan yang diberikan, sistem semakin tidak stabil sehingga sistem memiliki perubahan kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil. Hal ini menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf. DAFTAR PUSTAKA Braun M Differential Equations and Their Applications. New York: Springer-Verlag. Driessche PVD, Watmough J Reproduction numbers ada subthreshold endemic equilibria for compartemental models of disease transmission. Mathematical Biosciences. 180: Edelstein-Keshet L Mathematical Models in Biology. New York: Random House. Kar TK Selective Harvesting in a Prey-Predator Fishery with Time Delay. Mathematical and Computer Modelling. 38: doi: /s (03) Ma W, Song M, Takeuchi Y Global stability of an SIR epidemic model with time delay, Applied Mathematics Letters, vol. 17, no. 10, pp doi: /j.aml Perko L Differential Equations and Dynamical System, Texts in Applied Mathematics, vol. 7. Springer-Verlag, New York. Song H, Jiang W, Wang Q Stability and Hopf bifurcation of computer virus model with infection delay and decovery Delay. Applied Mathematics, vol. 2014, Artikel ID , 10 pages. doi: /2014/

35 Strogatz SH Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US): Addison-Wesley Publishing Company. Wang W, Zhao XQ Basic reproduction numbers for reactiondiffusion epidemic models. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, vol. 11, no. 4, pp doi: / Yang LX, Yang X, Zhu Q, Wen L A computer virus model with graded cure rates. Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol. 14, no. 1, pp doi: /j.nonrwa Zhang C, Zhao Y, Wu Y An impulse model for computer viruses. Discrete Dynamics in Nature and Society, vol. 2012, Article ID , 13 pages. doi: /2012/

36 24 LAMPIRAN Lampiran 1 Model Tanpa Waktu Tunda ds(t) = b βs t I t + vr(t) μs(t) di(t) = βs t I t μ + γ I(t) (3) dr(t) = γi t vr(t) μr(t) Penentuan Titik Tetap Titik tetap diperoleh dengan menentukan ds(t) dr t = 0 terhadap persamaan (3), Mencari titik tetap 1 ds(t) = 0 = 0, di t = 0 dan di t = 0 b βs t I t + vr(t) μs t = 0 βs t I t + μs t = b + vr(t) S t βi t + μ = b + vr(t) b + vr(t) S t = βi t + μ dr t = 0 βs t I t μ + γ I t = 0 I t βs t μ + γ = 0 I t = 0 γi t vr(t) μr t = 0 vr t + μr t = γi t R t {v + μ} = γi t R t = Karena I t = 0 Maka R t = 0 Kemudian substitusi ke S t = b+vr(t) βi t +μ sehingga didapat S t = b+0 β.0+μ = b μ Jadi titik tetap 1 γi t v + μ T 1 S(t), I(t), R(t) = b, 0,0 (6) μ

37 25 Mencari titik tetap 2 ds(t) = 0 di t = 0 b βs t I t + vr(t) μs t = 0 vr t = βs t I t + μs t b βs t I t + μs t b R t = v dr t = 0 βs t I t μ + γ I t = 0 βs t I t = μ + γ I t μ + γ I t S t = βi t μ + γ S t = β γi t vr t μr t = 0 γi t = vr t + μr t vr t + μr t I t = γ μ +γ vr t +μr t Substitusi S t = dan I t = ke persamaan β γ βs t I t + μs t b R t = v μ +γ vr t +μr t μ +γ β + μ b β γ β R t = v R t = R t = μ + γ μ + γ (v+μ ) γ (v+μ ) v γ (v+μ ) R t v R t μ + γ R t γ R t v μ + γ (v + μ)r t R t γv μ + γ v + μ R t 1 γv R t = 1 + μ 2 +μγ β + μ 2 +μγ b βv v μ +γ v+μ μ 2 +μγ β v = μ2 + μγ βv = μ2 + μγ βv = μ2 + μγ βv γv b b b v b v b v

38 26 R t = μ 2 +μγ bβ βv γv μ +γ γv v+μ R t = μ2 + μγ bβ γv βv γv μ + γ v + μ (μ 2 + μγ bβ)γ R t = (γv μ + γ v + μ )β (μ 2 + μγ bβ)γ R t = (γv μv + μ 2 + γv + μγ )β (μ 2 + μγ bβ)γ R t = (γv μv μ 2 γv μγ)β R t = (μ2 + μγ bβ)γ μv + μ 2 + μγ β R t = (bβ μ2 μγ)γ μv + μ 2 + μγ β R t = (bβ μ2 μγ)γ μv + μ 2 + μγ β Kemudian dari R t yang telah didapat, disubstitusikan ke I t vr t + μr t I t = γ (v + μ) I t = R t γ (v + μ) (bβ μ 2 μγ)γ I t = γ μv + μ 2 + μγ β I t = (bβ μ2 μγ)(v + μ) μv + μ 2 + μγ β Jadi titik tetap 2 sebagai berikut: T 2 S(t), I(t), R(t) = μ+γ β, (bβ μ 2 μγ )(v+μ ), (bβ μ 2 μγ )γ μv +μ 2 +μγ β μv +μ 2 +μγ β (7) Kemudian berdasarkan persamaan (3) diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut : J = βi t μ βs t v βi t βs t μ + γ 0 0 γ v μ (8)

39 27 Lampiran 2 Analisis Kestabilan di Titik Tetap T 1 Titik tetap T 1 = b, 0,0 disubstitusikan ke dalam persamaan (8) μ μ β b μ v J T1 = = = 0 β b μ μ + γ 0 0 γ v μ μ bβ μ v 0 bβ μ + γ μ 0 0 γ v μ μ bβ μ v 0 bβ μ μ + γ μ μ 0 0 γ v μ Untuk memperoleh nilai eigen dengan menggunakan rumus J T1 λi = 0. Nilai eigen J T1 λi = 0 μ λ bβ μ v bβ μ μ + γ = 0 0 λ 0 μ μ 0 γ v μ λ μ λ v μ λ bβ μ μ + γ λ = 0 μ μ Dari persamaan tersebut, diperoleh nilai eigen λ 1 = μ atau λ 2 = v μ atau λ 3 = bβ μ(μ + γ) μ μ Ketika λ 3 = 0, diperoleh nilai R 0 dengan penjabaran seperti berikut: bβ μ(μ + γ) = 0 μ μ bβ μ(μ + γ) = μ μ bβ μ μ μ(μ + γ) = 1 R bβ 0 = μ(μ + γ)

40 28 Lampiran 3 Analisis Kestabilan Di Titik Tetap T 2 Titik tetap T 2 = μ +γ disubstitusikan ke dalam persamaan (8), seperti berikut β (bβ μ2 μγ)(v + μ) μv + μ 2 μ + μγ β β J T2 = β (bβ μ2 μγ)(v + μ) μ + γ β β, (bβ μ 2 μγ )(v+μ ), (bβ μ 2 μγ )γ μv +μ 2 +μγ β μv +μ 2 +μγ β μ + γ β μv + μ 2 + μγ β β μ + γ 0 0 γ v μ (bβ μ2 μγ)(v + μ) μv + μ 2 μ + μγ μ + γ v = (bβ μ 2 μγ)(v + μ) μv + μ 2 + μγ μ + γ μ + γ 0 0 γ v μ (bβ μ2 μγ)(v + μ) μv + μ 2 μ + μγ μ + γ v = (bβ μ 2 μγ)(v + μ) μv + μ 2 + μγ γ v μ Untuk memperoleh nilai eigen pada titik tetap T 2 menggunakan software seperti berikut restart wit DEtools : wit linalg : wit Vectoralculus : A Jacobian b β. f. g + v. g μ. f, β. f. g μ + γ g, γ. g v. g μ., f, g, = μ +γ, (bβ μ 2 μγ )(v+μ ), (bβ μ 2 μγ )γ β μv +μ 2 +μγ β μv +μ 2 +μγ β eigenvalues(a) μ, μ (μ +γ+v) [ v2 μ bβv bβμ μ 2 v + 16μ 2 vbβ 8μv 2 bβγ 4μγ 2 bβv + 4μ 2 γ 3 v + v 4 μ 2 + 6v 3 μ μ 4 v μ 5 v + 12μ 5 γ + 12μ 4 γ 2 2v 3 μbβ 8v 2 μ 2 bβ + 2b 2 β 2 vμ 10bβμ 3 v 4μ 2 γ 2 bβ + b 2 β 2 v 2 + b 2 β 2 μ 2 4μ 4 bβ + 28μ 4 vγ + 20μ 3 v 2 γ + 4μ 2 v 3 γ + 20μ 3 vγ 2 + 8μ 2 v 2 γ 2 + 4μ 6 + 4μ 3 γ 3 8μ 3 γbβ 1 2], 1 2 μ (μ +γ+v) [v2 μ + bβv + bβμ + μ 2 v + 16μ 2 vbβ 8μv 2 bβγ 4μγ 2 bβv + 4μ 2 γ 3 v + v 4 μ 2 + 6v 3 μ μ 4 v μ 5 v + 12μ 5 γ + 12μ 4 γ 2 2v 3 μbβ 8v 2 μ 2 bβ + 2b 2 β 2 vμ 10bβμ 3 v 4μ 2 γ 2 bβ + b 2 β 2 v 2 + b 2 β 2 μ 2 4μ 4 bβ + 28μ 4 vγ + 20μ 3 v 2 γ + 4μ 2 v 3 γ + 20μ 3 vγ 2 + 8μ 2 v 2 γ 2 + 4μ 6 + 4μ 3 γ 3 8μ 3 γbβ 1 2] 1 v

41 29 Kemudian dilakukan penyederhanaan parameter dan dipeoleh seperti berikut: λ 1 = μ, λ 2 = μ (μ +γ+v) [ v2 μ bβv bβμ μ 2 v + 16μ 2 vbβ 8μv 2 bβγ 4μγ 2 bβv + 4μ 2 γ 3 v + v 4 μ 2 + 6v 3 μ μ 4 v μ 5 v + 12μ 5 γ + 12μ 4 γ 2 2v 3 μbβ 8v 2 μ 2 bβ + 2b 2 β 2 vμ 10bβμ 3 v 4μ 2 γ 2 bβ + b 2 β 2 v 2 + b 2 β 2 μ 2 4μ 4 bβ + 28μ 4 vγ + 20μ 3 v 2 γ + = 1 2 = 1 2 = 1 2 4μ 2 v 3 γ + 20μ 3 vγ 2 + 8μ 2 v 2 γ 2 + 4μ 6 + 4μ 3 γ 3 8μ 3 γbβ 1 2] 1 μ (μ +γ+v) [ v2 μ + bβv + bβμ + μ 2 v + v 4 μ 2 + b 2 β 2 v 2 + b 2 β 2 μ 2 + 2b 2 β 2 vμ + 2v 3 μbβ 4v 3 μbβ + 4v 2 μ 2 bβ 12v 2 μ 2 bβ + 2bβμ 3 v 12bβμ 3 v + 2v 3 μ 3 + 4v 3 μ 3 + μ 4 v μ 4 v 2 16μ 2 vbβ 8μv 2 bβγ 4μγ 2 bβv + 4μ 2 γ 3 v + 12μ 5 v + 12μ 5 γ + 12μ 4 γ 2 4μ 2 γ 2 bβ 4μ 4 bβ + 28μ 4 vγ + 20μ 3 v 2 γ + 4μ 2 v 3 γ + 20μ 3 vγ 2 + 8μ 2 v 2 γ 2 + 4μ 6 + 4μ 3 γ 3 8μ 3 γbβ 1 2] 1 μ (μ +γ+v) [ v2 μ + bβv + bβμ + μ 2 v + (v 4 μ 2 + b 2 β 2 v 2 + b 2 β 2 μ 2 + 2b 2 β 2 vμ + 2v 3 μbβ + 4v 2 μ 2 bβ + 2bβμ 3 v + 2v 3 μ 3 + μ 4 v 2 ) 4(v 3 μbβ + 3v 2 μ 2 bβ + 3bβμ 3 v v 3 μ 3 3μ 4 v 2 + 4μ 2 vbβ + 2μv 2 bβγ + μγ 2 bβv μ 2 γ 3 v 3μ 5 v 3μ 5 γ 3μ 4 γ 2 + μ 2 γ 2 bβ + μ 4 bβ 7μ 4 vγ 5μ 3 v 2 γ μ 2 v 3 γ 5μ 3 vγ 2 2μ 2 v 2 γ 2 μ 6 μ 3 γ 3 + 2μ 3 γbβ 1 2] 1 [ μ (μ +γ+v) v2 μ + bβv + bβμ + μ 2 v v 2 μ + bβv + bβμ + μ 2 v 2 4(v 2 bβ + 2vμbβ + μ 2 bβ + μbβγ + vbβγ v 2 μ 2 2vμ 3 vμγ 2 μ 4 2μ 3 γ μ 2 γ 2 3vμ 2 γ v 2 μγ)(μ μ + γ + v ) 1 2] = μ (μ +γ+v) 4μ μ + γ + v [ bβ + μv (μ + v) + bβ 1 + μv μ + v 2 μ + v 2 + μ + v γ bβ μ 2 μγ 1 2 ], λ 3 = 1 2 μ (μ +γ+v) [v2 μ + bβv + bβμ + μ 2 v + 16μ 2 vbβ 8μv 2 bβγ 4μγ 2 bβv + 4μ 2 γ 3 v + v 4 μ 2 + 6v 3 μ μ 4 v μ 5 v + 12μ 5 γ + 12μ 4 γ 2 2v 3 μbβ 8v 2 μ 2 bβ + 2b 2 β 2 vμ 10bβμ 3 v 4μ 2 γ 2 bβ + b 2 β 2 v 2 + b 2 β 2 μ 2 4μ 4 bβ + 28μ 4 vγ + 20μ 3 v 2 γ + 4μ 2 v 3 γ + 20μ 3 vγ 2 + 8μ 2 v 2 γ 2 + 4μ 6 + 4μ 3 γ 3 8μ 3 γbβ 1 2] = 1 1 [ 2 μ (μ +γ+v) v2 μ + bβv + bβμ + μ 2 v + v 4 μ 2 + b 2 β 2 v 2 + b 2 β 2 μ 2 + 2b 2 β 2 vμ + 2v 3 μbβ 4v 3 μbβ + 4v 2 μ 2 bβ 12v 2 μ 2 bβ + 2bβμ 3 v 12bβμ 3 v + 2v 3 μ 3 + 4v 3 μ 3 + μ 4 v μ 4 v 2 16μ 2 vbβ 8μv 2 bβγ 4μγ 2 bβv + 4μ 2 γ 3 v + 12μ 5 v + 12μ 5 γ + 12μ 4 γ 2 4μ 2 γ 2 bβ 4μ 4 bβ + 28μ 4 vγ + 20μ 3 v 2 γ + 4μ 2 v 3 γ + 20μ 3 vγ 2 + 8μ 2 v 2 γ 2 + 4μ 6 + 4μ 3 γ 3 8μ 3 γbβ 1 2] = 1 1 [ 2 μ (μ +γ+v) v2 μ + bβv + bβμ + μ 2 v + (v 4 μ 2 + b 2 β 2 v 2 + b 2 β 2 μ 2 + 2b 2 β 2 vμ + 2v 3 μbβ + 4v 2 μ 2 bβ + 2bβμ 3 v + 2v 3 μ 3 +

42 30 μ 4 v 2 ) 4(v 3 μbβ + 3v 2 μ 2 bβ + 3bβμ 3 v v 3 μ 3 3μ 4 v 2 + 4μ 2 vbβ + 2μv 2 bβγ + μγ 2 bβv μ 2 γ 3 v 3μ 5 v 3μ 5 γ 3μ 4 γ 2 + μ 2 γ 2 bβ + μ 4 bβ 7μ 4 vγ 5μ 3 v 2 γ μ 2 v 3 γ 5μ 3 vγ 2 2μ 2 v 2 γ 2 μ 6 μ 3 γ 3 + 2μ 3 γbβ 1 2] = 1 1 [ 2 μ (μ +γ+v) v2 μ + bβv + bβμ + μ 2 v v 2 μ + bβv + bβμ + μ 2 v 2 4(v 2 bβ + 2vμbβ + μ 2 bβ + μbβγ + vbβγ v 2 μ 2 2vμ 3 vμγ 2 μ 4 2μ 3 γ μ 2 γ 2 3vμ 2 γ v 2 μγ)(μ μ + γ + = 1 2 v ) 1 2] 1 μ (μ +γ+v) 4μ μ + γ + v [ bβ + μv (μ + v) + bβ + μv μ + v 2 μ + v 2 + μ + v γ bβ μ 2 μγ Selanjutnya dilakukan penyederhanaan dengan R 0 = λ 2 dan λ 3, sehingga diperoleh λ 2 = 1 2 μ +γ+v μ + γ R 0 + v (μ + v) + bβ μ (μ +γ) 1 2 ]. pada nilai eigen dan λ 3 = μ + γ R 0 + v (μ + v) 2 4(R 0 1) μ + γ + v 1 2 μ +γ+v μ + γ R 0 + v (μ + v) + μ + v 2 + μ + v γ. Misalkan μ + γ R 0 + v (μ + v) 2 4(R 0 1) μ + γ + v sehingga λ 2 = μ + v 2 + μ + v γ m = μ + γ R 0 + v (μ + v) 2 4(R 0 1) μ + γ + v μ + v 2 + μ + v γ, 1 2 μ +γ+v μ + γ R 0 + v (μ + v) + m dan λ 3 = 1 2 μ +γ+v μ + γ R 0 + v (μ + v) + m.

43 31 Lampiran 4 Model dengan Waktu Tunda ds(t) = b βs t I t τ 1 e μτ 1 + vr(t τ 2 ) μs(t) di(t) = βs t I t τ 1 e μτ 1 μ + γ I(t) (4) dr(t) = γi t vr(t τ 2 ) μr(t) Pelinearan Misal: x t = S t S S t = x t + S y t = I t I I t = y t + I (9) z t = R t R R t = z t + R ds(t) = b βs t I t τ 1 e μτ 1 + vr(t τ 2 ) μs(t) d x t + S = b β x t + S [y t τ 1 + I ]e μτ 1 + v[z t τ 2 + R ] μ[x t + S ] x t = b [βx t + βs ][y t τ 1 + I ]e μτ 1 + [vz t τ 2 + vr ] μx t μs x t = b βx t y t τ 1 e μτ 1 βx t I e μτ 1 βs y t τ 1 e μτ 1 βs I e μτ 1 + vz t τ 2 + vr μx t μs x t = μx t βi e μτ 1x t βs e μτ 1y t τ 1 + vz t τ 2 βe μτ 1x t y t τ 1 + [b βs I e μ τ 1 + vr μs ] Karena linearisasi maka b βs I e μ τ 1 + vr μs = 0 Jadi x t = μx t βi e μτ 1x t βs e μ τ 1y t τ 1 + vz t τ 2 βe μ τ 1x t y t τ 1 di(t) = βs t I t τ 1 e μτ 1 μ + γ I(t) d[y t + I ] = β[x t + S ][y t τ 1 + I ]e μτ 1 μ + γ [y t + I ] y t = βx t y t τ 1 e μτ 1 + βx t I e μτ 1 + βs y t τ 1 e μτ 1 + βs I e μτ 1 μ + γ y t μ + γ I y t = βi e μτ 1x t μ + γ y t + βs e μτ 1y t τ 1 + βe μτ 1x t y t τ 1 + [βs I e μτ 1 μ + γ I ] Karena linearisasi maka [βs I e μτ 1 μ + γ I ] = 0 Jadi y t = βi e μτ 1x t μ + γ y t + βs e μτ 1y t τ 1 + βe μτ 1x t y t τ 1 dr(t) = γi t vr(t τ 2 ) μr(t)

44 32 d[z t + R ] = γ[y t + I ] v[z t τ 2 + R ] μ[z t + R ] z t = γy t + γi vz t τ 2 vr μz t μr z t = γy t μz t vz t τ 2 + [γi vr μr ] Karena linearisasi maka [γi vr μr ] = 0 Jadi z t = γy t μz t vz t τ 2 Jacobi J = μ βi e μτ 1 βs e μτ 1e λτ 1 ve λτ 2 βi e μτ 1 μ γ + βs e μτ 1e λτ γ μ ve λτ 2 ( (11)

45 33 Lampiran 5 Persamaan Karakteristik J λi = 0 μ βi e μτ 1 λ βs e μτ 1e λτ 1 ve λτ 2 βi e μτ 1 μ γ + βs e μ τ 1e λτ 1 λ 0 0 γ μ ve λτ 2 λ = 0 μ βi e μτ 1 λ μ γ + βs e μτ 1e λτ 1 λ μ ve λτ 2 λ + γ βi e μτ 1 ve λτ 2 [ βs e μτ 1e λτ 1] βi e μτ 1 μ ve λτ 2 λ = 0 μ 2 + μγ μβs e μτ 1 λτ 1 + λμ + μβi e μτ 1 + γβi e μτ 1 β 2 S I e 2μ τ 1 λτ 1 + λβi e μτ 1 + λμ + λγ λβs e μ τ 1 λτ 1 + λ 2 μ ve λτ 2 λ + βi γve μτ 1 λτ 2 [ β 2 S I e 2μτ 1 λτ 1 ] μ ve λτ 2 λ = 0 μ 3 μ 2 ve λτ 2 λμ 2 μ 2 γ μγve λτ 2 λμγ + μ 2 βs e μτ 1 λτ 1 + μβs ve μτ 1 λτ 1 λτ 2 + λμβs e μ τ 1 λτ 1 λμ 2 λμve λτ 2 λ 2 μ μ 2 βi e μ τ 1 μβi ve μ τ 1 λτ 2 λμβi e μ τ 1 μγβi e μτ 1 γβi ve μτ 1 λτ 2 λγβi e μτ 1 + β 2 S I e 2μτ 1 λτ1 μ ve λτ 2 λ λμβi e μ τ 1 λβi ve μ τ 1 λτ 2 λ 2 βi e μ τ 1 λμ 2 λμve λτ 2 λ 2 μ λμγ λγve λτ 2 λ 2 γ + λμβs e μτ 1 λτ 1 + λβs ve μτ 1 λτ 1 λτ 2 + λ 2 βs e μτ 1 λτ 1 λ 2 μ λ 2 ve λτ 2 λ 3 + γβi ve μτ 1 λτ 2 + [ β 2 S I e 2μτ 1 λτ 1 ] μ ve λτ 2 λ = 0 μ 3 λμ 2 μ 2 γ λμγ λμ 2 λ 2 μ λμ 2 λ 2 μ λμγ λ 2 γ λ 2 μ λ 3 μ 2 ve λτ 2 μγve λτ 2 λμve λτ 2 λμve λτ 2 λγve λτ 2 λ 2 ve λτ 2 + μ 2 βs e μτ 1 λτ 1 + λμβs e μ τ 1 λτ 1 + λμβs e μτ 1 λτ 1 + λ 2 βs e μτ 1 λτ 1 + μβs ve μ τ 1 λτ 1 λτ 2 + λβs ve μτ 1 λτ 1 λτ 2 μ 2 βi e μτ 1 λμβi e μ τ 1 μγβi e μτ 1 λγβi e μ τ 1 λμβi e μτ 1 λ 2 βi e μτ 1 μβi ve μτ 1 λτ 2 γβi ve μτ 1 λτ 2 λβi ve μτ 1 λτ 2 + γβi ve μτ 1 λτ 2 + β 2 S I e 2μτ 1 λτ1 μ ve λτ 2 λ β 2 S I e 2μτ 1 λτ 1 μ ve λτ 2 λ = 0 μ 3 3λ 2 μ 3λμ 2 λ 3 μ 2 γ 2λμγ λ 2 γ ve λτ 2 μ 2 + μγ + λμ + λμ + λγ + λ 2 + βs e μτ 1 λτ 1 μ 2 + λμ + λμ + λ 2 + βs ve μ τ 1 λτ 1 λτ 2 μ + λ βi e μτ 1 μ 2 + μγ + λμ + λμ + λγ + λ 2 βi ve μ τ 1 λτ 2 μ + λ = 0