LAPORAN PENELITIAN PENDULUM TAK LINIER. Oleh: Sumarna Agus Purwanto

Transkripsi

1 LAPORAN PENELITIAN PENDULUM TAK LINIER Oleh: Sumarna Agus Purwanto JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 003

2 PENDULUM TAK LINIER (Oleh : Sumarna, Agus Purwanto) ABSTRAK Tujuan Penelitian ini adalah mengukur periode osilasi pendulum seteliti mungkin sehingga ketergantungan o pada dapat ditunjukkan dengan jelas. Selain itu juga untuk merancang dan membuat sistem alat ukur waktu yang dapat mengukur selang waktu dalam orde 0-6 detik. Melalui pengukuran periode ayunan τ o dengan tingkat ketelitian 0-6 detik telah berhasil menunjukkan dengan jelas efek ketaklinieran pendulum, yaitu bahwa periode ayunan τ o tergantung pada besar sudut simpangan ayunan ψ. Selain itu juga telah direalisasikan prototype alat ukur selang waktu dalam orde 0-6 detik. Kata kunci : Pendulum, Tak Linier, Simpangan.

3 KATA PENGANTAR Puji dan syukur yang sedalam-dalamnya dipanjatkan ke hadlirat Alloh S.w.t., Tuhan seru sekalian alam, atas segala karunia-nya sehingga dapat tersusun laporan penelitian mengenai Pendulum Tak Linier. Penelitian ini dapat terlaksana juga karena bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, terima kasih yang sebesar-besarnya dan penghargaan yang setinggi-tingginya disampaikan kepada :. Pimpinan Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kesempatan,. Pimpinan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kesempatan dan dorongan, 3. Teman-teman dosen di Jurusan Pendidikan Fisika FMIPA UNY atas diskusi dan masukan-masukannya, 4. Berbagai pihak yang tidak sempat disebutkan satu per satu yang telah membantu terselenggaranya penelitian ini. Semoga hasil penelitian ini dapat bermanfaat. Koreksi dan saran dari para pengguna dan pemerhati diterima dengan hati terbuka dan penuh penghargaan. Yogyakarta, 0 Nopember 003 a/n. Tim Peneliti, Sumarna Agus Purwanto 3

4 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i ABSTRAK... ii KATA PENGANTAR... iii DAFTAR ISI... iv BAB I : PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah.. Rumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian.. BAB II : KAJIAN TEORITIK.. 3 BAB III : METODE PENELITIAN. Obyek Penelitian. 7. Teknik Pengumpulan Data Instrumen untuk Mendapatkan Data Teknik Analisis Data... 8 BAB IV : HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Realisasi Instrumen Pengambilan data Hasil Penelitian dan Pembahasan.. BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN. Kesimpulan.. 3. Saran. 3 DAFTAR PUSTAKA.. 4 4

5 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Pada dasarnya semua masalah mekanika bersifat tak linier. Makna tak linier di sini adalah persamaan diferensial yang menggambarkan sistem mekanis yang ditinjau adalah persamaan diferensial tak linier. Masalah mekanika dapat dianggap selesai bila kita telah dapat menyatakan posisi dan kecepatan sistem sebagai fungsi dari waktu. Ini berarti kita harus menyelesaikan persamaan diferensial yang mewakili sistem mekanis tersebut. Namun, sayangnya, upaya mencari solusi secara umum terhadap persamaan diferensial tak linier belumlah seekstensif upaya yang sama untuk persamaan diferensial linier, sehingga tidak mengherankan bila tehnik penyelesaian persamaan diferensial linier lebih banyak diketahui dibandingkan teknik yang sama untuk persamaan diferensial tak linier. Inilah salah satu alasan mengapa persamaan diferensial tak linier biasanya didekati dengan persamaan linier, suatu proses yang dikenal dengan linierisasi. Dalam hal getaran, proses linierisasi biasanya dilakukan dengan mengasumsikan simpangan getaran tidaklah terlalu besar. Dalam banyak hal pendekatan semacam ini cukup bermanfaat, artinya penyelesaian yang diperoleh cukup dapat mewakili keadaan fisis sistem yang ditinjau, sampai dengan tingkat ketelitian tertentu. Namun bila dikehendaki untuk mempelajari perilaku sistem seteliti mungkin, kita harus berupaya menyelesaikan persamaan diferensial tak linier yang memang benar-benar mewakili sistem. Sebagai upaya awal menghidupkan minat penelitian di kawasan tak linier, kami mengajukan kasus riil pendulum tak linier. Proses linierisasi terhadap kasus ini biasanya dilakukan dengan mengasumsikan simpangan pendulum tidaklah besar sehingga sin dapat didekati dengan. Kami berharap dapat meneliti kasus pendulum ini sebagaimana adanya, yakni melalui penyelesaian persamaan diferensial tak linier -yang telah banyak dijumpai pada literatur, misal McLachlan (956)- dan kemudian mencoba membandingkannya dengan hasil eksperimen. Sebagaimana akan ditunjukkan pada bagian kajian teori, periode osilasi ( o ) pendulum tak linier tergantung pada besar sudut 5

6 simpangan maksimum ( ). Secara teknis, tantangan terbesar pada penelitian ini adalah upaya mengukur periode osilasi ( o ) seteliti mungkin sehingga ketergantungan o terhadap dapat diperlihatkan dengan jelas.. Rumusan Masalah Persamaan yang mengatur gerak pendulum adalah persamaan diferensial tak linier. Penyelesaian persamaan tersebut dengan menggunakan bantuan integral elliptikmenunjukkan bahwa periode osilasi pendulum o tergantung pada besar sudut simpangan maksimum. Masalah pada penelitian ini adalah bagaimana mengukur periode osilasi pendulum seteliti mungkin sehingga ketergantungan o pada dapat ditunjukkan dengan jelas. Untuk dapat mengukur periode osilasi tersebut dengan teliti diperlukan sistem alat ukur yang dapat mengukur selang waktu dalam orde 0-6 detik. 3. Tujuan Penelitian a. Mengukur periode osilasi pendulum seteliti mungkin sehingga ketergantungan o pada dapat ditunjukkan dengan jelas. b. Merancang dan membuat sistem alat ukur yang dapat mengukur selang waktu dalam orde 0-6 detik. 4. Manfaat Penelitian Sejauh ini, dari tingkat SMU hingga perguruan tinggi, masalah gerak pendulum selalu didekati sebagai masalah linier. Untuk tingkat perguruan tinggi kami rasa sudah saatnya untuk menjelaskan gerak pendulum tersebut sebagaimana adanya, yakni memperlakukannya sebagai masalah tak linier. Termasuk di dalamnya adalah cara praktikumnya. Dengan demikian, keberhasilan penelitian ini akan memberikan sumbangan yang sangat berharga bagi pengajaran gerak pendulum tersebut. Alat yang digunakan pada penelitian ini akan tetap bisa digunakan dan dikembangkan untuk penelitian masalah tak linier lainnya. Sehingga keberhasilan penelitian ini diharapkan dapat menggugah minat penelitian terhadap masalah-masalah tak linier. 6

7 BAB II KAJIAN TEORITIK Memperhatikan gambar, persamaan gerak untuk pendulum tersebut dapat dituliskan sebagai : Perhitungan percepatan : (massa).(percepatan) + restoring force = 0. () Simpangan s = l ( dalam radian) Kecepatan ds dl = + l dt dt dt = l (karena l konstan) dt d s Percepatan dt d = dt dl = dt ds d = dt dt d + l (l ) dt dt dt d = l dt (karena l konstan) m Gambar : Pendulum mg sin mg Substitusi ke persamaan () diperoleh : sehingga : d m (l ) + mg sin = 0 () dt d g + sin = 0 (3) l dt 7

8 3 5 Karena sin = - + -, derajad (degree) persamaan (3) dalam 3! 5! tidak sama dengan, sehingga persamaan (3) adalah persamaan tak linier. g Dengan v = dan = a, persamaan (3) menjadi : dt l d d Penjabaran : = dt dt Sehingga : dv v + a sin = 0. (4) vdv = - a = dt dt d dv v = dv dv = v = v dt sin + A (5) ( v = a cos + A). ( A adalah konstanta integrasi) dan diperoleh v = a cos + A (6) Jika simpangan maksimum adalah, maka pada simpangan maksimum tersebut v = 0 dan persamaan (6) menghasilkan : Substitusi nilai A ke persamaan (6) menghasilkan : v = a cos - a cos = a (cos - cos ) v = ± ( a )(cos cos ) 0 = a cos + A A = - a cos. = ± (a)(sin sin ) (7) Penjabaran cos = cos ( + dan cos = sin ) = cos - sin = sin 8

9 maka (cos cos ) = { sin ( sin )} Dengan menyatakan sin = (sin sin ). = k dan sin = k sin, persamaan (7) berubah menjadi = v = - a k cos (8) dt Penjabaran a( k k sin ) = a ( k ( sin ) ) Tanda negatif dipilih karena = k a cos. semakin kecil dengan bertambahnya waktu, jika perhitungan waktu dimulai dari saat m berada di simpangan maksimum. Dari sin = k sin dapat diperoleh Penjabaran : Misal U = ; maka sin Misal V = sin U, maka V = k sin cos d = k cos d. = sin U dv dv = du du = Cos U. = Cos.. Sedangkan dari V = k sin, diperoleh Jadi atau cos d = k cos ( k dv = k cos = k cos ; atau cos sin ) d = k cos d (9) k cos Penjabaran d = = cos Dengan mengingat sin k cos ( sin ) = k sin, dapat diperoleh d = k cos. ( k sin ) 9

10 Persamaan (8) dapat ditulis ulang menjadi d = - a k cos dt (8a) Karena (8a) identik dengan (9) maka : atau : k cos ( k dt = - sin ) a( k = - a k cos dt sin ) (0) Jika t = 0 (simpangan maksimum), v = 0 dan dari persamaan (8) dapat diperoleh cos = 0 atau dan jika t = o ( o adalah periode), = 0 dan dari sin = k sin diperoleh 4 sin = 0 atau = 0. Dengan demikian, dengan mengintegralkan (0) antara diperoleh 4 periode, jadi : sampai dengan = 0 o = 4 = = ( ) a 0 0 ( k sin ) a ( k sin ) l g F(k, ) () dengan mengingat a = l g. F(k, ) merupakan integral ellipse, dengan k = sin Dari sini, periode diberikan oleh : ; simpangan maksimum. o = 4 g l F(k, ). () Nilai F(k, ) dapat dilihat pada Abramowitz and Stegun (97). 0

11 BAB III METODOLOGI PENELITIAN. Obyek Penelitian Obyek penelitian ini adalah sistem pendulum riil (sebagaimana adanya). Pendulum yang dipelajari selama ini didasarkan pada asumsi bahwa simpangan sudut kecil sehingga pendulum bersifat linier. Dengan asumsi tersebut mengakibatkan besar sudut simpangan tidak berpengaruh terhadap periode ayunan. Padahal, dalam kenyataannya, periode ayunan tergantung pada besar sudut simpangan.. Teknik Pengumpulan Data Data dalam penelitian ini diperoleh melalui eksperimen. Variabel terikat yang diamati adalah periode pendulum. Sedangkan variabel bebasnya adalah simpangan sudut maksimum dan panjang pendulum. Dalam eksperimen ada beberapa hal yang harus dikendalikan dengan sebaik-baiknya, antara lain tali harus kuat, ringan, halus dan tanpa puntiran; beban pendulum harus kecil tetapi cukup berat; dan tempat eksperimen bebas dari angin. 3. Instrumen untuk Mendapatkan Data Instrumen yang dipergunakan untuk mendapatkan data dalam penelitian ini berupa sistem peralatan pengukur periode pendulum. Sistem peralatan tersebut terdiri dari pemancar cahaya (berkas cahaya sejajar dan sempit, intensitas relatif besar), detektor cahaya (relatif peka), osilator (menghasilkan gelombang kotak dengan frekuensi Mhz presisi), tampilan dan pencatat, dan sistem pengendali pencacahan otomatis. Sistem peralatan yang digunakan adalah rancangan dan buatan sendiri yang dikalibrasi menurut alat ukur standar yang ada dilaboratorium fisika. Diagram peralatannya tampak pada gambar berikut.

12 Simpangan sudut maksimum tali Detektor cahaya Elektromagnet Pemancar cahaya bandul Osilator presisi MHz. Sistem pengendali pencacahan otomatis Pencatat dan tampilan 4. Teknik Analisis Data Berkenaan dengan fenomena yang akan dipelajari melalui penelitian ini, maka data percobaannya akan dianalisis dengan metode grafis, dan uji beda ( t atau F ). Metode grafis untuk melihat secara global terhadap hubungan antara periode pendulum dengan sudut simpangan maksimum. Sedangkan uji beda digunakan untuk menentukan taraf sigifikansi terjadinya perbedaan antara hasil yang diperoleh melalui penelitian ini dan nilai dalam tabel integral ellips.

13 BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Realisasi Instrumen Pengambilan data telah dikemukakan sebelumnya bahwa data yang diamati pada penelitian ini berupa besaran waktu yang menunjukkan periode ayun dari suatu pendulum. Terkait dengan besaran tersebut maka instrumen untuk mendapatkan data pada dasarnya berupa pencacat waktu. Sistem instrumen yang digunakan adalah rancangan dan buatan sendiri yang dikalibrasi menurut alat ukur standar yang ada dilaboratorium fisika. Sistem instrumen tersebut terdiri dari pemancar cahaya (berkas cahaya sejajar dan sempit, intensitas relatif besar), detektor cahaya (relatif peka) beserta rangkaian penguatnya, osilator (menghasilkan gelombang kotak dengan frekuensi Mhz presisi), tampilan dan pencatat, dan sistem pengendali pencacahan otomatis. a. Pemancar dan detektor cahaya 8k 50 k 0 k A 564 LED LDR Z 3V C b. Osilator Osilator 3

14 c. Tampilan 7-segmen CC f g d a e b c 7-segmen CC f g d a e b c Reset Input CD , 8, 4 3, CD , 8, 4 3, 6 + Vcc d. Sistem pengendali volt 4066 Display Digital IN k 0 k 00 C 458 Osilator 4066 CD 4033 c g 7408 k k 4

15 . Hasil Penelitian dan Pembahasan Persamaan () menunjukkan bahwa untuk panjang tali l tertenti terdapat hubungan linier antara periode ayunan τ o dan integral ellipse F(k, ). Nilai integral ellipse tersebut diperoleh dari Abramowitz dan Stegun (97). Berikut ini adalah data hasil penelitian : No. Simpangan maksimum Periode τ o Ψ (dalam derajat) (dalam detik) k F(k, ). 5, ,009, , ,0076, , ,070, ,7097 0,030, , ,0468, , ,0670,5994 Perlu disampaikan bahwa alat ukur yang digunakan untuk mengukur periode satu ayunan (τ o ) dapat mengukur hingga satuan terkecil 0-6 detik. Oleh karena itu, dalam data hasil penelitian perolehan pengukuran periode dapat dinyatakan hingga 6 angka di belakang koma. Tanpa alat ukur seperti yang telah dikembangkan melalui penelitian ini sangat sulit untuk menunjukkan perbedaan periode ayunan karena perbedaan sudut simpangan, terutama untuk perbedaan sudut ayunan yang kecil. Sebagaimana terlihat dalam data hasil penelitian, periode ayunan hanya berbeda pada orde 0 - detik untuk perbedaan sudut ayunan 5 derajat. Garfik yang menyatakan periode τ o sebagai fungsi dari F(k, ) terlihat pada Gambar. Gambar menunjukkan dengan jelas hubungan linier antara periode τ o dan integral ellipse F(k, 5 ). Kesesuaian antara Gambar dengan persamaan () menunjukkan bahwa periode ayunan (τ o ) memang tergantung pada besar sudut ayunan (ψ).

16 Periode (detik),76,75,74,73,7,7,7,69,56,57,58,59,6,6 F(k, /) Gambar : Ketergantungan periode ayunan τ o terhadap sudut simpangan ψ melalui integral ellipse F(k, ) Sebagai hasil samping dari penelitian ini dapat diperoleh nilai percepatan gravitasi (g) di tempat pelaksanaan penelitian (Laboratorium Fisika, FMIPA, UNY), karena gradien (slope) grafik pada Gambar bernilai 4 g l. Dalam penelitian ini diambil l = 89,5 cm dan diperoleh slope =,740987, sehingga didapatkan nilai g = 000,3 cm/detik. Jika dibandingkan dengan nilai g yang diperoleh tanpa memperhitungkan efek ketaklinieran, yakni melalui persamaan τ = π g l, maka secara teori g tak linier memang harus lebih besar dari pada g linier, karena secara umum 4 F(k, ) lebih besar dari pada π. 6

17 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN. Kesimpulan Melalui pengukuran periode ayunan τ o dengan tingkat ketelitian 0-6 detik telah berhasil ditunjukkan dengan jelas efek ketaklinierang pendulum, yaitu bahwa periode ayunan τ o tergantung pada besar sudut simpangan ayunan ψ.. Saran Sistem alat ukur yang telah dikembangkan melalui penelitian ini dapat digunakan untuk mengukur periode ayunan pendulum ganda. Pertama untuk menyelidiki periode ayunan pada daerah linier, di mana hal tersebut secara teori telah dapat diperhitungkan. Ke dua diselidiki secara empiris pendulum ganda di daerah tak linier karena secara teori hal ini cukup sulit dilakukan. 7

18 DAFTAR PUSTAKA Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun (ed), 97, Handbook Of Mathematical Functions, Dover, New York. Derenzo, S.E., 990, Interfacing, Laboratory Approach Using the Microcomputer for Instrumentation, data Analysis, and Control; Prentice-Hall International Inc. Englewood Cliffs. Jones, M.H., 988, A Practical Introduction to Electronic Circuits, Second Edition, Cambridge University Press, Cambridge. Malmstadt, H.V., Enke, C.G., Crouch, S.R., 98, Electronics and Instrumentation for Scientists, The Benjamin/Cumming Publishing Company Inc., California. McLachlan, N.W., 956, Ordinary Non-Linear Differensial Equations in Engineering and Physical Sciences, Oxford, London. 8