BAB III SISTEM NUMERASI

Transkripsi

1 BAB III SISTEM NUMERASI PENDAHULUAN Sejak zaman dahulu kala, manusia berkepentingan dengan bilangan untuk menghitung banyaknya ternak yang dimiliki, mengukur luas sawahnya, untuk berkomunikasi dengan sesamanya. Kebutuhan terhadap bilangan tersebut mulamula sederhana, tetapi makin lama makin meningkat, sehingga manusia perlu mengembangkan sistem numerasi. Sistem numerasi pun terus berkembang selama berabad-abad, dari masa ke masa hingga saat ini. Dengan mempelajari sejarah perkembangan sistem numerasi, notasi pangkat dan algoritma dalam operasi aritmetika, kita dapat lebih menghayati, lebih mengagumi para pendahulu kita. Betapa hebat dan uletnya para penemu yang hidup pada abad-abad yang silam. Betapa indah dan menakjubkannya penemuan-penemuan di dalam bidang matematika tersebut, sehingga kita bisa lebih mencintai dan lebih menyukai matematika yang oleh sebagian besar murid dianggap sebagai hal yang ditakuti. A. Beberapa Sistem Numerasi Sebelum membicarakan sistem numerasi, sebaiknya kita mengetahui apakah yang dimaksud dengan bilangan dan lambang bilangan. Perbedaan antara bilangan dan lambang bilangan adalah perbedaan antara objek dan nama objek tersebut. Nomor halaman yang Anda lihat pada halaman buku ini bukanlah suatu bilangan melainkan lambang bilangan. Lambang bilangan adalah simbol yang melambangkan suatu bilangan. Simbol yang digunakan untuk menyatakan atau menggambarkan suatu bilangan dapat bermacam-macam, misalnya 4; 2+2; 2.2; 3+1; dan sebagainya. Semua simbol tersebut menyatakan sebuah bilangan yang sama. Untuk membuat lambang bilangan digunakan simbol yang disebut angka. Bagian ini akan membicarakan beberapa macam angka yang digunakan untuk menyatakan bilangan dalam sistem nuinerasi. 47

2 Secara umum, sistem numerasi yang pertama-tama digunakan, merupakan sistem penjumlahan, sistem perkalian, dan sistem nilai tempat. Sistem penjumlahan yang mula-mula digunakan, dinyatakan dengan sekumpulan simbolsimbol. Sebuah bilangan yang dinyatakan dengan kumpulan simbol, merupakan jumlah dan bilangan-bilangan yang dinyatakan oleh masing-masing symbol. Misalnya : adalah simbol-simbol dalam sistem Mesir, artinya 111( ) b. XI adalah simbol-simbol dalam sistem Romawi yang artinya 1(10 + 1) Berikut ini akan dikenalkan beberapa sistem numerasi yang pernah digunakan dan dikembangkan oleh para pendahulu kita. 1. SistemTurus Salah satu sistem numerasi yang pertama-tama digunakan adalah sistem turus. Sistem ini menggunakan simbol tongkat untuk menyatakan suatu bilangan. Misalnya, menunjukkan bilangan 6 ternak. Hingga saat kini pun kita masih menggunakan sistem turus ini, misalnya untuk mencatat skor suatu pertandingan olahraga. Sebagai ilustrasi :5 dan, merupakan simbol-simbol yang menunjukkan bilangan yang sama. 2. Sistem Mesir Kuno Sistem numerasi. ini merupakan salah satu pelopor dan. sistem penjumlahan yang tercatat dalam sejarah yaltu ± 3000 S.M (Glenn, John and Litter, Graham dalam A Dictionary of Mathematics, 1984, p.58). Tulisan pada jaman Mesir (± 650 S.M) ditulis pada papyrus (dari kata papu, yaitu semacam tanaman) atau pada perkamen (kulit kambing). Sistem mi menggunakan simbol berupa gambar-gambar: 48

3 Gambar 3.1 Simbol-simbol dalam sistem Mesir dapat diletakkan dengan urutan sebarang, sehingga untuk menyatakan suatu bilangan yang sama dapat ditulis dengan beberapa cara. Dengan perkataan lain, sistem Mesir tidak mengenal nilai tempat (sedang dalam sistem yang kita gunakan, 43 nilainya berbeda dengan 34). Contoh 1 : 43 dapat ditulis sebagai: Contoh 2 : Dengan sistem Mesir mi, juga dapat dilakukan penjumlahan. Pada gambar 3.2 dapat dilihat prosedur mencari jumlah dua bilangan 397 dan (a)

4 Gambar 3.2 Gambar 2.2. (a) menunjukkan penjumlahan dalam sistem Hindu Arab. Gambar 3.2. (b) menunjukkan penjumlahan dua bilangan yang sama dalam sistem Mesir. Catatan : Sebenarnya, apakah yang dilakukan dalam operasi penjwnlahan dengan menggunakan sistem Mesir di atas? Tak lain, hanyalah melakukan pengelompokan ulang. 10 tongkat ( I ) menjadi 1 tulang tumit ( ); 10 tulang tumit ( ) menjadi 1 gulungan ) 10 gulungan ) menjadi tanda 1 bunga teratai ( ) demikian seterusnya. Pada contoh Gb. 2.2 di atas, dapat dilihat, terdapat 12 tongkat. 12 tongkat itu dikelompokkan lagi menjadi 1 tulang tumit dan 2 tongkat ( ). Berikutnya, 13 tulang tumit + 1 tulang tumit (yang diperoleh dari 10 tongkat) dikelompokkan menjadi 1 gulungan dan 4 tulang tumit ). Kemudian 11 gulungan + 1 gulungan (yang diperoleh dan 10 tulang tuinit) dikelompokkan menjadi 1 bunga teratai dan 2 gulungan 50

5 10 gulungan). 3. Sistem Babilonia Dan akhirnya terdapat 3 bunga teratai + 1 bunga teratai (diperoleh dan Sistem numerasi Babilonia ini digunakan kira-kira 3000 S.M - 0 S.M (Glenn, John and Litter, Garaham dalam A Dictionary of Mathematics, 1984 p.13). Pada masa itu orang menulis angka-angka dengan sepotong kayu pada tablet yang terbuat dan tanah hat (clay tablets). Simbol baji V digunakan untuk menyatakan 1 dan simbol < untuk 10. Kedua simbol tersebut digunakan untuk menyatakan bilangan-bilangan 1-59, yaitu dengan cara menuliskan kedua simbol itu secara berulang. Contoh 1 : <<<VVVVV berarti : 35 Selanjutnya untuk menyatakan 60 dan 1 ditulis dengan symbol yang sama, yaitu V. Beda antara 60 dan 1 ditunjukkan dengan adanya jarak yang agak jauh di antara simbol-simbol itu. Contoh 2: a) V <V berarti = 71 b) VV VV berarti = 122 c) V< <<V berarti = 681 Ciri-ciri dan sistem Babilonia : a) Menggunakan bilangan dasar (basis) 60. b) Menggunakan nilai tempat (setiap posisi dipisahkan oleh sebuah jarak) c) Simbol-simbol yang digunakan adalah V dan < (lihat gambar 2.3) d) tidak mengenal simbol 0 (nol). Gambar

6 Contoh 3: (a) V < <V artinya : l(60) (60) + 1l (b) < V << V artinya : l0( (60) (60) + 1 (c) VV V << artinya : 2( (60) + 20 Sistem Babilonia ini cepat hilang karena tidak menggunakan simbol nol. Sistem angka lain yang menarik adalah sistem Maya. 4. Sistem Maya Sistem ini menggunakan basis 20, tetapi bilangan kelompok kedua adalah (18)(20) sebagai ganti dari (20)2, bilangan kelompok ketiga adalah (18)(20) 2 sebagai ganti dari (20), dan seterusnya (18)(2O) n. Bilangan-bilangan di bawah basis (20) ditulis secara amat sederhana dengan titik (kerikil) untuk satu dan tangkai ( ) untuk lima. Gambar 3.4 Ciri-ciri sistem numerasi Maya: a) Menggunakan basis 20 b) Mengenal simbol 0 yaitu (8) c) Ditulis secara tegak atau vertikal. Gambar

7 5. Sistem Romawi (± 500 SM ) Sistem numerasi Romawi ini menggunakan basis 10. Pada dasarnya, sistem Romawi ini merupakan sistem penjumlahan dan sistem perkalian. Jika simbol-simbol sebuah angka mempunyai nilai yang menurun dari kiri ke kanan, maka nilai angka tersebut dijumlahkan. Sebaliknya jika sebuah angka mempunyai nilai yang naik dari kiri ke kana, maka nilai angka tersebut dikurangkan. Dalam hal pengurangan, sebuah angka tidak pernah ditulis lebih dari 2 simbol, misalnya IV, IX, XL, CD, CM. Contoh : CX = = 110 (dari kiri ke kanan nilainya menurun, jadi dijurnlahkan). XC = = 90 (dari kiri ke kanan nilainya naik, jadi dikurangkan). Posisi dari sebuah simbol/huruf menduduki tempat yang penting, karena CX dan XC merupakan dua angka yang berbeda, yaitu 110 dan 90. Tetapi walaupun demikian, sistem Romawi ini tidak menggunakan nilai tempat. Hingga saat ini sistem Romawi ini masih sening digunakan. Gambar 3.6 Dalam sistem Romawi, penulisan sebuah bilangan tidak boleh menggunakan lebihdari 3 simbol yang sama secara berurutan. Contoh 1: 4 ditulis IV dan bukan IIII 9 ditulis IX dan bukan VIIII Untuk menulis sebuah bilangan yang besar digunakan. simbol garis ( _ ) di atas simbol yang bersangkutan, misalnya V berarti 5 dikalikan 1000, atau Lambang V berarti 5 dikalikan , atau

8 Jadi sebuah simbol yang dibeni tanda garis di atasnya menunjukkan sebuah bilangan yang ditunjukkan simbol tersebut dikalikan dengan Jika tanda garisnya dua buah, maka dikalikan dengan , demikian seterusnya. Contoh 2: a) MMMDCCLXIII = = 3763 b) MMMXCDCCXLIX = = c) VI = d) VII = e) IVDCXLVII = = f) LMDXXI = = Sistem Arab-Hindu (mulai dipakai ± tahun 1000) Ciri-ciri sistem Arab-Hindu: a) Menggunakan basis 10 b) Menggunakan nilai tempat c) Menggunakan angka : 1, 2, 3, 4,..., 9 d) Mengenal simbol 0 (nol). Karena sistem ini menggunakan basis 10 maka disebut juga sebagai sistem desimal. Sistem desimal ini menggunakan ide nilai tempat, misalnya 492 : 4 menunjukkan 4 buah himpunan seratusan (400) 9 menunjukkan 9 buah himpunan sepuluhan (90) 2 menunjukkan 2 buah himpunan satuan (2) Contoh 1 : Gambar berikut menunjukkan nilai tempat dan angka-angka dalam 192, , dan

9 Gambar 3.6 Contoh 2 : Angka 3 terdapat pada tiap lambang 123, 231 dan 321. Karena posisinya, maka angka tiga tersebut mempunyai nilai yang berbeda-beda. Pada lambang 123 ; 3 berarti 3 satuan (3). Pada lambang 231 ; 3 berarti. 3 puluhan (30). Pada lambang 321 ; 3 berarti 3 ratusan (300). Dalam sistem desimal, setiap posisi yang berurutan (dari kanan ke kiri), harus dikalikan dengan 10. Tempat pertama (paling kanan) menunjukkan ada berapa buah satuan, tempat kedua menunjukkan ada berapa buah (l0 x l)-an, tempat ketiga menunjukkan ada berapa buah (l0 x l0)-an, tempat keempat menunjukkan ada berapa buah (l0 x l0 x l0)-an, demikian seterusnya. Jadi 4567 adalah kependekan dari : 4 ( ) + 5 (10.10) + 6 (10) + 7 (1) atau : 4 (10) 3 + 5(10) 2 + 6(10) 1 + 7(1) 0 Penulisan di atas disebut sebagai notasi bentuk panjang dan Untuk memudahkan penggunaan ide di atas, Anda dapat mempelajari penjelasan mengenai notasi pangkat. Contoh: Tuliskan lambangnya dalam bentuk panjang untuk bilangan: a) b) c) Jawab: 55

10 a) = 7(10.000) + 6(1000) + 3(100) + 9(1) b) = 4(1000) + 5(100) + 3(10) + 8(1) c) = 9(1000) + 3(100). Kadang-kadarig a dan c ditulis sebagai: = 7(10.000) + 6(1000) + 3(100) + 0(10) + 9(1) atau = 7(10) 4 + 6(10) 3 + 3(10) 2 + 0(10) 1 + 9(10) 0 dan = 9(1000) + 3(100) + 0(10) + 0(1) atau = 9(10) 3 + 3(10) 2 + 0(10) 1 + 0(10) 0 Penulisan bentuk terakhir mi disebut penulisan dalam bentuk baku dengan basis 10 (pangkat menurun). LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Tuliskan lambang-lambang berikut dengan notasi bentuk panjang : Contoh : 1234 = 1(1000) + 2(100) + 3(10) + 4(1) a) b) c) Tulislah dengan notasi bentuk baku basis 10. a) 3(1000) + 2(10) + 5 b) 7(100) + 3(10) c) 2( ) Tulislah setiap lambang bilangan pada nomor 1 dengan menggunakan sistem Mesir dan Romawi. 4. Nyatakan nilai tempat angka 6 pada tiap lambang bilangan di bawah ini: a) 3674 b) 637 c) 6 d) Lengkapilah dengan lambang bilangan tabel berikut: 56

11 6. Tulislah dengan sistem Babilonia : a) 76 b) 184 c) Pada suatu han Bram bermimpi menjual 1ayang-layangnya di pasar internasional. Ia memiliki 153 buah layang-layang. Pembeli pertama adalah seorang Mesir, ía membeli sebanyak buah. Pembeli kedua adalah seorang Babilonia, ía membeli sebanyak <<< VVVVVVVV buah dan pembeli ketiga adalah seorang Romawi sebanyak XIV buah. Akhirnya seorang Asia ingin memborong layang-layang yang tersisa. Berapa buah layang-layangkah yang dibeli oleh orang Asia tersebut? B. Notasi Pangkat Dalam sistem numerasi yang menggunakan nilai tempat, akan lebih mudah dipahami jika menggunakan notasi pangkat. Seperti penulisan , bisa ditulis 3 4. Definisi : Jika a dan n masing-masing merupakan bilangan asli, maka pangkat ke n dan a, ditulis a n didefinisikan sebagai: Padanotasi pangkat a n a disebut bilangan pokok n disebut pangkat atau eksponen, dan a n disebut bilangan berpangkat. Sebuah bilangan yang lambangnya ditulis dalam bentuk a n dikatakan sebagai bilangan yang ditulis dalam bentuk pangkat (notasi ini diperkenalkan oleh seorang ahli matematika Perancis, Descartes pada abad XVI). 57

12 Con toh : Bilangan berpangkat merupakan bilangan pokok, 4 merupakan pangkat/eksponen dan bilangan berpangkat tersebut. 7 4 dibaca tujuh pangkat empat, yang berarti Dengan menggunakan pola tertentu kita dapat mengembangkan suatu sifat bilangan berpangkat misalnya : (a)(a 2 ) = (a)(a.a) = a.a.a = a 3 (a 2 )(a 3 ) = (a.a).(a.a.a) = a.a.a.a.a = a 5 (a 3 )(a 4 ) = (a.a.a).(a.a.a.a) = a.a.a.a.a.a.a = a 7 atau (a)(a 2 ) = a 1+2 (a 2 )(a 3 ) = a 2+3 (a 3 )(a 4 ) = a 3+4 Secara umum, jika a, m, dan n merupakan bilangan asli, maka : = (a.a..... a) = sebanyak m + n faktor = a m+n Sifat : Jika a, m, dan n merupakan bilangan asli, maka a m.a n = a m+n. Selanjutnya bagaimanakah dengan a 0? Jika ingin mendefinisikan a 0 maka digunakan sifat di atas: a 0.a 0 = a m+0 Karena m + 0 = m, maka : a m.a 0 = a m Padahal a m.1 = a m ; ini berarti a 0 = 1. Dari sini dapat dibentuk sebuah definisi baru. Jika a bilangan asli, maka a 0 = 1 58

13 Berdasarkan definisi pangkat : = (5.5.5)(4.4.4) dan sifat komutatif dan asosiatif perkahian pada bilangan asli, maka pernyataan di atas dapat ditulis : (5.5.5).(4.4.4) = (5.4).(5.4).(5.4) = (5.4) 3 Secara umum : a m.b m = (a.a.a.... a). (b.b. b.... b) sebanyak m faktor sebanyak m faktor = (a.b).(a.b).(a.b).(a.b) (a.b) sebanyak m faktor = (ab) m Sifat : Jika a,b, dan m merupakan bilangan asli, maka : A m.b m = (ab)m Dengan cara yang sama: (2 3 ) 4 = = = = 2 12 Secara umum : (a m ) n = (a m. a m. a m a n ) = a mn sebanyak n faktor Sifat: Jika a,b,m, dan n merupakan bilangan asli, maka : (a m ) n = a mn Contoh: a) =1 b) = = 10 8 c) (5x) 7 = 5 7.x 7 LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Tulislah dalam bentuk pangkat! 59

14 a) 9.36 b) 2x.2x.2x.2x c) ab.ab.ab d) Tulislah lambang setiap bilangan berikut dalam bentuk notasi. pangkat dengan bilangan pokok 2,3,5,7, atau 11. Contoh : 625 = 5 4 a) 32 b) 121 c) 1 d) 125 e) Carilah nilai k agar setiap pernyataan di bawah ini benar. a) (3 2 ).( ) = 3 k b) = k 7 c) 5 k.5 2 = 5 8 d) 3 k 3 k = 1 e) = 20 k f) 6 k+1 = Tulislah dalam bentuk yang lebih sederhana : a) b) 5a a 3 c) 4a 5 + 6a 5 d) Dengan menggunakan nilai tempat, kita dapat menentukan manakah bilangan yang terbesar dan dua bilangan yang diketahui. Contoh : lebih besar dari karena : Jika diatur secara vertikal dan rapat kanan, kemudian dibandingkan angka demi angka, maka páda posisi ribuan, 5 lebih besar dan 4. Jadi lebih besar dari =3 0=0 5 > 4 Dengan menggunakan prosedur di atas, tentukan bilangan manakah yang lebih besar dan tiap pasang bilangan berikut. a) ; b) ; c) ; Dengan menggunakan prosedur di atas, susunlah setiap barisan bilangan berikut, dan yang terkecil sampai dengan yang terbesar. 60

15 a) ; ; b) ; ; ; c) ; ; ; d) ; ; ; Isilah tempat yang kosong semilyar seratus juta sepuluh juta seratus sepuluh Tulislah bilangan berpangkat ini diurutkan, dari yang terkecil sampai yang terbesar : 2 5, 10 2, 3 4, 9 1, 136 0, 5 4, Sederhanakanlah bilangan berpangkat berikut: (misalnya = ) a) b) c) d) e) f) C. Sistem Numerasi dengan Nilal Tempat Sekarang marilah kita kembali ke sistem numerasi yang menggunakan nilai tempat. Dalam sistem numerasi yang biasa digunakan, apakah artinya jika ditulis 37? Kita mengatakan, terdapat 3 himpunan yang masing-masing beranggotakan 10 elemen dan 7 himpunan yang masing-masing beranggotakan 1 elemen. Dan diagramnya adalah sebagal berikut: 61

16 Gambar 3.7 Demikian juga dengan 24 adalah sebagai berikut: Gambar 3.8 Misalnya kita menggunakan basis/bilangan dasar yang bukan sepuluh, apakah artinya jika ditulis 23 lima.? Dalam hal ini, basis yang digunakan adalah 5 dan simbol yang digunakan cukup 0, 1, 2, 3, 4. Lambang 23 lima berarti 2 himpunan yang masing masing beranggotakan 5 elemen dan 3 himpunan yang masing-masing beranggotakan 1 elemen. Dan diagramnya adalah sebagai berikut: Gambar

17 Gambar 3.10 Secara umum, pada notasi bilangan dengan menggunakan nilai tempat dapat digambarkan sebagai berikut : (b) basis 5 basis 4 basis 3 basis 2 basis 1 basis 0 Contoh 1: Notasi 123 lima, melambangkan: 1 himpunan lima lima-an 63

18 2 himpunan lima-an dan 3 himpunan satuan Hal ini dapat digambarkan sebagai Gb berikut: Gambar 3.11 Selanjutnya lambang bilangan diubah menjadi lambang lain dengan basis yang berbeda. Contoh 2: Tulislah 234 lima ke dalam lambang berbasis sepuluh. Jawab : Pertama-tama dibuat diagram himpunan dalam basis 5; di sini membutuhkan 2 himpunan lima. lima-an 3 himpunan lima-an, dan 4 himpunan satuan. (Gambar 2.13.a) Pada gambar 2.13.b, menunjukkan setelah diadakan pengelompokan dan himpunan tersebut menjadi himpunan sepuluh-an, sehingga didapat : 234 lima = 69 sepuluh = 69 (keterangan basis sepuluh tidak ditulis). Gambar

19 Selanjutnya ikutilah contoh meimbangkan bilangan berbasis 3. Untuk ini diperlukan 4 himpunan baku dan 3 simbol angka seperti berikut : Gambar 3.13 Contoh 3 : Buatlah diagram yang menggambarkan 212 tiga. 2 himpunan tiga-tiga-an 1 himpunan tiga-an 2 himpunan satuan Diagram adalah sebagai berkut : Gambar 3.13 Contoh 4: Tulislah 44 ke dalam lambang basis 3. 65

20 Gambar 3.13 Pertama-tama buatlah diagram dengan 44 elemen. Kemudian kelompokkan menjadi himpunan tigaan (gambar 23..(a)), ternyata masih bersisa 2 elemen (2 himpunan satuan). Gambar 2.16 (b) menunjukkan pengelompokan berikutnya, yaitu himpunan tiga-tiga-an (4 buah), himpunan tiga-an (2 buah) dan himpunan satuan (2 buah). Akhirnya dibentuk himpunan tiga (tiga-tiga)-an (1 buah), 66

21 himpunan tiga-tiga-an (1 buah), himpunan tigaan (2 buah), himpunan satuan (2 buah) (gambar 2.16.(c)). Sehingga didapat 44 sepuluh = 1122 tiga Jika Anda mengalami kesukaran, maka gunakanlah benda-benda nyata sebagai model misalnya pipa sedotan yang dipotong-potong, mata uang logam, kerikil, kelereng, jepitan kertas, dan sebagainya. Kini marilah kita meningkat pada cara lain yang tidak lagi menggunakan gambar-gambar. Misalnya kita ingin mengubah 34 lima ke basis sepuluh. 34 lima artinya terdapat 3 himpunan limaan dan 4 himpunan satuan sehingga 34 lima = ( lima ) dengan 10 lima = 5 sepuluh. Jadi 34 lima = ( lima ) = ( sepuluh ) = (15 + 4) sepuluh = 19 sepuluh = 19 Contoh 5 : a) 124 lima =.. sepuluh 124 lima = ( ) ) lima = ( ) sepuluh = ( ) sepuluh = 39 sepuluh b) 432 enam = sepuluh 432 enam = ( ) enam = ( ) sepuluh = ( ) sepuluh = 164 sepuluh c) 323 empat = sepuluh = ( ) empat = ( ) sepuluh = ( ) sepuluh = 59 sepuluh Contoh-contoh di atas dapat juga dikerjakan dengan cara sebagai berikut: 67

22 Gambar 3.13 LATIHAN Kerjakan ltihan berikut sebagai latihan. 1. Tulislah lambang bilangan dalam lambang bilangan dengan basis ; a) lima b) dua c) tiga d) delapan 2. Tulislah lambang bilangan dalam basis tujuh, bilangan asli mulai1 tujuh sampai dengan 35 tujuh 3. Buatlah diagram untuk menggambarkan proses perubahan suatu notasi bilangan dari basis yang satu ke basis yang lain (seperti contoh 4). a) 32 sepuluh = lima b) 42 enam = delapan c) 311 empat = lima d) 110tiga = delapan 4. Tuhislah lambang bilangan berikutnya setelah setiap lambang bilangan berikut; misalnya : setelah 125 sepuluh adalah 126 sepuluh. Setelah 11 dua adalah 100 dua a) 144 lima b) 2222 tiga c) 1011 dua d) 788 sembilan 68

23 5. Ubahlah ke basis yang diminta (tanpa menggambar diagram). a) 175 sepuliuh = lima b) 134 tujuh =.. tiga c) 108 sembilan =.. delapan 69