oleh AHMAD ISNAINI HASAN NIM. M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

Transkripsi

1 digilib.uns.ac.id PERBANDINGAN PENAKSIR METODE KAPLAN-MEIER DAN METODE MODIFIKASI KAPLAN-MEIER PADA ANALISIS TAHAN HIDUP PENDERITA LEUKEMIA DI RSUD Dr. MOEWARDI SURAKARTA oleh AHMAD ISNAINI HASAN NIM. M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit 2011 to user i

2 digilib.uns.ac.id ii

3 digilib.uns.ac.id ABSTRAK Ahmad Isnaini Hasan, PERBANDINGAN PENAKSIR METODE KAPLAN-MEIER DAN METODE MODIFIKASI KAPLAN-MEIER PADA ANALISIS TAHAN HIDUP PENDERITA LEUKEMIA DI RSUD Dr. MOEWARDI SURAKARTA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Leukemia merupakan penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan sel darah putih yang sangat cepat dan tidak terkendali. Probabilitas tahan hidup penderita leukemia dapat dicari dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modiikasi Kaplan-Meier. Penelitian ini membandingkan estimasi ungsi tahan hidup pada penderita leukemia menggunakan penaksir metode Kaplan- Meier dan dengan metode modiikasi Kaplan-Meier. Penaksir Kaplan-Meier dimodiikasi dengan menggunakan pendekatan dari ungsi tahan hidup distribusi Weibull. Berdasarkan hasil penelitian diketahui bahwa nilai estimasi dengan penaksir modiikasi Kaplan-Meier terlihat lebih baik dan lebih masuk akal dibanding penaksir Kaplan-Meier. Selain itu dari studi simulasi diketahui bahwa nilai mean square error (MSE) dari penaksir metode modiikasi Kaplan-Meier lebih kecil daripada metode Kaplan-Meier. Hal ini menunjukkan bahwa penaksir modiikasi Kaplan-Meier lebih baik dibanding penaksir Kaplan-Meier biasa. Kata kunci : leukemia, probabilitas tahan hidup, penaksir Kaplan-Meier, MSE. iii

4 digilib.uns.ac.id ABSTRACT Ahmad Isnaini Hasan, COMPARISON OF ESTIMATOR WITH KAPLAN MEIER METHOD AND MODIFICATION OF KAPLAN MEIER METHOD ON SURVIVAL ANALYSIS FROM LEUKEMIA PATIENTS IN Dr. MOEWARDI PUBLIC HOSPITAL, SURAKARTA. Faculty o Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Leukemia is a disease signed o very ast and uncontrolled leukocytes addition. Survival probability o leukemia patients can be ound by Kaplan Meier method and modiication o Kaplan Meier method. This research compare survival unctions estimation on the leukemia patients using Kaplan- Meier method and modiication o Kaplan-Meier method. Kaplan-Meier estimator will be modiied using approximation o survival unction by Weibull distribution. Based on this research results, it is known that the estimation value using modiication o Kaplan-Meier estimator is better and more reasonable than Kaplan-Meier estimator. Thereore, rom simulation study it is known that the MSE o estimator with modiication o Kaplan-Meier method is smaller than Kaplan-Meier method. It shows that modiication o Kaplan-Meier estimator is better than the original Kaplan-Meier estimator. Keywords : leukemia, survival probability, Kaplan-Meier method, MSE. iv

5 digilib.uns.ac.id MOTO Sesungguhnya Allah tidak akan mengubah keadaan sesuatu kaum sebelum mereka mengubah keadaan yang ada pada diri mereka sendiri (Q.S. Ar Ra d : 11) v

6 digilib.uns.ac.id PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan untuk Ayah ibuku tercinta yang telah membimbingku dari kecil hingga saat ini Kakak dan adikku tersayang yang telah memberi semangat dan doa vi

7 digilib.uns.ac.id KATA PENGANTAR Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan banyak kenikmatan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada 1. Drs. Sugiyanto, M.Si. sebagai dosen Pembimbing I dan Drs. Muslich, M.Si. sebagai dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis selama menyelesaikan skripsi ini, 2. Pihak RSUD Dr. Moewardi Surakarta, 3. Nurul Azizah Rahmawati yang selalu memberi motivasi saat penulis kehilangan semangat, 4. Drajat, Markus, Ahmad, Anam, Wawan Yudha, Anis serta semua temanteman angkatan 2006 atas kerjasama dan bantuan yang diberikan saat penulis menghadapi kendala dalam penyusunan skripsi ini, 5. Semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat penulis sebut satu per satu. Semoga Allah SWT membalas semua kebaikan yang telah mereka berikan selama ini dan semoga skripsi ini dapat memberi manaat. Surakarta, Desember 2011 Penulis vii

8 digilib.uns.ac.id DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i PENGESAHAN... ii ABSTRAK... iii ABSTRACT... iv MOTO... v PERSEMBAHAN... vi KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... viii DAFTAR TABEL... x DAFTAR GAMBAR... xi BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manaat Penelitian... 3 BAB II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Teori-Teori Penunjang Leukemia Konsep Dasar Statistika Konsep Dasar Analisis Tahan Hidup Model Kontinu Model Diskrit Jenis-Jenis Sensor Fungsi Tahan Hidup Distribusi Weibull Fungsi Tahan Hidup Distribusi Eksponensial Metode Maksimum commit Likelihood to user viii

9 digilib.uns.ac.id Penaksir Kaplan-Meier Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan M = Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan M > Kerangka Pemikiran BAB III METODE PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN Deskripsi Data Penaksir Kaplan-Meier Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan M = Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan M = Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan Penaksir Kaplan-Meier Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan Penaksir Modiikasi Kaplan-Meier Studi Simulasi BAB V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA DAFTAR LAMPIRAN ix

10 digilib.uns.ac.id DAFTAR TABEL Tabel 4.1 Ringkasan data penderita Leukemia Limositik Akut x

11 digilib.uns.ac.id DAFTAR GAMBAR Gambar 4.1 Graik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM Gambar 4.2 Graik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier untuk M = 2 dan M = Gambar 4.3 Perbandingan Graik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM, S 2 t dan S 3 t Gambar 4.4 Perbandingan Graik Estimasi Fungsi Tahan Hidup Data Simulasi dengan S t, KM(t), S 2 t dan S 3 t Gambar 4.5 Graik Perbandingan Nilai MSE KM(t), S 2 t dan S 3 t xi

12 digilib.uns.ac.id BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Analisis statistik yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup dinamakan analisis tahan hidup. Waktu hidup dideinisikan sebagai variabel random nonnegati sehingga analisis tahan hidup adalah suatu analisis statistik pada variabel random nonnegati yang berungsi untuk mengetahui ketahanan hidup suatu obyek yang diteliti. Salah satu metode analisis tahan hidup adalah estimasi ungsi tahan hidup. Fungsi tahan hidup dideinisikan sebagai probabilitas tahan hidup sampai waktu tertentu (Lawless, 1982). Data tidak tersensor yang disebut data lengkap lebih baik digunakan dalam analisis tahan hidup karena dapat memberikan inormasi terhadap ketahanan hidup semua unit dalam sampel. Akan tetapi, dalam melakukan suatu penelitian yang berhubungan dengan waktu hidup, sering dijumpai kendala-kendala antara lain keterbatasan dana, waktu, dan tenaga sehingga sulit mendapatkan data lengkap. Oleh karena itu, data waktu hidup biasanya merupakan data tak lengkap atau data tersensor (Nelson, 1982). Salah satu permasalahan yang menyangkut tahan hidup dijumpai dalam bidang kesehatan, sebagai contoh penyakit leukemia (kanker darah). Leukemia merupakan suatu penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan sel darah putih (leukosit) pada penderita. Pertambahan ini sangat cepat dan tidak terkendali serta bentuk sel-sel darah putihnya tidak normal. Penyakit leukemia memberi andil sebesar empat persen dari seluruh penyakit kanker penyebab kematian pada manusia (Yatim, 2003). Agar angka tersebut tidak terus bertambah maka ketepatan dalam pemberian obat atau perawatan terhadap pasien menjadi sangat penting dan tidak lepas dari pengamatan tentang waktu hidup pasien Fungsi tahan hidup penderita leukemia dapat diestimasi dengan menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier. Kelebihan dari penaksir Kaplan- Meier adalah dapat digunakan untuk data yang tersensor (Lawless, 1982). Data yang tersensor dapat diartikan commit sebagai to data user yang hilang dalam penelitian, 1

13 digilib.uns.ac.id 2 misalnya seorang pasien yang telah dikenai perlakuan dan sedang dalam masa penelitian menghilang, mungkin karena pindah rumah sakit atau alasan lain. Menurut Rossa dan Zielinski (2002), penaksir Kaplan-Meier juga mempunyai kelemahan, yaitu pada sampel yang kecil dan menengah dimana jarak antara dua waktu yang berurutan, misalnya t 1 dan t 2 (dengan t 1 < t 2 ) dan selang waktu t 1 dan t 2 cukup besar maka nilai penaksir Kaplan-Meier KM(t 1 ) dan KM(t 2 ) akan mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama KM t 1 = KM(t 2 ). Untuk mengatasi masalah ini Rossa dan Zielinski (2002) melakukan modiikasi terhadap penaksir Kaplan-Meier dengan menggunakan pendekatan dari distribusi Weibull. Modiikasi penaksir Kaplan-Meier dinotasikan dengan S M (t). Nilai S M (t) merupakan penaksir untuk nilai P(T t) yang berbasis pada M persekitaran pada t, nilai M dapat dipilih dengan syarat M = 2, 3,. Rossa dan Zielinski (2002) menggunakan metode modiikasi Kaplan-Meier untuk mengestimasi ungsi tahan hidup pada data leukemia hasil penelitian Freireich (1963). Oleh karena itu penulis tertarik untuk mengaplikasikan penelitian Rossa dan Zielinski (2002) dengan membandingkan metode Kaplan-Meier dan metode modiikasi Kaplan-Meier pada analisis tahan hidup penderitan leukemia di RSUD Dr. Moewardi Surakarta. Selain menggunakan data penderita leukemia, pada penelitian ini juga menggunakan data dari simulasi agar perbedaan hasil estimasi antara kedua penaksir tersebut semakin terlihat jelas. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, maka perumusan masalahnya adalah bagaimana menentukan estimasi ungsi tahan hidup dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan dengan metode modiikasi Kaplan-Meier baik pada penderita leukemia maupun pada data simulasi serta bagaimana perbandingan kedua penaksir tersebut. 1.3 Batasan Masalah Agar tidak memperluas pembahasan, maka penelitian ini dibatasi pada hal berikut :

14 digilib.uns.ac.id 3 1. Data yang digunakan adalah data penderita Leukemia Limositik Akut (LLA) yang diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta dan data simulasi berdistribusi eksponensial yang dibangkitkan secara random dengan sotware R. 2. Estimasi ungsi tahan hidup dengan penaksir metode modiikasi Kaplan- Meier hanya untuk M = 2 dan Tujuan Penelitian Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah menentukan estimasi ungsi tahan hidup pada data penderita leukemia dan data simulasi dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modiikasi Kaplan- Meier serta membandingkan hasil estimasi dari kedua penaksir tersebut. 1.5 Manaat Penelitian Penelitian diharapkan dapat menambah wawasan dalam bidang statistika dan kesehatan. Dalam bidang statistika, dapat menerapkan atau mengaplikasikan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modiikasi Kaplan-Meier pada suatu penyakit. Dalam bidang kesehatan, setelah diketahui probabilitas tahan hidup penderita leukemia diharapkan pihak rumah sakit dapat lebih waspada dan meningkatkan pelayanan medis terhadap penderita leukemia.

15 digilib.uns.ac.id BAB II LANDASAN TEORI Pada bagian pertama dari bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi hasil-hasil penelitian sebelumnya yang menjadi dasar penelitian ini. Pada bagian kedua dari bab ini diberikan teori-teori penunjang yang berisi deinisi dan teori yang mendukung dalam mencapai tujuan penulisan. Pada bagian ketiga dari bab ini disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini. 2.1 Tinjauan Pustaka dd Menurut Belson (2007) berdasarkan karakteristik sosiodemograi (variabel orang), leukemia pada umumnya terjadi pada usia dibawah 15 tahun dan puncaknya terjadi pada umur 2-5 tahun, kasus lebih banyak terjadi pada laki-laki daripada perempuan. Dari penelitian yang dilakukan di Amerika ditemukan bahwa leukemia lebih banyak terjadi pada anak dengan ras kaukasoit (kulit putih) dibandingkan dengan ras lain. Mahoney (1955) menyebutkan bahwa tingkat resiko leukemia pada orang yang tinggal m dari daerah ledakan bom atom Hiroshima dan Nagasaki 20 kali lipat lebih tinggi dibandingkan populasi umum (di luar daerah tersebut). Kejadian lain adalah bencana radioakti Chernobyl yang menyebabkan tanah, air dan tanaman terkontaminasi bahan radioakti pada sebagian besar wilayah Eropa Timur. Negara Belarusia, Rusia dan Ukraina adalah negara yang paling banyak terkontaminasi. Negara-negara ini menjadi tempat dimana banyak ditemukan kasus leukemia. Kent et al. (2009) menyebutkan bahwa di Caliornia, leukemia merepresentasikan masing-masing sebesar 35%, 5% dan 2% pada seluruh penyakit kanker pada usia 0-14 tahun, tahun dan tahun. Kent et al. (2009) melakukan penelitian pada kasus leukemia yang terjadi pada penderita berusia 0-39 tahun. Penelitian dilakukan menggunakan metode Kaplan- Meier dan regresi Cox proporsional commit hazard to untuk user mengestimasi Hazard ratio. 4

16 digilib.uns.ac.id 5 Bhatia et al. (2002) melakukan penelitian tentang perbedaan antara ras dan etnik dalam ketahanan hidup pada anak penderita Leukemia Limobastik Akut dengan menggunakan metode Kaplan-Meier. Sebanyak 8762 anak dari berbagai ras meliputi 6703 ras kulit putih, 1071 Hispanic, 506 kulit hitam, 167 Asia dan 315 dari campuran berbagai ras. Salah satu hasil dari penelitian tersebut adalah terdapat perbedaan daya tahan hidup dari penderita Leukemia antara masingmasing ras dan etnik. Penelitian ini akan mengembangkan penelitian yang sudah dilakukan oleh Kent et al. (2009) dan Bhatia et al. (2002). Dua penelitian tersebut masih menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier untuk mengestimasi ungsi tahan hidup. Penelitian ini akan membandingkan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modiikasi penaksir Kaplan-Meier untuk mengestimasi ungsi tahan hidup pada penderita leukemia. Data pasien penderita leukemia diambil dari RSUD Dr.Moewardi. Selain itu dalam penelitian ini juga akan dilakukan simulasi agar perbedaan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modiikasi penaksir Kaplan-Meier semakin terlihat jelas. 2.2 Teori-Teori Penunjang Teori-teori yang relevan dengan pembahasan diperlukan untuk mencapai tujuan penelitian. Teori-teori tersebut meliputi penyakit leukemia, konsep dasar statistika, konsep dasar analisis tahan hidup, jenis-jenis sensor, metode maksimum Likelihood, Estimasi Kaplan-Meier dan modiikasi dari Estimasi Kaplan-Meier Leukemia Leukemia merupakan suatu penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan sel darah putih (leukosit) pada penderita. Pertambahan ini sangat cepat dan tidak terkendali serta bentuk sel-sel darah putihnya tidak normal. Penyebab leukemia belum diketahui secara pasti tetapi diperkirakan bukan berasal dari penyebab tunggal melainkan gabungan dari beberapa aktor antara lain karena terinveksi virus, aktor keturunan ataupun karena zat kimia tertentu. (Yatim, 2003)

17 digilib.uns.ac.id 6 Leukemia dapat diklasiikasikan atas dasar perjalanan alamiah penyakit yaitu leukemia akut dan kronis. Leukemia akut ditandai dengan suatu perjalanan penyakit yang sangat cepat, mematikan, dan memburuk. Apabila tidak segera diobati, maka penderita dapat meninggal dalam hitungan minggu hingga hari. Sedangkan leukemia kronis memiliki perjalanan penyakit yang tidak begitu cepat sehingga memiliki harapan hidup yang lebih lama, hingga lebih dari 1 tahun bahkan ada yang mencapai 5 tahun. Ketika leukemia mempengaruhi limosit atau sel limoid, maka disebut leukemia limositik dan ketika leukemia mempengaruhi sel mieloid seperti neutroil, basoil, dan eosinoil, maka disebut leukemia meilositik (Berita Kesehatan). Berdasarkan dua klasiikasi tersebut maka leukemia dapat dibagi menjadi empat yaitu : 1. Leukemia Limositik Akut (LLA) Leukemia Limositik Akut (LLA) adalah suatu penyakit yang berakibat atal, dimana sel-sel yang dalam keadaan normal berkembang menjadi limosit berubah menjadi ganas dan dengan segera akan menggantikan selsel normal di dalam sumsum tulang. Penyakit LLA merupakan leukemia yang paling sering terjadi pada anak-anak, leukemia jenis ini merupakan 25% dari semua jenis kanker yang mengenai anak-anak dibawah umur 15 tahun. LLA paling sering terjadi pada anak usia antara 3-5 tahun, tetapi kadang terjadi pada usia remaja dan dewasa. 2. Leukemia Meilositik Akut (LMA) Leukemia Meilositik Akut (LMA) lebih sering terjadi pada orang dewasa dari pada anak-anak, kejadian leukemia jenis LMA biasanya tidak lebih dari 5%. 3. Leukemia Limositik Kronis (LLK) Pada Leukemia Limositik Kronis (LLK) lebih dari 3 4 penderita berumur lebih dari 60 tahun dan 2-3 kali lebih sering menyerang pria. 4. Leukemia Meilositik Kronis (LMK) Penyakit ini dapat mengenai semua kelompok umur, baik pria maupun wanita, tetapi jarang ditemukan pada anak-anak berumur kurang dari 10 tahun. LMK banyak ditemukan pada kelompok usia 55 tahun keatas.

18 digilib.uns.ac.id 7 Dalam penelitian ini menggunakan data leukemia jenis Leukemia Limositik Akut (LLA). Data penderita leukemia diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta Konsep Dasar Statistika Deinisi-deinisi yang berhubungan dengan konsep dasar statistika berikut ini dirujuk dari Bain dan Engelhardt (1992). Deinisi Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinotasikan dengan S. Deinisi Variabel random T adalah ungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real t, sedemikian sehingga T e = t, e S. Deinisi Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari variabel random T, merupakan himpunan terhitung, t 1, t 2,..., t n atau t 1, t 2,... maka T disebut variabel random diskrit. Fungsi t = P T = t, t = t 1, t 2,. menyatakan probabilitas untuk tiap-tiap nilai t yang mungkin, selanjutnya disebut ungsi densitas probabilitas diskrit. Deinisi Fungsi distribusi kumulati dari variabel random diskrit T dideinisikan untuk sebarang bilangan real t dengan F t = P T t. Deinisi Fungsi t disebut ungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu T jika dan hanya jika memenuhi siat 1. (t) 0, untuk semua t dan 2. t dt = 1. Deinisi Variabel random T disebut variabel random kontinu jika terdapat ungsi (t) yang merupakan ungsi densitas dari T, sehingga ungsi distribusi kumulati dinyatakan

19 digilib.uns.ac.id 8 F t = t x dx. Deinisi Probabilitas bersyarat dari kejadian A diberikan kejadian B dideinisikan sebagai P A B = P(A B), P(B) 0. P(B) Deinisi Statistik U = l(x 1, X 2,, X n ) yang digunakan untuk mengestimasi nilai τ(θ) disebut penaksir dari τ(θ) dan nilai statistik u = l(x 1, x 2,, x n ) disebut estimasi dari τ(θ). Deinisi Jika T adalah penaksir dari τ(θ), maka bias adalah b T = E T τ(θ) dan rata-rata kesalahan standar atau mean square error (MSE) dari T dideinisikan sebagai MSE T = E T τ(θ) Konsep Dasar Analisis Tahan Hidup Model Kontinu Menurut Lawless (1982), variabel random kontinu nonnegati T menunjukkan waktu hidup dari suatu individu sehingga semua ungsi yang berkaitan dengan T dideinisikan dalam interval [0, ). Secara matematika ungsi densitas probabilitas menurut Cox dan Oakes (1984) adalah P[t T < t + t] t = lim. t 0 t Menurut Lawless (1982), ungsi distribusi kumulati ditulis F t = P T < t = t x dx. 0 Fungsi tahan hidup dideinisikan sebagai probabilitas bertahan hidup sampai waktu t, sebagai berikut S t = P T t = 1 P T < t = 1 t x dx 0 Fungsi tahan hidup merupakan ungsi monoton turun dengan siat 1. S(0) = 1, 2. S(t) = 0, untuk t. = x dx. t

20 digilib.uns.ac.id 9 Hubungan ungsi densitas probabilitas (t) dan ungsi tahan hidup S(t) (Elandt dan Johnson, 1980), dapat ditunjukkan dengan S t = ds(t) dt = d t x dx dt = x t = 0 t S t = t. (2.1) Fungsi hazard adalah laju kematian / peluang individu mati pada saat t dengan syarat individu tersebut mampu bertahan hidup sampai waktu t dan dideinisikan sebagai h t = lim t 0 P t T < t + t T t] t h t = = lim t 0 P t T < t + t T t P T t t = lim t 0 P t T < t + t P T t t P[t T < t + t ] 1 = lim. t 0 t P[T t] t S t. (2.2) Berdasarkan persamaan (2.1) dan (2.2) hubungan antara ungsi hazard h t dan ungsi tahan hidup S t adalah h t = S (t) S(t) d ln S(t) =. dt Model Diskrit Misal T adalah variabel random diskrit, dengan T mempunyai nilai t 1, t 2, dengan 0 < t 1 < t 2 <. Menurut Lawless (1982), secara matematika ungsi peluangnya dapat ditulis t j = P (T = t j ) dan ungsi tahan hidupnya menjadi

21 digilib.uns.ac.id 10 dengan siat S t = P T t = (t j ). j :t j t Seperti pada penjelasan model kontinu, S t adalah ungsi monoton turun 1. S(0) = 1, 2. S(t) = 0, untuk t. Fungsi hazard diskrit dideinisikan sebagai h t j = P T = t j T t j = (t j ) S(t j ). Fungsi probabilitas, ungsi tahan hidup dan ungsi hazard memberikan spesiikasi yang sama terhadap T. Jika diketahui t j = S t j S(t j +1 ) maka h t j = 1 S(t j +1) S(t j ). Menurut Lawless (1982) ungsi tahan hidup yang berhubungan dengan ungsi hazard dapat dinyatakan sebagai S t = [1 h( t j )]. j :t j t Jenis-Jenis Sensor Data waktu hidup dikatakan tersensor jika terdapat individu yang mempunyai nilai batas atas atau batas bawah pada waktu hidupnya (Lawless, 1982). Menurut Kleln dan Moeschberger (1997) dan Lawless (1982), tiga jenis sensor yang dapat digunakan dalam penelitian tahan hidup yaitu sensor kanan, sensor kiri, dan sensor umum. 1. Sensor kanan Diasumsikan terdapat waktu hidup T dan ditentukan waktu sensor di C r, waktu hidup T dari suatu individu diketahui jika dan hanya jika T C r. Jika T >C r maka individu dikatakan bertahan hidup dengan waktu tersensor di C r. Data tersensor kanan dapat dinyatakan dalam pasangan variabel random (X, δ) dengan X sama dengan T commit untuk to waktu user hidup yang diobservasi dan δ

22 digilib.uns.ac.id 11 menyatakan apakah waktu hidup T tak tersensor (δ = 1) atau tersensor (δ = 0) sehingga diperoleh X = min(t, C r ). 2. Sensor kiri Misalkan terdapat waktu hidup T dan ditentukan waktu sensor di C l, waktu hidup T dari suatu individu diketahui jika dan hanya jika T C l. Jika T <C l maka individu dikatakan bertahan hidup dengan waktu tersensor di C l. Data tersensor kiri dapat dinyatakan dalam pasangan variabel random (X, ε) dengan X sama dengan T untuk waktu hidup yang diobservasi dan ε menyatakan apakah waktu hidup T tak tersensor (ε = 1) atau tersensor (ε = 0) sehingga diperoleh X = maks(t, C l ). 3. Sensor umum Suatu sampel dikatakan tersensor secara umum jika terdapat data sejumlah n objek yang diamati pada waktu 0 dan masing-masing objek diamati sampai gagal (mati) atau tidak. Jika objek tersebut tidak gagal (tidak mati), maka data tersebut merupakan data tersensor Fungsi Tahan Hidup Distribusi Weibull Distribusi Weibull merupakan distribusi yang paling luas penggunaannya dalam model tahan hidup. Model ungsi tahan hidup distribusi Weibull banyak diaplikasikan dalam bidang biomedis, contohnya dalam penelitian Whittemore dan Altschuler tahun 1976 tentang waktu kejadian tumor dalam populasi manusia (Lawless, 1982). Kelebihan dari ungsi tahan hidup distribusi Weibull adalah distribusi ini mampu mendekati ungsi tahan hidup dari distribusi yang lain. Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Weibull dideinisikan sebagai t = αλ λt α 1 exp( λt α ) ; α > 0 ; λ > 0 ; t > 0. (2.3) Berdasarkan persamaan (2.3) dapat dicari ungsi tahan hidup distribusi Weibull sebagai berikut S t = x dx t

23 digilib.uns.ac.id 12 = αλ λx α 1 exp( λx α ) dx t = exp λx α t S t = exp λt α. (2.4) Fungsi Tahan Hidup Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial merupakan kasus khusus dari distribusi Weibull, yaitu jika distribusi Weibull memiliki nilai α = 1, maka akan menjadi distribusi eksponensial. Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Eksponensial dideinisikan sebagai t = λ exp λt ; t 0 ; λ > 0. (2.5) Kemudian ungsi tahan hidup distribusi eksponensial dapat dituliskan sebagai berikut S t = exp λt (2.6) Metode Maksimum Likelihood Berikut ini diberikan deinisi yang berhubungan ungsi likelihood dan estimasi maksimum likelihood menurut Bain dan Engelhardt (1992) Deinisi Jika ungsi densitas probabilitas bersama dari n-variabel random T 1, T 2,, T n yang diobservasi di t 1, t 2,, t n dinotasikan dengan t 1, t 2,, t n, maka ungsi likelihood dari himpunan pengamatan t 1, t 2,, t n dinyatakan sebagai L θ = t 1, t 2,, t n ; θ dengan θ adalah parameter yang belum diketahui. Deinisi Jika L(θ) adalah ungsi likelihood suatu himpunan pengamatan t 1, t 2,, t n dengan θ parameter yang tidak diketahui, maka suatu harga θ dalam ruang parameter Ω yang memaksimumkan L(θ) disebut sebagai estimasi maksimum likelihood dari θ, dapat ditulis t 1, t 2,, t n ; θ = max t 1, t 2,, t n ; θ. θε Ω

24 digilib.uns.ac.id 13 Setiap θ yang memaksimumkan L(θ) akan memaksimumkan log-likelihood ln L(θ) juga, sehingga alternati bentuk persamaan likelihood maksimum yaitu d ln L θ = 0. dθ Penaksir Kaplan-Meier Estimasi ungsi tahan hidup dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier disebut juga estimasi product limit. Kaplan dan Meier (1958) adalah orang pertama yang membahas estimasi ungsi ini. Misal T variabel random kontinu nonnegati. Semua ungsi yang berkaitan dengan T dideinisikan dalam interval [t j, t j +1 ). Penaksir Kaplan-Meier merupakan modiikasi dari ungsi tahan hidup empiris. Fungsi tahan hidup empiris dideinisikan sebagai S t = J n, t 0 (2.7) dengan J merupakan jumlah pengamatan yang lebih besar atau sama dengan t. Jika terdapat data yang tersensor (tak lengkap), maka persamaan tersebut diubah menjadi penaksir Kaplan-Meier. Misalkan terdapat n individu dengan k(k n) waktu terjadinya kematian yang berbeda t 1 < t 2 < < t k dan d j adalah jumlah kematian pada saat t j (j = 1,2,, k), m j adalah jumlah tersensor dalam interval [t j, t j +1 ) pada waktu t j1, t j2,, t j mj untuk j = 0, 1,, k dimana t 0 = 0 dan t k+1 =, n j = m j + d j + + m k + d k adalah jumlah individu beresiko pada saat t j, penaksir Kaplan-Meier dideinisikan sebagai S KM t = j :t j t n j d j n j. (2.8) Modiikasi Penaksir Kaplan Meier Menurut Rossa dan Zielinski (2002) penaksir Kaplan-Meier mempunyai kelemahan yaitu, pada sampel yang kecil dan menengah nilai penaksir Kaplan- Meier untuk dua waktu yang berurutan akan mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama. Kelemahan pada penaksir Kaplan-Meier diatasi dengan

25 digilib.uns.ac.id 14 memodiikasi penaksir Kaplan-Meier dengan menggunakan pendekatan ungsi tahan hidup dari distribusi Weibull seperti pada persamaan (2.4). Modiikasi dari penaksir Kaplan-Meier dinotasikan dengan S M t, dimana M dapat dipilih dengan syarat M = 2, 3. Nilai S M (t) merupakan penaksir untuk nilai P(T t) yang berbasis pada M persekitaran pada t. Nilai M dapat dipilih dengan syarat M = 2, 3, Semakin besar nilai M maka akan menghasilkan estimasi yang lebih baik akan tetapi perhitungannya akan lebih rumit (Rossa dan Zielinski, 2002). Oleh karena itu dalam penelitian ini hanya akan dibahas penaksir S M t dengan M = 2 dan 3. Misalkan terdapat n sampel dan akan dicari penaksir ungsi tahan hidup dari sampel terurut yang tidak lengkap dari T 1, δ 1, T 2, δ 2,, T n, δ n dengan δ = 1 untuk data yang tidak tersensor dan δ = 0 untuk data yang tersensor. Kemudian dimisalkan N 1 adalah jumlah elemen yang berbeda pada sampel yang tidak tersensor. Nilai KM t dengan 0 < t < T n, memiliki titik-titik loncatan (jump point) di T untuk = 1,2,, N 1. Jika δ n = 1, maka nilai KM t dengan t = T n juga merupakan titik loncatan dari KM. Kemudian penaksir Kaplan-Meier dituliskan dalam bentuk pasangan baris (T, KM ) dengan = 1,2,, N, dimana dengan KM = KM(T 1 ) + KM(T ), 2 untuk = 1,2,, N 1 KM T n, 2 untuk = N dan jika δ n = 1 KM T n, untuk = N dan jika δ n = 0 T 0 = 0 ; T N = T n ; KM(T 0 ) = Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan M = 2 Untuk M = 2 penaksir modiikasi Kaplan-Meier dideinisikan sebagai S 2 t = exp{ exp (Y)} (2.9) dengan

26 digilib.uns.ac.id 15 Y 1 + Y 2 Y 1 X 2 X 1 X X 1, untuk T 0 < t T 1 Y = Y 1 + Y Y 1 X X X X 1, untuk T 1 < t T T N dengan 2 1 Y N 1 + Y N Y N 1 X N X N 1 X X N 1, untuk t > T N dan δ N = 1 dengan tidak terdeinisi, untuk t > T N dan δ N = 0 X = ln (T ) ; Y = ln [ ln KM ] ; X = ln t Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan M > 2 Untuk menentukan penaksir S M t dengan M > 2 terlebih dahulu dideinisikan pembobot w(t) sebagai berikut (Rossa dan Zielinski, 2002) : i. Jika M bernilai ganjil atau M = 2K + 1 (dimana K merupakan bilangan bulat posti yang lebih besar atau sama dengan 1), maka ditentukan sedemikian sehingga Kemudian, T < t T +1 (jika t > T N ambil nilai = N). jika K maka w 1 t = = w M t = 1, jika N K maka w N M+1 = = w N t = 1, untuk nilai-nilai ` yang lain dideinisikan w K+1 t = w K+2 t = = w +K t = 1 w K t = T +1 t T T +1 w +K+1 t = t T T +1 T ii. Jika M bernilai genap atau M = 2K, (dimana K merupakan bilangan bulat posti yang lebih besar atau sama dengan 2) maka ditentukan sedemikian sehingga (T 1 +T ) 2 < t (T +T +1 ) (jika t T 2 1 /2 ambil nilai = 0 atau jika t > (T N 1 + T N )/2 ambil = N). Kemudian, jika K maka w 1 t commit = = to w user M t = 1

27 digilib.uns.ac.id 16 jika N K + 1 maka dideinisikan w N M+1 = = w N t = 1 dan untuk nilai yang lain dideinisikan w K+1 t = w K+2 t = = w +K 1 t = 1, 1 w K t = 2 (T + T +1 ) t 1 2 (T +1 T 1 ) w +K t = t 1 2 (T + T 1 ). 1 2 (T +1 T 1 ) Kemudian, ditentukan semua pembobot yang lain sama dengan nol. Setelah semua pembobot ditentukan, dicari nilai Λ dan α dengan meminimumkan w t (Y Λ αx ) 2 (2.10) jika nilai Λ dan α adalah solusi dari (2.10), maka modiikasi penaksir Kaplan- Meier dengan M > 2 dapat dituliskan sebagai dengan λ = exp Λ. S M t = exp λt α (2.11) 2.3 Kerangka Pemikiran Leukemia adalah jenis penyakit kanker yang menyerang sel-sel darah putih yang diproduksi oleh sumsum tulang. Leukemia umumnya muncul pada diri seseorang sejak dimasa kecilnya. Sumsum tulang tanpa diketahui dengan jelas penyebabnya telah memproduksi sel darah putih yang berkembang tidak normal. Dalam keadaan normal, sel darah putih mereproduksi ulang bila tubuh memerlukannya. Sel darah putih berungsi sebagai pertahanan tubuh, akan terus membelah dalam suatu kontrol yang teratur. Tubuh manusia akan memberikan tanda/signal secara teratur kapankah sel darah diharapkan bereproduksi kembali. Pada penderita leukemia, sumsum tulang memproduksi sel darah putih yang tidak normal yang disebut sel leukemia. Tidak seperti sel darah normal, sel-sel leukemia tidak mati ketika mereka seharusnya mati. Sel leukemia yang terdapat dalam sumsum tulang akan terus commit membelah to user dan semakin mendesak sel normal,

28 digilib.uns.ac.id 17 sehingga produksi sel darah normal akan mengalami penurunan, sel darah putih tidak merespon kepada tanda/signal yang diberikan. Akhirnya produksi yang berlebihan / tidak terkontrol akan keluar dari sumsum tulang dan dapat ditemukan di dalam darah perier atau darah tepi. Jumlah sel darah putih yang abnormal ini bila berlebihan dapat mengganggu ungsi normal sel darah lainnya dan pada akhirnya dapat menyebabkan kematian (Cancerhelps). Waktu tahan hidup pasien leukemia dapat diukur mulai dari seseorang didiagnosa terkena leukemia / masuk rumah sakit sampai meninggal. Pertama yang dilakukan adalah mengumpulkan data pasien penderita leukemia dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta. Data yang diambil adalah data pasien penderita leukemia jenis Leukemia Limositik Akut (LLA). Selain menggunakan data yang diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta, dalam penelitian ini juga menggunakan data simulasi yang dibangkitkan secara random. Kemudian data dianalisis dengan mengestimasi ungsi tahan hidup pasien dengan penaksir Kaplan-Meier. Kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier yaitu, pada sampel yang kecil dan menengah nilai penaksir Kaplan-Meier untuk dua waktu yang berurutan akan mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama. Oleh karena itu ungsi tahan hidup juga akan diestimasi dengan penaksir Kaplan-Meier yang telah dimodiikasi untuk M = 2 dan 3 yang akan memberikan nilai estimasi yang lebih baik. Dengan diperolehnya estimasi ungsi tahan hidup, maka dapat diketahui probabilitas seorang pasien dapat bertahan hidup baik dengan penaksir metode Kaplan-Meier biasa maupun metode modiikasi Kaplan-Meier. Berdasarkan hasil estimasi yang diperoleh, akan dilakukan perbandingan antara hasil estimasi dengan menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier biasa dan metode modiikasi Kaplan-Meier.

29 digilib.uns.ac.id BAB III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi kasus dengan menggunakan data sekunder. Selain itu penulis juga menggunakan metode studi literatur yang mengacu pada buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan analisis tahan hidup. Secara garis besar penelitian ini terbagi dalam dua tahap 1. Tahap pengumpulan data. Dalam tahap ini penulis mengumpulkan data penderita leukemia jenis Leukemia Limositik Akut (LLA). Data yang digunakan adalah data sekunder yang diambil dari dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta. Waktu tahan hidup penderita leukemia dapat diukur mulai dari seseorang didiagnosa terkena leukemia atau masuk rumah sakit sampai meninggal dalam satuan bulan. Pasien yang meninggal dianggap sebagai data yang tidak tersensor, sedangkan pasien yang sembuh atau masih dalam perawatan dianggap sebagai data tersensor. Selain menggunakan data yang diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta, dalam penelitian ini juga menggunakan data simulasi yang dibangkitkan secara random. 2. Tahap analisis data. Setelah data diperoleh, data diurutkan dari kecil ke besar baik untuk data yang tidak tersensor maupun yang tersensor. Kemudian langkah selanjutnya adalah mengestimasi ungsi tahan hidup data penderita leukemia dan data simulasi menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modiikasi Kaplan-Meier sehingga diperoleh nilai probabilitas tahan hidup. Setelah diperoleh nilai probabilitas tahan hidup langkah selanjutnya adalah membuat graik estimasi ungsi tahan hidup kemudian membandingkan hasil estimasi dan graik ungsi tahan hidup dari kedua penaksir tersebut. 18

30 digilib.uns.ac.id BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Deskripsi Data Data penderita Leukemia diambil dari RSUD Dr.Moewardi Surakarta. Waktu tahan hidup pasien diukur mulai dari seseorang didiagnosa terkena kanker dan masuk rumah sakit sampai meninggal (dalam satuan bulan). Pasien yang meninggal dianggap sebagai data yang tidak tersensor (δ = 1), sedangkan pasien yang sembuh atau masih dalam perawatan dianggap sebagai data tersensor (δ = 0). Ringkasan data dapat dilihat pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Ringkasan data penderita Leukemia Limositik Akut Banyak Pasien Jumlah Tidak Tersensor Tersensor Penaksir Kaplan-Meier Penaksir Kaplan-Meier dari S(t) dideinisikan seperti pada persamaan (2.8). Dari persamaan (2.8) diasumsikan terdapat k waktu hidup yang berbeda t 1 < t 2 < < t k dengan d j adalah jumlah kematian pada waktu t j. Fungsi tahan hidup dapat dinyatakan dengan S t = 1 h t j. j :t j t Penaksir dari ungsi tahan hidup pada persamaan (4.1) adalah 4.1 S t = j :t j t 1 h t j (4.2) dengan h(t j ) adalah penaksir maksimum likelihood dari h(t j ). Langkah untuk menentukan penaksir maksimum likelihood dari h(t j ) yaitu : 1. menentukan ungsi likelihood L t 1, t 2,, t j : h t j = commit t 1, h t 1 to user, t 2, h t 2 t j, h t j, 19

31 digilib.uns.ac.id membentuk logaritma natural likelihood K t 1, t 2,, t j : h t j = ln L t 1, t 2,, t j : h t j, 3. membentuk persamaan log likelihood dengan menyelesaikan K t 1, t 2,, t j : h t j = 0, j = 1,2, k, h t j 4. didapatkan estimator maksimum likelihood. Misal pada k percobaan binomial yang independen terjadi n j kejadian dan d j jumlah kematian serta peluang/laju kematian h(t j ), maka ungsi likelihoodnya sebagai berikut L t j, h t j = h t d j j 1 h t n j d j j persamaan (4.3) dibentuk logaritma natural likelihood menjadi j (4.3) ln L t j, h t j = ln h t j d j j 1 h t j n j d j = d j ln h t j + n j d j ln 1 h t j. (4.4) j Persamaan (4.4) dibentuk persamaan log likelihood untuk mendapatkan penaksir maksimum likelihood dari h t j ln L t j, h t j h t j = 0 h t j j d j ln h t j + n j d j ln 1 h t j = 0 j d j 1 h t j + n j d j 1 1 h t j ( 1) = 0 j d j h t j n j d j 1 h t j = 0 j d j n j h t j h t j. 1 h t j = 0.

32 digilib.uns.ac.id 21 Agar d j n j h t j j = 0, maka untuk setiap j, d j n j h t j = 0. Jadi h t j. 1 h t j penaksir maksimum likelihood dari h t j = h t j = d j n j. Dengan demikian persamaan (4.2) menjadi KM = S KM t = KM = S KM t = j :t j t j :t j t 1 d j n j n j d j n j (4.5) dengan n j = m j + d j + + m k + d k, n j adalah jumlah individu yang beresiko pada waktu t j, d j adalah jumlah kematian pada waktu t j, m j adalah jumlah individu yang tersensor pada waktu t j. 4.3 Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier Kelemahan pada estimasi ungsi tahan hidup dengan penaksir metode Kaplan-Meier dapat diatasi dengan menggunakan metode modiikasi Kaplan- Meier. Rossa dan Zielinski (2002) melakukan modiikasi pada penaksir Kaplan- Meier dengan menggunakan pendekatan dari ungsi tahan hidup distribusi Weibull seperti pada persamaan (2.4). Pemilihan distribusi Weibull dikarenakan distribusi tersebut dapat memberikan algoritma perhitungan yang lebih sederhana untuk melakukan transormasi logaritma, serta mengaplikasikan prosedur estimasi standar untuk a dan b pada model regresi linier sederhana y = a + bx. Adapun transormasi logaritma yang dimaksud adalah sebagai berikut : W = exp λt α ln W = ln exp λt α ln W = λt α ln e ln W = λt α ln( ln W) = ln λt α ln( ln W) = ln λ + α ln t (4.6) jika dimisalkan y = ln( ln W) ; Λ = ln λ ; x = ln t

33 digilib.uns.ac.id 22 maka persamaan (4.6) menjadi y = Λ + ax. (4.7) Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan M = 2 Modiikasi penaksir Kaplan-Meier dengan M = 2 dinotasikan dengan S 2 (t). Akan diestimasi ungsi tahan hidup di t dimana T 1 < t T, kemudian dibentuk pasangan baris (T 1, KM 1 ) dan (T, KM ) sehingga diperoleh dua persamaan W T 1 ; λ; α = KM 1 dan W T ; λ; α = KM. (4.8) Kemudian akan diestimasi nilai probabilitas tahan hidup di t dengan nilai W(t; λ; α), dimana λ dan α dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan (4.8) dengan terlebih dahulu diubah ke bentuk logaritma seperti pada persamaan (4.7), sehingga diperoleh Y 1 = Λ + αx 1 dan Y = Λ + αx (4.9) dengan menyelesaikan persamaan (4.9) maka diperoleh α = Y Y 1 X X 1 (4.10) Λ = Y 1 Y Y 1 X X 1 X 1 karena Λ = ln λ sehingga diperoleh λ = exp Λ = exp Y 1 Y Y 1 X X 1 X 1. (4.11) Estimasi ungsi tahan hidup dapat dicari dengan menggunakan pendekatan ungsi tahan hidup distribusi Weibull dengan nilai α dan λ pada persamaan (4.10) dan (4.11). Sehingga untuk T 1 berikut S 2 t = exp λt α < t T diperoleh penaksir S 2 t sebagai = exp exp Y 1 Y Y 1 commit X to user X 1 Y Y 1 X X 1 t X 1

34 digilib.uns.ac.id 23 = exp exp Y 1 Y Y 1 X X 1 X 1 exp X Y Y 1 X X 1 = exp exp Y 1 Y Y 1 X X 1 X 1 + Y Y 1 X X 1 X = exp exp Y 1 + Y Y 1 X X 1 X X 1. (4.12) Jika T 0 < t T 1 maka dibentuk pasangan baris (T 1, KM 1 ) dan (T 2, KM 2 ), kemudian diperoleh dua persamaan W T 1 ; λ; α = KM 1 dan W T 2 ; λ; α = KM 2. Sehingga untuk T 0 < t T 1 diperoleh penaksir S 2 t sebagai berikut S 2 t = exp exp Y 1 + Y 2 Y 1 X 2 X 1 X X 1. (4.13) Jika t > T N dan δ N = 1, maka dibentuk pasangan baris (T N 1, KM N 1 ) dan (T N, KM N ), kemudian diperoleh dua persamaan W T N 1 ; λ; α = KM N 1 dan W T N ; λ; α = KM N. Sehingga untuk t > T N dan δ N = 1 diperoleh penaksir S 2 t sebagai berikut dengan S 2 t = exp exp Y N 1 + Y N Y N 1 X N X N 1 X X N 1. (4.14) Secara umum persamaan (4.12), (4.13) dan (4.14) dapat ditulis S 2 t = exp{ exp (Y)} (4.15) Y 1 + Y 2 Y 1 X 2 X 1 X X 1, untuk T 0 < t T 1 Y = Y 1 + Y Y 1 X X X X 1, untuk T 1 < t T 1 Y N 1 + Y N Y N 1 X N X N 1 X X N 1, untuk t > T N dan δ N = 1 T N dengan 2 dengan X = ln (T ) tidak terdeinisi, untuk t > T N dan δ N = 0 Y = ln [ ln KM X = ln t. ]

35 digilib.uns.ac.id Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan M = 3 Modiikasi penaksir Kaplan-Meier dengan M = 3 dinotasikan dengan S 3 (t). Dengan M = 2K + 1 maka dapat dicari nilai K = 1. Untuk menentukan penaksir S 3 t terlebih dahulu dideinisikan pembobot w(t). Ditentukan sedemikian sehingga T < t T +1 dan jika K maka deinisikan w 1 t = w 2 t = w 3 t = 1; jika N K maka dideinisikan w N 2 = w N 1 = w N t = 1; untuk nilai-nilai yang lain deinisikan w t = w +1 t = 1 dan w 1 t = T +1 t T T +1 w +2 t = t T T +1 T kemudian ditentukan semua pembobot yang lain sama dengan nol. Setelah semua pembobot ditentukan, nilai Λ dan α dapat dicari dengan meminimumkan Q Λ, α = w t (Y Λ αx ) 2. Jika derivati parsial Q terhadap Λ dan α keduanya sama dengan nol maka diperoleh Λ dan α sedemikian sehingga Q minimum. Q = w t Y Λ αx 2 = w t Y 2 ΛY αx Y ΛY + Λ 2 + ΛαX αx Y + ΛαX + α 2 X 2 = w t Y 2 2ΛY 2αX Y + Λ 2 + 2ΛαX + α 2 X 2 = (Y 2 w t 2ΛY w t 2αX Y w t + Λ 2 w t + 2ΛαX w t + α 2 X 2 w t ). Untuk menentukan nilai minimum dari Q Λ, α terlebih dahulu dicari derivati parsial Q terhadap Λ dan α

36 digilib.uns.ac.id 25 Q Λ = ( 2Y w t + 2Λw t + 2αX w t ) dan y x = = 2 (Y w t Λw t αx w t ) 2X Y w t + 2ΛX w t + 2αX 2 w t = 2 X Y w t ΛX w t αx 2 w t Kemudian derivati parsial Q terhadap Λ dan α disamadengankan nol sehingga diperoleh y x = 0. 2 Y w t Λw t αx w t = 0 Y w t Λw t αx w t = 0 dan y x = 0 2 X Y w t ΛX w t αx 2 w t = 0 X Y w t ΛX w t αx 2 w t = 0. Langkah selanjutnya adalah mencari nilai Λ dan α dengan menyelesaikan dua persamaan berikut Λ w t + α X w t = Y w t Λ X w t + α X 2 w t Solusi dari (4.16) adalah = X Y w t. (4.16)

37 digilib.uns.ac.id 26 Λ = Y w t X Y w t w t X w t X w t X 2 w t X w t X 2 w t Λ = Y w t w t X 2 w t X 2 w t X w t X w t X Y w t 2 dan w t Y w t α = X w t w t X Y w t X w t X w t X 2 w t α = w t w t X Y w t X 2 w t Y w t X w t X w t 2. Λ, α merupakan solusi dari masalah (4.16) dan jika λ = exp Λ maka modiikasi penaksir Kaplan-Meier dengan M = 3 dapat dituliskan sebagai S 3 t = exp λt α. (4.17) 4.4 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan Penaksir Kaplan-Meier Berdasarkan estimasi ungsi tahan hidup dengan penaksir metode Kaplan- Meier pada persamaan (4.5), dihitung nilai estimasinya untuk setiap t pada data penderita leukemia. Nilai estimasi untuk setiap nilai t dengan penaksir KM

38 digilib.uns.ac.id 27 diberikan dalam Lampiran 1 kemudian diperoleh graik estimasi ungsi tahan hidup seperti pada Gambar 4.1. Gambar 4.1 Graik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM Gambar 4.1 menunjukkan nilai-nilai dari penaksir Kaplan-Meier untuk setiap nilai t, terlihat bahwa estimasi ungsi tahan hidup semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama pasien yang dinyatakan menderita leukemia semakin kecil probabilitas pasien untuk dapat bertahan hidup. Hal ini dapat disebabkan karena komplikasi yang timbul pada leukemia mulai dari anemia, pendarahan atau gangguan ungsi organ vital seperti otak, jantung dan paru. Berdasarkan nilai hasil estimasi ungsi tahan hidup pada Lampiran 1 didapatkan nilai KM 4 = KM 9 = 0,70263, hal ini berarti probabilitas penderita leukemia dapat bertahan hidup sampai 4 bulan dan sampai 9 bulan adalah sama yaitu 0, Inilah yang menjadi kelemahan dari penaksir Kaplan- Meier, yaitu pada waktu yang berurutan, dalam hal ini pada t 1 = 4 dan t 2 = 9, nilai dari KM 4 dan KM 9 sama besar. Sulit dijelaskan secara logis mengapa probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 4 bulan sama dengan probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 9 bulan. Oleh karena itu akan diestimasi ungsi tahan hidup penderita leukemia dengan penaksir metode modiikasi Kaplan-Meier yang akan memberikan nilai probabilitas tahan hidup yang lebih masuk akal daripada penaksir Kaplan-Meier.

39 digilib.uns.ac.id Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan Penaksir Modiikasi Kaplan-Meier Penaksir modiikasi Kaplan-Meier dideinisikan seperti pada persamaan (4.15) dan (4.17). Nilai estimasi ungsi tahan hidup pada penderita leukemia dengan S 2 t dan S 3 t masing-masing diberikan dalam Lampiran 2 dan Lampiran 3, kemudian diperoleh graik estimasi ungsi tahan hidup seperti pada Gambar 4.2. Gambar 4.2 Graik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan Modiikasi Penaksir Kaplan-Meier untuk M = 2 dan M = 3. Berdasarkan Gambar 4.2 terlihat bahwa estimasi ungsi tahan hidup semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama pasien yang dinyatakan menderita leukemia semakin kecil probabilitas pasien untuk bertahan hidup. Selain itu graik estimasi ungsi tahan hidup penderita leukemia dengan metode modiikasi Kaplan-Meier juga tampak lebih halus dibandingkan dengan metode Kaplan-Meier biasa. Kemudian untuk melihat perbedaan hasil estimasi ungsi tahan hidup penderita leukemia dengan ketiga penaksir, graik ungsi tahan hidup dengan penaksir metode Kaplan-Meier dibandingkan dengan graik ungsi tahan hidup dengan metode modiikasi Kaplan-Meier, seperti tampak pada Gambar 4.3.

40 digilib.uns.ac.id 29 Gambar 4.3 Perbandingan Graik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM, S 2 t dan S 3 t Perbedaan estimasi ungsi tahan hidup penderita leukemia dengan penaksir metode modiikasi Kaplan-Meier dan metode Kaplan-Meier biasa terlihat jelas pada nilai hasil estimasi dan graik ungsinya. Berdasarkan Gambar 4.3 terlihat bahwa kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier dapat diatasi dengan menggunakan penaksir modiikasi Kaplan-Meier. Terlihat probabilitas pasien penderita Leukemia dapat bertahan hidup sampai 4 bulan dan sampai 9 bulan dari Lampiran 1 adalah KM 4 = KM 9 = 0,70263, sementara itu dari Lampiran 2 diperoleh nilai probabilitasnya S 2 4 = 0, dan S 2 9 = 0, dan dari Lampiran 3 diperoleh nilai probabilitasnya S 3 4 = 0, dan S 3 9 = 0, Dengan menggunakan penaksir S 2 t dan S 3 t tidak terlihat apa yang menjadi kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier biasa. Selain itu graik ungsi tahan hidup dengan penaksir S 3 t tampak lebih halus dibandingkan dengan penaksir S 2 t. 4.5 Studi Simulasi Simulasi dilakukan dengan cara membangkitkan data dari dua buah distribusi, yaitu F untuk distribusi waktu hidup dan G untuk distribusi waktu sensor. F dan G masing-masing berasal dari distribusi eksponensial dengan nilai λ = 0,2 dan λ = 0,1. Data yang digunakan adalah min(f, G) dengan 1, jika F G δ = 0, jika F > G,

41 digilib.uns.ac.id 30 artinya jika F G maka δ = 1 (data tidak tersensor) dan jika F > G maka δ = 0 (data tersensor). Pemilihan distribusi eksponensial dalam simulasi ini dikarenakan distribusi ini merupakan kasus khusus dari distribusi Weibull, yaitu jika distribusi Weibull memiliki nilai α = 1, maka akan menjadi distribusi eksponensial. Berdasarkan hasil estimasi ungsi tahan hidup pada Lampiran 4 diberikan graik estimasi ungsi tahan hidup dan dibandingkan dengan ungsi tahan hidup distribusi eksponensial S t = exp λt dengan λ = 0,2. Gambar 4.4 Graik Perbandingan Estimasi Fungsi Tahan Hidup Data Simulasi dengan S t,km(t), S 2 t dan S 3 t Gambar 4.4 menunjukkan baik penaksir S 2 t maupun S 3 t memberikan hasil estimasi yang lebih baik daripada penaksir Kaplan-Meier, karena kedua graik tersebut cenderung mampu mengikuti graik ungsi tahan hidup distribusi eksponensial. Terlihat pula bahwa S 3 t memberikan estimasi yang terbaik karena graiknya paling mendekati graik ungsi tahan hidup distribusi eksponensial daripada kedua penaksir lainnya. Kemudian simulasi tersebut diulang sebanyak 2000 kali dan dihitung nilai mean square error (MSE) pada setiap S(t). Nilai MSE dihitung dengan mencari kuadrat selisih antara nilai masing-masing penaksir (Kaplan-Meier, S 2 t dan S 3 t ) dengan nilai S(t) pada tiap-tiap t untuk setiap perulangan kemudian dicari rata-ratanya. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut: R MSE KM t = 1 KM t R i S t 2 i=1 R MSE S 2 t = commit 1 to Suser R 2 t ) i S t 2 i=1

42 digilib.uns.ac.id 31 MSE S 3 t = 1 R R i=1 S 3 t i S t 2 dimana KM(t) i, S 2 t i dan S 3 t i masing-masing adalah nilai penaksir KM(t), S 2 t dan S 3 t pada perulangan ke-i dan R adalah jumlah perulangan. Berikut adalah graik perbandingan nilai MSE untuk masing-masing penaksir : Gambar 4.5 Graik Perbandingan Nilai MSE KM(t), S 2 t dan S 3 t Gambar 4.5 menunjukkan perbandingan nilai MSE untuk KM(t), S 2 t dan S 3 t. Terlihat garis hitam lebih banyak berada diatas garis berwarna merah, hal ini menunjukkan bahwa nilai MSE pada estimasi ungsi tahan hidup dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier lebih besar dari nilai MSE pada estimasi ungsi tahan hidup dengan menggunakan modiikasi penaksir Kaplan-Meier. Nilai MSE antara S 2 t dan S 3 t tidak terlalu berbeda, tetapi MSE S 3 t cenderung lebih kecil daripada nilai MSE S 2 t, hal ini terlihat dari garis warna hijau lebih sering berada dibawah garis warna merah. Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa untuk sampel yang kecil atau menengah, estimasi ungsi tahan hidup dengan menggunakan modiikasi penaksir Kaplan-Meier lebih baik digunakan daripada dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Akan tetapi untuk data yang besar penaksir metode modiikasi Kaplan-Meier akan memberikan nilai estimasi yang tidak jauh berbeda dengan metode Kaplan-Meier biasa. Selain itu semakin besar nilai M yang dipilih akan commit memberikan to user nilai estimasi yang lebih baik.

43 digilib.uns.ac.id BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Berikut kesimpulan yang diperoleh berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan. 1. Estimasi ungsi tahan hidup pada penderita leukemia dengan menggunakan modiikasi penaksir Kaplan-Meier tampak lebih masuk akal dibandingkan dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Apabila menggunakan penaksir Kaplan-Meier diperoleh probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 4 bulan sama dengan probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 9 bulan, KM 4 = KM 9 = 0, Tetapi dengan menggunakan modiikasi penaksir Kaplan-Meier untuk M = 2 diperoleh S 2 4 = 0, dan S 2 9 = 0, serta untuk M = 3 diperoleh S 3 4 = 0, dan S 3 9 = 0, Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan, diketahui bahwa nilai MSE pada modiikasi penaksir Kaplan-Meier lebih kecil dari pada menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Hal ini menunjukkan bahwa modiikasi penaksir Kaplan-Meier lebih baik dibanding menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa dan semakin besar nilai M yang dipilih akan menghasilkan nilai estimasi yang lebih baik. 5.2 Saran Pada skripsi ini dibahas mengenai analisis tahan hidup pada penderita Leukemia, bagi pembaca yang ingin mengembangkannya dapat diaplikasikan pada penyakit lain atau diaplikasikan pada bidang yang lain seperti bidang industri. Selain itu dalam menggunakan metode modiikasi penaksir Kaplan- Meier S M t dapat dipilih nilai M yang lebih besar. 32