Golden Ratio (Rasio Emas) +
|
|
- Shinta Johan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Golden Ratio (Rasio Emas) Rasio emas yang juga disebut sebagai proporsi Tuhan, telah diketemukan oleh para Phytagorean pada tahun 500 SM. Rasio ini memiliki banyak aplikasi menarik dalam geometri. Rasio emas dapat ditemukan menggunakan barisan Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8,, a n, dimana a n diperoleh dari menjumlahkan dua bilangan sebelumnya. Misal, = 2, = 3, = 5, dan seterusnya. Hasil bagi dari dua bilangan yang berurutan berbentuk. Bilangan-bilangan yang terbentuk akan menghasilkan barisan baru, yaitu: 1, 2, 1.5, 1.66, 1.6, 1.625, , ,. bilangan-bilangan ini mendekati suatu bilangan desimal yaitu , yang disebut dengan rasio emas, disimbolkan dengan nilainya adalah. Berikut beberapa hal unik tentang rasio emas. 1. Aesthetics. Suatu persegi panjang emas, karena perbandingan dari panjang dan lebarnya membentu rasio emas. Persegi panjang ini dianggap oleh orang Yunani sebagai bentuk yang nyaman dipandang. Sepanjang garis ini, memperlihatkan bahwa kartu indeksnya berdimensi 3 5 dan 5 8, dua pasang bilangan tersebut dalam barisan Fibonacci menghasilkan hasil bagi yang mendekati nilai. 2. Geometri Fallacy (kesalahan geometri). Jika kita memotong persegi sebagaimana yang ditunjukkan pada gambar di sebelah kiri dan disusun kembali seperti pada gaambar persegipanjang sebelah kanan, daerah yang dihasilkan sungguh unik. Perhatikan hawa bilangan 5, 8, 13, 21 yang terbentuk. Jika bilangan-bilangan dari barisan Fibonacci diganti dengan 8, 13, 21, 34, masing-masing membentuk hasil yang unik. Keunikan ini berlanjut terus sepertihalnya pada barisan Fibonacci. Bagaimanapun, jika keempat bilangan tersebut diganti dengan 1, dan 2 + 1, masing-masing sangatlah serasi. 3. Tempat-tempat yang unik. Perhatikan bagian dari segitiga Pascal berikut. 1
2 Jika disusun secara cermat, maka akan terbentuk barisan Fibonacci. Tiga hal tersebut ada beberapa dari sekian banyak hubungan yang menarik antara rasio emas dengan bilangan Fibonacci. STRETEGI 12 Work Backward Normalnya, untuk memecahkan suatu soal kita akan memulai dari awal dan bekerja maju hingga mendapatkan jawaban. Untuk kali ini, akan lebih efektif ketika kita memecahkan suatu masalah dari akhir kemudian bekerja mundur. Berikut ini contoh masalah yang tepat untuk diselesaikan dengan strategi ini. Masalah awal Seorang PKL memiliki sekeranjang apel. Merasa dermawan suatu hari, ia membagi-bagikan setengah dari apel nya ditambah satu untuk orang asing pertama yang ia temui, setengah dari apel yang tersisa ditambah satu untuk orang asing berikutnya yg ia temui, dan setengah dari apel yang tersisa ditambah satu untuk orang asing ketiga yang ia temui. Jika penjual memiliki sisa satu untuk dirinya sendiri, Berapa banyak apel mula-mula yang ia miliki? PETUNJUK Strategi Work Backward baik diterapkan ketika: a. Hasil akhir yang jelas dan bagian awal dari masalah tidak jelas. b. Masalah berlangsung dari yang kompleks di awal kemudian menjadi sederhana di akhir. c. Pendekatan langsung melibatkan persamaan rumit. d. Masalah melibatkan suatu urutan tindakan berbalik. PENDAHULUAN Pada Bab 6, himpunan pecahan telah diperkenalkan untuk menunjukkan bagian-bagian dari keseluruhan. Dalam bab ini kami memperkenalkan desimal, yang merupakan sistem penomoran yang mudah untuk pecahan, dan persen, yang merupakan representasi dari pecahan yang biasa digunakan untuk perdagangan. Kemudian konsep rasio dan proporsi yang dikembangkan karena pentingnya mereka dalam aplikasi matematika secara menyeluruh. 2
3 7.1 DESIMAL Standar NCTM Semua siswa harus memahami struktur nilai tempat dari sistem bilangan basis 10, dapat menyatakan dan membandingkan bilangan cacah dan desimal. Bilangan.1,.10, dan.100 semuanya adalah sama, namun dapat dinyatakan secara berbeda. Dengan menggunakan Balok Basis Sepuluhan, bilangan.1,.10, dan.100 dapat ditampilkan sebagai berikut. Desimal Desimal digunakan untuk menyatakan pecahan dalam notasi nilai tempat basis 10 yang biasa kita gunakan. Untuk lebih jelasnya, kita dapat melihat pecahan pada gambar 7.1 berikut Ribuan : 10 = 100 Ratusan : 10 = 10 Puluhan : 10 = 1 Satuan : 10 = Persepuluhan : 10 = Perseratusan : 10 = Perseribuan Gambar 7.1 Refleksi dari Penelitian Siswa sering memiliki kesalahpahaman tentang notasi bilangan desimal. Beberapa siswa melihat titik desimal sebagai sesuatu yang memisahkan dua bilangan cacah (Greer, 1987) 3
4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bentuk di atas dapat dipandang sebagai =, dibaca Tiga ribu empat ratus lima puluh tujuh dan sembilan ratus enam puluh delapan perseribu. Kata dan pada kalimat baca tersebut harus digunakan sebagai pemisah pada notasi desimal. Gambar 7.2 berikut suatu persegi ratusan dapat digunakan untuk menunjukkan persepuluhan dan perseratusan. Perhatikan bahwa persegi besar (keseluruhan persegi) mewakili bilangan 1, satu strip vertikal mewakili bilangan 0.1, dan masing-masing persegi kecil mewakili bilangan ,4 atau 4 persepuluhan 0,07 atau 7 perseratusan Gambar 7.2 Selain dengan persegi satuan dapat juga menggunakan garis bilangan untuk menggambarkan suatu desimal. Lihat Gambar 7.3 berikut. Gambar 7.3 Desimal yang telah kita pelajari sejauh ini dinamakan dengan Terminating Decimal (Desimal Berakhir), karena dapat dituliskan dengan sejumlah angka tidak nol tertentu di sebelah kanan titik desimal. TEOREMA Misalkan adalah suatu pecahan sederhana. Kemudian adalah suatu desimal berakhir jika dan hanya jika b hanya memiliki faktor prima 2 dan/atau 5. ( karena b dapat dijabarkan dalam bentuk pangkat dari 10). Refleksi dari Penelitian Siswa harus didorong untuk mengekspresikan pecahan desimal dengan bahasa bermakna (daripada menggunakan "titik"). Hal ini kadang-kadang membantu siswa memecah bentuk pecahan ke dalam komposisi persepuluh, misalnya, 0,35 akan dibaca tiga persepuluh ditambah 5/100 bukannya 35/100 (Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, & Peled, 1989). 4
5 Desimal Berurut Desimal berakhir dapat dibandingkan menggunakan persegi ratusan, dengan menggunakan garis bilangan, dengan membandingkan mereka dalam bentuk pecahan mereka, atau dengan membandingkan nilai tempat satu per satu dari kiri ke kanan seperti kita membandingkan bilangan cacah. Refleksi dari Penelitian Kesalahan siswa mengidentifikasi suatu bilangan missal 0,1814 adalah lebih besar dari 0,3 karena karena 0,1814 memiliki angka yang lebih banyak (Hiabert & Wearne, 1986) Mental Matematika dan Perkiraan Operasi-operasi pennambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang melibatkan desimal mirip dengan operasi pada bilangan cacah. Secara khusus, nilai tempat memiliki peran penting. Sebagai contoh, untuk menemukan jumlah , Seseorang bisa menambahkan bilangan cacahnya terlebih dahulu, = 8, kemudian persepuluh, = 0.9, kemudian didapatkan 8.9. Amati bahwa bilangan cacahnya ditambahkan terlebih dahulu, baru kemudian persepuluh, penambahan dilakukan dari kiri ke kanan. Dalam hal menemukan jumlah , orang bisa menambahkan persepuluh pertama, = 1.1, kemudian menggabungkan jumlah ini dengan = 9 untuk mendapatkan jumlah = Dengan demikian, seperti dengan bilangan cacah, desimal dapat ditambahkan dari kiri ke kanan atau kanan ke kiri. Standar NCTM Siswa harus menggunakan model, patokan, dan bentuk senilai untuk memperkirakan nilai pecahan. Refleksi dari Penelitian Siswa sering mengalami kesulitan memahami kesenilaian antara desimal dan pecahan (misalnya, bahwa 0,4 adalah sama dengan 2/5). Penelitian telah menemukan bahwa pemahaman ini dapat ditingkatkan dengan mengajarkan keduanya secara bersamaan dengan menggunakan desimal dan pecahan untuk menggambarkan situasi yang sama (Owens, 1990). 5
6 TEOREMA Mengali/Membagi Desimal dengan Pangkat dari 10 Misalkan n suatu desimal dan m suatu bilangan cacah bukan nol. Mengalikan n dengan 10 m senilai dengan membentuk bilangan baru dengan memindahkan titik desimal n sebanyak m angka ke kanan. Membagi n dengan 10 m adalah senilai dengan membentuk bilangan baru dengan memindahkan titik desimal n sebanyak m angka ke kiri. Mengalikan/membagi dengan pangkat dari 10 dapat digunakan mempermudah mengalikan suatu desimal. Sebagai contoh, untuk menemukan hasil kali ,000, kita dapat mengaalikan dengan 1000 (menghasilkan 3) dan kemudian membagi 41,000 dengan 1000 (menghasilkan 41) mka hasil kali 3 41 = 123. SEPOTONG MATEMATIKA Notasi Desimal telah berkembang selama bertahun-tahun tanpa kesepakatan universal. Simak daftar berikut ekspresi desimal untuk pecahan. Notasi Tahun Muncul , Adam Riese (Jerman) & 3, , Francois Fieta (Prancis) , Simon Stevin (Belanda) , John Napier (Skotlandia) Sekarang, orang Amerika menggunakan "titik desimal" versi notasi Napier (3.142, di mana titiknya terletak pada baris), Inggris mempertahankan versi asli (3 142, di mana titiknya terletak di tengah-tengah baris), sedangkan Perancis dan Jerman mempertahankan notasi "koma desimal" Vieta (3,142). Oleh karena itu, hingga sekarang belum ada kesepakatan universal tentang pemakaina notasi decimal ini. 7.2 OPERASI PADA DESIMAL Para peneliti telah menciptakan istilah "perkalian membuat lebih besar" untuk menggambarkan kesalahpahaman siswa bahwa dalam setiap masalah perkalian, hasil kali selalu lebih besar dari masing-masing faktor. Situasi bagaimana "Perkalian membuat besar" tidak terjadi? Demikian pula, "pembagian membuat lebih kecil" digunakan untuk menggambarkan kesalahpahaman siswa bahwa dalam masalah pembagian, hasil bagi selalu lebih kecil dari yang dibagi. Kapan situasi ini tidak berlaku? Diskusikan di mana kesalahpahaman "perkalian membuat lebih besar, perkalian membuat lebih kecil". Algoritma Operasi Desimal Algoritma sederhana untuk desimal, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. 6
7 1. Penambahan Misal: a b SOLUSI: Kita bisa menemukan jumlahnya dengan dua cara: (1) pendekatan pecahan, dan (2) pendekatan algoritma desimal. (1) Pendekatan pecahan (2) Pendekatan desimal Gambar 7.9 Pendekatan desimal seperti halnya pada penambahan bilangan cacah, mengatur angka di kolom sesuai dengan nilai-nilai tempatnya dan menjumlahkan angkaangka dalam setiap kolom, jika selesai bisa dikelompokkan kembali. LIhat Gambar Pengurangan Misal: a b SOLUSI: Pada soal seperti ini juga bisa digunakan pendekatan pecahan seperti halnya pada saat soal penjumlahan. Namun, pada soal pengurangan lebih efektif menggunakan algoritma pengurangan. a. Langkah 1 Luruskan titik desimal Langkah 2 Kurangkan seperti pada bilangan cacah Langkah 3 Sisipkan titik desimal pada jawaban 7
8 Catatan: Langkah 2 menunjukkan mental desimal, dimana tidak perlu menuliskan titik desimalnya. b. Tulis kembali 7.56 sebagai Perkalian Misal: SOLUSI: Mengacu pada perkalian pecahan. Perkalian Lattice dengan Desimal Misal: Jadi hasilnya adalah 70,725. Tahukah kamu? Metode Perkalian Lattice telah digunakan oleh Sekolah di Iran sejak tahun Matode ini sering juga disebut metode Kisi Langkah 1: Buat suatu praduga sementara hasil kali 34,5 2, = 70 Hasil kalinya dalam puluhan. Langkah 2: Gambarlah Tabel Lattice dan tuliskan angka-angka pembentuk bilangan, termasuk titik desimalnya. Posisi titik lurus dengan dengan angka pembentuknya. Langkah 3: Tuliskan hasil kalinya ke dalam Lattice. Langkah 4: Buat perpanjangan diagonal dari kanan ke kiri. Langkah 5: Letakkan titik desimal pada jawaban. Cara meletakkan titik desimal: Tarik garis bantu horizoltal ke kiri terhadap yang di samping, dan garis bantu vertikal ke bawah terhadap titik yang di atas hingga bertemu pada suatu titik. Arahkah titik pertemuan tersebut secara diagonal ke kiri bawah hingga berakhir pada jawaban. 8
9 4. Pembagian Misal: : 4.7 SOLUSI: Pertama, mari menduka hasil sementara 155 : 5 = 31, tentu hasilnya nanti akan mendekati 31. Selanjutnya kita menggunakan pecahan untuk membagi. Perhatikan bahwa pada metode pecahan, kita mengganti bentuk desimal sesungguhnya menjadi pecehana senilai yang terdiri atas bilangan cacah : : 470 Demikian pula, masalah : 47 juga manghasilkan jawaban 32.9 dengan metode Pendekatan Faktor Hilang. Dengan demikian, sebagaimana contoh ini, berbagai masalah pembagian pada desimal dapat diganti dengan pembagi bilangan cacah yang senilai. Teknik ini biasanya digunakan saat melakukan algoritma pembagian desimal yang panjang. Berikut penjelasan teknik "memindahkan titik desimal" untuk mendapatkan pembagi bilangan cacah. Misal: a dan b adalah suatu desimal Jika a : b = c, maka a = bc, Kemudian a. 10 n = bc. 10 n = (b. 10 n ) c untuk setiap n. Sedemikian hingga (a. 10 n ) : (b. 10 n ) = c Dari persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa kita dapat mengalikan a dan b (yang dibagi dan pembagi) dengan pangkatan 10 yang sama untuk membuat pembagi bilangan cacah. Teknik ini mirip dengan pengurangan dan penjumlahan yang sama kecuali bahwa pembagian dan perkalian yang terlibat di sini. NOTASI ILMIAH Perkalian dan pembagian suatu bilangan yang besar terkadang akan lebih mudah dengan terlebih dahulu menyatakannya dalam notasi ilmiah. Suatu bilangan dikatakan dalam notasi ilmiah jika dinyatakan dalam bentuk a x 10 n, di mana 1 a 10 dan n adalah bilangan cacah. a disebut mantissa sedangkan n disebut karakteristik dari a x 10 n. Tabel berikut memberikan beberapa contoh dari bilangan yang dinyatakan dalam notasi ilmiah. 9
10 Berikut contoh permasalahan yang diselesaikan dengan mengubah bilangan menjadi notasi ilmiah. DESIMAL BERULANG Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa pecahan dalam bentuk sederhana adalah pecahan yang penyebutnya adalah 2 m. 5 n memiliki representasi decimal berakhir. Pecahan jenis ini juga dapat dikonversi menjadi desimal menggunakan kalkulator atau algoritma pembagian bersusun untuk menjadikannya bentuk desimal. Misal dapat ditampilkan dalam bentuk desimal sebagai berikut. Jadi, Skarang bagaimana jika bilangan dinyatakan dalam bentuk desimal? Meskipun dengan kalkulator manghasilkan suatu desimal yang berakhir, yaitu 0, Hal ini dikarenakan keterbatasan tempilan pada kalkulator, nilai sebenarnya lebih panjang dari itu. Dengan menggunakan algoritma pembagian bersusun pun, tidak akan menghasilkan bilangan decimal berakhir, karena sisa pembagiannya selalu 1. Demikian juga dengan bilangan. Sebagai pengganti titik-titik, ditulis dengan garis horisontal di atas repetend (digit yang berulang). Berikut beberapa contoh: 10
11 Bilangan desimal yang memiliki repetend disebut desimal berulang. Banyaknya digit yang berulang tersebut dinamakan periode dari desimal tersebut. Misalnya, mempunyai periode 2 karena digit yang berulang adalah 0 dan 9. Ketika suatu bilangan cacah dibagi oleh 7, maka sisa yang mungkin adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pada desimal berakhir, digit 0 mungkin juga akan muncul sebagai sisa pembagian (dan desimal berakhir), atau ketika, sisa bukan nol muncul kembali sebagi sisa pembagian. Pada kondisi ini, desimal tersebut akan mulai berulang. Perhatikan bahwa sisa hasil bagi 6 muncul sebanyak dua kali, maka desimal tersebut akan mulai berulang tepat pada digit tersebut. Oleh karena itu. Demikian pula, akan mulai berulang tidak lebih dari sisa ke-13, akan mulai berulang tidak lebih dari sisa ke-23, dan seterusnya. Dengan memperhatikan beberapa contoh di mana penyebut memiliki faktor-faktor lain selain 2 atau 5, pernyataan berikut akan menjadi jelas. TEOREMA Pecahan dengan Pengulangan, Representasi Desimal Tak berakhir Misalkan suatu pecahan sederhana. Kemudian memiliki representasi desimal berulang yang tidak berakhir jika dan hanya jika b memiliki faktor prima selain 2 atau 5. Sebelumnya telah dibahas bahwa mudah untuk mengungkapkan suatu desimal berakhir sebagai pecahan. Tapi misalkan suatu bilangan memiliki representasi pengulangan, desimal tak berakhir. Dapatkah kita menemukan representasi pecahan untuk bilangan tersebut? Misal kita akan menyatakan decimal sebagai suatu pecahan. SOLUSI: Misalkan n =. maka 100n = Kemudian 100n = n = n = 34 n = Cara ini dapat diterapkan untuk sebarang desimal berulang yang tak berakhir, tidak semua decimal n dikalikan dengan 100. Untuk kasus umum, kita bisa mengalikan decimal berulang tak berakhir n dengan 10 m, dimana m adalah banyaknyadigit pada repetend. Misal, untuk menyatakan menjadi bentuk pecahan, andaikan n = dan kalikan keduanya n dan dengan 10 3, karena digit yang berulang adalah mempunyai 3 digit. Kemudian 103n n = dari sini kita menemukan hasil bahwa n =. 11
12 TEOREMA Setiap pecahan mempunyai representasi desimal berulang, dan setiap desimal berulang memiliki representasi pecahan. Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram di bawah ini. Pecahan (bentuk sederhana) Penyebut dengan faktor hanya 2 dan/atau 5 Penyebut dengan minimal satu faktornya bukan bukan 2 atau 5 Desimal berulang Desimal berakhir (salah satu sisanya adalah 0) Desimal tak brakhir (repetend-nya bukan 0) Math Morsel Debugging adalah istilah yang digunakan untuk menggambarkan proses pemeriksaan suatu program komputer untuk kesalahan dan kemudian memperbaiki kesalahan. Menurut cerita dahulu, proses debugging diadopsi oleh Grace Hopper, yang merancang bahasa komputer COBOL. Ketika salah satu programnya tidak berjalan sebagaimana mestinya, kemudian ditemukan bahwa salah satu komponen komputer telah tidak berfungsi dikarenakan serangga (bug) sebenarnya yang ditemukan di antara komponennya. Sejak saat itu, jika suatu program tidak berjalan seperti yang dirancang semestinya maka dikatakan memiliki "bug" di dalamnya. Oleh karena itu harus "didebug." 7.3 RASIO DAN PROPORSI Untuk proyek pembangunannya, Jose perlu untuk memotong beberapa papan menjadi dua bagian A dan B sehingga bagian A sebesar 1 3 kali bagian B. untuk situasi ini, diskusikan pertanyaan-pertanyaan berikut: 1. Bagian A seberapa besar dari papan tersebut? 2. Bagian B berapa kali besar bagian A? 3. Apa/bagaimana rasio dari bagian A dengan bagian B? Ulangi untuk dua situasi berikut: Bagian A sebesar 3 4 kali bagian B; bagian A sebesar 2 5 kali bagian B 12
13 Rasio Konsep rasio muncul di banyak tempat di matematika dan di kehidupan sehari-hari, seperti ilustrasi contoh berikut. Contoh 7.19 a. Di Washington School, rasio dari murid dengan guru adalah 17 : 1, dibaca 17 banding 1. b. Di Smithville, rasio cewek dengan cowok adalah 3 : 2. c. Suatu campuran cat memiliki rasio 5 : 3 untuk cat biru dengan cat merah. d. Rasio centimeter dengan inci adalah 2.54 : 1. Pada bab ini, bilangan yang digunakan dalam rasio adalah bilangan cacah, pecahan, atau desimal yang menyatakan pecahan. Dalam bahasa Inggris, kata per berarti untuk setiap dan menyatakan rasio. Contohnya, angka-angka seperti mil per galon (jarak mil bensin), kilometer per jam (kecepatan), dollar per jam (upah), sen per ons (harga satuan), orang per mil persegi (kepadatan populasi), dan persen semuanya adalah rasio. DEFINISI Rasio adalah suatu pasangan terurut dari bilangan, ditulis a : b, dengan b 0. Tidak seperti pecahan, ada hal-hal dari rasio ketika b dapat berupa nol. Contohnya, rasio dari pria dengan wanita pada permulaan tim basket liga utama dapat dilaporkan sebagai 9 : 0. Bagaimanapun, karena penerapan tersebut jarang terjadi, definisi dari rasio a : b tidak memuat kasus b = 0. Rasio mengijinkan kita untuk membandingkan ukuran relatif dari dua kuantitas. Perbandingan ini dapat dinyatakan dengan simbol rasio a : b atau sebagai hasil bagi a b. Hasil bagi muncul secara alami ketika kita menyatakan rasio. Pada contoh 7.19(a), ada 1 17 banyak guru dan murid di Washington School. Pada bagian (b) ada 3 2 banyak cewek dan cowok di Smithville. Kita juga dapat mengatakan ada 2 3 banyak cowok dan cewek, atau bahwa rasio dari cowok dengan cewek adalah 2 : 3. Hal ini diilustrasikan pada gambar Gambar 7.10 Refleksi dari Penelitian Anak-anak memahami efek perubahan manjadi bagian-bagian pada keseluruhan yang tak terhitung sebelum mereka mulai sekolah, dan pemahaman ini tidak dimanfaatkan selama 2 tahun berikutnya di sekolah (Irwin, 1996) 13
14 Perhatikan bahwa ada beberapa rasio yang dapat kita bentuk ketika membandingkan populasi dari cowok dan cewek di Smithville, misalkan 2 : 3 (cowok dengan cewek), 3 : 2 (cewek dengan cowok), 2 : 5 (cowok dengan anak-anak), 5 : 3 (anak-anak dengan cewek, dan lainnya. Beberapa rasio memberi suatu perbandingan sebagian dengan sebagian, seperti Contoh 7.19(c). Pada campuran cat, kita akan menggunakan 5 satuan cat biru dan 3 satuan cat merah. (Suatu satuan dapat berupa sebarang ukuran milimeter, sendok teh, cangkir, dan lainnya) Rasio dapat juga menyatakan perbandingan dari sebagian dengan keseluruhan atau keseluruhan dengan sebagian. Pada Contoh 7.19(b) rasio cowok (sebagian) dengan anakanak (keseluruhan) adalah 2 : 5. Perhatikan bahwa rasio sebagian dengan keseluruhan, 2 : 5, adalah konsep yang sama dengan pecahan dari anak-anak, yaitu cowok, dinamakan 2 5. Perbandingan dari semua anak-anak dengan cowok dapat dinyatakan dengan rasio keseluruhan dengan sebagian yaitu 5 : 2, atau sebagai pecahan 5 2. Pada Contoh 7.19(b), rasio cewek dengan cowok menyatakan hanya ukuran relatif dari populasi dari cewek dan cowok di Smithville. Itu bisa 30 cewek dan 20 cowok, 300 cewek dan 200 cowok, atau beberapa pasangan bilangan lain dengan rasio yang ekivalen/sama. Penting untuk dicatat bahwa rasio selalu menyatakan jumlah (banyak) relatif, daripada mutlak. Pada beberapa penerapan, ini berguna untuk mengetahui rasio mana yang menyatakan jumlah (banyak) yang relatif sama. Pertimbangkan contoh berikut. Contoh 7.20 Di kelas 1, rasio dari cewek dengan cowok adalah 8 : 6. Di kelas 2, rasionya adalah 4 : 3. Misalkan tiap kelas memiliki 28 murid. Apakah rasio-rasio tersebut menyatakan jumlah (banyak) relatif yang sama? Solusi. Perhatikan bahwa kelas-kelas dapat dikelompokkan dalam cara-cara berbeda (Gambar 7.11) Kelas 1: GGGG GGGG GGGG GGGG BBB BBB BBB BBB Rasio 8 : 6 Kelas 2: GGGG GGGG GGGG GGGG BBB BBB BBB BBB Rasio 4 : 3 Gambar 7.11 Pengelompokan yang ditunjukkan di Gambar 7.11 tidak mengubah jumlah (banyak) relatif dari cewek dengan cowok dalam kelompoknya. Kita katakan bahwa di kedua kelas ada 4 cewek untuk setiap 3 cowok. Karena itu kita katakan bahwa, sebagai pasangan terurut, rasio 4 : 3 dan 8 : 6 adalah ekivalen/sama, karena mereka menyatakan jumlah (banyak) relatif yang sama. Mereka ekivalen dengan rasio 16 : 12. Dari Contoh 7.20 seharusnya jelas bahwa rasio a : b dan ar : br, dimana r 0, menyatakan jumlah (banyak) relatif yang sama. Dengan menggunakan argumen yang sama dengan yang digunakan oleh pecahan, kita dapat menunjukkan bahwa rasio a : b dan c : d 14
15 menyatakan jumlah (banyak) relatif yang sama jika dan hanya jika ad = bc. Jadi kita mempunyai definisi berikut. DEFINISI Kesamaan dari rasio Misalkan a b dan c d a sebarang dua rasio. Maka c b d jika dan hanya jika ad = bc. Seperti pecahan, definisi ini dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa jika n adalah suatu bilangan tak nol, maka an a bn b, atau an : bn = a : b. Di persamaan a c, a dan d b d disebut ekstrim, karena a dan d adalah di posisi ekstrim dari persamaan a : b = c : d, sedangkan b dan c disebut means. Jadi kesamaan dari rasio menyatakan bahwa dua rasio adalah sama jika dan hanya jika hasil kali means sama dengan hasil kali ekstrim. Proporsi Konsep dari proporsi berguna dalam menyelesaikan masalah yang memuat rasio. DEFINISI Proporsi adalah suatu pernyataan bahwa dua rasio yang diketahui adalah sama. Persamaan 10 5 adalah proporsi karena Dan juga, persamaan adalah suatu contoh proporsi, karena = Secara umum, a c adalah b d proporsi jika dan hanya jika ad = bc. Contoh berikut menunjukkan bagaimana proporsi digunakan untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari. Contoh 7.21 Sekolah Adam memesan 3 karton susu coklat untuk setiap 7 murid. Jika ada 581 murid di sekolah, berapa banyak karton susu coklat yang harus dipesan? Solusi. Buat proporsi menggunakan rasio dari karton dengan murid. Misalkan n adalah banyak karton yang belum diketahui. Maka 3 ( karton) n ( karton) 7 ( murid) 581 ( murid) Dengan menggunakan sifat perkalian-silang dari rasio, kita peroleh bahwa = 7 n Jadi n Sekolah harus memesan 249 karton susu coklat. 15
16 Di contoh 7.21, banyaknya karton susu dibandingkan dengan banyaknya murid. Rasio memuat satuan berbeda ( di sini karton dengan murid) disebut rates. Rates digunakan secara bersamaan seperti mil per galon, sen per ons, dan lainnya. Ketika menyelesaikan proporsi seperti pada Contoh 7.21, penting untuk menyusun rasio secara konsisten sesuai satuan yang berhubungan dengan jumlah (banyak). Pada solusi kita, rasio 3 : 7 dan n : 581 menyatakan rasio dari karton susu coklat dengan murid di sekolah. Proporsi berikut dapat juga digunakan. 3( karton rasio) 7( murid rasio) n( karton sekolah) 581( murid sekolah) Di sini pembilang menunjukkan rasio asli. (Perhatikan bahwa proporsi tidak tepat n 7 untuk menyatakan permasalahan, karena satuan pembilang dan penyebut tidak bersesuaian.) Secara umum, proporsi berikut adalah ekivalen (dengan kata lain, mempunyai solusi yang sama). Ini dapat dibuktikan dengan perkalian-silang. a c a b b d c d b d c d a c a b Jadi ada beberapa kemungkinan proporsi yang tepat yang dapat diperoleh ketika menyamakan rasio. Refleksi dari Penelitian Murid kelas 6 kelihatannya mampu meggeneralisasikan penghitungan yang mereka tahu dengan baik, tetapi mereka mendapatkan kesulitan menggeneralisasi penghitungan dengan sesuatu yang kurang familier bagi mereka. Di sisi lain, sekolah menengah murid akan mendapatkan keuntungan dari pengalaman yang lebih banyak dengan banyak macam situasi perkalian, termasuk keproporsionalan,variasi invers dan perpangkatan (Swafford & Langrall, 2000) Standar NCTM Semua murid harus mengembangkan, menganalisis, dan menjelaskan metode untuk menyelesaikan masalah yang memuat proporsi seperti penskalaan dan penemuan rasio ekivalen. Refleksi dari Penelitian Ketika ditanya untuk menyelesaikan macam-macam tugas rasio dan proporsi, murid mengakui keperluan bilangan bukan bulat dan akan mengembangkan pemahaman dari konsep perkalian di konsep penambahan rasio dan proporsi. (Lo & Watanabe, 1997) 16
17 7.4 PERSEN Harga grosir dari jaket yang ditandai naik 40% untuk mendapatkan harga eceran dan harga eceran kemudian ditandai turun 40% untuk harga jual, apakah harga grosir dan harga jual sama? Jika tidak, jelaskan mengapa tidak dan tentukan mana yang lebih besar. Standar NCTM Semua murid harus mengenal dan membangun bentuk ekivalen dari penggunaan pecahan, desimal, dan persen secara bersamaan. Mengubah persen Persen menyediakan jalan bersama dalam menyatakan pecahan. Kata persen memiliki arti kata Latin yang berarti per seratus. Jadi 25 persen berarti 25 per seratus, , atau Simbol % diguunakan untuk menyatakan persen. Jadi 420% berarti , 4.20, n atau 420 per seratus. Umumnya, n% menyatakan rasio. 100 Karena persen adalah pernyataan alternatif dari pecahan dan desimal, penting untuk bisa mengubah ke semua tiga bentuk tersebut, seperti pada Gambar Karena kita telah belajar mengubah pecahan ke desimal, dan sebaliknya, ada hanya 4 kasus pengubahan tersisa untuk dipertimbangkan pada Gambar Pecahan Desimal berulang Gambar 7.12 Persen Kasus 1: Persen ke Pecahan Gunakan definisi dari persen. Contohnya, 63% = 63 dalam arti persen. 100 Kasus2: Persen ke Desimal Karena kita tahu bagaimana mengubah pecahan ke desimal, kita dapat menggunakan kemampuan ini untuk mengubah persen ke pecahan dan kemudian ke desimal. Contohnya, 63 63% = 100 = 0.63 dan 27% = 27 = Dua contoh ini menyarankan ke jalan pintas 100 berikut, dengan menghilangkan pengubahan ke pecahan. Dengan kata lain, untuk mengubah persen secara langsung ke desimal, hilangkan simbol % dan pindahkan titik desimal dua tempat ke kiri. Jadi 31% = 0.31, 213% = 2.31, 0.5% = 0.005, dan lainnya. 17
18 Kasus 3: Desimal ke Persen Disini kita hanya membalik jalan pintas di kasus 2. Contohnya, 0.83 = 83%, 5.1 = 510%, dan = 0.01% dimana persen diperoleh dari desimal dengan memindah titik desimal dua tempat ke kanan dan menulis simbol % di sebelah kanan. Kasus 4: Pecahan ke Persen Beberapa pecahan yang memiliki desimal terakhir dapat diubah ke persen dengan menuliskan 17 pecahan dengan penyebut 100. Contohnya, 100 = 17%, 2 5 = = 40%, 3 25 = = 12%, dan lainnya. Juga, pecahan dapat diubah ke desimal (menggunakan kalkutator atau pembagian panjang), dan kemudian kasus 3 dapat diterapkan. Standar NCTM Semua murid harus bekerja fleksibel dengan pecahan, desimal, dan persen untuk menyelesaikan masalah.. Refleksi dari Penelitian Murid yang bekerja pada masalah desimal yang diberikan secara familier, konteks setiap hari meningkatkan pengetahuan mereka lebih signifikan daripada yang bekerja pada masalah non-kontekstual. (Irwin,2001) Mental Matematika dan Penghitungan Menggunakan Ekivalensi Pecahan Karena banyak penggunaan persen secara bersamaan mempunyai ekivalensi pecahan yang baik sekali, hal ini sering lebih mudah untuk menemukan persen dari suatu bilangan secara mental, menggunakan pecahan. Dan juga, seperti kasus dengan proporsi, persentase dari bilangan dapat dihitung dengan memilih pecahan yang cocok. Contoh 7.27 Temukan persen berikut secara mental, gunakan ekuivalensi pecahan. Solusi Menyelesaikan Masalah Persen Pertanyaan berikut menggambarkan 3 tipe berbeda dari masalah yang memuat persen. 1. Suatu mobil dibeli seharga $13,000 dengan uang muka 20%. Berapa uang mukanya? 18
19 2. Seratus enam puluh dua senior, 90% dari kelas senior, akan mengikuti perjalanan kelas. Berapa banyak senior di sana? 3. Susan mendapat skor 48 poin dari tes 60 poin. Berapa persen jawabannya yang tepat? Ada 3 pendekatan untuk menyelesaikan masalah persen seperti 3 masalah terdahulu. Yang pertama dari 3 pendekatan adalah pendekatan petak dan menyandarkan pada petak yang diperkenalkan pada awal bagian ini. Pendekatan ini lebih konkrit dan bertujuan untuk memahamkan konsep dasar dari persen. Pendekatan bersama yang lain, proporsi dan persamaan, lebih kuat dan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah berjangkauan luas. Pendekatan Petak Karena persen berarti per seratus, menyelesaikan masalah untuk menemukan persen yang hilang dapat divisualisasikan dengan penggunaan petak yang diperkenalkan pada awal bagian ini. Contoh 7.29 Jawab 3 masalah sebelumnya dengan pendekatan petak. Solusi 1. Suatu mobil dibeli seharga $13,000 dengan uang muka 20%. Berapa uang mukanya? Misalkan petak pada Gambar 7.14 menyatakan total harga mobil, atau $13,000. Karena uang mukanya adalah 20%, bayangi 20 dari 100 persegi. Solusi dapat ditemukan dengan alasan bahwa 100 persegi menyatakan $13,000, maka 1 persegi menyatakan 13,000/100 = $130 dan oleh karena itu 20 persegi menyatakan uang muka 20 $130 = $2600. Gambar Seratus enam puluh dua senior, 90% dari kelas senior, akan mengikuti perjalanan kelas. Berapa banyak senior di sana? Misalkan petak pada Gambar 7.15 menyatakan total ukuran kelas. Karena 90% dari murid akan pergi ke perjalanan kelas, bayangi 90 dari 100 persegi. Alasan yang digunakan untuk menyeesaikan masalah ini adalah bahwa karena 90 persegi menyatakan 162 murid, maka 1 persegi menyatakan 162/90 = 1.8 murid. Jadi 100 persegi, banyak keseluruhan, adalah = 180 murid. Gambar Susan mendapat skor 48 poin dari tes 60 poin. Berapa persen jawabannya yang tepat? 19
20 Misalkan petak pada gambar 7.16 menyatakan semua 60 poin pada tes. Dalam kasus ini, persen tidak deketahui, jadi penentuan berapa banyak persegi yang harus dibayangi untuk menyatakan skor Susan dari 58 poin menjadi fokus masalahnya. Alasan dengan petak, itu dapat dilihat bahwa karena 100 persegi menyatakan 60 poin, maka 1 persegi menyatakan 0.6 poin. Jadi 10 persegi adalah 6 poin dan 80 persegi adalah skor Susan 6 8 = 48 poin. Jadi dia mendapatkan 80% jawaban tepat. Gambar 7.16 Pendekatan Proporsi Karena persen dapat dituliskan sebagai rasio, masalah penyelesaian persen mungkin bisa selesai menggunakan proporsi. Untuk masalah yang memuat persen antara 0 dan 100, mungkin dapat terbantu untuk berpikir suatu indikator bahan bakar dari kosong (0%) sampai penuh (100%) (Gambar 7.17) Gambar 7.17 Contoh 7.30 Jawab 3 masalah sebelumnya dengan pendekatan proporsi. Solusi 1. Suatu mobil dibeli seharga $13,000 dengan uang muka 20%. Berapa uang mukanya (Gambar 7.18)? Jadi x 20 13, 000, atau x $ , Gambar Seratus enam puluh dua senior, 90% dari kelas senior, akan mengikuti perjalanan kelas. Berapa banyak senior di sana (Gambar 7.19)? 20
21 Jadi x 100, atau 10 x Gambar Susan mendapat skor 48 poin dari tes 60 poin. Berapa persen jawabannya yang tepat (Gambar 7.20)? Jadi 48 x, atau x Gambar 7.20 Perhatikan bagaimana (1), (2), dan (3) membawa ke perumuman berikut: Sebagian persen Keseluruhan 100 Pendekatan Persamaan Suatu persamaan dapat digunakan untuk menyatakan masing-masing masalah di Contoh 7.30 sebagai berikut: 1. 20%. 13,000 = x 2. 90%. x = x%. 60 = 48 Faktanya, banyak masalah persen dapat diselesaikan dengan mudah dengan menyatakan masalah dalam suatu persamaan dari salah satu dari ketiga bentuk sebelumnya dan kemudian menyelesaikan persamaannya. 21
pangkatnya dari bilangan 10 yang dipangkatkan ( 1
Desimal A. Pendahuluan Desimal dapat digunakan untuk menyatakan bilangan yang sangat besarataupun bilangan yang sangat kecil, yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan bulat ataupun rasional. Misalnya
Lebih terperinciBAB VI BILANGAN REAL
BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul
Lebih terperinciBAB I BILANGAN. Skema Bilangan. I. Pengertian. Bilangan Kompleks. Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Prima Bilangan Komposit
BAB I BILANGAN Skema Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif Bilangan Asli
Lebih terperinciSaat menemui penjumlahan langsung pikirkan hasilnya dengan cepat lalu lakukan penjumlahan untuk setiap jawaban yang diperoleh.
TRIK PENJUMLAHAN DENGAN BERPIKIR LANGSUNG HASILNYA Penjumlahan merupakan salah satu dari proses berpikir dan menghapal. Keahlian menjumlahkan secara cepat tidak bisa didapat begitu saja melainkan harus
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 06 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB I BILANGAN Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya
Lebih terperinciEKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN
EKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN 1 EKSPLORASI BILANGAN Fokus eksplorasi bilangan ini adalah mencari pola dari masalah yang disajikan. Mencari pola merupakan bagian penting dari pemecahan masalah
Lebih terperinci134 Ayo Belajar Matematika Kelas IV
Bilangan Bulat 133 134 Ayo Belajar Matematika Kelas IV Bab 5 Bilangan Bulat Mari menggunakan konsep keliling dan luas bangun datar sederhana dalam pemecahan masalah. Bilangan Bulat 135 136 Ayo Belajar
Lebih terperinci1. Nilai Tempat Bilangan 10.000 s.d. 100.000 Lambang bilangan Hindu-Arab yang setiap kali kita gunakan menggunakan sistem desimal dengan nilai
1. Nilai Tempat Bilangan 10.000 s.d. 100.000 Lambang bilangan Hindu-Arab yang setiap kali kita gunakan menggunakan sistem desimal dengan nilai tempat. Menggunakan sistem desimal (dari kata decem, bahasa
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciSTRATEGI MENYEDERHANAAN MASALAH YANG SERUPA (Simpler Analogous Problem)
STRATEGI MENYEDERHANAAN MASALAH YANG SERUPA (Simpler Analogous Problem) Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa ada lebih dari satu cara untuk menyelesaikan suatu masalah. Persoalannya adalah bagaimana
Lebih terperinciBab 5 Pecahan. Penghasilan Pak Rusdi selama 1 bulan sebesar Rp ,00. bagian dari penghasilannya digunakan untuk biaya pendidikan putraputrinya,
Bab Pecahan? Lain-lain Pendidikan Sehari-hari Transportasi Penghasilan Pak Rusdi selama bulan sebesar Rp.000.000,00. bagian dari penghasilannya digunakan untuk biaya pendidikan putraputrinya, bagian untuk
Lebih terperinciEKSPLORASI BILANGAN. 1.1 Barisan Bilangan
EKSPLORASI BILANGAN Fokus eksplorasi bilangan ini adalah mencari pola dari masalah yang disajikan. Mencari pola merupakan bagian penting dari pemecahan masalah matematika. Eksplorasi pola-pola bilangan
Lebih terperinciStandar Kompetensi 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan penggunaannya dalam pemecahan masalah
Apa yang akan Anda Pelajari? Bilangan pecahan biasa, campuran, desimal, persen, dan permil Mengubah bentuk pecahan ke bentuk yang lain Operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat dengan melibatkan
Lebih terperinciBILANGAN. Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.
BILANGAN A. BILANGAN BULAT Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat
Lebih terperinciBahan Ajar untuk Guru Kelas 5 Persen
Bahan Ajar untuk Guru Kelas 5 Persen Persen sangat bermanfaat di dalam banyak situasi. Orang mendengar bahwa ada peluang hujan 60 persen atau ketika seseorang menabung di bank, ia akan memperoleh 6 persen
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Sekolah Mata pelajaran Kelas/ semester Waktu : SMP... : Matematika : VII/ 1(satu) : 2 x 0 Menit A. Standar Kompetensi: 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan
Lebih terperinciMengenal Bilangan Bulat
Mengenal Bilangan Bulat Kita sudah mempelajari bilangan-bilangan yang dimulai dari nol sampai tak terhingga. Selama ini yang kita pelajari 0 (nol) adalah bilangan terkecil. Tetapi tahukah kamu bahwa ada
Lebih terperinci2 PECAHAN. Kata-Kata Kunci: jenis pecahan pengurangan pecahan bentuk pecahan perkalian pecahan penjumlahan pecahan pembagian pecahan
PECAHAN Sebuah gelas jika terkena getaran dapat pecah berkeping-keping. Bagian pecahannya lebih kecil daripada ketika gelas masih utuh. Menurut kalian, samakah jumlah seluruh pecahan gelas dengan satu
Lebih terperinciMengenal Bilangan Bulat
Mengenal Bilangan Bulat Kita sudah mempelajari bilangan-bilangan yang dimulai dari nol sampai tak terhingga. Selama ini yang kita pelajari 0 (nol) adalah bilangan terkecil. Tetapi tahukah kamu bahwa ada
Lebih terperinciOperasi Hitung Bilangan 1
Operasi Hitung Bilangan 1 2 Ayo Belajar Matematika Kelas IV Bab 1 Operasi Hitung Bilangan Mari memahami dan menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan dalam pemecahan masalah. Operasi Hitung Bilangan
Lebih terperincia 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2
Kunci Jawaban Uji Kompetensi 1.1 1. a. {, 1,0,1,,3,4} BAB I Bilangan Riil Uji Kompetensi 1. 1. a. asosiatif b. memiliki elemen penting 3. 10 Uji Kompetensi 1.3 1. a. 1 4 e. 1 35 15 c. 1 8 1 1 c. 1 4 5.
Lebih terperinciDAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI...
0 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... i ii BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belakang... B. Tujuan Penulisan Modul... C. Sasaran... D. Ruang Lingkup... BAB II PENGEMBANGAN MATERI... KB-: Konsep Dasar
Lebih terperinciKuadrat Umum. Modul Kuadrat Bilangan 2 Angka. 1.1 Pangkat Dua atau Kuadrat
Modul 1 Kuadrat Umum 1.1 Pangkat Dua atau Kuadrat Pangkat dua atau kuadrat adalah perkalian dari 2 buah bilangan yang sama. Pangkat 2 atau kuadrat dilambangkan dengan angka 2 yang posisinya agak naik ke
Lebih terperinciBAB 1. Sistem Bilangan. 1.1 Pendahuluan
BAB 1 Sistem Bilangan 1.1 Pendahuluan Sistem bilangan didefinisikan sebagai sekumpulan nilai yang digunakan untuk melambangkan besaran. Kita sudah terbiasa menggunakan bilangan ini dalam kehidupan sehari-hari.
Lebih terperinciModul ini adalah modul ke-1 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini
PENDAHULUAN Konsep Pra - Bilangan dan Bilangan Cacah KONSEP PRA-BILANGAN DAN BILANGAN CACAH Modul ini adalah modul ke-1 dalam mata kuliah. Isi modul ini membahas tentang konsep pra-bilangan dan bilangan
Lebih terperinciSumber: Kamus Visual, 2004
1 BILANGAN BULAT Pernahkah kalian memerhatikan termometer? Termometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur suhu suatu zat. Pada pengukuran menggunakan termometer, untuk menyatakan suhu di bawah 0
Lebih terperinciBAB V BILANGAN PECAHAN
BAB V BILANGAN PECAHAN Bilangan pecahan terdiri dari pembilang dan penyebut ; a pembilang dan b penyebut 1. Macam-macam bilangan Pecahan a. Pecahan Biasa pembilangnya lebih kecil dari penyebut ; a < b,,
Lebih terperinciA. SISTEM DESIMAL DAN BINER
SISTEM BILANGAN A. SISTEM DESIMAL DAN BINER Dalam sistem bilangan desimal, nilai yang terdapat pada kolom ketiga pada Tabel., yaitu A, disebut satuan, kolom kedua yaitu B disebut puluhan, C disebut ratusan,
Lebih terperinciBab. Bilangan Riil. A. Macam-Macam Bilangan B. Operasi Hitung pada. Bilangan Riil. C. Operasi Hitung pada Bilangan Pecahan D.
Bab I Sumber: upload.wikimedia.org Bilangan Riil Anda telah mempelajari konsep bilangan bulat di Kelas VII. Pada bab ini akan dibahas konsep bilangan riil yang merupakan pengembangan dari bilangan bulat.
Lebih terperinciBAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN
BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN A. Bilangan Bulat I. Pengertian Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat
Lebih terperinci37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI)
37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting
Lebih terperinciDisusun Oleh : ARISMAN WIJAYA. Aris
Disusun Oleh : ARISMAN WIJAYA (arisman_wijaya@yahoo.com) Aris _^M@thLover^ TRIK BERHITUNG CEPAT ( MATHMAGIC ) 1. Perkalian dengan angka 11 Perkalian dengan angka 11 atau (11, 110, 1,1 dan seterusnya) bisa
Lebih terperinci08. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang B. Tujuan
08. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciPETUNJUK UMUM OLMIPA UB 2013 BIDANG MATEMATIKA
PETUNJUK UMUM OLMIPA UB 2013 BIDANG MATEMATIKA 1. Sebelum mengerjakan soal, telitilah dahulu jumlah dan nomor halaman yang terdapat pada naskah soal. Pada naskah soal ini terdiri dari 30 soal pilihan ganda
Lebih terperinci2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika
Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun
Lebih terperinciBAB III SISTEM NUMERASI
BAB III SISTEM NUMERASI PENDAHULUAN Sejak zaman dahulu kala, manusia berkepentingan dengan bilangan untuk menghitung banyaknya ternak yang dimiliki, mengukur luas sawahnya, untuk berkomunikasi dengan sesamanya.
Lebih terperinciMata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X
Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X SEKOLAH MENENGAH ATAS dan MADRASAH ALIYAH PG Matematika Kelas X 37 Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Nama Sekolah : SMA dan MA Mata Pelajaran : Matematika Kelas
Lebih terperinci2.1 Desimal. Contoh: Bilangan 357.
2.Sistem Bilangan Ada beberapa sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital. Yang paling umum adalah sistem bilangan desimal, biner, oktal, dan heksadesimal. Sistem bilangan desimal merupakan sistem
Lebih terperinciBAB V b SISTEM PENGOLAHAN DATA KOMPUTER (Representasi Data) "Pengantar Teknologi Informasi" 1
BAB V b SISTEM PENGOLAHAN DATA KOMPUTER (Representasi Data) "Pengantar Teknologi Informasi" 1 SISTEM BILANGAN Bilangan adalah representasi fisik dari data yang diamati. Bilangan dapat direpresentasikan
Lebih terperinciSilabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Ponco Sujatmiko MODEL Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) MATEMATIKA KREATIF Konsep dan Terapannya untuk Kelas VII SMP dan MTs Semester 1 1A Berdasarkan Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006
Lebih terperinciMETODE NUMERIK. MODUL 1 Galat dalam Komputasi Numerik 1. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2008 年 09 月 21 日 ( 日 )
METODE NUMERIK MODUL Galat dalam Komputasi Numerik Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 008 年 09 月 日 ( 日 ) Galat dalam Komputasi Numerik Dalam praktek sehari-hari, misalkan
Lebih terperinci15. KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA SMP/MTs
15. KOMPETENSI INTI DAN MATEMATIKA SMP/MTs KELAS: VII Tujuan kurikulum mencakup empat kompetensi, yaitu (1) kompetensi sikap spiritual, (2) sikap sosial, (3) pengetahuan, dan (4) keterampilan. Kompetensi
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORITIS. (1983:425) menyatakan bahwa penjumlahan adalah hal menjumlahkan. Glover
5 BAB II KAJIAN TEORITIS 2.1 Hakekat Penjumlahan Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (2002:480) menyatakan bahwa penjumlahan cara, perbuatan menjumlahkan. Sedangkan menurut Poerwadarminta (1983:425) menyatakan
Lebih terperinciMelakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah
Bab 1 Melakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan siswa dapat: 1. menguasai sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat,. menjumlahkan
Lebih terperinci41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar Luar Biasa Tunalaras (SDLB-E)
41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar Luar Biasa Tunalaras (SDLB-E) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting
Lebih terperinciMatakuliah Hitung Keuangan (MKMAT4221) 3/21/2016 Aswad 2016
1 Matakuliah Hitung Keuangan (MKMAT4221) Bilangan Asli (Natural); N Bilangan Bulat (Integer); Z Bilangan Rasional (Rational); Q Bilangan Real (Real); R Bilangan Kompleks (Complex); C Bilangan Irasional
Lebih terperinciPecahan. mendapatkan setengah sehingga = 1. 2
Pecahan A. Konsep Pecahan Konsep pecahan ada 2, yaitu:. Konsep bagian dari keseluruhan Pada umumnya pecahan dinyatakan dengan konsep bagian dari suatu keseluruhan. Pecahan dalam bentuk a/b, bilangan pada
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciHimpunan dari Bilangan-Bilangan
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 22, 2014 1 Khususnya dalam analisis, maka yang teristimewa penting adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil, yang dinyatakan dengan R. Himpunan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. diperkenalkan lagi hal baru yaitu bilangan yang digunakan untuk menyatakan
BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Hakekat Pengurangan Bilangan Pecahan 2.1.1 Pengertian Pecahan Menurut Sugiarto, (2006:36), pecahan adalah suatu bilangan cacah yang digunakan untuk menyatakan banyaknya anggota
Lebih terperinciMATEMATIKA KONSEP DAN APLIKASINYA Untuk SMP/MTs Kelas VII
MATEMATIKA KONSEP DAN APLIKASINYA Untuk SMP/MTs Kelas VII Pengetik : Siti Nuraeni (110070009) Dewi Komalasari (110070279) Nurhasanah (110070074) Editor : Dewi Komalasari Abdul Rochmat (110070117) Tim Kreatif
Lebih terperinciRingkasan Materi Soal-soal dan Pembahasan MATEMATIKA. SD Kelas 4, 5, 6
Ringkasan Materi Soal-soal dan Pembahasan MATEMATIKA SD Kelas 4, 5, 6 1 Matematika A. Operasi Hitung Bilangan... 3 B. Bilangan Ribuan... 5 C. Perkalian dan Pembagian Bilangan... 6 D. Kelipatan dan Faktor
Lebih terperinciOperasi pada Bilangan Pecahan
Operasi pada Bilangan Pecahan Pada kegiatan belajar ini, akan dibahas beberapa operasi pada bilangan pecahan. Operasi-operasi itu adalah operasi penjumlahan, operasi pengurangan, operasi perkalian, dan
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORETIS. 2.1 Hakekat Kemampuan Siswa Mengubah Pecahan Biasa Menjadi Pecahan Desimal Pengertian Pecahan Biasa dan Pecahan Desimal
5 BAB II KAJIAN TEORETIS 2.1 Hakekat Kemampuan Siswa Mengubah Pecahan Biasa Menjadi Pecahan Desimal 2.1.1 Pengertian Pecahan Biasa dan Pecahan Desimal Kata pecahan berasal dari bahasa latin fractus (pecah).
Lebih terperinci37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI)
37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting
Lebih terperinciBAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN
BAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN Peta Konsep Barisan dan Deret Bilangan mempelajari Pola bilangan Barisan bilangan Deret bilangan jenis jenis Aritmatika Geometri Aritmatika Geometri mempelajari Sifat Rumus
Lebih terperinciBAB V BILANGAN BULAT
BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan
Lebih terperinciIdentitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian.
Glosarium A Akar pangkat dua : akar pangkat dua suatu bilangan adalah mencari bilangan dari bilangan itu, dan jika bilangan pokok itu dipangkatkan dua akan sama dengan bilangan semula; akar kuadrat. Asosiatif
Lebih terperinciSOLUSI OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI TAHUN 2004
SOLUSI OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI TAHUN 004 A. ISIAN SINGKAT. Setiap muka sebuah kubus diberi bilangan seperti pada gambar. Kemudian setiap titik sudut diberi bilangan yang merupakan hasil penjumlahan
Lebih terperinciPEMBELAJARAN BILANGAN PECAHAN
H. Sufyani Prabawanto, M. Ed. Bahan Belajar Mandiri 7 PEMBELAJARAN BILANGAN PECAHAN Pendahuluan Bahan belajar mandiri ini menyajikan pembelajaran bilangan pecahan yang dibagi menjadi dua kegiatan belajar,
Lebih terperinciBAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 2. Melakukan operasi
Lebih terperincia. Bilangan bulat nol negatif tambah b.operasi kurang
Kegiatan Belajar 1: Melakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan. A. Operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan menggunakan pendekatan pola bilangan. 1. Pertama, operasi penjumlahan
Lebih terperinciANALISIS KESALAHAN MENYELESAIKAN PENGURANGAN PECAHAN DI SDN 6 BULANGO SELATAN KABUPATEN BONE BOLANGO
ANALISIS KESALAHAN MENYELESAIKAN PENGURANGAN PECAHAN DI SDN 6 BULANGO SELATAN KABUPATEN BONE BOLANGO SAMSIAR RIVAI Jurusan Pendidikanj Guru Sekolah Dasar Universitas Negeri Gorontalo Abstrak: Penelitian
Lebih terperinciArief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs
Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs ariefikhwanwicaksono@gmail.com masawik.blogspot.com @awik1212 Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika
Lebih terperinciINFORMASI PENTING. No 1 Bilangan Bulat. 2 Pecahan Bentuk pecahan campuran p dapat diubah menjadi pecahan biasa Invers perkalian pecahan adalah
No RUMUS 1 Bilangan Bulat Sifat penjumlahan bilangan bulat a. Sifat tertutup a + b = c; c juga bilangan bulat b. Sifat komutatif a + b = b + a c. Sifat asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) d. Mempunyai
Lebih terperinciBab 6. Barisan dan Deret. Standar Kompetensi
Bab 6 Barisan dan Deret Standar Kompetensi Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhana Kompetensi Dasar 6.1 Menentukan pola barisan bilangan
Lebih terperinciSISTEM DIGITAL Dalam Kehidupan Sehari-hari PADA KALKULATOR
SISTEM DIGITAL Dalam Kehidupan Sehari-hari PADA KALKULATOR Salah satu alat dalam kehidupan sehari-hari kita yang menggunakan sistem digital yang paling mudah ditemui adalah kalkulator. Alat yang kelihatannya
Lebih terperinciAep Saepudin Babudin Dedi Mulyadi Adang. Gemar Belajar. Matematika. untuk Siswa SD/MI Kelas V
Aep Saepudin Babudin Dedi Mulyadi Adang Gemar Belajar Matematika untuk Siswa SD/MI Kelas V 5 Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-Undang Gemar Belajar Matematika 5 untuk Siswa
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2008
Dapatkan soal-soal lainnya di http://forum.pelatihan-osn.com SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2008 Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN
Lebih terperinciTopik: Tipe Bilangan dan Sistem Bilangan
Mata Kuliah: Matematika Kode: TKF 20 Topik: Tipe Bilangan dan Sistem Bilangan MAT 0 Kompetensi : Dapat menerapkan konsep-konsep tipe dan sistem bilangan dalam mempelajari konsep-konsep keteknikan pada
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciBILANGAN PECAHAN. A. Pengertian Bilangan Pecahan dan Pecahan Senilai Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
BILANGAN PECAHAN A. Pengertian Bilangan Pecahan dan Pecahan Senilai Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a b dengan a, b bilangan bulat dan b 0. Bilangan a disebut pembilang dan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Pengertian Pecahan Salah satu konsep yang mendasar dalam matematika adalah pecahan. Oleh karena itu, Pecahan merupakan konsep yang sangat penting pada jenjang pendidikan Sekolah
Lebih terperinciSOAL 1 2: Teori Deret bilangan Fibonacci didefisikan secara rekursif sbb. f1 = 1 f2 = 1. fn = fn-1 + fn-2 untuk semua n>2
SOAL 1 2: Teori Deret bilangan Fibonacci didefisikan secara rekursif sbb. f1 = 1 f2 = 1 fn = fn-1 + fn-2 untuk semua n > 2 1. Berapa banyak kah bilangan Fibonacci antara 10 sampai dengan 100? (A) 90 (B)
Lebih terperinciKOMPETENSI DASAR : MATERI POKOK : Sistem Bilangan URAIAN MATERI 1. Representasi Data
KOMPETENSI DASAR : 3.1. Memahami sistem bilangan Desimal, Biner, Oktal, Heksadesimal) 4.1. Menggunakan sistem bilangan (Desimal, Biner, Oktal, Heksadesimal) dalam memecahkan masalah konversi MATERI POKOK
Lebih terperinci4. Kompetensi Dasar Matematika KELAS: I
4. Kompetensi Dasar Matematika KELAS: I 1. Menerima dan menjalankan ajaran agama yang dianutnya 2. Memiliki perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, santun, peduli, dan percaya diri dalam berinteraksi
Lebih terperinciPERHITUNGAN HARGA SETELMEN SURAT BERHARGA SYARIAH NEGARA. Cara perhitungan Harga Setelmen per unit SBSN adalah sebagai berikut:
16 01, No.36 LAMPIRAN I PERATURAN MENTERI KEUANGAN REPUBLIK INDONESIA NOMOR 5/PMK.08/01 TENTANG PENERBITAN DAN PENJUALAN SURAT BERHARGA SYARIAH NEGARA DI PASAR PERDANA DALAM NEGERI DENGAN CARA LELANG PERHITUNGAN
Lebih terperinci= = = (2 5) Dari faktor di atas, 10 9 mempunyai 9 digit nol.
PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN MATEMATIKA SMP AMSO 2017 1. Banyaknya angka nol pada digit terakhir dari hasil perkalian 1 5 10 15 20 25 0 5 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 adalah... Dari soal kita peroleh
Lebih terperinciPENINGKATAN KEMAMPUAN PENGERJAAN HITUNG PERKALIAN DUA BILANGAN DENGAN MENGGUNAKAN KARTU NAPIER PADA SISWA KELAS IV SD
PENINGKATAN KEMAMPUAN PENGERJAAN HITUNG PERKALIAN DUA BILANGAN DENGAN MENGGUNAKAN KARTU NAPIER PADA SISWA KELAS IV SD Sulaiman Lilik linawati SD Negeri Bastiong Ternate Selatan SD Negeri Sulamadaha Ternate
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. 2.1 Hakikat Kemampuan Mengurang Bilangan Bulat. 2010:10), mengartikan bahwa kemampuan adalah kesanggupan, kecakapan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Hakikat Kemampuan Mengurang Bilangan Bulat 2.1.1 Pengertian Kemampuan Kemampuan adalah kapasitas seorang individu untuk melakukan beragam tugas dalam suatu pekerjaan. Kemampuan
Lebih terperinciModul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan
Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan 5.1. Persamaan Linear Persamaan adalah pernyataan kesamaan antara dua ekspresi aljabar yang cocok untuk bilangan nilai variable tertentu atau variable
Lebih terperinciBab 2. Relasi dan Fungsi. Standar Kompetensi
Bab Relasi dan Fungsi Standar Kompetensi. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan penggunaanya dalam pemecahan masalah pemecahan masalah. Kompetensi Dasar. Melakukan operasi hitung bilangan pecahan..
Lebih terperinciBAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 5 SEMESTER I
BAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 5 SEMESTER I Oleh: Sri Subiyanti NIP 19910330 201402 2 001 DINAS PENDIDIKAN KABUPATEN PATI KECAMATAN JAKEN SEKOLAH DASAR NEGERI MOJOLUHUR 2015 I. Tinjauan Umum A. Standar Kompetensi
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. A. Learning Obstacle pada Konsep Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Learning Obstacle pada Konsep Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat Setelah melakukan uji instrumen pada beberapa jenjang pendidikan, ditemukan beberapa learning
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Ine Riani, 2013
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Pendidikan tidak hanya merupakan sebuah kewajiban sebagai tuntutan dari kebijakan pemerintah, tetapi pendidikan pada hakikatnya merupakan sebuah kebutuhan
Lebih terperinciTEKNIK MEMBILANG. b T U V W
TEKNIK MEMBILANG Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh anggota ruang sampel tersebut. A. Prinsip
Lebih terperinciPenulis: Dra. Sukajati, M.Pd. Penilai: Dra. Supinah Editor: Untung Trisna Swaji, S.Pd, M.Si. Ilustrator: Anang Heni Tarmoko
PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA PEMBELAJARAN OPERASI PENJUMLAHAN PECAHAN DI SD MENGGUNAKAN BERBAGAI MEDIA Penulis: Dra. Sukajati, M.Pd. Penilai: Dra. Supinah Editor: Untung Trisna Swaji,
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
Lebih terperincimatematika Wajib Kelas X PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. DEFINISI PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
K-3 Kelas X matematika Wajib PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi dan solusi persamaan linear
Lebih terperinciPerhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b
2 SISTEM BILANGAN Perhatikan skema sistem bilangan berikut Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bulat adalah bilangan yang
Lebih terperinciBAB I OPERASI ALJABAR DAN PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR
BAB I OPERASI ALJABAR DAN PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR Setelah mempelajari bab ini kamu diharapkan mampu melakukan operasi aljabar, beberapa alternatif penyelesaian yang dihadapi oleh siswa terkait dengan
Lebih terperinciBAB PECAHAN. Tujuan Pembelajaran
BAB PECAHAN 5 Tujuan Pembelajaran Setelah belajar bab ini, kamu dapat: Menjadikan pecahan biasa ke bentuk persen dan sebaliknya. Menjadikan pecahan biasa ke bentuk desimal dan sebaliknya. 3. Menjumlah
Lebih terperinciPusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit CV. Usaha
Lebih terperinciMateri Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR
Materi Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR Caturiyati M.Si. Jurdik Matematika FMIPA NY wcaturiyati@yahoo.com Operasi Dasar (penjumlahan pengurangan perkalian pembagian) Hal-hal yang perlu diperhatikan
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN Pendahuluan ini berisi gambaran pelaksanaan penelitian dan penulisan skripsi. Bab ini terdiri atas latar belakang masalah, mengapa masalah ini diangkat menjadi bahasan penelitian, rumusan
Lebih terperinciPerpangkatan dan Akar
Bab 4 Perpangkatan dan Akar Pada kehidupan sehari-hari kamu sering menemukan angka berpangkat seperti 2 2, 2 3, 2 4, dan seterusnya. Bilangan berpangkat ini memiliki makna tersendiri nilainya. Apakah kamu
Lebih terperinciBAB V RASIO, PROPORSI DAN PERSEN
BAB V RASIO, PROPORSI DAN PERSEN A. RASIO Rasio adalah perbandingan antara 2 besaran atau lebih. Dalam menghitung rasio harus menggunakan satuan yang sama, apabila terdapat perbedaan maka harus dilakukan
Lebih terperinci