Kata Pengantar. Bandung, Januari 2004 Penulis, Hasmawati

Transkripsi

1 Kata Pengantar Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi S-2 pada Departemen Matematika Program Pascasarjana Institut Teknologi Bandung. Defisinisi-definisi dasar dari teori graf dan juga teorema-teorema yang saya anggap sudah lazim bagi pencintah matematika, tidak disertakan dalam penulisan tesis ini. Untuk itu, pembaca diharapkan sudah memahami konsep dasar teory graf, atau bagi yang belum memahami disarankan untuk terlebih dahulu membaca buku Graph Theory, F.Harary (1996). Rampungnya tesis ini berkat bimbingan Dr. Edy Tri Baskoro. Karena itu, dengan penuh rasa hormat kepada Beliau, saya ucapkan terima kasih. Selain itu saya juga mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ketua jurusan beserta seluruh staf pengajar dan karyawan Departemen Matematika ITB 2. Segenap pimpinan Universitas Hasanuddin atas pemberian izin studi lanjut dan bea siswa kepada penulis 3. Semua keluarga di Enrekang dan Takalar, atas doa dan dorongannya 4. Teman-teman mahasiswa S-2 Matematika ITB, khususnya angkatan 2001 atas kebersamaannya 5. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan studi, yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Saya sadar bahwa tesis ini hanya salah satu permasalahan dari berbagai permasalahan tentang bilangan Ramsey. walaupun demikian, izinkan saya untuk berharap agar tulisan ini bermanfaat bagi Anda, khususnya yang berminat dan menekuni teori Ramsey. Akhir kata Alhamdulillahirrabbil Alamiin oleh karena keseluruhan aktivitas sampai rampungnya tesis ini berkat hidayah-nya semata. Bandung, Januari 2004 Penulis, Hasmawati i

2 Abstrak Untuk sebarang graf G dan H, bilangan Ramsey R(G, H) adalah bilangan bulat terkecil n sedemikian sehingga untuk setiap graf F dengan n titik harus memuat G atau komplemennya memuat H. Tesis ini membahas tentang bilangan Ramsey dari graf star terhadap graf roda yaitu R(S n, W m ) untuk n < m. Akan ditunjukkan bahwa R(S 4, W m ) = m + 3 untuk m 6, R(S 5, W m ) = m + 3 untuk m genap yang lebih besar atau sama dengan 8, untuk m 8 yang lain, R(S 5, W m ) = m + 4, dan R(S 6, W m ) = m + 5 untuk m 10. Jika m 2n 2 dan n 4, R(S n, W m ) = n + m 2 untuk n ganjil berpasangan m genap, dan R(S n, W m ) = n + m 1 untuk yang lainnya. Kata Kunci: Bilangan Ramsey, graf bintang, dan graf roda. ii

3 Abstract For given grafs G and H, The Ramsey number R(G, H) is the smallest natural number n such that for every graph F of order n must contain G or the complement of F contains H. This paper shall study the Ramsey number of star versus wheels, namely R(S n, W m ) for n < m. We shall show that Ramsey numbers R(S 4, W m ) = m + 3 for m 6, R(S 5, W m ) = m + 3 for m 8 even, otherwise R(S 5, W m ) = m + 4, and R(S 6, W m ) = m + 5 for m 10. If m 2n 2 and n 4, the Ramsey numbers R(S n, W m ) = m + n 2 for n odd and m even, otherwise R(S n, W m ) = m + n 1. Key Words: Ramsey number, star, and wheel. iii

4 Daftar Isi Kata Pengantar Abstrak Abstract Daftar Isi i ii iii iv 1 Pendahuluan Latar Belakang Tujuan Sistematika Penulisan Landasan Teori Definisi Dasar Dalam Graf Lingkaran (cycle) dan Komponen Jumlah dan Gabungan Dua Graf Graf Reguler Graf Bipartit, Graf Roda dan Graf Bintang Teorema Bondy Bilangan Ramsey Batas Bawah Bilangan Ramsey Bilangan Ramsey Untuk Graf Bintang Terhadap Graf Roda 11 4 Simpulan dan Saran Simpulan Saran DaftarPustaka 21 iv

5 BAB 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang Misalkan kita akan mengadakan suatu pertemuan dan di dalam pertemuan itu kita menginginkan terdapatnya empat orang saling kenal atau tiga orang tidak saling kenal. Agar keadaan ini terjamin, minimal berapa orangkah yang harus diundang?. Untuk menjawab pertanyaan ini, teori yang eksistensinya telah ditunjukkan oleh F rank P lumton Ramsey dalam sebuah makalahnya pada tahun 1930, cukup membantu. F. Ramsey menunjukkan bahwa apabila diberikan bilangan asli a dan b maka terdapat bilangan asli n sedemikian sehingga jika sisi-sisi graf lengkap K n diwarnai dengan warna hitam atau merah maka senantiasa memuat suatu subgraf K a hitam atau subgraf K b merah. Bilangan n ini disebut bilangan Ramsey (Ramsey numbers), dengan notasi R(K a, K b ). Selanjutnya bilangan Ramsey R(K a, K b ) disebut bilangan Ramsey klasik. 1

6 Pada permasalahan di atas, jika setiap orang dinotasikan sebagai suatu titik dan setiap dua orang saling kenal dinotasikan sebagai suatu sisi dengan warna hitam, sedangkan setiap dua orang tidak saling kenal dinotasikan sebagai suatu sisi dengan warna merah, maka empat orang saling kenal identik dengan K 4 hitam dan tiga orang tidak saling kenal identik K 3 dengan warna merah. Dengan demikian, apabila dikaitkan dengan teori Ramsey, minimal banyaknya orang yang harus diundang sama halnya dengan menentukan bilangan Ramsey R(K 4, K 3 ). Sayangnya, sampai saat ini nilai eksak R(K n, K m ) belum diketahui kecuali untuk n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 berpasangan dengan m = 3 dan n = 4, 5 berpasangan dengan m = 4 (S.P. Radziszowski,2002)[8]. Secara umum penentuan bilangan Ramsey klasik sangat sulit. Akibatnya, pada perkembangan selanjutnya objek dalam masalah ini tidak terbatas pada graf lengkap saja, tetapi diperluas pada bentuk graf yang lain yaitu: triangle versus other graphs, path versus other graph, cycles versus complete graph, books versus other graph dan lain-lain (S.P Radziszowski,2002)[8]. Hendry [6] menunjukkan R(W 3, W 5 ) = 19, S.A.Bur and Erdos [9] menunjukkan R(C 3, W m ) = 2m + 1, m 5. S.A.Burr[10], menunjukkan R(K 2,3, K 2,3 ) = 10. E.T. Baskoro, Surahmat, S.M. Nababan and M. Miller[4], menunjukkkan R(T n, W 4 ) = 2n 1 untuk n 4 dan R(T n, W 5 ) = 3n 2 untuk n 3. I Wayan Sudarsana [7], menunjukkkan R(S 2,3, K 2,q ) = q + 4 untuk q 2, R(S 2,3, K 1,q ) = (n + m 1)r + 1 untuk q=(n+m-1)r- (n+m-2),r 1, n 2, { m 3, dan q + 4 untuk q = 4r 3, r 1, R(S 2,3, K 1,q ) = q + 3 untuk q lainnya. 2

7 Walaupun telah banyak hasil yang diperoleh mengenai bilangan Ramsey R(G, H) untuk sebarang graf Gdan H, namun masih tersisa banyak kasus diantaranya R(S n, W m ). Surahmat dan Edy T. Baskoro[12], telah menunjukkan { bahwa R(S n, W 5 ) = 3n 2 dan 2n 1, untuk n ganjil n 3, R(S n, W 4 ) = 2n + 1, untuk n genap. 1.2 Tujuan Dari latar belakang permasalahan yang diuraikan di atas maka tujuan dari penulisan tesis ini adalah menentukan bilangan Ramsey R(S n, W m ) untuk n < m dan n Sistematika Penulisan Sistematika penulisan dari tesis ini adalah: 1. Bab 1 Pendahuluan, pada bab ini dibahas tentang latar belakang, tujuan, dan sistematika penulisan tesis. 2. Bab 2 Teori Pendukung, pada bab ini dibahas tentang definisi dasar dalam graf, bilangan ramsey, dan batas bawah bilangan Ramsey. nilai eigen 3. Bab 3, Bilangan Ramsey untuk graf bintang terhadap graf roda. 4. Bab 4 Simpulan dan saran. 3

8 BAB 2 Landasan Teori Pada bab ini akan diuraikan tentang definisi dasar dalam graf, lingkaran, graf bintang, graf roda, graf reguler, graf ladder, definisi bilangan Ramsey, teorema Bondy dan beberapa teorema pendukung yang berkaitan langsung dengan inti bahasan tulisan ini. 2.1 Definisi Dasar Dalam Graf Semua graf yang dikemukakan dalam tulisan ini adalah graf berhingga dan sederhana. Misalkan G suatu graf dengan himpunan titik V (G) dan himpunan sisi E(G). Didefinisikan G = V (G). Graf G adalah komplemen dari graf G, yaitu graf dengan himpunan titik V (G) dan dua titik bertetangga di G jika dan hanya jika dua titik tersebut tidak bertetangga di G. Graf H(V, E ) disebut subgraf dari G jika V V (G) dan E E(G). Untuk sebarang himpunan S V (G), subgraf terinduksi oleh S adalah subgraf maksimal dari G dengan himpunan titik S, 4

9 yang dinotasikan sebagai G[S]. Jika e = uv E(G) dengan u, v V (G), maka u disebut bertetangga dengan v, demikian juga sebaliknya, dan titik u juga v dikatakan terkait (incident) dengan e. Untuk sebarang subhimpunan B V (G), didefinisikan N B (v) = {u : uv E(G)}. Lebih lanjut, derajat v dinotasikan δ(v) adalah N B (v). Suatu himpunan S V (G) dikatakan saling bebas jika sebarang dua titik dari S tidak bertetangga, dan dua sisi e dan f dikatakan saling bebas jika tidak ada titik dari e yang bertetangga dengan titik-titik f Lingkaran (cycle) dan Komponen Jalan (walk) W pada suatu graf G adalah suatu barisan titik dan sisi yaitu W : v 0,..., v i 1, x i, v i, i = 1, 2,..., n, yang dimulai dan diakhiri oleh suatu titik, yang mana untuk setiap i, x i terkait dengan v i 1 dan v i. Jalan W ini, menghubungkan titik v 0 dengan titik v n yang kadang-kadang disingkat jalan v 0 v n. Suatu jalan dikatakan tertutup apabila v 0 = v n. Lintasan (path) dengan notasi P n adalah jalan yang setiap titiknya berbeda dan lintasan yang tetutup disebut lingkaran (cycle) yang dinotasikan C n, n 3. Panjang suatu lintasan adalah banyaknya sisi pada lintasan tersebut. Panjang lingkaran terbesar pada suatu graf G dinotasikan c(g), sedangkan panjang lintasan terkecil dinotasikan g(g). Suatu graf dikatakan terhubung (connected) jika setiap pasangan titiknya dihubungkan oleh suatu lintasan. Misalkan H adalah sebarang subgraf dari G. Subgraf H disebut suatu komponen dari G 5

10 apabila H merupakan subgraf maksimal yang terhubung Jumlah dan Gabungan Dua Graf Misalkan G 1 adalah graf dengan himpunan titik V 1 dan himpunan sisi X 1, sedang G 2 adalah graf dengan himpunan titik V 2 dan himpunan sisi X 2. Gabungan G = G 1 G 2 adalah suatu graf baru dengan himpunan titik V = V 1 V 2 dan himpunan sisi X = X 1 X 2. Sedangkan jumlah (join) G = G 1 +G 2 didefinisikan oleh Zykov (1952) adalah suatu graf yang memuat V (G) = V 1 V 2 dan E(G) = X 1 X 2 {uv : u V 1, v V 2 }. Sebagai contoh, gambar 2.1 adalah graf P 3 + K Gambar Graf Reguler Misalkan G adalah graf dengan himpunan titik V (G) dan himpunan sisi E(G). Derajat (degree) v i V (G) dinotasikan δ(v i ) adalah banyaknya sisi yang berujung pada v i. δ(g) = min{δ(v) : v V (G)} dan (G) = maks{δ(v) : v V (G)}. Jika δ(g) = (G) = k, maka G disebut graf reguler berderajat k. Misalkan G = n dan G adalah graf reguler berderajat n 1, maka G disebut graf lengkap dengan notasi K n. Graf Ladder L h adalah graf terhubung 6

11 reguler berderajat 3 dengan 2h titik (h 3), yang dibangun oleh dua lingkaran C h ditambah sisi baru yang menghubungkan titik-titik dengan urutan label sama. Sebagai contoh, graf berikut adalah graf Ladder L Gambar 2.2. Teorema 2.1 Misalkan G adalah suatu graf dan v i V (G), i = 1, 2,..., n. Jika q adalah banyaknya sisi pada G, maka δ(v i ) = 2q. Lemma 2.1 Misalkan G adalah graf sebarang. Banyaknya titik yang berderajat ganjil pada G adalah genap Graf Bipartit, Graf Roda dan Graf Bintang Misalkan G adalah graf sebarang dengan himpunan titik V dan himpunan sisi X. Graf G dikatakan graf bipartit apabila V dapat dipartisi kedalam dua subhimpunan V 1 dan V 2 sedemikian sehingga untuk setiap x = uv X, ketika u V 1 maka v V 2. Graf bipartit G dengan n + m titik disebut graf bipartisi lengkap, jika G = K n + K m, dengan notasi K n,m. Graf G dikatakan graf roda jika G = K 1 + C n, dinotasikan W m. Sedangkan graf bintang adalah graf G dengan 7

12 n + 1 titik dimana G = K 1,n atau G = K 1 + K n. Graf bintang ini dinotasikan dengan S n. Teorema 2.2 Misalkan G graf sebarang. Graf G adalah bibartisi jika dan hanya jika semua lingkarannya mempunyai panjang genap Teorema Bondy Teorema Bondy adalah suatu teorema yang diperkenalkan oleh Bondy pada tahun 1971[2], yang didalamnya terdapat istilah pancyclic. Oleh karenanya, sebelum memberikan teorema Bondy, terlebih dahulu diberikan definisi mengenai graf yang pancyclic. Definisi 2.1 Suatu graf G dengan titik n 3 dikatakan pancyclic jika G memuat lingkaran C l untuk setiap l = 3, 4,..., n. Definisi 2.2 Suatu graf G dengan titik n 3 dikatakan weakly pancyclic jika G memuat C l dengan g(g) l c(g). Teorema 2.3 (Bondy[2],1971). Misalkan G adalah suatu graf dengan n titik. Jika δ(g) n 2, maka G pancyclic atau G = K n 2, n 2 untuk n genap. Lemma 2.2 (Brandt[11]). Setiap graf non-bipartisi G dengan n titik mempunyai δ(g) n+2 3 adalah weakly pancyclic. 2.2 Bilangan Ramsey Subbab ini akan membahas prinsip dasar teory Ramsey yang menyangkut bilangan ramsey klasik sebagai landasan munculnya teori 8

13 bilangan Ramsey yang umum. Prinsip dasar tersebut disajikan dalam bentuk teori sebagai berikut: Teorema 2.4 Untuk sebarang graf G dengan enam titik, G atau G memuat K 3. Hasil dari teorema 2.4 ini, memicu munculnya pertanyaan yang lebih umum, yaitu: Berapakah bilangan bulat terkecil R(K n, K m ) sedemikian sehingga untuk setiap graf G dengan R(K n, K m ) titik memuat K m atau K n. Nilai R(K n, K m ) disebut bilangan Ramsey klasik. Pada bab 1, telah disinggung bahwa penentuan bilangan Ramsey klasik sangat sulit. Karenanya, objek masalahnya diperluas yaitu menentukan bilangan Ramsey R(G, H) dengan G dan H adalah graf sebarang. Diketahui graf G dan H. Graf F disebut graf (G, H) elok, jika F tidak memuat G dan F tidak memuat H. Sebarang graf (G, H) elok dengan n titik dinotasikan dengan (G, H, n) elok. Terdapat beberapa cara dalam mendefinisikan bilangan Ramsey yang umum. Untuk lebih jelas, ikuti definisi-definisi berikut ini. Definisi 2.3 Misalkan G dan H adalah graf sebarang. Bilangan Ramsey R(G,H) adalah bilangan asli terkecil n sehingga tidak ada graf (G,H,n)-elok. Definisi 2.4 Misalkan F adalah suatu graf dengan F = n. Bilangan Ramsey R(G,H) untuk sebarang graf G dan H adalah bilangan bulat terkecil n sehingga F memuat G atau F memuat H. 9

14 Definisi 2.5 Misalkan r, g 2. Bilangan Ramsey R(r, g) adalah bilangan bulat terkecil n sedemikian sehingga jika graf lengkap K n diwarnai dengan warna merah atau hitam, maka senantiasa memuat suatu subgraf K r merah atau subgraf K q hitam. 2.3 Batas Bawah Bilangan Ramsey Suatu teorema dasar yang sangat penting dalam penentuan bilangan Ramsey, yaitu teorema yang pertama kali diperkenalkan oleh V.Chavatal dan F.Harary pada tahun Teorema tersebut membahas mengenai batas bawah bilangan Ramsey R(G, H) dengan G dan H adalah graf sebarang. Sebelum sampai pada teorema ini, terlebih dahulu diberikan definisi bilangan kromatik dari suatu graf. Definisi 2.6 Bilangan kromatik suatu graf G dengnan n titik adalah bilangan asli terkecil k sedemikian sehingga apabila titik-titik dari G diwarnai dengan k warna maka setiap dua titik yang berdekatan di G mempunyai warna berbeda. Bilangan kromatik suatu graf G, dinotasikan χ(g). Mudah menunjukkan bahwa { χ(k n ) = n, χ(s n ) = 2, dan 3 untuk m genap, m 4, χ(w m ) = 4 untuk m ganjil, m 3. Teorema 2.5 Misalkan G dan H adalah graf sebarang, dan V adalah himpunan titik sedang χ adalah indeks kromatik. Batas bawah R(G, H) adalah ( V (G) 1)(χ(H) 1) + 1 R(G, H). 10

15 BAB 3 Bilangan Ramsey Untuk Graf Bintang Terhadap Graf Roda Bab ini membahas hasil utama dari inti bahasan tesis ini, yaitu bilangan Ramsey R(S n, W m ) dengan n < m dan n 4. Definisi 3.1 Misalkan F adalah suatu graf dengan t titik. Graf F disebut ( S n, W m, t ) good graph jika F tidak memuat S n dan F tidak memuat W m. Definisi 3.2 Misalkan F adalah sebarang graf dengan r titik. Bilangan Ramsey R(S n, W m ) adalah bilangan bulat terkecil r sedemikian sehingga F memuat S n atau F memuat W m. Berdasarkan teorema 2.5, diperoleh batas bawah bilangan Ramsey R(S n, W m ), yaitu: 2n 1 R(S n, W m ) untuk m genap dan 3n 2 R(S n, W m ) untuk m ganjil. 11

16 Diberikan graf F = C m 1 C 3. Maka F = m + 2, F tidak memuat S 4 dan F tidak memuat W m. Jadi F adalah (S 4, W m, m + 2) good graph. Dengan demikian R(S 4, W m ) m + 3. Teorema 3.1 Jika m 6, maka R(S 4, W m ) = m + 3. Bukti. Pandang graf F dengan order F = m + 3, m 6. Misalkan F tidak memuat S 4. Akan ditunjukkan F memuat W m. Ambil sebarang x V (F ) dan tulis A = {v vx / E(F )}. Karena F tidak memuat S 4, maka δ(x) 2, dan δ(v) 2, v A. Akibatnya, A m. Misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka δ(t ) m 3 m 2, karena m 6. Menurut teorema 2.3, T memuat C m. Subgraf C m bersama-sama dengan x membentuk W m. Dengan demikian F memuat W m. Selanjutnya akan diselidiki bilangan Ramsey graf bintang S 5 terhadap W m, untuk m genap maupun untuk m ganjil. Perhatikan graf Ladder L 5 dan graf L 4 K 4. Graf L 5 tidak memuat S 5 dan komplemennya tidak memuat W 8. Sedangkan graf L 4 K 4 tidak memuat S 5 dan L 4 K 4 tidak memuat W 9. Dengan demikian L 5 adalah (S 5, W 8, 10) good graph dan L 4 K 4 adalah (S 5, W 9, 12) good graph. Jadi R(S 5, W 8 ) 11 dan R(S 5, W 9 ) 13. Teorema 3.2 R(S 5, W 8 ) = 11. Bukti. Diberikan sebarang graf F dengan V (F ) = 11. Andaikan F tidak memuat S 5 dan F tidak memuat W 8. Maka δ(x) 3 x V (F ). Misalkan ada x V (F ) dengan δ(x) = 1. Tulis A = {v vx / E(F )} dan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka A 9 dan δ(v) 3, v A. Akibatnya, δ A (v) 5. Menurut teorema 2.3, 12

17 T memuat C 8. Titik x bersama-sama dengan C 8 membentuk W 8 di F. Hal ini kontradiksi dengan F tidak memuat W 8. Jadi tidak ada x V (F ) dengan δ(x) = 1. Lebih lanjut, misalkan ada x V (F ) dengan δ(x) = 2. Tulis A = {v vx / E(F )} dan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka A 8 dan δ(v) 3, v A. Akibatnya, δ A (v) 4. Menurut teorema 2.3, T memuat C 8. Akibatnya, F memuat W 8. Juga kontradiksi dengan F tidak memuat W 8. Berarti tidak ada x V (F ) dengan δ(x) = 2. Karena itu x V (F ), δ(x) = 3. Menurut lemma 2.1, V (F ) haruslah genap. Kontradiksi dengan V (F ) = 11. Dengan demikian, pengandaian salah. Mestilah F memuat S 5 atau F memuat W 8. Jadi R(S 5, W 8 ) = 11. Teorema 3.3 R(S 5, W 9 ) = 13. Bukti. Pandang graf F dengan order F = 13.. Misalkan F tidak memuat S 5. Akan ditunjukkan F memuat W 9. Ambil sebarang titik x V (F ). Maka δ(x) 3. Tulis A = {v vx / E(F ) dan misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka A 9 dan δ(v) 3, v A. Akibatnya, δ A (v) Menurut teorema 2.3, T memuat C 9. Titik x bersama-sama dengan C 9 membentuk W 9 di F. Jadi R(S 5, W 9 ) = 13. Hasil dari teorema 3.2 dan 3.3 ini, ini memberikan petunjuk untuk menentukan bilangan Ramsey R(S 5, W m ) untuk m yang lebih besar. Namun sebelumnya akan diuraikan good graf dari S 5 terhadap W m untuk m yang genap dan juga untuk m yang ganjil. [1] Misalkan m genap. Tulis m = 2h. Maka graf Ladder L h+1 dengan 2(h + 1) = m + 2 titk tidak memuat S 5 dan komplemennya 13

18 tidak memuat W m. Karena itu, L h+1 merupakan (S 5, W m, m + 2) good graph, untuk m genap. [2] Misalkan m ganjil dan tulis m = 2h+1. Pandang graf F = L h K 4 dengan F = m+3. Maka F tidak memuat S 5 dan F tidak memuat W m. Jadi F = L h K 4 merupakan (S 5, W m, m + 3) good graph, untuk m ganjil. Dengan demikian, R(S 5, W m ) m + 3, untuk m genap dan R(S 5, W m ) m + 4, untuk m ganjil. { m + 3, untuk m genap, m 8 Teorema 3.4 R(S 5, W m ) = m + 4, untuk m ganji, m 8. Bukti. Perhatikan graf F dengan F = m + 3 dengan m genap. Andaikan F tidak memuat S 5 dan F tidak memuat W m. Maka δ(x) 3 x V (F ). Misalkan ada x V (F ) dengan δ(x) 2. Tulis A = {v vx / E(F )} dan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka A m dan δ(v) 3, v A. Sehingga mengakibatkan δ A (v) m 4 m 2. Menurut teorema 2.3,T memuat C m. Titik x bersama-sama dengan C m membentuk W m di F. Hal ini kontradiksi dengan F tidak memuat W m. Jadi tidak ada x V (F ) dengan δ(x) 2. Berarti, x V (F ), δ(x) = 3. Berdasarkan lemma 2.1, V (F ) haruslah genap. Kontradiksi dengan V (F ) = m + 3, ganjil. Dengan demikian, pengandaian salah. Mestilah F memuat S 5 atau F memuat W m. Jadi R(S 5, W m ) = m + 3, untuk m genap. Selanjutnya, diberikan graf F dengan F = m + 4 untuk m ganjil. Andaikan F tidak memuat S 5. Akan ditunjukkan F memuat W m. Ambil sebarang titik x V (F ). Maka δ(x) 3. Tulis B = {v vx / E(F ) dan misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh B. Maka B m dan δ(v) 3, v B. Akibatnya, δ B (v) m 4 m 2. Menu- 14

19 rut teorema 2.3,T memuat C m. Titik x bersama-sama dengan C m membentuk W m di F. Jadi R(S 5, W m ) = m + 4, untuk m ganjil. Bahasan berikutnya adalah bahasan mengenai graf bintang S 6 terhadap W m. Bahasan ini akan dimulai dengan m = 7, kemudian m = 8, dan seterusnya. Perhatikan graf F = 3K 5. Graf F ini tidak memuat S 6 dan komplemennya tidak memuat W 7, W 9, dan W 11. Mudah melihatnya dengan menggunakan teorema 2.2. Jadi graf 3K 5 adalah (S 6, W n, 13) good graph, dengan n = 7, 9, dan 11. Dengan demikian R(S 6, W 7 ) = R(S 6, W 9 ) = R(S 6, W 11 ) 16. Teorema 3.5 R(S 6, W 7 ) = 16. Bukti. Pandang graf F dengan order F = 16. Misalkan F tidak memuat S 6. Akan ditunjukkan F memuat W 7. Ambil sebarang titik x V (F ). Maka δ(x) 4. Tulis A = {v vx / E(F ) dan misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka A 11 dan δ(v) 4, v A. Akibatnya, δ A (v) Menurut teorema 2.3,T memuat C 7. Titik x bersama-sama dengan C 7 membentuk W 7 di F. Jadi R(S 6, W 7 ) = 16. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa R(S 6, W 9 ) = 16 dan R(S 6, W 11 ) = 16. Selanjutnya, bagaimana dengan R(S 6, W 8 )? Perhatikan graf F = K 4,4 K 5. Graf F ini tidak memuat S 6 dan komplemennya tidak memuat W 8. Jadi K 4,4 K 5 adalah (S 6, W 8, 13) good graph. Dengan demikian R(S 6, W 8 ) 14. Teorema 3.6 R(S 6, W 8 ) =

20 Bukti. Diberikan graf F dengan F = 14. Andaikan F tidak memuat S 6 dan F tidak memuat W 8. Karena F tidak memuat S 6, maka x V (F ), δ(x) 4. Misalkan ada x V (F ) dengan δ(x) 3.Tulis A = {v vx / E(F )} dan misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka A 10 dan δ(v) 4, v A. Akibatnya δ A (v) Menurut teorema 2.3,T memuat C 8. Jadi F memuat W 8. Hal ini kontradiksi dengan F tidak memuat W 8. Dengan demikian, tidak ada x V (F ) dengan δ(x) 3. Berarti x V (F ), δ(x) = 4. Ambil sebarang x V (F ). Tulis B = {w wx / E(F ) dan misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh B. Maka B = 9 dan δ(w) = 4, v B. Akibatnya δ B (v) = Menurut lemma 2.2, T adalah bipartit atau weakly pancyclik, yaitu T memuat C l dengan g(t ) l c(t ). Mudah dilihat bahwa T bukan bipartit, karena B = 9 sedang δ B (v) = 4. Selanjutnya akan ditentukan berapa g(t ) dan c(t ) untuk mengetahui apakah terdapat l = 8. Karena δ T (v) = 4 dan T = 9, maka c(t ) 5. Misalkan c(t ) = 5. Tulis C 5 : v 1, v 2,..., v 5, v 1 dan B = B/V (C 5 ) = {v 6, v 7, v 8, v 9 }. Ambil sebarang titik di B, katakanlah v 6. Kasus 1. v 6 bertetangga dengan semua titik yang lain di B. Karena δ(v 6 ) = 4, maka v 6 masih harus tekait dengan salah satu titik di C 5, katakanlah v 1. Titik v 7, v 8,dan v 9 juga masih harus terkait dengan paling sedikit satu titik di C 5. Titik yang mungkin hanyalah v 1,karena dengan titik yang lain akan membentuk C l, dengan l > 5. Misalkan v 7 terkait dengan v 1, maka v 8 dan v 9 tidak boleh lagi terkait ke v 1, karena δ(v 1 ) = 4. Berarti harus terkait dengan titik lain selain titik v 1. Hal ini juga tidak mungkin karena terkait dengan 16

21 titik manapun akan membentuk C l dengan l > 5. Jadi kasus ini tidak mungkin terjadi. Kasus 2. Terdapat titik lain di B yang tidak bertetangga dengan v 6. Maka v 6 harus terkait dengan titik-titik di C 5, sebanyak paling sedikit dua yang saling tidak berdekatan. Karena V (C 5 ) = 5, maka v 6 hanya mungkin bertetangga dengan paling banyak dua titik di C 5, katakanlah N(v 6 ) = {v 2, v 4, v 7, v 8 }. Akibatnya, titik v 7 dan v 8 masih harus terkait dengan paling sedikit satu titik di C 5 yang tidak berdekatan v 2 dan v 4. Hal ini, juga tidak mungkin karena titik v 1 dan v 3 bertetangga dengan v 2 sedangkan titik v 5 bertetangga dengan v 4. Jadi kasus kedua ini, juga mustahil terjadi. Jadi c(t ) 5. Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa c(t ) 6 dan c(t ) 7. Dengan demikian c(t ) = 8 atau c(t ) = 9. Jika c(t ) = 8, masalah selesai. Lebih lanjut, misalkan c(t ) = 9. Karena δ(v i ) = 4, i = 1, 2,..., 9, maka i, v i masih harus bertetangga dengan v k dan v j, k j dan k, j i 1, i + 1. Akibatnya, terbentuk suatu lingkaran C l yang tidak memuat v i 1 dan v i+1. Dengan kata lain terbentuk C l dengan l 7. Jadi g(t ) 7. Karena T adalah weakly pancyclik, maka disimpulkan T memuat C 8. Titik x bersama-sama dengan C 8 membentuk W 8 di F. Kontradiksi dengan F tidak memuat W 8. Dengan demikian pengandaian salah. Haruslah F memuat S 6 atau F memuat W 8. Jadi R(S 6, W 8 ) = 14. Teorema berikutnya adalah perumuman bilangan Ramsey S 6 terhadap W m. 17

22 Diberikan graf F = 4 regular dengan F = m + 4, m 10. Graf F tidak memuat S 6 dan F tidak memuat W m. Jadi R(S 6, W m ) m + 5 untuk m 10. Teorema 3.7 Jika m 10, maka R(S 6, W m ) = m + 5. Bukti. Diberikan suatu graf F dengan F = m + 5. Misalkan F tidak memuat S n. Akan ditunjukkan F memuat W m. Misalkan x V (F ). Maka δ(x) 4. Tulis A = {v vx / E(F ) dan misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka A m dan δ(v) 4, v A. Akibatnya, δ A (v) m 5 m 2. adalah pancyclik atau K m 2, m 2 C m. Jadi F memuat W m. Menurut teorema 2.3, T untuk m genap. Karenanya T memuat Berdasarkan teorema 3.2, teorema 3.7, dan teorema 3.9, diperoleh teorema yang lebih umum tentang bilangan Ramsey R(S n, W m ) dengan n < m. Perhatikan graf F = (n 2) regular utnuk n ganjil dan m genap dengan F = m+n 3, m 2n 2 dan n 4. Graf F tidak memuat S n dan F tidak memuat W m. Jadi R(S n, W m ) m + n 2 untuk m genap dan n ganjil. Lebih lanjut, untuk n dan m yang lain graf F = (n 2) reguler dengan F = m+n 2, m 2n 2 dan n 4, F tidak memuat S n dan F tidak memuat W m. Jadi R(S n, W m ) m + n 1 untuk sebarang m dan n kecuali pasangan n ganjil dan m genap. Teorema 3.8 Jika m 2n 2 dan n 4, maka { m + n 2, untuk n ganjil dan m genap, R(S n, W m ) = m + n 1, untuk hal yang lain, Bukti. Pandang graf F dengan F = m + n 2, n ganjil dan m genap. Misalkan F tidak memuat S n dan F tidak memuat W m. 18

23 Maka δ(x) n 2 x V (F ). dengan tidak mengurangi perumuman pembuktian, dimisalkan ada x V (F ) dengan δ(x) n 3. Tulis A = {v vx / E(F )} dan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka A m dan δ(v) n 2, v A. Akibatnya, δ A (v) m (n 1) = m n + 1 m 2. Menurut teorema 2.3, T memuat C m. Titik x bersama-sama dengan C m membentuk W m di F. Hal ini kontradiksi dengan F tidak memuat W m. Jadi tidak ada x V (F ) dengan δ(x) n 3. Karena itu, x V (F ), δ(x) = n 2. Dengan kata lain, setiap titik di F berderajat ganjil. Karenanya, V (F ) haruslah genap. Kontradiksi dengan V (F ) = m + n 2, ganjil. Dengan demikian, pengandaian salah. Mestilah F memuat S n atau F memuat W m. Jadi R(S n, W m ) = m + n 2, untuk m genap dan n ganjil.selanjutnya, diberikan graf F dengan F = m + n 1 untuk m dan n yang lain. Andaikan F tidak memuat S n. Akan ditunjukkan F memuat W m. Ambil sebarang titik x V (F ). Maka δ(x) n 2. Tulis A = {v vx / E(F ) dan Misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka A m dan δ(v) n 2, v A. Akibatnya, δ A (v) m n + 1 m 2. Menurut teorema 2.3, T adalah pancyclik atau K m 2, m 2 untuk m genap. Jadi T memuat C m. Titik x bersama-sama dengan C m membentuk W m di F.Dengan demikian R(S n, W m ) = m + n 1, untuk sebarang n dan m kecuali pasangan n ganjil dan m genap. 19

24 BAB 4 Simpulan dan Saran 4.1 Simpulan Berdasarkan pembahasan pada bab terdahulu, diberikan simpulan sebagai berikut: 1. R(S 4, W m ) = 3 + m, untuk m 6. { m + 3, untuk m genap, m 8 2. Untuk m 10, R(S 5, W m ) = m + 4, untuk m ganji, m R(S 6, W m ) = 5 + m, untuk m Jika m 2n { 2, dan n 4, m + n 2, untuk n ganjil dan m genap, R(S n, W m ) = m + n 1, untuk hal yang lain, 5. Jika 4 n < m < 2n 2, bilangan Ramsey R(S n, W m ) tidak beraturan. 20

25 4.2 Saran Karena keterbatasan penulis, maka formula yang umum dari bilangan Ramsey R(S n, W m ) apabila 4 n < m < 2n 2, belum diperoleh kecuali untuk nilai n dan m yang tertentu seperti R(S 5, W 6 ) = 11, R(S 5, W 7 ) = 13, R(S 6, W 7 ) = R(S 6, W 9 ) = 16 dan R(S 6, W 8 ) = 14. Olehnya itu, masalah ini masih terbuka untuk dikaji lebih lanjut. 21

26 Daftar Pustaka [1] Biggs N, Algebraic Graph Theory, 2 rd ed, Cambridge Mathematical Library [2] Bondy J.A, Pancyclic Graph, J.Combin Theory, ser.b11(1971), [3] Chartrand G and Lesniak L, Graph and Digraphs, 3 rd ed, Chapman & Hall/CRC, [4] E.T.Baskoro, Surahmat, S.M.Nababan, and M.Miller, On Ramsey Numbers for all tree versus Wheels of Five or Six Vertices, Graphs and Combinatorics(2002)18: [5] Harary F, Graph Theory, Addison-Wesley Publishing Company, [6] Henry G.R.T, The Ramsey Numbers R(K 2 + K 3, K 4 ) and R(K 1 + C 4, K 4 ), Util. math. 35,40-54(1989) adendum in 36, 25-32(1989). [7] I Wayan Sudarsana, Bilangan ramsey Untuk Graf Bintang Ganda Versus Bipartit lengkap, Tesis Magister, [8] Radziszowski.S.P, Small ramsey Numbers, department of Computer Science Rochester Institute of Technology, july

27 [9] S.A. Burr and P. Erdos, Generalization of a Ramsey Numbers of K 2,n, in Graph Theory, Algorithm and Aplications (Y. Alavi, F.R.K, Chung, R.L.Graham, and D.F. Hsu eds), SIAM Philadelphia(1989), [10] S.A. Burr, Diaginal Ramsey Numbers for Small graph, Journal of Graph Theory 7(1983), [11] S. Brandt, Sufficient Conditions for graph to Contain All Subgraphs of given Types, Ph.D thesis, Freie Universitat, Berlin, [12] Surahmat and Baskoro.E.T, On the Ramsey Number of Path or Star Versus W 4 and W 5, Proc, Twelfth Australian Workshop on Combinatorial Algorithims, bandung, Indonesia, 14-17, July (2001). [13] V. Chavatal and F. Harary, Generalized Ramsey theory for Graph, III, Small of diagonal numbers, Pacific J, Math.41(1972),