PENILAIAN INVESTASI MENGGUNAKAN PENDEKATAN TEORI- DAN PENDEKATAN NILAI OPSI DESIANA SYAHRUSANI G
|
|
- Ade Agusalim
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 1 PENILAIAN INVESTASI MENGGUNAKAN PENDEKATAN TEORI- DAN PENDEKATAN NILAI OPSI DESIANA SYAHRUSANI G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
2 2 ABSTRAK DESIANA SYAHRUSANI. Penilaian Investasi Menggunakan Pendekatan Teori- dan Pendekatan Nilai Opsi. Dibimbing oleh EFFENDI SYAHRIL dan DONNY CITRA LESMANA. Perusahaan yang memutuskan untuk berinvestasi harus mempertimbangkan keterbatasan kemampuan perusahaan untuk menjual kembali investasinya (perampingan) atau melanjutkannya (ekspansi). Karya ilmiah ini membahas bagaimana kesempatan ekspansi atau perampingan dapat dilihat sebagai suatu pilihan. Pilihan-pilihan tersebut dapat ditentukan setelah mengetahui imbal hasil investasi, yang akan mempengaruhi penghitungan nilai perusahaan. Imbal hasil yang tidak pasti akan menyebabkan nilai perusahaan dari sudut pandang investasi menjadi tidak pasti. Nilai perusahaan akan dianalisa dan dihitung menggunakan pendekatan teori- dan pendekatan nilai opsi. Kemudian, pendekatan nilai opsi akan diperluas dengan menggunakan metode pengganda nilai opsi untuk kasus-kasus khusus seperti yang terdapat dalam literatur Irreversible Investment. Pendekatan teori- dan pendekatan nilai opsi menghasilkan nilai marjinal perusahaan (NPV) yang identik. Jika NPV yang dihasilkan positif, maka perusahaan dapat melakukan ekspansi. Jika NPV bernilai negatif, maka perusahaan melakukan perampingan. Sedangkan jika NPV bernilai nol, maka perusahaan dapat memilih untuk melakukan ekspansi, perampingan atau tidak keduanya.
3 3 ABSTRACT DESIANA SYAHRUSANI. Investment Valuation Using the -Theory Approach and Option Value Approach. Supervised by EFFENDI SYAHRIL and DONNY CITRA LESMANA. Capital investment decisions must recognize the limitations on firm s ability to later sell of or expand its capacity. This paper discusses how opportunities for future expansion or contraction can be viewed as options. That options can be determined by considering the return of investment which affects the incentive to invest (marginal valuation of the firm). The uncertainty on return of investment will cause the value of the firm to be uncertain. This value of the firm will be examined and interpreted in two ways: -theory approach and option value approach. Then, we will use option value multiple method for special cases to some extent as in Irreversible Investment literature. The enumeration result of NPV (firm value) obtained using the -theory approach are identical to those obtained using the option value approach. If NPV has a positif value, the firm can expand its capacity. While if NPV has a negatif value, the firm do the contraction. On the other hand, if NPV has zero value, the firm can do expansion, contraction, or nothing.
4 4 PENILAIAN INVESTASI MENGGUNAKAN PENDEKATAN TEORI- DAN PENDEKATAN NILAI OPSI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Oleh: DESIANA SYAHRUSANI G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS METEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
5 5 Judul Nama NRP : Penilaian Investasi Menggunakan Pendekatan Teori- dan Pendekatan Nilai Opsi : Desiana Syahrusani : G Menyetujui: Pembimbing I, Pembimbing II, Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. NIP Donny Citra Lesmana, M. Fin. Math NIP Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Dr. drh. Hasim, DEA NIP Tanggal Lulus:..
6 6 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan karunia-nya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah dengan judul Penilaian Investasi Menggunakan Pendekatan Teori- dan Pendekatan Nilai Opsi. Perhatian terhadap investasi merupakan hal yang penting, karena kegiatan investasi dapat menambah aset (kekayaan) yang kita miliki. Di samping itu, karya ilmiah ini merupakan syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu penyelesaian karya ilmiah ini, terutama kepada Bapak Effendi Syahril selaku dosen pembimbing I dan Bapak Donny Citra Lesmana selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan bimbingan baik secara teknis maupun teoritis sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik. Ucapan terimakasih juga ditujukan kepada Ibu Retno Budiarti atas kesediaannya menjadi moderator dalam seminar sekaligus menjadi dosen penguji. Semua saran dan kritik beliau adalah hal yang berharga dalam penyempurnaan karya ilmiah ini. Terimakasih kepada Handika, M. Asyar, dan Sri Purwati yang telah bersedia menjadi pembahas dalam seminar tugas akhir penulis. Penulis mengucapkan terimakasih yang paling dalam kepada orang tua penulis, yaitu Syahroni H. Anwar (Papa) dan Munajah (Mama) atas segala doa, restu, usaha, pengorbanan, serta curahan kasih sayang yang telah diberikan hingga saat ini. Untuk adik-adik penulis; Bahri Ilman dan Abi Rafdi, serta keluarga besar penulis. Kasih sayang dan dukungan mereka sangat berarti dalam penyelesaian karya ilmiah ini. Terima kasih untuk kakekq Moi (Mojes) untuk segala yang telah diberikan, semua itu terlalu manis untuk dilupakan. Terimakasih untuk Fitrie yang merupakan teman seperjuangan, senasib, dan sepenanggungan penulis, dan Alfredho (KeshaQ) yang bersedia mendengarkan keluh kesah penulis dan telah memberikan kritik serta saran yang membangun. Terimakasih kepada Wieke, Ria, GustiaQ, Reni, Roma, Udin, dan Iboy atas persahabatan yang terjalin. Terimakasih untuk Dian, Jali, Ayu, Fariz (kokom), Tities, dan Teh Jaja atas masukan-masukan yang telah diberikan. Untuk seluruh penghuni Perwira 41, teman-teman Matematika 41, kakak-kakak kelas dan adikadik kelas lainnya yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Kalian semua adalah teman yang telah dan akan selalu mengisi hari-hari penulis, terima kasih atas kebersamaannya. Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu berikan, serta staf Departemen Matematika: Bu Susi, Bu Ade, Mas Deny, Mas Yono, Mas Bono, Bu Marisi, dan Mba Yanti terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika. Akhirnya penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang ikut membantu dan tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Harapan penulis adalah semoga penulisan karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi penulis dan bagi para pembacanya atau pihak lain yang membutuhkan. Bogor, Juni 2008 Desiana Syahrusani
7 7 RIWAYAT HIDUP Desiana Syahrusani lahir pada tanggal 09 Desember 1986 di Kabupaten Serang, Banten. Penulis adalah anak pertama dari tiga bersaudara, dari pasangan Syahroni H. Anwar dan Munajah. Jenjang pendidikan penulis dilalui tanpa hambatan berarti. Penulis memulai pendidikan di Taman Kanak-kanak Pembangunan Cilegon pada tahun Penulis menamatkan sekolah dasar di SD YPWKS V Cilegon pada tahun 1998, kemudian melanjutkan pendidikan ke SLTP Negeri 2 Cilegon pada tahun yang sama. Setelahnya penulis diterima di SMU negeri 1 Cilegon untuk melanjutkan pendidikannya dan lulus pada tahun Pada tahun 2004 penulis melanjutkan pendidikannya ke Institut Pertanian Bogor (IPB). Penulis berhasil masuk IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB) dan diterima sebagai Mahasiswi Program Studi Matematika pada Fakultas MIPA angkatan 41. Selama menjalani masa perkuliahan, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan. Beberapa organisasi di antaranya adalah pengurus organisasi mahasiswa daerah Kumpulan Mahasiswa Banten (KMB) dan pengurus himpunan profesi Gugusan Mahasiswa Matematika (GUMATIKA). Pada kepengurusan GUMATIKA periode 2005/2006 penulis aktif sebagai staf Seni dan Olahraga, Departemen Pengembangan Sumberdaya Mahasiswa (PSDM) dan pada kepengurusan GUMATIKA periode 2006/2007 penulis aktif sebagai ketua Biro Kesekretariatan GUMATIKA. Penulis aktif dalam beberapa kepanitiaan di antaranya adalah kepanitiaan dalam kegiatan Matematika Ria pada tahun 2006 dan 2007, masing-masing sebagai seksi Konsumsi dan seksi Logstran (Logistik dan Transportasi), Galaksi FMIPA pada tahun 2006 dan 2007 masing-masing sebagai seksi Dana dan Usaha serta seksi Pemeriksaan Gigi, Ramah Tamah Civitas Matematika pada tahun 2006 dan 2007 sebagai sekretaris dan koordinator Dokumentasi dan Dekorasi, LeMM 2 (Let s Make Money) pada tahun 2006 sebagai sekretaris, Musyawarah Wilayah IKAHIMATIKA III pada tahun 2006 sebagai sekretaris, dan sebagainya. Dalam upaya mengamalkan ilmu yang didapat, penulis aktif sebagai pengajar kalkulus di bimbingan belajar Eksacta pada tahun 2006 dan pengajar kalkulus di bimbingan belajar Real Education Center (REC) pada tahun 2008.
8 8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... PENDAHULUAN... Latar Belakang... Tujuan... Metodologi.. Sistematika Penulisan.. LANDASAN TEORI... Matematika... Ekonomi dan Keuangan... PEMBAHASAN... Pendekatan Teori-... Pendekatan Nilai Opsi... Pengganda Nilai Opsi... Pengilustrasian Grafik Opsi Jual dan Opsi Beli... KESIMPULAN.... DAFTAR PUSTAKA... viii viii
9 9 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Penerimaan Produk Marjinal dari Modal Periode Hubungan antara Φ dan Perubahan Expandability dan Reversibility Grafik Opsi Jual Marjinal dan Opsi Beli Marjinal DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Lampiran Nilai Perusahaan Nilai Marjinal Perusahaan (NPV) Pengaruh Modal pada Dorongan Berinvestasi Pengaruh Harga Jual pada Dorongan Berinvestasi Pengaruh Harga Beli pada Dorongan Berinvestasi Lampiran Nilai Marjinal Perusahaan pada Pendekatan Nilai Opsi Present Value Periode-1 dan Periode Nilai Opsi Jual Marjinal Nilai Opsi Beli Marjinal NPV Pendekatan Nilai Opsi Pengaruh Harga Jual pada Nilai Opsi Jual Marjinal Pengaruh Harga Beli pada Nilai Opsi Beli Marjinal Lampiran Pengganda Nilai Opsi Pengaruh Expandability dan Reversibility pada Pengganda Nilai Opsi Lampiran Nilai Opsi Jual Marjinal dengan Fungsi Sebaran Kumulatif Nilai Opsi Beli Marjinal dengan Fungsi Sebaran Kumulatif viii
10 10 I. PENDAHULUAN Latar Belakang Secara umum, investasi berarti menggunakan sejumlah uang dalam rangka menambah nilai dari uang tersebut di masa mendatang. Esensi dari investasi adalah menunda atau mengurangi konsumsi saat ini dan merencanakan konsumsi untuk masa mendatang. Istilah investasi sering ditemukan dalam bidang ekonomi dan keuangan. Dalam bidang ekonomi, investasi berkaitan dengan investasi nyata seperti investasi pada pabrik, mesin, atau gedung. Sedangkan dalam bidang keuangan, investasi berkaitan dengan aset-aset keuangan, sebagai contohnya investasi pada saham, obligasi, dan aset-aset keuangan lainnya. Pada dasarnya, suatu perusahaan yang memutuskan untuk melakukan investasi, harus mempertimbangkan keterbatasan kemampuan perusahaannya untuk melakukan ekspansi atau sebaliknya melakukan perampingan perusahaan di masa mendatang. Selain itu, perusahaan juga harus mempertimbangkan peluang yang akan terjadi dan biaya yang akan terbentuk di masa mendatang, agar perusahaan dapat mengubah persediaan cadangan modalnya tanpa mengeluarkan banyak biaya. Dalam karya ilmiah ini, perusahaan diasumsikan sudah melakukan investasi. Karena imbal hasil investasi di masa mendatang tidak menentu, maka ada dua kemungkinan yang dapat dilakukan perusahaan, yaitu dengan menjual investasinya untuk mendapatkan modalnya kembali (reversibility) atau dengan menambah investasinya (expandability). Reversibility akan menjadi mahal jika harga jual investasi yang terbentuk kurang dari harga awal ketika perusahaan melakukan investasi. Sedangkan expandability akan menjadi mahal jika harga beli yang terbentuk lebih besar dari harga awal ketika perusahaan melakukan investasi. Kegiatan untuk melanjutkan atau menjual investasi tersebut memiliki kemiripan dengan opsi. Opsi merupakan suatu kontrak antara dua pihak, yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual atau membeli aset pada harga tertentu dan dalam jangka waktu tertentu. Saat perusahaan memutuskan untuk menjual investasinya di masa mendatang, walaupun merugi karena harga jual modal lebih rendah dari harga awal ketika investasi, perusahaan akan memiliki opsi jual. Sebaliknya, jika perusahaan melanjutkan investasi di masa mendatang, walaupun harganya mungkin saja lebih tinggi dari harga saat ini, perusahaan tersebut memiliki opsi beli. Dua opsi tersebut berpengaruh pada dorongan untuk berinvestasi pada saat ini. Pada karya ilmiah ini, masalah investasi tersebut dianalisa dan ditafsirkan dengan menggunakan dua metode, yaitu menggunakan pendekatan teori-, dengan melambangkan dorongan untuk berinvestasi, dan menggunakan pendekatan nilai opsi. Kemudian pendekatan nilai opsi akan diperluas dengan menggunakan metode pengganda nilai opsi, untuk kasus-kasus di masa mendatang seperti yang terdapat dalam literatur Irreversible Investment. Metodologi Metode yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah studi pustaka. Di mana karya tulis ini menggunakan jurnal yang ditulis oleh Andrew BA, Avinash KD, Janice CE, dan Robert SP dengan judul Options, the Value of Capital, and Investment. Selain itu, bahanbahan yang menunjang penulisan karya ilmiah ini diperoleh dari buku, jurnal, dan situs-situs internet yang terkait dengan tulisan. Tujuan Penulisan Tujuan dari karya tulis ini adalah: 1. Mempelajari penggunaan pendekatan teori- dan pendekatan nilai opsi dalam penghitungan investasi yang bersifat reversible dan expandable. 2. Mempelajari pengganda nilai opsi sebagai perluasan dari pendekatan nilai opsi. Sistematika Penulisan Tulisan ini terdiri atas empat bab. Bab Pertama berupa pendahuluan yang memuat latar belakang, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan. Bab Kedua berupa landasan teori yang memuat definisi dan teoriteori yang akan digunakan dalam pembahasan. Bab Ketiga memuat pembahasan yang berisi tentang penilaian investasi dengan menggunakan pendekatan teori- dan pendekatan nilai opsi, kemudian pendekatan nilai opsi akan diperluas menggunakan pengganda nilai opsi, dan mengilustrasikan opsi beli dan opsi jual dalam grafik. Sedangkan Bab Keempat berupa penutup, yang memuat kesimpulan dari karya ilmiah ini.
11 2 II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan di dalam pembahasan. Matematika Definisi 1 [Fungsi Naik] Fungsi yang terdefinisi pada himpunan bilangan real disebut naik pada selang jika, bila di. (Stewart 1998) Teorema 1 [Fungsi Naik] Misalkan adalah turunan pertama dari yang terdefinisi pada himpunan bilangan real. Jika 0 pada suatu selang, maka naik pada selang tersebut. (bukti lihat Stewart 1998) Definisi 2 [Fungsi Turun] Fungsi yang terdefinisi pada himpunan bilangan real disebut turun pada selang jika, bila di. (Stewart 1998) Teorema 2 [Fungsi turun] Misalkan adalah turunan pertama dari yang terdefinisi pada himpunan bilangan real. Jika 0 pada suatu selang, maka turun pada selang tersebut. (bukti lihat Stewart 1998) Definisi 3 [Himpunan dan Fungsi Konkaf] Misalkan adalah himpunan vektor, maka disebut sebagai himpunan konkaf jika untuk semua, dan 0,1 sehingga 1. Misalkan merupakan fungsi dengan peubah yang terdefinisi pada himpunan konkaf, maka disebut sebagai fungsi konkaf jika memenuhi persamaan 1 1. (Osborn 1997) Teorema 3 [Fungsi Konkaf] Misalkan memiliki turunan kedua terhadap. Fungsi adalah fungsi konkaf jika dan hanya jika 0,, dan merupakan strictly concave jika 0,. (bukti lihat Osborn 1997) Definisi 4 [Turunan Total] Jika adalah fungsi dari variabel,,, dan terdiferensialkan pada ( ada), turunan total dari adalah fungsi yang mempunyai nilai yang diberikan oleh,,,,. dengan,,, merupakan notasi lain dari turunan. Misalkan,,,, kemudian dengan mendefinisikan,, dan, maka turunan total dari adalah. (Leithold 1990) Definisi 5 [Aturan Rantai] Jika dan keduanya dapat didiferensialkan, dan adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh, maka dapat didiferensialkan menjadi yang diberikan oleh hasil kali. Dalam notasi Leibniz, jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka. (Stewart 1998) Definisi 6 [Integral Parsial] Aturan yang berkaitan dengan Aturan Hasil Kali untuk turunan disebut Aturan Pengintegralan Parsial. Misalkan, jika dan, maka turunannya adalah dan. Dengan demikian, menurut Aturan Substitusi, rumus pengintegralan parsial menjadi. (Stewart 1998) Definisi 7 [Pertaksamaan (Inequality)] Aturan untuk pertaksamaan 1. Jika, maka. 2. Jika dan, maka. 3. Jika dan 0, maka. 4. Jika dan 0, maka. 5. Jika 0, maka 1/ 1/.
12 3 Relasi di atas disebut juga sebagai strict inequality. (Stewart 1998) Definisi 8 [Uji Turunan Kedua] Andaikan kontinu dekat. (a) Jika 0 dan 0, maka mempunyai minimum lokal pada. (b) Jika 0 dan 0, maka mempunyai maksimum lokal pada. (Stewart 1998) Definisi 9 [Fungsi Sebaran] Fungsi sebaran dari suatu peubah acak adalah fungsi : 0,1 dinyatakan oleh (Grimmett & Stirzaker 1992) Lema 1 [Sifat-Sifat Fungsi Sebaran] Fungsi sebaran memiliki sifat-sifat berikut: karena Jika, maka. 3. lim F( x) disimbolkan oleh dan x lim F( x) disimbolkan oleh. x 0 dan kontinu kanan (bukti lihat Hogg & Craig 1995) Definisi 10 [Fungsi Sebaran Kumulatif] Jika merupakan akumulasi dari semua nilai peluang, maka disebut fungsi sebaran kumulatif dari. Jika adalah peubah acak kontinu, maka. (Ghahramani 2005) Ekonomi dan Keuangan Investasi Dalam keuangan, investasi dapat diartikan sebagai pengeluaran untuk membeli suratsurat berharga seperti saham dan sekuritas lainnya. Investasi tersebut dikenal juga dengan sebutan investasi keuangan. Dalam analisis ekonomi, istilah investasi sering dihubungkan dengan investasi fisik atau investasi pada aset nyata. Investasi fisik menghasilkan aset baru yang akan menambah kapasitas produksi suatu perusahaan, sementara investasi keuangan hanya memindahkan kepemilikan dari aset yang sudah ada dari seseorang atau lembaga kepada pihak yang lainnya. (Pass et al. 1988) Persamaan Present value Present value (PV) suatu cash flow merupakan jumlah cash flow (uang) yang besarnya akan bertambah menjadi sama dengan cash flow di masa mendatang jika cash flow tersebut diinvestasikan pada saat ini dengan persen per tahun selama tahun. 1 1, dengan menyatakan cash flow di masa mendatang, menyatakan suku bunga, dan menyatakan tahun. (Lee & Lee 2006) Persamaan Net Present Value (NPV) Net present value didefinisikan sebagai selisih dari Present value pada cash flow yang diharapkan dengan biaya proyeknya. Secara umum, 1 1 1, 1, 2,, dengan menyatakan cash flow tahunan yang dihasilkan oleh proyek pada Periode- ( 1,2,,),, menyatakan present value pada persen dalam Periode-, menyatakan biaya proyek, dan menyatakan suku bunga. (Lee & Lee 2006) Pendekatan teori- Teori- merupakan teori yang dikemukakan oleh James Tobin. Teori tersebut menyatakan bahwa tingkat investasi adalah marjinal- (fungsi dari ), yaitu rasio nilai pasar atas penambahan modal terhadap biaya penggantiannya. Misalkan adalah present value dari keuntungan di masa mendatang dikarenakan tambahan investasi pada saat ini, dan adalah biaya investasi. Nilai marjinal- yaitu. Teori- tidak berfungsi sepanjang tersebut tidak teramati. Hal yang bisa teramati adalah rataan-q, yaitu rasio nilai pasar atas modal yang ada terhadap biaya penggantiannya. Misalkan adalah cadangan modal, dan adalah penerimaan perusahaan. Rataan-q dinyatakan sebagai. (Hayashi 1982)
13 4 Opsi Beli Opsi beli memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset pada harga tertentu yang disebut harga eksekusi (exercise/strike price) pada atau sebelum tanggal jatuh tempo (maturity) yang ditentukan. (Bodie, Kane & Marcus 2002) Opsi Jual Opsi jual memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu ast dengan harga eksekusi tertentu pada atau sebelum tanggal jatuh temponya. (Bodie, Kane & Marcus 2002) III. PEMBAHASAN Pada Bab Ketiga ini akan dibahas mengenai reversibility, expandability, dan irreversibility dalam dinamika model investasi yang optimal di bawah ketidakpastian. Dalam pembahasannya akan digunakan dua kerangka periode yaitu, Periode-1 dan Periode-2. Periode-1 merupakan periode di mana suatu perusahaan melakukan investasi untuk pertama kali dalam upaya menambah cadangan modalnya. Sedangkan Periode-2 merupakan periode di mana suatu perusahaan dapat melanjutkan atau menjual investasi yang telah dilakukannya, hal tersebut dilihat dari apakah investasi awal yang dilakukan berjalan dengan baik atau tidak. Pada Periode-1, perusahaan mempunyai modal, pada harga, dan menerima total imbal hasil, dengan strictly increasing dan strictly concave terhadap. Pada Periode-2, imbal hasil menjadi tidak menentu dikarenakan harga beli di masa mendatang mungkin melebihi harganya pada saat ini (costly expandability) dan harga jual di masa mendatang mungkin saja lebih rendah dibandingkan dengan harganya saat ini (costly reversibility). Imbal hasil pada periode ini dilambangkan dengan, dengan melambangkan goncangan (shock) terhadap fungsi penerimaan. merupakan variabel stokastik. Misalkan, 0 kontinu dan strictly decreasing terhadap serta kontinu dan strictly increasing terhadap. Dua nilai kritis dari didefinisikan untuk,,,, (1) dengan : goncangan penjualan, : goncangan pembelian, : harga jual pada Periode-2, : harga beli pada Periode-2., merupakan penerimaan marjinal produk dari modal. Pada saat, harga jual kurang dari harga awal pada Periode-1, menyebabkan reversibility yang semakin mahal pada investasi yang dilakukan. Secara serupa, ketika, harga beli modal pada Periode- 2 lebih besar dari pada harga pada Periode-1, menyebabkan expandability yang semakin mahal pada cadangan modal yang ada. Dalam Periode-2, setelah diketahui, cadangan modal akan disesuaikan menjadi cadangan modal dengan tingkat optimal yang baru, yang dilambangkan dengan. Kondisi pada saat, merupakan kondisi optimal bagi perusahaan untuk membeli modal karena penerimaan marjinal produk dari modal sama dengan harga beli baru yang lebih tinggi, sehingga dan diberikan oleh persamaan,. Kondisi pada saat, merupakan kondisi optimal untuk menjual modal karena penerimaan marjinal produk dari modal sama dengan harga jual baru yang lebih rendah, sehingga dan diberikan oleh persamaan,. Sedangkan kondisi ketika, merupakan kondisi optimal bagi perusahaan untuk tidak membeli atau menjual modal, sehingga, dan nilai,,. Misalkan melambangkan present value yang diharapkan dari net cash flow suatu perusahaan dengan cadangan modal pada Periode-1. dapat juga disebut sebagai nilai perusahaan dan diberikan oleh,,,, (2) dengan merupakan faktor diskon dan bernilai positif. [bukti lihat Lampiran 1].
14 5 Nilai perusahaan yang diberikan pada Persamaan (2) sebelumnya merupakan penjumlahan dari imbal hasil modal pada Periode-1 dan imbal hasil modal pada Periode-2. Imbal hasil modal dalam Periode-2 tersebut dihitung pada masing-masing ketentuan, yaitu pada saat kurang dari, berada diantara dan, ataupun lebih besar dari. Pada saat, cash flow perusahaan terdiri atas imbal hasil, ditambah dengan, yang merupakan hasil penjualan modal. Pada saat cash flow perusahaan terdiri atas imbal hasil, dikurangi dengan biaya pembelian modal, yaitu. Decision problem pada Periode-1 adalah memaksimumkan nilai perusahaan yang dikurangi dengan biayanya. Hal tersebut dirumuskan sebagai berikut maks. (3) Kondisi orde satu untuk pemaksimuman pada Persamaan (3) diperoleh dengan uji turunan kedua yaitu dengan mendiferensialkan Persamaan tersebut terhadap sehingga diperoleh, 1 (4) dengan merupakan nilai marjinal perusahaan dan merupakan penerimaan marjinal produk dari modal pada Periode-1. [bukti lihat Lampiran 1]. Kondisi orde satu di atas dapat disebut juga sebagai persamaan nilai marjinal perusahaan. Nilai marjinal perusahaan ini akan dianalisa dan ditafsirkan dengan menggunakan dua pendekatan, yaitu pendekatan teori- untuk menunjukkan pengaruh expandability dan reversibility serta pendekatan nilai opsi yang akan memberikan analisis yang berbeda, yaitu dengan opsi yang ditimbulkan oleh expandability dan reversibility tersebut. Namun demikian, kedua pendekatan ini akan menghasilkan penilaian yang identik. Pendekatan Teori- Nilai marjinal atau the shadow value pada Periode-1, berhubungan dengan persamaan teori- yang dirumuskan oleh James Tobin. Teori tersebut mendefinisikan sebagai, di mana rasio ini dikenal juga sebagai rataan, kemudian akan dibedakan dengan yang definisikan sebagai dan dikenal dengan sebutan marjinal. Oleh karena itu, pada pembahasan ini akan digunakan notasi yang menunjukkan nilai marjinal. Persamaan (4) menyatakan sebagai penjumlahan dari penerimaan marjinal produk dari modal pada Periode-1 (, dan nilai present value yang diharapkan dari penerimaan marjinal produk dari modal pada Periode-2 (,. Penerimaan marjinal produk dari modal Periode-2 dihitung pada tingkat maksimumnya. Penerimaan marjinal produk dari modal pada Periode-2 diilustrasikan pada Gambar 1., Gambar 1 Penerimaan produk marjinal dari modal periode-2.
15 6 Garis horizontal yang lebih rendah pada kurva yang bergaris tebal menunjukkan nilai dari. Pada bagian ini perusahaan menjual modalnya pada Periode-2 sampai penerimaan marjinal produk dari modal sama dengan, yaitu harga yang diterima perusahaan dari penjualan modal di Periode-2. Sebaran dari, adalah yaitu, sebaran goncangan penjualan. Sedangkan garis horizontal yang lebih tinggi pada kurva bergaris tebal menunjukkan nilai dari. Pada bagian ini perusahaan membeli modal sampai penerimaan marjinal produk dari modal sama dengan, yaitu harga yang dikeluarkan perusahaan untuk pembelian modal di Periode-2. Sebaran dari adalah 1. adalah sebaran goncangan pembelian. Untuk nilai, perusahaan tidak membeli atau menjual modal dalam Periode-2, sehingga cadangan modal Periode-2 sama dengan, dan penerimaan marjinal produk adalah,. Jika diturunkan terhadap, maka akan diperoleh, 0. (5) [bukti lihat Lampiran 1]. Dari hasil tersebut, untuk nilai sembarang yang diberikan, hanya ada satu nilai yang membuat. Persamaan menentukan pengaruh perubahan dan pada dorongan berinvestasi pada Periode-1. Hal tersebut dapat dilihat dengan menurunkan secara parsial terhadap dan. Sehingga akan diperoleh 0, (6) dan 1 0. (7) [bukti lihat Lampiran 1]. Perhatikan bahwa merupakan fungsi naik (increasing function) terhadap harga penjualan dan pembelian modal di masa mendatang ( dan ). Peningkatan dalam meningkatkan harga minimum di bawah penerimaan marjinal produk dari modal pada Periode-2 (sesuai dengan bagian datar yang lebih rendah pada Gambar 1) yang kemudian akan meningkatkan present value yang diharapkan pada penerimaan marjinal produk dari modal. Peningkatan dalam meningkatkan harga maksimum di atas penerimaan marjinal produk dari modal di masa mendatang (sesuai dengan bagian datar yang lebih tinggi) yang kemudian akan meningkatkan present value yang diharapkan pada penerimaan marjinal produk dari modal. Dengan demikian, peningkatan reversibility ( yang lebih tinggi) atau pengurangan expandability ( yang lebih tinggi) meningkatkan yaitu dorongan untuk berinvestasi dan mengoptimalkan investasi. Persamaan (4) dapat ditafsirkan sebagai aturan Net Present Value (NPV). Dengan kata lain, pernyataan untuk dalam Persamaan (4) adalah NPV dari penerimaan marjinal produk dari modal Periode-1 di masa mendatang, yang dihitung dengan ketentuan bahwa cadangan modal dalam Periode-2 akan berubah menjadi cadangan modal dengan tingkat optimal yang baru, sehingga penerimaan marjinal produk dari modal juga berubah seiring dengan berubahnya cadangan modal tersebut. Walaupun pernyataan aturan NPV secara teoritis benar, hal tersebut sangat sulit untuk diimplementasikan dalam praktiknya. Sehingga timbul aturan NPV baru yang telah umum digunakan dan disebut sebagai naive NPV rule yaitu,. (8) Hubungan antara kedua NPV ini dan cara memperbaiki penghitungan yang naive kemudian membuatnya sesuai dengan kondisi maksimum pada Persamaan (4) dapat dilihat dengan menggunakan pendekatan nilai opsi untuk penilaian investasi. Pendekatan Nilai Opsi Perbedaan antara penghitungan nilai marjinal pada Periode-1 yang dihitung pada Persamaan (4) dan pada Persamaan (8), terletak pada opsi beli dan opsi jual marjinal yang timbul karena reversibility dan expandability dalam Periode-2. Untuk mengilustrasikan hal ini dan untuk membuatnya sesuai dengan kondisi maksimum pada Persamaan (4), Persamaan (2) akan dituliskan sebagai,,,,,, (9)
16 7 Persamaan tersebut akan diuraikan sebagai berikut, (10a) dengan,, (10b),,, (10c),,, (10d) melambangkan present value yang diharapkan dari penerimaan dalam Periode-1 dan Periode-2, dengan cadangan modal dalam Periode-2 dihitung dengan asumsi bahwa perusahaan tidak membeli ataupun menjual modal pada periode tersebut sehingga nilai dari akan sama dengan nilai. melambangkan nilai dari opsi jual, yakni opsi untuk menjual modal dalam Periode-2 pada harga, di mana perusahaan akan melakukan opsi jual ini pada kondisi. melambangkan nilai dari opsi beli, yakni opsi untuk membeli modal pada harga, di mana perusahaan akan melaksanakan opsi beli ini pada kondisi. Jika Persamaan (10) diturunkan terhadap, maka akan diperoleh nilai marjinal modal, yaitu yang melambangkan dorongan untuk berinvestasi., (11a) dengan, 0, (11b), 0, (11c), 0, (11d) [bukti lihat Lampiran 2]. Persamaan (11a) menyatakan terdiri atas tiga komponen, yaitu: 1. Present value yang diharapkan dari penerimaan marjinal produk dari modal pada saat ini dan di masa mendatang yang dihitung pada cadangan modal yang diberikan ( ). 2. Nilai opsi jual marjinal ( ), yang mempunyai nilai yang sama dengan,,0. 3. Nilai opsi beli marjinal ( ), yang mempunyai nilai yang sama dengan,,0. Kondisi optimal untuk modal pada Periode-1 adalah, yang akan dituliskan kembali sebagai berikut, (12) [bukti lihat Lampiran 2]. Pembelian satu atau beberapa unit modal pada Periode-1 menghilangkan opsi beli marjinal untuk membeli modal tersebut dalam Periode-2. Present value dari biaya penghilangan opsi ini ( ) harus di tambahkan ke. Di lain pihak, dengan membeli satu atau beberapa modal dalam Periode-1, perusahaan akan mendapatkan opsi jual untuk menjual unit modal tersebut pada harga dalam Periode-2. Perolehan opsi jual marjinal ini mengurangi biaya efektif investasi sebesar. Pengaruh perubahan dalam harga penjualan modal pada nilai opsi jual marjinal dapat dihitung dengan menurunkan nilai opsi ini terhadap sehingga akan diperoleh 0. (13) [bukti lihat Lampiran 2]. Peningkatan harga pada level di mana modal dapat dijual di masa mendatang meningkatkan nilai opsi jual marjinal untuk menjual modal, kemudian mengurangi biaya efektif modal dan meningkatkan nilai optimal. Pengaruh perubahan dalam harga pembelian modal pada nilai opsi beli marjinal dapat dihitung dengan menurunkan nilai opsi beli marjinal terhadap harga beli sehingga akan diperoleh 1 0. (14) [bukti lihat Lampiran 2]. Peningkatan harga pada level di mana modal dapat dibeli di masa mendatang mengurangi nilai opsi beli marjinal sampai habis dan oleh karenanya mengurangi biaya efektif investasi. Sebagai hasilnya, nilai optimal meningkat dalam menanggapi peningkatan dalam. Tentu saja hasil penilaian investasi yang diperoleh dengan menggunakan pendekatan nilai opsi serupa atau identik dengan hasil penilaian investasi yang diperoleh dengan menggunakan pendekatan teori-.
17 8 Pengganda nilai opsi Dalam literatur Irreversible Investment, kondisi optimal investasi tidak digolongkan secara umum oleh persamaan present value yang diharapkan dari penerimaan marjinal produk dari modal yang dinyatakan oleh dan biaya marjinal investasi yang dinyatakan oleh. Dalam kasus irreversible investment, tidak ada opsi jual, dan karena itu, pada saat optimal, melebihi sebesar yaitu present value dari opsi beli marjinal. Rasio dari dan yang melebihi satu dalam kasus ini adalah pengganda nilai opsi. Pengganda nilai opsi didefinisikan sebagai, (15) dengan adalah cadangan modal dalam Periode-1. Jika kondisi optimal pada Persamaan (12) disubstitusikan ke dalam definisi pengganda nilai opsi, maka kita akan memperoleh 1. (16) [bukti lihat Lampiran 3]. Pada Persamaan (15), nilai optimal dipilih untuk memenuhi persamaan. Dalam pembahasan ini akan dijelaskan bagaimana pengganda nilai opsi bergantung pada reversibility dan expandability dalam Periode-2. Reversability dan ekspandability ini diukur menggunakan dua definisi, dan, kemudian pengganda nilai opsi tersebut akan dinyatakan sebagai ;, untuk memperlihatkan kebergantungan pengganda nilai opsi pada rasio harga dan, dan tentunya pada tingkat optimal cadangan modal di Periode-1. Dalam pembahasan ini terdapat empat kasus yang terjadi pada Periode-2. Pertama adalah kasus di mana investasi yang dilakukan adalah investasi yang bersifat completely irreversible ( 0) dan completely unexpandable ( tak terbatas), yang mengakibatkan 0. Dalam kasus ini, opsi jual dan opsi beli bernilai nol karena tidak dimungkinkan untuk menjual ataupun membeli modal dalam Periode-2. Oleh karena itu, ;0,0 1. Kasus yang kedua adalah kasus dengan investasi yang bersifat completely irreversible ( 0) dan sekurang-kurangnya partially expandable ( terbatas). Hal ini mengakibatkan 0, dan 0. Dalam kasus ini, opsi jual tetap bernilai nol tetapi opsi beli akan bernilai positif pada kondisi bahwa 1. Oleh karena itu, nilai dari ;0, 1, dengan strict inequality jika 1. Hasil perolehan tersebut sama atau sesuai dengan hasil yang ada dalam literatur Irreversible Investment yang menekankan bahwa pengganda nilai opsi bernilai lebih besar dari satu, dan karenanya nilai optimal cadangan modal yang akan didapatkan lebih rendah dari pada yang akan didapatkan dengan pengaplikasian aturan naive NPV. Dari kasus ini dapat dilihat, pengganda nilai opsi yang bernilai lebih dari satu disebabkan oleh opsi beli marjinal yang berkaitan dengan expandability, tidak selalu disebabkan oleh irreversibility. Dua hal tersebut dibutuhkan untuk menghasilkan pengganda nilai opsi yang melebihi satu. Tentu saja dalam kasus sebelumnya (kasus pertama), investasi bersifat irreversible dan penyebab pengganda nilai opsi bernilai satu adalah karena ketiadaan dari expandability. Pengganda nilai opsi bisa juga bernilai kurang dari satu. Kasus yang membuat pengganda nilai opsi bernilai kurang dari satu adalah kasus dengan investasi yang bersifat sekurang-kurangnya partially reversible ( 0) tetapi completely unexpandable ( tak terbatas) mengakibatkan 0 dan 0. Dalam investasi yang bersifat partially reversible, opsi jual bernilai positif pada kondisi bahwa 0. Sedangkan dalam investasi yang bersifat completely unexpandable, opsi beli bernilai nol. Oleh karena itu, nilai dari ;,0 1 dengan strict inequality jika 0. Dalam kasus ini, modal boleh saja dijual pada harga yang telah ditentukan, tetapi tidak ada tambahan modal yang boleh dibeli pada harga yang terbatas. Oleh karena itu, perusahaan lebih berkeinginan untuk berinvestasi pada awalnya dari pada pengaplikasian aturan naive NPV yang diusulkan. Untuk mendapatkan hasil ini investasi yang bersifat partially reversible dibutuhkan, ketiadaan dari expandability tidaklah cukup. Kasus yang terakhir merupakan kasus khusus di mana investasi bersifat completely reversible ( ) dan completely expandable ( ) yang mengakibatkan 1. Pada kasus ini, nilai opsi jual marjinal melebihi opsi beli marjinal ( ) sebesar, sehingga Persamaan (16) dapat dituliskan kembali sebagai ;1,1 11,, dengan demikian, ;1,1 mempunyai nilai yang melebihi, sama dengan atau kurang dari satu, bergantung pada apakah nilai opsi jual marjinal kurang dari, sama dengan, atau lebih
18 9 dari nilai opsi beli marjinal. Hubungan antara dan perubahan expandability dan reversability diilustrasikan dalam Gambar 2 yang menunjukkan beberapa iso- kurva. Irreversible, Expandable Completely Reversible, Expandable 1 1,1 Φ 1 Φ 1 Φ 1 0,0 1 Irreversible, Non-expandable Reversible, Non-Expandable Gambar 2 Hubungan antara dan perubahan expandability dan reversibility. Kurva di atas diperoleh dengan menurunkan dalam Persamaan (16) secara total untuk mendapatkan. (17) [bukti lihat Lampiran 3]. Dengan menetapkan 0 pada Persamaan (17), perubahan nilai dan akan menyebabkan nilai tidak berubah jika dan hanya jika dan membuat nilai optimal tetap. Kemudian dengan menetapkan nilai 0 dalam Persamaan (17) akan menghasilkan 0, (18) dengan strict inequality ketika 0 dan. [bukti lihat Lampiran 3]. Dengan demikian kemiringan kurva iso- semakin naik dari kiri ke kanan seperti yang diilustrasikan dalam Gambar 2. Kecembungan dan kecekungan kurva ini tidak bisa ditentukan secara umum. Nilai meningkat dalam dan menurun dalam. Kurva 1 dibentuk mulai dari titik 0 dan melalui 0 karena ;0,0 1 seperti yang dijelaskan sebelumnya. Kemudian kurva-kurva yang terbentuk dapat bergerak melalui atas, bersinggungan atau melalui bawah kurva 1 dalam daerah segi empat tersebut, dan kurva tersebut bergantung pada nilai dari pengganda nilai opsi, apakah ;1,1 kurang dari, sama dengan, ataupun lebih dari satu. Pengilustrasian grafik opsi jual dan opsi beli Didefinisikan penerimaan marjinal produk dari modal Periode-2 pada modal Periode-1 yang diinvestasikan sebagai,, (19) Pada yang telah diberikan, sebaran dari akan menghasilkan sebaran untuk. Dan misalkan Φ adalah fungsi sebaran kumulatif yang dihasilkan oleh, dengan pengintegralan parsial, opsi jual marjinal dan
19 10 opsi beli marjinal akan diperoleh secara terurut sebagai berikut,, Φ Φ Φ, (20), Φ Φ 1 Φ 1 1 Φ, (21) [bukti lihat Lampiran 4]. Pengilustrasian grafik dari opsi jual marjinal dan opsi beli marjinal ini akan ditunjukkan dalam Gambar 3. dan Φ 1 Opsi beli Opsi jual 0 Gambar 3 Grafik opsi jual dan opsi beli. Nilai dari opsi jual marjinal adalah daerah di bawah pangkal kurva, di bagian kiri dari titik, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 3. Peningkatan dalam harga jual ( ) menambah luas daerah ini. Di lain pihak, nilai dari opsi beli marjinal adalah daerah di atas kurva, di bagian kanan dari di antara bagian ujung dari kurva dan garis horizontal sepanjang satu satuan. Peningkatan dalam harga beli ( ) mengurangi luas daerah ini. IV. KESIMPULAN Penilaian investasi (penghitungan NPV) dengan menggunakan pendekatan teori-, hanya dipengaruhi oleh harga-harga yang terbentuk dan peluang-peluang yang terjadi di masa mendatang, tidak ada pengaruh nilai opsi yang muncul. Sedangkan pada pendekatan nilai opsi, penghitungan NPV dipengaruhi oleh nilai opsi yang muncul akibat reversibility dan expandability. Jika NPV 0, maka investasi yang dilakukan memberikan imbal hasil yang dapat menambah nilai perusahaan, kemudian
20 11 perusahaan dapat melakukan ekspansi untuk menjaga keberlangsungannya. Sebaliknya, jika nilai NPV 0, maka investasi yang dilakukan akan mengurangi nilai perusahaan. Pada kemungkinan terburuk, perusahaan akan melakukan perampingan. Sedangkan jika nilai NPV 0, maka investasi yang dilakukan tidak menambah ataupun mengurangi nilai perusahaan. Perusahaan harus dapat mempertimbangkan apakah akan melakukan ekspansi atau perampingan berdasarkan strategi-strategi lain atau faktor lain yang digunakan dalam penghitungan NPV. Metode pengganda nilai opsi (Φ) merupakan perluasan dari pendekatan nilai opsi. Nilai Φ dapat bernilai lebih besar, sama dengan, atau kurang dari satu. Nilai tersebut bergantung dari kasus investasi yang terjadi. Jika Φ1, maka perusahaan tidak dimungkinkan untuk menjual ataupun membeli modal. Jika Φ 1, maka perusahaan lebih baik menjual modalnya. Kemudian jika Φ1, maka perusahaan lebih baik membeli modal. V. DAFTAR PUSTAKA Abel BA, Avinash KD, Eberly JC, Pindyck RS Options, The Value of Capital and Investment. Quarterly Journal of Economics 111: /1/SWP pdf [12 Jul 2007] Bodie Z, Kane A, Marcus AJ Investments, Sixth Edition. New York: The McGraw-Hill Companies, Inc. Cox JC, Mark R Options Markets. New Jersey: Prentice-Hall, Inc. Dixit AK dan Pyndick RS Investment Under Uncertainty. New Jersey: Princeton University Press. Ghahramani S Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Edisi Ke-3. New Jersey: Pearson Education, Inc. Grimmet GR dan Strizaker DR Probability and Random Processes. Second Edition. New York: Clarendon Press Oxford. Hayashi F Tobin s Marginal and Average : A Neoclassical Interpretation. Econometrica, 50(1): Hogg RV dan Craig AT Introduction to Mathematical Statistics, Fifth Edition. New Jersey: Prentice-Hall, Inc. Lee CF, Lee AC, editor Encyclopedia of Finance. Springer Science+Business Media, Inc. Leithold L The Calculus with Analytic Geometri, Sixth Edition. New York: HarperCollinsPublisher. Osborne MJ Mathematical Methods for Economic Theory: A Tutorial by Martin J. Osborn. e/mathtutorial/cvnf.htm [8 Mei 2008] Pass C, Bryne L, Davies L Kamus Lengkap Ekonomi. Edisi Ke-2. Rumapea T, Haloho P, penerjemah; Sihombing D, editor. New York: HarperCollins Publishing. Terjemahan dari: Dictionary of Economics, Second Edition. Pindyck RS Irreversibility, Uncertainty and Investment. Journal of economic literature 78(5): [31 Jan 2008 ] Stewart J Kalkulus Jilid 1. Edisi Ke-4. Susila IN, Gunawan H, penerjemah; Mahanani N, Hardani W, editor. A Division of International Thomson Publishing Inc. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition. Wikipedia The Free Encyclopedia.
21 LAMPIRAN 12
22 13 LAMPIRAN 1 Uraian Persamaan (2): Nilai Perusahaan Berdasarkan persamaan present value: 1 1, Nilai perusahaan ( ) adalah penjumlahan dari imbal hasil modal pada Periode-1 dan Periode- 2. Imbal hasil dalam Periode-2 dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu: 1. Jika. Nilai dari diberikan oleh, Present value pada kondisi ini adalah,, dengan adalah hasil penjualan modal. 2. Jika. Nilai dari diberikan oleh, Present value pada kondisi ini adalah,, dengan adalah biaya pembelian modal. 3. Jika. Nilai,, Present value pada kondisi ini adalah Sehingga, nilai perusahaan diberikan oleh:,,,,,, (2) Penurunan Persamaan (4): Nilai Marjinal Perusahaan (NPV) Decision problem perusahaan pada Periode-1 adalah 1. Untuk kondisi, maks 0,,,,,
23 14 Diturunkan terhadap akan didapatkan:, 0, 2. Untuk kondisi,,,, Diturunkan terhadap akan didapatkan:,, 1 0, 3. Untuk kondisi,,,,,, Jadi, kondisi orde pertama untuk max, adalah:, 1, (4) Penurunan Persamaan (5): Pengaruh Modal pada Dorongan Berinvestasi, 1,, 0, (5) Nilai dari 0 adalah karena strictly increasing dan strictly concave di, sedangkan, 0 kontinu dan strictly decreasing di serta kontinu dan strictly increasing di.
24 15 Penurunan Persamaan (6): Pengaruh Harga Jual pada Dorongan Berinvestasi, 1, 0, (6) Penurunan Persamaan (6): Pengaruh Harga Beli pada Dorongan Berinvestasi, 1, 1 1 0, (7)
25 16 LAMPIRAN 2 Penurunan Persamaan (11a): Nilai Marjinal Perusahaan pada Pendekatan Nilai Opsi Didefinisikan bahwa, (10a), Dengan menurunkan Persamaan (10) terhadap akan didapatkan:, Karena, maka,, (11a) Penurunan persamaan (11b): Present Value Periode-1 dan Periode-2 Diturunkan terhadap akan didapatkan :,, (10b), 0,, 0, (11b) Nilai 0 adalah karena strictly increasing dan strictly concave di, sedangkan, 0 kontinu dan strictly decreasing di serta kontinu dan strictly increasing di. Penurunan Persamaan (11c): Nilai Opsi Jual Marjinal,,,,, Diturunkan terhadap akan didapatkan:,,,,,,, (10c) 0, (11c) Nilai 0 adalah karena, 0 kontinu dan strictly decreasing di serta kontinu dan strictly increasing di.
26 17 Penurunan Persamaan (11d): Nilai Opsi Beli Marjinal,, Diturunkan terhadap akan didapatkan:,,, (10d),,,,,,, 0, (11d) Nilai 0 adalah karena, 0 kontinu dan strictly decreasing di serta kontinu dan strictly increasing di. Penurunan Persamaan (12): NPV Pendekatan Nilai Opsi Kondisi maksimum untuk modal pada Periode-1 adalah., (11a),, (12) Penurunan Persamaan (13): Pengaruh Harga Jual pada Nilai Opsi Jual Marjinal, 0, (11c) Diturunkan terhadap akan didapatkan:, 0 0, (13)
27 18 Penurunan Persamaan (14): Pengaruh Harga Beli pada Nilai Opsi Beli Marjinal, 0, (11d) Diturunkan terhadap akan didapatkan:, 1 1 0, (14)
28 19 LAMPIRAN 3 Penurunan Persamaan (16): Pengganda Nilai Opsi Pengganda nilai opsi didefinisikan sebagai, (15) Dengan mennyubtitusikan Persamaan (12) ke definisi pengganda nilai opsi di atas, maka akan didapatkan:, (12) 1 1, (16) Persamaan Pengaruh Expandability dan Reversibility pada Pengganda Nilai Opsi Penurunan persamaan (17) 1 1, (16) Didefinisikan, dan, Sehingga ;, Dengan menurunkan Persamaan (16) secara total akan didapatkan: 1. Turunan terhadap, 2. Turunan terhadap 1, 1, 3. Turunan terhadap 1,
29 20 Jadi turunan total dari Persamaan (16) adalah, (17) Penurunan Persamaan (18) Didefinisikan dan, dan,,, Dengan menetapkan 0, dan 0 pada Persamaan (17) maka, , (18)
30 21 LAMPIRAN 4 Penurunan Persamaan (20): Nilai Opsi Jual Marjinal dengan Fungsi Sebaran Kumulatif Didefinisikan persamaan penerimaan produk marjinal Periode-2 sebagai berikut,, Dengan mengintegralkan persamaan opsi jual marjinal secara parsial akan didapatkan : Untuk,, Untuk, 0,,,, Φ Misalkan:, Φ Φ,, Φ Φ Φ Φ Φ 0Φ0 Φ Φ, Φ (20) Penurunan Persamaan (21): Nilai Opsi Beli Marjinal dengan Fungsi Sebaran Kumulatif Didefinisikan persamaan penerimaan produk marjinal Periode-2 pada modal Periode-1 yang diinvestasikan sebagai berikut,, (19) Dengan mngintegralkan persamaan opsi jual marjinal secara parsial akan didapatkan: Untuk,, Untuk,,,,, Φ Φ Φ Untuk Φ Misalkan:, Φ Φ, Φ,
31 22 Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ 1 Φ (21)
32 Filename: desiana s (g ) Directory: D:\My Documents Template: C:\Documents and Settings\Tia\Application Data\Microsoft\Templates\Normal.dotm Title: Subject: Author: Desiana Syahrusani Keywords: Comments: Creation Date: 6/22/ :08:00 PM Change Number: 6 Last Saved On: 6/25/2008 8:22:00 AM Last Saved By: Total Editing Time: 47 Minutes Last Printed On: 6/25/2008 2:19:00 PM As of Last Complete Printing Number of Pages: 31 Number of Words: 9,936 (approx.) Number of Characters: 56,638 (approx.)
III. PEMBAHASAN. dan strictly decreasing terhadap serta kontinu dan strictly increasing terhadap. Dua nilai kritis dari didefinisikan untuk
4 Opsi Beli Opsi beli memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset pada harga tertentu yang disebut harga eksekusi (exercise/strike price) pada atau sebelum tanggal jatuh tempo (maturity)
Lebih terperinciLAMPIRAN 1. dengan adalah hasil penjualan modal. dengan adalah biaya pembelian modal.
LAMPIRAN 12 13 LAMPIRAN 1 Uraian Persamaan (2): Nilai Perusahaan Berdasarkan persamaan present value: 1 1 Nilai perusahaan ( ) adalah penjumlahan dari imbal hasil modal pada Periode-1 dan Periode- 2. Imbal
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI OPTIMAL UNTUK ALOKASI KEKAYAAN KE DALAM KONSUMSI DAN INVESTASI PELI SUKARSO
PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL UNTUK ALOKASI KEKAYAAN KE DALAM KONSUMSI DAN INVESTASI PELI SUKARSO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012 ABSTRAK
Lebih terperinciPENENTUAN HARGA OPSI CALL WINDOW RESET MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL TREE DAN TRINOMIAL TREE
PENENTUAN HARGA OPSI CALL WINDOW RESET MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL TREE DAN TRINOMIAL TREE R. MELIYANI 1, E. H. NUGRAHANI 2, D. C. LESMANA 3 Abstrak Opsi window reset merupakan salah satu jenis opsi yang
Lebih terperinciGrosen A, Jorgensen. P.L Fair valuation of life insurance liabilities: the infact of interest rate guarantees, surrender option and bonus
59 DAFTAR PUSTAKA Abink M, Saker M. 2002. Getting to grif with fair value. The Staple Inn Actuarial Society. Bacinello AR. 200. Fair pricing of Life Insurance participating policies with a minimum interest
Lebih terperinciBAB III PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA
BAB III PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA Pada bab ini akan disajikan rumusan mengenai penilaian opsi put Amerika. Pada bagian pertama diberikan beberapa asumsi untuk penilaian opsi Amerika. Bentuk nilai intrinsik
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL Ro fah Nur Rachmawati Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Binus University Jl.
Lebih terperinciMETODE BINOMIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI CALL INDONESIA DAN STRATEGI LINDUNG NILAINYA JAENUDIN
METODE BINOMIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI CALL INDONESIA DAN STRATEGI LINDUNG NILAINYA JAENUDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan di dalam pembahasan.
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan di dalam pembahasan. 2.1 Istilah Ekonomi dan Keuangan Definisi 1 (Investasi) Dalam keuangan,
Lebih terperinciPENGGUNAAN MODEL BLACK SCHOLES UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI JUAL TIPE EROPA
Buletin Ilmiah Math. Stat. Dan Terapannya (Bimaster) Volume 02 no. 1 (2013), hal 13 20 PENGGUNAAN MODEL BLACK SCHOLES UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI JUAL TIPE EROPA Widyawati, Neva Satyahadewi, Evy Sulistianingsih
Lebih terperinciKEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR. Oleh: LIA NURLIANA
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR Oleh: LIA NURLIANA PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciMODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM
MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 ABSTRAK RIDWAN IDHAM. Model
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Dalam sistem distribusi tenaga listrik keberadaan perangkat proteksi merupakan hal yang penting untuk menunjang kehandalan sistem penyaluran tenaga listrik
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM GANDA DEPAG S1 DUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/SEMESTER : Kalkulus/2 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS
Lebih terperinciPERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO
PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah ilmu pengetahuan dan teknologi yang semakin berkembang pada masa kini menuntut setiap orang menjadi sumber daya manusia yang lebih profesional. Salah satu upaya
Lebih terperinciPENENTUAN HARGA OPSI BELI TIPE ASIA DENGAN METODE MONTE CARLO-CONTROL VARIATE
E-Jurnal Matematika Vol. 6 (1), Januari 2017, pp. 29-36 ISSN: 2303-1751 PENENTUAN HARGA OPSI BELI TIPE ASIA DENGAN METODE MONTE CARLO-CONTROL VARIATE Ni Nyoman Ayu Artanadi 1, Komang Dharmawan 2, Ketut
Lebih terperinciSKRIPSI. Oleh. Umi Saroh NIM
PENINGKATAN AKTIVITAS DAN HASIL BELAJAR DALAM MENYELESAIKAN SOAL CERITA DENGAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN PEMECAHAN MASALAH MODEL POLYA POKOK BAHASAN UANG DI KELAS III SDN SUMBERSARI 01 JEMBER TAHUN PELAJARAN
Lebih terperinci{ B t t 0, yang II LANDASAN TEORI = tn
II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan definisi-definisi yang akan digunakan di dalam pembahasan. 2.1 Ruang Contoh, Peubah Acak, dan Proses Stokastik Definisi 2.1 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah
Lebih terperinciOPTIMALISASI WAKTU INVESTASI DENGAN FUZZY REAL OPTION
OPTIMALISASI WAKTU INVESTASI DENGAN FUZZY REAL OPTION Sudradjat 1, Elis Hertini 2, Andine Astiany 3 1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl. Raya Bandung-Sumedang km 21 Jatinangor 1 adjat03@yahoo.com,
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH PENGIRIMAN PAKET KILAT UNTUK JENIS NEXT-DAY SERVICE DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK PEMBANGKITAN KOLOM. Oleh: WULAN ANGGRAENI G
PENYELESAIAN MASALAH PENGIRIMAN PAKET KILAT UNTUK JENIS NEXT-DAY SERVICE DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK PEMBANGKITAN KOLOM Oleh: WULAN ANGGRAENI G54101038 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciPEMERINTAH KABUPATEN TULUNGAGUNG
PEMERINTAH KABUPATEN TULUNGAGUNG PERATURAN DAERAH KABUPATEN TULUNGAGUNG NOMOR 7 TAHUN 2010 TENTANG PERUBAHAN ATAS PERATURAN DAERAH KABUPATEN TULUNGAGUNG NOMOR 7 TAHUN 2009 TENTANG TATA CARA PENCALONAN,
Lebih terperinciPENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN
PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciNILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS YUSUF
NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS YUSUF SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciMETODE BINOMIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI CALL INDONESIA DAN STRATEGI LINDUNG NILAINYA JAENUDIN
METODE BINOMIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI CALL INDONESIA DAN STRATEGI LINDUNG NILAINYA JAENUDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPEMERINTAH KABUPATEN TULUNGAGUNG
PEMERINTAH KABUPATEN TULUNGAGUNG PERATURAN DAERAH KABUPATEN TULUNGAGUNG NOMOR 5 TAHUN 2010 TENTANG PENYERTAAN MODAL (INVESTASI) PEMERINTAH KABUPATEN TULUNGAGUNG PADA PERUSAHAAN DAERAH ANEKA USAHA (PDAU)
Lebih terperinciPREDIKSI JANGKA PANJANG DARI PROSES POISSON SIKLIK DENGAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DIKETAHUI AGUSTINA MARGARETHA
PREDIKSI JANGKA PANJANG DARI PROSES POISSON SIKLIK DENGAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DIKETAHUI AGUSTINA MARGARETHA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak, salah satu pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE ITERASI VARIASI UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH OSILASI BERPASANGAN SANTI SUSILAWATI
PENGGUNAAN METODE ITERASI VARIASI UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH OSILASI BERPASANGAN SANTI SUSILAWATI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Salah satu formula dalam teori bunga telah diusulkan pada abad
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Permasalahan Salah satu formula dalam teori bunga telah diusulkan pada abad kesembilan belas oleh seorang aktuaris dan ahli matematika Inggris bernama William Makeham.
Lebih terperinciANGGARAN RUMAH TANGGA PUTRA BANGSA
ANGGARAN RUMAH TANGGA PUTRA BANGSA BAB I KEANGGOTAAN Pasal 1 Syarat Keanggotaan Syarat menjadi anggota Putra Bangsa adalah : 1. WNI 2. Berusia minimal 17th 3. Bersedia mematuhi AD / ART dan Ketentuan Organisasi
Lebih terperinciPEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN PERUSAHAAN MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV ADITYA PRAYUDANTO
PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN PERUSAHAAN MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV ADITYA PRAYUDANTO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN
Lebih terperinciMETODE BEDA HINGGA UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI SAHAM TIPE EROPA DENGAN PEMBAGIAN DIVIDEN. Lidya Krisna Andani ABSTRACT
METODE BEDA HINGGA UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI SAHAM TIPE EROPA DENGAN PEMBAGIAN DIVIDEN Lidya Krisna Andani Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Perusahaan merupakan salah satu bagian penting dari sektor perekonomian suatu negara Apabila kondisi perekonomian suatu negara sedang membaik dan diikuti dengan perkembangan
Lebih terperinciMODEL BLACK-SCHOLES HARGA OPSI BELI TIPE EROPA DENGAN PEMBAGIAN DIVIDEN
MODEL BLACK-SCHOLES HARGA OPSI BELI TIPE EROPA DENGAN PEMBAGIAN DIVIDEN oleh RETNO TRI VULANDARI M0106062 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains
Lebih terperinciAN ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON DENGAN BANYAK PELANGGAN DAN TITIK IMPAS TUNGGAL
AN ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON DENGAN BANYAK PELANGGAN DAN TITIK IMPAS TUNGGAL Oleh: Endang Nurjamil G05497044 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciPEMERINTAH KABUPATEN TULUNGAGUNG
PEMERINTAH KABUPATEN TULUNGAGUNG PERATURAN DAERAH KABUPATEN TULUNGAGUNG NOMOR 4 TAHUN 2010 TENTANG PENCABUTAN PERATURAN DAERAH KABUPATEN TULUNGAGUNG NOMOR 47 TAHUN 2001 TENTANG RETRIBUSI IJIN DISPENSASI
Lebih terperinciSUATU MODEL HARGA OBLIGASI. Lienda Noviyanti* *Staf pengajar jurusan Statistika FMIPA - Universitas Padjadjaran, Bandung.
SUATU MODEL HARGA OBLIGASI S-31 Lienda Noviyanti* *Staf pengajar jurusan Statistika FMIPA - Universitas Padjadjaran, Bandung. Uang merupakan sebuah komoditas, sedangkan tingkat bunga adalah biaya dari
Lebih terperinciTEORI BILANGAN Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa :
TEORI BILANGAN Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa : 1 Menggunakan algoritma Euclid untuk menyelesaikan masalah. 2 Menggunakan notasi kekongruenan. 3 Menggunakan teorema Fermat dan teorema
Lebih terperinciDINAMIKA INTERAKSI DARI SPEKULASI DAN DIVERSIFIKASI PADA SAHAM DARWISAH
DINAMIKA INTERAKSI DARI SPEKULASI DAN DIVERSIFIKASI PADA SAHAM DARWISAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 ABSTRACT DARWISAH. Dynamics
Lebih terperinciSTUDI KELAYAKAN BISNIS PENGEMBANGAN USAHA ISI ULANG MINYAK WANGI PADA USAHA PERSEORANGAN BOSS PARFUM, BOGOR. Oleh MOCH. LUTFI ZAKARIA H
STUDI KELAYAKAN BISNIS PENGEMBANGAN USAHA ISI ULANG MINYAK WANGI PADA USAHA PERSEORANGAN BOSS PARFUM, BOGOR Oleh MOCH. LUTFI ZAKARIA H24077027 PROGRAM SARJANA MANAJEMEN PENYELENGGARAAN KHUSUS DEPARTEMEN
Lebih terperinciTUGAS AKHIR ANALISA DATA UJI KARAKTERISTIK DAN SETTING RELE PROTEKSI ARUS LEBIH TIPE MCGG 52
TUGAS AKHIR ANALISA DATA UJI KARAKTERISTIK DAN SETTING RELE PROTEKSI ARUS LEBIH TIPE MCGG 52 Diajukan guna melengkapi sebagian syarat dalam mencapai gelar Sarjana Strata Satu (S1) Disusun Oleh : Nama :
Lebih terperinciPENETAPAN HARGA JAMINAN POLIS ASURANSI JIWA DENGAN PREMI TAHUNAN DAN OPSI SURRENDER WELLI SYAHRIZA
PENETAPAN HARGA JAMINAN POLIS ASURANSI JIWA DENGAN PREMI TAHUNAN DAN OPSI SURRENDER WELLI SYAHRIZA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciMETODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK ABSTRACT
METODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK Risvi Ayu Imtihana 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciProsiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 19 November
Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 19 November 2014 329 PENENTUAN HARGA OPSI PADA MODEL BLACK-SCHOLES MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DUFORT-FRANKEL (Determining Option Value of
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Pada saat ini persaingan di dunia usaha semakin ketat. Apabila perusahaan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Pada saat ini persaingan di dunia usaha semakin ketat. Apabila perusahaan tidak dapat bersaing, maka perusahaan tersebut dapat kalah dalam persaingan dan
Lebih terperinciDaftar Direktori dan Auto Submit Directory
2008 Daftar Direktori dan Auto Submit Directory Edisi Revisi 2, Luki Tantra Episods.Googlepages.com 8/10/2008 Daftar directory dan Auto submit Directory SEO (Search Engine Optimization) adalah permainan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori dasar yang digunakan untuk menetapkan harga premi pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen yang terdapat opsi surrender dalam kontraknya,
Lebih terperinciBAB V KESIMPULAN DAN SARAN
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Dari hasil penelitian dapat disimpulkan bahwa layanan bimbingan kelompok mempunyai pengaruh terhadap peningkatan integritas siswa kelas XI SMA Yayasan Hidayatul
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Setiap orang perlu berinvestasi karena nilai uang yang dimiliki akan
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Penelitian Investasi beberapa tahun belakangan ini mulai menjadi tren yang sering dibicarakan dan dilirik oleh banyak orang. Semakin banyak orang yang mengerti akan
Lebih terperinciPENENTUAN HARGA OPSI TIPE EROPA DENGAN METODE BINOMIAL
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 07, No. 2 (2018), hal 127 134. PENENTUAN HARGA OPSI TIPE EROPA DENGAN METODE BINOMIAL Syarifah Nadia, Evy Sulistianingsih, Nurfitri Imro ah INTISARI
Lebih terperinciSTUDI KELAYAKAN USAHA PENGOLAHAN DODOL PULUT (Studi Kasus: Desa Paya Perupuk, Kec. Tanjung Pura, Kab. Langkat) SKRIPSI
STUDI KELAYAKAN USAHA PENGOLAHAN DODOL PULUT (Studi Kasus: Desa Paya Perupuk, Kec. Tanjung Pura, Kab. Langkat) SKRIPSI OLEH : M. ADI KURNIAWAN NASUTION 100304081 AGRIBISNIS PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS
Lebih terperinciOPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA SKRIPSI SANDRA RIZAL
OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA SKRIPSI SANDRA RIZAL 060803016 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI
34 Jurnal Matematika Vol 6 No 1 Tahun 2017 ANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI THE CONVERGENCE ANALYZE ON THE SEQUENCE OF FUNCTION Oleh: Restu Puji Setiyawan 1), Dr. Hartono 2) Program Studi Matematika,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. ditentukan oleh faktor internal siswa, seperti tingkat kecerdasan, kerajinan, dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Masalah Keberhasilan pendidikan dapat dilihat dari keberhasilan seorang siswa untuk dapat menguasai suatu materi pelajaran. Keberhasilan siswa selain ditentukan oleh
Lebih terperinciADLN Perpustakaan Universitas Airlangga SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH
SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI Sebagai
Lebih terperinciABSTRACT. Keywords: capital budgeting, investment, expansion, payback period, net present value, internal rate of return UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA
vi ABSTRACT Companies are often faced with opportunities to make investments in assetss.the investment consists of two: long term investments and short term investments. One of the long term investment
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI OPTIMAL UNTUK ALOKASI KEKAYAAN KE DALAM KONSUMSI DAN INVESTASI PELI SUKARSO
PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL UNTUK ALOKASI KEKAYAAN KE DALAM KONSUMSI DAN INVESTASI PELI SUKARSO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012 ABSTRAK
Lebih terperinciPENETAPAN HARGA JAMINAN POLIS ASURANSI JIWA DENGAN PREMI TAHUNAN DAN OPSI SURRENDER WELLI SYAHRIZA
PENETAPAN HARGA JAMINAN POLIS ASURANSI JIWA DENGAN PREMI TAHUNAN DAN OPSI SURRENDER WELLI SYAHRIZA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPenentuan Daerah Kritis Terbaik dengan Teorema Neyman- Pearson
Vol. 6, No.1, 44-48, Juli 2009 Penentuan Daerah Kritis Terbaik dengan Teorema Neyman- Pearson Georgina M. Tinungki Abstrak Terdapat beberapa metode untuk membangun uji statistik yang baik, diantaranya
Lebih terperinciKONTROL OPTIMAL PADA PENGADAAN BAHAN MENTAH DENGAN KEBIJAKAN PENGADAAN TEPAT WAKTU, PERGUDANGAN, DAN PENUNDAAN
LAPORAN TUGAS AKHIR 01 WINTER Template KONTROL OPTIMAL PADA PENGADAAN BAHAN MENTAH DENGAN KEBIJAKAN PENGADAAN TEPAT WAKTU, PERGUDANGAN, DAN PENUNDAAN Oleh: Darsih Idayani 1206 100 040 Pembimbing: Subchan,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Penggunaan alat bantu pembersih burry(mesin burry tory) pada hasil
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penggunaan alat bantu pembersih burry(mesin burry tory) pada hasil casting merupakan hal yang biasa dilakukan di perusahan perusahan yang bergerak dalam casting almunium(al).pada
Lebih terperinciAPLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS
Aplikasi Model Suku... (Chandra Nugroho Erlangga) APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS APPLICATION OF BLACK-DERMAN-TOY STOCHASTIC INTEREST
Lebih terperinciPENILAIAN OPSI REAL MENGGUNAKAN POHON KEPUTUSAN BINOMIAL RITAWATI
PENILAIAN OPSI REAL MENGGUNAKAN POHON KEPUTUSAN BINOMIAL RITAWATI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 ABSTRACT RITAWATI. Real Option
Lebih terperinciPEMODELAN NILAI OPSI TIPE EROPA EDY SUYONO
PEMODELAN NILAI OPSI TIPE EROPA EDY SUYONO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pemodelan Nilai
Lebih terperinciABSTRAK. Capital Budgeting,Payback Period, Net Present Value, Internal Rate of Return, Profitability Index. Universitas Kristen Maranatha
ABSTRAK Dalam pembangunan ekonomi di Indonesia, bisnis mikro dan menengah turut berperan penting dalam mendukung keberhasilan pembangunan nasional, pemerintah berupaya untuk menggalakkan segala kegiatan
Lebih terperinciProsiding Matematika ISSN:
Prosiding Matematika ISSN: 2460-6464 Optimisasi Fungsi Nonlinier Dua Variabel Bebas dengan Satu Kendala Pertidaksamaan Menggunakan Syarat Kuhn-Tucker Optimization of Nonlinear Function of Two Independent
Lebih terperinciHUKUM ITERASI LOGARITMA. TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM.
HUKUM ITERASI LOGARITMA TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM. 00290 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. menyelesaikan penulisan skripsi ini yang berjudul Pengaruh Rasio Lancar,
KATA PENGANTAR Maha suci Allah yang telah memberikan rahmat dan kasih sayang-nya kepada hamba-nya yang berusaha dan pasrah pada-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini yang berjudul
Lebih terperinciUSULAN PENELITIAN DOSEN PEMULA
USULAN PENELITIAN DOSEN PEMULA APLIKASI PROBLEM BASED LEARNING DALAM UPAYA MENGEMBANGKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MAHASISWA TERHADAP MATA KULIAH BAHASA INDONESIA LINTAS PROGRAM STUDI UUI PENGUSUL: Nama
Lebih terperinciPoliteknik Negeri Sriwijaya BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Definisi koperasi menurut Undang-Undang nomor 25 tahun 1992 pasal 1 menyatakan bahwa koperasi adalah badan usaha yang beranggotakan orangseorang atau badan hukum koperasi
Lebih terperinciANALISIS PERTUMBUHAN KESEMPATAN KERJA PASCA KEBIJAKAN UPAH MINIMUM DI KABUPATEN BOGOR OLEH ERNI YULIARTI H
ANALISIS PERTUMBUHAN KESEMPATAN KERJA PASCA KEBIJAKAN UPAH MINIMUM DI KABUPATEN BOGOR OLEH ERNI YULIARTI H14102092 DEPARTEMEN ILMU EKONOMI FAKULTAS EKONOMI DAN MANAJEMEN INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006 RINGKASAN
Lebih terperinciSISTEM PENDETEKSI WAJAH MANUSIA PADA CITRA DIGITAL (PROPOSAL SKRIPSI) diajukan oleh. NamaMhs NIM: XX.YY.ZZZ. Kepada
SISTEM PENDETEKSI WAJAH MANUSIA PADA CITRA DIGITAL (PROPOSAL SKRIPSI) diajukan oleh NamaMhs NIM: XX.YY.ZZZ Kepada JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA STMIK STIKOM BALIKPAPAN LEMBAR PERSETUJUAN Proposal Skripsi
Lebih terperinciPERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO
PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN
SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB
Lebih terperinciANALISIS KINERJA KEUANGAN BERDASARKAN ECONOMIC VALUE ADDED PADA PT ADIRA DINAMIKA MULTI FINANCE Tbk LAPORAN AKHIR
ANALISIS KINERJA KEUANGAN BERDASARKAN ECONOMIC VALUE ADDED PADA PT ADIRA DINAMIKA MULTI FINANCE Tbk P LAPORAN AKHIR Laporan Akhir ini Disusun Sebagai Salah Satu Syaarat Menyelesaikan Pendidikan Diploma
Lebih terperinciPENJADWALAN PEMANDU WISATA DI KERATON KASUNANAN SURAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS
PENJADWALAN PEMANDU WISATA DI KERATON KASUNANAN SURAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS oleh ADITYA WENDHA WIJAYA M0109003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. dengan kendala. Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 1 berikut. Teorema 1 R = R (X) didefinisikan oleh
4 III PEMBAHASAN 3.1. Meminimumkan Peluang Keangkrutan (Ruin Proaility) Keijakan suatu perusahaan asuransi dalam memilih kontrak reasuransi sangatlah penting, salah satu pendekatan rasional untuk memilih
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN
Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah : MAT 101 Bobot SKS : 3 (2-2) : Landasan Matematika GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN Deskripsi : Mata kuliah ini membahas konsep-konsep dasar matematika yang meliputi
Lebih terperinciAnalisis Instruksional (AI) dan Silabus. MAT100 Pengantar Matematika. Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor
Analisis Instruksional (AI) dan Silabus MAT100 Pengantar Matematika Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor ANALISIS INSTRUKSIONAL (AI) DAN SILABUS MATA KULIAH MAT100
Lebih terperinciUNNES Journal of Mathematics
UJM 1 (1) (2012) UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm PENYELESAIAN KASUS BEBERAPA INTEGRAL TAK WAJAR DENGAN INTEGRAN MEMUAT FUNGSI EKSPONENSIAL DAN FUNGSI LOGARITMA
Lebih terperinciMASALAH PENJADWALAN KERETA SECARA PERIODIK DENGAN BIAYA MINIMUM PADA JALUR GANDA MUHAMMAD RIZQY HIDAYATSYAH
MASALAH PENJADWALAN KERETA SECARA PERIODIK DENGAN BIAYA MINIMUM PADA JALUR GANDA MUHAMMAD RIZQY HIDAYATSYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciUniversitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN Judul : PENGAMBILAN KEPUTUSAN MENGGUNAKAN METODE BAYES PADA EKSPEKTASI FUNGSI UTILITAS Kategori : SKRIPSI Nama : SELVIRA LESTARI SIREGAR Nomor Induk Mahasiswa : 090803070 Program Studi : SARJANA
Lebih terperinciPENENTUAN HARGA OPSI CALL TIPE EROPA MENGGUNAKAN METODE TRINOMIAL
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. Hal. 3 39 ISSN : 2303 290 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENENTUAN HARGA OPSI CALL TIPE EROPA MENGGUNAKAN METODE TRINOMIAL MIKA ALVIONITA S, RIRI LESTARI Program Studi
Lebih terperinciPEMERINTAH KABUPATEN TULUNGAGUNG PERATURAN DAERAH KABUPATEN TULUNGAGUNG NOMOR 14 TAHUN 2010 TENTANG
1 PEMERINTAH KABUPATEN TULUNGAGUNG PERATURAN DAERAH KABUPATEN TULUNGAGUNG NOMOR 14 TAHUN 2010 TENTANG BANTUAN KEUANGAN KEPADA PARTAI POLITIK KABUPATEN TULUNGAGUNG DENGAN RAHMAT TUHAN YANG MAHA ESA BUPATI
Lebih terperinciANALISIS PENGARUH KETIMPANGAN DISTRIBUSI PENDAPATAN TERHADAP PERTUMBUHAN EKONOMI JAWA BARAT OLEH DEVI RETNOSARI H
ANALISIS PENGARUH KETIMPANGAN DISTRIBUSI PENDAPATAN TERHADAP PERTUMBUHAN EKONOMI JAWA BARAT OLEH DEVI RETNOSARI H14102093 DEPARTEMEN ILMU EKONOMI FAKULTAS EKONOMI DAN MANAJEMEN INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciREGRESI KEKAR SIMPANGAN MUTLAK TERKECIL DENGAN MODIFIKASI SIMPLEKS MUHAMMAD YUSUF DWIHARJANGGI
REGRESI KEKAR SIMPANGAN MUTLAK TERKECIL DENGAN MODIFIKASI SIMPLEKS MUHAMMAD YUSUF DWIHARJANGGI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 ABSTRAK
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Menurut Sharpe et al. (1993), investasi adalah mengorbankan aset yang dimiliki sekarang guna mendapatkan aset pada masa mendatang agar jumlah aset menjadi
Lebih terperinciMETODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA DALAM BIDANG EKONOMI SKRIPSI RAHMAD HIDAYAT
METODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA DALAM BIDANG EKONOMI SKRIPSI RAHMAD HIDAYAT 110803018 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015 METODE
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA
PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
Lebih terperinciPENDEKATAN ALGORITMA PEMROGRAMAN DINAMIK DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN KNAPSACK 0/1 SKRIPSI SRI RAHAYU
PENDEKATAN ALGORITMA PEMROGRAMAN DINAMIK DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN KNAPSACK 0/1 SKRIPSI SRI RAHAYU 060823001 PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBAB V HASIL DAN PEMBAHASAN
BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN Penentuan kadar Aspartam ini dilakukan menggunakan alat KCKT, dengan sistem kromatografi fasa terbalik, yaitu polarisitas fasa gerak lebih polar daripada fasa diam dengan kolom
Lebih terperinciAnalisis Matematika Kurva Isoprofit Model Cournot dalam Pasar Duopoli Mathematical Analysis Isoprofit Curves Of Cournot Model in Duopoly Market
Prosiding Matematika ISSN: 2460-6464 Analisis Matematika Kurva Isoprofit Model Cournot dalam Pasar Duopoli Mathematical Analysis Isoprofit Curves Of Cournot Model in Duopoly Market 1 Anggun Puji Nurani,
Lebih terperinciPERBANDINGAN PENAKAR HUJAN DI BERBAGAI KETINGGIAN POSISI PEMASANGAN DAN UKURAN DIAMETER MULUT PENAMPANG FITRI YASMIN
PERBANDINGAN PENAKAR HUJAN DI BERBAGAI KETINGGIAN POSISI PEMASANGAN DAN UKURAN DIAMETER MULUT PENAMPANG FITRI YASMIN DEPARTEMEN GEOFISIKA DAN METEOROLOGI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciPEMBANGUNAN INFRASTRUKTUR DAN PENGURANGAN PENGANGGURAN DI INDONESIA OLEH ARDIANTI NIKEN MUSLIKHAH H
PEMBANGUNAN INFRASTRUKTUR DAN PENGURANGAN PENGANGGURAN DI INDONESIA 1976 2006 OLEH ARDIANTI NIKEN MUSLIKHAH H 14104067 DEPARTEMEN ILMU EKONOMI FAKULTAS EKONOMI DAN MANAJEMEN INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2008
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. untuk setiap di dan untuk setiap, dengan. (Peressini et al. 1988)
4 untuk setiap di dan untuk setiap (Peressini et al 1988) Definisi 22 Teorema Deret Taylor Nilai hampiran f di x untuk fungsi di a (atau sekitar a atau berpusat di a) didefinisikan (Stewart 1999) 24 Kontrol
Lebih terperinciTrayektori ortogonal dan pemetaan konformal pada fungsi kompleks
Trayektori ortogonal dan pemetaan konformal pada fungsi kompleks (On the othogonal trajectories and conformal mapping of complex variable functions) Kus Prihantoso Krisnawan dan Atmini Dhoruri Jurusan
Lebih terperinciANALISIS KELAYAKAN USAHA PENGGEMUKAN DOMBA Pada Agrifarm, Desa Cihideung Udik, Kecamatan Ciampea, Kabupaten Bogor, Jawa Barat
ANALISIS KELAYAKAN USAHA PENGGEMUKAN DOMBA Pada Agrifarm, Desa Cihideung Udik, Kecamatan Ciampea, Kabupaten Bogor, Jawa Barat SURANTO WAHYU WIDODO A14104051 PROGRAM STUDI MANAJEMEN AGRIBISNIS FAKULTAS
Lebih terperinciVALUASI COMPOUND OPTION PUT ON PUT TIPE EROPA SKRIPSI. Disusun oleh YULIA AGNIS SUTARNO JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
VALUASI COMPOUND OPTION PUT ON PUT TIPE EROPA SKRIPSI Disusun oleh YULIA AGNIS SUTARNO 24010210110009 JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2014 VALUASI COMPOUND
Lebih terperinci