en := ~ :z ..c: en.- C/) ~,..., ...-J rfj Q,)..0 -.:! +-I a:i ro (/.) .- "/ ~" '-~ ~ "' ~. - E III 1:1 ... = E ... =-=

Transkripsi

1

2

3 - ro -.:! +-I a:i ~ :z en := ro :z..c: ro en.- C/) III 1:1 - E c= :z c=... =-= := - = E... = E c...-j rfj Q,)..0 :J - ro (/.).- "/ ~" '-~ ~ "' ~. ~,..., ~ ~ N

4 USU Press Art Design, Publishing & Printing Gedung F, Pusat Sistem Informasi (PSI) Kampus USU J1. Universitas No.9 Medan 20155, Indonesia Telp ; Fax usupress.usu.ae.id USU Press 2011 Hak eipta dilindungi oleh undang-undang; dilarang memperbanyak menyalin, merekam s9 atau seluruh bagian buku ini dalam bahasa atau bentuk apapun tanpa izin tertu1. penerbit. ISBN: Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT) Siahaan, Elisabet Matematika ekonomi dan bisnis / Elisabet Siahaan. - Medan: USU Press, v, 125 p. ; ilus. ; 25.5 em Bibliografi ISBN: Ekonomi Matematika ddc21 I. Judul Dicetak di Medan, Indonesia. I U I ~

5 KA TA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan kasih-nya, sehingga buku Matematika Ekonomi dan Bisnis dapat diselesaikan. Matematika ekonomi dan bisnis merupakan alat bantu di dalam mengambil keputusan, agar keputusan ekonomi dapat lebih efektif, maka diperlukan pemahaman teori ekonomi baik mikro dan makro serta matematika ekonomi dan ekonometrik sebagai alat bantu pengambil keputusan. Matematika ekonomi digunakan untuk memformalkan model ekonomi yang dipostulatkan oleh teori ekonomi. Model ekonomi tersebut diformalkan ke dalam bentuk persamaan linier maupun nonlinier. Matematika ekonomi merupakan matematika terapan, di mana dasarnya adalah matematika murni. Tidak semua topik yang ada dalam matematika murni akan dibahas dalam matemat"ika ekonomi dan bisnis. Topik matematika murni yang digunakan untuk memecahkan masalah ekonomi dan bisnis adalah fungsi, kalkulus, deret ukur dan deret hitung dan matriks. Buku ini disusun dengan menggunakan pendekatan pembelajaran berdasarkan kompetensi, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum Sl dan D3 Fakultas Ekonomi yang menggunakan pendekatan kompetensi (CBT: Competency Based Training). Buku ini diharapkan dapat membantu para pembaca khususnya para praktisi, para dosen, para mahasiswa Fakultas Ekonomi untuk memecahkan masalah-masalah ekonomi dan bisnis dengan perhitungan matematika. Buku ini masih ban yak kekurangnya sehingga diharapkan saran dan kritik dari para praktisi dunia us aha, para pakar akademik, dan para mahasiswa sebagai bahan untuk melakukan peningkatan kualitas buku ini di masa yang akan datang. Buku matematika ekonomi dan bisnis ini dapat selesai dengan dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan dan ucapan terima kasih khususnya kepada adinda Ester Nababan dan kepada editor atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan penyusunan buku ini. Akhir kata penulis berharap semoga buku ini mendapat perhatian di hati pembaca dan betapapun kecilnya arti kehadiran buku ini dalam dunia pustaka di Indonesia, tapi penulis berharap buku ini bermanfaat bagi kita semua pembaca. Medan, Januari 2011 Penulis Elisabet Siahaan 111

6 DAFTARISI KAT A PEN GANT AR... DAFT AR lsi... iii iv BAB 1 SIFAT -SIF AT MATEMA TIKA EKONOMI DAN BISNIS Matematika Ekonomi dan Matematika Murni Teori Ekonomi, Matematika Ekonomi, Ekonometrika, dan Statistika Ekonomi... 2 BAB 2 MODEL EKON OMI Pendahuluan Variabel, Konstanta, Koefisien, dan Parameter Persamaan dan Pertidaksamaan Sistem Bilangan Nyata Aturan Pemangkatan dan Pemfaktoran Pemangkatan... 7 Soal-Soal Latihan BAB 3 FUNGSI LINIER Pendahuluan Kemiringan dan Titik Potong Sumbu Bentuk Umum Fungsi Linier Menentukan Persamaan Garis Soal-Soal Latihan BAB 4 PENERAPAN FUNGSI LINIER Pendahuluan Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran Keseimbangan Pasar Satu Macam Produk Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk Pengaruh Pajak Pada Kesimbangan Pasar Pengaruh Subsidi Pada Keseimbangan Pasar Analisis Pulang Pokok Fungsi Konsumsi dan Tabungan Model Penentuan Pendapatan Nasional Soal-Soal Latihan BAB 5 FUNGSI NON LINIER DAN PENERAPANNYA DALAM EKONOMI DAN BISNIS Pendahuluan Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran Keseimbangan Pasar Fungsi Penerimaan TotaL Soal-Soal Latihan IV

7 I DAFTARISI KATA PENGANTAR... DAFTARISI... BAB 1 SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Matematika Ekonomi dan Matematika Murni Teori Ekonomi, Matematika Ekonomi, Ekonometrika, dan Statistika Ekonomi BAB 2 MODEL EKONOMI Pendahuluan Variabel, Konstanta, Koefisien, dan Parameter Persamaan dan Pertidaksamaan Sistem Bilangan Nyata Aturan Pemangkatan dan Pemfaktoran Pemangkatan... 7 Soal-Soal Latihan BAB 3 FUNGSI LINIER Pendahuluan Kemiringan dan Titik Potong Sumbu Bentuk Umum Fungsi Linier Menentukan Persamaan Garis Soal-Soal Latihan BAB 4 PENERAPAN FUNGSI LINIER Pendahuluan Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran Keseimbangan Pasar Satu Macam Produk Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk Pengaruh Pajak Pada Kesimbangan Pasar Pengaruh Subsidi Pada Keseimbangan Pasar Analisis Pulang Pokok Fungsi Konsumsi dan Tabungan Model Penentuan Pendapatan NasionaL... ; Soal-Soal Latihan iii iv BAB 6 BARIS DAN DERET SERTA PENERAPANNYA DALAM EKONOMI DAN BISNIS Pendahuluan Bunga Sederhana dan Potongan Sederhana Bunga Majemuk Anuitas Dana Cadangan Atau Dana Pelunasan (Sinking Fund) Penyisihan Pinjaman (Loan Amortization) Soal-Soal Latihan BAB 7 KALKULUS DIFERENSIAL DAN PENERAPANNYA DALAM EKONOMI DAN BISNIS: FUNGSI DENGAN SA TU VARIABEL BEBAS Pendahuluan Elastisitas Permintaan dan Penawaran Penerapan Optimisasi: Fungsi dengan Satu Variabel Bebas Biaya Total, Rata-Rata, dan Marginal Penerimaan Total, Rata-Rata, dan MarginaL Laba Maksimum Soal-Soal Latihan BAB 8 PENERAPAN KALKULUS DIFERENSIAL DALAM EKONOMI DAN BISNIS: FUNGSI DENGAN DUA VARIABEL BEBAS Pendahuluan Biaya Marginal Elastisitas Permintaan Parsial Fungsi Produksi Penerapan Optimisasi: Fungsi dengan Dua Variabel Bebas Laba Maksimum dengan Dua Input Penerapan Optimisasi Terkendala dalam Ekonomi dan Bisnis Soal-Soal Latihan DAFTARBACAAN BAB 5 FUNGSI NON LINIER DAN PENERAPANNYA DALAM EKONOMI DAN BISNIS Pendahuluan Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran Keseimbangan Pasar Fungsi Penerimaan TotaL Soal-Soal Latihan IV V I -

8 Matematika Ekonomi dan Bisnis BABI SIFAt;- SIFAT "MATEMATiKA~EKONOMrDA:t\JBIsNIS. ~ >",. ->,.,-:>.;,,',,'.'1"0 ;-;.< -:'", ""..", :.~~: "'''f',-:.:..~.:, ':$. 'w' ';')<;"'111",-".;.>. ~V-,-'. ",. 1.1 Matematika Ekonomi dan Matematika Murni Matematika adalah kata yang sering kita dengar mulai dari kita di pendidikan yang paling rendah sampai saat ini. Matematika yang kita sering dengar adalah matematika murni seperti penjumlahan, perkalian, pengurangan, pembagian, kuadrat, menghitung bangun ruang, himpunan, logika, aljabar, fungsi, kalkulus, deret hitung, matriks, geometri, trigonometri,serta probabilitas dan lain sebagainya. Tujuan dari bab ini adalah untuk memberikan suatu gambaran dan penjelasan secara umum mengenai sifat-sifat dari matematika ekonomi dan bisnis serta akan di sajikan juga perbedaan antara matematika murni dan matematika terapan dalam bidang ilmu ekonomi yaitu matematika ekonomi dan bisnis. Perbedaan antara matematika murni dengan matematika ekonomi dan bisnis tidak begitu jauh berbeda, karena tanpa memahami matematika murni tidaklah mungkin dapat mempelajari dan memahami matematika ekonomi dan bisnis. Matematika ekonomi merupakan pendekatan yang dipergunakan untuk menganalisis ekonomi dengan menggunakan simbol-simbol matematis untuk memecahkan permasalahan ekonomi serta menggunakan dalil-dalil matematis dan ekonomi dalam menyelesaikan dan menjawab permasalahan ekonomi dan bisnis. Perbedaan pertama adalah bahwa, matematika murni merupakan dasar untuk mempelajari matematika terapan. Namun, tidak semua topik matematika murni mampu memecahkan masalah ekonomi dan bisnis, sehingga dalam mempelajari matematika terapan ekonomi dan bisnis kita harus memilih topik - topik matematika murni yang mampu memecahkan masalah ekonomi dan bisnis, seperti Fungsi Dengan Satu Variabel Bebas, Fungsi Dengan Dua Bilangan Bebas, Fungsi Linier, Fungsi Nonlinier, Fungsi Eksponen, Baris Dan Deret, Kalkulus Diferensial, Kalkulus Integral, dan Matriks. Topiktopik inilah yang penting dalam penerapan ekonomi dan bisnis seperti untuk menentukan harga normal, menentukan harga bila perusahaan melakukan diskriminasi harga, menentukan biaya total, untuk mendapatkan laba maksimum serta biaya minimum dengan kendala dan tanpa kendala,untuk menentukan besarnya konsumsi dan tabungan, untuk menghitng surplus konsumen dan prod us en, dan lain sebagainya. Dengan demikian, kita harus mempelajari dan memahami topiktopik matematika murni, jika tidak akan sulit untuk mempelajari dan memahami matematika terapan. Perbedaan kedua adalah, dalam matematika murni penggunaan simbol - simbol pada variabelnya biasanya menggunakan simbol-simbol matematika yang umum digunakan oleh para ahli matematika, seperti huruf akhir dari abjad alfabet, yaitu X, Y, dan Z. Penggunaan simbol-simbol variabel dalam matematika ekonomi dan bisnis biasanya digunakan para ahli ekonomi sesuai dengan nama variabel ekonominya, misalnya Harga = P (price), Biaya = C (cost), jumlah yang diminta = Q (quantity), dan lain sebagainya. Perbedaan ketiga adalah mengenai penggambaran sumbu harga (P) dalam bidang cartes ius, dimana digambarkan pada sumbu vertikal, yang sebenarnya harus pada sumbu horizontal jika kita mengikuti aturan dari matematika murni, karena variabel P ini adalah variabel bebas.

9 Bab 8. Penerapan Kalku lus Diferensia l dalam Ekonomi dan Bisnis: Fungsi dengan Dua Varia bel Bebas Penyelesaian: I. Optimisasi terkendala dengan substitusi a) X+Y = 46-7 X=46-Y Substitusikan X=46-Y ke dalam persamaan TC TC = 6Xz+ 10Yz-XY + 45 TC = 6(46-YF + 10Yz -(46-Y)Y + 45 TC = 6( Y+YZ)+ 10yz-46Y +yz +45 TC = Y+6Yz +10yz-46Y +yz +45 TC = Y+17Yz Untuk memaksimumkan fungsi TC di atas, maka lakukan turunan pertama TC terhadap Y, dan samakan dengan nol, pecahkan untuk memperoleh nilai Y. ore = 34Y = 0 by y =17.6 Substitusikan Y=17.6 ke dalam fungsi kendala, X+Y = 46-7 X=46-Y, maka X=28.4 Maka perusahaan akan mampu mencapai biaya produksi total apabila mampu memproduksi produk X sebanyak 28.4 dan produk Y sebanyak 17.6 TC minimum adalah 6Xz+ 10Yz-XY + 45 TC min = 6(28.4F+10(17.6)Z-(28.4)(17.6)+45 = = II. Optimisasi terkendala dengan fungsi Langrangian -7,1,(X + Y - 46) TC = 6XZ+ 10YZ-XY + 45+,1,(X + Y - 46) (1) ore = 12X -Y +,1,=0 ox ore = 20Y - X + A, = 0 OY ore = X + Y - 46 = 0... (2) (3)...(4) 0,1, Untuk mendapatkan nilai X, Y dan A I yang meminimalkan TC, maka kita lakukan eliminasi terhadap persamaan 2 dan 3 12X-Y+ A =0 -X +20Y+ A =0-13X-21Y = (5) Matematika Ekonomi dan Bisnis 13X-21 Y = 0 IXll13X-21Y=0 X +Y = 46 I x13 13X + 13Y= Y =-598 Y = 17.6 X +Y = 46, maka X=28.4 Untuk mendapatkan nilai A, maka substitusikan nilai X=28.4 dan Y=28.4 ke dalam persamaan(2) atau (3). 12X - Y +A=O (2) 12 (28.4) =- A A = Nilai A = artinya bahwa penurunan kendala kapasitas output dari 46 menjadi 45 atau kenaikan kendala kapasitas output dari 46 menjadi 47, akan berdampak pada penurunan laba ataupun kenaikan laba perusahaan. Contoh 8.10 Diketahui fungsi produksi Q=KO.3Lo.5 dengan kendala 6K + 2L=384, carilah output maksimum di bawah kendala tersebut. Penyelesaian: Q=K.3 Lo.s+ A (6K+2L-384) JQ = 0.3K-o. 7 LO S + 6,1, = 0 5K JQ = O.5Ko 3 L-o. s + 2,1, = 0 ol JQ = 6K + 2L = 0 0,1, Persamaan (2) dibagi 6 sehingga A = K - O. 7 LO. s Persamaan (3) dibagi 2 sehingga A = K o. 3 L- o (1) (2)... (3) Dengan menyamakan kedua A, maka K-o. 7 Lo. 5 = Ko 3 L- 0 5 Dengan mengalikan kedua ruas dengan K -0 7 Lo. 5 I maka 0.05L=0.25K L=5K Dengan mensubstitusi ke dalam kendala anggaran K=24, dan L=120 Oleh karena itu maka output maksimum K dan L di bawah kendala adalah berturutturut K=24 dan L=24... (4) Untuk memperoleh nilai Y, maka eliminasi X dengan cara persamaan (4) dikalikan 13 dengan Persamaan (5)

10 Bab 8. Penerapan Kalkulus Diferensial dalam Ekonomi dan Bisnis: Fungsi dengan Dua Varia bel Bebas SOAL-SOAL LA TIHAN 1. Jika diketahui pasangan fungsi permintaan untuk produk X dan Y berikut ini: a. Qx=10-2Px+Py dan Qy=6+5Px-2Py b. Qx=14-2Px+Py dan Qy=10+Px-5Py c. Qx=8-4Px+Py dan Qy=14+Px"2Py d. Qx=13-2Px+Py dan Qy=16+Px-2Py e. Qx=10-3Px+Py dan Qy=19+2Px-3Py f. Qx=20-2Px+Py dan Qy=20+Px-2Py g. Qx=30-6Px+Py dan Qy=50+Px-2Py h. Qx=24-2Px+Py dan Qy=10+Px-2Py (a). tentukanlah keempat permintaan marginal parsial (b). tentukanlah keempat fungsi elastisitas permintaan parsial (c). bagaimanakah hubungan dari kedua produk tersebut apakah produk tersebut komplementer, kompetitif, ataukah kedua-duanya? 2. Diketahui Q=1500-2P+0.40Y, di mana P=3400 dan Y=6000. Carilah: a. Elastisitas harga permintaan dan b. Elastisitas penghasilan dari permintaan 3. Diketahui Ql=100 - Pl+0.6P2-0.3P Y. Jika Pl=25; P2=50; P3=60, dan Y= Carilah berbagai elastisitas silang permintaan. 4. Hitung elastisitas parsial dari arang A dan B masing-masing Pa=3; Pb=5 dari fungsi Qa=35-2Pa+ Pb 5. Jika fungsi produksi suatu perusahaan adalah Q=36K0.5Lo.8, hitunglah (a). Jalur ekspansi perusahaan jika harga modal adalah Rp 5 per unit, dan tenaga kerja 7 per unit; (b) saat ini perusahaan sedang memproduksi 150 unit output dengan menggunakan input L=7 dan K=7, apakah ini suatu kombinasi input yang optimum? (c) jika harga tenaga kerja tetap dan biaya modal meningkat menjadi 10, berapakah rasio input yaitu modal dan tenaga kerja sekarang? 6. Jika fungsi produksi suatu perusahaan adalah Q=60Ko.7Lo.15, dengan fungsi produksi marginal masing-masing input. (a). jalur ekspansi perusahaan jika harga modal adalah Rp 9 per unit, dan tenaga kerja 7 per unit; (b) saat ini perusahaan sedang memproduksi 150 unit output dengan menggunakan input L=7 dan K=7, apakah ini suatu kombinasi input yang optimum? (c) jika harga tenaga kerja tetap dan biaya modal meningkat menjadi 10, berapakah rasio input yaitu modal dan tenaga kerja sekarang? Matomotlka ~ 1<o l1 o ml do n Tentukanlah harga dan jumlah barang yang memaksimumkan laba dan carilah laba maksimum dari fungsi permintaa dan fungsi biaya total berikut ini: a. Px = 18-3Qx; Py = 35-7Qy; TC = 10Qx2 + 15Qy b. Px = 28-3Qx; Py = 5-25Qy; TC = 10Qx2 + 10Qy c. Px = 8-3Qx; Py = 15-3Qy2; TC = 10Qx2 + 18Qy2 d. Px = 10-3Qx; Py = 25-5Qy; TC = 10Qx2 + 28Qy e. Px = 38-QX2; Py = 35-7Qy2; TC = 10Qx2 + 8Qy 8. Jika fungsi produksi suatu barang yang membutuhkan dua input adalah 10Q = 40 _ (K-8)2-(L-4)2, dan jika harga input K=9, input L=5, serta harga output Q = 16, carilah laba maksimum. 9. Fungsi produksi suatu barang yang membutuhkan dua input adalah 30Q = 20 -(K- 2)2_(L-3)2, dan jika harga input K=4, input L=5, serta harga output Q = 24, carilah lab a maksimum. 10. Fungsi produksi suatu barang yang membutuhkan dua input adalah Q = 5-~ KL dan jika harga input K=6, input L=15, serta harga output Q = 24, carilah laba maksimum. 11. Fungsi produksi suatu barang yang membutuhkan dua input adalah Q = 5 - ~ - 2 dan jika harga input K=4, input L=7, serta harga output Q = 24, K L2 carilah laba maksimum. 12. Fungsi produksi suatu barang yang membutuhkan dua input adalah Q = 5 7_ K2L2 dan jika harga input K=6, input L=15, serta harga output Q = 24, carilah laba maksimum. 13. Diketahui suatu perusahaan memproduksi dua jenis barang yaitu x dan Y serta fungsi biaya total TC=4X2+8Y2_4XY-40X+200. Carilah (a) biaya minimum; (b) buktikan apakah TC tersebut minimal atau tidak; (c)hitunglah TC minimum dengan mensubstitusikan nilai X dan Y. 14. Fungsi Laba perusahaan RAMAYANA n=34x-2x2-4xy-3y2=30y-38. Carilah (a) laba maksimummum; (b) buktikan apakah laba tersebut maksimum atau tidak; (c) hitunglah laba maksimum tsb dengan mensubstitusikan nilai X dan Y. 15. Jika fungsi produksi suatu perusahaan yang menggunakan kombinasi dua macam input yaitu tenaga kerja dan modal adalah Q=45Ko.3Lo.7 dan harga dari setiap input K =w=rp.150; dan L=5=Rp Dana yang disediakan perusahaan untuk membeli dua input adalah C= Tentukanlah jumlah tenaga kerja dan modal yang harus digunakan perusahaan agar output maksimuml berapakah tingkat output maksimum terse but?

11 Bab 8. Penera pan Kal kulus Diferensial dalam Ekonomi dan Bisnis: Fungsi dengan Dua Varia bel Bebas Matematika Ekonomi dan Bisnis 16. Jika fungsi produksi suatu perusahaan yang menggunakan kombinasi dua macam input yaitu tenaga kerja dan modal adalah Q=45Ko.3Lo.7 dan harga dari setiap input K =w=rp.450; dan L=5=Rp Dana yang disediakan perusahaan untuk membeli dua input adalah C= Tentukanlah jumlah tenaga kerja dan modal yang harus digunakan perusahaan agar output maksimum1 berapakah tingkat output maksimum tersebut? DAFTAR BACAAN Chiang C. Alpha dan Wainwrigh Kevin Dasar-Dasar Matematika Ekonomi, Penerbit Erlangga, Jakarta Dowling T. Edward Matematika untuk Ekonomi, Cetakan Kedua, Penerbit Erlangga, Jakarta Dumairy Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Cetakan Pertama, BPFE-Yogyakarta. Kalangi Bintang Josep Matematika Ekonomi dan Bisnis, Edisi Pertama, Jilid Pertama dan Kedua, Penerbit Salemba Empat, Jakarta. Salvatore, Dominick Ekonomi Manajerial dalam Perekonomian Global, Edisi Kelima, Buku 1, Salemba Empat, Jakarta. Simamora Tuana Matematika Ekonomi, Fakultas Ekonomi Universitas Sumatera Utara, Medan Weber, E. Jean Mathematical Analysis: Business and Economics Application, Fourth Edition, Edition, New York: Harper & Row, Publisher, Inc