Prosiding FMIPA Universitas Pattimura 2013 ISBN:

Transkripsi

1 Prosiding FIPA Universitas Pattimura 13 ISB: AALISA KESABILA ODEL AEAIKA KEOERAPI KAKER Stility Analysis of athematical odels of ancer hemotherapy Yopi Andry Lesnussa, Salmon oce Aulele Jurusan atematika, FIPA Universitas Pattimura Jln. Ir.. Putuhena, Kampus Poka Ambon ABSRAK Analisa kestilan dari suatu model matematika merupakan salah satu bagian penting dari untuk mempelajari kedinamikan suatu sistem. Salah satu penerapannya yaitu pada model matematika kemoterapi kanker, dimana analisa kestilan dari model matematika kemoterapi kanker bertujuan untuk menyelidiki jenis kestilan dari titik-titik tetap pada setiap variel dalam model kemoterapi, sehingga dapat diketahui kapan setiap variel atau komponen-komponen titik tetap dari populasi sel kanker, populasi sel effektor-immun, populasi sel limfosit dan konsentrasi kemoterapi mencapai titik kestilan (equilibrium). Penyelesaian model kemoterapi kanker dimulai dari proses linearisasi model dan dilanjutkan dengan mencari titik tetap, matriks Jacobian, dan nilai eigen sehingga dapat ditentukan jenis kestilan dari setiap titik tetap. Kata kunci: odel matematika Kemoterapi kanker, itik tetap, Analisa titik kestilan, Jenis kestilan PEDAHULUA eori kestilan merupakan salah satu bagian penting dari sistem dinamik yang dikembangkan oleh Aleksander ikhailovich Lyapunov dalam disertasi doktornya. Lyapunov juga mengembangkan metode umum untuk analisis kestilan dari suatu kesetimbangan, yang dikenal dengan Lyapunov Direct ethod (he Second ethod of Lyapunov) dan he Indirect ethod of Lyapunov (First ethod). Penelitian lebih lanjut tentang teori kestilan dibahas tentang sifat-sifat kestilan dari suatu sistem yang digambarkan oleh suatu persamaan diferensial non-linier. Sistem dinamik membahas tentang penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan diferensial baik yang linier maupun nonlinier. Selain Lyapunov penelitian tentang teori kestilan juga dilakukan oleh Lagrange, sehingga muncul banyak konsep kestilan dari Lyapunov maupun Lagrange yang meliputi kestilan, kestilan seragam dan keterbatasan. Sistem dinamik sendiri erat kaitannya dengan bidang pemodelan, dimana untuk memodelkan suatu sistem ke dalam model matematika yang berupa persamaan diferensial, selalu dilakukan analisa kestilan dari model tersebut. Konstruksi model matematis dari suatu fenomena dalam bidang matematika biologi merupakan hal yang sangat penting, salah satunya yaitu kemoterapi kanker. Sebagai salah satu penyakit yang mematikan, kanker disebkan oleh pertumbuhan atau pembelahan sel-sel jaringan tubuh yang tidak normal, yang berkembang dengan cepat, tidak terkendali, dan akan terus membelah diri. Penyakit kanker dapat disebkan oleh beberapa faktor, antara lain : virus, kecanduan rokok, radiasi sinar ultraviolet, zat kimia, makanan berlemak, faktor keturunan dan lain-lain (acdonald, dkk., 5). Dalam bidang pemodelan matematika, khususnya matematika kedokteran, fenomena kemoterapi kanker dapat diselesaikan dengan mengkonstruksi suatu model matematis dari gejala-gejala fisis suatu proses kemoterapi kanker. odel matematis dapat dianalisis untuk mencari nilai titik tetap, matriks Jacobian, nilai eigen dan menentukan jenis kestilannya. odel matematis dari proses kemoterapi kanker ini juga dapat membantu mempelajari lebih mendalam tentang karakteristik dan dinamika penyakit kanker. 144

2 Prosiding FIPA Universitas Pattimura 13 ISB: EODE PEELIIA etode yang digunakan dalam penelitian ini yaitu studi literature atau kajian pustaka dan pengumpulan referensi mengenai teori-teori yang mendukung penyelesaian penelitian ini, antara lain : a. odel matematika dari kemoterapi kanker b. Sistem dinamik dan teori kestilan Adapun beberapa tahapan penelitian yang akan dilakukan dalam penelitian ini yaitu: a. engidentifikasi dan menganalisis masalah engumpulkan referensi tentang karakteristik penyakit kanker yang meliputi jenisjenis kanker, penyeb kanker, alternatif pengobatannya seperti kemoterapi dan imunoterapi serta mengkaji dan menguraikan beberapa landasan teori tentang sistem dinamik dan teori kestilan dan kajian pustaka mengenai penelitian sebelumnya yang berkaitan dengan masalah yang diteliti. b. enentukan model matematika dalam kemoterapi kanker Setelah melakukan pengumpulan referensi serta teori pendukung dan uraian kajian pustaka, didesain atau dicari model matematika dari kemoterapi kanker dan menganalisis modelnya. c. enentukan dan menghitung titik tetap dan jenis kestilan model enghitung dan mencari titik tetap, matriks Jacobian dan nilai eigen sehingga dapat diperoleh jenis titik kestilan dari model matematika. HASIL DA PEBAHASA odel atematika Kemoterapi Kanker Komponen-komponen dalam odel matematika kemoterapi kanker yang akan dibahas meliputi komponen sistem kekebalan tubuh, konsentrasi obat dan populasi sel kanker. odel dari sistem kekebalan tubuh yang dimaksud terdiri dari sel limfosit dan sel effektor-immun. Sel limfosit merupakan salah satu bagian dari leukosit (sel darah putih) yang bersikulasi dalam darah dan limfa serta berfungsi mengawasi atau menekan peningkatan kerusakan sel akibat efek samping kemoterapi, sedangkan sel effektor-immun secara aktif berfungsi membunuh sel kanker (sel tumor ganas). odel dari sel limfosit dianggap mewakili ukuran kesehatan pasien yaitu sebagai pengganti populasi sel normal. Sehingga setiap komponen dari model matematika yang akan dibahas dalam penelitian ini dinotasikan sebagai berikut : t : Populasi sel kanker t t t : Populasi sel effektor-immun : Populasi sel limfosit : Konsentrasi obat kemoterapi Setiap komponen dari model matematika dimaksud saling mempengaruhi dan berkaitan satu sama lain dalam waktu (t). Setiap tiap komponen dari notasi diatas merupakan suatu sistem dari persamaan differensial yang menggambarkan pertumbuhan, kematian, dan interaksi dari masing-masing populasi sel dengan pengobatan kemoterapi yang diberikan oleh model matematika (de Phillis dkk, 7), sebagai berikut : d a 1 b c1 K dt 1.1 d 1 f g p K 1. dt h d K dt

3 Prosiding FIPA Universitas Pattimura 13 ISB: d V t dt 1.4 Setiap model matematika atau sistem dinamik diatas memiliki kondisi awal (initial condition) secara umum, sebagai berikut : =, = =, Dimana setiap kondisi awal bernilai positif. Analisa itik Kestilan = odel matematika yang diberikan oleh persamaan 1.1 sampai persamaan 1.4, dapat dianalisa perilaku dinamiknya yaitu dengan menghitung titik tetapnya dan menentukan karakteristik stilitasnya. Jika V t adalah suatu konstanta yang bernilai V t V. Agar konsentrasi obat mencapai titik setimbang atau titik stasioner, maka, dan ketika V mencapai nilai optimal, maka persamaan 1.4 dapat diperoleh : V t, V t, V V V t V V 1.5 Substitusi nilai ke persamaan 1.3, diperoleh : K, K V K K V K V 1.6 K V Pada saat populasi sel kanker mencapai titik stasioner, persamaan 1.1 dapat dicari titik tetapnya, diperoleh : a b c K, a 1 b c K a 1 b c K a 1 b c K atau 1 Dari perhitungan di atas dapat diperoleh pembuat nol, yaitu a 1 b c K, dari pembuat nol ini, diperoleh titik tetap yaitu : dan a 1 b c K atau 146

4 Prosiding FIPA Universitas Pattimura 13 ISB: a c1 K a c1 K a c1 K 1.8 Untuk nilai titik tetap, berarti bahwa populasi sel kanker setelah diberikan pengobatan kemoterapi diharapkan akan menuju pada nilai minimum ( ), sedangkan untuk a c1 K menandakan bahwa populasi sel kanker mencapai jumlah maksimum atau tanpa proses pengobatan. Pada saat pada persamaan 1.7, ini berarti bahwa terdapat suatu titik keseimbangan (equilibrium), sehingga jika disubstitusikan pada persamaan 1., diperoleh : 1 f g p K h, V 1 f g p K h V 1 f K V 1 f K f K V 1 1 f K V f K V Dari operasi aljar sederhana untuk setiap komponen model di atas, diperoleh nilai-nilai dari,,, pada persamaan , dan 1.9. itik-titik tetap ini apila titik tetap disubstitusi dengan estimasi nilai parameter dan dengan mengasumsikan nilai V (tidak ada pengobatan) dan V 1 (ada pengobatan), dan, maka dapat diperoleh nilai riil atau eksak dari titik-titik tetap setiap komponen model. Selanjutnya akan dihitung nilai titik tetap untuk nilai V dan pembuat nol lainnya 1 1 a 1 b c K atau, sebagai berikut : a c K Substitusi V ke persamaan 1.4, diperoleh : V t Substitusi nilai ke persamaan 1. dan 1.3, diperoleh : 1 f g p K h 1 g f p h Dan K

5 Prosiding FIPA Universitas Pattimura 13 ISB: Setelah diperoleh pada persamaan 1.1, substitusi ke persamaan pembuat nol, diperoleh : a1 b c1 K g a 1 b f p 1 c1 h a 1 b f p h g c h 1 1 a f h f h p p g c h c Persamaan diatas apila disubstitusi estimasi nilai parameter, diperoleh nilai titik tetap, untuk mempermudah perhitungan untuk mendapatkan nilai digunakan software aplikasi aple versi 1.. Analisa Jenis Kestilan Dari persamaan titik tetap dan 1.9, yang dihitung sebelumnya dapat ditentukan jenis kestilan untuk setiap komponen titik tetapnya. Untuk menentukan jenis kestilan titik tetap, dicari nilai eigen dari matriks Jacobian berdasarkan definisi matriks Jacobian, sebagai berikut : f f f f f f f f J f f f f f f f f a c1 K c1 K h p g f p K g K J h h K K Dengan mensubstitusi nilai, dapat diperoleh matriks : a c1 K p f K K J K K Karena sebagian besar elemen-elemen diatas dan dibawah diagonal utama matriks bernilai, maka untuk mempermudah penyelesaiannya, bentuk matriks diatas dapat dipartisi ke dalam bentuk matriks ordo x, sehingga terdapat 4 matriks bagian yaitu J 11, J 1, J 1, J, sebagai berikut : J11 J1 J J1 J 148

6 Prosiding FIPA Universitas Pattimura 13 ISB: a c1 K p f K K J K K Dari matriks diatas dapat dicari nilai eigen untuk setiap matriks hasil partisinya, melalui persamaan Jmn ei, berikut nilai eigen yang diperoleh dari matriks J 11, sebagai berikut : Jmn ei a c1 K e1 p f K e a c K e 1 1 p f K e a c K e f K e a c K e atau f K e Dari persamaan diatas dapat diperoleh nilai eigen, sebagai berikut : e a c K e f K Untuk matriks bagian J1 dan J 1, sebagian besar elemennya bernilai, maka J1 dan J1. Sedangkan dari matriks bagian J dapat diperoleh nilai eigen, sebagai berikut : J ei K K e3 e 4 K e K 3 e K e e K e atau 3 aka diperoleh nilai eigen : e K Substitusi titik-titik tetap,,, persamaan dan 1.9 pada nilai-nilai eigen hasil perhitungan dari matriks J, sehingga dapat diperoleh nilai eigen hasil substitusi sebagai berikut : c1 1 KV e1 a 5.16 f K V K V e f 5.17 KV e

7 Prosiding FIPA Universitas Pattimura 13 ISB: Dengan semua nilai parameternya bernilai positif (el 1), maka e, e3, bernilai negatif. Dengan demikian, agar titik kesetimbangan,,, dikatakan stil asimtotik maka nilai e1 juga harus bernilai negatif. Sehingga e1 harus memenuhi : c1 1 K V a f K V 1. ilai-nilai parameter di atas jika disubstitusi dengan menggunakan estimasi nilai parameter, maka nilai e1 memenuhi pertidaksamaan 1.. Sehingga dapat dikatakan bahwa semua nilai eigen e1, e, e3, bernilai negatif dan dikatakan stil asimtotik. KESIPULA Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah diuraikan maka dapat disimpulkan bahwa : 1. Variel atau komponen-komponen dalam model matematika kemoterapi kanker yang meliputi populasi sel kanker, populasi sel effektor-immun, populasi sel limfosit dan konsentrasi obat kemoterapi saling mempengaruhi satu dengan yang lain.. Populasi sel kanker akan semakin berkurang atau menurun menuju ke titik terendah atau dikatakan mencapai titik kestilan (equilibrium), yaitu pada saat titik tetap. Sedangkan untuk nilai variel V 1 (diasumsikan ada pengobatan) dapat diperoleh nilai-nilai titik tetap,,, yang stil. 3. ilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobian untuk setiap titik tetap,,, semuanya bernilai negatif, sehingga jenis kestilan dari titik tetap dikatakan stil asimtotik. DAFAR PUSAKA Afenya, E., athematical odel of ancer and their Relevant Insights. athematical Biology and edicine. 9: de Phillis, L.G., Gu, W., Fister, K.R., Head,., aples, K., urugan, A., eal,. dan Yoshida, K., 7. hemoterapy for umors: an Analysis of the Dynamics and a Study of Quadratic and Linear Optimal ontrol. athematical Biosciences. 9: de Pinho,.R., Ferreira,.., Ledzewicz, U. dan Schaettler, H., 5. A odel for ancer hemoterapy with State-Space onstrains. onlinear Analysis. 63: e591-e6. Itik,., Salamci,.U. dan Banks, S.P., 9. Optimal ontrol of Drug herapy in ancer reatment. onlinear Analysis. 71 (1): e1473-e1486. acdonald, F., Ford.H.J. dan asson A.G., 5. olecular Biology of ancer, Second Edition. Garland Science/BIOS Scientific Publishers. London. artin, R.B., 199. Optimal ontrol Drug Scheduling of ancer hemoterapy. Pergamon Press Ltd, Automatica. 8: atveev, A.S. dan Savkin, A.V.,. Application of Optimal ontrol heory to Analysis of ancer hemoterapy Regimens. Sistems & ontrol Letters. 46: Pinky, D., Vivek, D. dan Pistikopoulos, E.., 8. Optimal Delivery of hemotherapeutic Agents in ancer. omputers and hemical Engineering. 3: Preziosi, L., 3. ancer odeling and Simulation. hapman & Hall / R athematical Biology and edicine. ew York. 15