Model Pertumbuhan Hidup Nyamuk Aedes Aegypti

Transkripsi

1 Program Studi Matematika FMIPA UAD Abstrak Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui pemodelan matematika mengenai pertumbuhan siklus nyamuk aedes aegypti. Model matematika mengenai pertumbuhan nyamuk aedes aegypty pada penulisan ini terdapat 3 tahap (telur, larva dan nyamuk dewasa). Hasil dari analisis diperoleh dua titik equilibrium yaitu pada keadaan tidak ada pertumbuhan dan keadaaan yang terdapat pertumbuhan. Hasil simulasi yang diperoleh dengan menggunakan metode euler yaitu pada saat parameter batasannya kurang dari 1 (z < 1) diperoleh keadaan yang menunjukkan tidak ada pertumbuhan sehingga menyebabkan tidak ada keadaan endemik dan pada saat parameter batasannya lebih dari 1 (z > 1) diperoleh keadaan yang menunjukkan ada pertumbuhan sehingga menyebabkan keadaan endemik. 1. Pendahuluan Salah satu penyakit yang masih mewabah di Indonesia setiap tahunnya adalah penyakit Demam Berdarah Dangue (DBD). Sampai sekarang DBD masih merupakan masalah kesehatan masyarakat dan masih banyaknya laporan mengenai meninggalnya penderita karena kurang cepat ditangani (Gandahusada, dkk. 2000). Penyakit ini disebabkan oleh nyamuk Aedes Aegypti yang menularkan virusnya ke manusia. Cara penularannya adalah setiap kali nyamuk menghisap darah maka nyamuk segera mengekskresikan air liurnya yang mengandung zat anti pebekuan darah supaya darah bisa dihisap termasuk darah yang mengandung virus dangue, infeksi virus dangue dalam tubuh nyamuk dapat mengakibatkan perubahan prilaku pada peningkatan kompetensi nyamuk yaitu kemampuan nyamuk menyebarkan virus. Penyakit DBD ini tidak punya pengobatan ataupun vaksin,sehingga salah satu cara untuk mencegah atau mengurangi proses transmisi virus dangue dengan bergantung pada pengontrolan utama nyamuk (Moulay, 2012). Pengontrolan nyamuk Aedes aegypti dapat dilakukan dengan mengetahui dinamika pertumbuhan nyamuk tersebut. Karena dengan mengetahui dinamika nyamuk tersebut kita bisa menggambarkan atau memprediksi pertumbuhan atau penurunan populasi dari nyamuk tersebut sehingga berguna untuk pengontrolan nyamuk tersebut. Aplikasi matematika yang dianggap berkembang sangat pesat adalah aplikasi matematika dalam bidang biologi. Permasalahan biologi dapat ditransformasikan dalam model matematika dengan menggunakan beberapa asumsi. Salah satu aplikasi matematika dalam bidang biologi adalah model pertumbuhan yaitu model matematika. Sehingga pertumbuhan nyamuk dapat dimodelkan kedalam bentuk matematika. 105

2 2. Perumusan Model Dalam penelitian ini tahapan larva dan pupa tidak akan dibedakan karena tahapan ini merupakan tahapan yang sama. Sehingga ada 3 tahapan pada pertumbuhan siklus nyamuk ini yaitu laju pertumbuhan telur yang dinotasikan dengan E(t) kemudian larva yang dinotasikan dengan L(t) dan nyamuk dewasa dinotasikan dengan A(t). a. Telur Pada tahapan telur laju pertumbuhannya dipengaruhi oleh jumlah nyamuk dewasa yang bertelur. Kemudian berkurang karena perubahan telur menjadi larva Pertumbuhan telur juga berkurang karena kematian alami dari telur itu sendiri. b. Larva Pada tahapan ini laju pertumbuhannya dipengaruhi oleh pertumbuhaan telur yang menjadi larva kemudian berkurang karena perubahan larva menjadi nyamuk aedes aegypti dewasa. Laju pertumbuhan larva juga berkurang karena kematian dari larva itu sendiri. c. Nyamuk Pada tahapan nyamuk laju pertumbuhannya dipengaruhi oleh pertumbuhan larva yang menjadi nyamuk dewasa kemudian berkurang karena kematian alami dari nyamuk. Nyamuk yang bertelur tidak akan menyebabkan berkurangnya laju pertumbuhan nyamuk tersebut. Dibawah ini merupakan diagram yang menggambarkan siklus hidup nyamuk aedes 106

3 aegypti Dari deskripsi di atas dapat diformulasikan siklus hidupnya ke dalam model matematika: 1) Laju pertumbuhan telur Parameter b menunjukkan rata-rata banyaknya telur dari nyamuk aedes aegypti. Jumlah telur akan berkurang karena adanya pertumbuhan telur yang menjadi larva yang dinyatakan dengan r. Selain Pertumbuhan telur yang menjadi larva jumlah telur akan berkurang karena kematian alami dari telur itu sendiri yang dinyatakan dalam d. Sehingga model matematika yang dapat dibentuk adalah sebagai berikut: 2) Laju pertumbuhan larva de dt = ba re de Pada pertumbuhan larva, jumlah populasi larva akan bertambah dari telur yang menjadi larva yang dinyatakan dalam r. Kemudian larva akan menjadi nyamuk yang menyebabkan jumlah populasi larva berkurang dinyatakan dengan. Selain itu populasi larva juga berkurang karena kematian alami larva yang dinyatakan dengan parameter. Model laju pertumbuhan larva adalah sebagai berikut: 3) Laju pertumbuhan nyamuk dl dt = re r L d L Jumlah populasi nyamuk bertambah dari pertumbuhan larva yang berkembang menjadi nyamuk yaitu r dan populasinya berkurang karena kematian nyamuk yang dinyatakan dengan d. Sehingga laju pertumbuhannya dinyatakan sebagai berikut: da dt = r L d A Namun model pertumbuhan pada siklus nyamuk ini didasarkan pada asumsi bahwa populasi bertambah dengan laju yang sebanding dengan besarnya populasi. Asumsi ini masuk akal untuk kondisi ideal yaitu lingkungan tak terbatas, nutrisi yang mencukupi tidak adanya pemangsa dan lain-lain. Dalam kenyataanya suatu lingkungan memiliki sumber daya yang terbatas. Dalam penelitian ini diasumsikan bahwa populasi dibatasi oleh ketersediaan makanan yang ada di air. Sehingga pada tahapan larva yang berada di air akan dibatasi. Sehingga model pertumbuhannya menjadi re 1 L K Jadi model populasi dibentuk dari siklus nyamuk sebagai berikut: = ba re de 107

4 Keterangan: E : Telur L : Larva/ Pupa A : Nyamuk dewasa = re 1 r L d L = r L d A b : rata-rata banyaknya telur yang dihasilkan dari nyamuk betina r : rata-rata banyaknya telur yang menjadi larva r :rata-rata banyaknya larva yang menjadi nyamuk dewasa d : tingkat kematian telur d : tingkat kematian larva d : tingkat kematian nyamuk dewasa K : ketersediaan makanan (jumlah protozoa) 3. Analisis Model Salah satu masalah yang penting dalam dalam pemodelan adalah analisis dinamika sistem persamaan diferensial nonlinear. Pertama tentukan titik equilibrium model. Titik equilibrium memenuhi persamaan-persamaan 0 = ba re de 0 = re 1 r L d L 0 = r L d A Diperoleh dua titik equilibrium,yaitu titik yang menunjukkan tidak adanya pertumbuhan yaitu X = (E, L, A ) = (0,0,0)dan titik adanya pertumbuhanx = (E, L, A ) ( ), K 1, Dalam model ini digunakan parameter batasan yang dibentuk dari perkembangan siklus nyamuk yaitu perkembangan dari telur, larva dan kemudian nyamuk. Perkembangan telur diperoleh dari rata-rata banyaknya telur yang dihasilkan dikalikan dengan usia hidup dari telur itu, perkembangan larva diperoleh dari rata-rata banyak nya larva dikalikan dengan usia hidup dari larva. Sedangkan perkembangan nyamuk diperoleh dari rata-rata banyaknya nyamuk dikalikan dengan usia hidup nyamuk. Sehingga parameter batasan yang dibentuk dari masa hidup nyamuk ini adalah sebagai berikutz =. 108

5 Selanjutnya dicari kestabilan dari titik keseimbangan.kestabilan dari suatu titik equilibrium dapat dilihat dari nilai eigennya. Nilai eigen sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan determinan dari matriks Jacobi. Matriks Jacobi pada titik equilibrium yang menunjukkan tidak adanya pertumbuhan λ + (r + d) 0 b r λ + (r + d ) 0 0 r λ + d Maka didapat nilai eigen dari J berupa persamaan karakteristiknya q(λ) = λ + aλ + bλ + c Dimana a = (r + d) + (r + d ) + d b = (r + d)(r + d ) + (r + d)d + (r + d )d c = d (r + d)(r + d )(1 z) Dengan menggunakan kriteris Routh Hurwitz diperoleh nilai determinan yang positif Matriks Jacobi pada titik equilibrium yang menunjukkan adanya pertumbuhan (r + d) 0 b r J = (r z + d ) z z 0 r d Maka didapat nilai eigen dari J berupa persamaan karakteristiknya Dimana q(λ) = λ + aλ + bλ + c a = y + y + y a = (r + d) + (r + d ) z 1 1 z d b = y y + y y + y y b = (r + d)(r + d ) z 1 1 z (r + d)d + z(r + d ) 1 1 z d c = y y y y y y c = (r + d)(r + d ) z 1 1 z + 1 d b r z d Dengan menggunakan kritetris Routh Hurwitz diperoleh nilai determinan yang positif. 4. Simulasi Numerik Berikut diberikan parameter untuk simulasi numerik dari model ini 109

6 1. Simulasi pada saat titik equilibriumnya X 0 = (E 0, L 0, A 0 ) = (0, 0, 0) yaitu tidak adanya pertumbuhan Pada simulasi ini menggunakan nilai awal E(0) = 25, L(0) = 10, A(0) = 12 Gambar : Grafik laju pertumbuhan Telur, Larva, Nyamuk dengan b = 0. 5, r = 0. 19, r l = 0. 3, d = 0. 47, d l = 0. 45, K L = 100, d a = 0. 09, z =

7 Dari parameter tersebut diperoleh titik kesetimbangan telur, larva dan nyamuk berturut turut adalah Dari gambar di atas dapat dilihat: Laju pertumbuhan telur mengalami penurunan hal ini disebabkan karena laju kematian yang besar kemudian penurunan populasi telur disebabkan oleh telur yang berubah jadi larva. Populasi ini akan terus berkurang hingga menuju titik kesetimbangannya dan kemudian stabil padat. Pada populasi tersebut sudah tidak terjadi penambahan populasi telur. Laju pertumbuhan Larva mengalami penurunan karena tingkat kematian larva lebih besar dan perubahan telur yang menjadi larva lebih sedikit dari laju perubahan larva menjadi nyamuk dan terus menurun hingga menuju titik kesetimbangannya dan kemudian stabil pada t. Laju pertumbuhan Nyamuk mengalami kenaikan dikarenakan laju perubahan larva menjadi nyamuk sangat besar kemudian mengalami penurunan dikarenakan kematian kemudian terus menurun menuju titik kestabilannya. 2. Simulasi pada saat titik equilibriumnya X 1 = (E 1, L 1, A 1 ) = zk L (r ld l )1 1 z, K L 1 1, K Lr l 1 1 z yaitu adanya z r pertumbuhan Pada simulasi ini menggunakan nilai awal yaitue(0) = 50, L(0) = 40, A(0) = 5 d a Gambar : Grafik Laju pertumbuhan Telur, Larva, Nyamuk dengan b = 0. 5, r = 0. 5, r l = 0. 5, d = 0. 4, d l = 0. 4, d a = 0. 09, d a = 0. 09, K l = 100, z =

8 Dari parameter tersebut diperoleh titik kesetimbangan telur, larva dan nyamuk berturut turut adalah ( , , ) Dari gambar di atas dapat dilihat : Laju pertumbuhan telur mengalami penurunan pada awalnya karena laju kematian telur yang besar tapi kemudian mengalami kenaikkan karena populasi nyamuk yang meningkat. Populasi ini akan terus naik hingga menuju titik kesetimbangannya dan kemudian stabil pada t. Pada populasi ini sudah tidak terjadi penambahan populasi telur. Laju pertumbuhan Larva mengalami penurunan pada awalnya dikarenakan tingkat kematian larva yang besar tapi kemudian mengalami kenaikkan karena jumlah telur yang berubah menajdi larva meningkat.populasi iniakan terus meningkat sehingga mencapai titik kesetimbangannya dan populasi akan mengalami kestabilan. Laju pertumbuhan Nyamuk mengalami kenaikan dikarenakan laju perubahan larva yang besar sedangkan tingkat kematiannya kecil. Populasi ini mengalami kenaikkan hingga mencapai titik kestabilannya. 5. Kesimpulan Dalam model matematika pertumbuhan nyamuk ini terdapat 3 model yaitu model pertumbuhan untuk tahapan telur, larva dan nyamuk. Pada model digunakan parameter batasan yang diperoleh dari rata-rata pertumbuhan telur, larva dan nyamuk yaituz = dimana kondisi parameter batasan ini menunjukkan keberadaan endemik di suatu populasi. Analisis model menghasilkan dua titik equilibrium yaitu titik equilibrium yang menunjukkan tidak ada pertumbuhanx = (0,0,0) dan ada pertumbuhan X = ( ), K 1,. Hasil simulasi yang diperoleh jika nilai parameter batasannya sangat kecil (z 1) maka didapat titik equilibrium yang menunjukkan tidak ada pertumbuhan. Artinya, pada model tersebut setelah beberapa waktu, populasi akan habis dan tidak ada endemik sehingga sangat kecil kemungkinan terkena DBD. Sedangkan untuk nilai parameter batasan yang besar (z > 1) didapat titik equilibrium yang menunjukkan adanya 14 pertumbuhan. Artinya, pada model tersebut populasi meningkat dan kemudian laju pertumbuhannya berhenti ketika mendekati titik kesetimbangannya. Pada kondisi ini terdapat keadaan endemik sehingga beresiko tinggi terkena DBD. Pengontrolan nyamuk dapat dilakukan dengan memperkecil nilai parameter batasan. Misalnya mengeringkan tempat bertelur yang dapat meningkatkan kematian telur dan larva sehingga pertumbuhan nyamuk berkurang dan tidak terjadi endemik. 112

9 6. Daftar Pustaka [1] Anton, Howard dan Chris Rorres Penerapan Aljabar Linear.Erlangga. Jakarta. [2] Burden,Richard dan J.Doughlas Faires.2001.Numerical Analysis seventh Edition.Wadsworth Group.United State of America. [3] Christoper.S.R Aedes aegypty The Yellow Fever Mosquito.Cambridge University Press. London [4] Finizio, N., Ladas, G., Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, Edisi kedua, terjemahan Dra. Widiarti Santoso, Jakarta : Erlangga. [5] Ginanjar,genis.2008.Demam Berdarah: A Survival Guide B-First. (PT. Bentang Pustaka) Anggota IKAPI. [6] Gandahusada.S.Herry dan Pribadi W.2000.Parasitologi Kedokteran(ed 3). Fakultas Kedokteran Indonesia.Jakarta. [7] Hamzah, amir.2010.populasi nyamuk aedes aegypti. Institut Teknolgi Bandung. [8] Huntley, ian & Jhonson Roy Michael Linear and Nonlinear Diferential Equation. New York : Elis Horwood Ltd. [9] Moulay,djamila, M.A. Aziz-Alaoui, dan M. Cadivel The chikungunyah disease: Modeling, vector and transmission global dynamics. Mathematical Biosciences 229 (2011) [10] Moulay,djamila, M.A. Aziz-Alaoui, dan Hee-Dae Kwon Optimal Control of Chikungunya Disease:Larvae Reduction, Treatment and Prevention. Mathematical Biosciences and Engineering Volume 9, Number 2. [11] Mukhsar.2009.Model Pertumbuhan Nyamuk.Universitas Haluoleo: Kendari. [12] Pinho, dll.2010.modelling the dynamics of danguereal epidemics. Mathematical physical and Engineering science.the philosophical transaction of the royal society. [13] Ross, SL Diferential Equation. New York : J.Wiley [14] Rahmawati, Dian Perkembangan Nyamuk Aedes Aegypti. IPB: Bogor [15] Soedarmo, SSP.1998.Demam Berdarah (Dangue) pada Anak.Universitas Indonesia: Jakarta 113