PENENTUAN NILAI ASET AKTUARIA PADA PENDANAAN PENSIUN DENGAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL DAN ARITMATIKA DESYI CHRISTIA

Transkripsi

1 PENENTUAN NILAI ASET AKTUARIA PADA PENDANAAN PENSIUN DENGAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL DAN ARITMATIKA DESYI CHRISTIA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Aset Aktuaria pada Pendanaan Pensiun dengan Metode Pemulusan Eksponensial dan Aritmatika adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor Bogor, Agustus 2013 Desyi Christia NIM G

4 ABSTRAK DESYI CHRISTIA Penentuan Nilai Aset Aktuaria pada Pendanaan Pensiun dengan Metode Pemulusan Eksponensial dan Aritmatika Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI Penentuan besarnya kontribusi yang tepat dan stabil untuk peserta pensiun merupakan suatu masalah yang dihadapi oleh suatu program dana pensiun Salah satu cara untuk mengurangi ketidakstabilan kontribusi tersebut adalah dengan melakukan penilaian pendanaan terhadap suatu program pensiun yaitu dengan menggunakan nilai rata-rata dari nilai pasar aset dalam jangka pendek Nilai aset inilah yang disebut dengan nilai aset aktuaria Terdapat tiga metode yang umumnya digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria yaitu Average of Market, Deferred Recognition, dan Write-Up Dalam karya ilmiah ini hanya penilaian dalam pendanaan pensiun saja yang akan dibahas dan akan ditunjukkan bahwa ketiga metode ini ekuivalen baik berdasarkan pemulusan eksponensial maupun aritmatika dengan nilai ragam yang sama yaitu sebesar berdasarkan pemulusan eksponensial dan berdasarkan pemulusan aritmatika Kata kunci: aset, kerugian, penghitungan aktuaria, pemulusan ABSTRACT DESYI CHRISTIA Calculating the Actuarial Assets of the Retirement Funding with Exponential and Arithmetic Smoothing Methods Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI Calculating the precise and stable contribution to a pension is a necessary in planning a pension One way to reduce volatility this contribution is to conduct an assessment of the funding of the pension plan using the average value of the market value of assets in the short term This value of the assets is called the actuarial value of assets There are three methods commonly used in calculating the actuarial value of assets; Average of Market, Deferred Recognition and Write- Up This paper discusses the pension funding valuation and it shows that all three methods are equivalent on exponential and arithmetic smoothing with the same variance that is equal to for exponential smoothing and for arithmetic smoothing Keywords: actuarial valuation, asset, loss, smoothing

5 PENENTUAN NILAI ASET AKTUARIA PADA PENDANAAN PENSIUN DENGAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL DAN ARITMATIKA DESYI CHRISTIA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

6

7 Judul Skripsi : Penentuan Nilai Aset Aktuaria pada Pendanaan Pensiun dengan Metode Pemulusan Eksponensial dan Aritmatika Nama : Desyi Christia NIM : G Disetujui oleh Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Pembimbing I Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II Diketahui oleh Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan Tema yang dipilih dalam karya ilmiah yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2013 ini ialah pendanaan pensiun, dengan judul Penentuan Nilai Aset Aktuaria Pada Pendanaan Pensiun Dengan Metode Pemulusan Eksponensial Dan Aritmatika Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku pembimbing, serta Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada papa dan mama serta aseluruuh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya Teman-teman matematika 46 (Widia, Ditta, Anne, Sevir, Irma, Yoyok, Fenny, dan yang lainnya) yang telah membantu penulis dalam kegiatan belajar, serta kakak-kakak matematika 43, 44, dan 45 atas saran dan masukan yang telah diberikan selama perkuliahan dan seluruh staf tata usaha yang telah membantu dan menemani penulis selama menjalani perkuliahan di Departemen Matematika IPB Semoga karya ilmiah ini bermanfaat Bogor, Agustus 2013 Desyi Christia

9 DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN DAFTAR ISI PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Program Pensiun Manfaat Pasti 2 Nilai Sekarang Aktuaria 2 Metode Penghitungan Aktuaria 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 4 Model Sederhana Program Pensiun Manfaat Pasti 4 Metode Nilai Aset Aktuaria yang Dihaluskan 9 SIMULASI 12 Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Eksponensial 13 Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Eksponensial 18 Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Aritmatika 20 Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Aritmatika 25 SIMPULAN DAN SARAN 27 Simpulan 27 Saran 28 DAFTAR PUSTAKA 28 LAMPIRAN 29 RIWAYAT HIDUP 36 vii vii vii

10 DAFTAR TABEL 1 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up saat t untuk t = 1 sampai t = Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up saat t untuk t = 6 sampai t = Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti dengan ( ) 16 4 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti berdasarkan pemulusan eksponensial dengan ( ) 17 5 Hasil penghitungan ketiga metode dalam menentukan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial 20 6 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up saat t untuk t = 1 sampai t = Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up saat t untuk t = 6 sampai t = Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti berdasarkan pemulusan aritmatika dengan ( ) 24 9 Hasil penghitungan ketiga metode dalam menentukan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial 27 DAFTAR GAMBAR 1 Perbandingan nilai pasar aset dengan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial 17 2 Perbandingan nilai pasar aset dengan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika 24 DAFTAR LAMPIRAN 1 Pembuktian present value dari dana pensiun pada saat t dengan operator write-up 29 2 Pembuktian besarnya kerugian pada waktu dengan operator writeup 31 3 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode average of market ekuivalen dengan persamaan pemulusan aritmatika 31 4 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode average of market dengan pemulusan eksponensial setara dengan persamaan pemulusan eksponensial 32 5 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode deferred recognition berdasarkan pemulusan eksponensial setara dengan pemulusan eksponensial yang umumnya digunakan 33 6 Pembuktian nilai aset aktuaria dengna metode deferred recognition berdasarkan pemulusan eksponensial ekuivalen dengan metode average of market berdasarkan pemulusann eksponensial 33

11 7 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode deferred recognition dengan pemulusan aritmatika setara dengan pemulusan aritmatika 34 8 English Life Table No 161 Males 35

12

13 PENDAHULUAN Latar Belakang Pensiun merupakan suatu masa atau keadaan dimana seseorang tidak bekerja lagi karena usianya yang sudah lanjut atau karena kemauannya sendiri menjamin kebutuhan hidupnya saat masa pensiun, maka seseorang dapat mengikuti program pensiun yang dikelola oleh dana pensiun Dana pensiun adalah badan hukum yang mengelola dan menjalankan program yang menjanjikan manfaat pensiun bagi pesertanya (UU No 11 tahun 1992) Ketika memasuki masa pensiun, seseorang dapat memperoleh penghasilan melalui program pensiun yang diikutinya baik melalui pemberi kerja (Dana Pensiun Pemberi Kerja) maupun melalui lembaga keuangan (Dana Pensiun Lembaga Keuangan) yang didirikan oleh perusahaan asuransi jiwa dan memberikan manfaat pensiun kepada masyarakat umum, karyawan dan pekerja mandiri Program pensiun merupakan sebuah program atau kegiatan yang mengupayakan tersedianya uang pensiun bagi pesertanya Sebelum peserta pensiun memperoleh manfaat dari program pensiun yang diikutinya, mereka harus membayar sejumlah uang yang telah ditentukan oleh perusahaan asuransi jiwa yang mendirikan dana pensiun tersebut yang disebut dengan kontribusi Agar perusahaan asuransi dapat menentukan kontribusi yang sesuai sehingga perusahaan tersebut dapat memenuhi semua kewajibannya sampai program pensiun tersebut berakhir, maka perlu dilakukan penilaian dana/biaya (valuation) terhadap program pensiun tersebut Aktuaris melakukan berbagai cara dalam penilaian pendanaan manfaat pasti dana pensiun Salah satu cara dalam melakukan penilaian pendanaan adalah dengan menggunakan nilai aset atau kekayaan yang dimiliki dalam dana pensiun tersebut yaitu dengan memperbarui nilai pasar saat ini dari aset yang digunakan Metode aktuaria dirancang untuk menentukan besarnya manfaat yang sistematis yang akan memberikan tingkat kontribusi yang stabil Pada akhirnya nilai aset aktuaria yang merupakan rata-rata dari nilai pasar aset selama jangka pendek digunakan untuk mengurangi ketidakstabilan ketika menentukan besarnya kontribusi Berdasarkan survey yang sudah dilakukan para praktisi aktuaria nilai pasar aset aktuaria yang dihaluskan umumnya digunakan dalam penilaian pendanaan dalam dana pensiun manfaat pasti Terdapat tiga metode pemulusan yang digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria yaitu average of market, deferred recognition dan write-up Karya ilmiah ini membahas penghitungan dana yang dimiliki oleh suatu program pensiun dan menunjukkan ketiga metode tersebut ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial dan aritmatika Rujukan utama dari karya ilmiah ini adalah jurnal karangan Owadally dan Haberman (2004) yang berjudul The Treatment of Assets in Pension Funding

14 2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut: 1 Mempelajari metode pemulusan yang umumnya digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria 2 Menentukan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial dan aritmatika 3 Membandingkan metode pemulusan eksponensial dengan metode pemulusan aritmatika dalam menentukan nilai aset aktuaria 4 Menunjukkan bahwa tiga metode dalam penentuan nilai aset aktuaria ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial dan aritmatika TINJAUAN PUSTAKA Program Pensiun Manfaat Pasti Program pensiun manfaat pasti adalah program pensiun yang penentuan besarnya manfaat pensiun yang akan diperoleh setelah memasuki usia pensiun normal sudah ditentukan di awal Penetapan besarnya manfaat pensiun ini akan digunakan sebagai patokan untuk penghitungan besarnya kontribusi yang harus dibayarkan setiap periodenya Dalam melakukan penghitungan aktuaria terdapat beberapa asumsi aktuaria salah satunya adalah tingkat bunga Tingkat bunga yang digunakan pada program pensiun manfaat pasti adalah tingkat bunga pengembalian investasi (i), tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun (i L ), dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual (i ) Asumsi tingkat bunga pengembalian investasi merupakan asumsi tingkat bunga yang digunakan untuk menentukan besarnya imbalan pengembalian atas aset program pensiun Besar kecilnya tingkat pengembalian investasi ini berbanding lurus dengan besar kecilnya hasil investasi yang diperoleh dari aset yang dimiliki Asumsi tingkat bunga kewajiban dari dana pensiun merupakan tingkat bunga yang diberikan atas dasar penentuan nilai sekarang dari manfaat pensiun yang dijanjikan Besarnya tingkat bunga ini biasanya ditentukan dari perkiraan awal aktuaris yang didasarkan pada faktor tingkat bunga yang dikenakan atas aset bebas risiko, obligasi yang dikeluarkan pemerintah atau sesuai peraturan pemerintah pada suatu negara tertentu (Dufresne 1988) Asumsi tingkat bunga aktual (i ) merupakan tingkat bunga yang diperoleh dari investasi aset secara aktual yang diketahui di akhir periode tertentu Semua tingkat bunga yang digunakan dinyatakan dalam persentase Nilai Sekarang Aktuaria Nilai Sekarang Aktuaria atas Manfaat Pensiun Masa Depan Nilai sekarang dari pembayaran manfaat pensiun di masa depan disebut juga Actuarial Present Value of Future Benefit (APVFB) APVFB merupakan sekumpulan pembayaran manfaat pensiun di masa yang akan datang yang

15 ditafsirkan di masa sekarang Secara matematis nilai APVFB bagi seseorang yang berumur y adalah: dengan : manfaat pensiun (benefit) usia pensiun normal : anuitas diskrit di awal periode seumur hidup yang dibayarkan dimulai usia pensiun z : probabilitas seseorang berusia y tetap bertahan hidup sampai usia pensiun z : tingkat diskonto dengan merupakan tingkat bunga untuk kewajiban pensiun 3 (Winklevoss 1993) Nilai Sekarang Aktuaria atas Iuran Pensiun Nilai sekarang dari pembayaran iuran peserta pensiun disebut juga Actuarial Present Value of Future Normal Contribution (APVFNC) APVFNC merupakan sekumpulan pembayaran iuran peserta yang ditafsirkan di masa sekarang Secara matematis nilai APVFNC bagi seseorang yang berumur y adalah dengan = normal contribution pada waktu t (Winklevoss 1993) Metode Penghitungan Aktuaria Entry Age Normal Entry Age Normal merupakan salah satu metode penghitungan aktuaria dengan pembayaran manfaat pensiun pada saat usia pensiun normal Metode ini menentukan iuran normal yang akan dibayarkan setiap peserta yang berpedoman awal dari besarnya manfaat pensiun Pandangan ini didasarkan pada beberapa faktor antara lain: gaji peserta di masa yang akan datang, gaji terakhir peserta sebelum masa pensiun, atau gaji rata-rata dari peserta selama masa kerja atau masa pembayaran iuran (Owadally dan Haberman 1999) Ketentuan lain pada entry age normal yaitu iuran normal dibayarkan dari peserta mulai bekerja, bukan saat peserta mulai mengikuti program pensiun Selain itu, besarnya iuran normal bisa tetap setiap periodenya atau dapat ditentukan dari persentasi gaji peserta (Owadally dan Haberman 1999)

16 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Model Sederhana Program Pensiun Manfaat Pasti Benefit (B) Benefit merupakan jumlah total manfaat yang wajib dibayarkan oleh perusahaan asuransi atau pihak penanggung untuk setiap periodenya Nilai dari benefit ini merupakan penjumlahan atas manfaat pensiun bagi semua peserta yang mengikuti asuransi pensiun bagi semua peserta yang mengikuti asuransi pensiun pada periode tertentu Besarnya benefit ditentukan di awal secara pasti dan diketahui nilainya karena akan digunakan sebagai acuan untuk menghitung berbagai penghitungan aktuaria pada program pensiun manfaat pasti Normal Contribution (NC) Iuran normal (Normal Contribution) merupakan besarnya iuran yang dibayarkan oleh setiap peserta asuransi pensiun selama peserta mengikuti program ini mulai dari usia awal y sampai usia pensiun z Pada metode entry age normal nilai iuran normal ini konstan dan diperoleh melalui persamaan berikut: dengan (1) : anuitas hidup diskrit di awal periode berjangka waktu tahun yang dibayarkan mulai dari usia masuk kerja y (Bowers et al 1997) Nilai ini diperoleh dari aturan nilai sekarang dari pembayaran iuran normal secara berkala harus sama dengan nilai sekarang dari pembayaran manfaat seseorang berumur y, sehingga persamaannya yaitu: Dari persamaan tersebut dapat ditunjukkan bahwa persamaan untuk menentukan iuran normal sebagai berikut: Actuarial Liability (AL) Actuarial Liability merupakan kewajiban aktuaria (cadangan manfaat) dalam menjamin suatu kewajiban manfaat pensiun Actuarial liability dihitung dengan menggunakan actuarial present value of future benefit (APVFB) saat usia

17 x dikurangi dengan actuarial present value of future normal contribution (APVFNC) pada saat usia x Persamaan untuk menghitung actuarial liability saat orang berumur x adalah sebagai berikut: 5 (2) Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu: usia pensiun ( ) Jika penghitungan dilakukan secara agregat (keseluruhan) dan besarnya NC, B, dan konstan sepanjang waktu, maka besarnya actuarial liability juga dapat dinyatakan dalam persamaan berikut: (3) Bukti: Misalkan iuran normal diterima di awal tahun t dan benefit juga dibayarkan, maka setiap tahunnya akan mendapatkan bunga atas kewajiban pensiun Kondisi ini menyebabkan perubahan actuarial liability dalam setahun karena penerimaan iuran normal dan pembayaran manfaat, sehingga pada waktu t berlaku: Karena konstan, maka, dan juga konstan, sehingga berlaku: Unfunded Liability (UL) Unfunded Liability pada waktu adalah selisih antara nilai actuarial liability pada waktu t dengan aset aktual yang dimiliki program pensiun pada periode tersebut Persamaan untuk unfunded liability jika nilai aset aktuaria berdasarkan metode pemulusan digunakan adalah sebagai berikut: (4)

18 6 Nilai unfunded liability juga dapat digunakan untuk menentukan kecukupan dana pensiun yang tersedia untuk pembayaran manfaat pensiun ke depan Artinya jika nilai unfunded liability bernilai positif maka terjadi kekurangan pada pendanaan pensiun tersebut Supplementary Contribution ( ) Supplementary Contribution merupakan kontribusi tambahan yang dibayarkan oleh peserta pensiun untuk menutupi kerugian yang terjadi karena adanya perbedaan tingkat bunga aktuaria dengan tingkat bunga investasi Kontribusi tambahan merupakan fraksi dari besarnya unfunded liability (Dufresne 1988) Persamaan untuk supplementary contribution didefinisikan sebagai berikut: ( ) (5) dengan : anuitas hidup diskrit diawal selama m tahun (Bowers et al 1997) Contribution (C) Contribution merupakan iuran rutin yang dibayarkan dari peserta program pensiun Nilai kontribusi ini diperoleh dari besarnya normal cost (NC) ditambah dengan supplementary contribution yang nilainya juga dapat berubah setiap waktu t Besarnya kontribusi yang diberikan ketika menggunakan nilai pasar aset yang dihaluskan adalah sebagai berikut: ( ) (Dufresne 1988) Aset Pensiun Aset pensiun pada saat merupakan nilai total aset yang dimiliki pada suatu program pensiun pada saat Aset ini terdiri dari total pembayaran iuran seluruh peserta, pengurangan atas pembayaran manfaat pensiun dan termasuk hasil pengembangan investasi dari aset tersebut Secara matematis dirumuskan sebagai berikut: Persamaan untuk nilai pasar aset atas asumsi aktuaria didefinisikan sebagai berikut: (7) Persamaan untuk nilai pasar aset didefinisikan sebagai berikut: (8) Persamaan untuk nilai pasar aset yang dihaluskan didefinisikan sebagai berikut: (9) Persamaan untuk nilai pasar aset yang dihaluskan atas asumsi aktuaria didefinisikan sebagai berikut: (10)

19 Nilai pasar aset yang dihaluskan ( ) akan dibahas dalam karya ilmiah ini berdasarkan pemulusan eksponensial dan aritmatika Operator Write-up (W) Operator write-up didefinisikan sebagai berikut : (11) dengan : merupakan present value dari dana pensiun pada waktu t yang ditulis dengan operator write-up : arus kas keluar pada saat t 1 Dari persamaan (7) dapat ditentukan bahwa merupakan besarnya benefit dikurangi dengan contribution pada saat dengan suku bunga asumsi aktuaria (i) 7 Operator write-up selama waktu j( ) didefinisikan sebagai berikut: (12) Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1 Loss Kerugaian (Loss) terjadi karena adanya penyimpangan antara asumsi aktuaria dengan kejadian yang sebenarnya (Aitken 1994) Jika loss bernilai positif artinya telah terjadi kerugian dalam pendanaan program pensiun tersebut Kerugian aset pada waktu t dinotasikan sebagai berikut: (13) dari persamaan (7) maka kerugian pada saat t dapat dinotasikan sebagai berikut: (14) Kerugian aset berdasarkan nilai pasar aset aktuaria pada saat t dinotasikan sebagai berikut: (15) dari persamaan (10) maka kerugian berdasarkan nilai pasar aset aktuaria pada saat t dapat dinotasikan sebagai berikut: (16) Penulisan persamaan (11) jika dituliskan dalam operator write-up akan menjadi : (17)

20 8 Bukti : Dari persamaan (13) diperoleh: Kerugian pada saat t j dapat didefinisikan sebagai selisih antara nilai aset dengan operator write-up pada selang (t j 1, t j) yang didefinisikan sebagai berikut: Bukti persamaan (18) dapat dilihat pada Lampiran 2 ( ) (18) Pemulusan Eksponensial ( ) Pemulusan eksponensial (exponential smoothing) dalam nilai pasar didefinisikan sebagai berikut : (19) dengan E : operator pemulusan eksponensial : parameter pemulusan eksponensial dimana 0 1 : nilai aktuaria dari aset rencana pensiun pada saat t berdasarkan pemulusan eksponensial, dalam jangka panjang bobot dari yaitu =1 Bukti : = = 1 Pemulusan Aritmatika( ) Metode pemulusan aritmatika mengakui bahwa kerugian/keuntungan (bersama dengan suku bunga) terjadi secara bertahap selama suatu interval bergerak, biasanya selama lima tahun Pemulusan aritmatika (arithmetic smoothing) dalam nilai pasar aset didefinisikan sebagai berikut: : operator pemulusan aritmatika dengan periode n (20)

21 9 Metode Nilai Aset Aktuaria yang Dihaluskan Dalam penentuan nilai aset aktuaria, terdapat tiga metode pemulusan yang sering digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria yaitu Average of Market, Deferred Recognition (Adjusted Market) dan Write-up Dalam bab ini akan ditunjukkan bahwa ketiga metode tersebut ekuivalen baik secara eksponensial maupun aritmatika Average of Market Permulaan nilai aset dikembangkan sebagai rata-rata dari nilai pasar saat ini dan nilai pasar yang disesuaikan dari satu atau lebih dari tahun sebelumnya masing-masing nilai pasar yang disesuaikan dikembangkan dengan menyesuaikan nilai pasar pada tahun tersebut ke waktu penilaian dengan menambahkan kontribusi, dikurangi pembayaran manfaat, dan penyesuaian lainnya dengan halhal tertentu dari pengalaman investasi (CRSR 2001) Metode average of market dapat melibatkan pemulusan aritmatika dan pemulusan eksponensial Dengan menggunakan pemulusan aritmatika biasa disebut juga dengan moving average of market yang didefinisikan sebagai berikut: (21) Metode ini setara dengan persamaan pemulusan aritmatika yang didefinisikan dalam persamaan (20) Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3 Metode ini juga dapat didefinisikan dengan menggunakan pemulusan eksponensial sebagai berikut : (22) Akan ditunjukkan bahwa metode average of market dengan pemulusan eksponensial pada persamaan (22) identik dengan yang didefinisikan pada persamaan (19) Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4 Deferred Recognition or Adjusted Market Menurut Committee on Retirement Systems Research (2001), metode lainnya yang umumnya digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria adalah deferred recognition Dalam metode ini permulaan nilai aset dikembangkan dengan mengurangi atau menambahkan bagian dari keuntungan atau kerugian dari nilai pasar saat ini Metode ini juga dapat didefinisikan dengan menggunakan pemulusan aritmatika dan pemulusan eksponensial Pemulusan eksponensial dalam metode ini didefinisikan sebagai berikut: (23)

22 10 Metode ini juga setara dengan pemulusan eksponensial yang didefinisikan pada persamaan (19) dan setara dengan metode average of market berdasarkan pemulusan eksponensial yang didefinisikan pada persamaan (22) Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5 dan Lampiran 6 Metode ini dikenal juga sebagai metode adjusted market jika nilai aktuaria dari aset yang direncanakan diambil menjadi nilai pasar saat ini bersama dengan penyesuaian yang sama dengan fraksi dari selisih antara future value dari nilai aktuaria tahun sebelumnya dengan nilai pasar saat ini, sehingga metode ini dapat didefinisikan juga sebagai berikut: ( ) (24) dengan merupakan present value dari nilai aktuaria pada saat t Metode ini setara dengan pemulusan eksponensial yang didefinisikan pada persamaan (19) Bukti bahwa metode adjusted market ini ekuivalen dengan pada persamaan (19) adalah sebagai berikut: ( ) Berdasarkan pemulusan eksponensial nilai didefinisikan sebagai berikut: Pendefinisian lain dari metode ini adalah berdasarkan pemulusan aritmatika Pemulusan aritmatika dari metode ini didefinisikan sebagai berikut: (25) yang ekuivalen dengan pemulusan aritmatika ( )pada persamaan (20) Bukti dapat dilihat pada Lampiran 7 Write-up with Adjustment Dalam metode ini permulaan nilai aset dikembangkan dengan mengedepankan nilai aset aktuaria tahun sebelumnya, menambahkan kontribusi, mengurangi pembayaran manfaat (dan pembayaran yang mungkin) dan meningkatkan hasil tersebut dengan pendapatan yang diasumsikan Nilai aset awal ini dapat diberikan penyesuaian-penyesuaian tertentu lainnya untuk mengembangkan nilai aset akhir Penyesuain tersebut mungkin termasuk penyesuaian parsial terhadap nilai pasar saat ini (CRSR 2001) Dalam pemulusan eksponensial metode ini di definsikan sebagai berikut : (26)

23 dengan merupakan present value dari nilai aset aktuaria dari tahun sebelumnya berdasarkan pemulusan eksponensial (permulaan nilai aset dari definisi CRSR 2001) Metode ini ekuivalen dengan metode pemulusan eksponensial ( ) yang didefinisikan pada persamaan (19) dan ekuivalen dengan kedua metode lainnya yang dijelaskan sebelumnya Bukti : Dari persamaan (26) dapat diperoleh: ( ) 11 ( ) Terbukti bahwa metode ini setara dengan metode deferred recognition (adjusted market) dengan pemulusan eksponensial pada persamaan (24) Karena metode deferred recognititon setara dengan metode average of market berdasarkan pemulusan eksponensial maka dapat disimpulkan bahwa ketiga metode ini ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial Penggunaan pemulusan aritmatika dengan metode ini didefinisikan sebagai berikut : (27) dengan present value dari nilai aset aktuaria dari tahun sebelumnya (CRSR 2001) Pemulusan aritmatika dalam metode ini juga setara dengan definisi pemulusan aritmatika pada persamaan (20) dan ekuivalen dengan setiap metode yang telah dibahas di atas Bukti : Dari persamaan (27) diperoleh: Sehingga terbukti bahwa metode ini juga ekuivalen dengan pemulusan aritmatika dan metode-metode lainnya dengan pemulusan aritmatika Berdasarkan pembuktian dari setiap metode diatas, terbukti bahwa ketiga metode yaitu average of market, deferred recognititon, dan write-up masingmasing setara dengan pemulusan eksponensial ( ) dan pemulusan aritmatik ( )

24 12 SIMULASI Dalam karya ilmiah ini juga ditunjukkan secara numerik bahwa setiap metode ekuivalen baik dengan menggunakan pemulusan eksponensial maupun pemulusan aritmatika Sebelum melakukan perbandingan setiap metode perlu ditentukan nilai aset pada saat awal dan diperlukan beberapa asumsi untuk menentukan nilai aset tersebut Asumsi-asumsi tersebut digunakan untuk menyederhanakan kasus dan memudahkan penghitungan Asumsi-asumsi yang digunakan berdasarkan asumsi aktuaria yang ditentukan sebagai berikut: 1 Tingkat mortalitas diasumsikan seperti pada English Life Table (Males) Nomor Populasi peserta pensiun diasumsikan stasioner (besarnya populasi dan distribusi usia dalam populasi tetap konstan dari tahun ke tahun) dan semua peserta mulai bekerja pada usia 25 tahun dan usia pensiun normal 56 tahun 3 Gaji peserta sebesar 1 satuan dan mengalami kenaikan yang sama setiap tahun sebesar 2% 4 Manfaat pensiun diberikan dengan proporsi 2/3 dari gaji terakhir 5 Tidak terjadi inflasi, aset menghasilkan tingkat investasi aktual i yang menyebar bebas identik dengan nilai harapan sama dengan tingkat pengembalian investasi dan simpangan baku dan tingkat bunga atas kewajiban pensiun 6 Initial Unfunded Liability diasumsikan sama dengan nol, sehingga nilai fund awal ( ) sama dengan actuarial liability 7 Semua penghitungan variabel merupakan proporsi terhadap benefit Berdasarkan asumsi yang telah diberikan di atas maka besarnya gaji terakhir yang akan diperoleh di usia 55 tahun sebagai berikut: Karena manfaat pensiun yang akan diperoleh sebesar 2/3 dari gaji terakhir maka total manfaat pensiun yang dibayarkan setiap tahunnya adalah: Besarnya iuran normal (normal contribution) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (1) ( ) Karena penghitungan menggunakan proporsi terhadap benefit (B) maka besarnya NC yang digunakan dalam penghitungan yaitu:

25 13 Dari persamaan (2) besarnya kewajiban aktuaria (actuarial liability) setiap tahunnya yaitu: sehingga proporsi AL terhadap B setiap tahunnya sebesar: Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Eksponensial Menurut Owadally dan Haberman (2000) besarnya nilai m pada kontribusi tambahan yang efisien adalah sebesar 1 5 tahun dengan nilai maka dalam karya ilmiah ini dipilih nilai m = 5 dan Dengan m = 5 diperoleh nilai k = Diasumsikan juga untuk,,,, dan Nilai aset pada waktu t dapat ditentukan melalui tahapan berikut: 1 tahun ke-0 Nilai aset pada waktu dihitung dengan terlebih dahulu mengasumsikan bahwa dan sehingga dengan menggunakan persamaan (4) diperoleh: berdasarkan asumsi yang diberikan, nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial pada saat adalah , sehingga besarnya kontribusi tambahan dan kontribusi yang diberikan pada saat dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (5) dan persamaan (6) yaitu: 2 tahun ke-1 Nilai pasar aset pada waktu persamaan (8) dapat ditentukan dengan menggunakan Nilai aset dengan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat ditentukan mengunakan persamaan (7) yaitu:

26 14 Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan persamaan (14) yaitu: Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t adalah sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (10) maka diperoleh hasil sebagai berikut: untuk untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan (12) Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan Tabel 2 Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial pada saat dapat dihitung menggunakan persamaan (19) yaitu: ( ) Dengan menggunakan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat yaitu: ( ) Nilai aset dengan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang dimuluskan menggunakan pemulusan eksponensial dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (16) yaitu: Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan persamaan (16) yaitu: 3 tahun ke-2 Nilai aset saat dihitung menggunakan persamaan (8) yaitu:

27 Nilai aset dengan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat ditentukan mengunakan persamaan (7) yaitu: Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan persamaan (14) yaitu: Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t untuk adalah sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (10) maka diperoleh hasil sebagai berikut: 15 dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan (12) Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan 2 Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial pada saat dapat dihitung menggunakan persamaan (19) yaitu: ( ) ( ) Berdasarkan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat yaitu: Nilai aset berdasarkan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang dimuluskan menggunakan pemulusan eksponensial dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (16) yaitu: Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan persamaan (16) yaitu: besarnya kontribusi, nilai aset, dan kerugian dapat ditentukan dengan langkah yang sama Hasil penghitungan dengan menggunakan Microsoft Excel 2010 dapat dilihat pada Tabel 3 dan Tabel 4

28 16 Tabel 1 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up pada saat t untuk t = 1 sampai t = Tabel 2 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up pada saat untuk sampai Tabel 3 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti dengan t

29 f(t) Tabel 4 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti berdasarkan pemulusan eksponensial dengan t t Variable Aktual Smooth Gambar 1 Perbandingan nilai pasar aset aktual dengan nilai pasar aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial Pada Tabel 3 dapat dilihat bahwa nilai pasar aset mengalami peningkatan dari tahun pertama ke tahun kedua, kemudian mengalami penurunan pada tahun ke-3 dan mengalami peningkatan kembali pada tahun ke-4 sampai tahun ke-6, kemudian mengalami penurunan kembali dari tahun ke-7 sampai tahun ke-10 Peningkatan dan penurunan nilai aset tersebut dikarenakan adanya perubahan suku bunga setiap tahunnya Penggunaan metode pemulusan dalam menghitung nilai aset aktuaria bertujuan agar nilai aset aktuaria tersebut tidak memiliki perbedaan yang signifikan dengan nilai pasar aset dari program pendanaan pensiun tersebut Dari Tabel 4 dan Gambar 1 dapat dilihat bahwa nilai aset aktuaria ( ) tidak terlalu

30 18 berbeda dengan nilai pasar aset ( ), hal ini menunjukkan bahwa penghitungan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial mampu mendekati nilai pasar aset yang sebenarnya Perubahan kerugian maupun keuntungan juga terjadi dalam penghitungan ini, pada Tabel 3 Dapat dilihat kerugian berdasarkan nilai pasar aset ( ) lebih besar dibandingkan kerugian yang terjadi berdasarkan nilai aset aktuaria ( ) pada Tabel 4 Keuntungan terjadi pada tahun ke-3, tahun ke-7, tahun ke-8, dan tahun ke- 10 sebesar 0007, 0021, 00023, dan 0073, sedangkan kerugian terjadi di tahun ke-3, tahun ke-7, tahun ke-8, dan tahun ke-10 sebesar 0007, 0021, 0023, dan 0073 (Tabel 3) Penghitungan nilai aset aktuaria dengan metode ini juga menimbulkan kerugian maupun keuntungan Kerugian maupun keuntungan yang tejadi tidak jauh berbeda dengan keuntungan maupun kerugian dengan menggunakan nilai aset aktualnya, hal ini menunjukkan bahwa metode pemulusan eksponensial ini mampu mendekati kerugian yang sebenarnya Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Eksponensial 1 Metode Average of Market Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dengan pemulusan eksponensial dapat ditentukan menggunakan persamaan (22) yaitu sebagai berikut: ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) dapat dihitung dengan cara yang serupa berdasarkan persamaan (22) Dengan menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 maka diperoleh hasil penghitungan pada Tabel 5

31 2 Metode Deferred Recognition ( Adjusted Market ) Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (23) yaitu sebagai berikut: (( ) ) 19 (( ) ) Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (23) Dengan menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 diperoleh hasil penghitungan pada Tabel 5 3 Metode Write-Up with Adjusment Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (26), yaitu sebagai berikut: ( ) ( ) Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (26) Dengan menggunakan Microsoft Excel 2010 diperoleh penghitungan pada Tabel 5

32 20 Tabel 5 Hasil penghitungan nilai aset aktuaria dalam tiga metode pemulusan berdasarkan pemulusan eksponensial Average Of Market Deferred Recognition Write-Up With Adjustment Menurut Owadally dan Haberman (2004) ketiga metode dalam penghitungan nilai aset aktuaria adalah ekuivalen Pada Tabel 5 dapat dilihat bahwa ketiga metode tersebut ekuivalen dengan nilai ( ) sebagai kontrol Dapat dilihat bahwa tidak terjadi perbedaan yang signifikan antara setiap metode dengan nilai ( ), sehingga dapat disimpulkan bahwa ketiga metode tersebut ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial dengan nilai ragam pada yang sama yaitu sebesar Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Aritmatika Nilai aset pada waktu t dapat ditentukan melalui tahapan berikut, dengan asumsi untuk,,,, dan 1 tahun ke-0 Nilai aset pada waktu dihitung dengan terlebih dahulu mengasumsikan bahwa dan sehingga dengan menggunakan persamaan (6) diperoleh: berdasarkan asumsi yang diberikan, nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial pada saat adalah , sehingga besarnya kontribusi yang diberikan pada saat dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (4) yaitu:

33 21 2 tahun ke-1 Nilai pasar aset pada waktu persamaan (8) dapat ditentukan dengan menggunakan Nilai aset dengan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat ditentukan mengunakan persamaan (7) yaitu: Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan persamaan (14) yaitu: Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t untuk adalah sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (12) diperoleh hasil perhitungan sebagai berikut: = untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan (12) Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan 2 Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika pada saat dapat dihitung menggunakan persamaan (20) yaitu: Berdasarkan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat yaitu: Nilai aset dengan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang dimuluskan menggunakan pemulusan aritmatika dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (16) yaitu:

34 22 Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan persamaan (16) yaitu: 3 tahun ke-2 Nilai aset saat dihitung menggunakan persamaan (8) yaitu: Nilai aset berdasarkan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat ditentukan mengunakan persamaan (7) yaitu: Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan persamaan (14) yaitu: Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t untuk adalah sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (12) maka diperoleh hasil sebagai berikut: untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan (12) Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan 2 Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika pada saat dapat dihitung menggunakan persamaan (20) yaitu: Berdasarkan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat ( ) yaitu:

35 Nilai aset dengan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang dimuluskan menggunakan pemulusan aritmatika dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (16) yaitu: Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan persamaan (16) yaitu: besarnya kontribusi, nilai aset, dan kerugian dapat ditentukan dengan langkah yang sama Hasil penghitungan dengan menggunakan Microsoft Excel 2010 dapat dilihat pada Tabel 8 dan Tabel 9 Tabel 6 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up pada saat untuk sampai Tabel 7 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up pada saat untuk sampai

36 f(t) 24 Tabel 8 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti berdasarkan pemulusan aritmatika dengan t t Variable Aktual Smooth Gambar 2 Perbandingan nilai aset aktual dengan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika Selain menggunakan pemulusan eksponensial, nilai aset aktuaria dapat ditentukan dengan menggunakan pemulusan aritmatika Dengan menggunakan nilai pasar pada Tabel 3, dapat dilihat bahwa penentuan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial (Tabel 8) tidak mampu mendekati nilai aset aktualnya (Gambar 2) Pada Tabel 8 dapat dilihat besarnya nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika ( ) Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika memiliki perbedaan yang cukup signifikan dengan nilai aset aktualnya (Gambar 2) Pada tahun pertama sampai tahun ke-7 perbedaan yang terjadi tidak terlalu besar, namun pada tahun ke-8 sampai tahun ke-10 perbedaan yang terjadi cukup besar (Gambar 2) Hal ini menunjukkan bahwa penghitungan

37 nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial lebih baik dibandingkan berdasarkan pemulusan aritmatika Perubahan keuntungan maupun kerugian juga terjadi dalam program dana pensiun ini Keutungan terjadi pada tahun ke-1,tahun ke-2, tahun ke-4, tahun ke-5, tahun ke-6 dan tahun ke-9, sedangkan kerugian terjadi pada tahun ke-3, ke-7, tahun ke-8 dan tahun ke-10 yaitu sebesar 0007, 0021, 0023, dan 0073 (Tabel 3) Dengan menggunakan pemulusan aritmatika (Tabel 8) keuntungan maupun kerugian pun terjadi, namun besarnya jauh berbeda dengan besarnya keuntungan maupun kerugian berdasarkan nilai pasar aset ( ) pada Tabel 3 Hal ini menunjukkan penentuan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika tidak mampu mendekati besarnya kerugian maupun keuntungan pada peogram pensiun tersebut 25 Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Aritmatika 1 Metode Average of Market Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dengan pemulusan eksponensial dapat ditentukan menggunakan persamaan (16) yaitu sebagai berikut: ( ) ( ) dapat dihitung dengan cara yang serupa berdasarkan persamaan (17) Dengan menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 maka diperoleh hasil penghitungan pada Tabel 10 2 Metode Deferred Recognition ( Adjusted Market ) Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (20) yaitu sebagai berikut:

38 26 Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (20) Dengan menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 diperoleh hasil penghitungan pada Tabel 10 3 Metode Write Up with Adjustment Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (22), yaitu sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (22) Dengan menggunakan Microsoft Excel 2010 diperoleh penghitungan pada Tabel 10

39 Tabel 9 Hasil penghitungan nilai aset aktuaria dalam tiga metode pemulusan berdasarkan pemulusan aritmatika Menurut Owadally dan Haberman (2004) metode penentuan nilai aset aktuaria juga ekuivalen berdasarkan pemulusan aritmatika ( ) Pada Tabel 10 dapat dilihat bahwa hasil penghitungan nilai aset aktuaria dari ketiga metode tidak memiliki perbedaan yang signifikan dengan hasil penghitungan sebagai pembanding dengan nilai ragam yang sama dari ketiga metode tersebut adalah Sehingga dapat disimpulkan bahwa ketiga metode tersebut juga ekuivalen berdasarkan pemulusan aritmatika SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dalam karya ilmiah ini telah dilakukan penghitungan nilai aset yang dimiliki oleh suatu program pensiun berdasarkan pemulusan eksponensial dengan parameter λ=02 serta berdasarkan pemulusan aritmatika dengan n = 5 tahun Berdasarkan penghitungan yang telah dilakukan dihasilkan nilai aset aktuaria dengan metode pemulusan eksponensial mampu mendekati nilai aset aktualnya dibandingkan dengan nilai aset aktuaria dengan metode pemulusan aritmatika Hal ini menunjukkan bahwa penentuan nilai aset aktuaria dengan menggunakan pemulusan aritmatika dalam suatu program pensiun lebih baik dibandingkan dengan pemulusan aritmatika Penentuan nilai aset aktuaria dengan menggunakan ketiga metode yang umumnya digunakan oleh praktisi aktuaria sudah dilakukan Hasil penghitungan menunjukkan bahwa ketiga metode tersebut ekuivalen baik secara eksponensial dengan ragam yang sama yaitu sebesar maupun secara aritmatika dengan ragam sebesar

40 28 Saran Model pendanaan program pensiun masih dapat dibahas lebih lanjut terutama ketika kerugian tidak hanya disebabkan oleh perbedaan asumsi tingkat bunga aktuaria dengan tingkat bunga yang sebenarnya Namun disebabkan oleh perbedaan dari asumsi aktuaria lainnya Model ini belum cocok jika digunakan di Indonesia, karena tabel mortalitas yang digunakan adalah tabel mortalitas penduduk di Inggris Penelitian lebih lanjut dapat dilakukan dengan menggunakan tabel mortalitas penduduk Indonesia DAFTAR PUSTAKA Aitken WH 1994 Pension Funding and Valuation Winsted (CT): Actex Publications Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, dan Nesbitt CJ 1997 Actuarial Mathematics Hasca III, Second Edition Schaumburg (IL): The Society of Actuaries [CRSR] Committee on Retirement Systems Research 2001 Survey of asset valuation methods for defined benefit pension plans Pension Forum 13(1):1-49 Schaumburg (IL): The Society of Actuaries Dufresne D 1988 Moments of pension contributions and fund levels when rates of return are random Journal of The Institute of Actuaries 115: Owadally MI, Haberman S 1999 Pension fund dynamics and gains/losses due to random rates of investment return North American Actuarial Journal 3(3): Owadally MI, Haberman S 2000 Asset valuation and the dynamics of pension funding with random investment returns Actuarial Research Paper 131 Owadally MI, Haberman S 2004 The treatment of assets in pension funding Astin Buletin, 34: Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 11 Pasal 1 Tahun 1992 Tentang Dana Pensiun Winklevoss HE 1993 Pension Mathematics with Numerical Illustrations, Second Edition Philadelphia (PA): University of Pennsylvania Press

41 Lampiran 1 Pembuktian present value dari dana pensiun pada saat t dengan operator write-up Akan dibuktikan : Bukti : sampai waktu sampai waktu untuk sampai waktu 29

42 30 30 sehingga untuk waktu sampai waktu diperoleh

43 31 Lampiran 2 Pembuktian besarnya kerugian pada waktu write-up dengan operator Akan dibuktikan: ( ) Dengan mensubstitusi persamaan (12) ke dalam persamaan (18) maka di peroleh : ( ) ( ) ( ) ( ) Lampiran 3 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode average of market ekuivalen dengan persamaan pemulusan aritmatika Akan dibuktikan: [ ( )] Bukti : Dari persamaan (20) diperoleh: [ ] Dengan mensubstitusi persamaan (10) maka diperoleh : [ ( )] Dengan cara rekursif akan dibuktikan: = Bukti : ( ) ( )

44 32 ( ( ) ( ) ) ( ) dst sehingga sehingga Lampiran 4 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode average of market dengan pemulusan eksponensial setara dengan persamaan pemulusan eksponensial Akan dibuktikan: Bukti: Dari persamaan (19) diperoleh: Dengan mensubstitusi persamaan (10) maka diperoleh :

45 33 Lampiran 5 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode deferred recognition berdasarkan pemulusan eksponensial setara dengan pemulusan eksponensial Akan dibuktikan: Bukti: Dengan mensubstitusi persamaan (18) terhadap persamaan (23) maka didapat: Lampiran 6 Pembuktian nilai aset aktuaria dengna metode deferred recognition berdasarkan pemulusan eksponensial ekuivalen dengan metode average of market berdasarkan pemulusann eksponensial Akan dibuktikan: Bukti: Dengan mensubstitusi persamaan (18) maka diperoleh : = ( )