BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika adalah ilmu yang berhubungan dengan logika. Sehingga banyak aplikasi maupun permainan matematika yang bermanfaat untuk mencerdaskan serta meningkatkan daya ingat. Seperti permainan teka-teki silang, sudoku, persegi ajaib, dll. Teka teki silang (TTS) merupakan permainan, namun bukan sekedar permainan tetapi memiliki banyak manfaat. Adapun cara permainan TTS adalah dengan mengisi kotak-kotak berdasarkan petunjuk yang tersedia. TTS juga mempunyai banyak manfaat diantaranya adalah mengasah otak, melatih daya ingat, manambah wawasan serta dapat meningkatkan konsentrasi. Seiring dengan perkembangan zaman ada variasi baru dari TTS yang disebut teka teki silang angka atau yang sering disebut sudoku. Sudoku pertama kali dimainkan di negara Jepang, dimana cara permainannya adalah setiap baris dan kolom yang ada diisi dengan angka-angka yang sesuai dengan aturan dimana angka-angka yang dimasukkan tersebut tidak boleh sama di dalam satu baris atau di dalam satu kolom atau di dalam satu subgrid. Permainan sudoku ini juga merupakan konsep logika matematika. Variasi sudoku bermacam-macam dimana bentuknya tidak selalu bujur sangkar dan tidak harus mempunyai subgrid 3x3. Tidak jauh beda dengan TTS dan sudoku, penulis menemukan persegi ajaib (Magic Square) hanya saja yang membedakan adalah jumlah tiap baris, kolom dan diagonal bernilai sama. Persegi ajaib (Magic Square) merupakan salah satu karya seni matematika yang sudah dikenal sejak 2800 tahun sebelum Masehi oleh Bangsa Cina. Persegi ajaib (Magic Square) mempunyai banyak manfaat yakni, untuk mengasah otak anak, melatih daya ingat, serta dapat meningkatkan konsentrasi belajar anak. Banyak negara yang meyakini bahwa persegi ajaib memiliki sifat magis dan mistis, penggunaan persegi ajaib sangat mempengaruhi kultur budaya dan pola berpikir masyarakat di masing-masing negara tempat munculnya angka- 1

2 angka ajaib tersebut. Sebagaimana halnya, Bangsa Cina menggunakan persegi ajaib berorder tiga sebagai dasar kepercayaan ilmu feng shu dan zodiak. Poole (2006) mengatakan persegi ajaib adalah suatu persegi dengan ukuran n n petak yang setiap elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j ditulis a ij yang tersusun atas bilangan-bilangan berbeda biasanya {1,2,3,, n 2 } dan hasil penjumlahan elemen setiap baris, kolom maupun diagonal sama untuk nεz +. Kasus umum persegi ajaib (Magic Square) adalah sekumpulan bilangan yang tersusun dalam sebuah persegi dengan ukuran n n dengan n adalah bilangan bulat positif dan n 2. Jumlah setiap baris, kolom dan diagonalnya adalah sama. Susunan bilangan-bilangan pada setiap baris dan kolom persegi ajaib (magic square) disebut dengan order. Sebuah persegi ajaib (magic square) dikatakan berorder n jika memiliki n baris dan n kolom dengan elemen sebanyak n 2. Agar lebih memahami tentang persegi ajaib (magic square), berikut contoh persegi ajaib order-4. Persegi ajaib order-4 memiliki 4 baris dan 4 kolom dan jika dijumlahkan setiap baris kolom dan diagonalnya adalah berjumlah sama yakni 34. Seperti = 34 dan = 34 begitu juga yang lainya. Tabel 1.1 Persegi Ajaib Order Banyak metode yang bisa digunakan dalam mengkonstruksi persegi ajaib, tetapi tidak semua persegi dapat dikonstruksi dengan metode yang sama. Hal tersebut membuat para matematikawan tertarik untuk meneliti lebih lanjut tentang metode pengkonstruksian persegi ajaib. Seperti yang telah dilakukan oleh Hendarto (2006) mengkaji metoda konstruksi persegi ajaib order n n dan dalam penelitianya tersebut menyebutkan bahwa Andrew (1927), Benson (1976) dan Cazalas (1934) telah menyelesaikan masalah konstruksi persegi ajaib beberapa 2

3 bilangan asli dan kelipatanya, Andrew (1960) dan Chebrakov (1998) menyelesaikan untuk pengkonstruksian bilangan prima. Hasil dari konstruksi persegi ajaib tersebut adalah sebuah persegi ajaib baku, dengan bilangan penyusun dimulai dari angka 1, 2, 3,, n 2 dan generalisasi jumlah ajaibnya adalah S n 2 n. Peneliti yang telah mengkaji generalisasi pengkonstruksian persegi ajaib adalah Yulianto (2011) mengambil sebuah masalah tentang generalisasi persegi ajaib pada order 4. Pada generalisasi pengkonstruksiannya dia menggunakan beberapa metode yakni metode Phillipe de Hire s, diagonal Lozenge,diagram geometri dan metode knight s move. Dari keempat metode hanya satu metode yang bisa digunakan untuk generalisasi persegi ajaib order 4 4 yakni metode Phillipe de Hire s yang menghasilkan rumus bilangan ajaib yang bisa digunakan untuk mengkonstrusksi persegi ajaib pada jumlah ajaib (μ n ) yakni μ n 34 dan diperoleh rumus bilangan persegi ajaib untuk order 4 4 dengan syarat dimana empat bilangan terkecil penyusun persegi ajaibnya memenuhi a < b < c < d dan x > d a : Tabel 1.2 Rumus Bilangan Persegi Ajaib Order-4 Bersyarat (Yulianto, 2011) d a + x c + 2x b + 3x + k c + 3x + k b + 2x d + x a b + x c a + 3x + k d + 2x a + 2x d + 3x + k b c + x Sedangkan dalam kajian Masruroh (2013) mengambil sebuah masalah tentang generalisasi jumlah ajaib pada persegi order 5 dan menghasilkan suatu rumus bilangan ajaib yang bisa digunakan untuk mengkonstruksi persegi ajaib (μ n ) yakni μ n 65. Pada generalisasinya dia menggunakan beberapa metode yakni metode dekomposisi persegi latin, metode Claude Gaspar Bachet de Meziriac. Hasil dari generalisasi tersebut diperoleh rumus sebagai berikut : 3

4 Tabel 1.3 Rumus Bilangan Persegi Ajaib Order-5 Bersyarat (Masruroh, 2013) c + 2x e + 4x + r b + x d + 3x a b + 3x d a + 2x c + 4x + r c + x a + 4x + r c + x e + 3x b d + 2x e b + 2x d + 4x + r a + x c + 3x d + x a + 3x c e + 2x b + 4x + r Perkembangan yang cukup pesat terjadi pada metode pengkonstruksian dan penentuan bilangan ajaib pada persegi ajaib. Perhitungan jumlah ajaib yang digunakan oleh Yulianto (2011) menggunakan model barisan aritmatika dan hasil generalisasi jumlah ajaib untuk order-4 μ 4 34, sedangkan nilai antar suku pada baris aritmatika sangat dipengaruhi oleh suku pertama dan selisih (beda) antar bilangan. Dari bentuk persegi ajaib yang ada selisih antar bilangan ajaib berupa bilangan bulat sehingga bilangan ajaib yang terbentuk merupakan elemen bilangan bulat. Selisih antar bilangan ajaib tidak hanya pada bilangan bulat saja sehingga bisa dikembangkan pada bilangan rasional dan jumlah ajaib pada persegi ajaib yang dihasilkan elemen bilangan rasional. Pada kajin ini jumlah ajaib μ n akan diperluas menjadi elemen bilangan rasional dengan aturan barisan aritmatika yang selisih antar bilangan ajaib merupakan elemen bilangan rasional. Elemen bilangan persegi ajaib yang dihasilkan dikonstruksi dengan beberapa metode yakni metode lozenge, strachey method, dan metode LUX, hasil dari konstruksi dianalisis dan dibentuk matriks dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar. Penulis memilih konstruksi menggunakan penjumlahan dan perkalian matriks dengan skalar karena matriks lebih mudah dipahami dan hampir semua orang memahami materi tersebut sehingga nantinya bisa mempermudah dalam mengkonstruksi persegi ajaib tanpa harus menghafal metode konstruksi yang baru. Berdasarkan pemahaman di atas maka penulis tertarik untuk mengembangkan konstruksi persegi ajaib dengan menggunakan elemen bilangan rasional pada order genap dengan n 2. Sehingga penulis memberi judul tugas 4

5 akhir ini Generalisasi Metode Pengkonstruksian Persegi Ajaib Order Genap Dengan Elemen Penyusun Bilangan Rasional. 1.2 Rumusan Masalah Banyak metode konstruksi persegi ajaib yang telah dikembangkan, setiap metode mempunyai karakteristik yang berbeda-beda. Setiap metode akan menghasilkan persegi ajaib dengan ketentuan yang ada dan tidak semua persegi ajaib dapat dikonstruksi dengan menggunakan metode yang sama. Telah diketahui bahwa persegi ajaib order 4 4 memiliki jumlah ajaib 34. Untuk memperoleh persegi ajaib order genap dengan jumlah ajaib (μ n ) tertentu yakni μ n bilangan rasional diperlukan adanya pengeneralisasian jumlah ajaib yang didasarkan pada persegi ajaib baku. Untuk itu dalam tulisan ini dibuat rumusan masalah bagaimana mengkonstruksi persegi ajaib order genap dengan jumlah ajaib (μ n ) Bilangan Rasional? 1.3 Pembatasan Masalah Pengkonstruksian pada persegi ajaib ini merupakan persoalan yang luas, baik ditinjau dari order maupun metode konstruksinya. Mengingat luasnya bahasan dan juga terbatasnya kemampuan penulis, maka kajian yang dilakukan dibatasi pada : a. Dalam kajian ini akan membahas tentang generalisasi metode konstruksi pada persegi ajaib order genap. Memilih order genap karena pada order genap memiliki banyak metode konstruksi yang bervariasi dan metode tersebut hanya bisa digunakan pada order genap tertentu saja, sehingga belum memiliki metode konstruksi order genap secara umum. Dalam kajian ini akan diberikan contoh konstruksi order genap yakni 2 < n 8. b. Bilangan ajaib/elemen penyusun persegi ajaib (a ij ) yang digunakan dalam menyusun persegi ajaib adalah bilangan rasional karena dalam menentukan selisih antar bilangan ajaib menggunakan bilangan rasional sehingga elemen penyusun persegi ajaib merupakan bilangan rasional. 5

6 c. Jumlah ajaib (μ n ) yang akan dipakai dalam pembahasan ini terbatas pada μ n Bilangan Rasional. d. Klasifikasi persegi ajaib yang digunakan menggunakan aturan persegi ajaib baku (normal magic square). 1.4 Tujuan Kajian Pada awal penulisan telah dijelaskan bahwa tidak semua metode konstruksi dapat membentuk persegi ajaib baku order genap dengan jumlah ajaib (μ n ) bilangan rasional. Sehingga tujuan dari penelitian ini adalah mendeskripsikan cara mengkonstruksi persegi ajaib order genap dengan jumlah ajaib tertentu. 1.5 Manfaat Kajian Dengan adanya kajian tentang generalisasi metode pengkonstruksian jumlah ajaib ini, diharapkan mampu memberikan masukan kepada pembaca khususnya pada bidang ilmu matematika. Adapun manfaat dari kajian ini diharapkan mampu memperkaya literatur mengenai metode konstruksi persegi ajaib (Magic Square) khususnya untuk order genap dengan n 2, dengan jumlah ajaib (μ n ) setiap baris, kolom dan diagonalnya adalah (μ n ) Bilangan Rasional. Serta dapat dijadikan acuan dalam kajian yang sejenis. 1.6 Metode Kajian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur (library research) yaitu pembahasan yang dilakukan dengan mengkaji teori-teori atau literatur-literatur yang relevan untuk memecahkan masalah. Sumber kajian berdasarkan pada literatur baik jurnal, skripsi maupun buku yang relevan. Informasi yang didapat dikelola dan dikelompokkan sehingga menghasilkan informasi yang mampu digunakan sebagai dasar dalam generalisasi persegi ajaib order genap. Pada kajian ini yang harus dilakukan adalah menentukan masalah kemudian mencari informasi untuk memecahkan masalah tersebut dengan cara 6

7 mengkaji materi yang mendukung. Materi yang dipelajari yaitu definisi, sejarah dan jenis persegi ajaib, klasifikasi persegi ajaib, metode konstruksi persegi ajaib, cara menentukan jumlah ajaib pada persegi ajaib, serta operasi pada matriks. Kemudian materi-materi yang diperoleh dikelola hingga mampu menjawab masalah yang ada yakni mengenali karakteristik serta proses konstruksi jumlah ajaib pada persegi ajaib order genap. Analisis hasil pembahasan dilakukan pada pengelolahan data yang diperoleh dari literatur yang nantinya data tersebut digunakan sebagai landasar berfikir dalam mengkaji pemanfaatan generalisasi jumlah ajaib pada persegi ajaib order genap. Selanjutnya data dibuktikan hingga memperoleh kesimpulan yang tepat. 7