BAB III PEMBAHASAN. Tabel 3.1 Dengan Stategi Dominan Permainan zero sum Pemain 2 a b Pemain 1 a 1,-1 2,-2 b 4,-4 3,-3. Universitas Sumatera Utara

Transkripsi

1 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Pengantar Keseimbangan Nash adalah jika ada serangkaian strategi untuk permainan dimana tidak ada pemain yang bisa memperoleh keuntungan dengan mengubah strateginya sementara pemain lain menjaga strategi mereka tetap tidak berubah, kemudian rangkaian strategi tersebut dan hasil yang bersesuaian membentuk keseimbangan Nash. Setiap permainan berhingga mempunyai setidak-tidaknya satu keseimbangan Nash dalam strategi murni dan strategi campuran. Pemain disebut menggunakan strategi campuran jika ia menggunakan strategi acak untuk memutuskan apa yang harus dilakukan dalam permainan. Idealnya, para pemain hanya akan menggunakan strategi campuran bila tidak ada perbedaan antara beberapa strategi murni dan membiarkan lawan tetap menduga strategi yang diinginkan. Adapun dua permainan menurut John Nash yaitu 1) Permainan zero sum Dalam permainan zero sum adalah jumlah hasil para pemain selalu sama dengan nol tidak soal strategi apa yang digunakan yaitu keuntungan untuk Pemain I akan berarti kerugian yang sama bagi Pemain II. Dengan menggunakan strategi dominan.contoh 1: Tabel 3.1 Dengan Stategi Dominan Permainan zero sum Pemain 2 a b Pemain 1 a 1,-1 2,-2 b 4,-4 3,-3

2 Dalam permainan diatas tampak jelas bahwa kedua Pemain I (b) mendominasi kuat strategi pertamanya (a). Secara matematik, istilah mendominasi kuat berarti bahwa (1<3) dan (2<4) atau (1,2) << (3,4). Strategi Pemain I adalah strategi mendominasi kuat. Ini berarti apapun strategi yang dipilih Pemain II, Pemain I akan memperoleh hasil yang lebih baik bila memilih strategi b. Karena disimpulkan bahwa jika Pemain I dianggap rasional, ia akan selalu memilih strategi kedua. Karena baris I tidak akan digunakan Pemain I, Pemain II dihadapkan dengan permainan tereduksi. Dalam permainan tereduksi ini, strategi (b) Pemain II mendominasi kuat strategi (a). Solusi permainan ini adalah (b,b) yang member hasil 3 kepada Pemain I dan -3 kepada Pemain II. Ini disebut keseimbangan Nash. Akan tetapi, agar ini berlaku kita tidak perlu mengasumsikan bahwa semua pemain rasional tetapi juga bahwa Pemain II tahu bahwa Pemain I rasional sampai tingkat dimana ia akan memainkan yang menguasai dengan kuat. Contoh 2: Tabel 3.2 Dengan menggunakan titik pelana Permainan zero Pemain 2 sum A B C Pemain 1 A 1,-1 4,-4 0,0 B 2,-2 3,-3 4,-4 C 1,-1 0,0 6,-6 Dalam tabel diatas bahwa tidak ada strategi murni didominasi, tetapi profil strategi (B,A) yaitu baris B dan kolom A adalah titik pelana matriks. Dalam teori titik permainan titik pelana berarti bahwa nilai 2 adalah yang terkecil pada baris dan terbesar pada kolom. Karena itu, strategi B Pemain I adalah reaksi optimal terhadap pilihan strategi A oleh pemain II, dan secara simultan strategi A Pemain II adalah reaksi optimal terhadap pilihan strategi B oleh Pemain I. Dari definisi diatas merupakan keseimbangan Nash.

3 Contoh 3 : Bila tidak ada strategi mendominasi dan titik pelana Tabel 3.3 Dengan strategi campuran Permainan zero Pemain 2 sum X Y Pemain 1 J 1 4 K 3 2 Dalam permainan ini tidak ada titik pelana dan tidak ada strategi mendominasi. Ini menunjukkan bahwa tidak ada keseimbangan Nash dalam strategi murni. Akan tetapi keseimbangan Nash ada asalkan strategi campuran dilakukan. Andaikan bahwa Pemain II memilih strategi campuran (1-q,q). Ini berarti probabilitas yang akan ia gunakan strategi pertamanya (X) adalah 1-q dan strategi keduanya (Y) adalah q. Dengan menggunakan informasi ini persamaan untuk hasil yang diperkirakan bagi Pemain I bisa dibentuk bila ia menggunakan strategi pertamanya J atau strategi kedua K. (J) E 1 = (1-q) + 4q = 1+3q (1) (K) E 2 = 3(1-q) + 2q = 3-q.(2) Jika (1-p,p) adalah reaksi optimal Pemain I terhadap (1-q,q) oleh Pemain II, maka E1 >E 2 (dari persamaan diatas bahwa q> 0,5). Pemain I ingin memilih strategi pertamanya J sehingga p= 0. Jika E 1 < E 2 ini berarti bahwa q <0,5. Maka reaksi optimal untuknya adalah memilih strategi keduanya yaitu K, sehingga p=1. Jika E 1 = E 2, maka setiap reaksi sama baiknya dank arena dalam kasus ini probalitas peluang yaitu 0 < p < 1. Begitu juga sebaliknya analisis reasksi optimal dengan cara yang sama pada Pemain II dalam kasus ini q= 0 bila p < 0,75, q=1 bila p >0,75 dan bila p = 0,75 maka 0 < q <1. Dari sini didapat reaski optimum di q =0,5 dan p =0,75. Ini mengindikasikan bahwa p= 0,75 adalah reaksi optimum terhadap q= 0,5 dan sebaliknya. Karena inilah keseimbangan Nash untuk Pemain I adalah menggunakan strategi keduanya dengan probabilitas 0, 75 dan untuk Pemain II dengan menggunakan strategi keduanya dengan probabilitas 0,5. Dan hasil akhir

4 mengimplikasikan bahwa perkiraan hasil untuk Pemain I adalah 5/2 dan -5/2 untuk Pemain II 2) Permainan non- zero sum Permainan non- zero sum lebih sering ditemui dalam kehidupan nyata. satusatunya perbedaan antara permainan zero sum dan permainan non-zero sum adalah bahwa keuntungan oleh satu pemain tidak selamanya berarti kerugian yang sama oleh pemain lain. Tabel 3.4 Permainan non-zero sum Permainan non-zero sum Pemain II A B C A (25,25) (50,30) (40,20) Pemain I B (30,50) (15,15) (25,20) C (20,40) (20,25) (10,10) Cara paling mudah untuk menganalisa permaian non zero sum adalah menganalisanya dengan cara yang sama seperti pada permainan zero- sum. Catat bahwa pada permainan non- zero sum diperlukan memperlihatkan hasil kedua pemain karena tidak lagi disimpulkan dari hasil pemain lain, seperti yang bisa dilakukan dalam permainan zero sum. Menganalisa permainan diatas ada dua titik keseimbangan Nash pada sel tengah atas (A,B) dan sel tengah kiri (B,A). Untuk membuktikan perhatikan pilihan (A,B) kemudian Pemain I tidak bisa meningkatkan hasilnya dengan Pemain 2 memilih B dan demikian sebaliknya. Karena itu, ini merupakan titik keseimbangan alasanyang sama juga berlaku pada strategi (B,A). Kedua kasus akan menghasilkan total hasil 80, yang juga merupakan pilihan strategi paling efisien karena tidak ada total hasil yang lebih besar dari 80 dalam permainan ini. Akan tetapi, bila dikaji lebih dalam permainan ini ada bahaya kedua pemain memilin A, maka total hasil berkurang menjadi 50 dengan hasil 25 kepada masing-masing pemain. Ini jelas tidak diinginkan kedua pemain, bahkan yang paling buruk diantara kedua pemain bisa mengharapkan pemain lain memilih A dan karenanya ia akan memilih B dan ini akan dihasilkan dengan

5 kedua pemain memilih B. Dalam kasus ini mereka akan berakhir dengan hasil yang bahkan paling buruk yaitu (15,15).

6 BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan Dari uraian bab-bab sebelumnya, maka dapatlah dibuat beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Pada kondisi tertentu, suatu permainan tidak memiliki titik keseimbangan (equilibrium point). Oleh karenanya dibutuhkan solusi lain yang bersifat stokastik agar permainan tersebut memiliki equilibrium point. Solusi optimal dari suatu permainan dapat dipecahkan dengan menggunakan strategy campuran (mixed strategy) 2. Untuk setiap pemain yang terdiri dari beberapa pemain dan beberapa strategy bagi setiap pemain, maka ada minimal satu solusi optimal bagi setiap pemain atau terdapat equilibrium point (titik keseimbangan pada permainan tersebut.) 3. Dari contoh kasus 1, didapat bahwa nilai maksimin dan minimaks sebesar 4.Dengan menggunakan strategy campuran didapat nilai p = 0,625, q= 0,50 dengan keuntungan yang diharapkan perusahaan A sebesar 3,5 dan perusahaan B= 3,5. 4. Dari contoh kasus 2 didapat nilai p = 0,60 dan q = 0,70 sehingga keuntungan untuk perusahaan I mengalami peningkatan sebesar 5,2 % dan kerugian untuk perusahaan II sebesar 5,2 %dan perusahan tersebut menghasilkan titik keseimbangan sebesar 5,2 %. 4.2 Saran Dari uraian bab-bab sebelumnya dapat disimpulkan Game Theory dapat digunakan oleh pengambil keputusan untuk menentukan strategy yang paling optimal baginya. Dengan demikian, Game Theory dapat dijadikan sebagai alat ukur strategy yang ada dalam mencari titik perusahaan tersebut. Oleh karenanya penulis menyarankan agar dalam mengambil keputusan, setiap pengambil

7 keputusan hendaklah menggunakan Game Theory untuk menilai strateginya sehingga strategy yang akan dijalankan menjadi lebih efektif, penulis juga menyarankan agar penyesuaian Game Theory tidak dilakukan dengan cara manual tetapi dengan program aplikasi dikomputer seperti Lindo dan excel.