BAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Riset Operasi

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep teori permainan pada permainan berstrategi murni dan campuran dari dua pemain dengan yang akan digunakan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini. Juga akan dibahas Keseimbangan Nash (Nash Equilibrium) yang akan menjadi pertimbangan dalam mengambil keputusan dari permainan dari dua pemain. Beberapa konsep dan metode teori permainan dalam menentukan keseimbangan atau titik optimal dari permainan berstrategi murni dan aturan dominansi dengan Nash Equilibrium akan dipergunakan pada bab pembahasan. 2.1 Riset Operasi Permasalahan yang dihadapi pada dunia industri, perdagangan, pemerintahan, dan sebagainya semakin hari semakin komplek dan rumit. Dari permasalahan tersebut diperlukan pengembangan dalam metodologi permecahan masalah tersebut. Cara yang baik dalam memecahkannya menimbulkan kebutuhan akan teknik-teknik riset operasi (operation research). Riset operasi diartikan sebagai peralatan manajemen yang menyatukan ilmu pengetahuan, matematika, dan logika dalam rangka memecahkan masalahmasalah yang dihadapi sehari-hari, sehingga akirnya permasalahan tersebut dapat dipecahkan secara optimal (Subagyo,1993:4). Operation Research juga diartikan sebagai aplikasi metode ilmiah pada permasalahan yang kompleks yang muncul dalam manajemen sistem yang besar yang mungkin melibatkan manusia, mesin, material dan uang yang ditemukan antara lain pada industri, bisnis, pemerintahan, dan pertahanan. Penerapan riset operasi didasarkan pada kebutuhan untuk mengalokasikan

2 sumber daya yang terbatas sehingga lebih efektif dan efisien. Tujuan utama adalah membantu manajemen menentukan kebijakan dan tindakan ilmiah. Riset operasi merupakan suatu metode untuk memecahkan masalah optimasi. Dalam riset operasi yang dibahas meliputi dynamic programing, network analis, markov chain, games theory, nonlinier programing, dan interger linier programing. Suatu model dikatakan baik jika model tersebut bermanfaat dalam menjawab permasalahan yang menjadi perhatian. Hal ini perlu diperhatikan dalam membangun model dalam Operasi Riset. Prinsip dasar itu sebagai berikut. : 1. Jangan membangun model yang rumit jika dapat dibuat model yang lebih sederhana. 2. Jangan mengubah permasalahan agar cocok dengan teknik atau metoda yang ingin digunakan. 3. Proses deduksi harus dilakukan secara baik. 4. Proses validasi terhadap model harus dilakukan sebelum model tersebut diimplementasikan. 5. Jangan memaksakan untuk menjawab suatu pertanyaan (permasalahan) tertentu dari suatu model yang akan dirancang untuk menjawab pertanyaan itu. 6. Suatu model punya karakteristik tertentu, sehingga jangan terlalu menjual model yang dikembangkan. Suatu model sering kali menghasilkan suatu kesimpulan yang sederhana dan menarik. 7. Suatu model yang dikembangkan memerlukan input /entry (data) yang cermat. 2.2 Program Linear Program Linear adalah suatu alat yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi suatu model linear dengan keterbatasan-keterbatasan sumber daya yang tersedia. Masalah program linear berkembang pesat setelah ditemukan suatu metode penyelesaian program linear dengan metode simpleks yang dikemukakan oleh George Dantzig pada tahun

3 1947. Selanjutnya berbagai alat dan metode dikembangkan untuk menyelesaikan masalah program linear bahkan sampai pada masalah riset operasi hingga tahun 1950 an sepertipemrogramandinamik,teori antrian, dan teori persediaan. Program Linear banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi didalam industri, perbankkan, pendidikan dan masalah-masalah lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk linear. Bentuk linear di sini berarti bahwa seluruh fungsi dalam model ini merupakan fungsi linear. Secara umum, fungsi pada model ini ada dua macam yaitu fungsi tujuan dan fungsi pembatas. Fungsi tujuan dimaksudkan untuk menentukan nilai optimum dari funsi tersebut yaitu nilai maksimal untuk masalah keuntungan dan nilai minimal untuk masalah biaya. Fungsi pembatas diperlukan berkenaan dengan adanya keterbatasan sumber daya yang tersedia, misalnya jumlah bahan baku yang terbatas, waktu kerja, jumlah tenaga kerja, luas gudang persediaan. Tujuan utama dari program linear ini adalah menentukan nilai optimum (maksimal/minimal) dari fungsi tujuan yang telah ditetapkan. Banyak cara untuk menyelesaikan masalah dalam program linear yaitu dari cara manual yaitu menggunakan perhitungan biasa sampai menggunakan bantuan komputer untuk penyelesaian masalah yang cukup rumit. Apabila banyaknya variabel (peubah) hanya dua buah, maka kita dapat menyelesaikan masalah program linear dengan metode grafik, tetapi dengan keterbatasan metode ini, maka untuk masalah dengan banyaknya variabel yang lebih dari dua, metode ini kurang cocok. Untuk langkah awal ini kita akan menyelesaikan masalah program linear dua peubah dengan menggunakan metode grafik.

4 2.3 Teori Permainan Teori permainan (Game Theory) merupakan teori yang menggunakan pendekatan matematis dalam merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan (Fien Zulkariyah: 2004). Teori ini dikembangkan dengan menganalisa proses pengambilan keputusan dari situasi-situasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan. Ide dasar dari teori permainan adalah tingkah laku strategis dari pemain atau pengambil keputusan (player or decision maker). Setiap pemain diasumsikan mempunyai suatu seri rencana atau model tingkah laku dari mana pemain bisa memilih, kalau memiliki suatu himpunan strategi. Pemain dimaksudkan sebagai gerakan khusus yang harus dipilih dari himpunan strategi yang ada. Anggapannya bahwa, setiap pemain mempunyai kemampuan untuk mengambil keputusan secara bebas dan rasional. Konsep teori permainan menyediakan sebuah bahasa untuk memformulasi, menstruktur, menganalisa dan mengerti scenario strategi. Tujuan teori ini adalah menganalisa proses pengambilan keputusan dari persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih pemain/kepentingan. Kegunaan dari teori permainan adalah metodologi yang disediakan untuk menstruktur dan menganalisa masalah pemilihan strategi. Untuk menggunakan teori permainan, maka langkah pertama adalah menentukan secara explicit pemain, strategi ayng ada, dan juga menentukan preferensi serta reaksi dari stiap pemain. Teori permainan dapat diterapkan dalam berbagai bidang, meliputi kemiliteran, bisnis, social, ekonomi dan ekologi. Sebagai contoh pada dunia bisnis, seorang direktur suatu perusahaan didalam memperkenalkan sebuah produk baru berusaha mengetahui kemungkinan strategi paling baik atau suatu kombinasi strategi untuk merebut market share yang lebih besar, sementara saingannya juga mencoba meperkenalkan produk sejenis dengan strategi yang berbeda dengan direktur pemasaran tersebut, antara lain :

5 penurunan harga, pemberian hadiah, peningkatan mutu produk, memilih media advertasi yang efektif. Disinilah peranan teori permainan untuk menentukan strategi mana yang akan diputuskan oleh dirktur pemasaran tersebut untuk merebut pasar. Persaingan yang dicontohkan diatas dapat diidentifikasi untuk menjelaskan konsep teori permainan yang terdiri dari beberapa unsur-unsur dasar, yaitu: 1. Angka-angka dalam matriks pay-off, atau biasa disebut matriks permainan, menunjukkan hasil-hasil (pay-off) dari strategi strategi permainan yang berbeda-beda, hasil-hasil ini dinyatakan dalam suatu bentuk ukuran efektifitas seperti uang, persentase market share, atau utilitas. 2. Maximizing player adalah pemain yang berada di baris dan yang memenangkan/memperoleh keuntungan permainan, sedangkan minimizing player adalah pemain yang berada di kolom dan yang menderita kekalahan/kerugian. 3. Strategi permainan adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh dari seorang pemain, sebagai reaksi atas perilaku pesaingnya. Dalam hal ini, strategi atau rencana tidak dapat dirusak oleh pesaing lainya. 4. Aturan-aturan permainan adalah pola dimana para pemain memilih strategi mereka 5. Nilai permainan adalah hasil pay-off yang diperkirakan oleh pemain sepanjang rangkaian permainan dimana masing-masing pemain menggunakan strategi terbaiknya. Permainan dikatakan adil apabila nilai permainan sama dengan nol dan sebaliknya. 6. Dominan adalah kondisi dimana pemain dengan setiap pay-offnya dalam strategi superior terhadap setiap pay-off yang berhubungan dalam suatu strategi alternative. Aturan dominan digunakan untuk mengurangi ukuran matriks pay-off dan upaya perhitungan. 7. Strategi optimal adalah kondisi dimana dalam rangkaian kegiatan permainan seorang pemain berada dalam posisi yang paling menguntungkan tanpa menghiraukan kondisi pesaingnya. 8. Tujuan dari model adalah mengidentifikasi strategi atau rencana optimal untuk setiap pemain

6 Dengan demikian, terlihat bahwa unsur-unsur diatas menunjukkan nilai praktis teori keputusan agak terbatas. Tetapi ide dan konsep teori permainan ini untuk beberapa hal berikut : a. Mengembangkan suatu kerangka untuk analisis pengambilan keputusan dalam situasi-situasi persaingan. b. Menguraikan suatu metoda kuantitatif yang sistematis yang memungkinkan para pemain yang terlibat persaingan untuk memilih strategi-strategi yang rasional dalam pencapaian tujuan mereka. c. Memberikan gambaran dan penjelasan situasi-situasi persaingan atau konflik, seperti tawar-menawar dan perumusan koalisi. Model-model teori permainan dapat diklasifikasikan dengan sejumlah cara, seperti jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian, dan jumlah strategi yang diganankan dalam permainan. Sebagai contoh, bila jumlah pemain ada dua, maka permainan disebut sebagai permainan dua-orang. Begitu juga, bila jumlah pemain adalah N (dengan N>2), maka disebut permainan N- orang. Sebelum kasus game theory diselesaikan dengan mengunakan salah satu metode game theory, diidentifikasi terlebih dahulu berdasarkan jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugiaan atau yang biasa disebut nilai permainan, dan jenis strategi yan digunakan. Pada game theory berdasarkan jumlah pemainnya terbagi menjadi dua jenis games yang terkenal, yaitu two person games dan N person games. Two person games jumlah pemainnya sebanyak dua orang, sedangkan N person games jumlah pemainnya lebih dari dua orang. Berdasarkan jumlah keuntungan dan kerugiaan dikenal dua jenis games, yaitu zero sum games dan non zero sum games. Nilai permainan pada zero sum games adalah nol, sedangka non zero sum games nilai permainannya tidak sama dengan nol. Pada game theory terdapat dua jenis strategi permainan yang dapat digunakan, yaitu pure strategy (setiap pemain mempergunakan strategi tunggal) dan mixed strategy (setiap pemain menggunakan campuran dari

7 berbagai strategi yang berbeda-beda). Pure strategy digunakan untuk jenis permainan yang hasil optimalnya mempunyai saddle point (semacam titik keseimbangan antara nilai permainan kedua pemain). Sedangkan mixed strategy digunakan untuk mencari solusi optimal dari kasus game theory yang tidak mempunyai saddle point. 2.3 Unsur-Unsur Dasar Teori Permainan Ada beberapa unsur atau konsep dasar yang sangat penting dalam penyelesaian setiap kasus dengan teori permainan yaitu: a) Jumlah Pemain Permainan diklasifikasikan menurut jumlah kepentingan atau tujuan yang ada dalam permainan tersebut. Dalam hal ini perlu dipahami, bahwa pengertian jumlah pemain tidak selalu sama artinya dengan jumlah Orang yang terlibat dalam permainan. jumlah pemain disini berarti jumlah kelompok pemain berdasarkan masing-masing kepentingan atau tujuannya. Dengan demikian dua orang atau lebih yang mempunyai kepentingan yang sama dapat diperhitungkan sebagai satu kelompok pemain. b) Ganjaran /Payoff Ganjaran/payoff adalah hasil akhir yang terjadi pada akhir permainan berkenaan dengan ganjaran ini, permainan digolongkan menjadi 2 macam kategori, yaitu permainan jumlah-nol (zero-sum games) dan permainan jumlah-bukan-nol (non-zero-sum games). permainan jumlah-nol terjadi jika jumlah ganjaran dari seluruh pemain adalah nol, yaitu dengan memperhitungkan setiap keuntungan sebagai bilangan positif dan setiap kerugian sebagai bilangan negatif. selain dari itu adalah permainan jumlah bukan-nol. Dalam permainan jumlah-nol setiap kemenangan bagi suatu pihak pemain merupakan kekalahan bagi pihak pemain lain. letak arti penting dari perbedaan kedua kategori permainan berdasarkan ganjaran ini adalah bahwa permainan jumlah-nol adalah suatu sistem yang tertutup. sedangkan permainan jumlah-bukan-nol tidak demikian halnya. hampir semua

8 permainan pada dasarnya merupakan permainan jumlah-nol. berbagai situasi dapat dianalisis sebagai permainan jumlah-nol. c) Strategi Permainan Strategi permainan dalam teori permainan adalah suatu siasat atau rencana tertentu dari seorang pemain, sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pemain yang menjadi saingannya. permainan diklasifikasikan menurut jumlah strategi yang tersedia bagi masing-masing pemain. jika pemain pertama memiliki m kemungkinan strategi dan pemain kedua memiliki n kemungkinan strategi, maka permainan tersebut dinamakan permainan m x n. letak arti penting dari perbedaan jenis permainan berdasarkan jumlah strategi ini adalah bahwa permainan dibedakan menjadi permainan berhingga dan permainan tak berhingga. Permainan berhingga terjadi apabila jumlah terbesar dari strategi yang dimiliki oleh setiap pemain berhingga atau tertentu, sedangkan permainan tak berhingga terjadi jika setidak-tidaknya seorang pemain memiliki jumlah strategi yang tak berhingga atau tidak tertentu. d) Matriks Permainan Setiap permainan yang dianalisis dengan teori permainan selalu dapat disajikan dalam bentuk sebuah matriks permainan. matriks permainan disebut juga matriks ganjaran yaitu sebuah matriks yang semua unsur berupa ganjaran dari para pemain yang terlibat dalam permainan tersebut. baris-barisnya melambangkan strategi strategi yang dimiliki pemain pertama, sedangkan kolom-kolomnya melambangkan strategi-strategi yang dimiliki pemain lain. dengan demikian, permainan berstrategi mxn dilambangkan dengan matriks permainan m x n. Teori permainan berasumsi bahwa strategi yang tersedia bagi masingmasing pemain dapat dihitung dan ganjaran yang berkaitan dengannya dapat dinyatakan dalam unit, meskipun tidak selalu harus dalam unit moneter. hal ini penting bagi penyelesaian permainan, yaitu untuk menentukan pilihan strategi yang akan dijalankan oleh masing-masing pemain, dengan menganggap bahwa masing-masing pemain berusaha memaksimumkan

9 keuntungannya yang minimum (maksimin) atau meminimumkan kerugiannya yang maksimum (minimaks). Nilai dari suatu permainan adalah ganjaran rata-rata/ganjaran yang diharapkan dari sepanjang rangkaian permainan, dengan menganggap kedua pemain selalu berusaha memainkan strateginya yang optimum. secara konvensional, nilai permainan dilihat dari pihak pemain yang strategistrateginya dilambangkan oleh baris-baris matriks ganjaran, dengan kata lain dilihat dari sudut pandang pemain tertentu. pemain dikatakan adil (fair) apabila nilainya nol, dimana takseorang pemain pun yang memperoleh keuntungan atau kemenangan dalam permainan yang tidak adil (unfair) seorang pemain akan memperoleh kemenangan atas pemain lain, yaitu jika nilai permainan tersebut bukan nol, dalam hal ini nilai pemain adalah positif jika pemain pertam (pemain Baris) memperoleh kemenangan, sebaliknya nilai permainan negatif jika pemain lain (pemain kolom ) memperoleh kemenangan. e) Titik Pelana (Saddle Poin ) Titik pelana adalah suatu unsur didalam matriks permainan yang sekaligus sebagai maksimin baris dan minimaks kolom. permainan dikatakan bersaing ketat (Strictly determined) jika matriksnya memiliki titik pelana. strategi yang optimum bagi masing-masing pemain adalah strategi pada baris dan kolom yang mengandung titik pelana tersebut. dalam hal ini baris yang mengandung titik pelana merupakan strategi optimum bagi pemain pertama, sedangkan kolom yang mengandung titik pelana merupakan strategi optimum bagi pemain lain. Langkah pertama penyelesaian sebuah matriks permainan adalah memeriksa ada atau tidaknya titik pelana. Bila terdapat titik pelana permainan dapat segera dianalisis untuk diselesaikan. Untuk menentukan titik pelana biasanya dilakukan dengan menuliskan nilai-nilai minimum dan Maksimum masingmasing kolom, kemudian menentukan maksimun diantara minimum baris dan minimum diantara maksimum kolom. jika unsur maksimum dari minimum baris sama dengan unsur minimum dari maksimum kolom, atau jika maksimin =minimaks, berarti unsur tersebut merupakan titik pelana.

10 Contoh: Terdapat sebuah titik pelana pada perpotongan baris kedua dengan kolom ketiga. Nilai permainan adalah 5, mengingat titik plananya 5. Baris kedua merupakan strategi optimum bagi pemain pertama atau pemain baris, sedangkan kolom ketiga merupakan stragi optimum bagi pemain lain atau pemain kolom. Terdapat sebuah titik pelana pada perpotongan baris ketiga (strategi optimum bagi pemain pertama) dengan kolom ketiga (strategi optimum bagi pemain lain), nilai permainan adalah -2. Tidak terdapat titik pelana, karena maksimin minimaks.

11 2.5 Permainan Berjumlah Nol Dari Dua Orang Pemain Ada dua jenis persoalan Two-person, zero-sum game. Pertama, pemain yang posisi pilihan terbaiknya bagi bagi setiap pemain dicapai dengan memilih satu strategi tunggal sehingga permainannya disebut permainan strategi murni (pure-strategi game). Kedua, permainan yang kedua pemainnya melakukan pencampuran terhadap strategi-strategi yang berbeda dengan maksud untuk mencapai posisi pilihan terbaik. Disebut strategi permainan campuran (mixed-strategygame) pure-strategigame pemain yang akan memaksimumkan dan mengidentifikasi strategi optimumnya dengan menggunakan criteria maksimum, sedangkan pemain yang meminimumkan akan mengidentifikasi starategi optimumnya dengan menggunakan criteria minimaks. Jika nilai sama maka permainan telah terpecahkan. Dalam kasus seperti itu, maka telah terjadi titik keseimbangan, disebut saddle point. Jika nilai maksimin tidak sama dengan minimaks, maka titik keseimbangan tidak akan tercapai dan berarti tidak dapat diselesaikan dengan strategi murni sebaliknya dilakukan dengan strategi campuran. Kriteria maksimin (untuk pemain yang memaksimumkan) dapatkan nilai minimum dari masingmasing baris. Nilai terbesar (nilai maksimum) dari nilai-nilai minimum ini adalah nilai maksimin. Dengan demikian, maka untuk permainan dengan strategi murni ini, strategi optimumnya adalah baris tempat nilai maksimin terletak.criteria minimaks (untuk permainan yang meminimumkan)dapatkan nilai maksimum pada masing-masing kolom. Nilai terkecil (nilai minimum) dari nilai-nilai maksimum ini adalah nilai minimaks. Dengan demikian, maka untuk permainan dengan strategi murni ini, strategi optimumnya adalah kolom tempat nilai minimaks terletak. Mixed-strategy game pada game yang tidak memiliki saddle point, penyelesainannya harus dilakukan dengan menggunakan strategi campuran. Para pemain dapat memainkan seluruh strateginya sesuai dengan set probabilitas yang telah ditetapkan. Solusi persoalan strategi campuran ini masih didasarkan pada kriteria maksimin dan minimaks. Perbedaanya adalah kolom memaksimumkan ekspektasi payoff terkecil, sedangkan baris meminimumkan ekspektasi payoff terbesar pada suatu baris. Seperti halnya strategi murni, pada strategi

12 campuran berlakunya hubungan. Ada beberapa metode untuk menyelesaikan permainan jenis ini, diantaranya adalah dengan cara grafis dengan menggunakan program linier. Permainan dengan 2 pemain dengan perolehan (keuntungan)bagi salah satu pemain merupakan kehilangan (kerugian) bagi pemain lainnya. Konsep dari game ini dapat dilihat dari aturan yang berlaku dalam permainan ini. Pada dasarnya jenis ini adalah game dengan interaksi antar pemain yang berkelanjutan. Zero-Sum Game berakibat setiap aksi dari satu pemain selalu berdampak pada pemain lain. Sebagai contoh adalah suatu permanan kartu dengan taruhan. Dengan memisalkan terdapat 2 orang pemain, bila suatu pemain A memenangkan sebanyak 5 poin maka pemain B akan kehilangan sebanyak 5 poin juga. Dengan menganggap bahwa kekalahan adalah suatu minus dari menang, maka pada permainan tadi hanya akan menghasilkan nol pada akhirnya karena (5 5 = 0). Berikut ini adalah gambarannya : Ada dua macam two person zero sum games, pertama jenis permainan startegi murni (pure strategy game) dimana setiap pemain hanya menjalankan strategi tunggal, dan kedua permainan strategi campuran

13 (mixed strategy game) dimana kedua pemain menjalankan strategi yang berbeda-beda. 1. Metode Pure Stategy (Strategi Murni) Hasil yang optimal dari suatu permainan yang mempunyai saddle point dapat diperoleh dengan menggunakan pure strategy. yang dimaksud dengan saddle point adalah semacam titik keseimbangan antara nilai permainan kedua pemain Dalam pure strategy digunakan criteria maksimin dan minimaks. Maksimin adalah nilai maksimum dari nilai-nilai minimum, dan minimaks adalah nilai minimum dari nilai-nilai maksimum Langkah-langkah penyelesaian dengan pure strategy 1. Terjemahkan setiap kasus ke dalam bentuk matriks segi, dimana satu pemain berperan sebagai pemain baris dan yang lain berperan sebagai pemain kolom. 2. Pay-off bernilai positif berarti keuntungan bagi pemain baris 3. Pay-off bernilai negative berarti keuntungan bagi pemain kolom 4. Tentukan nilai minimum setiap baris maksimin 5. Tentukan nilai maksimum dari langkah ke-4 6. Tentukan nilai maksimum setiap kolom minimaks 7. Tentukan nilai minimum dari langkah ke-6 jika nilai maksimin = minimaks, maka ada saddle point, yaitu nilai maksimin atau minimaks = a. Bisa juga dilakukan penyederhanaan matriks pay-off terlebih dahulu dengan berdasarkan pada criteria superioritas, baru kemudian dianalisa dengan menggunakan criteria minimaks dan maksimin. Superioritas adalah suatu criteria penghilangan suatu kolom atau baris dari suatu matriks pay-off sehingga menjadi lebih sederhana berdasarkan pada pendominasian suatu baris/kolom oleh baris/kolom lainnya. - Untuk pemain baris >> if pay-off dari suatu strategi > strategi lain - Untuk pemain kolom >> if pay-off dari satu strategi < strategi lain

14 contoh kasus 1 (Kartono. 1994) Tentukan strategi terbaik dari masing-masing pemain!! Contoh kasus 2 (Teguh Akbar, 2006) Dua buah perusahan yang memiliki produk yang relatif sama, selama ini saling bersaing dan berusaha untuk mendapatkan keuntungan dari pangsa pasar yang ada. Untuk keperluan tersbut, perusahaan A mengandalkan 2 strategi dan perusahaan B menggunakan 3 macam strategi, dan hasilnya terlihat pada tabel berikut ini :

15 Dari kasus di atas, bagaimana strategi yang harus digunakan oleh masingmasing pemain atau perusahaan, agar masing-masing mendapatkan hasil yang optimal (kalau untung, keuntungan tersebut besar, dan kalau harus rugi maka kerugian tersebut adalah paling kecil). Seperti telah dijelaskan di atas, bagi pemain baris akan menggunakan aturan maximin dan pemain kolom akan menggunakan aturan minimax. Langkah 1 Untuk pemain baris (perusahaan A), pilih nilai yang paling kecil untuk setiap baris (Baris satu nilai terkecilnya 1 dan baris dua nilai terkecilnya 4). Selanjutnya dari dua nilai terkecil tersebut, pilih nilai yang paling baik atau besar, yakni nilai 4. Langkah 2 Untuk pemain kolom, (perusahaan B), pilih nilai yang paling besar untuk setiap kolom (kolom satu nilai terbesarnya 8, kolom dua nilai terbesarnya 9, dan kolom tiga nilai terbesarnya 4). Selanjutnya dari tiga nilai terbesar tersebut, pilih nilai yang paling baik atau kecil bagi B, yakni nilai 4 (rugi yang paling kecil).

16 Langkah 3 Karena pilihan pemain baris-a dan pemain kolom-b sudah sama, yakni masingmasing memilih nilai 4, maka permainan ini sudah dapat dikatakan optimal à sudah ditemukan nilai permainan (sadle point) yang sama. Hasil optimal di atas, dimana masing-masing pemain memilih nilai 4 mengandung arti bahwa pemain A meskipun menginginkan keuntungan yang lebih besar, namun A hanya akan mendapat keuntungan maksimal sebesar 4, bila ia menggunakan strategi harga mahal (S2). Sedangkan pemain B, meskipun menginginkan kerugian yang dideritanya adalah sekecil mungkin, namun kerugian yang paling baik bagi B adalah sebesar 4, dan itu bisa diperoleh dengan merespon strategi yang digunakan A dengan juga menerapkan strategi harga mahal (S3). 2. Metode strategi campuran (Mixed Strategy) Setelah pemain baris menggunakan aturan maximin dan pemain kolom menggunakan aturan minimax, andaikan bahwa pilihan pemain baris A dan pemain kolom-b tidak sama, dimana pemain atau perusahaan A memilih nilai a dan perusahaan B memilih nilai a, dengan demikian maka permainan ini dapat dikatakan belum optimal atau stabil, karena belum ditemukan saddle point yang sama. Karena penggunaan strategi murni belum mampu menemukan nilai permainan yang sama, maka penyelesaian masalah permainan/persaingan di atas dilanjutkan dengan digunakannya strategi campuran. Penggunaan strategi campuran mampu menemukan nilai permainan yang sama, strategi campuran juga mampu memberikan hasil yang lebih baik bagi masing-masing perusahaan.

17 John von Neumann mengatakan bahwa kalau himpunan kemungkinan strategi dari para pemain diperluas sampai diluar strategi murni yang mencakup seluruh kemungkinan strategi campuran, selalu ada beberapa strategi campuran untuk pemain pertama yang minimum pay off-nya akan > dari nilai maksimin dan selalu ada beberapa strategi campuran untuk pemain kedua yang maksimum pay off-nya < dari nilai minimaks dan dua nilai pay off itu sama. Suatu srategi campuran untuk pemain pertama (P1) adalah sebuah vector A = (a, a,, a ) dimana entri-entrinya adalah bilangan riil positif. Sehingga a + a + + a = 1, dengan pengertian bahwa P1 akan memainkan strategi S1 dengan peluang a, 1 i m. (Suprapto, Johannes. 1988). Mixed strategy digunakan untuk mencari solusi optimal dari kasus game theory yang tidak mempunyai saddle point (jika permainan tidak seimbang). Pemilihan strategy dilakukan dengan mengevaluasi kombinasi strategy lawan menggunakan prinsip peluang. Ciri permaian dengan strategy campuran : 1. Nilai maximin tidak sama dengan nilai minimax 2. Tidak ada saddle point 3. Permainan tekstabil (unstable game) Penyelesaian masalah dengan strategi campuran dilakukan apabila strategi murni yang digunakan belum mampu menyelesaikan masalah permainan atau belum mampu memberikan pilihan strategi yang optimal bagi masingmasing pemain/perusahaan. Dalam strategi ini seorang pemain atau perusahaan akan menggunakan campuran/lebih dari satu strategi untuk mendapatkan hasil optimal. Contoh kasus : Dari kasus di atas (contoh kasus 2 pada pure strategy), dan karena adanya perkembangan yang terjadi di pasar, maka perusahaan A, yang tadinya hanya memiliki produk dengan harga murah dan mahal, sekarang menambah satu lagi strategi bersainganya dengan juga

18 mengeluarkan produk berharga sedang, dan hasil yang diperoleh tampak pada tabel berikut ini : Langkah 1 Mula-mula akan dicoba dulu dengan menggunakan strategi murni. Seperti telah dijelaskan di atas, bagi pemain baris akan menggunakan aturan maximin dan pemain kolom akan menggunakan aturan minimax. Untuk pemain baris, pilih nilai yang paling kecil untuk setiap baris (Baris satu nilai terkecilnya 2, untuk baris kedua nilai terkecilnya -1 dan baris tiga nilai terkecilnya 1). Selanjutnya dari dua nilai terkecil tersebut, pilih nilai yang paling baik atau besar, yakni nilai 2. Langkah 2 Untuk pemain kolom, pilih nilai yang paling besar untuk setiap kolom (kolom satu nilai terbesarnya 6, kolom dua nilai terbesarnya 5, dan kolom tiga nilai terbesarnya 9). Selanjutnya dari tiga nilai terbesar tersebut, pilih nilai yang paling baik atau kecil bagi B, yakni nilai 5 (rugi yang paling kecil). Langkah 3 Dari tabel di atas terlihat bahwa pilihan pemain baris-a dan pemain kolom- B tidak sama, dimana pemain atau perusahaan A memilih nilai 2 dan perusahaan B memilih nilai 5, dengan demikian maka permainan ini dapat dikatakan belum optimal à karena belum ditemukan nilai permainan (sadle point) yang sama. Oleh karena itu perlu dilanjutkan dengan menggunakan strategi campuran, yang langkahnya adalah sebegai berikut :

19 Langkah 4 Masing-masing pemain akan menghilangkan strategi yang menghasilkan keuntungan atau kerugian paling buruk. Bila diperhatikan pada tabel sebelumnya, untuk pemain A, strategi S2 adalah paling buruk, karena bisa menimbulkan kemungkinan kerugian bagi A (ada nilai negatif / -1 nya). Dan bagi pemain B, strategi S3 adalah paling buruk karena kerugiannya yang bisa terjadi paling besar (perhatikan nilai-nilai kerugian di strategi S3 pemain/perusahaan B) Langkah 5 Setelah pemain A membuang strategi S2 dan pemain B membuang stretgi S3, diperoleh tabel sebagiai berikut : Perhatikan bahwa setelah masing-masing membuang strategi yang paling buruk, maka sekarang persaingan atau permainan dilakukan dengan kondisi, perusahaan A menggunakan strategi S1 dan S3, sementara perusahaan B menggunakan strategi S1 dan S2. Langkah 6 Langkah selanjutnya adalah dengan memberikan nilai probabilitas terhadap kemugkinan digunakannya kedua strategi bagi masing-masing perusahaan. Untuk perusahaan A, bila kemungkinan keberhasilan penggunaan strategi S1 adalah sebesar p, maka kemungkinan keberhasilan digunakannya strategi S3 adalah (1-p). Begitu pula dengan pemain B, bila kemungkinan keberhasilan penggunaan strategi S1 adalah sebesar q, maka kemungkinan keberhasilan digunakannya strategi S2 adalah (1-q). Langkah 7 Selanjutnya mencari nilai besaran probabilitas setiap strategi yang akan digunakan dengan menggunakan nilai-nilai yang ada serta nilai probalitas

20 masing-masing strategi untuk menghitung sadle point yang optimal, dengan cara sebagai berikut : Untuk perusahaan A Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan strategi S1, maka : 2p + 6(1-p) = 2p + 6 6p = 6 4p...(1) Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan strategi S2, maka : 5p + 1(1-p) = 5p + 1 1p = 1 + 4p (2) Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung, maka : 6 4p = 1 + 4p 5 = 8p P = 5/8 = 0,625 Dan apabila nilai p = 0,625, maka nilai (1-p) adalah (1 0,625) = 0,375, sehingga kedua nilai probabilitas untuk strategi S1 dan S3 milik perusahaan A sudah diketahui nilainya. Apabila kedua nilai probabilitas tersebut dimasukkan dalam kedua persamaan di atas, maka keuntungan yang diharapkan oleh perusahaan A adalah : Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2 = 2p + 6(1-p) = 5p + 1(1-p) = 2 (0,625) + 6 (0,375) = 5 (0,625) + 1 (0,375) = 3,5 = 3,5 Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan keuntungan yang diharapkan adalah sama, yakni sebesar 3,5. Coba diingat di atas, bahwa sebelum menggunakan strategi campuran ini keuntungan perusahaan A hanya sebesar 2, berarti dengan digunakan strategi campuran ini, keuntungan perusahaan A bisa meningkat 1,5 menjadi 3,5. Bagaimana dengan perusahaan B? Untuk perusahaan B Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan strategi S1,maka :

21 2q + 5(1-q) = 2q + 5 5q = 5 3p..(1) Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan strategi S3, maka : 6q + 1(1-q) = 6q + 1 1q = 1 + 5p..(2) Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung, maka : 5 3q = 1 + 5q 4 = 8q q = 4/8 = 0,5 Dan apabila nilai p = 0,5, maka nilai (1-p) adalah (1 0,5) = 0,5, sehingga kedua nilai probabilitas untuk strategi S1 dan S2 milik perusahaan B sudah diketahui nilainya. Apabila kedua nilai probabilitas tersebut dimasukkan dalam kedua persamaan di atas, maka kerugian minimal yang diharapkan oleh perusahaan B adalah : Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2 = 2q + 5(1-q) = 6q + 1(1-q) = 2 (0,5) + 5 (0,5) = 6 (0,5) + 1 (0,5) = 3,5 = 3,5 Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan kerugian minimal yang diharapkan adalah sama, yakni sebesar 3,5. Coba diingat di atas, bahwa sebelum menggunakan strategi campuran ini kerugian minimal perusahaan B adalah sebesar 5, berarti dengan digunakan strategi campuran ini, kerugian minimal perusahaan B bisa menurun sebesar 1,5 menjadi 3, Nash Equilibrium (Keseimbangan Nash) Titik ekuilibrium adalah keadaan dimana kedua pihak sudah mencapai kesepakatan. Dalam game theory, Nash equilibrium adalah konsep solusi menggunakan serangkaian strategi dalam negosiasi yang melibatkan 2 pihak atau lebih dimana masing-masing pihak diasumsikan telah mengetahui strategi lawan, dan masing-masing pihak hanya dapat memperoleh keuntungan dengan mengubah strateginya sendiri. Bila pihak yang terlibat lebih dari 2, maka masing-masing pihak dapat mempertimbangkan alasan rasional dengan cara membentuk koalisi dengan pihak lain.

22 Jadi untuk menuju titik ekuilibrium dalam pendekatan Nash, pertanyaan utama yang harus dijawab kedua pihak adalah apakah dengan mengetahui strategi lawan, dengan asumsi bahwa strategi lawan adalah konstan, apakah negosiator itu dapat memperoleh keuntungan dengan cara mengubah strateginya? Negosiator berada dalam titik ekuilibrium jika perubahan strategi oleh salah satu pihak akan membawa dampak yang menguntungkan dengan biaya yang lebih rendah jika dibandingkan dengan jika negosiator itu tetap pada strategi semula. Negosiasi yang ideal menurut Nash tidak harus menguntungkan kedua belah pihak, yang penting dalam pendekatan ini adalah ketika kedua pihak mendapat bagian dalam pencapaian kepentingannya, tidak mempermasalahkan prosentase kepentingan yang terakomodasi. Jadi dalam hal ini keadaan win-lose dapat diterima. Nash Equilibrium mengakomodasi keadaan negosiasi yang non-cooperatif dan dilaksanakan secara terbuka. Di katakan non cooperatif karena dianggap tidak membentuk dan menjaga suatu urutan alur, tidak memperhatikan variabel diluar fokus pada kepentingan masing-masing, langsung pada sasaran dan telah ada pertukaran informasi dan strategi pada fase prenegosiasi. Gagasan utamanya adalah negosiator dapat memperjuangkan kepentingan secara rasional, dimana hasil akhirnya adalah tercapainya sebuah kesepakatan. Dalam negosiasi non-cooperatif ada tiga karakteristik khusus yaitu adanya informasi secara terbuka dengan terbukanya kepentingan yang mengarah pada bentuk koalisi bila pihak yang terlibat lebih dari dua, sifatnya tidak mengikat, dan adanya pemaksaan pada dirinya sendiri untuk melakukan suatu tindakan yang diinginkan (self enforcing). Karena menitikberatkan pada pengambilan dan pengubahan strategi, negosiasi dalam Nash Equilibrium berlangsung dalam dua tahap. Tahapan pertama sekaligus tahapan yang paling menentukan adalah pre-negosiasi dimana kedua pihak saling menginformasikan semua alternatif, penawaran dan permintaan ke lawan sehingga masing-masing pihak dapat menganalisis posisi diri sendiri dan lawan. Selanjutnya tahapan kedua adalah negosiasi itu

23 sendiri dimana negosiator menganalisis strategi lawan dan menentukan perubahan strategi yang dianggap lebih baik. Pendekatan kedua adalah A Coalition-Proof Nash Equilibrium (CPNE). CPNE ini muncul ketika negosiator tidak dapat melakukan hal yang lebih baik lagi walaupun mereka dapat saling bertukar informasi pada tahap prenegosiasi. Nilai lebih dari teori ini adalah untuk merevisi asumsi dan pandangan dangkal dari gagasan mengenai bukti keseimbangan Nash dalam koalisi serta proses negosiasi yang disusun dengan grafik untuk membantu perluasan sifat dasar pendekatan dari model persiapan komunikasi dengan permainan yang lebih variatif. Ketika pemain-pemain meramalkan secara benar dan masuk akal akan strategi dari lawan-lawan mereka, mereka tidak hanyalah memainkan tanggapantanggapan terbaik kepada kepercayaan-kepercayaan mereka tentang permainan lawan mereka; mereka sedang memainkan tanggapan-tanggapan terbaik kepada permainan yang nyata dari lawan-lawan mereka. Ketika semua pemain secara benar meramalkan strategi lawan mereka, dan tanggapantanggapan permainan terbaik untuk peramalan-peramalan ini, profil strategi yang hasilnya adalah suatu keseimbangan Nash. (Ratliff, Jim. 1992) Contoh Dasar: Dilema Narapidana Dilema narapidana adalah yang sangat popular sebagai dasar atau ilustrasi contoh dari teori permainan Nash. Ada dua tahanan, Jack dan Tom, yang baru saja ditangkap untuk merampok bank. Polisi tidak memiliki cukup bukti untuk menghukum mereka, tetapi tahu bahwa mereka melakukan kejahatan. Mereka menempatkan Jack dan Tom di kamar interogasi secara terpisah dan berbeda konsekuensi. Jika kedua Jack dan Tom mengaku mereka masing-masing akan mendapatkan 10 tahun penjara. Jika seseorang mengaku dan yang lainnya tidak, orang yang mengaku akan bebas dan yang lain akan menghabiskan 20 tahun di penjara.

24 Jika tidak ada yang mengaku, mereka akan sama-sama mendapatkan hukuman 5 tahun untuk kejahatan yang berbeda yang mereka inginkan. Lebih mudah untuk melihat dan membandingkan hasil ini jika kita masukkan ke dalam matriks: Jack C NC TOM C -10,-10 0,-20 NC -20, 0-5,-5 Karena strategi Tom terdaftar dalam baris, atau sumbu x, dengan hadiah pertama terdaftar. Jack terdaftar hadiah kedua karena strategi-nya di kolom, atau pada sumbu-y. "C" berarti "mengaku" dan "NC" berarti "tidak mengaku.". Matriks ini disebut "Normal Form" dalam teori permainan. Bergerak yang simultan, yang berarti bahwa baik pemain tahu keputusan yang lain dan keputusan yang dibuat pada waktu yang sama (dalam contoh ini, kedua tahanan tersebut di kamar terpisah dan tidak akan dibiarkan keluar sampai mereka memiliki membuat keputusan mereka). Pada pandangan pertama, tampaknya bahwa kedua pemain tidak mengaku adalah pilihan terbaik karena setiap tahanan hanya akan mendapatkan 5 tahun, tetapi yang lebih mendalam akan tampak menunjukkan bahwa hal ini tidak terjadi. Dominan Strategi Dengan melihat setiap tahanan secara individual, kita dapat menemukan strategi murni yang dominan. Pertama lihat Tom. Mari kita asumsikan bahwa Jack akan mengakui, apa strategi terbaik untuk Tom?. Jika Jack mengaku dan Tom tidak, Tom akan masuk penjara selama 20 tahun, tetapi jika ia tidak mengaku dia akan hanya pergi selama 10. Dalam kasus ini, sebaiknya bagi

25 Tom untuk mengaku. Mari kita menyoroti hasil ini dalam matriks untuk melacak. JACK C C NC TOM C -10,-10 0,-20 NC -20, 0-5,-5 Sekarang mari kita asumsikan bahwa Jack tidak akan mengaku. Kalau Tom mengaku, ia akan bebas, jika ia tidak mengaku, dia akan mendapatkan 10 tahun. Sekali lagi, pilihan terbaiknya adalah dengan mengakui, tidak peduli apa yang Jack pilih. Karena dalam kedua kasus nya adalah pilihan terbaik untuk mengaku, mengakui adalah murni dominan strategi (itu juga benar untuk mengatakan tidak mengakui didominasi oleh mengaku). Sebuah strategi dominan adalah strategi yang memiliki hasil terbaik tidak peduli apa pilihan pemain lain. JACK C NC TOM C -10,-10 0,-20 NC -20,0-5,-5 Sejak Tom dan Jack keduanya memiliki pilihan yang sama dan hukuman yang sama, dominan strategi murni bagi jack juga adalah mengaku. Setelah melalui langkah-langkah yang sama, Anda dapat menyorot matrix anda sebagai berikut:

26 JACK TOM C NC C -10, -10 0,-20 NC -20, 0-5,-5 Nash Equilibrium Anda akan melihat bahwa hukuman untuk (mengaku, mengaku) keduanya disorot. Karena kedua tahanan yang sama dominan memiliki strategi murni, mengaku, mereka akan sama-sama mengaku dan masing-masing akan mendapatkan 10 tahun penjara. Ini adalah Nash Equilibrium, (John F. Nash) Sebuah Nash Equilibrium adalah setiap hasil di mana tidak ada penyimpangan menguntungkan sepihak - yaitu, memegang semua pemain lain secara konstan, satu pemain tidak dapat memilih strategi yang akan membuatnya lebih baik. Dalam kasus ini, jika salah satu pemain tidak mengaku, dia akan mendapatkan 20 tahun bukan 10. Kotak hasilnya (5,5) yang dihasilkan dari (NC, NC) adalah bukan Nash Equilibrium, karena ada pemain yang mempunyai pilihan yang lebih baik karena bisa mengakui (mendominasi) dan pergi bebas daripada menghabiskan 5 tahun di penjara. Dalam beberapa permainan ada beberapa kesetimbangan Nash, tapi yang akan dibahas kemudian.