a + b B a + b = b + a ( ii) a b = b. a

Transkripsi

1 A ljabar Boolean M isalkan terdapat - Dua operator biner: + dan - S ebuah operator uner:. - B : himpunan ang didefinisikan pada opeartor +,, dan - dan adalah dua elemen ang berbeda dari B. T upel (B, +,, ) disebut a ljabar Boolean j ika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma- a ksioma atau postulat Huntington berikut:. C losure: ( i) a + b B ( ii) a b B 2. Identitas: ( i) a + = a ( ii) a = a 3. Komutatif: ( i) a + b = b + a ( ii) a b = b. a 4. Distributif: ( i) a (b + c ) = ( a b ) + ( a c) ( ii) a + ( b c ) = ( a + b ) (a + c) 5. Komplemen : ( i) a + a = ( ii) a a =

2 Untuk mempunai d iperlihatkan: sebuah. Elemen- elemen himpunan B, aljabar Boolean, 2. K aidah operasi untuk operator b iner dan operator uner, 3. M emenuhi postulat Huntington. harus Aljabar Boolean Dua- N ilai Aljabar Boolean dua- n ilai: - B = {, } - operator biner, + dan - o perator uner, - K aidah untuk operator biner dan operator uner: a b a b a b a + b a a C ek apakah memenuhi postulat Huntington:. C losure : jelas berlaku 2. I dentitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: ( i) + = + = ( ii) = = 3. K omutatif: b iner. jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator 2

3 4. Distributif: (i) a (b + c ) = ( a b ) + ( a c ) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel k ebenaran: b c b + c a (b + c) a b a c (a b) + ( a c) a ( ii) Hukum distributif a + ( b c ) = ( a + b ) (a + c ) dapat d itunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan c ara ang sama seperti (i). 5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan b ahwa: ( i) a + a =, karena + = + = dan + = + = ( ii) a a =, karena = = dan = = K arena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {, } bersama- sama dengan operator biner + dan operator k omplemen merupakan aljabar Boolean. 3

4 E kspresi Boolean Misalkan ( B, +,, ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu e kspresi Boolean dalam ( B, +,, ) adalah: ( i) setiap elemen di dalam B, ( ii) setiap peubah, ( iii) jika e dan e 2 adalah ekspresi Boolean, maka e + e 2, e e 2, e adalah ekspresi Boolean C ontoh: a b c a + b a b a (b + c) a b + a b c + b, dan sebagaina M engevaluasi Ekspresi Boolean Contoh: a (b + c) jika a =, b =, dan c =, maka hasil evaluasi ekspresi: ( + ) = = Dua ekspresi Boolean dikatakan e kivalen (dilambangkan d engan = ) jika keduana mempunai nilai ang sama untuk setiap pemberian nilai- nilai kepada n p eubah. C ontoh: a (b + c ) = ( a. b ) + ( a c) 4

5 C ontoh. Perlihatkan bahwa a + a b = a + b. P enelesaian: a b a a b a + a b a + b Perjanjian: tanda titik ( ) dapat dihilangkan e kspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan: ( i) a(b + c ) = a b + a c ( ii) a + b c = ( a + b ) ( a + c) ( iii) a, bukan a dari penulisan P rinsip Dualitas Misalkan S adalah kesamaan ( identit) di dalam aljabar Boolean ang melibatkan operator +,, dan komplemen, maka jika pernataan S* diperoleh dengan cara mengganti d engan + + dengan dengan dengan dan membiarkan operator komplemen tetap apa adana, maka kesamaan S * juga benar. S * disebut sebagai d ual dari S. C ontoh. ( i) ( a )( + a ) = dualna (a + ) + ( a ) = ( ii) a(a + b ) = a b dualna a + a b = a + b 5

6 Hukum-h ukum Aljabar Boolean. H ukum identitas: ( i) a + = a 2. H ukum idempoten: ( i) a + a = a ( ii) a = a ( ii) a a = a 3. H ukum komplemen: ( i) a + a = ( ii) aa = 5. H ukum involusi: ( i) (a ) = a 7. H ukum komutati f: ( i) a + b = b + a ( ii) a b = b a 9. H ukum distributif: ( i) a + ( b c ) = ( a + b ) ( a + c) ( ii) a (b + c ) = a b + a c 4. H ukum dominansi: ( i) a = ( ii) a + = 6. H ukum penerapan: ( i) a + a b = a ( ii) a(a + b ) = a 8. H ukum asosiatif: ( i) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ( ii) a (b c ) = ( a b ) c. H ukum De Morgan: ( i) (a + b ) = a b ( ii) ( a b) = a + b. H ukum / ( i) = ( ii) = C ontoh 7.3. Buktikan (i) a + a b = a + b dan (ii) a(a + b ) = a b P enelesaian: ( i) a + a b = ( a + a b) + a b ( Penerapan) = a + ( a b + a b) ( Asosiatif) = a + ( a + a ) b ( Distributif) = a + b ( Komplemen) = a + b ( Identitas) ( ii) adalah dual dari (i) 6

7 F ungsi Boolean F ungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari B n ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskanna s ebagai f : B n B ang dalam hal ini B n adalah himpunan ang beranggotakan pasangan terurut ganda-n ( ordered n-t uple) di dalam daerah asal B. Setiap ekspresi B oolean. Boolean tidak lain merupakan fungsi M isalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(,, z ) = z + + z Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda- 3 (,, z ) ke himpunan {, }. Contohna, (,, ) ang berarti =, =, dan z = sehingga f(,, ) = + + = + + =. Contoh. Contoh-c ontoh fungsi Boolean ang lain:. f( ) = 2. f(, ) = f(, ) = 4. f(, ) = ( + ) 5. f(,, z ) = z 7

8 Setiap bentuk peubah di dalam fungsi Boolean, komplemenna, disebut l iteral. termasuk dalam Contoh: Fungsi h(,, z ) = z pada dari 3 buah literal, aitu,, dan z. contoh di atas terdiri C ontoh. Diketahui fungsi d alam tabel kebenaran. Booelan f(,, z ) =, natakan h P enelesaian: f(,, z ) = K omplemen Fungsi. C ara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, dan 2, adalah C ontoh. Misalkan f(,, z ) = ( z + z) f (,, z ) = ( ( z + ) ) = + ( z + ) = + ( z ) ( ) = + ( + z ) ( + z ), maka 8

9 2. C ara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Tentukan dual dari ekspresi Boolean ang merepresentasikan l alu komplemenkan setiap literal di dalam d ual tersebut. f, C ontoh. Misalkan f(,, z ) = ( z + z), maka dual dari f: + ( + z ) ( + z) k omplemenkan tiap literalna: + ( + z ) ( + z ) = f J adi, f (,, z ) = + ( + z )( + z ) B entuk Kanonik J adi, ada dua macam bentuk kanonik:. Penjumlahan dari hasil kali ( sum-of-p roduct a tau SOP) 2. Perkalian dari hasil jumlah ( product-of-s um a tau POS) Contoh:. f(,, z ) = z + z + z S OP Setiap suku ( t erm) disebut m interm 2. g(,, z ) = ( + + z )( + + z )( + + z ) ( + + z )( + + z ) P OS Setiap suku ( t erm) disebut m aterm Setiap m interm/ m aterm m engandung literal lengkap 9

10 M interm M aterm S uku L ambang S uku L ambang m m m 2 m M M M 2 M 3 M interm M aterm S uku L ambang S uku L ambang z m + + z M z m + + z M m z M 2 m z M 3 z m z M 4 z m z M 5 m z M 6 m z M 7 C ontoh 7.. Natakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk k anonik SOP dan POS. T abel 7. f(,, z)

11 P enelesaian: ( a) S OP Kombinasi nilai- nilai peubah ang menghasilkan nilai sama dengan adalah,, dan, maka B ooleanna dalam bentuk kanonik SOP adalah fungsi fungsi f(,, z ) = z + z + z a tau (dengan menggunakan lambang m interm), f(,, z ) = m + m 4 + m 7 = (, 4, 7) ( b) POS Kombinasi nilai- nilai peubah ang menghasilkan nilai fungsi sama dengan adalah,,,, dan, maka f ungsi Booleanna dalam bentuk kanonik POS adalah f(,, z ) = ( + + z )( + + z )( + + z ) ( + + z )( + + z) a tau dalam bentuk lain, f(,, z ) = M M 2 M 3 M 5 M 6 = (, 2, 3, 5, 6) C ontoh 7.. Natakan fungsi Boolean b entuk k anonik SOP dan POS. P enelesaian: ( a) SOP = ( + ) = + = (z + z ) + ( z + z ) = z + z + z + z f(,, z ) = + z dalam

12 z = z ( + ) = z + z Jadi f(,, z ) = + z = z + z + z + z + z + z = z + z + z + z + z atau f(,, z ) = m + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = (,4,5,6,7) ( b) POS f(,, z ) = + z = ( + )( + z) + = + + z z = ( + + z )( + + z ) + z = + z + = ( + + z )( + + z) Jadi, f(,, z ) = ( + + z )( + + z )( + + z )( = ( + + z )( + + z )( + + z ) + + z) atau f(,, z ) = M M 2 M 3 = (, 2, 3) 2

13 K onversi Antar Bentuk Kanonik M isalkan f(,, z) = (, 4, 5, 6, 7) dan f adalah fungsi komplemen dari f, f (,, z ) = (, 2, 3) = m + m 2 + m 3 Dengan menggunakan hukum De f ungsi f d alam bentuk POS: Morgan, kita dapat memperoleh f (,, z ) = ( f (,, z )) = ( m + m 2 + m 3 ) = m. m 2. m 3 = ( z ) ( ) ( ) = ( + + z ) ( + + z ) ( + + z ) = M M 2 M 3 = (,2,3) J adi, f(,, z) = (, 4, 5, 6, 7) = (,2,3). K esimpulan : m j = M j C ontoh. N atakan f(,, z ) = (, 2, 4, 5) dan g(w,,, z) = (, 2, 5, 6,, 5) d alam bentuk SOP. P enelesaian: f(,, z) = (, 3, 6, 7) g(w,,, z ) = (, 3, 4, 7, 8, 9,, 2, 3, 4) 3

14 C ontoh. Carilah bentuk kanonik SOP dan POS dari + z f(,, z ) = P enelesaian: ( a) SOP f(,, z) = + + = ( + ) ( z + z ) + (z + z ) + = ( + ) (z + z ) + z + z + = z + z + z + z + z + z + + atau f(,, z) = m + m + m 2 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 ( b) POS f(,, z) = M 3 = + + z B entuk Baku C ontohna, f(,, z ) = + + ( bentuk baku SOP f(,, z ) = ( + z )( + + z ) ( bentuk baku POS) 4

15 A plikasi Aljabar Boolean. Jaringan Pensaklaran ( S witching Network) Saklar t utup. adalah objek ang mempunai dua buah keadaan: buka dan T iga b entuk gerbang paling sederhana:. a b O utput b hana ada jika dan hana jika dibuka 2. a b O utput b hana ada jika dan hana jika dan dibuka 3. a b c O utput c h ana ada jika dan hana jika atau dibuka + 5

16 C ontoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:. Saklar d alam hubungan SERI: logika AND L ampu A B S umber tegangan 2. Sakl ar d alam hubungan PARALEL: logika OR A L ampu B S umber Tegangan C ontoh. Natakan rangkaian i ni dalam ekspresi Boolean. pensaklaran pada gambar di bawah z z J awab: + ( + )z + ( + z + z) 6

17 2. Rangkaian Digital Elektronik + ' G erb ang AND G erbang OR Gerbang NOT ( i nverter) C ontoh. Natakan fungsi l ogika. f(,, z ) = + ke dalam rangkaian J awab: (a) Cara pertama +' ' ' ( b) Cara kedua + ' ' ' ( b) Cara ketiga +' ' ' 7

18 G erbang turunan ( ) ' + G erbang NAND G erbang XOR ( + ) ' ( + )' G erbang NOR G erbang XNOR ( + )' ekivalen dengan + ( + )' ' ' '' ekivalen dengan ( + ) ' ' ' ' + ' ekivalen dengan ( ) ' 8

19 P enederhanaan Fungsi Boolean C ontoh. f(, ) = + + d isederhanakan menjadi f(, ) = + P enederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:. S ecara aljabar 2. M enggunakan Peta Karnaugh 3. M enggunakan metode Quine Mc Cluske (metode Tabulasi). Penederhanaan Secara Aljabar C ontoh:. f(, ) = + = ( + )( + ) = ( + ) = + 2. f(,, z ) = z + + = z( + ) + = z + z 3. f(,, z ) = + z + = + z + ( + ) = + z + z + = ( + z ) + z ( + ) = + z 9

20 2. a. Peta P eta Karnaugh Karnaugh dengan dua peubah m m m 2 m 3 b. Peta dengan tiga peubah m m m 3 m 2 z z m 4 m 5 m 7 m 6 z z z z C ontoh. D iberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh. f(,, z) 2

21 b. P eta dengan empat peubah m m m 3 m 2 w w z w z w w m 4 m 5 m 7 m 6 w z w z w z w z m 2 m 3 m 5 m 4 w z w z w z w z m 8 m 9 m m w z w z w w Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh. w f(w,,, z) w 2

22 T eknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh. Pasangan: dua buah ang bertetangga w S ebelum disederhanakan: f(w,,, z ) = w z Hasil Peneder hanaan: f(w,,, z ) = w B ukti secara aljabar: f(w,,, z ) = w z + w z = w (z + z ) = w ( ) = w + w z 2. Kuad: empat buah ang bertetangga w S ebelum disederhanakan: f(w,,, z ) = w z + w z + w z + w z H asil penederhanaan: f(w,,, z ) = w 22

23 B ukti secara aljabar: f(w,,, z ) = w + w = w (z + z) = w ( ) = w w C ontoh lain: w Sebelum disederhanakan: f(w,,, z ) = w z + w z + w z + w z H asil penederhanaan: f(w,,, z ) = w 23

24 3. Oktet: delapan buah ang bertetangga w S ebelum disederhanakan: f(a, b, c, d ) = w z + w z + w z + w z + w z + w z + w + w H asil B ukti penederhanaan: f(w,,, z ) = w secara aljabar: f(w,,, z ) = w + w = w( + ) = w w 24

25 C ontoh 5.. S ederhanakan fungsi z. Boolean f(,, z ) = + z + z + J awab: P eta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah: Hasil penederhanaan: f(,, z ) = + z C ontoh 5.2. A ndaikan suatu tabel kebenaran telah diterjemahkan ke dalam Peta Karnaugh. Sederhanakan fungsi Boolean ang bersesuaian sesederhana m ungkin. w J awab: (lihat Peta Karnaugh) f(w,,, z ) = w + + w z 25

26 C ontoh 5.3. Minimisasi fungsi Boolean ang bersesuaian dengan Peta K arnaugh di bawah ini. w J awab: (lihat Peta Karnaugh) f(w,,, z ) = w + z J ika penelesaian Contoh 5.3 adalah seperti di bawah ini: w m aka fungsi Boolean hasil penederhanaan adalah f(w,,, z ) = w + w z ( jumlah literal = 5) ang ternata masih ( jumlah literal = 4). belum sederhana dibandingkan f(w,,, z ) = w + z 26

27 C ontoh 5.4. ( Penggulungan/ r olling) Sederhanakan b ersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini. fungsi Boolean ang w J awab: f(w,,, z ) = z + z ==> belum sederhana P enelesaian ang lebih minimal: w f(w,,, z ) = z = ==> lebih sederhana 27

28 Contoh 5.5: (Kelompok berlebihan) Sederhanakan b ersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini. fungsi Boolean ang w J awab: f(w,,, z ) = z + w z + w z m asih belum sederhana. P enelesaian ang lebih minimal: w f(w,,, z ) = z + z w = ==> lebih sederhana 28

29 C ontoh 5.6. Sederhanakan fungsi Boolean ang bersesuaian dengan Peta K arnaugh di bawah i ni. c d a b J awab: (lihat Peta Karnaugh di atas) f(a, b, c, d ) = a b + a d + a c + b cd C ontoh 5.7. Minimisasi fungsi Boolean J awab: z = z( + ) = + z = (z + z ) = + = ( + ) = z + f(, f(,, z ) = z + + z + = + z z + z = + z + + z + z P eta Karnaugh untuk fungsi tersebut a dalah:, z ) = z + + z + + Hasil penederhanaan: f(,, z ) = z + 29

30 P eta Karnaugh untuk lima peubah m m m 3 m 2 m 6 m 7 m 5 m 4 m 8 m 9 m m m 4 m 5 m 3 m 2 m 24 m 25 m 27 m 26 m 3 m 3 m 29 m 28 m 6 m 7 m 9 m 8 m 22 m 23 m 2 m 2 G aris pencerminan C ontoh 5.2. (Contoh penggunaan Peta 5 peubah) Carilah fungsi sederhana dari f(v, w,,, z ) = (, 2, 4, 6, 9,, 3, 5, 7, 2, 25, 27, 29, 3) J awab: P eta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah: z v w Jadi f(v, w,,, z ) = w z + v w z + v z 3

31 3 eadaan K e Car on t D 5.6 abel T w l esima d care on t d care on t d care on t d care on t d care on t d care on t d ontoh C i fungs Minimisasi 5.7. Tabel iberikan D f a sesederhan ungkin. m 5.7 abel T a b c d f(a, b, c, d) X X X X X X X X

32 J awab: Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah: a b c d X X X X X X X Hasil penederhanaan: f(a, b, c, d ) = b d + c d + c d C ontoh Minimisasi fungsi Boolean f(,, z ) = + + z + z. Gambarkan rangkaian logikana. J awab: Rangkaian logika fungsi f(,, z ) sebelum diminimisasikan adalah s eperti di bawah ini: ' z ' ' 'z' 'z 32

33 M inimisasi dengan Peta Karnaugh ada lah sebagai berikut: Hasil minimisasi adalah f(,, z ) = +. ' ' +' ' C ontoh B erbagai sistem digital menggunakan kode binar coded d ecimal ( BCD). Diberikan Tabel 5.9 untuk konversi BCD ke kode Ecess- 3 sebagai berikut: T abel 5.9 M asukan BCD Keluaran kode Ecess-3 w f (w,,, z) f 2 (w,,,z) f 3 (w,,, z) f 4 (w,,, z) 33

34 w ( a) f (w,,, z) X X X X X X f (w,,, z ) = w + z + = w + ( + z) ( b) f 2 (w,,, z) w X X X X X X f 2 (w,,, z ) = z + z + = z + ( + z) ( c) f 3 (w,,, z) w X X X X X X f 3 (w,,, z ) = z + 34

35 ( d) f 4 (w,,, z) w X X X X X X f 4 (w,,, z ) = z w f4 f3 f2 f 35