Transkripsi

1

2

3

4

5

6

7

8

9 Daftar Pustaka Anderson, D.R., Sweeney, D.J., William, T.A.(), an Introduction to Management Science, Quantitative Approaches to Decision Making, th ed, South-Western. Bronson, R. (98), Theory and Problems of Operations Research, Schaum s Outline Series, McGraw-Hill Deo, N. (986), Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science, McGraw-Hill Gillett, B.E. (976), Introduction to Operations Research, A Computer-Oriented Algorithmic Approach, McGraw-Hill Hillier, F.S., Lieberman, G.J. (986), Introduction to Operations Research, th ed, McGraw-Hill Ignizio, J.P., Cavalier, T.M. (99), Linear Programming, Prentice Hall Int Jong Jek Siang. (9), Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, ed, Andi Offset Loomba, N.P. (979), Linear Programming, An Introductory Analysis, McGraw-Hill Mital, K.V. (979), Optimization Methods in Operations Research and Systems Analysis, Wiley Eastern Limited Ravindran, A., Phillips, D.T., Solberg, J.J. (987), Operations Research, Principles and Practice, nd ed, John Wiley & Sons

10 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Susanta, B. (986), Diktat Kuliah Program Linier, FMIPA UGM Taha, H.A. (987), Operations Research, an Introduction, rd ed, MacMillan Publishing Co, Inc Takaoka, T. (998), Shortest path algorithm for Nearly acyclic directed graph, Theoretical Computer Science, () pages - Takaoka, T. (), Improved Shortest Path Algorithm for Nearly Acyclic Directed Graph, TElectronic Notes in theoretical Computer Science (), Terry L Dennis, Laurie B Dennis (99), Management Science, West Publication Company. Thie, P.R. (979), An Introduction to Linear Programming and Game Theory, John Wiley & Sons Wu, N, Coppins, R. (98), Linear Programming and Extensions, McGraw-Hill

11 Bab PENDAHULUAN. Sejarah Riset Operasi Masalah Riset Operasi (Operation Research) pertama kali muncul di Inggris selama Perang Dunia II. Inggris mula-mula tertarik menggunakan metode kuantitatif dalam pemakaian radar selama perng. Mereka menamakan pendekatan itu sebagai Operation Research karena mereka menggunakan ilmuwan (scientist) untuk meneliti (research) masalah-masalah operasional selama perang. Pendekatan tersebut sangat berhasil dalam memecahkan masalah-masalah operasi konvoi, operasi anti kapal selam, strategi pengeboman, dan operasi pertambangan. Aplikasi ini menyebabkan Riset Operasi didefinisikan sebagai : " Seni memenangkan perang tanpa berperang " (Whitehouse (976)). Setelah perang usai, praktisi-praktisi Riset Operasi berkonsentrasi untuk memformalkan ilmu/pendekatan yang mereka kembangkan selama perang dan mencari aplikasinya dalam sektor industri. Beberapa pendekatan sudah dimulai dalam bidang industri oleh Frederick W Taylor, yang menimbulkan ilmu tersendiri dalam bidang Teknik Industri. Taylor menyadari bahwa sebelum revolusi industri, kebanyakan bisnis adalah bisnis kecil-kecilan yang dikelola oleh satu orang saja. Akan tetapi dengan otomatisasi, manajemen dan spesialisasi dapat dikembangkan. Otomatisasi tersebut menyebabkan timbulnya permasalahan baru dalam manajemen. Akibatnya, muncul disiplin ilmu baru dalam Teknik Industri seperti Riset Pasar, Keuangan, dll. Masingmasing disiplin ilmu mulai mencoba menyelesaikan permasalahannya sendiri-sendiri tanpa memperhatikan organisasi secara keseluruhan. Manajer harus menentukan hal terbaik bagi keseluruhan perusahaan, bukan pada masing-masing bagian. Manajer harus menemukan penyelesaian optimum secara keseluruhan. Penyelesaian optimum masing-masing bagian biasanya mudah dicari, tetapi optimum secara keseluruhan sulit ditemukan. Riset Operasi mencoba membantu manajer dalam menyelesaikan masalah yang

12 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis menyangkut interaksi diantara obyek-obyek dengan mencari keputusan terbaik pada seluruh sistem. Riset operasi berhubungan dengan prinsip optimisasi, yaitu bagaimana cara menggunakan sumber daya (waktu, tenaga, biaya, dll) untuk mengoptimalkan hasil. Mengoptimalkan hasil dapat berarti meminimumkan sesuatu yang merugikan/dikeluarkan atau memaksimumkan sesuatu yang menguntungkan/didapatkan. Beberapa contoh kasus sehari-hari yang berhubungan dengan riset operasi antara lain : Ada banyak jalur darat yang bisa dilalui dari Jakarta ke Jogja. Jalur mana yang paling optimal dari segi jarak? dari segi biaya? dari segi waktu? Pembuatan kaleng untuk menyimpan makanan. Berapa ukuran kaleng (diameter dan tinggi) agar dengan volume tertentu akan membutuhkan bahan yang seminimum mungkin? Pengaturan lampu traffic light. Berapa lama lampu hijau/merah di tiap-tiap sisi harus menyala agar panjang antrian kendaraan se minimum mungkin? Operations Research Society of America mendefinisikan Riset Operasi sebagai berikut : " Riset Operasi berhubungan dengan keputusan ilmiah tentang bagaimana mengoptimalkan rancangan dan operasi mesin maupun SDM, yang biasanya terjadi pada keadaan dimana sumber daya dan alokasinya terbatas " Beberapa masalah dalam industri sangat mirip dengan masalah-masalah yang ditemukan dalam bidang militer selama Perang Dunia II. Riset Operasi hanyalah menambahkan matematika yang sebelumnya tidak ada dalam pemecahan masalah. Metode Riset Operasi lebih banyak diterima sejak ditemukannya komputer pada tahun 9-an.. Aplikasi Riset Operasi Beberapa masalah industri yang dapat dianalisa oleh Riset Operasi antara lain : Keuangan Analisa Cash Flow, Investasi Portofolio Perkreditan

13 PENDAHULUAN Prosedur klaim dan complaint Eksplorasi dan Purchasing Aturan pembelian bahan dengan harga yang bervariasi Penentuan kuantitas dan waktu pembelian Strategi ekplorasi dan eksploitasi bahan mentah Kebijakan penggantian barang Distribusi Lokasi dan ukuran gudang, pusat distribusi dan pengecer Kebijakan distribusi Logistik dan sistem distribusi Perencanaan Jumlah, ukuran dan lokasi pabrik, rumah sakit, dll beserta dengan interaksi di dalamnya. Industri Perencanaan produksi Stabilisasi produksi dan karyawan, training, dll Manajemen Konstruksi Kebijakan maintenance, Jumlah karyawan maintenance Pengaturan proyek, alokasi sumber daya Marketing Pemilihan produk, timing, perlakuan terhadap kompetitor Penentuan jumlah salesman Strategi periklanan Personel Pemilihan personel, gabungan antara umur dan ketrampilan

14 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Kebijakan penerimaan karyawan, pembagian kerja Aplikasi Riset Operasi juga mempunyai dampak yang kuat dalam studi masalah-masalah sosial dan pekerjaan umum. Orang menjadi lebih sadar tentang bagaimana Riset Operasi dapat membantu aktivitas pengambilan keputusan sehari-hari. Aplikasi-aplikasi dalam kesehatan masyarakat, perencanaan kota dan sistem pendidikan kini sudah ditemukan.. Model Riset Oprasi mencari keputusan/hasil terbaik pada penyelesaian suatu masalah yang memenuhi beberapa kondisi yang ditentukan. Dalam prosesnya Riset Oprasi berhubungan dengan Model. Model adalah interaksi/hubungan antara variabel-variabel yang mempengaruhi sistemnya. Sistem yg sebenarnya Asumsi/ Penyederhanaan Sistem Model Gambar. Kompleksnya sistem yang dipelajari akan membuat penyesaian masalah menjadi sulit. Untuk itu perlu untuk mereduksi "dimensi" sistem sehingga model (tiruan sistem) dapat dibuat seperti gambar.. Biasanya, diantara sekian banyak faktor/variabel yang mempengaruhi sistem, hanya beberapa diantaranya saja yang penting dan memberi efek yang nyata terhadap sistem. Untuk menyederhanakan sistem, faktor-faktor yang kurang penting dibuang/diasumsikan. Perhatikan beberapa contoh model adalah sebagai berikut : a. Model dalam fisika Misalkan suatu benda dengan massa m ditarik dengan gaya sebesar F, dan menghasilkan percepatan sebesar a. Hubungan antara ketiganya dapat dituliskan sebagai F = m.a

15 PENDAHULUAN Model F = m.a tersebut menyatakan penyederhanaan sistem yang sebenarnya. Sistem sebenarnya tidaklah sesederhana hubungan tersebut. Beberapa faktor yang tidak berpengaruh besar antara lain : gesekan yang timbul pada benda akibat tarikan, gaya gravitasi, dll sudah dihilangkan (diasumsikan tidak ada). Model semacam ini seringkali kita kenal dengan rumus b. Model dalam Basis Data Data Flow dalam proses pembuatan Sistem Informasi suatu perusahaan merupakan model dari sistem yang sebenarnya. Data Flow hanya memuat variabel-variabel penting yang mempengaruhi saja. Data-data seperti lokasi fisik perusahaan, personil yang duduk didalamnya, perangkat keras yang dipakai dll dihilangkan.. Model-model Riset Operasi Rao (98) membagi model dalam Riset Operasi kedalam bagian utama :. Teknik Pemrograman Matematika Teknik Pemrograman Matematika berguna untuk mencari harga optimum fungsi beberapa variabel yang memenuhi sekumpulan kendala. Beberapa model diantaranya melibatkan penggunaan kalkulus dan metode numerik dalam penyelesaiannya. Model-model yang termasuk dalam teknik ini antara lain : Metode Kalkulus, Pemrograman Tak Linier, Pemrograman Geometri, Pemrograman Kuadratis, Pemrograman Linier, Pemrograman Dinamis, Pemrograman Bilangan Bulat, Metode Jaringan : CPM dan PERT, Teori Permainan, Pemrograman Terpisah, Pemrograman Sasaran Ganda, dll. Teknik Pemrosesan Stokastik Teknik Pemrosesan Stokastik dapat dipakai untuk menganalisa masalah yang dinyatakan oleh variabel random yang diketahui distribusi probabilitasnya. Model yang termasuk dalam teknik ini antara lain : Proses Markov, Teori Antrian, Simulasi, Teori Reliabilitas, dll.. Metode Statistik

16 6 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Metode Statistik berguna untuk menganalisa data eksperimental dan membuat model empiris untuk mendapatkan representasi yang paling akurat tentang suatu sistem fisis. Karena pemakaiannya yang sangat luas, metode Statistik kemudian menjadi cabang ilmu tersendiri. Model yang termasuk dalam bagian ini adalah : Analisa Regresi, Analisa Cluster, Pengenalan Pola (Pattern Recognition), Rancangan Percobaan, Analisa Diskriminan, dll.. Pembuatan Model Riset Operasi Dalam Riset Operasi, pembuatan model melibatkan komponen dasar yang penting : a. Variabel Keputusan Yaitu faktor-faktor yang mempengaruhi nilai tujuan b. Tujuan Adalah suatu fungsi atau persamaan yang menghubungkan variabel dan membentuk kesatuan tentang apa yang ingin dicapai. Dalam Riset Operasi, kita akan mengoptimalkan harga fungsi tujuan. Artinya kita akan mencari nilai - nilai variabel yang akan meminimumkan / memaksimumkan fungsi tujuan. c. Kendala Adalah sekumpulan persamaan atau pertidaksamaan yang membatasi harga suatu variabel. Harga variabel yang mengoptimumkan fungsi tujuan harus memenuhi semua kendala yang ditetapkan. Sebagai contoh perhatikanlah kasus berikut ini : Sebuah perusahaan mebel akan membuat meja dan kursi. Setiap meja membutuhkan m kayu jati dan m kayu pinus, serta membutuhkan waktu pembuatan selama jam. Untuk membuat sebuah kursi dibutuhkan m kayu jati, m kayu pinus dan jam kerja. Dari penjualan sebuah meja didapat keuntungan sebesar Rp., sedangkan dari sebuah kursi sebesar Rp 8..

17 PENDAHULUAN 7 Ia ingin membuat sebanyak-banyaknya, tetapi kendalanya adalah keterbatasan bahan baku dan tenaga kerja. Dalam seminggu, ia hanya mampu mendapatkan m kayu jati, m kayu pinus, serta hanya memiliki 8 jam kerja Masalah : Berapa buah meja dan kursi yang harus ia buat mengingat kendala yang ada, supaya ia memperoleh keuntungan yang sebanyak-banyaknya? Penyelesaian : Keuntungan ditentukan oleh seberapa banyak meja dan kursi yang dibuat. Oleh karena itu dibuat variabel keputusan sebagai berikut : Misalkan x = Jumlah meja yang harus dibuat x = Jumlah kursi yang harus dibuat Tujuan : Tujuan dari perusahaan tersebut adalah memaksimumkan keuntungan. Keuntungan sebuah meja adalah Rp. dan sebuah kursi adalah Rp 8.. Karena ia membuat x meja dan x kursi (x dan x adalah besaran yang akan dicari), maka total keuntungan yang ia peroleh adalah sebesar : f(x, x ) =. x + 8. x Fungsi inilah yang akan dioptimalkan (dalam kasus ini dimaksimalkan). Jika tidak ada kendala yang harus dipenuhi, maka penyelesaian masalah ini menjadi mudah, yaitu dengan membuat x dan x sebesar-besarnya. Dengan memperbanyak jumlah meja dan kursi yang dibuat, maka perusahaan itu akan memperoleh keuntungan yang semakin besar. Tetapi keadaan itu tidak dapat dicapai mengingat keterbatasan bahan baku (kayu jati dan pinus) serta tenaga kerja. Kendala : Keterbatasan bahan baku dan tenaga kerja dapat dinyatakan dalam tabel di bawah ini :

18 8 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Sumber Daya Meja Kursi Persediaan Kayu Jati Kayu Pinus Jam Kerja 8 Dengan membuat x buah meja dan x buah kursi, maka kendala yang harus dipenuhi adalah : x + x x + x x + x 8 x, x (bisa juga ditambahkan syarat bahwa x dan x bilangan bulat Dengan demikian, model yang sesuai untuk kasus perusahaan mebel di atas adalah : Maksimumkan f (x, x ) =. x + 8. x Kendala : x + x x + x x + x 8 x, x

19 PENDAHULUAN 9 LATIHAN SOAL. Apakah yang disebut dengan model? Bagaimana kaitan model dengan Riset Operasi?. Apakah setiap model dalam Riset Operasi dapat diselesaikan?. Apakah perbedaan antara model deterministik dengan model stokastik?. Sebuah perusahaan menjual jenis ember plastik untuk kebutuhan rumah tangga. Pasar yang potensial bagi ember produksinya tak terbatas. Tiap ember harus diproses melalui mesin yang berbeda. Data tentang kapasitas mesin, waktu proses, dan keuntungan per unit tampak pada tabel di bawah ini. Mesin Waktu Proses per unit (menit) A B Kapasitas waktu proses yang tersedia (menit) Keuntungan per unit (ribu rupiah) Buatlah model untuk menentukan campuran produksi yang paling optimal pada kondisi berikut ini : a. Untuk data tersebut di atas b. Keuntungan ember A menjadi ribu per unit c. Ember A dan B memberikan keuntungan negatif (berarti kerugian) masing-masing sebesar dan ribu rupiah. d. Kapasitas mesin pertama naik menjadi menit.. Perusahaan mainan Monde mengembangkan jenis permainan yang dijualnya ke tokotoko. Meskipun permintaan pasar melebihi kemampuan produksinya, perusahaan tetap membatasi jam kerjanya selama jam per minggunya. Permainan jenis pertama membutuhkan waktu pembuatan selama. jam, dan memberikan keuntungan sebesar 8 (ribu) per unitnya. Permainan jenis kedua membutuhkan waktu pembuatan selama jam, tetapi memberikan keuntungan (ribu). Buatlah model untuk

20 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis menentukan jumlah permainan dari masing-masing jenis harus dibuat setiap minggunya agar keuntungan yang didapatnya menjadi maksimum? 6. Sebuah pabrik mainan membuat jenis kapal plastik. Data yang relevan pembuatan kapal tersebut tampak pada tabel di bawah ini. Tentukan model program optimal bagi pembuatan produk tersebut! Proses Produk Waktu yang tersedia X Y (menit) Membuat Pola 8 Mengecat Menggabungkan 6 9 Keuntungan per unit 7. Pada waktu menyelesaikan perbaikan rumahnya, Bp Siang menemukan m plywood dan 8 m tripleks sisa yang bisa ia manfaatkan untuk membuat meja dan rak buku. Untuk membuat sebuah meja diperlukan 6 m plywood dan 8 m tripleks, sedangkan untuk membuat rak buku dibutuhkan m plywood dan 6 m tripleks. Dengan menjual hasil pembuatannya tersebut, Bp Siang mampu memperoleh keuntungan sebesar (ribu) untuk setiap meja dan (ribu) untuk setiap rak buku. Buatlah model yang optimal bagi Bp Siang dalam memanfaatkan plywood dan tripleks yang tersisa tersebut

21 Bab PROGRAM GEOMETRIK Program Geometrik adalah suatu metode untuk meminimumkan fungsi tak linear yang berbentuk posinomial. Metode ini dinamakan Program Geometrik karena dalam pengembangannya menggunakan pertidaksamaan Aritmetik-Geometrik yang menyatakan hubungan antara jumlahan dengan pergandaan beberapa bilangan positif. Program Geometrik menyajikan masalah untuk meminimumkan fungsi berbentuk posinomial yang disebut fungsi Primal dan memaksimumkan fungsi pergandaan yang disebut fungsi Dual yang bisa didapat dengan menggunakan pertidaksamaan Aritmetik-Geometrik. Minimum fungsi primal dicari lewat maksimum fungsi dualnya, Pada titik optimalnya, minimum fungsi primal akan sama dengan maksimum fungsi dual. Berbeda dengan teknik optimasi yang lain, dengan metode ini nilai optimal fungsi objektif dicari terlebih dahulu, baru kemudian dicari nilai optimal variabel penyusunnya.. Program Geometrik Tak Berkendala.. Posinomial Fungsi Posinomial didefinisikan sebagai : T f( X ) cp dengan. t t ( X ) t N a P tn ( X ) t x n. n Dimana c t, X= a tn konstanta riil > ; t=,,,t ; n =,,,N t ( x, x,..., x ) real > N

22 9 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis x i,,,n dikatakan memenuhi kondisi normal jika i i n x i x i,,,n dikatakan memenuhi kondisi ortogonal jika terdapat bilangan riil a i i sedemikian hingga n i ax i i.. Fungsi primal Dual Program Geometrik tak berkendala dapat dinyatakan sebagai berikut X ( x, x,..., x ) Mencari Yang meminimumkan : N t T f( X ) c P( X) = t t t T N t t n a tn n c x. Dengan c t real > x n real > a tn real ; t=,,,t ; t=,,,n ; t=,,,t ; n =,,,N T f( X ) c P( X) = t t t T t t c P( X) t t t. Jika t dipilih sehingga memenuhi kondisi normal, maka dengan menggunakan pertidaksamaan Aritmetik-Geometrik, persamaan. menjadi : f( X ) T t c P( X) t t t t. Ruas kiri dari persamaan. disebut fungsi Primal dan ruas kanan disebut fungsi Predual dan dinyatakan dengan V. Maka secara singkat. dapat dituliskan sebagai f V.6

23 PROGRAM GEOMETRIK 9 V V(, X ) = T t c P( X) t t t t = T c t t T t t t P( X) t t = c T t T N t t t t n x a tn t n = c T t N T t t t n t x a tn t n = T c t t N t t n T a tn t t x n.7 Andaikan mungkin untuk memilih t sedemikian hingga memenuhhi kondisi ortogonal, maka.7 tidak lagi tergantung dari x n dan disebut fungsi dual T ct v ( ).8 t t dan pada titik maksimumnya berlaku : t * T t * c v ( ).9 t t * t Setelah didapatkan nilai optimal fungsi objektifnya yaitu f *, maka nilai optimal variabel penyusunnya yaitu (n =,,,N) dapat dicari sebagai berikut : * * t f ct Pt X t c f t * N * * ( ) ( ) a tn x t n n P X.

24 96 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Tampak bahwa persamaan yang dihasilkan tidaklah linear dalam * x n sehingga biasanya tidak mudah untuk diselesaikan secara langsung. Untuk itu dipakai cara sebagai berikut: * f t ln ln ln c t N * * ( ) a N tn x a ( x ) n tn n n n N n aw tn * n dengan w ln( x ). * * n n Didapat sistem persamaan linier dalam langsung. w yang biasanya lebih mudah diselesaikan secara n Contoh. Misalkan m gabah kering akan diangkut menyeberangi sungai. Gabah kering tersebut dimasukkan dalam kotak terbuka dengan panjang x meter, lebar x meter dan tinggi x meter. Sepasang sisi tegak, dasar dan sepasang sisi samping berharga masing-masing Rp, Rp dan Rp per m. Biaya pengangkutan adalah Rp per kotak. Jika biaya lain diabaikan, maka total biaya adalah biaya pembuatan kotak ditambah dengan biaya pengangkutan, yaitu : () f ( x, x, x ) ( x x )( ) ( x x )( ) ( x x )( ) xx x x x x x x x x x x Fungsi dualnya : v. Dimana j (j=,,,) memenuhi kondisi normal dan ortogonal = = = =.

25 PROGRAM GEOMETRIK 97 Persamaan. merupakan susunan persamaan buah persamaan linear dalam dan akan penyelesaian tunggal : j (j=,,,) = = = ; Bila harga-harga ini disubtitusikan ke dalam persamaan., maka akan didapat nilai maksimum fungsi dualnya yaitu : v ( ) / / / / * / / / / =. Jadi, ongkos minimum untuk mengangkut m gabah kering tersebut adalah Rp. Nilai optimum variabel penyusunnya dicari dengan bantuan persamaan. sebagai berikut : / () = / () = / () = * * xx * * xx * * xx ( x, x, x ) * * * / () = / Didapat : x * = ( x, x, x ) = (,, /) * * *.. Derajat Kesukaran (Degree of Difficulty) t = (t=,, T) dicari dengan menggunakan kondisi ortogonal dan kondisi normal. Maka ada N+ buah persamaan dalam T buah variabel t. Pada contoh., T=N+ sehingga didapat suatu penyelesaian tunggal. Tapi masalahnya akan menjadi lebih kompleks lagi bila jumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah variabelnya, seperti pada contoh.

26 98 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Contoh. : Sama dengan contoh. hanya disyaratkan bahwa x = Disini, total biaya menjadi : f ( X ) f ( x, x) x x xx / xx Fungsi dualnya sama dengan fungsi dual mula-mula, yang dinyatakan dalam persamaan., sedangkan kondisi normal dan ortogonalnya menjadi : = = = Tampak bahwa ada persamaan dalam buah variabel, sehingga ada tak berhingga banyak penyelesaian. Fungsi dual dalam contoh. sama dengan fungsi dual pada contoh., sedangkan persyaratan contoh. lebih lunak dibandingkan contoh.. Akibatnya biaya minimum dalam contoh. pastilah tidak kurang dari Rp. Untuk mendapatkan perkiraan biaya minimumnya, digunakan cara coba-coba : Andaikan x = x =, Maka * f( x ) = ()()+()()+()()()+()/(.) = Didapatkan biaya batas atas biayanya = Rp sehingga biaya minimumnya terletak antara Rp dan Rp Pada contoh., T=N+ sehingga penyelesaian tunggal bisa didapat secara langsung. Tapi pada contoh., T > N+ di mana T= banyak suku dan N = banyaknya variabel dalam fungsi primal, dalam Program Geometrik disebut Derajat Kesukaran (Degree of Difficulty) karena semakin besar harga T-(N+) akan semakin sukar pula penyelesaiannya. Jika T-(N+) =

27 PROGRAM GEOMETRIK 99 dikatakan bahwa persamaan tersebut mempunyai derajat kesukaran =. Dalam keadaan ini, t (t=,,,t) dapat ditentukan secara tunggal lewat kondisi normal dan ortogonal. Perbandingan Program Primal dan Program Dual disajikan dalam tabel. : Tabel. Program Primal Program Dual t Mencari X= ( x, x,..., x N ) Mencari (,,..., T ) t Yang meminimumkan : Yang memaksimumkan : T N f( x) c x t t n a tn n v ( ) t T c t t t dengan c t ; n x tn a riil dengan t memenuhi hubungan : T t t, t dan T t a tn t. Program Geometrik Berkendala Prinsip yang dipakai pada Program Geometrik berkendala hampir sama dengan prinsip yang dipakai pada Program geometrik tak berkendala, yaitu nilai minimum fungsi primalnya dicari dengan memaksimumkan fungsi dualnya. Hanya bedanya, disini digunakan kondisi Kuhn Tucker untuk menyelesaikan kendala yang berbentuk pertidaksamaan. Di dalam bab ini, yang dibahas hanyalah Program Geometrik Posinomial, yaitu Program Geometrik dengan fungsi objektif maupun kendalanya berbentuk posinomial (semua koefisiennya positif). t Mencari X= ( x, x,..., x N ). Yang meminimumkan ( ) Dengan M buah kendala T t N t n a n tn f X c x.6

28 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Tm N amtn m ( ) mt n t n f X c x, m =,,,M.7 dimana c, c mt ( m,,..., M; t,,..., T m ) dan x n( n,,..., N ) real > t ( t,,..., T ) a tn( t,,..., T ; n,,... N ) dan a mtn( m,,..., M ; t,,... T m; n,,..., N ) riil Persamaan.6.7 merupakan bentuk dimana baik fungsi objektif maupun kendalanya berbentuk posinomial. Penyelesaian program diatas adalah dengan mengusahakannya untuk mengubah menjadi program dualnya yang ekuivalen, tapi dengan kendala berbentuk linear yang tentunya akan lebih mudah untuk diselesaikan. Perbandingan antara Program Primal dan Program Dual tampak dalam tabel. : Tabel. Program Primal Mencari X= ( x, x,..., x N ) Mencari t Program Dual t (,...,,,...,,...,,..., ), T, T M M, T M Yang meminimumkan : Yang memaksimumkan T N a tn ( ) t n t n f X c x v ( ) = M m Tm t c Tm mt mp p mt m mt Dengan kendala T m amtn f ( X) c x m N mt t n m=,,,m n Dengan kendala T t t, M T m m t m mt mtn mt, m =,,,,M, t =,,,T m a

29 PROGRAM GEOMETRIK Contoh. (Program Geometrik Posinomial dengan derajat kesukaran = ) Pandang kembali contoh.. Andaikan bahan yang tersedia untuk membuat sepasang sisi tegak dan dasarnya hanya m. Disini fungsi yang diminimumkan adalah : f ( X) xx xx x dan kendalanya adalah : f( X) xx xx atau f Disini : N = ; T = sehingga D = T-N- = xx xx ( X) c = ; c = ; c = / ; c = ¼ = ; = Kondisi ortogonal dan normalnya adalah : a + a + a + a = a + a + a + a = a + a + a + a = = Setelah nilai nilainya dimasukkan, akan didapat persamaan persamaan sebgai berikut : = + + = + + =

30 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis + =.8 Yang bersama sama akan menghasilkan penyelesaian = / ; = = = / Maksimum fungsi dualnya adalah : v = c c c c.9 = / / / / / / / / = 6 / / / / / / / / / / Nilai optimal variabel penyusunnya dicari sebagai berikut : N * c x n n * ( ) f ( X ) a n / x x x 6 atau x xx N * c xn n * ( ) f ( X ) a n / xx 6 atau xx / / xx / N * an c ( x ) n atau xx n n N * a / xx n c ( x n) atau xx / Persamaan persamaan ini bersama menghasilkan x = ; x = ; x = ½

31 PROGRAM GEOMETRIK Contoh. (Program Geometrik Posinomial dengan derajat kesukaran = ) Minimumkan f ( X ) 7x / x x x x,,, Dengan kendala : f ( X ) 8x x Disini : N = ; T = ; T = sehingga D = -(+) = c = 7 ; c = / ; c = ; c = 8 = Kondisi normal dan ortogonalnya adalah : + + = a + a + a + a = a + a + a + a = Atau : Didapat : + + = +, - - =, -, - = 7 7 7

32 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Nilai maksimum fungsi dualnya adalah : v = v = (7)(7) ( ) ()(7) 7 8 * Karena memakimumkan v ekuivalen dengan memaksimumkan ln[ v ], maka dicari lewat persamaan : d[ln v( )] d( ) ln [ v ] = 7 ln 9 ln( ) 7 + ln 7 ln( 6 ) + 7 ln ln( ) + ln8 d[ln v( )] d( ) 7 7 ( ) ln () ( ) ( 6 ) (9) (7) (8) ln = Dengan metode iterasi Newton Raphson, didapat : * =,9 Maka : * = (,9) 7 =,6 * = (,9) 7 =,9 * = (,9) 7 =,89 Maksimum fungsi objektifnya : * v = * f = (6,86),6 (,),9 (67,7),9 (8),9 = 8,98

33 PROGRAM GEOMETRIK Nilai optimal variabel penyusunnya didapat dari persamaan-persamaan : * = * * 7( x ) f,6 = * 7( x ) 8, 98 * = * * ( x ) ( x ),, f *,9 = * * ( x ) ( x ),, 9, 9 * = * *, * ( ) ( ) x x f, 8,89 = * * x x ( ) ( ), * * 8 = * * ( x ) ( x ) 8 = * x * x ( ) ( ) Yang menghasilkan : * x =, dan * x =,. Beberapa Aplikasi Program Geometrik Banyak model di bidang teknik yang dapat dinyatakan sebagai model Program Geometrik. Beberapa diantaranya akan dibicarakan dalam contoh-contoh berikut : Contoh. (Rancangan pompa reservoir) Pada suatu pemasangan pompa reservoir, biaya yang dikeluarkan adalah harga instalasi pipa ditambah harga pompa dan biaya pengoperasian pompa. Harga instalasi pipa dinyatakan dengan D + D dimana D adalah diameter (cm). Harga pompa berbanding terbalik dengan laju cairan yang dipindahkan dan dinyatakan dengan /Q dimana Q adalah laju cairan yang dipindahkan (m /dt). Sedangkan biaya pengoperasian pompa adalah Q /D. Diinginkan mencari uuran optimum pipa dan laju cairan yang dipindahkan untuk meminimumkan biaya total. Disini, biaya total dapat dinyatakan sebagai F(D,Q) = D + D +/Q + Q /D

34 6 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Fungsi F merupakan Program Geometrik tak berkendala dengan derajat kebebasan -(+) = Kondisi normal dan ortogonalnya adalah : = = - + = Didapat : = - = 8 - = Maksimum fungsi dualnya adalah : v ( ) = c c c c Atau : v ( ) = 8 8 ln v ( ) = ln ln + 8 ln ln 8 + ln ln + ln ln Minimum biaya didapat dari turunannya d ln v d v = ln ln 8. = atau : = Dengan menggunakan metoda pendekatan Newton-Raphson didapat : * =,7

35 PROGRAM GEOMETRIK 7 * = - * =.8 * = 8 * - =.76 * = * Maka nilai optimum objektifnya adalah : * v = f * =. Nilai optimum variabel penyusunnya didapat dari persamaan persamaan :,8 = D.,76 = D.,9 =.Q,7 = Q.D Yang menghasilkan D * =.9 dan Q * =.8 Contoh.6 (Rancangan penukar panas) Suatu rancangan kulit dan pipa penukar panas tampak pada gambar. dibawah. Untuk dapat berfungsi dengan baik, panjang total pipa paling sedikit haruslah. Harga pipa adalah persatuan panjang dan harga kulitnya dapat dinyatakan sebagai D. L dimana D = diameter penukar panas dan L adalah panjang penukar panas. Biaya pemakaian ruangan (floor-space) sebesar perunit luas dan biaya pemompaan cairan dingin dapat dinyatakan dengan L/d N perjam dimana d = diameter pipa dan N adalah jumlah pipa.

36 8 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Ongkos perawatan adalah 6 N d L. Energi termal yang dipindahkan kepada cairan dingin dapat dianggap sebagai : N dl d L Sedangkan harapan waktu hidup penukan panas adalah jam. Diinginkan untuk meminimumkan biaya total pembuatan penukar panas tersebut dengan kendala energi termal harus lebih besar dari penampang bujur sangkar dengan sisi d. 9. Diandaikan bahwa setiap pipa menempati luasan Diameter pipa = d Jumlah pipa = N D L. Gambar. Di sini, variabelnya adalah X = (D, L, d t, N) dan fungsi objektifnya dapat dinyatakan dengan : Biaya total = biaya pipa +biaya kulit + biaya ruangan dasar + biaya memompa cairan dingin + biaya perawatan Jadi, L f( X ) = NL + D. L + DL + L / d N Kendala panjang pipa total adalah NL 6 NdL Kendala energi termal yang dilepaskan dapat dinyatakan sebagai N dl d L

37 PROGRAM GEOMETRIK 9 Dan batasan penampang lintangnya dinyatakan dengan Kendala non negatif : D, d, L, N D Nd Masalah diatas merupakan Program Geometrik dengan fungsi objektif : Dan kendala : f ( X ) = NL + D. L + DL + L dn 6 NdL f ( X ) NL f ( X ) = 7 8 N dl d L... f ( X ) = D Nd Yang merupakan program geometrik dengan derajat kebebasan =. Contoh.7 (Rancangan Silinder Hidrolik) Suatu rancangan silinder hidrolik untuk meminimumkan volumenya dipengaruhi oleh diameter Piston (d); Daya (f);tekanan hidrolik (p);tegangan (stress) (s) dan ketebalan dinding silinder (t).kendala kendala yang harus dipenuhi adalah :. Misalkan Daya minimum yang diinginkan adalah F, maka : d f p F. Tegangan yang timbul tidak boleh lebih dari S, jadi : s pd. t S. Kendala pada sisi silinder : d + t D ; dengan D adalah maksimum diameter luar silinder hidrolik yang diperbolehkan. p t P ; dimana P adalah tekanan maksimum sistem hidrolik T ; dimana T adalah tebal minimum dinding silinder yang diinginkan.

38 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis t d. t Gambar. Sedangkan volume silinder per unit panjang yang diminimumkan adalah t( d t ) Masalah diatas merupakan Program Geometrik berkendala berderajat kebebasan = dengan fungsi objektif : f ( X ) t( d t ) dan kendala : f X Fp d ( ) f X s pdt ( ) f X D d D ( ) t f ( X ) = P p f ( X ) = Tt dimana X = (p, d, t) t

39 Bab PROGRAM LINIER : PENYELESAIAN GRAFIK Seperti yang telah dibicarakan di bab, penyelesaian masalah Riset Operasi selalu didahului dengan pembuatan model matematika. Dalam bab ini akan dibicarakan tentang model Program Linier yang merupakan salah satu model yang paling banyak aplikasinya. Penyelesaian Program Linier yang dibicarakan pada bab ini adalah dengan metode grafik. Model Program Linier Masalah yang dapat diselesaikan dengan model program linier memiliki ciri-ciri sebagai berikut :. Semua variabel penyusunnya bernilai tidak negatif. Fungsi obyektif dapat dinyatakan sebagai fungsi linier variabel-variabelnya. Kendala dapat dinyatakan sebagai suatu sistem persamaan linier. Secara matematis, bentuk standard model program linier adalah sebagai berikut : Mencari X x, x,..., x n yang memaksimumkan/meminimumkan f X f x, x,..., x c x c x... c x n n n dengan kendala : a x a x... a x b n n a x a x... a x b... n n a x a x... a x b m m mn n m Ciri pertama dipenuhi oleh banyak masalah karena pada umumnya variabel yang digunakan (x, x,, x n ) menyatakan suatu kuantitas (misalnya jumlah barang, lama waktu, dll) yang hendak dioptimalkan. Jelas bahwa nilai-nilai kuantitas tersebut tidak negatif. Akan tetapi bila diinginkan ada variabel yang boleh bernilai negatif, model program linier tetap bisa diselesaikan dengan suatu transformasi.

40 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Ciri kedua berarti bahwa setiap variabel memiliki koefisien konstan. Tidak boleh ada variabel yang berpangkat selain, dan tidak boleh ada pergandaan variabel. Ciri linier ini juga berlaku pada semua kendalanya. Dalam beberapa kasus ada kemungkinan bentuk fungsi (atau kendala) yang tidak linier dapat ditransformasikan ke bentuk linier. Apabila demikian, model program linier dapat digunakan. Contoh. Telitilah mana diantara model-model berikut ini yang dapat diseslesaikan dengan program linier a. Maksimumkan f x, x x x Kendala : x x x x x, x b. Minimumkan f x, x, x x x x Kendala : x xx x x x x, x, x c. Minimumkan f x, x x x Kendala : x x x x d. Maksimumkan f x, x, x x x Kendala : x x x x x x, x, x e. Minimumkan f x, x x x

41 PROGRAM LINIER : PENYELESAIAN GRAFIK Kendala : x x e x x e x x e x, x Penyelesaian a. Bukan merupakan bentuk program linier karena fungsi sasarannya mengandung suku yang jelas bukan merupakan bentuk linier. x f. Bukan merupakan bentuk program linier meskipun fungsi sasarannya merupakan bentuk linier dalam x, x dan x, tetapi ada kendala yang memuat bentuk pergandaan variabel ( x x ). Perhatikan disini bahwa meskipun fungsi sasaran maupun kendala lain sudah berbentuk linier, namun jika ada satu kendala saja yang tidak berbentuk linier maka model tidak bisa diselesaikan dengan program linier. g. Model program linier. Tampak bahwa baik fungsi maupun kedua kendala merupakan bentuk fungsi linier dalam x dan x. Meskipun tidak ada syarat x, x, dengan sedikit transformasi, bentuk tetap dapat diselesaikan dengan program linier h. Model program linier dalam variabel x, x dan x. Meskipun kendala berbentuk pertidaksamaan, tapi dengan transformasi sederhana dapat dijadikan ke bentuk persamaan (cara transformasi dibahas dalam bab ). Perhatikan juga bahwa meskipun merupakan model dalam variabel x, x dan x, tapi tidak semua variabelnya muncul dalam fungsi sasaran maupun kendalanya. Fungsi sasaran f x, x, x x x yang merupakan fungsi variabel sama dengan fungsi f x, x, x x x x yang merupakan fungsi variabel. i. Meskipun tampak bahwa model bukan merupakan model program linier, tapi dengan suatu transformasi dapat dijadikan bentuk program linier. Fungsi ln(x) merupakan fungsi monoton sehingga meminimumkan f(x) sama dengan meminimumkan ln (f(x)). Misalkan y = ln (x ), y = ln (x ). Dengan mengingat bahwa

42 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis ln (xy) = ln (x) + ln (y), ln (x a ) = a ln (x) dan ln (e) =, fungsi sasaran dapat dituliskan sebagai : g y, y ln f x, x ln x x ln x ln x = ln x ln x y y Maka model hasil transformasi adalah Minimumkan g y, y y y Kendala y y y y y y y, y Langkah-langkah pembuatan model program linier adalah sebagai berikut :. Tentukan variabel-variabel keputusan. Variabel keputusan adalah besaran yang harus ditentukan nilainya agar optimalitas yang diinginkan tercapai. Buatlah fungsi sasaran, yaitu fungsi yang akan dioptimumkan. Fungsi ini harus merupakan kombinasi linier variabel-variabel keputusan.. Tentukan kendala berdasarkan keterbatasan sumber daya atau karena kondisi yang harus terpenuhi. Seperti halnya fungsi sasaran, fungsi tiap kendala harus merupakan fungsi linier variabel keputusan. Kendala bisa berupa suatu persamaan atau pertidaksamaan. Contoh. Seorang pengusaha bahan kimia membuat macam cairan pembunuh serangga yaitu jenis superior (C ) dan jenis standard (C ). Kedua jenis cairan dibuat dari macam bahan yang sama yaitu A dan B dengan komposisi yang berbeda. Setiap liter cairan jenis superior dibuat dari campuran unit bahan A dan unit bahan B, sedangkan setiap liter jenis standard dibuat dari campuran unit bahan A dan unit bahan B.

43 PROGRAM LINIER : PENYELESAIAN GRAFIK Karena keterbatasan pasokan, setiap harinya ia hanya dapat memperoleh unit bahan A dan unit bahan B. Untuk setiap liter cairan jenis superior yang ia buat, ia akan memperoleh keuntungan sebesar.. Untuk setiap liter cairan jenis standard, ia akan memperoleh keuntungan sebesar.. Jika diasumsikan bahwa semua cairan yang dibuat akan laku terjual, berapa liter cairan masingmasing jenis harus ia buat tiap harinya agar keuntungan yang didapatkan maksimum? Penyelesaian Variabel keputusan yang harus ditentukan adalah jumlah (liter) cairan kedua jenis yang harus dibuat (dengan keterbatasan bahan) agar keuntungan maksimum. Karena ada macam cairan penentu keuntungan, maka ada variabel keputusan. Misalkan x = jumlah cairan jenis superior dan x = jumlah cairan jenis standard yang dibuat. Jelas bahwa x dan x harus. Harga x dan x inilah yang akan dicari agar keuntungannya maksimum. Fungsi sasaran yang hendak dimaksimumkan adalah keuntungan. Untuk tiap liter cairan C, keuntungan yang didapatkan adalah sebesar.. Maka jika dibuat x liter C, keuntungan yang didapat adalah. C. Secara analog, karena keuntungan dari pembuatan tiap liter C adalah., sedangkan yang dibuat adalah x liter, maka keuntungan yang didapat adalah. x. Dengan demikian keuntungan yang didapat jika dibuat x liter C dan x liter C adalah sebesar. x +. x. Fungsi keuntungan inilah yang akan dimaksimumkan. Fungsi sasaran : Maksimumkan f x, x. x. x Apabila tidak ada kendala keterbatasan pasokan bahan maka supaya keuntungan maksimum, pengusaha itu akan memproduksi cairan kedua jenis sebanyak-banyaknya. Akan tetapi dengan adanya keterbatasan pasokan, maka jumlah cairan kedua jenis yang dapat dibuat (dengan demikian juga keuntungan yang dapat ia peroleh) juga terbatas. Tabel. berikut ini menyatakan ringkasan permasalahan yang dihadapi. Kolom paling kiri adalah bahan pembuat cairan kimia, sedangkan kolom paling kanan adalah jumlah unit pasokan/persediaan maksimum yang tersedia tiap harinya. Isi kolom di tengah menyatakan jumlah unit bahan A dan B yang dipakai untuk membuat tiap liter cairan kedua jenis. Baris paling bawah menyatakan keuntungan yang diperoleh dari penjualan tiap liter cairan kedua jenis.

44 6 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Bahan Cairan jenis Superior (C ) Cairan jenis Standard (C ) Pasokan Maksimum A B Untung.. Tabel. Perhatikan penggunaan bahan A dalam pembuatan kedua cairan. Setiap liter C membutuhkan unit bahan A. Maka untuk membuat x liter C dibutuhkan.x = x unit bahan A. Secara analog, untuk membuat seliter C dibutuhkan unit C. Karena yang dibuat adalah x liter C, maka dibutuhkan.x unit bahan A. Secara keseluruhan, untuk membuat x liter C dan x liter C dibutuhkan bahan A sejumlah x + x unit. Karena persediaan bahan A hanya unit, maka jumlah bahan A yang digunakan untuk membuat C dan C tidak boleh melebihi unit. Didapatkan kendala : x + x. Hal yang sama juga berlaku untuk bahan B. Untuk membuat x liter C dan x liter C dibutuhkan bahan B sejumlah x + x. Karena bahan B juga hanya tersedia sejumlah unit maka kendala yang harus terpenuhi adalah x + x Model untuk masalah pengusahan kimia tersebut adalah sebagai berikut : Maksimumkan f x, x. x. x Kendala x + x x + x ; x, x. Contoh. Perusahaan Adianto & Co memproduksi buah model almari (A, B dan C). Ketiga model membutuhkan jenis bahan baku dan tenaga kerja yang sama, tapi dengan jumlah yang berbedabeda. Waktu pembuatan (jam kerja) dan harga pembelian bahan baku (ratusan ribu rupiah) tiap almari dapat dilihat pada tabel. Model Almari A B C

45 PROGRAM LINIER : PENYELESAIAN GRAFIK 7 Waktu Pembuatan (jam) 7 6 Harga Bahan Baku (ratusan ribu) Tabel. Karena keterbatasan modal, maka biaya pembelian bahan baku terbatas sebesar (ratusan ribu) rupiah dan waktu pembuatan juga terbatas selama (jam kerja). Hasil penjualan tiap almari model A, B, dan C memberikan keuntungan masing-masing sebesar.,., dan.. Buatlah model program linier yang sesuai untuk menentukan jumlah almari tiap model yang harus dibuat agar keuntungan maksimum. Penyelesaian Variabel keputusan yang hendak dicari nilainya adalah jumlah almari tiap jenis. Karena ada jenis almari, maka ada buah variabel keputusan, yaitu : x A = jumlah almari model A yang dibuat x B = jumlah almari model B yang dibuat x C = jumlah almari model C yang dibuat Jelas bahwa x A, x B dan x C Keuntungan tiap almari model A adalah.. Karena dibuat x A buah almari model A, maka keuntungan dari almari model A sebesar. x A. Secara analog, keuntungan dari model B dan C masing-masing adalah sebesar. x B dan. x C. Maka keuntungan total yang didapat adalah. x A +. x B +. x C. Fungsi sasaran : Maksimumkan f xa, xb, xc. xa. xb. x C Perhatikan waktu pembuatan almari pada tabel.. Setiap almari model A, B dan C masingmasing membutuhkan waktu pembuatan selama 7, dan 6 jam kerja. Maka pembuatan x A almari A, x B almari B dan x C almari C memerlukan waktu pembuatan selama 7 x A + x B + 6 x C. Karena waktu yang tersedia untuk pembuatan ketiga almari adalah selama jam maka didapatkan kendala : 7 x A + x B + 6 x C

46 8 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Hal yang sama juga dilakukan pada pembelian bahan baku. Karena harga bahan baku almari A, B dan C masing-masing adalah, dan (ratusan ribu), maka harga bahan baku pembuatan x A almari A, x B almari B dan x C almari C adalah sebesar x A + x B + x C. karena modal yang tersedia hanya (ratusan ribu), maka diperoleh kendala : x A + x B + x C. Model yang sesuai untuk perusahaan Adianto & Co adalah : Maksimumkan f xa, xb, xc. xa. xb. x C Kendala : 7 x A + x B + 6 x C x A + x B + x C x A, x B dan x C Contoh. Seorang kontraktor merencanakan membangun tipe rumah (sederhana, menengah, dan mewah) yang biaya pembuatan per unitnya adalah, dan 8 (juta rupiah). Dana yang tersedia adalah sebesar (juta rupiah). Menurut peraturan pemerintah, dari keseluruhan rumah yang ia bangun, minimal % diantaranya harus rumah sederhana dan paling banyak % diantaranya adalah rumah mewah. Keuntungan yang diperoleh dari penjualan sebuah rumah tipe sederhana, menengah, dan mewah masing-masing adalah sebesar, dan (juta rupiah). Berapa jumlah rumah tiap tipe yang harus ia bangun (mengingat dana yang tersedia dan peraturan pemerintah) agar keuntungan yang ia dapatkan maksimum? Penyelesaian Variabel keputusan adalah jumlah rumah tipe sederhana, menengah dan mewah yang dibangun. Misalkan x = jumlah rumah tipe sederhana yang dibangun

47 PROGRAM LINIER : PENYELESAIAN GRAFIK 9 x = jumlah rumah tipe menengah yang dibangun x = jumlah rumah tipe mewah yang dibangun Jelas bahwa x, x dan x Fungsi sasarannya adalah memaksimumkan keuntungan yang didapatkan. Karena keuntungan tipe sederhana, menengah dan mewah maaing-masing adalah, dan maka fungsi sasarannya dapat dinyatakn sebagai : Maksimumkan f x, x, x x x x Ada macam kendala yang harus dipenuhi yaitu keterbatasan dana dan peraturan pemerintah. Karena biaya pembuatan sebuah rumah tipe sederhana, menengah dan mewah masing-masing sebesar, dan 8 (juta), sedangkan dana yang dimiliki sebesar (juta), maka kendala keterbatasan biaya dapat dinyatakan sebagai x + x + 8 x. Jumlah keseluruhan rumah yang dibuat adalah x + x + x. Kendala bahwa minimal % diantaranya harus rumah sederhana dapat dinyatakan sebagai x. (x + x + x ). Kendala bahwa maksimal % diantaranya harus rumah mewah dapat dinyatakan sebagai x. (x + x + x ). Jadi model yang sesuai adalah Maksimumkan f x, x, x x x x Kendala : x + x + 8 x x. (x + x + x ) x. (x + x + x ) x, x dan x Contoh. Seorang petani akan menanam jenis pohon, yaitu A dan B pada area seluas m. Sebuah pohon A membutuhkan lahan seluas m, sedangkan pohon B membutuhkan lahan seluas

48 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis m. Kebutuhan air pohon A adalah unit dan pohon B sebanyak unit untuk tiap pohonnya. Air yang tersedia hanyalah unit. Perbandingan pohon B dan pohon A yang harus ditanam tidak boleh kurang dari 6/9 dan tidak boleh lebih dari 7/8. Keuntungan yang didapat dari sebuah pohon A diperkirakan, kali pohon B. Berapa jumlah pohon dari masing-masing jenis harus ditanam supaya keuntungannya maksimum? Penyelesaian Variabel keputusan adalah jumlah pohon jenis A dan B yang harus ditanam. Misalkan x A = jumlah pohon A yang ditanam x B = jumlah pohon B yang ditanam Jelas bahwa x A dan x B Fungsi sasaran adalah memaksimumkan keuntungan. Misalkan keuntungan dari sebuah pohon B = k. Maka keuntungan dari sebuah pohon A =. k. Keuntungan total yang didapat dengan menanam x A pohon A dan x B pohon B adalah sebesar. k x A + k x B = k (. x A + x B ). Fungsi sasaran : Maksimumkan f x, x k. x x A B A B Karena pohon A dan B masing-masing memerlukan lahan seluas dan m, sedangkan lahan yang tersedia seluas m, maka kendala keterbatasan lahan dapat dinyatakan sebagai x A + x B Kebutuhan air sebuah pohon A dan B masing-masing adalah dan unit, sedangkan persediaan air sebanyak unit. Maka kendala keterbatasan air dapat dinyatakan sebagai x A + x B Kendala perbandingan jumlah pohon B dan A yang tidak boleh kurang dari 6/9 dapat dinyatakan sebagai x x B A 6 9. Secara analog, kendala perbandingan jumlah pohon B dan A yang tidak boleh lebih dari 7/8 dapat dinyatakan sebagai Model yang sesuai bagi petani adalah : x x B A 7 8.

49 PROGRAM LINIER : PENYELESAIAN GRAFIK Maksimumkan f x, x k. x x A B A B Kendala : x A + x B x A + x B x x x x B A B A atau 9 x B 6 x A atau 8 x B 7 x A x A, x B Contoh.6 Perusahaan alat rumah tangga KAA ingin mengiklankan produknya di media yaitu TV (siang dan malam hari), radio dan koran. Tujuannya adalah untuk menjangkau sebanyak mungkin langganan potensial. Tabel. menunjukkan data hasil penelitian. Media Iklan TV TV Radio Koran (siang) (malam) Biaya Iklan per tayang (juta) 7.. Jumlah langganan (ribuan) potensial yang 9 dapat dijangkau untuk tiap tayangan jumlah langganan wanita (ribuan) yang dapat dijangkau tiap tayangan Tabel. Anggaran yang disediakan untuk seluruh iklan adalah sebesar 8 juta, dan maksimum juta diantaranya untuk iklan di TV. Jumlah langganan wanita yang dijangkau harus paling sedikit juta orang. Disamping itu, jumlah iklan di TV siang hari harus paling sedikit kali tayangan, dan paling sedikit kali tayangan waktu malam. Jumlah iklan di radio dan koran masing-masing harus antara kali.

50 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis Tentukan cara pengaturan iklan yang paling optimal. Penyelesaian Variabel keputusan dalam masalah ini adalah jumlah iklan di tiap media. Misalkan x = jumlah iklan di TV siang hari x = jumlah iklan di TV malam hari x = jumlah iklan di radio x = jumlah iklan di koran Karena fungsi sasaran adalah untuk menjangkau sebanyak mungkin langganan potensial, maka fungsi sasran yang sesuai adalah : Maksimumkan f x, x, x, x x 9 x x x (ribuan) Kendala : Anggaran maksimum = 8 juta dapat dinyatakan sebagai : x + 7. x + x +. x 8 Anggaran maksimum juta untuk iklan di TV dapat dinyatakan sebagai kendala : x + 7. x Jumlah langganan wanita yang dijangkau harus paling sedikit juta orang dapat dinyatakan sebagai kendala : x + x + x + x atau x + x + x + x Jumlah iklan di TV siang hari harus paling sedikit kali tayangan, dan paling sedikit kali tayangan waktu malam dapat dinyatakan sebagai buah kendala : x dan x Jumlah iklan di radio dan koran masing-masing harus antara kali dapat dinyatakan sebagai buah kendala, masing masing : x, x, x dan x. Model yang sesuai untuk permasalahan di perusahaan KAA adalah sebagai berikut : Maksimumkan f x, x, x, x x 9 x x x Kendala : x + 7. x + x +. x 8

51 PROGRAM LINIER : PENYELESAIAN GRAFIK x + 7. x x + x + x + x x x x x x x x, x, x, x. Penyelesaian Grafik Ada metode penyelesaian masalah program linier yang umum dipakai yaitu : Metode grafik Metode simpleks Metode titik interior. Sesuai dengan namanya, metode grafik menggunakan grafik kendala sebagai alat untuk mencari titik optimumnya. Kendala dalam program linier selalu akan membentuk bidang datar segi n yang merupakan himpunan konveks sehingga titik optimum pasti terjadi pada titik sudut bidang datar yang terbentuk. Metode ini relatif mudah dikerjakan secara manual, tetapi terbatas untuk kendala saja. Kendala dalam model program linier menyatakan dimensi ruang. Ini berarti dengan jumlah kendala, maka masalah tidak dapat digambarkan grafiknya sehingga metode grafik tidak dapat dipakai. Meskipun secara teoritis dapat dikerjakan, namun masalah dengan kendala secara praktis sulit digambarkan (karena penggambaran dikerjakan dalam dimensi) sehingga sulit dikerjakan dengan metode grafik. Metode simpleks mengatasi masalah yang ada pada metode grafik. Prinsip kerjanya sama yaitu secara iteratif mencari titik sudut bidang datar yang menghasilkan nilai optimum. Akan tetapi

52 Riset Operasi : Suatu Tinjauan Algoritmis pencarian tidak dilakukan secara grafik, melainkan secara numerik sehingga dapat dilakukan untuk berapapun jumlah variabel yang digunakan. Ini berarti bahwa keterbatasan bidang dimensi yang dihadapi metode grafik dapat teratasi, meskipun proses yang harus dikerjakan relatif lebih banyak. Akan tetapi dengan bantuan komputer, proses iteratif dapat dilakukan dengan cepat. Berbeda dengan metode simpleks yang mencari titik optimal dengan menyelidiki titik sudut bidang datar, metode titik interior memulai iterasinya dari titik dalam (bukan titik sudut) bidang datar dan secara iteratif menuju pada titik sudut yang optimum. Pada bab ini akan dibahas cara penyelesaian dengan metode grafik dan pada bab berikutnya dibahas kedua metode yang lain. Langkah-langkah penyelesaian program linier dengan metode grafik adalah sebagai berikut : j. Buat model yang sesuai dengan masalah yang ada k. Gambar grafik kendala-kendalanya l. Tentukan daerah fisibel, yaitu daerah dalam grafik yang memenuhi semua kendala m. Hitung nilai fungsi di titik-titik sudut segi-n daerah fisibel n. Cari titik yang menghasilkan nilai fungsi yang paling optimal. Untuk mengetahui lebih jelas tentang langkah-langkah yang harus dilakukan, perhatikan beberapa contoh berikut ini. Contoh.7 Selesaikan contoh. Penyelesaian Model yang akan diselesaikan adalah : Maksimumkan f x, x. x. x = x + x (puluhan ribu) Kendala x + x

53 PROGRAM LINIER : PENYELESAIAN GRAFIK x + x ; x, x. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menggambarkan grafik kendalanya (bukan grafik fungsi sasaran). Karena hanya ada variabel, maka berarti grafiknya digambarkan dalam bidang dimensi. Syarat x, x berarti bahwa titik yang diperhatikan hanyalah titik yang terletak pada kuadran I. Untuk menggambarkan grafik yang berbentuk pertidaksamaan, mula-mula gantilah pertidaksamaan menjadi suatu persamaan. Grafiknya akan berupa suatu garis lurus. Garis ini akan membagi bidang di kuadran I menjadi bagian. Tentukan salah satu dari kedua bagian yang merupakan daerah penyelesaian kendala. Perhatikan kendala x + x. Jika dijadikan bentuk persamaan, akan didapat garis dengan persamaan x + x =. Teori dalam geometri menyatakan bahwa dari titik berbeda (dalam dimensi berapapun), kita hanya bisa menggambarkan satu garis lurus yang melalui kedua titik tersebut. x A (,) B (,) x + x = x Gambar. Untuk menggambar garis x + x =, cari titik berbeda yang memenuhi persamaan. Sebenarnya banyak sekali titik yang memenuhi persamaan yang dapat kita pilih. Namun yang paling mudah adalah memilih titik yang salah satu variabelnya berharga =. Untuk x =, maka + x =, atau x =. Didapat titik A (, ). Untuk x =, maka x + () =, atau x =. Didapat titik B (, ). Gambar. menunjukkan garis x + x = yang digambarkan dengan cara menghubungkan titik A dan titik B. Sumbu horisontal adalah sumbu x dan sumbu vertikal adalah sumbu x. Garis x + x = membagi kuadran I menjadi bagian yaitu segitiga AOB dan bidang tak terbatas di sisi kanan atas. Kendala x + x merupakan salah satu bidang diantaranya.