a. Menyelesaikan Masalah Penugasan dengan Algoritma Hungaria

Transkripsi

1 BAB IV Penugasan dan Transshipment 1. Penugasan Masalah penugasan bermula dari penempatan para pekerja pada bidang yang tersedia agar biaya yang ditanggung pemberi tugas/perusahaan dapat diminimalkan. Jika dalam hal ini, pekerja dianggap sebagai sumber dan pekerjaan dianggap sebagai tujuan, sehingga masalah penugasan akan sama dengan masalah transportasi, dimana banyaknya sumber dan banyaknya tujuan adalah sama, setiap sumber hanya menghasilkan satu demikian pula setiap tujuan hanya memerlukan satu. a. Menyelesaikan Masalah Penugasan dengan Algoritma Hungaria Untuk lebih mudah memahami, marilah kita perhatikan contoh masalah berikut: Sebuah perusahaan yang berada di tiga kota yaitu Banjarmasin, Solo, dan Denpasar memerlukan tenaga ahli untuk menyelesaikan pekerjaan tertentu. Ketiga ahli itu berada di Jakarta, Surabaya, dan Ujung Pandang. Biaya ketiga orang ahli tersebut adalah seperti Tabel 2.6.a. Tabel 2.6.a. Asal Ahli Tujuan Banjarmasin Solo Denpasar Jakarta Surabaya Ujung Pandang Untuk menyelesaikan masalah ini akan digunakan sebuah metode yang disebut dengan Metode Hongaria, Langkah-langkah menyelesaikan masalah penugasan dengan algoritma Hungaria adalah sebagai berikut: 108

2 109 Cara menentukan total biaya minimum adalah dengan mengurangkan setiap baris dengan bilangan terkecil dari baris itu sendiri, sehingga kita peroleh tabel berikut: Selanjutnya dikurangi dengan bilangan terkecil menurut kolom-kolomnya, sehingga diperoleh tabel berikut: Selanjutnya dibuat garis sesedikit mungkin menurut baris atau kolom sehingga menutup semua bilangan nol (0). Bilamana jumlah garis masih lebih kecil dari banyaknya baris atau kolom, maka belum dapat disusun tabel optimalnya. Dalam hal diatas diperlukan dua garis, sehingga harus dilakukan langkah berikutnya yaitu: Mengurangi semua bilangan yang tidak tertutup garis dengan bilangan terkecil, dan menambahkan bilangan tersebut kepada persilangan garis penutup. Pada masalah diatas, diperoleh tabel berikut: Dari tabel di atas, bagaimanapun caranya mencoret bilangan nol, paling sedikit diperlukan tiga buah garis. Langkah selanjutnya memilih sel nol untuk setiap baris atau kolom. Caranya ialah ada dua yaitu menurut baris atau menurut kolom. Pilih sel yang baris/kolom yang bilangan nolnya hanya satu (paling sedikit) Buang baris dan kolom pada sel yang terpilih. Lakukan terus sampai selesai.

3 110 Dari tabel diatas misalnya kita lakukan pada baris, maka sel pada baris 1 kolom 1 adalah set pertama yang dipilih, jadi baris 1 dan kolom 1 dibuang (diabaikan) 0 * * * Setelah kita lakukan proses diatas, maka sel yang terpilih adalah sel (1,1), (2,2), dan (3,3). Sehingga total biaya minimal yang diperlukan adalah = 77. Dimana Banjarmasin mendatangkan ahli dari Jakarta, Solo mendatangkan ahli dari Surabaya, dan Denpasar mendatangkan ahli dari Ujung Pandang. Masalah penugasan ini juga dapat digunakan untuk masalah maksimum, yaitu dengan mengubah sedikit masalah maksimum ke minimum. Untuk lebih mudahnya kita ambil contoh berikut: Sebuah Perusahaan akan memberi tugas kepada tiga orang ( A, B, C) untuk menduduki jabatan tertentu (X,Y, Z). Keuntungan dari ketiga orang pada ketiga jabatan tersebut sebagai berikut: Pekerja Jabatan X Y Z A B C Langkah pertama adalah membuat tabel regrete, yaitu tabel karena tidak mengambil tindakan terbaik. Cara membuat adalah dengan mengurangkan setiap sel dengan bilangan terbesar tiap barisnya. Langkah ini menghasilkan tabel berikut:

4 111 Selanjutnya kita lakukan langkah-langkah seperti pekerjaan minimum, sehingga kita peroleh tabel berikut: Penugasan optimal dicapai pada * 4 0 * 0 0 * 3 9 Pekerja A pada jabatan Z, Pekerja B pada jabatan Y, Pekerja C pada jabatan X, dengan keuntungan = = 62 Atau 6 0 * * 0 * 3 9 Pekerja A pada jabatan Y, Pekerja B pada jabatan Z, Pekerja C pada jabatan X, dengan keuntungan = = 62 Tabel Pekerja dan Jabatan Pekerja Jabatan X Y Z A B C b. Menyelesaikan Masalah Penugasan dengan Program Komputer i. Program Lindo untuk Menyelesaikan Masalah Penugasan Dengan komputer (program Lindo) juga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah penugasan ini yaitu seperti permasalahan pada transportasi. Program perhitungan dipersilahkan kepada pembaca sebagai latihan.

5 112 MAX 20 AX + 26 AY + 30 AZ + 10 BX + 15 BY + 19 BZ + 17 CX + 14 CY + 12 CZ SUBJECT TO 2) AX + AY + AZ = 1 3) BX + BY + BZ = 1 4) CX + CY + CZ = 1 5) AX + BX + CX = 1 6) AY + BY + CY = 1 7) AZ + BZ + CZ = 1 END Hasil perhitungan dengan Lindo diperoleh sebaga berikut: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST AX AY AZ BX BY BZ CX CY CZ ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST BX BY BZ CX CY CZ AX AY AZ

6 113 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 3 ii. Program Solver untuk Menyelesaikan Masalah Penugasan Diselesaikan dengan Solver, maka kita buat tabel dan hasilnya sebagai berikut. Seperti pada penyelesaian masalah transportasi, masalah Penugasan dikerjakan dengan memulai mengisi nilai awal = 0. sehingga tabel awalnya sebagai berikut Setelah solver dijalankan dengan mengisi / memilih seperti gambar berikut.

7 114 Selanjutnya dengan memilih Solve, maka akan diperoleh hasil seperti berikut. Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa Pendapatan optimun terjadi apabila A ditempatkan pada jabatan Z, B pada jabatan Y dan C pada jabatan X. Dengan pendapatan sebesar 62. Soal-soal 1. Suatu perusahaan memerukan 4 orang untuk 4 pekerjaan, sebut saja pekerjaan P, Q, R, dan S. Pekerjaan-pekerjaan itu akan diisi oleh 4 calon, yaitu: A1, A2, A3, dan A4. Prediksi pendapatan tiap bulan yang diperoleh apabila pekerjaan diserahkan kepada pekerja tersebut adalah seperti Tabel 3 berikut: Tabel 3. Prediksi pendapatan dari Pekerjaan Pekerjaan Kode Pelamar A1 A2 A3 A4 P Q R S

8 115 Gaji yang diminta tiap bulan dari pekerja tersebut adalah seperti Tabel 4 berikut: Tabel 4. Data permintaan gaji pelamar Pekerjaan Kode Pelamar A1 A2 A3 A4 Gaji Berikan penyelesaian tentang posisi pekerjaan para pekerja tersebut agar pendapatan perusahaan maksimum. 2. Sebuah Kantor akan mengangkat empat Kepala SubBagian (Kasubag) dari empat orang, yaitu Keuangan, Rumah Tangga, Pelayanan Masyarakat, dan Kerja Sama. Keempat calon adalah A1, A1, A3, dan A4. Dari keempat orang tersebut mengajukan anggaran seperti terlihat pada Tabel 4 berikut: Tabel 4. Usulan dana berkenaan jabatan Jabatan Calon Pejabat Kasubag A1 A2 A3 A4 Keuangan Rumah Tangga Pelayanan Masyarakat Kerja Sama Tentukan posisi jabatan masing-masing agar biaya pengelolaan pekerjaan minimal. Adakah posisi lain yang sama-sama menguntungkan?. 3. Untuk melayani transportasi Anak Sekolah/Pegawai Kantor, sebuah perusahaan kereta api listrik akan membeli empat buah lokomotif yang akan ditempatkan pada tiga tempat yang menyebar dalam kota itu, yaitu tempat I, II, dan III, masing-masing sebuah lokomotif kecuali tempat III sebanyak dua buah lokomotif. Lokomotif-lokomotif itu akan melayani perjalanan dari kota asal menuju tempat tujuan di pagi hari, dan pulang di siang hari. Jarak antara tempat asal dan tempat tujuan terlihat pada Tabel 2 berikut:

9 116 Tabel 2. Jarak antara tempat asal dengan tempat tujuan. Tempat tujuan Tempat Asal A B C D I II III Tentukan jaringan rel kereta api, agar total panjang rel minimum. 4. Suatu perusahaan memerlukan 5 orang untuk 5 pekerjaan, sebut saja pekerjaan P, pekerjaan Q, pekerjaan R, pekerjaan S, dan pekerjaan T. Untuk memenuhi pekerjaan itu, perusahaan membuka lowongan kerja, dan ternyata yang melamar ada 7 orang, kemudian diberi kode: A1, A2,..., A7. Prediksi pendapatan tiap bulan yang diperoleh apabila pekerjaan diserahkan kepada pelamar adalah seperti Tabel 2 berikut: Tabel 2. Prediksi pendapatan dari Pekerjaan Pekerjaan Kode Pelamar A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 P Q R S T Para pelamar disuruh mengajukan gaji yang diminta setiap bulannya. Hasil permintaan gaji pelamar adalah seperti Tabel 3 berikut: Tabel 3. Data permintaan gaji pelamar Pekerjaan Kode Pelamar A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 Gaji Tentukan 5 calon yang harus diterima agar keuntungan perusahaan maksimum.

10 Transshipment Transshipment adalah masalah transportasi tetapi untuk mengirim barang dari tempat produksi ke tempat permintaan tidak dapat dilakukan secara langsung. Barang yang diangkut harus mengalami dua atau lebih cara pengangkutan. Misalnya Seorang petani tidak dapat memperoleh pupuk dari Pabrik langsung, tetapi harus melalui agen daerah, bahkan agen daerah harus memalui agen pusat baru dari Pabrik. Jadi proses penangkutan barang dari tempat produksi ke tempat permintaan harus melalui semacam agen terlebih dahulu. Sebagai contoh perhatikan masalah transshipment berikut. Sebuah Perusahaan Alat Berat Arifin memiliki 14 alat berat yang berada di Jakarta sebanyak 6 buah dan di Surabaya 8 buah. Alat berat tersebut akan dipakai di 6 kota, yaitu Tasikmalaya 2 buah, Cirebon 1 buah, Jogja 4 buah, Solo 4 buah, Madiun 3 buah, dan Jember 2 buah. Karena kondisi jalan, pengangkutan tidak dapat langsung dari kota asal ke kota tujuan dan harus melalui kota Transit yaitu Kota Bandung, Kota Semarang, dan Kota Malang. Alur pengiriman barang dan Biaya pengangkutan sebuah alat berat terlihat pada Gambar 1 dan tabel berikut. Tabel Biaya Satuan Pengangkutan dari Kota Asal ke Kota Transit BDG SMG MALANG JKT SBY Tabel Biaya Satuan Pengangkutan Kota Transit ke Tempat Tujuan TASIK CRB JOGJA SOLO MADIUN JEMBER BDG SMG MALANG

11 118 Gambar 1. Alur Pengiriman Barang, Perasediaan Barang, Kebutuhan Barang, dan Biaya Satuan Pengangkutan Masalah. Tentukan sistem Transshipment agar biaya pengiriman barang minimum. Penyelesaian. Untuk menyelesaikan masalah transshipment ini, pada setiap kota transit harus dibuat atau disediakan barang (alat) dummy yang besarnya sama dengan jumlah semua kapasitas produk atau persediaan barang. Tabel Transportasi dibuat dengan menggabung kedua tabel tersebut dan memberikan biaya yang cukup besar (M) kepada semua yang tidak mempunyai jalur transportasi, sehingga pada masalah diatas diperoleh tabel transportasi sebagai berikut.

12 119 Tabel Transportasi Gabungan BDG SMG MALANG TASIK CRB JOGJA SOLO MADIUN JEMBER Kapasitas JKT M M M M M M 6 SBY M M M M M M 8 BDG 0 M M M M M M 14 SMG M 0 M M M M 14 MALANG M M 0 M M Permintaan Dari tabel ini, maka sistem transportasi dapat dicari, dan akhirnya sistem transshipment dapat ditentukan. i. Program Lingo untuk Menyelesaikan Masalah Transshipment Masalah transshipmen ini apabila diselesaikan dengan Lingo, maka kita memberikan nilai M yang cukup besar, misalnya 1000, maka program Lingo untuk masalah ini adalah sebagai berikut. Model: Sets: Kapasitas/JKT, SBY, BDG, SMG, MLG/:Asal; Permintaan/BDG1, SMG1, MLG1, TASIK, CRB, JOGJA, SOLO, MADIUN, JEMBER/:Demand; Links(Kapasitas,Permintaan):Ship, Cost; Data: Asal=6, 8, 14, 14, 14; Demand=14, 14, 14, 2, 1, 3, 4, 2, 2; Cost= 10, 15, 25, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 20, 15, 10, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 0, 1000, 1000, 10, 15, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 0, 1000, 1000, 15, 10, 10, 1000, 1000, 1000, 1000, 0, 1000, 1000, 20, 15, 10, 10; Enddata End Setelah program kita jalankan dan kita ambil data yang diperlukan, maka akan kita peroleh.

13 120 Rows= 15 Vars= 45 No. integer vars= 0 ( all are linear) Nonzeros= 149 Constraint nonz= 90( 90 are +- 1) Density=0.216 Smallest and largest elements in absolute value= No. < : 5 No. =: 0 No. > : 9, Obj=MIN, GUBs <= 9 Single cols= 0 Optimal solution found at step: 24 Objective value: Variable Value Reduced Cost SHIP( JKT, BDG1) E+00 SHIP( JKT, SMG1) E+00 SHIP( JKT, MLG1) E SHIP( JKT, TASIK) E SHIP( JKT, CRB) E SHIP( JKT, JOGJA) E SHIP( JKT, SOLO) E SHIP( JKT, MADIUN) E SHIP( JKT, JEMBER) E SHIP( SBY, BDG1) E SHIP( SBY, SMG1) E+00 SHIP( SBY, MLG1) E+00 SHIP( SBY, TASIK) E SHIP( SBY, CRB) E SHIP( SBY, JOGJA) E SHIP( SBY, SOLO) E SHIP( SBY, MADIUN) E SHIP( SBY, JEMBER) E SHIP( BDG, BDG1) E+00 SHIP( BDG, SMG1) E SHIP( BDG, MLG1) E SHIP( BDG, TASIK) E+00 SHIP( BDG, CRB) E+00 SHIP( BDG, JOGJA) E SHIP( BDG, SOLO) E SHIP( BDG, MADIUN) E SHIP( BDG, JEMBER) E SHIP( SMG, BDG1) E SHIP( SMG, SMG1) E+00 SHIP( SMG, MLG1) E

14 121 SHIP( SMG, TASIK) E SHIP( SMG, CRB) E SHIP( SMG, JOGJA) E+00 SHIP( SMG, SOLO) E+00 SHIP( SMG, MADIUN) E SHIP( SMG, JEMBER) E SHIP( MLG, BDG1) E SHIP( MLG, SMG1) E SHIP( MLG, MLG1) E+00 SHIP( MLG, TASIK) E SHIP( MLG, CRB) E SHIP( MLG, JOGJA) E SHIP( MLG, SOLO) E E+00 SHIP( MLG, MADIUN) E+00 SHIP( MLG, JEMBER) E+00 Hasil ini apabila kita pindah kedalam tabel, maka akan kita peroleh tabel berikut. Biaya Trashipment 320. BDG SMG MLNG TSIK CRB JGJA SOLO MDIUN JBER Kapasitas JKT SBY BDG 3 1 SMG 3 4 MALANG 2 2 Permintaan Dari tabel ini, dapat disimpulkan bahwa, Dari Jakarta terdapat 6 buah alat berat, 3 buah dikirim ke Bandung, dan 3 buah ke Semarang. Dari Surabaya terdapat 8 buat alat berat, 4 buah dikirim ke Semarang, dan 4 buah dikirim ke Malang. Kota Bandung mendapat kiriman dari Jakarta 3 buah alat berat, dikirim ke Tasikmalaya 2 buah dan dikirim ke Cirebon 1 buah.

15 122 Kota Semarang mendapat kiriman dari Jakarta 3 buah dan dari Surabaya 4 buah alat berat, dikirim ke Jogja 3 buah dan dikirim ke Solo 4 buah. Kota Malang mendapat kiriman dari Surabaya 4 buah alat berat, dikirim ke Madiun 2 buah dan dikirim ke Jember 2 buah. ii. Program Solver untuk Menyelesaikan Masalah Transshipment Masalah Transshipment ini apabila dikerjakan dengan Solver, maka kita buat tabel awal sebagai berikut. Setelah Solver dijalankan dengan mengisi menu solver (Solver Parameter) berikut.

16 Maka akan kita peroleh hasil sebagai berikut. 123

17 124 Dari hasil ini, maka kesimpulan dapat diambil sama seperti kesimpulan pada penyelesaian dengan Lingo di atas. Soal-soal 1. Dua pabrik batu bara terletak di Pontianak dan Balikpapan masing-masing dapat menghasilkan 300 ton setiap bulannya. Sementara Perusahaan yang memerlukan batu bara berada di pulau Jawa, yaitu di 10 kota: Banten, Jakarta, Cirebon, Tegal, Pekalongan, Semarang, Kudus, Surabaya, Malang, dan Banyuwangi. Dari kota-kota tersebut berturut-turut memerlukan bata-bara (dalam ton): 50, 100, 50, 75, 60, 40,40, 50, 30, dan 30. Pengangkutan batu bara dilakukan dengan dua tahap, yaitu dari Pontianak dan Balikpapan ke pelabuhan di Jakarta, Semarang, dan Surabaya menggunakan kapal, Sedangkan dari Pelabuhan ke kota-kota tujuan menggunakan Truk. Biaya Pengangkutan tiap ton batu bara terlihat pada tabel berikut. Biaya Pengiriman batu bara Dengan Kapal Jakarta Semarang Surabaya Pontianak Balikpapan Dengan Truk Banten Jakarta Cirebon Tegal Pklongan Smrang Kdus Srbaya Mlang Bnywngi Jakarta Semarang Surabaya Buatlah sistem transshipment agan biaya pengiriman batu bara minimum. 2. Bagaimana sistem transshipment pada soal no 1 ini bilamana kebutuhan batu bara di Tegal, Surabara, dan Banyuwangi masing-masing naik 25 ton sebulan, sementara kebutuhan di Jakarta turun 25 ton sebulannya.

18 Bagaimana sistem transshipment pada contoh soal di atas (tentang alat berat) bilamana jumlah alat berat di Jakarta ada 10 buah, dan di surabaya ada 6 buah.