Pembahasan Soal SNMPTN 2012 SELEKSI NASIONAL MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS.

Transkripsi

1 Pembahasan Soal SNMPTN 0 SELEKSI NASIONAL MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang

2 Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan Soal SNMPTN 0 Matematika IPA Kode Soal 634 By Pak Anang ( cos x lim x tan (x + π 3 ) A. 3 B. 0 C. 3 3 D. 3 E. 3 Ingat: lim x sin x = lim sin x x = sin x + cos x = lim x tan x = lim tan x x = TRIK SUPERKILAT: cos x lim x tan (x + π 3 ) = x x tan π 3 = 3 = 3 3 Substitusi x = 0 pada limit: cos x lim x tan (x + π 3 ) = 0 3 = 0 0 (bentuk tak tentu) Jadi limit tersebut diselesaikan menggunakan identitas trigonometri: cos x lim x tan (x + π 3 ) = lim (sin x + cos x) cos x x tan (x + π 3 ) sin x = lim x tan (x + π 3 ) sin x sin x = lim x x tan (x + π 3 ) sin x = lim x lim sin x x = lim tan (x + π 3 ) = tan (0 + π 3 ) lim tan (x + π 3 ) = tan 60 = (Ingat rasionalisasi bentuk akar) 3 = = 3 3 (Ingat lim sin x x = ) Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman

3 . Di dalam kotak terdapat bola biru, 6 bola merah, dan bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah... A. 5 9 B. TRIK SUPERKILAT: P(A) = n(a) n(s) = C 6 C C 9C 7 = = 5 C. 5 D. 7 E Terdapat beberapa kemungkinan dengan syarat bola merah yang terambil dua kali bola putih yang terambil, yaitu: Kemungkinan pertama: Misal pada pengambilan sebanyak 7 bola di dalam kotak telah terambil bola putih, maka untuk memenuhi syarat tersebut juga harus terambil bola merah. Nah, akibatnya bola biru yang terambil harus sebanyak 4 bola biru. Jelas ini tidak mungkin, mengingat di dalam kotak hanya terdapat bola biru saja. Kemungkinan kedua: Misal pada pengambilan sebanyak 7 bola di dalam kotak telah terambil bola putih, maka untuk memenuhi syarat tersebut juga harus terambil 4 bola merah. Nah, akibatnya bola biru yang terambil harus sebanyak bola biru. Kejadian inilah yang dimaksud dalam soal, mengingat di dalam kotak hanya terdapat bola biru saja. Jadi dari dua kemungkinan tersebut di atas, pilihan kejadian yang mungkin adalah kemungkinan kejadian kedua, yaitu dalam pengambilan 7 bola di dalam kotak terambil bola putih, 4 bola merah dan bola biru. Sehingga peluangnya adalah: P(A) = n(a) n(s) P(P 4M B) = C 6 C C 9C 7! ( )!! 6! (6 )!!! ( )!! = 9! (9 7)! 7!! = 0!! 6! 4!!! 0!! 9!! 7! = 6 5 4! 4! 9 8 7! 7! = 5 36 = 5 36 = 5 Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman

4 3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, y =, dan x = adalah... A. ( x )dx B. (x )dx C. (x )dx D. ( x )dx E. (x )dx 0 Sekarang mari kita sketsa grafiknya. TRIK SUPERKILAT: Gambar sketsa grafiknya dulu Maka akan diperoleh L = (x ) dx y = x Y 4 3 y = x = X Menentukan terlebih dahulu batas integrasi di sumbu X: Batas kiri adalah perpotongan antara y = x dengan y =, yaitu di x =. Batas kanan adalah garis x =. Jadi batas integrasi adalah dari a = sampai b =. Tentukan juga f(x) dan g(x) dalam selang interval a < x < b yang memenuhi f(x) > g(x). Sehingga diperoleh { f(x) y = x g(x) y = Jadi luas daerah yang ditunjukkan oleh grafik di atas adalah: b L = [f(x) g(x)] a dx L = (x ) dx Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 3

5 4. (cos x+sin x) (cos x sin x) =... A. B. C. D. E. cos x sin x +cos x cos x + sin x sin x +sin x sin x Ingat: Identitas trigonometri cos x + sin x = TRIK SUPERKILAT: Substitusikan x = 0 dan x = 90 ke soal, maka jawabannya sama dengan. Cek pada jawaban, yang hasilnya juga hanya di jawaban E. Ya kan? Gampang kan? Trigonometri sudut rangkap: sin x = sin x cos x Perkalian istimewa (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (cos x + sin x) (cos x sin x) = cos x + sin x cos x + sin x cos x sin x cos x + sin x = (cos x + sin x) + sin x cos x (cos x + sin x) sin x cos x (Ingat cos x + sin x = ) + sin x cos x = (Ingat sin x cos x = sin x) sin x cos x + sin x = sin x Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 4

6 5. Lingkaran (x 3) + (y 4) = 5 memotong sumbu-x di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos APB =... A. B C. 5 D. 6 5 E. 8 5 Mencari pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya. Ingat: L (x a) + (y b) = r adalah lingkaran dengan pusat di (a, b) dan jari-jari r. L (x 3) + (y 4) = 5 adalah lingkaran dengan pusat di P(3, 4) dan jari-jari 5. Mencari letak titik potong lingkaran pada sumbu X, substitusikan y = 0 ke persamaan lingkaran. y = 0 (x 3) + (0 4) = 5 (x 3) + 6 = 5 (x 3) = 5 6 x 6x + 9 = 9 x 6x = 0 x 6x = 0 x(x 6) = 0 Pembuat nol x = 0 atau x 6 = 0 x = 0 atau x = 6 Jadi titik potong lingkaran pada sumbu X adalah di titik A(0, 0) dan B(6, 0). Sehingga, gambar sketsa grafiknya pada bidang koordinat adalah sebagai berikut. Y 8 Panjang AP = PB = jari-jari lingkaran = P A B X Panjang AB = jarak antara titik (0, 0)ke titik (6, 0) = (6 0) + (0 0) = = 36 = 6 Sehingga besar APB bisa ditentukan dengan aturan kosinus sebagai berikut: AB = AP + PB AP PB cos APB cos APB = AP + PB AB AP PB = = = 4 50 = 7 5 Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 5

7 6. Diberikan kubus ABCD. EFGH. Jika α adalah sudut antara bidang ACF dan alas ABCD, maka tan α =... A. B. C. D. 3 E. 3 H TRIK SUPERKILAT: Logikanya, kita tahu panjang BF lebih panjang daripada BO. Maka nilai tangen pasti lebih besar. Jadi jawaban yang mungkin tinggal A dan E. Dengan memisalkan rusuk kubus s, maka diperoleh nilai tangen adalah. G E F Sudut antara bidang ACF dan alas ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh ruas garis OF dan OB yaitu FOB. Misalkan panjang rusuk kubus tersebut adalah s, maka: OB = diagonal bidang OB = (s ) D O C = s A B Perhatikan OBF, maka nilai tangen FOB adalah perbandingan sisi depan (FB) dibagi sisi samping (OB): O s F s B tan FOB = FB tan FOB = s OB s = s s = = = (Rasionalisasi bentuk akar) Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 6

8 7. Lingkaran (x 4) + (y ) = 64 menyinggung garis x = 4 di titik... A. ( 4, ) B. ( 4, ) C. ( 4, 4) D. ( 4, 4) E. ( 4, 8) Untuk mencari letak titik singgung lingkaran terhadap garis x = 4, maka substitusikan x = 4 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh: x = 4 ( 4 4) + (y ) = y 4y + 4 = 64 y 4y + 68 = 64 y 4y = 0 y 4y + 4 = 0 (y )(y ) = 0 y, = TRIK SUPERKILAT: Substitusikan semua pilihan jawaban, mana yang memenuhi persamaan lingkaran. Jelas ( 4, ) karena ( 4 4) + ( ) = 64 Jadi titik singgung lingkaran dengan garis x = 4 adalah ( 4, ). Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 7

9 8. Jika suku banyak x 3 x + 6x dibagi x, maka sisanya adalah... A. 0 B. C. 0 D. 0 E. 3 Pembagian suku banyak dengan metode Horner: x = 0 x = TRIK SUPERKILAT: Gunakan metode horner. Metode paling ampuh untuk mencari nilai sisa untuk tipe soal ini. Jadi, sisa pembagian suku banyak x 3 x + 6x oleh x adalah. Pembagian suku banyak dengan metode biasa: x x x x 3 x + 6x x 3 x + 6x + 6x 3 Jadi, sisa pembagian suku banyak x 3 x + 6x oleh x adalah. Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 8

10 9. Grafik fungsi f(x) = ax 3 + bx cx + 0 turun, jika... A. b 4ac < 0 dan a < 0 B. b + 4ac < 0 dan a < 0 C. b + 3ac < 0 dan a > 0 D. b + 3ac < 0 dan a < 0 E. b 3ac < 0 dan a < 0 Ingat: y = ax n y = nax n. Suatu fungsi f(x) akan turun jika f (x) < 0. f(x) = ax + bx + c akan definit negatif jika D < 0 dan a < 0. Misal turunan pertama fungsi f(x) adalah f (x), maka: f(x) = ax 3 + bx cx + 0 f (x) = 3ax + bx c Fungsi f(x) akan turun jika f (x) < 0, sehingga: f (x) < 0 3ax + bx c < 0 Syarat fungsi h(x) = 3ax + bx c akan bernilai negatif adalah: D < 0 B 4AC < 0 (b) 4(3a)( c) < 0 4b + ac < 0 b + 3ac < 0 dan A < 0 3a < 0 a < 0 Jadi fungsi f(x) = ax 3 + bx cx + 0 turun, jika b + 3ac < 0 dan a < 0. Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 9

11 0. Diketahui segitiga dengan titik sudut ( 4, 0), (4, 0), dan (4 cos θ, 4 sin θ) untuk 0 θ π. Banyak nilai θ yang mungkin agar luas segitiga tersebut 3 adalah... A. 8 B. 4 C. 3 D. E. Luas segitiga dengan titik sudut (x, y ), (x, y ), dan (x 3, y 3 ) adalah: L = x y x y x 3 y 3 Sehingga, apabila titik sudut segitiga masing-masing adalah ( 4, 0), (4, 0), dan (4 cos θ, 4 sin θ) serta luas segitiga adalah 3, maka nilai luas harus diberi tanda mutlak (karena luas bernilai negatif apabila berada di bawah sumbu X): L = x y x y 3 = 4 0 x 3 y cos θ 4 sin θ 3 = (3 sin θ) 3 = 6 sin θ 3 = sin θ 6 Dalam interval 0 < θ < π, nilai sin θ = 3 yang tentunya bisa bernilai positif dan bisa bernilai 6 negatif ada 4 buah, yaitu masing-masing bernilai positif di kuadran I (0 < θ < π ) dan kuadran II ( π < θ < π), serta bernilai negatif pada kuadran II (π < θ < 3π ) dan kuadran IV (3π < θ < π). Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 0

12 . Vektor x dicerminkan terhadap garis y = 0. Kemudian hasilnya diputar terhadap titik asal O sebesar θ > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor y. Jika y = Ax, maka matriks A =... cos θ sin θ A. [ sin θ cos θ ] [ 0 0 ] B. [ 0 cos θ sin θ ] [ 0 sin θ cos θ ] cos θ sin θ C. [ sin θ cos θ ] [ 0 0 ] cos θ sin θ D. [ sin θ cos θ ] [ 0 0 ] E. [ 0 cos θ sin θ ] [ 0 sin θ cos θ ] Ingat! Matriks transformasi pencerminan terhadap y = 0 (sumbu X) adalah: M sbx = ( 0 0 ) Matriks transformasi rotasi terhadap titik asal O sebesar θ berlawanan jarum jam adalah: cos θ sin θ M R(O,θ) ( sin θ cos θ ) Dengan menggunakan konsep komposisi transformasi, jika vektor x secara berturut-turut ditransformasikan oleh matriks transformasi T lalu dilanjutkan transformasi oleh matriks transformasi T maka: y = (T T )x y = (M R(O, θ) M MsbX )x y = ( cos( θ) sin( θ) sin( θ) cos( θ) ) ( 0 sin( θ) = sin θ ) x (Ingat 0 cos( θ) = cos θ ) cos θ sin θ y = ( sin θ cos θ ) ( 0 0 ) x Karena y = Ax, maka jelas matriks A adalah: cos θ sin θ A = ( sin θ cos θ ) ( 0 0 ) Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman

13 . Himpunan A memenuhi hubungan {} A {,, 3, 4, 5, 6}. Jika 6 adalah anggota A, maka banyak himpunan A yang mungkin adalah... A. 04 B. 08 C. 6 D. 4 E. 3 TRIK SUPERKILAT: Kita akan mencari himpunan bagian dari 4 anggota yang lain yaitu {, 3, 4, 5}, jadi banyaknya himpunan bagian adalah 4 = 6. Karena {} A dan 6 adalah anggota A, maka jelas {, 6} A. Sehingga banyaknya anggota A yang mungkin adalah sebagai berikut: Dua anggota: Hanya terdapat satu kemungkinan saja yaitu {, 6} A Tiga anggota: Terdapat sebanyak 4 C = 4 kemungkinan yaitu {,, 6} A {, 3, 6} A {, 4, 6} A {, 5, 6} A Empat anggota: Terdapat sebanyak 4 C = 6 kemungkinan yaitu {,, 3, 6} A {,, 4, 6} A {,, 5, 6} A {, 3, 4, 6} A {, 3, 5, 6} A {, 4, 5, 6} A Lima anggota: Terdapat sebanyak 4 C 3 = 4 kemungkinan yaitu {,, 3, 4, 6} A {,, 3, 5, 6} A {,, 4, 5 6} A {, 3, 4, 5, 6} A Enam anggota: Terdapat sebanyak 4 C 4 = kemungkinan yaitu {,, 3, 4, 5, 6} A Sehingga banyaknya himpunan bagian dari A yang mungkin adalah: + 4 C + 4 C + 4 C C 4 = = 6 Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman

14 3. Diberikan suku banyak p(x) = x + bx + c. Jika b dan c dipilih secara acak dari selang [0, ], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah... A. 0 B. 6 C. 3 D. 3 4 E. 5 6 Ingat! Diskriminan persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 adalah D = b 4ac. Sifat-sifat diskriminan { D > 0 memiliki dua akar real berbeda D = 0 memiliki dua akar real kembar D < 0 tidak memiliki akar real (akar-akar imajiner) Syarat p(x) = x + bx + c tidak mempunyai akar adalah nilai D < 0. D < 0 b 4c < 0 b < 4c b 4 < c Jika a dan b berada dalam selang [0, ] dimisalkan x = b dan y = c sehingga persamaan di atas menjadi: b 4 Fungsi y > x 4 < c y > x 4 dengan batas 0 a dan 0 b bisa digambar pada sketsa grafik berikut: Y Sedangkan, kejadian yang dimaksudkan pada soal adalah peluang suku banyak tersebut tidak memiliki akar berada pada daerah arsir berwarna merah, sehingga jumlah kejadiannya adalah: n(a) = Luas daerah arsir = ( x 4 ) dx 0 = [x x3 ] 0 = (() ()3 (0)3 ) ((0) ) = (4 8 ) (0) = 48 8 = 40 = X Jadi peluang suku banyak tersebut tidak memiliki akar adalah: P(A) = n(a) n(s) = Perhatikan gambar, daerah hasil dari a dan b adalah daerah persegi bergaris tepi berwarna biru dengan ukuran, sehingga jumlah ruang sampelnya adalah: n(s) = Luas persegi = = 4 = = 0 = 5 6 Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 3

15 4. Nilai 3 sin x cos x < 0, jika... A. 7π 6 < x < π 7 B. 5π 6 < x < 7π 6 C. 5π 7 < x < 0π 7 D. π 6 < x < 9π 6 E. π < x < 5π 4 Ingat bentuk a sin x + b cos x = r cos(x θ) dimana r = a + b dan tan θ = a b Perhatikan 3 sin x cos x < 0 berarti a = 3 dan b =. Sehingga, r = a + b r = ( 3) + ( ) = 3 + = 4 = Dan tan θ = a θ = arctan b (a ) = arctan ( 3 ) = arctan( 3) = 0 = π b 3 Sehingga, 3 sin x cos x < 0 cos (x π 3 ) < 0 Persamaan trigonometri sederhana cos (x π 3 ) = 0 = cos π x π 3 = π + n π x π 3 = ( π ) + n π x = ( π + π 3 ) + n π x = ( π + π ) + n π 3 x = ( 3π 6 + 4π 6 ) + n π x = ( 3π 6 + 4π ) + n π 6 x = 7π 6 + n π x = π + n π 6 n = x = π 6 n = 0 x = π 6 n = 0 x = 7π 6 n = x = 7π 6 Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi cos(x π ) = 0 adalah 3 {π, 7π } 6 6 Daerah penyelesaian pertidaksamaan cos(x π ) < 0 bisa digambarkan pada garis bilangan 3 berikut: + 0 π 7π 6 6 π Jadi daerah penyelesaiannya adalah 0 < x < π 6 atau 7π 6 < x < π. Jadi daerah yang memenuhi pada jawaban adalah jawaban A yaitu 7π 6 π < x <. 7 Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 4

16 5. Diketahui u = dan v =. Jika u dan v membentuk sudut 30, maka (u + v ) v =... A B. 3 + C D. 3 E. 5 Ingat! a b = a b cos (a, b ) Sifat operasi aljabar vektor: Distributif: (a + b ) c = a c + b c (u + v ) v = u v + v v = u v cos (u, v ) + v v cos (v, v ) = u v cos 30 + v v cos 0 = 3 + = Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam menghadapi SNMPTN serta kumpulan pembahasan soal SNMPTN yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi Terimakasih, Pak Anang. Bimbel SBMPTN 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 5