7 BAB BILANGAN REAL Bab ini akan membahas sifat-sifat aljabar, terurut dan kelengkapan dari bilangan real Sifat-sifat Aljabar dari R Operasi pada himpunan S adalah suatu fungsi Untuk sembarang a,bs, kita tulis ab untuk (a,b) : S x S S (a,b) (a,b) Misal adalah operasi pada hmpunan S S dikatakan tertutup di bawah operasi jika a,b S, ab S Grup adalah suatu pasangan terurut (S, ) dengan S adalah himpunan dan adalah operasi pada S yang memenuhi: (i) asosiatif (ii) memiliki unsur identitas (iii) ada unsur invers R dengan operasi + bersifat : (i) asosiatif (R, +) (ii) 0R, ar, a+0 = 0+a = a (iii) ar, (-a)r, a+(-a) = (-a)+a = 0 (iv) komutatif R {0} dengan operasi bersifat : (i) asosiatif (R {0}, x) (ii) R, ar, ax = xa = a (iii) ar, (/a)r, ax(/a) = (/a)xa = (iv) komutatif (R, +, x) bersifat : distributif, ax(b+c) = (axb) + (axc), a,b,c R Himpunan-himpunan yang memenuhi sifat-sifat di atas disebut field Field adalah triple (F, +, x) sedemikian sehingga (F, +) adalah suatu grup abelian (identitasnya 0) dan (F {0}, x) juga suatu grup abelian, dan memenuhi sifat distributif ax(b+c) = (axb) + (axc), a,b,c F
8 R dengan operasi + dan x adalah field Selain R ada field-field yang lain yaitu C, dan Q Teorema (a) Jika z,a R dan z+a = a, maka z = 0 Bukti a + (-a) = 0 (z+a) + (-a) = 0 z + (a + (-a)) = 0 z + 0 = 0 z = 0 (b) Jika u,br dan b0 dan ub=b, maka u= Bukti b ( b ) = (ub) ( b ) = u (b b ) = u = u = Teorema (a) Jika a,br, a+b = 0, maka b = -a Bukti -a +0 = -a -a + (a+b) = -a (-a+a) + b = -a 0 + b = -a b = -a (b) Jika a 0 dan b R sehingga ab =, maka b = /a (/a) = /a (/a) ab = /a ((/a)a) b = /a b = /a b = /a
Teorema 3,b R Misal a, maka (i) persamaan a x b mempunyai selesaian tunggal x a b (ii) Jika a 0, maka persamaan ax b mempunyai selesaian tunggal x b a 9 Teorema 4 Jika a R, maka (i) a 0 0 (ii) a a (iii) a a (iv) Teorema 5 Misal a,b,c R a (i) jika a 0, maka 0 dan a a (ii) jika ab a c dan a 0, maka b c (iii) jika a b 0, maka a 0 atau b 0 Operasi kurang didefinisikan dengan a b a b Operasi bagi didefinisikan dengan a a b b
30 Bilangan Rasional Teorema 6 Tidak ada bilangan rasional r yang memenuhi r Contoh Jika a R dengan aa a, maka a 0 atau a Karena a a dan aa a, maka aa a Jika a 0, berdasarkan teorema 6, maka a Jika a 0, maka 00 = 0 benar Jadi, a 0 atau a Latihan Buktikan Teorema 4 Jika, kan bahwa: (a) (c) (d) (b) 3 Jika yang memenuhi Buktikan bahwa atau Sifat Terurut dari R Definisi 7 Ada subset P dari R yang tak kosong, yang disebut himpunan bilangan real positif kuat, yang memenuhi sifat-sifat (i) a,b P a + b P (ii) a,b P a x b P (iii) ar tepat satu memenuhi hal-hal berikut: ap, a=0, -ap Definisi Jika ap, kita namakan bilangan real positif kuat, dan ditulis a>0 Jika ap atau a=0, kita namakan bilangan real positif, dan ditulis a0
3 Jika -ap, kita namakan bilangan real negatif kuat, dan ditulis a<0 Jika -ap atau a=0, kita namakan bilangan real negatif, dan ditulis a0 Definisi 3 Misalkan a,br (i) a b P a > b atau b < a (ii) a b P {0} a b atau b a Teorema 7 Misalkan a,b,c R (a) Jika a>b dan b>c, maka a>c Karena a>b dan b>c, maka a-b P dan b-c P Sehingga (a-b) + (b-c) = a-c P Ini berarti a>c (b) Hanya satu memenuhi hal berikut a>b, a = 0, a<b Berdasarkan sifat terurut dari R, maka hanya satu dari hal-hal berikut yang dipenuhi yaitu a-bp, a-b = 0, -(a-b) = b-a P Ini berarti hanya tepat satu memenuhi a>b, a = 0, a<b (c) Jika a b dan b a, maka a = b Andaikan a b, maka a > b atau b > a Jika a > b, hal ini bertentangan dengan b a Jika b > a, hal ini bertentangan dengan a b Jadi, pengandaian salah Ter a = b Teorema 8 (a) Jika ar dan a 0, maka a > 0 (b) > 0
3 (c) Jika nn, maka n>0 Teorema 9 Misal a, b, c, d R (a) a>b a+c > b+c (b) a>b dan c>d a+c > b+d (c) a>b dan c>0 ac > bc a>b dan c<0 ac < bc (d) a>0 /a > 0 a<0 /a < 0 Bukti Misal P = {x x>0} (a) Karena a>b maka a b P Sehingga (a+c) (b+c) = a b P Jadi, a+c > b+c (b) Karena a>b dan c>d, maka a b, c d P Sehingga (a+c) (b+d) = (a b) + (c d) P Jadi, a+c > b+d (c) Karena a>b dan c>0, maka a b, c 0 = c P Sehingga (ac bc) = c(a b) P Jadi, ac > bc Jika c < 0, maka c P Sehingga (bc ac) = (-c)(a b) P Jadi, ac < bc (d) Karena a > 0, maka a 0 Sehingga /a 0 Berdasarkan sifat Trichotomy maka /a > 0 atau /a < 0 Misalkan /a < 0, maka berdasarkan Teorema 6 (c) berlaku a(/a) = < 0 (kontradiksi) Hal ini berarti tidak mungkin /a < 0 Jadi, /a > 0 Hal yang serupa untuk a < 0 Karena a < 0, maka a 0
33 Sehingga /a 0 Berdasarkan sifat Trichotomy maka /a > 0 atau /a < 0 Misalkan /a > 0, maka berdasarkan Teorema 6 (c) berlaku a(/a) = < 0 (kontradiksi) Hal ini berarti tidak mungkin /a > 0 Jadi, /a < 0 Teorema 0 a, b R, a > b a > (a+b) > b Karena a > b maka a = a + a > a + b dan a + b > b + b = b Berdasarkan Teorema 4 (a), maka a > a+b > b Karena > 0, maka > 0 Sehingga (a) > (a+b) > (b) a > (a+b) > b Corollary a R, a > 0 a > a > 0 Berdasarkan Teorema 7 dengan b = 0, maka a > a > 0 Teorema a R, 0 a <, >0 a = 0 Misalkan a > 0 Berdasarkan Corollary 8, maka a > a > 0 Pilih 0 = a>0 Maka a > 0 Hal ini bertentangan dengan a <, >0 Haruslah a = 0 Teorema ab > 0 (i) a>0 dan b>0, atau (ii) a<0 dan b<0
34 Karena ab > 0, maka a0 dan b0 Berdasarkan sifat Trichotomy, maka a>0 atau a<0 Jika a>0, berdasarkan Teorema 6 (d), maka a > 0 Sehingga b = b = (a a ) b = a (ab) > 0 Jika a<0, berdasarkan Teorema 6 (d), maka a < 0 Sehingga b = b = (a a ) b = a (ab) < 0 Corollary ab < 0 (i) a<0 dan b>0, atau (ii) a>0 dan b<0 Contoh Cari semua bilangan real x sehingga (a) x > 3x + 4 Jawab Karena x > 3x + 4, maka x - 3x - 4 > 0 (x 4)(x+) >0 Sehingga (i) x 4>0 dan x+>0 Ini berarti x>4 dan x>- Jadi, x>4 Atau, (ii) x 4<0 dan x+<0 Ini berarti x<4 dan x<- Jadi, x<- Jadi, A = {x x > 3x + 4} = {x x>4 atau x<-} (b) < x < 4 Karena < x < 4, maka < x dan x < 4 (i) Karena < x, maka (x+)(x-) > 0 Sehingga - x+>0 dan x->0 Ini berarti x >- dan x > Jadi, x > Atau, - x+< 0 dan x-< 0 Ini berarti x < - dan x < Jadi, x < - Jadi, semua x yang memenuhi < x adalah x > atau x < - (ii) Karena x < 4, maka (x+)(x-) < 0 Sehingga
- x+ > 0 dan x- < 0 Ini berarti x > - dan x < Jadi, - < x < - x+ < 0 dan x- > 0 Ini berarti x < - dan x > Karena tidak mungkin x < - dan x >, maka tidak ada x yang memenuhi x+ < 0 dan x- > 0 Jadi semua x yang memenuhi x < 4 adalah - < x < Jadi, B = {x < x < 4} = {x x > atau x < -}dan {x - < x < } = {x - < x < atau < x < } 35 Contoh 3 a < b dan c < d ad + bc < ac+bd Misal P = {x x > 0} Karena a < b dan c < d maka b a, d c P Sehingga (ac+bd) (ad+bc) = (b a)(d c) P Ini berarti ad + bc < ac+bd Contoh 4 Misalkan a,br dan untuk setiap >0, berlaku a - < b Tunjukkan a b Andaikan a > b Pilih 0 = a b, maka a - 0 = a (a b) = b < b (kontradiksi) Jadi, a b Latihan Misalkan dan Buktikan bahwa Misalkan Tunjukkan bahwa dan 3 Misalkan Tunjukkan bahwa
36 4 Cari semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut (a) (b) (c) (d) 5 Misalkan dan untuk setiap berlaku Buktikan bahwa 3 Nilai Mutlak Definisi 4 a,a 0 a, dengan a R a,a 0 Teorema 3 (a) a a,untuk semua a R Jika a = 0, maka -0 = 0 = 0 Jika a > 0, maka a < 0 Sehingga a ( a ) a a Jika a < 0, maka a > 0 Sehingga a a a (b) ab a b, untuk semua a,b R Jika a = 0 atau b = 0, maka ab dan a b sama dengan 0 Jika a > 0 dan b > 0, maka ab > 0 Sehingga ab ab a b Jika a < 0 dan b < 0, maka ab > 0 Sehingga ab ab ( a )( b ) a b Jika a > 0 dan b < 0, maka ab < 0 Sehingga ab ab a( b ) a b Jika a < 0 dan b > 0, maka ab < 0 Sehingga
37 ab ab a(b ) a b (c) jika c 0,maka a c, jika dan hanya jika - c a c Misalkan c>0 () Karena a c, maka a c dan a c Kita tahu bahwa a c ekuivalen dengan c a Karena c a dan a c, maka c a c () Jika c a c, maka c a dan a c Sehingga a c (d) a a a, untuk semua a R Ganti c = a pada c akan diperoleh a a a Ketidaksamaan Segitiga Untuk sembarang a, b R, berlaku Karena maka Jadi, a b a b a a a dan b b b, a b a b a b a b a b a b a b a b Corollary 3 Untuk sembarang a, b R, berlaku (a) a b a b Karena a a b b a b b, maka a b a b Karena b b a a b a a, maka
38 b a b a a b a b dan a b a b, diperoleh Sehingga dari a b a b a b a b (b) a b a b Ganti b dengan b pada ketidaksamaan segitiga diperoleh a b a b a b Contoh 4 Cari semua x R yang memenuhi pertidaksamaan berikut 5(a) 4x 5 3 Karena 4x 5 3, maka 3 4x 5 3 3 5 4x 5 5 3 5 8 4x 8 4 8 x 4 4 8 4 x 4 8 Jadi, A = 4x 5 3 x x 8 5(c) x x Cara I x (i) Jika x, maka x x 0 Ini berarti tidak ada x yang memenuhi pertidaksamaan (ii) Jika x, maka 4
39 x x x x 0 Ini berarti untuk semua x memenuhi pertidaksamaan (iii) Jika x, maka x x x x x 0 x 0 Ini berarti x 0 memenui pertidaksamaan Jadi, B = x x x x 0 x Contoh 5 Tunjukkan bahwa x a a x a () Karena x a, maka x a a x a a a a x a () Karena a x a, maka a a x a a a x a x a Contoh 6 x 3 Misal x f x, untuk setiap x 3 x Cari konstanta M>0 sehingga f x M, untuk setiap x 3 Karena x 3x x 3 x dan x 3, maka x 3x 3 3 3 8 Karena x x dan x, maka
40 x 3 Sehingga x 3 8 x f x x 3 8 Pilih M = >0, maka 3 x f M, untuk setiap x 3 Latihan 3 Misalkan Tunjukkan bahwa jika dan hanya jika Misalkan dengan Buktikan bahwa jika, maka 3 Carilah semua yang memenuhi pertidaksamaan berikut (a) (b) 4 Lingkungan Definisi 5 Misalkan ar (i) Untuk suatu >0, lingkungan- dari a adalah himpunan V (a) = {xr x a < } V (a) ( ) a- a a+
4 (ii) Suatu lingkungan dari a adalah sembarang himpunan yang memuat lingkungan- dari a, untuk suatu > 0 Teorema 4 Misalkan a R Jika x R sehingga x anggota setiap lingkungan dari a, maka x =a Karena x V a untuk setiap 0, maka x a untuk setiap 0 Berdasarkan Teorema 9, maka x a 0 Jadi x a Contoh 7 Tunjukkan bahwa jika U dan V adalah lingkungan ar, maka juga lingkungan dari a Karena U lingkungan maka ada, > 0 sehingga U a Sehingga a U av a U V U Ini berarti U V juga lingkungan dari a Tentukan 4 min, a U av a V4 Maka Karena U av a U V, maka V a U V Ini berarti Contoh 8 U V juga lingkungan dari a Periksa apakah I x 0 x lingkungan dari 0 (a) (b) x 0 x U lingkungan dari 3 (a) I bukan lingkungan dari 0 karena untuk sembarang 0, V 0 x x I 0 4 (b) U lingkungan dari, karena ada 0, sehingga 0 x x x x V U 4 4 4 3 U V dan U V U dan V a V
4 Latihan 4 Misalkan, dan Buktikan bahwa dan adalah lingkungan- untuk suatu yang sesuai Buktikan bahwa jika dengan, maka ada lingkungan U dari a dan lingkungan V dari b sedemikian sehingga 5 Sifat Kelengkapan dari R Supremum dan Infimum Sifat kelengkapan bilangan Real berkaitan dengan konsep supremum dan infimum Definisi 6 Misal S R (i) u R dikatakan batas atas jika memenuhi s S s u (ii) w R dikatakan batas bawah jika memenuhi s S w s Batas atas terkecil disebut supremum Batas bawah terbesar disebut infimum Definisi 7 Misal S R (a) (b) p R disebut supremum jika memenuhi (i) (ii) s p, s S (p batas atas) s u, s S p u q R disebut infimum jika memenuhi
43 (i) (ii) q s, s S (q batas bawah) w s, s S w q Catatan Jika p supremeum dari S dan q infimum dari S maka p dan q tunggal Akan ditunjukkan bahwa supremum p tunggal Bukti Andaikan ada supremum yang lain, sebutlah m Karena m supremum dan p batas atas maka m p Karena p supremum dan m batas atas maka Sehingga, m = p p m Lemma Suatu batas atas u dikatakan supremum dari S (sup S) 0, s S sehingga u s S ( ) () Misalkan v batas atas yang lain dari S Akan ditunjukkan u v Andaikan u v, maka u v 0 Pilih u v 0 Maka ada s S sehingga u u (u v ) v s Hal ini bertentangan dengan v adalah batas atas dari S Jadi, pengandaian u v salah Haruslah u v () Misalkan u sup S ada s sehingga < s Misal pula diberikan sembarang 0 Karena u u, maka u bukan batas atas dari S Sehingga ada anggota dari S, sebutlah s S yang melebihi u
44 Atau, u s Contoh 9 Misalkan S x 0 x Tunjukkan bahwa sup S = batas atas karena s, s S Karena S, maka sembarang batas atas v dari S akan memenuhi < v Jadi, sup S = Contoh 0 Misalkan A x 0 x Tunjukkan bahwa sup A = batas atas karena s, s A Misal diberikan sembarang 0 dengan (i) 0 atau (ii) (i) Maka dapat dipilih Sehingga u s Jadi, sup A = (ii) s A Sifat Supremum dari R Setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di atas mempunyai supremum Atau dengan kata lain, A R A sup A ada A terbatas di atas Hal yang sama dengan Sifat Infimum dari R Setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di bawah mempunyai infimum Misal S adalah himpunan bagian tak kosong dari R dan S terbatas di atas dan misal pula a R Didefinisikan
45 Maka a S a s s S sup(a+s) = a + sup S Misalkan sup S = u, maka x u, x S, a x a u Ini berarti a+u adalah batas atas untuk a+s Misalkan pula v adalah batas atas yang lain untuk a+s Maka a x v, x S x v a Ini berarti v a batas atas untuk S Karena u = sup S, maka u v a u a v Jadi, u+a = sup(a+s) Contoh Misal x 0 x S Tentukan sup(+s) sup(+s) = + sup S = + = 3 Misalkan D R, dan fungsi f D f x x D gd g x x D adalah himpunan-himpunan terbatas di R Maka f x g x, x D sup f D sup (i) gd (ii) f x gy, x,y D sup f D inf gd
46 g(d) f(d) g f g(d) f(d) g f D D f x gx, x D f x gy, x,y D (i) Misal sup g(d) = t, maka x t, x gd, atau gx t, x D Karena f x gx, x D, maka f x t Jadi, t batas atas dari f(d) Sehingga, sup f D t Jadi, f D sup gd sup (ii) Untuk memkan f D inf gd f x gy, x D Ini berarti g(y) adalah batas atas dari f(d) sup f D g y Sehingga Karena f x gy, x D f D gy, y D sup, pertama misalkan y tetap Maka berlaku untuk sembarang y D Maka sup Ini berarti sup f(d) adalah batas bawah dari g(d) Sehingga sup f D inf g D Contoh Misalkan S himpunan terbatas di R dan S 0 S, S0 Tunjukkan bahwa inf S inf S0 sup S0 sup S Karena inf S0 sup S0 maka untuk memkan pernyataan di atas cukup dengan menunjukkan (a) inf S inf S0 (b) sup S 0 sup S
47 (a) Akan ditujukkan inf S inf S0 Misalkan inf S = t, maka t x, x S Karena S0 S, maka t x, x S0 Ini berarti t batas bawah dari S 0 Karena S S R,, dan S 0 terbatas di bawah, maka inf S 0 ada 0 S0 Sehingga t inf S0 Jadi, inf S inf S0 (b) Akan ditujukkan sup S 0 sup S Misalkan sup S = m, maka x m, x S Karena S0 S, maka x m, x S0 Ini berarti m batas atas dari S 0 Karena S S R,, dan S 0 terbatas di atas, maka sup S 0 ada 0 S0 Sehingga sup S m Jadi, sup S 0 sup S 0 Sifat Archimedes x R n sehingga x x n x (himpunan bilangan asli tidak terbatas) Andaikan N terbatas Karean N dan N R, dan N terbatas maka sup N ada, sebutlah u Pilih, maka m N sehingga u m u m Karena m N, maka u m bertentangan dengan u adalah sup N Jadi, pengandaian salah Ter N tidak terbatas Corollarry 4 Misalkan y dan z adalah bilangan real positif kuat Maka (a) n N sehingga z ny (b) n N sehingga 0 n y (c) n N sehingga n z n
48 (a) Karena y dan z adalah bilangan real positif kuat maka Berdasarkan sifat Archimedes, maka z y n z ny n N sehingga z R y (b) Pilih z = pada Corollary (a), maka Karena n N, maka 0 n y n N sehingga ny (c) Sifat Archimedes menjamin bahwa m N z m dari N adalah tidak kosong Berdasarkan sifat terurut baik dari N, maka m N z m mempunyai unsur terkecil, sebutlah n Maka n z n Teorema Density x,y R, x y r Q sehingga x r y (di antara dua bilangan real, ada bilangan rasional) Tanpa mengurangi sifat keumumanya, misalkan x > 0 Karena yx 0 x y dengan x, y R, maka R Berdasarkan sifat Archimedes, maka yx n ny nx ny nx n N sehingga Dengan menggunakan Corollary 48(c) untuk nx 0, maka m N sehingga m nx m Ini berarti m nx Sehingga nx m nx ny Ini berarti nx m ny Tulis m m x m n r Q y
49 Maka x r y Corollary 5 x,y R, x y z I sehingga x z y (di antara dua bilangan real, ada bilangan irasional) Karena x, y R dengan x y, maka R dengan Berdasarkan Teorema Density, maka r Q sehingga x x r r y y Tulis r z I Maka x z y x, y y x Latihan 5 Misalkan Tentukan sup A dan kan Misalkan Tentukan sup A dan kan 3 Misalkan adalah himpnan tak kosong, subset dari, dan terbatas di bawah Buktikan bahwa 6 Titik Cluster (Cluster Point) Definisi 8 Suatu titik x R dikatakan titik cluster dari subset S R, jika setiap lingkungan- dari x, x x, x V memuat paling sedikit satu titik dari S yang berbeda dengan x Atau Suatu titik x R dikatakan titik cluster dari subset S R jika Suatu titik x S \ 0,V x x R dikatakan bukan titik cluster dari subset S R jika x S \ 0,V x
50 S x x+ ( ( ) ) x ada ys, y x Contoh 3 Misalkan 5, 6 0 S dan S n N, n a Apakah 5 titik cluster dari S? Bukan Ada 0 5 \ sehingga 4, 5 S 5 V / b Apakah 00 titik cluster dari S? Bukan 000 Ada 0 sehingga, S V / 000 00 00 000 00 000 \ c Apakah 0 titik cluster dari S? Ya Misal diberikan sembarang 0 Maka berdasarkan Corollary 48(b), V 0, memuat S Ini berarti Sehingga 0 S \ V 0 00 m N sehingga 0 m Jadi, 0 adalah titik cluster dari S 7 Himpunan Terbuka (Open Set) dan Tertutup (Closed Set) di R Definisi 9 (i) Suatu subset G dari R adalah terbuka di R jika untuk setiap x G, ada lingkungan V dari x sehingga V G Atau G terbuka x G, 0 sehingga x,x G (ii) Suatu subset F dari R dikatakan tertutup di R jika R\F terbuka di R m Contoh 4
a Buktikan bahwa sembarang selang terbuka I = (a,b) adalah himpunan terbuka Misal diberikan sembarang x I, maka a x b min x a,b x > 0 Pilih Akan ditunjukkan V x I Misalkan u V x y x y x maka x u x Ada dua kemungkinan: (i) jika x a, maka x a b x Sehingga x b a x ba 5 ba a b a ( x a ) x x u x x a x x a Jadi, a u b Dengan kata lain u I (ii) jika b x, maka x a b x x b a x ba Sehingga b a b x b (b x ) x x u x b x x b a Jadi, a u b Dengan kata lain u I Jadi, V x I Kesimpulan, I = (a,b) adalah himpunan terbuka b Tunjukkan bahwa himpunan I = [0,] tidak terbuka Pilih 0 I Misal diberikan sembarang 0 Akan ditunjukkan V 0 x x I Pilih 0 V, maka I Jadi, V I 0 Kesimpulan, I = [0,] tidak terbuka c Buktikan bahwa I = [0,] tertutup
5 Karena R \ I = (0,) adalah himpunan terbuka di R maka I tertutup di R d Buktikan bahwa x 0 x H tidak terbuka juga tidak tertutup Akan ditunjukkan H tidak terbuka Karena ada 0 I sehingga untuk setiap 0 tidak terbuka di R Akan ditunjukkan H tidak tertutup Andaikan H tertutup, maka H terbuka di R Hal ini bertentangan dengan H tidak terbuka Jadi, haruslah H tidak tertutup berlaku V H 0, maka H Sifat Himpunan Terbuka (a) Gabungan dari sembarang koleksi dari himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka (b) Irisan dari koleksi finite dari himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka Bukti (a) Misalkan G G G R i i i tebuka, adalah sembarang koleksi dari himpunan-himpunan terbuka di R Misal diberikan sembarnag x G, maka x adalah anggota salah satu dari G i, sebutlah G Karena G terbuka, maka 0 V x G Karena, maka V x G G G sehingga Jadi, G adalah himpunan terbuka di R (b) Misalkan G G G Gn untuk suatu N n adalah irisan dari koleksi finite dari himpunan-himpunan terbuka di R Misal diberikan sembarang x G, maka x G, x G,, dan x Gn Karena G terbuka, maka 0 Karena G terbuka, maka 0 V x G sehingga V x G sehingga Dan seterusnya sampai G n terbuka, maka 0 Pilih,,, Maka V min n > 0 n sehingga x Gn x G dan V x G, dan, dan V x Gn V n
53 Jadi, V x G G G G n Jadi, G adalah himpunan terbuka di R DAFTAR PUSTAKA Bartle, R G & Sherbert, DR (98) Introduction to Real Analysis New York: John Willey & Sons, Inc Bruckner, T (008) Elementary Real Analysis, nd Editions New York: Prentice Hall Trench, W F (003) Introduction to Real Analysis San Antonio: Pearson Education