KARAKTERISTIK PERMAINAN ELLO YANG DAPAT DIMENANGKAN FITRI DURROTUN NAFISAH

KARAKTERISTIK PERMAINAN ELLO YANG DAPAT DIMENANGKAN FITRI DURROTUN NAFISAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 i

ABSTRAK FITRI DURROTUN NAFISAH. Karakteristik Permainan ELLO yang Daat Dimenangkan. Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS OED dan FARIDA HANUM. Karya ilmiah ini membktikan roosisi, akibat, dan teorema yang memberikan gambaran mengenai karakteristik ermainan Elimination Lit-Lights Ot (ELLO) yang daat dimenangkan. Permainan ELLO dimainkan ada graf dengan inisialisasi earnaan 2 arna, yait merah dan hija. Cara memainkan ermainan ini adalah dengan mengambil sat er sat siml yang terdaat ada graf. Ssnan siml yang diambil ada ermainan ini disebt strategi. Tjan dalam ermainan ini adalah mengambil selrh siml yang terdaat ada graf. Terdaat da roosisi, tiga akibat, dan sat teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Preosisi ertama membahas mengenai ciri-ciri strategi yang daat memenangkan ermainan ELLO. Proosisi keda membahas ermainan yang memenhi kondisi keseimbangan namn tidak daat dimenangkan. Akibat ertama membahas kaitan antara strategi menang dan ermainan ELLO yang diberikan. Akibat keda memberikan ciri ermainan yang daat dimenangkan ada graf lengka. Akibat ketiga membahas ssnan siml yang diambil dan kebalikan dari ssnan tersebt ada ermainan. Teorema ada karya ilmiah ini membahas baha ada ermainan yang daat dimenangkan akan memenhi kondisi keseimbangan. ii

ABSTRACT FITRI DURROTUN NAFISAH. Characteristics of innable games of ELLO. Serised by TEDUH WULANDARI MAS OED dan FARIDA HANUM. This manscrit resents some roofs of reositions, corollaries, and a theorem, that roide some illstrations of innable games of Elimination Lit-Lights Ot (ELLO). This game is layed on 2-colored grah, i.e. red and green, by choosing one by one ertices on the grah. A linear ordering of ertices on a grah is called strategy. The objectie of the game is to eliminate all ertices on the grah. There are to reositions, three corollaries and one theorem to be considered. Characteristics of a strategy that can in a gien ELLO game are gien in the first reosition. The second reosition discsses roerties of a game that satisfy arity condition bt can not be on. The first corollary discsses the relationshi beteen strategy and innable game. The second corollary gies characteristics of innable game on a comlete grah. The third corollary discsses the strategy and the reerse order of the strategy. The theorem on this manscrit states that innable game ill satisfy arity condition. iii

KARAKTERISTIK PERMAINAN ELLO YANG DAPAT DIMENANGKAN FITRI DURROTUN NAFISAH Skrisi sebagai salah sat syarat ntk memeroleh gelar Sarjana Sains ada Deartemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 i

Jdl Skrisi : Karakteristik Permainan ELLO yang Daat Dimenangkan Nama : Fitri Drrotn Nafisah NIM : G54070057 Menyetji Pembimbing I, Pembimbing II, Tedh Wlandari Mas oed, M.Si. Dra. Farida Hanm, M.Si. NIP 19740915 199903 2 001 NIP 19651019 199103 2 002 Mengetahi: Keta Deartemen, Dr. Berlian Setiaaty, M.S. NIP 19650505 198903 2 004 Tanggal Lls :

KATA PENGANTAR Pji dan Sykr enlis anjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karnia yang telah diberikan hingga karya ilmiah ini daat diselesaikan. Penysnan karya ilmiah ini tidak leas dari bantan beberaa ihak. Oleh karena it, enlis mengcakan terima kasih yang sebesarbesarnya keada : 1. Kelarga besar, khssnya Mama dan Aa, atas kesabaran, doa dan nasihat-nasihatnya, ntk kakak tercinta, Teh Nina, terima kasih atas dkngan dan doanya dari kejahan, 2. Tedh Wlandari Mas oed, M.Si selak dosen embimbing I yang telah memberikan ilm yang sangat bermanfaat dan kesabaran dalam membimbing enlis, 3. Dra. Farida Hanm, M.Si selak dosen embimbing II yang telah memberikan ilm serta tntnan dalam menysn karya ilmiah ini, 4. Drs. Prato Tri Sriyo, M.Kom. selak dosen engji yang telah memberikan ilmnya, 5. selrh Dosen Deartemen Matematika, terima kasih atas ilm yang telah diberikan keada enlis, 6. staf Deartemen Matematika: Baak Yono, Ib Ssi, Ib Ade, Baak Bono, Mas Hery, Baak Deni dan Baak El, atas bantan dan dkngannya, 7. teman-teman terdekat: Lingga, Ima, Atik, Dini, Yni, Sia, Dian, dan PMR siteen, terima kasih telah menjadi teman yang baik bagi enlis, 8. teman-teman Matematika 44: Anis, Rhi, Siska, Fikri, Yyn, Lgi, Diana, Yanti, Lilis, Ririh, Eka, Asin, Wahy, Aqil, Aze, Wee, Nrl, Tanto, Rachma, Melon, Lili, Tita, Cita, Nchel, Tendi, Ali, Lina, Tante, Dea, Uch, Titi, Aym, Sri, Yli, Zae, Dian, Eni, Nde, Yogi, Choa, Ayng, Sari, Endro, Fajar, Kodok, Masay, Denda, Gan gan, Dika, Fani, Iksan, Della, Pandi, Abe, Tias, Arina, Imem, Nadiroh, Rofi, Indin, Iam, Olih, Il, Nrs, Lkman, Pying, Naim, atas kebersamaannya selama krang lebih 3 tahn, 9. kakak-kakak Matematika 43 dan 42, atas saran dan nasihatnya, 10. adik-adik matematika 45, atas doa dan dkngannya, 11. akang, teteh, sareng rai-rai di UKM LISES Gentra Kaheman atas kehangatan dan kebersamaannya, 12. sema ihak yang telah membant dalam enysnan karya ilmiah ini. Semoga tlisan ini daat bermanfaat bagi dnia ilm engetahan khssnya dalam bidang matematika. Bogor, Oktober 2011 Fitri Drrotn Nafisah i

RIWAYAT HIDUP Penlis dilahirkan di Bogor ada tanggal 13 Mei 1989 dari asangan Baak Lili Stisna dan Ib Latifah. Penlis merakan anak keda dari da bersadara, Penlis menemh endidikan formal di SDN Panaragan 3 Bogor dan lls ada tahn 2001. Tahn 2004 enlis lls dari SMP Negeri 4 Bogor. Tahn 2007 enlis lls dari SMA Negeri 1 Bogor dan melanjtkan endidikan ke Institt Pertanian Bogor. Penlis diterima di Deartemen Matematika, Fakltas Matematika dan Ilm Pengetahan Alam, melali jalr USMI. Tidak hanya kegiatan erkliahan, enlis jga mengikti beberaa kegiatan kemahasisaan. Penlis aktif sebagai engrs Ggs Mahasisa Matematika ada eriode 2009 dan 2010. Penlis jga aktif sebagai anggota UKM Lingkng Seni Snda Gentra Kaheman sejak tahn 2008. ii

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... i I PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Tjan... 1 II LANDASAN TEORI... 1 2.1 Definisi-Definisi Dasar ada graf... 1 2.2 Permainan ELLO... 3 III PEMBAHASAN... 7 IV SIMPULAN DAN SARAN... 17 4.1 Simlan... 17 4.2 Saran... 17 DAFTAR PUSTAKA... 18 iii

DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Graf G ( V, E)... 1 2 Graf J tak terhbngkan... 2 3 H sbgraf dari graf G... 3 4 Graf lengka ber-order 4... 3 5 Graf G setelah siml diambil... 3 6 Permainan ( Gc, )... 4 7 Graf G setelah siml diambil... 4 8 Graf G setelah siml dan diambil... 4 9 Graf G setelah siml, dan diambil... 4 10 Graf G setelah siml diambil... 5 11 Graf G setelah siml diambil... 5 12 Graf G setelah siml dan diambil... 5 13 Graf G setelah siml, dan diambil... 5 14 Graf G yang tidak daat dimenangkan... 5 15 Graf G setelah siml diambil... 5 16 Graf G setelah siml dan diambil... 6 17 Graf G setelah siml, dan diambil... 6 18 Graf G setelah siml, dan diambil... 6 19 Graf G setelah siml diambil... 6 20 Graf G setelah siml dan diambil... 6 21 Graf G setelah siml, dan diambil... 6 22 Graf G setelah siml dan diambil... 6 23 Permainan ( K5, c ) ada sat graf lengka... 9 24 Graf K 5 setelah siml diambil... 9 25 Graf K 5 setelah siml dan y diambil... 10 26 Graf K 5 setelah siml, y dan diambil... 10 27 Graf K 5 setelah siml, y, dan diambil... 10 28 Permainan ( Gc, )... 12 29 Permainan ( Gc, )... 12 30 Permainan ( Gc, ) yang memenhi kondisi keseimbangan... 16 31 Permainan ( Gc, ) setelah siml diambil... 16 32 Permainan ( Gc, ) setelah siml diambil... 16 i

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf ertama kali dierkenalkan oleh matematikaan asal Siss, yait Leonard Eler, ada tahn 1736. Eler menemkan enyelesaian ntk ermasalahan jembatan Konigsberg (Konigsberg bridge roblem). Sejak saat it, Eler dijlki The Father of Grah Theory. Seiring dengan erkembangannya, teori graf tidak hanya daat menyelesaikan ermasalahan transortasi dan riset oerasi, tetai jga mlai dikembangkan di bidang kimia, fisika dan bahkan ermainan. Permainan yang ertama kali dikembangkan dari teori graf adalah ermainan zzle oleh W. R. Hamilton ada tahn 1856. Permasalahan graf ada ermainan ini adalah bagaimana membat erjalanan ke setia sisi dengan meleati setia siml teat sat kali. Pada tahn 1995, Tiger Electronics memrodksi ermainan dengan array berkran 5 5 yang disebt dengan ermainan Lights Ot. Cara memainkan ermainan ini adalah memilih sat siml (misalnya siml ) sehingga arna siml dan siml-siml yang bersebelahan dengan berbah arna. Tjan dari ermainan ini adalah menjadikan sema siml ada array tersebt memiliki arna yang sama. (Anderson & Feil 1998) Perkembangan dari ermainan Lights Ot adalah ermainan Elimination-Lit Lights Ot (ELLO) yang dierkenalkan ada tahn 2007. Perbedaan antara ermainan ELLO dan Lights Ot adalah adanya roses enghasan siml yang diilih ada ermainan ELLO. Untk ermainan ELLO yang diberikan, ermainan diklasifikasikan menjadi da, yait ermainan yang daat dimenangkan (innable) dan ermainan yang tidak daat dimenangkan (ninnable). Terdaat beberaa ciri ermainan yang daat dimenangkan. Ciri-ciri tersebt biasa disebt dengan karakteristik ermainan yang daat dimenangkan. Karya ilmiah ini akan membahas karakteristik graf 2 arna yang daat dimenangkan dengan rjkan tama Craft et al. (2007). 1.2 Tjan Tjan dari enlisan karya ilmiah ini adalah mengklasifikasikan graf 2 arna yang diberikan menjadi ermainan yang daat dimenangkan dan ermainan yang tidak daat dimenangkan. II LANDASAN TEORI 2.1 Definisi-Definisi Dasar ada Graf Berikt diberikan definisi-definisi dasar ada graf. G : Definisi 1 (Graf) Sat graf G adalah asangan terrt ( V, E ) dengan V himnan takkosong dan berhingga dan E himnan asangan takterrt yang menghbngkan elemenelemen V. Graf G dinotasikan dengan G ( V, E). Elemen V disebt siml (erte, node) sedangkan elemen E disebt sisi (edge). Himnan dari siml-siml ada graf G dinotasikan dengan VG ( ), sedangkan himnan dari sisi-sisi ada graf G daat dinotasikan dengan EG ( ). (Folds 1992) Berikt ini adalah contoh graf dengan 6 siml dan 6 sisi. Gambar 1 Graf G ( V, E). Himnan siml ada graf ada Gambar 1 adalah V( G) {,,,, y, z}. Himnan sisi ada graf ada Gambar 1 adalah E( G) {{, },{, },{, },{, },{, y},{ y, z}}. Definisi 2 (Order dan Size) Misalkan diberikan graf G. Banyaknya siml ada graf G disebt order dari G dan dinotasikan dengan VG ( ) dan banyaknya y z

2 sisi ada graf G disebt size dari G dan dinotasikan dengan EG ( ). (Chartrand & Oellermann 1993) Untk graf ada Gambar 1, nilai VG ( ) 6 dan EG ( ) 6. Definisi 3 (Incident dan Adjacent) Misalkan diberikan graf G ( V, E). Jika e {, } E( G) dengan, V( G), maka dikatakan adjacent dengan di G dan e dikatakan incident dengan dan. (Chartrand & Oellermann 1993) Untk graf ada Gambar 1, misalkan e {, } E( G), maka dikatakan adjacent dengan dan e incindent dengan dan. Definisi 4 (Neighborhood) Misalkan diberikan graf G ( V, E) dan V( G). Neighborhood dari ata N () didefinisikan dengan N( ) V( G) E( G). (Chartrand & Oellermann 1993) Untk graf ada Gambar 1, neighborhood dari siml adalah siml dan, sehingga N( ) {, }. Definisi 5 (Derajat) Derajat ata degree (dinotasikan dengan deg ata d) () merakan banyaknya siml yang adjacent dengan, ntk V( G). (Chartrand & Oellermann 1993) Untk graf ada Gambar 1, derajat ntk setia siml, yait : deg 2 deg 2 deg 2 deg 3 deg y 2 deg z 1 Definisi 6 (Walk) Sat alk ada graf G ( V, E) adalah sat barisan siml dan sisi dari graf G dengan bentk : { 1,{ 1, 2 }, 2,{ 2, 3 }, 3,...,{ n 1, n}, n} dan daat ditlis sebagai { 1, 2,..., n } ata 1, 2,..., n. Walk yang menghbngkan 1 dan n dikatakan tertt jika 1 n. Jika 1 n maka alk tersebt dikatakan terbka. (Folds 1992) Untk graf ada Gambar 1, contoh alk terbka yang beraal dari siml dan berakhir ada siml z adalah alk {,{, },,{, },,{, y}, y,{ y, z}, z } dan contoh alk tertt yang beraal dan berakhir ada siml adalah alk {,{, },,{, },,{, y}, y,{ y, }, }. Definisi 6 (Path) Path ada sat graf G adalah sat alk dengan sema simlnya berbeda. (Folds 1992) Untk graf ada Gambar 1, salah sat contoh ath yang menghbngkan siml dan z adalah,,, y, z. Definisi 7 (Graf terhbngkan dan tak terhbngkan) Graf G dikatakan terhbngkan jika setia 2 siml yang berbeda ada G dihbngkan oleh sat ath dan dikatakan tak terhbngkan jika ada 2 siml yang berbeda, tidak ada ath yang menghbngkan keda siml tersebt. (Folds 1992) Graf ada Gambar 1 merakan graf terhbngkan. Berikt adalah contoh graf takterhbngkan. J : Gambar 2 Graf J tak terhbngkan. Definisi 8 (Sbgraf) Misal diberikan graf G dan H. Graf H disebt sbgraf dari G jika V( H) V( G) dan E( H) E( G). (Chartrand & Oellermann 1993) Misalkan V( H) {,,, y} V( G) dan E( H) {{, }} E( G), maka H adalah y z

3 sbgraf dari graf G ada Gambar 1. Berikt adalah gambar sbgraf H dari graf G. H : G : y Gambar 5 Graf G setelah siml diambil. y z Gambar 3 H sbgraf dari graf G. Definisi 9 (Graf Lengka) Graf berorder sehingga setia da simlnya adjacent disebt graf lengka dan dinotasikan dengan K. (Chartrand & Oellermann 1993) Berikt ini adalah contoh graf lengka berorder 4. K 4 : Gambar 4 Graf lengka ber-order 4. Definisi 10 (Penghasan Siml) Misalkan diberikan graf G dan V( G). Jika adalah siml ada graf G, maka G merakan sbgraf dari G yang terbentk dengan menghas (menghilangkan) siml dari graf G. Penghasan siml ada graf selal mengakibatkan enghasan sema sisi yang incident dengan siml tersebt. (Deo 1974) Untk graf ada Gambar 1, enghasan siml mengakibatkan sisi {, }, {, } dan { y, } terhas. Berikt adalah graf G setelah enghasan siml. 2.2 Permainan ELLO Permainan Elimination-Lit Lights Ot (ELLO) dimainkan ada graf dengan inisialisasi earnaan 2 arna c : V( G) {hija, merah}. Cara memainkan ermainan ini adalah dengan memilih dan mengambil sat er sat siml ada ermainan sedemikian sehinga engambilan siml tersebt akan mengakibatkan simlsiml yang adjacent dengan siml tersebt berbah arna. Pada saat diambil, siml hars berarna hija. Tjan dari ermainan ini adalah mengambil selrh siml ada ermainan. Berikt adalah langkah-langkah dalam memainkan ermainan ini. 1 Pilih sat siml berarna hija, misalkan siml dan has siml tersebt dari graf. 2 Neighborhood dari siml dibah arnanya. 3 Graf G dibah menjadi G. 4 Prosesnya ters berlang hingga siml tidak tersisa ata siml yang tersisa berarna merah. Berikt definisi tambahan ntk istilahistilah yang dignakan ada karya ilmiah ini. Definisi 11 (Permainan (G,c)) Permainan ELLO dari graf G dengan emetaan arna aal siml adalah c : V( G) {hija, merah} dinotasikan dengan ( Gc, ). Siml hija memiliki nilai c ( ) 0 dan siml merah memiliki nilai c ( ) 1. (Craft et al.2007) Berikt ini adalah contoh ermainan ( Gc, ) ada graf G.

4 G : Gambar 6 Permainan ( Gc, ). Berikt adalah contoh ermainan yang daat dimenangkan dan ermainan yang tidak daat dimenangkan. Untk ermainan ( Gc, ) ada Gambar 6, terdaat beberaa kemngkinan engambilan siml yang ertama kali, yait : 1 Kass 1 Jika siml yang diambil ertama kali adalah siml, maka strategi yang dignakan bkan strategi menang, karena siml tidak berarna hija. Nilai c () ntk setia siml ada Gambar 6 adalah: c ( ) 1 c ( ) 0 c ( ) 0 c ( ) 0 Definisi 12 (Strategi) Permainan ( Gc, ) dimainkan dengan mengambil sat er sat siml ada graf G. Ssnan siml yang diambil dalam ermainan ini disebt strategi dan ditliskan dengan ( 1, 2, 3,... ). (Craft et al. 2007) Pada Gambar 6, salah sat strategi yang daat dignakan adalah (,,, ). Definisi 13 (Menang dan kalah) Pada akhir ermainan, jika siml tidak tersisa, maka ermainan dikatakan menang. Jika siml yang tersisa berarna merah, maka ermainan dikatakan kalah. (Craft et al. 2007) Definisi 14 (Strategi menang) Diberikan ermainan ( Gc, ) dengan strategi. Strategi dikatakan strategi menang jika ssnan siml ada daat memenangkan ermainan ( Gc, ). (Craft et al. 2007) Definisi 15 (Permainan yang daat dimenangkan dan tidak daat dimenangkan) Permainan ( Gc, ) daat dimenangkan jika terdaat setidaknya sat strategi menang. Permainan ( Gc, ) dikatakan tidak daat dimenangkan jika tidak memiliki strategi menang. (Craft et al.2007) 2 Kass 2 Jika siml yang diambil ertama kali adalah siml, maka siml,, dan berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 7 Graf G setelah siml diambil. Siml keda yang daat diambil adalah siml. Pengambilan siml mengakibatkan siml berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 8 Graf G setelah siml dan diambil. Siml ketiga yang daat diambil adalah siml. Pengambilan siml mengakibatkan siml berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 9 Graf G setelah siml,, dan diambil Siml keemat yang diambil adalah siml sehingga tidak ada siml yang tersisa. Strategi yang dignakan, yait (,,, ), merakan strategi menang bagi ermainan ( Gc, ) ada Gambar 6.

5 3 Kass 3 Jika siml yang diambil ertama kali adalah siml, maka siml dan berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 10 Graf G setelah siml diambil. Siml yang tersisa berarna merah, sehingga strategi yang dignakan bkan strategi menang. 4 Kass 4 Jika siml yang diambil ertama kali adalah siml, maka siml, dan berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Siml ketiga yang daat diambil adalah siml. Pengambilan siml mengakibatkan siml berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 13 Graf G setelah siml,, dan diambil. Siml yang diambil keemat adalah siml sehingga tidak ada siml yang tersisa. Strategi yang dignakan, yait (,,, ), merakan strategi menang bagi ermainan ( Gc, ) ada Gambar 6. Dari raian terlihat ermainan ( Gc, ) ada Gambar 6 memiliki 2 strategi menang, maka ermainan ( Gc, ) merakan ermainan yang daat dimenangkan. Berikt adalah contoh ermainan yang tidak daat dimenangkan. G : Gambar 11 Graf G setelah siml diambil. Siml keda yang daat diambil adalah siml. Pengambilan siml mengakibatkan siml berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 14 Graf G yang tidak daat dimenangkan. Terdaat beberaa kemngkinan engambilan siml yang ertama ntk ermainan ( Gc, ) ada Gambar 14, yait : 1 Kass 1 Jika siml yang diambil ertama kali adalah siml, maka siml dan berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 12 Graf G setelah siml dan diambil. Gambar 15 Graf G setelah siml diambil.

6 Siml keda yang diambil adalah siml, maka siml dan berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 16 Graf G setelah siml dan diambil. 1.1 Jika siml ketiga yang diambil adalah siml, maka siml berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 17 Graf G setelah siml,, dan diambil. Siml yang tersisa berarna merah, sehingga strategi (,,, ) bkan strategi menang. 1.2 Jika siml ketiga yang diambil adalah siml, maka siml berbah arna, sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 18 Graf G setelah siml,, dan diambil. Siml yang tersisa berarna merah, sehingga strategi (,,, ) bkan strategi menang. 2 Kass 2 Jika siml yang diambil ertama kali adalah siml, maka siml,, dan berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 19 Graf G setelah siml diambil. 2.1 Jika siml keda yang diambil adalah siml, maka siml dan berbah arna, sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 20 Graf G setelah siml dan diambil. Siml ketiga yang diambil adalah siml, karena siml berarna hija, sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 21 Graf G setelah siml,, dan diambil. Siml yang tersisa berarna merah, sehingga strategi (,,, ) bkan strategi menang. 2.2 Jika siml keda yang diambil adalah siml, maka siml berbah arna, sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 22 Graf G setelah siml dan diambil. Sema siml yang tersisa berarna merah, sehingga baik strategi (,,, ) ata (,,, ) bkan strategi menang. 3 Kass 3 Jika siml ata diambil ertama kali, maka strategi yang dignakan bkan strategi menang, karena keda siml tersebt berarna merah. Dari raian di atas, ermainan ( Gc, ) ada Gambar 14 tidak daat dimenangkan karena ermainan tersebt tidak memnyai strategi menang. Berikt diberikan definisi tambahan ntk istilah-istilah yang dignakan ada karya ilmiah ini.

7 Definisi 16 (Predegree) Diberikan ermainan ( Gc, ) dengan strategi. Banyaknya siml yang adjacent dengan yang telah mendahli ada strategi disebt redegree dari. Predegree dari siml dinotasikan dengan d (, ) G ata d(, ). (Craft et al.2007) Pada Gambar 6, ermainan ( Gc, ) yang dimainkan dengan strategi (,,, ) memiliki nilai redegree ntk setia siml sebagai berikt. d(, ) 1 d(, ) 0 d(, ) 2 d(, ) 2 Siml yang diambil ertama kali, yait siml, memiliki nilai redegree 0, karena tidak ada siml yang adjacent dengan siml yang telah diambil sebelmnya. Siml keda yang diambil, yait siml, memiliki nilai redegree 1 karena terdaat 1 siml yang adjacent dengan siml yang telah diambil sebelmnya, yait siml. Siml ketiga yang diambil, yait siml, memiliki nilai redegree 2 karena terdaat 2 siml yang adjacent dengan siml yang telah diambil sebelmnya, yait siml dan. Siml yang keemat diambil, yait siml, memiliki nilai redgree 2, karena terdaat 2 siml yang adjacent dengan siml yang telah diambil sebelmnya, yait siml dan. Definisi 17 (Kongrensi Modlo) Misalkan n adalah bilangan intejer ositif dan n 1. Jika a dan b adalah bilangan blat, maka a disebt kongren ke b modlo n, ditlis a b(mod n) aabila n membagi ( a b). Bilangan blat n disebt modls dari kongrensi. (Grimaldi 1994) Salah sat contoh kongrensi modlo yait 24 9(mod 5) karena 24 9 15 3.5. Definisi 18 (Kondisi Seimbang) Diberikan ermainan ( Gc, ) dari graf G dengan siml, q sisi dan siml hija. Permainan ( Gc, ) dikatakan memenhi kondisi keseimbangan jika dan hanya jika q(mod 2). (Craft et al.2007) Untk ermainan ada Gambar 6, ermainan ( Gc, ) memiliki 4 siml, 5 sisi, dan 3 siml hija, sehingga 4, q 5, dan 3. Dari nilai-nilai tersebt daat dilihat baha ermainan ( Gc, ) memenhi kondisi keseimbangan. III PEMBAHASAN Karya ilmiah ini membahas roosisi, akibat dan teorema yang memberikan karakteristik ermainan ( Gc, ) ada graf G yang daat dimenangkan. Proosisi 1 Misalkan G adalah graf, ( Gc, ) adalah graf G dengan earnaan c, dan adalah strategi ada ermainan ( Gc, ). Strategi dikatakan strategi menang bagi ermainan ( Gc, ) jika dan hanya jika d(, ) c( ) gena ntk setia siml yang terdaat ada strategi. Bkti : Misalkan adalah siml yang diambil ada strategi. Predegree dari siml merakan banyaknya erbahan arna yang terjadi ada siml. Siml yang berarna merah hars berbah arna sebanyak m kali, dengan m adalah bilangan ganjil sehingga m2k1, dengan k Z, agar berbah arna menjadi hija saat diambil ada strategi. d(, ) c( ) m c( ) (2k 1) 1 2k 2 Daat dilihat baha ntk c ( ) 1, redegree d(, ) ganjil, sehingga d(, ) c( ) gena. Siml yang berarna hija hars berbah arna sebanyak n kali, dengan n adalah bilangan gena sehingga n 2, k

8 dengan k Z, agar berarna hija saat diambil ada strategi. d(, ) c( ) n c( ) 2k 0 2k Daat dilihat baha ntk c ( ) 0, redegree d(, ) gena, sehingga d(, ) c( ) gena. Daat disimlkan baha d(, ) c( ) gena ntk setia siml yang terdaat ada strategi. Permainan ( Gc, ) ada Gambar 6 dimainkan dengan strategi menang (,,, ). Nilai c () dan d(, ) ntk setia siml adalah sebagai berikt. c ( ) 0 d(, ) 0 c ( ) 1 d(, ) 1 c ( ) 0 d(, ) 2 c ( ) 0 d(, ) 2 Daat dilihat baha d(, ) c( ) ntk setia ada strategi gena. Permainan ( Gc, ) ada Gambar 6 dimainkan dengan strategi (,,, ). Nilai c () dan d(, ) ntk setia siml adalah sebagai berikt. c ( ) 1 d(, ) 0 c ( ) 0 d(, ) 0 c ( ) 0 d(, ) 1 c ( ) 0 d(, ) 3 Dari nilai-nilai tersebt, nilai d(, ) c( ) ntk siml,, dan ada strategi ganjil. Berdasarkan roosisi 1, bkan strategi menang bagi ermainan ( Gc, ). Proosisi 1 mengakibatkan beberaa akibat yang memberikan karakterisktik dari graf yang daat dimenangkan. Misalkan diberikan strategi ntk graf G, earnaan siml c dari graf G didefinisikan dengan c () 0 jika d(, ) gena 1 jika d(, ) ganjil. Akibat 2 (i) Untk setia strategi ada graf G, ( Gc, ) adalah ermainan yang nik (khas) ada G ntk sat strategi menang ada ( Gc, ). (ii) Permainan ( Gc, ) daat dimenangkan jika dan hanya jika terdaat strategi ntk sat c c. Bkti : (i) Diberikan ermainan ( Gc, ) dan andaikan 1 dan 2 adalah strategi menang bagi ermainan ( Gc, ). Akan dibktikan baha setia strategi menang bagi ermainan ada graf G nik. Pernyataan ini dibktikan dalam 2 kass, yait : 1 Kass ertama, jika berarna hija, maka c ( ) 0. Karena c ( ) 0, maka ntk strategi menang 1 dan, nilai 2 d( 1, ) dan d( 2, ) gena agar arna teta (hija). Karena d(, ) gena, maka 1 c ( ) 0. Karena d( 1 2, ) gena, maka nilai c ( ) 0. Daat 2 disimlkan baha c ( ) c ( ). 1 2 2 Kass keda, jika berarna merah maka c ( ) 1. Karena c ( ) 1, maka ntk strategi menang 1 dan, nilai 2 d( 1, ) dan d( 2, ) ganjil agar arna berbah menjadi hija. Karena d( 1, ) ganjil, maka c ( ) 1. Karena d( 1 2, ) ganjil, maka nilai c ( ) 1. Daat 2 disimlkan baha c ( ) c ( ). 1 2 Dari keda kass di atas daat disimlkan baha ntk strategi menang 1 dan, 2 nilai c ( ) c ( ) ntk V( G). 1 2 (ii) Pernyataan ini akan dibktikan dengan 2 taha, yait : 1 Diberikan ermainan ( Gc, ) yang daat dimenangkan dan akan dibktikan baha terdaat strategi ntk sat c c. Karena ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan, maka ada strategi menang bagi ( Gc, ). Misalkan adalah strategi menang bagi ( Gc, ), dari Proosisi 1, maka c( ) d(, ) gena ntk V( G). Pernyataan dibktikan dalam 2 kass, yait : 1.1 Kass ertama: nilai c ( ) 1. Karena c ( ) 1, maka agar c( ) d(, ) gena

9 harslah d(, ) Karena d(, ) ganjil. ganjil, maka c ( ) 1. Oleh karena it, c( ) c ( ) 1. 1.2 Kass keda: nilai c ( ) 0. Karena c ( ) 0, maka agar c( ) d(, ) gena harslah d(, ) gena. Karena d(, ) gena, maka c ( ) 0. Oleh karena it, c( ) c ( ) 0. Daat disimlkan baha jika ( Gc, ) daat dimenangkan, maka terdaat strategi ntk sat c c. 2 Diberikan strategi sehingga c c dan akan dibktikan baha ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan. Pernyataan ini dibagi menjadi 2 kass, yait : 2.1 Kass ertama: c ( ) 1. Karena nilai c ( ) 1, maka c ( ) 1. Nilai c () akan 1 jika d(, ) ganjil. Karena c( ) c ( ) 1 dan d(, ) ganjil, maka c( ) d(, ) gena. 2.2 Kass keda: c ( ) 0. Karena c ( ) 0, maka c ( ) 0. Nilai c () akan 0 jika d(, ) gena. Karena c( ) c ( ) 0 dan d(, ) gena, maka c( ) d(, ) gena. Dari keda kass di atas daat disimlkan baha ntk strategi sehingga c c, strategi merakan strategi menang bagi ermainan ( Gc, ) karena c( ) d(, ) gena V( G), sehingga ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan. Karakteristik ermainan ada graf lengka lebih mdah diamati, karena setia simlnya adjacent dengan siml lainnya. Berikt adalah contoh ermainan ada graf lengka ber-order 5. K 5 : y Gambar 23 Permainan ( K5, c ) ada sat graf lengka. Siml yang daat diambil ertama kali adalah siml,, ata. Misalkan siml ertama yang diambil adalah siml. Siml memiliki nilai c ( ) 0 dan d(, ) 0. Pada saat siml diambil, sema siml yang adjacent dengan berbah arna. Karena K5 adalah graf lengka, maka setia siml adjacent dengan siml lainnya. Oleh karena it, ada saat engambilan siml, sema siml lain berbah arna. K5 : y Gambar 24 Graf K 5 setelah siml diambil. Siml keda yang daat diambil adalah siml ata y. Misalkan siml keda yang diambil adalah siml y. Siml y memiliki nilai cy ( ) 1, karena ada aalnya siml y berarna merah dan memiliki nilai redegree d(, y) 1 karena siml y adjacent dengan siml yang sebelmnya telah diambil.

10 K5 y : Misalkan c adalah banyaknya siml yang berarna hija dan c adalah banyaknya siml yang berarna merah. Selanjtnya, c dan c akan ditlis dengan dan. Gambar 25 Graf K 5 setelah siml dan y diambil. Siml ketiga yang daat diambil adalah siml ata. Misalkan siml ketiga yang diambil adalah siml. Karena arna aal siml adalah hija, maka c ( ) 0. Siml-siml yang adjacent dengan dan telah diambil sebelmnya adalah siml dan y, sehingga d(, ) 2. K5 y : Gambar 26 Graf K 5 setelah siml, y, dan diambil. Siml keemat yang daat diambil adalah siml. Warna aal siml adalah merah, sehingga nilai c ( ) 1. Simlsiml yang adjacent dengan dan telah diambil sebelmnya adalah, y, dan sehingga d(, ) 3. K5 y : Gambar 27 Graf K 5 setelah siml, y,, dan diambil. Siml kelima yang daat diambil adalah siml. Warna aal siml adalah hija, sehingga nilai c ( ) 0. Karena terdaat 4 siml yang adjacent dengan dan telah diambil sebelmnya, maka d(, ) 4. Strategi yang dignakan ada ermainan ( K5, c ) adalah (, y,,, ). Karena ermainan tersebt dimenangkan dengan strategi, maka adalah strategi menang bagi ( K5, c ). Bentk mm karakteristik dari ermainan ada graf lengka terdaat ada Akibat 3. Akibat 3 Permainan ( K, c ) daat dimenangkan jika dan hanya jika c / 2, dengan adalah bilangan blat terbesar yang terdekat dengan. Bkti : Pernyataan ini akan dibktikan dalam 2 taha, yait : 1 Diberikan ermainan ( K, c ) yang daat dimenangkan dan akan dibktikan baha c / 2. Misalkan adalah strategi menang bagi ermainan ( K, c ) dengan strategi ( 1, 2, 3,..., 1, ). Karena ermainan ( K, c ) daat dimenangkan, maka dari Proosisi 1, c( ) d(, ) gena V( G). Pembktian dibagi dalam 2 kass, yait : 1.1 Kass ertama: bilangan gena. Siml yang diambilertama kali, yait, memiliki nilai 1 d 1 (, ) 0 dan arna aal hija sehingga c ( 1) 0. Siml keda yang diambil, yait, 2 memiliki nilai d(, 2 ) 1 dan arna aal merah sehingga c ( 2 ) 1. Siml ketiga yang diambil, yait, memiliki 3 nilai d(, 3 ) 2 dan arna aal hija sehingga c ( 3) 0. Proses ters berlang hingga siml ke-. Siml ke- yang diambil, yait, memiliki nilai d(, ) 1 karena siml yang telah diambil sebelmnya sebanyak ( 1) dan sema siml tersebt adjacent dengan. Siml ada aalnya berarna merah, karena telah berbah arna sebanyak ( 1) kali dengan ( 1) adalah bilangan ganjil. Secara mm, roses dalam ermainan graf lengka ditlis dengan

11 d(, ) 0 c( ) 0 1 1 d(, ) 1 c( ) 1 2 2 d(, ) 2 c( ) 0 3 3 1 1 d(, ) 2 c( ) 0 d(, ) 1 c( ) 1. Nilai c () secara bergantian 0 dan 1. Siml yang memiliki nilai c ( ) 0 sebanyak / 2. Daat disimlkan baha banyaknya siml hija ada ( K, c ) adalah / 2. 1.2 Kass keda: bilangan ganjil. Siml yang ertama kali diambil, yait 1, memiliki nilai d(, 1 ) 0 dan arna aal hija sehingga c ( 1) 0. Siml keda yang diambil, yait 2, memiliki nilai d(, 2 ) 1 dan arna aal merah sehingga c ( ) 1. Siml ketiga yang diambil, 2 yait 3, memiliki nilai d(, 3 ) 2 dan arna aal hija sehingga c ( ) 0. Proses ters berlang hingga 2 siml ke-. Siml yang diambil ke-, yait, memiliki nilai d(, ) 1 karena siml yang telah diambil sebelmnya sebanyak ( 1) siml dan selrh siml tersebt adjacent dengan. Siml berarna hija ada aalnya, karena telah berbah arna sebanyak ( 1) kali dengan ( 1) adalah bilangan gena. Secara mm, roses dalam ermainan graf lengka ditlis dengan d(, ) 0 c( ) 0 1 1 d(, ) 1 c( ) 1 2 2 d(, ) 2 c( ) 0 3 3 1 1 d(, ) 2 c( ) 1 d(, ) 1 c( ) 0. Nilai c () secara bergantian 0 dan 1. Siml yang memiliki nilai c ( ) 0 sebanyak / 2. Daat disimlkan baha banyaknya siml hija ada ( K, c ) adalah / 2. 2 Diberikan graf lengka K dengan banyaknya siml hija adalah c /2 dan akan dibktikan baha ermainan ( K, c ) daat dimenangkan. Misalkan strategi ( 1, 2, 3,..., 1, ) adalah strategi bagi ermainan ( K, c ). Hal yang erl diingat baha engambilan siml ada graf lengka akan mengbah arna siml lainnya. 2.1 Kass ertama: bilangan gena. Karena bilangan gena, maka c / 2 / 2. Agar strategi daat memenangkan ermainan ( K, c ), maka setia siml ada strategi hars memenhi Proosisi1. Untk siml yang ertama diambil ertama kali, nilai c ( 1) 0 karena 1 berarna hija dan nilai d(, 1 ) 0 karena tidak ada siml yang telah diambil sebelmnya. Untk siml keda yang diambil, nilai c ( 2) 1 karena 2 berarna merah dan nilai d(, 2 ) 1 karena siml yang telah diambil sebelmnya sebanyak 1 siml. Untk siml ketiga yang diambil, nilai c ( 3) 0 karena 3 berarna hija dan nilai d(, 3 ) 2 karena siml telah diambil sebelmnya sebanyak 2 siml. Proses engambilan siml ters berlang hingga siml ke-. Siml ke- yang diambil berarna merah karena telah berbah arna sebanyak ( 1) kali, dengan ( 1) bilangan ganjil, sehingga c ( ) 1 dan nilai d(, ) 1. Secara mm, roses tersebt ditlis dengan c( ) 0& d(, ) 0 1 1 c( ) 1& d(, ) 1 2 2 c( ) 0& d(, ) 2 3 3 c( ) 0& d(, ) 2 1 1 c( ) 1& d(, ) 1. Daat dilihat baha nilai c( i) d(, i) gena dengan i 1,2,3,.... Daat disimlkan baha adalah strategi menang bagi

12 ( K, c ) sehingga ermainan ( K, c ) daat dimenangkan. 2.2 Kass keda: ganjil. Karena ganjil, maka c / 2. Agar strategi daat memenangkan ermainan ( K, c ), maka setia siml ada strategi hars memenhi Proosisi 1. Untk siml yang diambilertama kali, nilai c ( 1) 0 karena 1 berarna hija dan nilai d(, 1 ) 0 karena tidak ada siml yang telah diambil sebelmnya. Untk siml yang diambil keda kalinya, nilai c ( 2) 1 karena 2 berarna merah dan nilai d(, 2 ) 1 karena siml yang telah diambil sebelmnya sebanyak 1 siml. Untk siml yang ketiga diambil, nilai c ( 3) 0 karena 3 berarna hija dan nilai d(, 3 ) 2 karena siml telah diambil sebelmnya sebanyak 2 siml. Proses engambilan siml ters berlang hingga siml ke-. Siml ke- yang diambil berarna hija karena telah berbah arna sebanyak ( 1) kali dengan ( 1) bilangan gena sehingga c ( ) 0 dan nilai d(, ) 1. Secara mm, roses tersebt ditlis dengan c( ) 0& d(, ) 0 1 1 c( ) 1& d(, ) 1 2 2 c( ) 0& d(, ) 2 3 3 c( ) 1& d(, ) 2 1 1 c( ) 0& d(, ) 1. Daat dilihat baha nilai c( i) d(, i) gena dengan i 1,2,3,.... Daat disimlkan baha adalah strategi menang bagi ( K, c ) sehingga ermainan ( K, c ) daat dimenangkan. Dari keda kass tersebt daat disimlkan baha ermainan ( K, c ) daat dimenangkan. didefinisikan dengan earnaan dari c dengan mengbah arna siml yang berderajat ganjil, sedangkan arna siml berderajat gena tidak berbah. Misalkan ( 1, 2, 3,..., 1, ) adalah strategi ada ermainan ( Gc, ), maka ssnan siml (, 1, 2,..., 2, 1 ) dinotasikan dengan. Berikt adalah ilstrasi hbngan antara dan serta c dan c. G : y z Gambar 28 Permainan ( Gc, ). Dari graf ada Gambar 28, arna dari siml-siml yang berderajat ganjil akan dibah. Siml-siml yang berderajat ganjil tersebt adalah siml dan. Berikt adalah ermainan ( Gc, ) yang terbentk dari ermainan ( Gc, ) ada gambar 28. G : y z Gambar 29 Permainan ( Gc, ). Siml ada ermainan ( Gc, ) dan ( Gc, ) yang berderajat ganjil memiliki arna yang berbeda. Untk ermainan ( Gc, ) ada Gambar 27, salah sat strategi menang bagi ( Gc, ) adalah (,, z,,, y). strategi ( y,,, z,, ). Dari strategi dieroleh Nilai redegree ntk strategi dan serta derajat masing-masing siml, yait : Pada sat graf G, jika earnaan ada VG ( ) dinotasikan dengan c, maka c

13 d(, ) 0 d(, ) 3 deg 3 d(, ) 1 d(, ) 3 deg 4 d(, z) 1 d(, z) 1 deg z 2 d(, ) 1 d(, ) 1 deg 2 d(, ) 2 d(, ) 1 deg 3 d(, y) 4 d(, y) 0 deg y 4 Dari ilstrasi diatas, daat dilihat baha banyaknya sisi yang incident dengan sat siml sama dengan enjmlahan redegree ada strategi dan ata daat ditlis deg d(, ) d(, ). Berikt adalah raian ntk mennjkkan baha deg d(, ) d(, ). Misalkan ( Gc, ) adalah ermainan ELLO ada graf G yang memiliki siml dan adalah strategi ada ermainan ( Gc, ). Karena terdaat ssnan siml ada dan strategi dieroleh dari strategi, maka terdaat ssnan siml ada. Strategi dan memat sema siml yang terdaat ada ermainan. Misalkan adalah siml ada strategi dan. Jika siml adalah siml ertama yang diambil ada strategi, maka siml adalah siml terakhir yang diambil ada strategi. Untk kass ini, nilai d(, ) 0 dan nilai d(, ) deg karena terdaat deg siml yang adjacent dengan yang telah diambil sebelmnya ada strategi. Jika adalah siml terakhir yang diambil ada strategi, maka siml adalah siml ertama yang diambil ada strategi. Untk kass ini, nilai d(, ) deg karena terdaat deg siml yang adjacent dengan yang telah diambil sebelmnya ada strategi dan nilai d (, ) 0 karena tidak ada siml yang adjacent dengan siml yang telah diambil sebelmnya ada strategi. Misalkan adalah siml ke-n yang diambil ada strategi dan terdaat t siml yang telah diambil sebelmnya, maka d(, ) t. Sebanyak t siml yang telah diambil ada strategi, merakan simlsiml yang belm diambil sebelmnya ada strategi, sehingga siml-siml yang telah diambil sebelmnya adalah sebanyak deg t. Karena banyaknya siml yang telah diambil sebanyak deg t, maka d(, ) deg t. Dari raian di atas, daat dilihat baha deg d(, ) d(, ). Hbngan antara strategi ditliskan dalam Akibat 4. dan Akibat 4 (i) Diberikan strategi ada graf G dan adalah siml ada G, deg gena jika dan hanya jika arna ada strategi sama dengan arna ada strategi dengan dan adalah strategi menang. (ii) Permainan ( Gc, ) daat dimenangkan jika dan hanya jika ( Gc, ) daat dimenangkan. Bkti : (i) Untk membktikan ernyataan ini, embktian dilakkan dalam 2 taha. 1.1 Misalkan adalah siml ada graf G dengan deg gena dan akan dibktikan baha nilai c ( ) c ( ) dengan dan adalah strategi menang. Pembktian dibagi dalam da kass, yait : 1.1.1 Kass ertama: d(, ) gena. Karena d(, ) gena, maka nilai c ( ) 0. Karena d(, ) gena dan deg gena, maka d(, ) deg d(, ) gena. Karena d(, ) gena, maka nilai c ( ) 0. 1.1.2 Kass keda: d(, ) ganjil. Karena d(, ) ganjil, maka nilai c ( ) 1. Karena d(, ) ganjil dan d () gena, maka d(, ) d( ) d(, ) ganjil. Karena d(, ) ganjil, maka nilai c ( ) 1. Dari keda kass tersebt daat disimlkan baha c( ) c( ). 1.2 Diberikan siml yang memiliki earnaan sama ada dan dengan dan adalah strategi menang dan akan dibktikan baha deg gena. Karena

14 earnaan siml sama ada strategi dan, maka nilai c( ) c( ) ntk sat V( G). Pernyataan ini dibagi dalam 2 kass, yait : 1.2.1 Kass ertama: c ( ) 0 dan c ( ) 0. Pada saat c ( ) 0, nilai d(, ) adalah gena. Pada saat c ( ) 0, nilai d(, ) adalah gena. Karena d(, ) dan d(, ) gena, maka d(, ) d(, ) gena, sehingga deg gena. 1.2.2 Kass keda: c ( ) 1 dan c ( ) 1. Pada saat c ( ) 1, nilai d(, ) adalah ganjil. Pada saat c ( ) 1, nilai d(, ) adalah ganjil. Karena d(, ) dan d(, ) ganjil, maka d(, ) d(, ) gena, sehingga deg gena. Dari keda kass tersebt daat disimlkan baha deg gena ntk V( G). (ii) Pernyataan ini dignakan ada siml yang berderajat ganjil dan ntk siml yang berderajat gena telah dibahas sebelmnya. Pembktian ernyataan ini dilakkan dalam 2 taha. 2.1 Diberikan ermainan ( Gc, ) yang daat dimenangkan dan akan dibktikan baha ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan. Karena ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan, maka ada strategi menang ntk ermainan ( Gc, ). Misalkan adalah strategi menang bagi ermainan ( Gc, ). Pembktian dibagi dalam 2 kass, yait : 2.1.1 Kass ertama: d(, ) ganjil. Karena deg ganjil dan d(, ) ganjil, maka dieroleh d(, ) deg d(, ) gena. Karena d(, ) ganjil, maka c ( ) 1. Karena d(, ) gena, maka c ( ) 0. Daat dilihat baha nilai c () dan c () berbeda. 2.1.2 Kass keda, ntk d(, ) gena. Karena deg ganjil dan d(, ) gena, maka dieroleh d(, ) deg d(, ) ganjil. Karena d(, ) gena, maka c ( ) 0. Karena d(, ) ganjil, maka c ( ) 1. Daat dilihat baha nilai c () dan c () berbeda. Dari keda kass di atas daat disimlkan baha nilai c () dan c () berbeda. Karena ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan oleh strategi, maka berdasarkan Akibat 2, nilai c ( ) c( ). Pearnaan ada strategi dan berbeda ntk yang berderajat ganjil, sehingga berdasarkan definisi c ( ), nilai c ( ) c( ). Berdasarkan Akibat 2, adalah strategi menang bagi ermainan ( Gc, ). 2.2 Diberikan ermainan ( Gc, ) yang daat dimenangkan dan akan dibktikan baha ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan. Karena ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan, maka ada strategi menang ntk ermainan ( Gc, ). Misalkan adalah strategi menang bagi ( Gc, ). Pembktian dibagi dalam 2 kass, yait : 2.2.1 Kass ertama: d(, ) ganjil. Karena deg ganjil dan d(, ) ganjil, maka d(, ) d(, ) deg d(, ) gena. Karena d(, ) ganjil, maka nilai c ( ) 1. Karena d(, ) gena, maka c ( ) c ( ) 0. Daat dilihat

15 baha nilai c () dan c () berbeda. 2.2.2 Kass keda: d(, ) gena. Karena deg ganjil dan d(, ) gena, maka dieroleh d(, ) d(, ) deg d(, ) ganjil. Karena d(, ) gena, maka nilai c ( ) 0. Karena d(, ) ganjil, maka c ( ) c ( ) 1. Daat dilihat baha nilai c () dan c () berbeda. Dari keda kass di atas daat dilihat baha nilai c () dan c () berbeda. Karena ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan oleh strategi, maka berdasarkan Akibat 2, nilai c ( ) c( ). Pearnaan ada strategi dan berbeda jika berderajat ganjil, sehingga berdasarkan definisi, nilai c ( ) c ( ) c( ). Berdasarkan Akibat 2, adalah strategi menang bagi ermainan ( Gc, ) sehingga daat dimenangkan. Untk ermainan ada Gambar 28, diketahi baha ermainan ( Gc, ) memiliki 6 siml, 9 sisi dan 3 siml berarna hija, sehingga 6, q 9, dan 3. Telah dibahas sebelmnya baha ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan. Dari nilai, q dan, ermainan ( Gc, ) memenhi kondisi keseimbangan, yait q(mod 2). Hbngan antara kondisi keseimbangan dan ermainan ( Gc, ) yang daat dimenangkan ditliskan ada Teorema 5. Teorema 5 Diberikan graf G dengan siml, q sisi, dan siml hija. Jika ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan, maka ermainan tersebt memenhi q(mod 2). Bkti : Misalkan G i adalah graf dengan i siml G c adalah ermainan ada graf dan ( i, ) dengan arna ada ( ) G i VG adalah c. Teorema ini dibktikan dengan indksi matematik. 1 Diberikan ermainan ( G1, c ) yang daat dimenangkan dan akan dibktikan baha ermainan ( G1, c ) memenhi q(mod2). Karena G 1 adalah graf sederhana tana loo, maka tidak ada sisi ada graf G, sehingga 1 1 dan q 0. Karena ermainan ( G1, c ) daat dimenangkan, maka siml ada graf ( G1, c) harslah berarna hija, sehingga 1. q1 0 q 1(mod 2) q (mod2) (Terbkti) 2 Diberikan ermainan ( Gk, c ) yang daat dimenangkan. Misalkan banyaknya sisi ada graf G k adalah l dan banyaknya siml hija adalah m, sehingga nilai k, q l dan m. Permainan ( Gk, c ) diangga memenhi kondisi keseimbangan, yait q (mod 2), sehingga k l m(mod 2). 3 Diberikan ermainan ( Gk 1, c) yang daat dimenangkan. Graf Gk 1 merakan graf G k yang ditambahkan sat siml, misalkan siml. Penambahan siml akan menambah banyaknya sisi sebanyak deg, sehingga q l deg. Terdaat da kass dalam enambahan siml, yait : 3.1 Kass ertama: siml berarna merah. Karena siml berarna merah, maka dibthkan n kali erbahan arna, dengan n bilangan ganjil, agar menjadi hija dan daat diambil dalam ermainan. Oleh karena it, derajat siml ganjil, sehingga deg 2t1, t. Karena siml yang ditambahkan berarna merah, maka banyaknya siml hija teta, sehingga m. Dari enambahan siml dieroleh nilai k1, q l deg l 2t 1 dan m, sehingga

16 q ( k 1) ( l (2t 1)) ( k l) (2t 2) (mod 2) Daat disimlkan baha enambahan siml merah memenhi q (mod2). 3.2 Kass keda: siml berarna hija. Karena siml berarna hija, maka dibthkan n kali erbahan, dengan n bilangan gena, agar daat diambil dalam ermainan. Oleh karena it, derajat siml gena, sehingga deg 2 t, t. Karena siml yang ditambahkan berarna hija, maka banyaknya siml hija bertambah, sehingga m 1. Dari enambahan siml dieroleh nilai k 1, q l deg l 2 t, dan m 1, sehingga q ( k 1) ( l 2 t) ( k l) (2t 1) m 1(mod 2) (mod 2) Daat disimlkan baha enambahan siml hija memenhi q (mod2). Berdasarkan keda kass tersebt, daat disimlkan baha enambahan siml memenhi q (mod 2). Dari (1), (2), dan (3), berdasarkan indksi matematik, daat disimlkan baha jika ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan maka ermainan tersebt memenhi kondisi keseimbangan, yait q (mod 2). Misalkan terdaat sat ermainan ( Gc, ) ada graf G yang memenhi kondisi keseimbangan dan ermainan tersebt dimainkan dengan strategi. G : Gambar 30 Permainan (G,c) yang memenhi kondisi keseimbangan. Pada Gambar 30, terdaat 3 siml, 1 sisi, 2 siml berarna hija, dan 1 siml berarna merah sehingga 3, q 1 dan 2. Permainan ( Gc, ) memenhi kondisi keseimbangan. Terdaat beberaa kemngkinan engambilan siml yang ertama ntk ermainan ( Gc, ) ada Gambar 30, yait : 1 Kass 1 Jika siml yang diambil ertama kali adalah siml, maka strategi yang dignakan bkan strategi menang karena siml berarna merah. 2 Kass 2 Jika siml yang diambil ertama kali adalah siml, maka siml berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 31 Permainan ( Gc, ) setelah siml diambil. Sema siml yang tersisa berarna merah, sehingga strategi yang dignakan bkan strategi merah. 3 Kass 3 Jika siml yang diambil ertama kali adalah siml, maka siml berbah arna sehingga dieroleh graf sebagai berikt. G : Gambar 32 Permainan ( Gc, ) setelah siml diambil. Dari ilstrasi di atas, ermainan (, ) Gc memenhi kondisi keseimbangan, namn tidak daat dimenangkan. Proosisi 6 memberikan bentk mm ntk graf yang memenhi kondisi keseimbangan.

17 Proosisi 6 Diberikan strategi ntk ermainan ( Gc, ), ermainan tersebt memenhi kondisi keseimbangan jika dan hanya jika terdaat m siml, dengan m adalah bilangan gena, ntk sat c( ) d(, ) yang ganjil. Bkti : Diberikan strategi ntk ermainan ( Gc, ) yang memenhi kondisi keseimbangan dan ( Gc, ) memiliki siml, q sisi, siml berarna hija, dan siml berarna merah. s c ( ) d (, ). Misalkan V ( G) Untk siml berarna hija nilai c ( ) 0 dan ntk siml yang berarna merah nilai c ( ) 1. V ( G) s c ( ) d (, ) ( ) ( ) (, ) V G V ( G) s c d s q s ( ) q s q Dari erhitngan tersebt, q gena karena ermainan ( Gc, ) memenhi kondisi keseimbangan s gena. Untk c ( ) 0 dengan d(, ) gena dan c ( ) 1 dengan d(, ) ganjil tidak akan memengarhi nilai s, karena kedanya menghasilkan c( ) d(, ) gena. Untk c ( ) 0 dengan d(, ) ganjil dan c ( ) 1 dengan d(, ) gena menghasilkan c( ) d(, ) ganjil. Karena nilai s selal gena, maka banyaknya siml yang memiliki nilai c( ) d(, ) gena adalah ganjil. Daat disimlkan baha terdaat m siml, dengan m adalah bilangan gena, ntk sat c( ) d(, ) yang ganjil. Misalkan ermainan ( Gc, ) ada Gambar 30 dimainkan dengan strategi (,, ). Permainan ( Gc, ) memiliki nilai c () dan d(, ) sebagai berikt. c ( ) 1 d(, ) 0 c ( ) 0 d(, ) 0 c ( ) 0 d(, ) 1 Siml-siml yang memiliki nilai c( ) d(, ) ganjil adalah siml dan. Permainan tersebt memiliki 2 siml yang memiliki nilai c( ) d(, ) ganjil. IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 SIMPULAN Dalam karya ilmiah ini telah dibktikan roosisi, akibat, dan teorema yang mennjkkan karakteristik graf yang daat dimenangkan dan ermainan yang tidak daat dimenangkan. Untk setia strategi ada graf G, ( Gc, ) adalah ermainan yang nik (khas) ada G ntk sat strategi menang ada ( Gc, ) dan ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan jika dan hanya jika terdaat strategi ntk sat c c. Pada graf lengka ber-order ( K ), ermainan ( K, c ) daat dimenangkan jika dan hanya jika banyaknya siml hija adalah emblatan ke atas dari /2, ata dinotasikan dengan c / 2. Permainan ( Gc, ) daat dimenangkan jika dan hanya jika ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan. Untk ermainan ( G, c) yang memiliki siml, q sisi dan siml hija, jika ermainan ( Gc, ) daat dimenangkan maka memenhi kondisi keseimbangan, yait q(mod2). 4.2 SARAN Karya ilmiah ini membahas tentang karakter ermainan yang daat dimenangkan. Penelitian lebih lanjt daat membahas karakteristik graf yang daat dimenangkan ada graf tak terhbngkan.

18 DAFTAR PUSTAKA Anderson M, Feil T. 1998. Trning lights ot ith linear algebra. Mathematics Magazine 71(4):300-303. Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Alied and Algorithmic Grah Theory. Ne York: McGra-Hill. Craft D, Miller Z, Pritikin D. 2007. A solitaire game layed on 2-colored grahs. Discrete Mathematics 309: 188-201. Deo N. 1974. Grah Theory ith Alications to Engineering and Comter Science. Ne Jersey: Prentice-Hall,Inc. Folds LR. 1992. Grah Theory Alications. Ne York: Sringer-Verlag. Grimaldi RP. 1994. Discrete and Combinatorial Mathematics: An Alied Introdction. Ne York: Addison-Wesley Pblishing Comany, Inc.