Pewarnaan Total Pada Graf Outerplanar

Transkripsi

1 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) Pewarnaan Total Pada Graf Outerplanar Prihasto.B Sumarno Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya [email protected] Abstrak Pada paper ini dilakukan konstruksi teorema pada pewarnaan total graf outerplanar, yang sebelumnya ide didapat dari teorema yang telah dikemukakan oleh Zhang Z, Zhang J, Wang J dengan membuktikan untuk semua graf outerplanar, pada maka [5], Dengan mencoba derajat maksimum, Maka dengan pendekatan induksi, akan dibentuk beberapa proporsisi guna mendukung teorema yang dikonstruksi, Dari konstruksi teorema didapatkan beberapa hasil lemma teorema sehingga membuktikan bahwa berlaku untuk semua graf outerplanar, pada maka Kata Kunci Pewarnaan Total, Graf Outerplanar, Derajat Maksimum I. PENDAHULUAN Pewarnaan graf pertama kali diterapkan pada sebuah peta Inggris. Pada saat itu Francis Guthrine mencoba untuk mewarnai peta Inggris dengan hanya menggukan empat warna untuk tiap daerah bagian di Inggris sehingga antar daerah yang berdekatan mempunyai warna yang berbeda[2]. Pada 1996, H. P. Yap pada bukunya dengan judul Total colorings of graphs. yang telah membahas beberapa kondisi tertentu mengenai pewarnaan total pada graf planar. Salah satunya berisi teorema yang telah dikemukakan oleh Zhang Z, Zhang J, Wang J dengan membuktikan untuk semua graf outerplanar, pada maka. [5]. Pada tugas akhir ini dilakukan perubahan batas atas batas bawah, Dengan mencoba membuktikan bahwa untuk semua graf outerplanar, pada sedemikian hingga tetap berlaku untuk. Permasalahan yang akan dibahas dibatasi ruang lingkup pembahasannya yakni Graf Outerplanar dengan. A. Pengertian Graf II. TINJAUAN PUSTAKA Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan dari himpunan ( ) dimana tidak boleh kosong, pasangan himpunan tak terurut dari anggota. Anggota dari adalah simpul dari anggota dari adalah sisi dari, Sehingga dapat ditulis untuk simpul dari untuk sisi dari. Untuk menunjukkan jumlah banyaknya simpul sisi dari pada, maka secara berturut-turut dapat dikatakan order (order p) ukuran (size q) dari. [2]. Gambar 1 : Sebuah Graf Jika adalah sisi dari, maka adalah simpul yang bertetangga (adjacent), Dua simpul yang bertetangga disebut sebagai tetangga satu sama lain. Himpunan dari tetangga dari simpul adalah disebut persekitaran (neighborhood) pada. Jika adalah sisi yang berdekatan di, maka adalah sisi yang bertetangga. Pada simpul sisi dikatakan melekat (incident) satu sama lain. Demikian pula, adalah bersisian. Derajat simpul v pada graf adalah banyaknya simpul di yang berdekatan dengan, dengan kata lain banyaknya sisi di yang bersisian dengan. Banyaknnya sisi yang melekat dengan simpul disebut derajat, dinotasikan dengan atau lebih sederhana dengan. Derajat tertinggi dari simpul pada disebut derajat maksimum (maximum degree) pada yang dinotasikan dengan. Sebuah graf H dikatakan subgraf pada graf G jika Beberapa sisi yang terhubung membentuk suatu barisan yang tidak putus pada disebut jalan (walk). Lintasan (path) adalah jalan pada graf dimana tidak ada simpul yang berulang. Panjang (length) adalah banyaknya n-sisi yang dilalui pada jalan di. Siklus (cycle) adalah jalan (walk) dengan, simpul saling berbeda. Sebuah siklus (cycle) dengan panjang n dapat dikatakan n-cycle. Pada sebuah siklus (cycle) dapat dikatakan jika memiliki order sejumlah n. Dengan n adalah banyaknya simpul. Chord pada sebuah siklus di adalah sisi yang menghubungkan simpul yang ada pada. Cut-point adalah simpul pada graf yang terhubung bila dihilangkan maka graf tak terhubung Graf yang tidak mempunyai cut-point disebut block.[2] Dua graf adalah isomorfik (memiliki struktur yang sama) jika terdapat fungsi bijektif. sedemikian hingga dua simpul adalah bertetangga di

2 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) jika hanya jika adalah bertetangga di. Jika adalah isomorfik, maka dapat ditulis. B. Graf Planar Graf disebut graf planar (planar graph) jika dapat digambarkan pada sebuah big tanpa aya dua sisi yang saling berpotongan, demikian gambar tersebut dikatakan tertanam (embedding) pada big. Graf yang telah digambar pada sebuah big yang tertanam maka disebut graf big (plane graph). Jelas bahwa setiap graf big adalah planar setiap graf planar dapat digambarkan sebagai graf big.[2] Sebuah graf outerplanar adalah jika graf planar saat tertanam pada big (graf big) maka semua simpul terletak pada wilayah/muka yang sama. Graf outerplanar Outerplane Tertanam (outerplane embedding) ditunjukkan pada Gambar 2. Gambar 2 : Graf Outerplanar Outerplane embedding C. Pewarnaan Total Pewarnaan total (total coloring) pada graf adalah penentuan warna simpul sisi pada dimana perbedaan warna ditentukan oleh: (1). Setiap dua simpul saling bertetangga, (2). Setiap dua sisi yang saling bertetangga, (3). Setiap simpul sisi yang saling melekat. -warna total (ktotal coloring) pada graf adalah pewarnaan total pada dari himpunan warna. Bilangan kromatik total (total chromatic number) pada adalah jumlah warna minimum yang dibutuhkan untuk pewarnaan total pada. Jika adalah pewarnaan total pada graf adalah simpul dari dengan, maka ditentukan dari yang melekat terhadap sisi, sehingga saling berbeda warna termasuk terhadap itu sendiri. Berakibat bahwa untuk semua graf.[2]. III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN A. Graf Outerplanar dengan Preporsisi 4.1 Untuk setiap graf Outerplanar pada, maka Bukti: Misalkan sembarang Graf Outerplanar dengan, maka untuk setiap himpunan pada untuk setiap himpunan pada sedemikian hingga [ ]. Dengan kata lain bahwa untuk setiap lintasan (path) maka. Sehingga jelas memenuhi untuk Gambar 4 : Graf Outerplanar B. Graf Outerplanar dengan Preporsisi 4.2 Untuk setiap graf Outerplanar berbentuk dengan, maka Bukti: Misalkan sembarang Graf Outerplanar dengan, Asumsikan ambil, Dengan melalui induksi didapatkan graf, dengan terdiri dari Sehingga melalui - didapat pewarnaan total dengan masing-masing. sehingga lintasan (path) Untuk membuat siklus maka didapat. kemudian setelah dilalakukan observasi didapat bahwa barisan dipetakan pada pewarnaan total sehingga. dapat diilustrasikan pada Gambar 6. Maka jelas untuk semua graf Outerplanar dengan,, maka memiliki Gambar 5 : Graf Outerplanar, dengan Gambar 3 : Pewarnaan Total pada Graf H Preporsisi 4.3 Untuk setiap graf Outerplanar berbentuk, dengan, maka Bukti; Misalkan sembarang Graf Outerplanar dengan, Asumsikan ambil, Dengan melalui induksi didapatkan graf, dengan terdiri dari. Sehingga melalui didapat pewarnaan total dengan masing-masing. sehingga lintasan (path). Untuk membuat siklus maka didapat. Pada kasus ini, setelah dilalakukan observasi didapat bahwa untuk ganjil maka barisan dipetakan terhadap pewarnaan total sehingga. untuk genap maka barisan dipetakan terhadap pewarnaan total sehingga

3 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) Sehingga dapat diilustrasikan pada Ga mbar 6. Maka jelas untuk semua graf Outerplanar berbentuk dengan, memiliki Gambar 6 : Graf Outerplanar dengan Preporsisi 4.4 Untuk setiap graf Outerplanar berbentuk, dengan, maka Bukti: Misalkan sembarang Graf Outerplanar dengan, Asumsikan ambil, Dengan melalui induksi didapatkan graf, dengan terdiri dari Sehingga melalui didapat pewarnaan total dengan masing-masing. sehingga lintasan (path). Untuk membuat siklus maka didapat. kemudian setelah dilalakukan observasi didapat bahwa barisan dipetakan pada pewarnaan total sehingga Dapat diilustrasikan pada Gambar 7. Maka jelas untuk semua graf Outerplanar berbentuk dengan, memiliki 5. Ambil himpunan akar kanan dari sehingga didapat akar kiri dari sehingga didapat 6. Ambil himpunan akar kanan dari sehingga didapat akar kiri dari sehingga didapat { } 7. Tentukan masing-masing didapat diperoleh dari pewarnaan total pada sisi yang melekat pada simpul yang bertetangga pada, diperoleh dari pewarnaan total pada sisi yang melekat pada simpul yang bertetangga pada. Sehingga ambil 8. Tentukan masing-masing didapat diperoleh dari pewarnaan total pada sisi yang melekat pada simpul yang bertetangga pada, diperoleh dari pewarnaan total pada sisi yang melekat pada simpul yang bertetangga pada. Sehingga ambil 9. Ulangi langkah 7 8, sehingga didapat: jika n=genap maka jika n=ganjil maka Ilustrasi algoritma ditampilkan pada gambar 9 Gambar 8 : Graf Outerplanar C. Graf Outerplanar dengan dengan Pada Graf Outerplanar penentuan bilangan kromatik total diawali dengan pembentukan siklus. Pada setiap siklus pada graf outerplanar setidaknya terdapat dua simpul yang tidak melekat pada chord, Sehingga dapat diambil salah satu dari dua simpul tersebut simpul awal untuk melakukan pewarnaan, pada pembahasan ini diambil sebagai simpul awal. Dari hasil observasi didapat Algoritma untuj pewarnaan yang mempunyai m-chord sebagai berikut: 1. Misalkan n adalah banyaknya order pada asumsikan 2. Ambil sebagai simpul awal sehingga diwarnai 1 3. Ambil sebagai sisi yang melekat pada sehingga diwarnai masing-masing Ambil sebagai simpul yang bertetangga pada sehingga diwarnai masing-masing 2 3 Gambar 9 : Ilustrasi algoritma pembentukan untuk m- chord Dari pengerjaan observasi didapat beberapa kondisi untuk masing-masing penentuan warna di persekitaran simpul pada chord. 1. Pada saat Kondisi (1). Gambar 10: Ilustrasi pewarnaan chord pada kondisi 1 Kondisi (2). sehingga

4 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) kemudian dipetakan pada pewarnaan total sehingga dapat diilustrasikan pada Gambar 5. Maka jelas memenuhi untuk Gambar 11: Ilustrasi pewarnaan chord pada kondisi 2 Kondisi (3). sehingga Gambar 12: Ilustrasi pewarnaan chord pada kondisi 3 2. Pada saat Kondisi (4). Gambar 13: Ilustrasi pewarnaan chord pada kondisi 4 Kondisi (5). Gambar 5 : Graf Outerplanar tanpa 2. yang terhubung pada berbentuk dengan adalah s e m b a r a n g graf outerplanar dengan berbentuk dengan, Dengan demikian didapatkan path, sehingga dipetakan terhadap pewarnaan total didapatkan cycle bahwa dengan kata lain bahwa adalah cut-point. Ambil Karena merupakan sisi yang melekat pada cut-point di dengan pewarnaan, Dengan demikian pastilah untuk sisi yang melekat pada cut-point di adalah. karena merupakan simpul yang bertetangga pada cut-point di dengan pewarnaan, Maka kemungkinan untuk simpul yang bertetangga pada cut-point di adalah. Sehingga untuk memperoleh hasil yang minimal ambil. Berdasarkan proporsisi 4.1 didapat yang dipetakan preporsisi 4.2 didapat yang dipetakan. Sehingga graf outerplanar yang terdiri dari memenuhi untuk Gambar 14 : Ilustrasi pewarnaan chord pada kondisi 5 Corolarry 4.5 Untuk semua graf Outerplanar dengan,, -chord, maka D. Block pada Graf Outerplanar saling terhubung 1. yang terhubung pada Misalkan sembarang Graf Outerplanar dengan, Asumsikan ambil, Dengan melalui induksi didapatkan graf, dengan terdiri dari Sehingga melalui didapat pewarnaan total dengan masing masing. sehingga lintasan (path) Gambar 15 : Pewarnaan total dua block terhubung dengan 3. terhubung pada berbentuk dengan adalah s e m b a r a n g graf outerplanar dengan berbentuk dengan. Dengan demikian didapatkan path, sehingga dipetakan terhadap pewarnaan total didapatkan cycle

5 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) bahwa dengan kata lain bahwa adalah cut-point. Ambil Karena merupakan sisi yang melekat pada cut-point di dengan pewarnaan, Dengan demikian pastilah untuk sisi yang melekat pada cut-point di adalah. karena merupakan simpul yang bertetangga pada cut-point di dengan pewarnaan, Dengan demikian kemungkinan untuk simpul yang bertetangga pada cut-point di adalah. Sehingga untuk memperoleh hasil yang minimal ambil. Berdasarkan preporsisi 4.1 didapat yang dipetakan preporsisi 4.3 jika ganjil didapat yang dipetakan jika genap didapat yang dipetakan Sehingga graf yang terdiri dari memenuhi untuk Gambar 16 : Pewarnaan total dua block terhubung dengan 4. terhubung pada berbentuk dengan adalah sembarang graf outerplanar dengan berbentuk dengan Maka didapatkan path, sehingga dipetakan terhadap pewarnaan total didapatkan cycle, bahwa dengan kata lain bahwa adalah cut-point. Karena merupakan sisi yang melekat pada cut-point di dengan pewarnaan, Maka pastilah untuk sisi yang melekat pada cut-point di v 2b2 adalah c :=e 1b2 e 2b2 {1, 4}. karena v 1b1 merupakan simpul yang bertetangga pada cut-point di dengan pewarnaan Dengan demikian kemungkinan untuk simpul yang bertetangga pada cut-point di adalah. Sehingga untuk memperoleh hasil yang minimal ambil. Berdasarkan preporsisi 4.1 didapat yang dipetakan preporsisi 4.4 didapat yang dipetakan. Sehingga graf yang terdiri dari memenuhi untuk Gambar 17 : Pewarnaan total dua block terhubung dengan 5. = 1 yang terhubung pada = 3, berbentuk, m e m i l i k i m-chord dengan adalah s e m b a r a n g graf outerplanar dengan, -siklus - chord. Dengan demikian didapatkan path sehingga dipetakan terhadap pewarnaan total didapatkan cycle bahwa dengan kata lain bahwa adalah cut-point. Ambil, Karena merupakan sisi yang melekat pada cut-point di dengan pewarnaan, Maka pastilah untuk sisi yang melekat pada cut-point di v 2b2 adalah c :=e 1b2 e 2b2 {2, 4}. karena v 1b1 merupakan simpul yang bertetangga pada cut-point di dengan pewarnaan Dengan demikian pastilah untuk simpul yang bertetangga pada cut-point di adalah. Sehingga memperoleh hasil minimal ambil Berdasarkan preoporsisi 4.1 corollary 4.5 d idap at. Yang dipetakan. Sehingga graf yang terdiri dari memenuhi untuk Gambar 18 : Pewarnaan total dua block terhubung dengan 6.,, yang saling terhubung Diberikan Maka menurut kondisi sebelumnya dapat dikatakan bahwa

6 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) sehingga dapat dikatakan, didapat. Misalkan adalah sembarang graf outerplanar, maka ambil path dari sehingga didapat, Asumsikan adalah cut-point, sehingga. Untuk persekitaran sisi yang melekat pada maka didapatkan dua kondisi: kondisi apabila terdapat dua sisi dari yang melekat satu sisi dari yang melekat pada cut-point kondisi apabila terdapat satu sisi dari yang melekat dua sisi dari yang melekat pada cut-point. Pada kondisi, ambil, maka didapat. Segkan pada kondisi 2, ambil, maka didapat. Sehingga graf yang terdiri dari memenuhi untuk IV. SIMPULAN Pada pembahasan bab sebelumnya telah dilakukan konstruksi beberapa preporsisi guna membuktikan bahwa untuk semua graf outerplanar, pada maka. Sehingga diperoleh beberapa kesimpulan dari hasil kontruksi sebagai berikut: 1) Untuk setiap Graf Outerplanar dengan, maka didapat 2) Untuk setiap Graf Outerplanar dengan, maka didapat. 3) Untuk setiap Graf Outerplanar dengan, maka didapat. 4) Untuk setiap Graf Outerplanar dengan, maka didapat. 5) Untuk setiap Graf Outerplanar dengan,, - chord, maka didapat. 6) Untuk setiap block yang saling terhubung dari sebuah Graf Outerplanar dengan, maka didapat DAFTAR PUSTAKA [1] G Chartrand, L. L Graph And Diagraph Third Edition Chapman And Hull UK [2] G Chartrand, P. Z Chromatic Graph Theory, Discrete Mathematics And Its Applications CRC Press USA [3] Harary, F Graph Theory. Wesley Publishing Company, Inc [4] Diestel, R Graduate Texts in Mathematics Graph Theory. in Springer - Verlag Heidelberg New York [5] Yap, H, P Total Colouring of Graph Springer - Verlag Heidelberg Germany