PELABELAN D-LUCKY PADA JARINGAN HYPERCUBE, JARINGAN KUPU-KUPU, DAN JARINGAN BENES

Transkripsi

1 i PELABELAN D-LUCKY PADA JARINGAN HYPERCUBE, JARINGAN KUPU-KUPU, DAN JARINGAN BENES HALINI NORMA LIANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

2 ii

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pelabelan d-lucky pada Jaringan Hypercube, Jaringan Kupu-kupu, Jaringan Benes adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. iii Bogor, 12 Oktober 2016 Halini Norma Liani NIM G

4 iv ABSTRAK HALINI NORMA LIANI. Pelabelan d-lucky pada Jaringan Hypercube, Jaringan Kupu-kupu, dan Jaringan Benes. Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS OED dan FARIDA HANUM. Pelabelan d-lucky dari suatu graf merupakan pemetaan dari himpunan simpul yang berupa urutan biner dengan panjang n-dimensi pada deret {0,1} ke himpunan bilangan bulat {1,2,, k}, dengan k adalah bilangan bulat positif terkecil. Didefinisikan bobot dari suatu simpul adalah jumlah label dari tetangga terbukanya dan derajat simpul tesebut. Setiap simpul di graf dikatakan memiliki label d-lucky, jika setiap pasangan simpul yang adjacent memiliki bobot yang berbeda. Karya ilmiah ini menjelaskan pembuktian teorema-teorema yang menyatakan bahwa jaringan Hypercube, jaringan kupu-kupu, dan jaringan Benes memiliki pelabelan d- lucky dengan bilangan d-lucky dari graf tersebut adalah 2. Kata kunci: jaringan Hypercube, jaringan kupu-kupu, jaringan Benes, pelabelan d- lucky, adjacent ABSTRACT HALINI NORMA LIANI. D-lucky Labelling of Hypercube Network, Butterfly Network, and Benes Network. Supervised by TEDUH WULANDARI MAS OED and FARIDA HANUM. d-lucky labelling from a graph is a mapping from the set of vertices in the form of binary sequences of lenght n-dimension in the series {0,1} to the set of integers {1,2,, k}, where k is the smallest positive integer. Value from the vertex was defined as sum of the label from open neighborhood and degree of the vertex. Each vertex in a graph is said to have a d-lucky label, if every pair of adjacent vertices has a different value. This manuscript proves that the hypercube network, butterfly network, and benes network has a d-lucky labelling whose d-lucky number is 2. Keywords: Hypercube network, butterfly network, Benes network, d-lucky labelling, adjacent.

5 v PELABELAN D-LUCKY PADA JARINGAN HYPERCUBE, JARINGAN KUPU-KUPU, DAN JARINGAN BENES HALINI NORMA LIANI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

6 vi

7

8 viii PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga tercinta Bapak Sujono Hadi Suprayitno, Ibu Djumaryati, Mas Whisnu Odi Nugraha, Mas Arfi Kristian dan seluruh keluarga yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, bimbingan, kasih sayang, dan motivasi, 2. Teduh Wulandari Mas oed, MSi dan Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen pembimbing serta Dra Nur Aliatiningtyas, MSi selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini, 3. Mas Ade Siswandy yang selalu mendukung, mendengarkan keluh kesah, memberikan doa, motivasi dan semangat selama penulisan skripsi ini, 4. Keluarga An-Nissa dan HKRB 49 yang selalu mendukung dan memberikan semangat, saran, doa serta motivasi selama penulisan skripsi ini, 5. Fredy Seto, Ryvanu Adi Nugroho, Asnelly Putri, Syamsul serta teman-teman Matematika 49 yang selalu memberikan dukungan, keceriaan, dan segala bantuan yang telah diberikan. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, 12 Oktober 2016 Halini Norma Liani

9 ix DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Teori Graf 2 Pelabelan Graf 3 PEMBAHASAN 5 SIMPULAN 33 DAFTAR PUSTAKA 33 LAMPIRAN 34 RIWAYAT HIDUP 54

10 x DAFTAR TABEL 1 Hasil kali Cartesian dari jaringan Hypercube (Q n ) 5 2 Angka biner pada jaringan kupu-kupu BF(1) 13 3 Angka biner pada jaringan kupu-kupu BF(2) 13 4 Angka biner pada jaringan kupu-kupu BF(3) 15 5 Angka biner pada jaringan Benes BB(1) 22 6 Angka biner pada jaringan Benes BB(2) 23 7 Angka biner pada jaringan Benes BB(3) 25 DAFTAR GAMBAR 1 Contoh hasil kali dua graf 3 2 Graf sembarang 3 3 Pelabelan d-lucky pada graf G 4 4 Bentuk jaringan Hypercube (Q 2 ) 6 5 Bentuk jaringan Hypercube (Q 3 ) 7 6 Bentuk jaringan Hypercube (Q 4 ) 8 7 Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q 2 ) 9 8 Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q 3 ) 9 9 Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q 4 ) Bentuk jaringan kupu-kupu BF(1) Bentuk jaringan kupu-kupu BF(2) Bentuk jaringan kupu-kupu BF(3) Pelabelan d-lucky pada jaringan kupu-kupu BF(1) Pelabelan d-lucky pada jaringan kupu-kupu BF(2) Pelabelan d-lucky pada jaringan kupu-kupu BF(3) Diagram pembentukan jaringan kupu-kupu BF(n) Bentuk jaringan Benes BB(1) Bentuk jaringan Benes BB(2) Bentuk jaringan Benes BB(3) Pelabelan d-lucky pada jaringan Benes BB(1) Pelabelan d-lucky pada jaringan Benes BB(2) Pelabelan d-lucky pada jaringan Benes BB(3) Diagram pembentukan jaringan Benes BB(n) 32 DAFTAR LAMPIRAN 1 Simpul yang adjacent untuk bentuk jaringan Hypercube (Q 3 ) 34 2 Simpul yang adjacent untuk bentuk jaringan Hypercube (Q 4 ) 35 3 Simpul yang adjacent untuk bentuk jaringan kupu-kupu (BF(2)) 40 4 Simpul yang adjacent untuk bentuk jaringan kupu-kupu (BF(3)) 41 5 Simpul yang adjacent untuk bentuk jaringan Benes (BB(2)) 44 6 Simpul yang adjacent untuk bentuk jaringan Benes (BB(3)) 46

11 1 PENDAHULUAN Latar belakang Teori graf merupakan salah satu ilmu yang dibahas dalam matematika diskret. Teori graf dapat berfungsi sebagai model matematis untuk sistem yang melibatkan hubungan biner. Secara umum graf merupakan pasangan himpunan simpul (vertex) dan himpunan sisi (edge). Salah satu topik yang menarik dalam teori graf ialah masalah pelabelan. Pelabelan pada sebuah graf merupakan pemberian label pada elemen-elemen tertentu dari graf tersebut menggunakan bilangan bulat positif. Pelabelan graf muncul pertama kali pada 1967 setelah sebuah konjektur dari Ringel dan tulisan dari Rosa membahas mengenai pelabelan graf. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas mengenai pelabelan d-lucky pada sebuah graf. Pelabelan d-lucky dari graf G merupakan suatu pelabelan dengan menggunakan bilangan bulat positif k terkecil sehingga graf G memiliki pelabelan d-lucky dengan {1,2,, k} sebagai himpunan label. Setiap simpul di graf G dikatakan memiliki label d-lucky, jika untuk setiap pasangan simpul yang adjacent di graf G memiliki nilai yang berbeda. Masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah apakah jaringan Hypercube, jaringan kupu-kupu, dan jaringan Benes memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d-lucky dari graf G, dinotasikan dengan ηdl(g) adalah 2. Jaringan Hypercube, jaringan kupu-kupu dan jaringan Benes dapat diaplikasikan pada jaringan interkoneksi untuk pemrosesan paralel dan juga berperan penting dalam pengenalan beberapa komputer paralel komersial berbasis hypercube. Jaringan dasar yang digunakan untuk aplikasi jaringan interkoneksi merupakan jaringan Hypercube yang kemudian dikembangkan dengan menggunakan jaringan kupu-kupu dan jaringan Benes. Penerapan jaringan kupukupu pada jaringan interkoneksi untuk memfasilitasi diskusi, visualisasi, dan analisis algoritme routing hypercube. Jaringan kupu-kupu merupakan jaringan interkoneksi bertingkat yang menghubungkan prosesor dengan modul memori. Jaringan Benes merupakan perluasan dari jaringan kupu-kupu dengan prosesor tetap di sebelah kiri tapi modul memori bergerak ke kanan, dan kemudian empat node digabungkan di bagian tengah di setiap baris yang tidak melakukan fungsi routing. Properti penting dari jaringan Benes adalah rute permutasi tanpa konflik. Ini terkait dengan ketersediaan beberapa jalur tepi-disjoint antara setiap pasangan input dan output node (Parhami 2002). Sumber utama dari karya ilmiah ini ialah tulisan Mirka Miller, Indra Rajasingh, D. Ahima Emilet, dan D. Azubha Jemilet dalam artikel d-lucky Labelling of Graphs.

12 2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah 1. merekonstruksi bukti bahwa jaringan Hypercube n-dimensi (Q n ) memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d-lucky ηdl(q n ) = 2, 2. merekonstruksi bukti bahwa jaringan kupu-kupu n-dimensi BF(n) memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d-lucky ηdl(bf(n)) = 2, 3. merekonstruksi bukti bahwa jaringan Benes n-dimensi BB (n) memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d-lucky ηdl(bb(n)) = 2. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf yang akan digunakan dalam pembahasan pada bab-bab selanjutnya. Teori Graf Definisi 1 (Graf) Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan dengan G = (V, E). Elemen V disebut simpul atau vertex sedangkan elemen E disebut sisi atau edge. Himpunan dari simpul-simpul pada graf G dinotasikan dengan V(G) atau V, sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf G dinotasikan dengan E(G) atau E (Foulds 1992). Definisi 2 (Adjacent) Simpul u dan v pada graf G dikatakan adjacent jika terdapat sebuah sisi (edge) e ={u,v} di graf G, dan e menghubungkan simpul u dan v (Chartrand dan Oellermann 1993). Dalam karya ilmiah ini, selanjutnya sisi {u, v} dituliskan dengan uv. Definisi 3 (Derajat) Dalam graf G, derajat dari sebuah simpul v, dinotasikan dengan deg v, adalah banyaknya simpul yang adjacent dengan v (Chartrand dan Oellermann 1993). Definisi 4 (Tetangga terbuka) Simpul v dari graf G memiliki tetangga terbuka N(v) yang didefinisikan dengan N(v) = {u V(G) vu E(G)} (Chartrand dan Oellermann 1993). Definisi 5 (Hasil Kali Graf) Misalkan G dan H adalah graf dengan himpunan simpul berturut-turut ialah V(G) dan V(H) dan himpunan sisi ialah E(G) dan E(H). Didefinisikan graf G H ialah graf dengan himpunan simpul V(G) V(H) dan dua simpul (u 1, u 2 ) dan

13 (v 1, v 2 ) adalah adjacent pada G H jika dan hanya jika u 1 = v 1 dan u 2 v 2 E(H) atau u 2 = v 2 dan u 1 v 1 E(H) (Chartrand dan Oellermann 1993). Sebagai ilustrasi, misalkan V(G) = {g 1, g 2, g 3 } dan V(H) = {h 1, h 2, h 3 } maka dua simpul yang adjacent pada G H adalah sebagai berikut : V(G H) = {g 1 h 1, g 1 h 2, g 1 h 3, g 2 h 1, g 2 h 2, g 2 h 3, g 3 h 1, g 3 h 2, g 3 h 3 } Contoh hasil kali graf dapat dilihat pada Gambar 3. 3 Gambar 1 Contoh hasil kali dua graf Pelabelan Graf Karya ilmiah ini akan membahas pelabelan d-lucky pada beberapa jaringan. Berikut ini akan dijelaskan definisi tentang pelabelan graf. Definisi 6 (Pelabelan Graf) Sebuah pelabelan graf G adalah suatu pemetaan (fungsi) yang memetakan suatu himpunan dari elemen graf ke suatu himpunan bilangan bulat positif. Jika domain dari pemetaan adalah himpunan simpul maka pelabelan disebut pelabelan simpul (vertex labelling), jika domain dari pemetaan adalah himpunan sisi maka pelabelan disebut pelabelan sisi (edge labelling). Jika domainnya simpul dan sisi maka pelabelan disebut pelabelan total (total labelling) (Irfan dan Andrea 2016). Definisi 7 (Pelabelan d-lucky) Misalkan l V(G) {1,2,, k} adalah suatu pelabelan dari simpul-simpul di graf G yang berupa bilangan bulat positif. Didefinisikan c (u) = v N(u) l (v) + d (u), dengan d (u) adalah derajat dari u. Didefinisikan label l sebagai d-lucky jika c (u) c (v), untuk setiap pasangan simpul u dan v yang adjacent di G (Miller et al. 2015). Bilangan d-lucky dari graf G, dinotasikan dengan η dl (G), adalah bilangan k positif terbesar dari graf G dengan {1,2,..., k} sebagai himpunan label. Nilai dari c(u) dan c(v) adalah bobot dari simpul u dan v. Berikut akan diberikan contoh untuk memperoleh pelabelan d-lucky dari sebuah graf G pada untuk mengilustrasikan definisi pelabelan d-lucky. Gambar 2 Graf sembarang

14 4 Pilih simpul A sebagai u 1 dan simpul lainnya yang adjacent dengan simpul A sebagai B = v 1 dan C = v 2. Ini berarti N(u 1 ) = {v 1, v 2 }, kemudian lihat simpul v 1 dan v 2, semua simpul yang adjacent dengan simpul v 1 dan v 2 menjadi u dimulai dari u 2, u 3, u 6. Beri label pada l(a = u 1 ) = l(d = u 2 ) = l(e = u 3 ) = l(f = u 4 ) = l(g = u 5 ) = 2 dan l(v 1 ) = l(v 2 ) = 1. Akibatnya nilai dari c(u i ) dan c(v i ) adalah sebagai berikut: c(u 1 ) = v N(u 1 ) l (v) + d (u) = l(v 1 ) + l(v 2 ) + d(u 1 ) = = 4, N(v 1 ) = {u 1, u 2, u 3 }, sehingga c(v 1 ) = u N(v 1 ) l (u) + d (v) = l(u 1 ) + l(u 2 ) + l(u 3 ) + d(v 1 ) = = 9,... N(u 5 ) = {v 2 }, sehingga c(u 5 ) = v N(u 2 ) l (v) + d (u) = l(v 2 ) + d(u 5 ) = = 2. Kemudian cek nilai c(u) dan c(v) di setiap simpul yang adjacent. Karena c (u) c (v) untuk setiap pasangan simpul yang saling adjacent, akibatnya graf G memiliki pelabelan d-lucky. Karena bilangan positif terbesar pada graf G adalah 2, maka bilangan d-lucky pada graf Gadalah 2, dinotasikan dengan η dl (G) = 2. Gambar 3 Pelabelan d-lucky pada graf G Definisi 8 (Graf Lengkap ) Sebuah graf lengkap ialah suatu graf sederhana di mana setiap pasangan simpul yang berbeda bergabung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, graf sederhana di mana terdapat sebuah sisi diantara setiap pasangan simpul disebut graf lengkap. Jika graf lengkap memiliki simpul v 1, v 2,, v n maka himpunan sisi dapat dinyatakan dengan E = {(v i, v j ) v i v j ; i, j = 1, 2, 3 n}. Graf lengkap dari n simpul dinotasikan dengan K n (Ray 2013).

15 5 PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas teorema-teorema yang akan membuktikan bahwa jaringan Hypercube, jaringan kupu-kupu, dan jaringan Benes memiliki pelabelan d- lucky dengan bilangan d-lucky η dl (G) = 2. Pelabelan d-lucky pada Jaringan Hypercube Jaringan Hypercube adalah graf yang berbentuk Q n, dengan Q n didefinisikan secara rekursif sebagai Q 1 = K 2, Q n = Q n 1 Q 1 = K 2 K 2... K 2, dengan n 2. Himpunan simpul V dari Q n terdiri dari barisan bilangan biner dengan panjang n sedemikian sehingga V(Q n ) = {x 1, x 2,, x n } dengan x i {0,1}, i = 1, 2,, n (Miller et al. 2015). Pembentukan jaringan Hypercube (Q n ) dapat dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1: Tentukan anggota himpunan dari V(Q n ) dengan cara hasil kali Cartesian anggota himpunan dari V(Q n 1 ) dan anggota himpunan V(K 2 ). Himpunan titik V dari Q n terdiri dari urutan biner dengan panjang n pada barisan {0,1}, yaitu, V(Q n ) = {x 1, x 2,, x n } dengan x i {0,1}, i = 1, 2,, n sehingga dapat diperoleh tabel sebagai berikut: Tabel 1 Hasil kali Cartesian dari jaringan Hypercube (Q n ) V(K 2 ) n V(Q n 1 ) V(Q n ) {0,1} 2 {0,1} {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} {0,1} 3 {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} {(0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,1)} {0,1} 4 {(0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,1)} {0,1} 5 {(0,0,0,0), (0,1,0,0), (1,0,0,0), (1,1,0,0), (0,0,1,1), (0,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,1,1)} {(0,0,0,0), (0,1,0,0), (1,0,0,0), (1,1,0,0), (0,0,1,1), (0,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,1,1)} {(0,0,0,0,0), (0,1,0,0,0), (1,0,0,0,0), (1,1,0,0,0), (0,0,1,1,1), (0,1,1,1,1), (1,0,1,1,1), (1,1,1,1,1)} Langkah 2: Tentukan sisi e E(Q n ) dari simpul yang adjacent. Suatu pasangan simpul dikatakan adjacent jika dan hanya jika e = x 1 x 2 dengan x 1, x 2 V(Q n ) dengan x 1 = (y 1, z 1 ) dan x 2 = (y 2, z 2 ) berdasarkan aturan y 1 = y 2 dan z 1 z 2 E(K 2 ) atau z 1 = z 2 dan y 1 y 2 E(Q n 1 ) (Chartrand dan Oellermann 1993). Lakukan hingga semua simpul dilabeli. Berikut akan diberikan contoh tiga kasus yang berbeda untuk memperoleh bentuk dari jaringan Hypercube.

16 6 Kasus 1 : Bentuk jaringan Hypercube (Q 2 ). Berdasarkan definisi hasil kali Cartesian, Q2 didefinisikan secara rekursif sebagai Q 2 = Q 1 K 2 dengan V(Q 2 ) = V(Q 1 ) V(K 2 ) dengan V(Q 1 ) = {0,1} dan V(K 2 ) = {0,1}. Akibatnya diperoleh V(Q 2 ) = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}. Selanjutnya ditentukan pasangan simpul yang adjacent dengan e = x 1 x 2 V(Q 2 ) dengan x 1 = (y 1, z 1 ) dan x 2 = (y 2, z 2 ). Simpul yang adjacent diperoleh berdasarkan aturan y 1 = y 2 dan z 1 z 2 E(K 2 ) atau z 1 = z 2 dan y 1 y 2 E(Q n 1 ). Sehingga diperoleh simpul yang adjacent untuk bentuk jaringan Hypercube (Q2) sebagai berikut: x 1 = (1,1), x 2 = (1,0) E(Q 2 ). Karena y 1 = y 2 = 1 dan 1, 0 V(K 2 ) akibatnya (1,1) dan (1,0) adjacent. x 1 = (1,0), x 2 = (0,1) E(Q 2 ). Karena y 1 = 1 y 2 = 0 dan 0, 1 V(K 2 ) atau z 1 = 0 z 2 = 1 dan 1, 0 V(Q 1 ) akibatnya (1,0) dan (0,1) tidak adjacent. x 1 = (0,1), x 2 = (0,0) E(Q 2 ). Karena y 1 = y 2 = 0 dan 1, 0 V(K 2 ) akibatnya (0,1) dan (0,0) adjacent. x 1 = (0,0), x 2 = (1,1) E(Q 2 ). Karena y 1 = 0 y 2 = 1 dan 0, 1 V(K 2 ) atau z 1 = 0 z 2 = 1 dan 0, 1 V(Q 1 ) akibatnya (0,0) dan (1,1) tidak adjacent. x 1 = (1,1), x 2 = (0,1) E(Q 2 ). Karena z 1 = z 2 = 1 dan 1, 0 V(Q 1 ) akibatnya (1,1) dan (0,1) adjacent. x 1 = (1,0), x 2 = (0,0) E(Q 2 ). Karena z 1 = z 2 = 0 dan 1, 0 V(Q 1 ) akibatnya (1,0) dan (0,0) adjacent. Gambar 4 Bentuk jaringan Hypercube (Q 2 ) Kasus 2 : Bentuk jaringan Hypercube (Q 3 ). Berdasarkan definisi hasil kali Cartesian, Q3 didefinisikan secara rekursif sebagai Q 3 = Q 2 K 2 dengan V(Q 3 ) = V(Q 2 ) V(K 2 ) dengan V(Q 2 ) = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} dan V(K 2 ) = {0,1}. Akibatnya diperoleh V(Q 3 ) = {(0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,1)}. Selanjutnya ditentukan pasangan simpul yang adjacent dengan e = x 1 x 2 V(Q 2 ) dengan x 1 = ((y 1, z 1 ), a 1 ) dan x 2 = ((y 2, z 2 ), a 2 ). Simpul yang adjacent diperoleh berdasarkan aturan y 1, z 1 = y 2, z 2 dan a 1 a 2 E(K 2 ) atau a 1 = a 2 dan (y 1, z 1 ), (y 2, z 2 ) E(Q n 1 ). Dengan cara yang sama dapat diperoleh simpul yang adjacent untuk bentuk jaringan Hypercube (Q3) sebagai berikut:

17 7 ((1,1),1) dan ((1,0),1) ((1,1),1) dan ((0,1),1) ((1,1),1) dan ((1,1),0) ((1,0),1) dan ((0,0),1) ((1,0),1) dan ((1,0),0) ((0,1),1) dan ((0,0),1) ((0,1),1) dan ((0,1),0) ((0,0),1) dan ((0,0),0) ((1,1),0) dan ((1,0),0) ((1,1),0) dan ((0,1),0) ((1,0),0) dan ((0,0),0) ((0,1),0) dan ((0,0),0) Gambar 5 Bentuk jaringan Hypercube (Q 3 ) Kasus 3 : Bentuk jaringan Hypercube (Q 4 ). Berdasarkan definisi hasil kali Cartesian, Q4 didefinisikan secara rekursif sebagai Q 4 = Q 3 K 2 dengan V(Q 4 ) = V(Q 3 ) V(K 2 ) dengan V(Q 3 ) ={(0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,1)}.dan V(K 2 ) = {0,1}. Akibatnya diperoleh V(Q 4 ) ={(0,0,0,0), (0,1,0,0), (1,0,0,0), (1,1,0,0), (0,0,1,1), (0,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,1,1)}. Selanjutnya ditentukan pasangan simpul yang adjacent dengan e = x 1 x 2 V(Q 2 ) dengan x 1 = ((y 1, z 1, a 1 ), b 1 ) dan x 2 = ((y 2, z 2, a 2 ), b 2 ). Simpul e yang adjacent diperoleh berdasarkan aturan y 1, z 1, a 1 = y 2, z 2, a 2 dan b 1 b 2 E(K 2 ) atau b 1 = b 2 dan (y 1, z 1, a 1 ), (y 2, z 2, a 2 ) E(Q n 1 ). Dengan cara yang sama dapat diperoleh simpul yang adjacent untuk bentuk jaringan Hypercube (Q 4 ) sebagai berikut: ((1,1,1), 1) dan ((1,0,1),1) ((1,1,1),1) dan ((0,1,1),1) ((1,1,1),1) dan ((1,1,0),1) ((1,1,1),1) dan ((1,1,1),0) ((1,0,1),1) dan ((0,0,1),1) ((1,0,1),1) dan ((1,0,0),1) ((1,0,1),1) dan ((1,0,1),0) ((0,1,1),1) dan ((0,0,1),1) ((0,1,1),1) dan ((0,1,0),1) ((0,1,1),1) dan ((0,1,1),0) ((0,0,1),1) dan ((0,0,0),1) ((0,0,1),1) dan ((0,0,1),0) ((1,1,0),1) dan ((1,0,0),1) ((1,1,0),1) dan ((0,1,0),1) ((1,1,0),1) dan ((1,1,0),0) ((1,0,0),1) dan ((0,0,0),1) ((1,0,0),1) dan ((1,0,0),0) ((0,1,0),1) dan ((0,0,0),1) ((0,1,0),1) dan ((0,1,0),0) ((0,0,0),1) dan ((0,0,0),0) ((1,1,1),0) dan ((1,0,1),0) ((1,1,1),0) dan ((0,1,1),0)

18 8 ((1,1,1),0) dan ((1,1,0),0) ((1,0,1),0) dan ((0,0,1),0) ((1,0,1),0) dan ((1,0,0),0) ((0,1,1),0) dan ((0,0,1),0) ((0,1,1),0) dan ((0,1,0),0) ((0,0,1),0) dan ((0,0,0),0) ((1,1,0),0) dan ((1,0,0),0) ((1,1,0),0) dan ((0,1,0),0) ((1,0,0),0) dan ((0,0,0),0) ((0,1,0),0) dan ((0,0,0),0) Gambar 6 Bentuk jaringan Hypercube (Q 4 ) Selanjutnya akan dibahas teorema yang digunakan untuk membuktikan bahwa jaringan Hypercube n-dimensi memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d-lucky η dl (Q n ) = 2. Sebelum membuktikan bahwa jaringan Hypercube n-dimensi memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d-lucky η dl (Q n ) = 2, akan diberikan tiga contoh kasus yang berbeda untuk mengilustrasikan pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube. Kasus 1: Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q 2 ). Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube ( Q 2 ) memiliki V(Q 2 ) = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}. Pilih simpul (1,0) sebagai u 1 dan simpul lainnya yang adjacent dengan simpul u 1 sebagai v 1 dan v 2. Lihat simpul v 1, semua simpul yang adjacent dengan simpul v menjadi simpul u 2. Diberikan label pada simpul u 1 = u 2 = = 1 dan simpul v 1 = v 2 = = 2 dengan banyak simpul 2 2 = 4 dinotasikan l(u i ) = 1 dan l(v i ) = 2. Akibatnya nilai dari c(u i ) dan c(v i ) adalah sebagai berikut: c(u 1 ) = v N(u 1 ) l(v) + d(u 1 ) = (2 + 2) + 2 = 6, c(v 1 ) = u N(v 1 ) l(u) + d(v 1 ) = (1 + 1) + 2 = 4, c(u 2 ) = v N(u 1 ) l(v) + d(u 2 ) = (2 + 2) + 2 = 6, c(v 2 ) = u N(v 2 ) l(u) + d(v 2 ) = (1 + 1) + 2 = 4. Kemudian cek nilai c(u) dan c(v) di setiap simpul yang adjacent. Karena c(u) c(v) untuk setiap pasangan simpul yang saling adjacent, akibatnya jaringan Hypercube memiliki pelabelan d-lucky. Karena bilangan positif terbesar pada jaringan Hypercube adalah 2, maka bilangan d-lucky pada jaringan Hypercube adalah 2, dinotasikan dengan η dl (Q 2 ) = 2.

19 9 Gambar 7 Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q 2 ) Kasus 2: Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q 3 ). Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q 3 ) memiliki V(Q 3 ) ={(0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,1)}. Pilih simpul (1,1,1) sebagai u 1 dan simpul lainnya yang adjacent dengan simpul u 1 sebagai v 1, v 2, v 3 dan v 4. Lihat simpul v 1, semua simpul yang adjacent dengan simpul v menjadi simpul u dimulai dari u 2, u 3 dan u 4. Diberikan label pada simpul u 1 = u 2 = = 1 dan simpul v 1 = v 2 = = 2 dengan banyak simpul 2 3 = 8, dinotasikan l(u i ) = 1 dan l(v i ) = 2. Akibatnya nilai dari c(u i ) dan c(v i ) adalah sebagai berikut: c(u 1 ) = v N(u 1 ) l(v) + d(u 1 ) = ( ) + 3 = 9, c(v 1 ) = u N(v 1 ) l(u) + d(v 1 ) = ( ) + 3 = 6, c(u 2 ) = v N(u 1 ) l(v) + d(u 2 ) = ( ) + 3 = 9, c(v 2 ) = u N(v 2 ) l(u) + d(v 2 ) = ( ) + 3 = 6, c(u 3 ) = v N(u 3 ) l(v) + d(u 3 ) = ( ) + 3 = 9, c(v 3 ) = u N(v 3 ) l(u) + d(v 3 ) = ( ) + 3 = 6, c(u 4 ) = v N(u 4 ) l(v) + d(u 4 ) = ( ) + 3 = 9, c(v 4 ) = u N(v 4 ) l(u) + d(v 4 ) = ( ) + 3 = 6. Kemudian cek nilai c(u) dan c(v) di setiap simpul yang adjacent. Karena c(u) c(v) untuk setiap pasangan simpul yang saling adjacent, akibatnya jaringan Hypercube memiliki pelabelan d-lucky. Karena bilangan positif terbesar pada jaringan Hypercube adalah 2, maka bilangan d-lucky pada jaringan Hypercube adalah 2, dinotasikan dengan η dl (Q 3 ) = 2. Gambar 8 Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q 3 )

20 10 Kasus 3: Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q 4 ). Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q3) memiliki V(Q 4 ) = {(0,0,0,0), (0,1,0,0), (1,0,0,0), (1,1,0,0), (0,0,1,1), (0,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,1,1)}. Pilih simpul (1,1,1,0) sebagai u 1 dan simpul lainnya yang adjacent dengan simpul u 1 sebagai v 1, v 2,, v 8. Lihat simpul v 1, semua simpul yang adjacent dengan simpul v menjadi simpul u dimulai dari u 2, u 3,, u 8 dengan n adalah derajat dari simpul v 1. Diberikan label pada simpul u 1 = u 2 = = 1 dan simpul v 1 = v 2 = = 2 dengan banyak simpul 2 4 = 16, dinotasikan l(u i ) = 1 dan l(v i ) = 2. Akibatnya nilai dari c(u i ) dan c(v i ) adalah sebagai berikut: c(u 1 ) = v N(u 1 ) l(v) + d(u 1 ) = ( ) + 4 = 12, c(v 1 ) = u N(v 1 ) l(u) + d(v 1 ) = ( ) + 4 = 8, c(u 2 ) = v N(u 1 ) l(v) + d(u 2 ) = ( ) + 4 = 12, c(v 2 ) = u N(v 2 ) l(u) + d(v 2 ) = ( ) + 4 = 8, c(u 3 ) = v N(u 3 ) l(v) + d(u 3 ) = ( ) + 4 = 12, c(v 3 ) = u N(v 3 ) l(u) + d(v 3 ) = ( ) + 4 = 8, c(u 4 ) = v N(u 4 ) l(v) + d(u 4 ) = ( ) + 4 = 12, c(v 4 ) = u N(v 4 ) l(u) + d(v 4 ) = ( ) + 4 = 8, c(u 5 ) = v N(u 5 ) l(v) + d(u 5 ) = ( ) + 4 = 12, c(v 5 ) = u N(v 5 ) l(u) + d(v 5 ) = ( ) + 4 = 8, c(u 6 ) = v N(u 6 ) l(v) + d(u 6 ) = ( ) + 4 = 12, c(v 6 ) = u N(v 6 ) l(u) + d(v 6 ) = ( ) + 4 = 8, c(u 7 ) = v N(u 7 ) l(v) + d(u 7 ) = ( ) + 4 = 12, c(v 7 ) = u N(v 7 ) l(u) + d(v 7 ) = ( ) + 4 = 8, c(u 8 ) = v N(u 8 ) l(v) + d(u 8 ) = ( ) + 4 = 12, c(v 8 ) = u N(v 8 ) l(u) + d(v 8 ) = ( ) + 4 = 8. Kemudian cek nilai c(u) dan c(v) di setiap simpul yang adjacent. Karena c(u) c(v) untuk setiap pasangan simpul yang saling adjacent, akibatnya jaringan Hypercube memiliki pelabelan d-lucky. Karena bilangan positif terbesar pada jaringan Hypercube adalah 2, maka bilangan d-lucky pada jaringan Hypercube adalah 2, dinotasikan dengan η dl (Q 4 ) = 2. Gambar 9 Pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q 4 )

21 Berikut diberikan langkah-langkah pelabelan d-lucky pada jaringan Hypercube (Q n ). Langkah 1: Pilih simpul pada himpunan V(Q n ) sebagai simpul u 1 dan semua simpul yang adjacent dengan simpul u 1 sebagai v 1, v 2,, v m dengan m adalah derajat dari simpul u 1. Lihat simpul v 1, semua simpul yang adjacent dengan simpul v menjadi simpul u dimulai dari u 2, u 3,, u n+1 dengan n adalah derajat dari simpul v 1. Prosedur ini dilakukan hingga semua simpul memiliki label u i dan v i. Langkah 2: Berikan label pada simpul u 1 = u 2 = = 1 dan simpul v 1 = v 2 = = 2 dengan banyak simpul 2 n, dinotasikan l(u i ) = 1 dan l(v i ) = 2. Langkah 3: Tentukan nilai c(u) dan c(v) dengan menggunakan rumus c(u) = v N(u) l(v) + d(u), dengan d(u) menunjukkan derajat dari u dan N(u) menunjukkan open neighborhood dari u. Langkah 3: Setelah didapatkan nilai dari setiap c(u) dan c(v), cek nilai c(u) dan c(v) untuk setiap pasangan simpul yang adjacent, jika c(u) c(v), untuk setiap pasangan simpul u dan v yang saling adjacent maka diperoleh label l sebagai d- lucky dinotasikan dengan η dl (Q n ). Jika c(u) = c(v) maka ulangi langkah 3 hingga syarat pelabelan d-lucky terpenuhi. Langkah 4: Ulangi langkah 3 hingga semua simpul pada jaringan Hypercube memiliki label d-lucky. Selanjutnya akan dibuktikan Teorema 2.3 yang menyatakan bahwa jaringan Hypercube n-dimensi memiliki pelabelan d-lucky. Teorema 1 Jaringan Hypercube n-dimensi memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d-lucky η dl (Q n ) = 2. (Miller et al. 2015) Bukti Diberikan label pada setiap simpul u i dan simpul v i pada Hypercube (Q n ) dengan n 1 dan 2 dengan 0 < i=1 V(Q n ) 2 n, dinotasikan l(u i ) = 1 dan l(v i ) = 2. Akibatnya anggota tetangga terbuka dari N(u) berlabel 2 dan anggota tetangga terbuka dari N(v) berlabel 1 dengan derajat dari simpul u dan simpul v adalah n, dinotasikan dengan d(u) = n dan d(v) = n. Akan dibuktikan bahwa nilai c(u i ) c(v i ) dengan menggunakan aturan c(u) = v N(u) l(v) + d(u) dan c(v) = u N(v) l(u) + d(v). Sehingga dapat diperoleh: c(u i ) = v N(u i ) l(v) + d(u i ) = (2n) + n, c(v i ) = u N(v i ) l(u) + d(v i ) = n + n. Akibatnya c(u i ) c(v i ). Jadi jaringan Hypercube n-dimensi memiliki pelabelan d-lucky dan η dl (Q n ) = 2. 11

22 12 Pelabelan d-lucky pada Jaringan Kupu-Kupu Jaringan kupu-kupu adalah graf yang berbentuk BF(n), dengan BF(n) merupakan perluasan dari jaringan Hypercube ( Q n ). Jaringan kupu-kupu BF(n) memiliki himpunan simpul V = {(x, i) x V(Q n ), 0 i n}. Dua simpul (x, i) dan (y, j) ini dihubungkan oleh sebuah sisi dalam BF (n) jika dan hanya jika j = i + 1 dan dapat juga dalam kondisi (i) x = y, atau (ii) x berbeda dari y tepat pada angka biner ke 2 i di level j. Untuk x = y, simpul dihubungkan dengan sisi vertikal (langsung). Jika x y maka simpul dihubungkan dengan sisi silang (diagonal). Untuk i tetap, simpul (x, i) adalah simpul pada level i (Miller et al. 2015). Pembentukan jaringan kupu-kupu dapat dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1: Tentukan himpunan simpul BF(n) dengan menentukan himpunan simpul V(Q n ) terlebih dahulu, dengan V(BF(n)) = {(x, i) x V(Q n ), 0 i n}. Langkah 2: Berdasarkan langkah 1, tentukan balikan angka biner dari himpunan simpul V(Q n ) mulai dari yang terkecil hingga yang terbesar. Arti dari balikan angka biner adalah membaca urutan angka biner dari belakang. Langkah 3: Tentukan simpul yang adjacent dengan menggunakan aturan sebagai berikut : Dua simpul (x, i) dan (y, j) dihubungkan oleh sebuah sisi dalam BF(n) jika dan hanya jika j = i + 1 dan dapat juga dalam kondisi (i) x = y, atau (ii) x berbeda dari y tepat pada angka biner ke 2 i di level j. Untuk x = y, simpul dihubungkan dengan sisi vertikal (langsung). Jika x y maka simpul dihubungkan dengan sisi silang (diagonal). Untuk i tetap, simpul (x, i) adalah simpul pada level i dengan 0 i n. Langkah 4: Mulailah membentuk jaringan kupu-kupu dimulai dari sisi kiri dengan menggunakan balikan angka biner. Berikut akan diberikan contoh tiga kasus yang berbeda untuk memperoleh bentuk dari jaringan kupu-kupu untuk mengilustrasikan definisi 8. Kasus 1: Bentuk jaringan kupu-kupu BF(1). Diketahui himpunan simpul V(Q 1 ) = {0,1}, akibatnya himpunan simpul BF(1) yaitu V(BF(1)) = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}. Selanjutnya tentukan balikan angka biner pada himpunan simpul V(Q 1 ).

23 Tabel 2 Angka biner pada jaringan kupu-kupu BF(1) Angka biner Balikan angka biner Dua simpul (x, i) dan (y, j) dengan i dan j adalah level dari jaringan kupukupu akan saling adjacent jika dan hanya jika j = i + 1 saat x = y atau x y tepat di level j. Akibatnya setiap simpul dalam BF(1) akan saling adjacent jika dalam kondisi sebagai berikut: (0,0) dan (0,1) adjacent. Karena x = y = 0 akibatnya (0,0) dan (0,1) adjacent dengan sisi vertikal. (0,0) dan (1,1) adjacent. Karena x = 0 y = 1 dan karena x = 0 berbeda dari y = 1, dengan angka biner 2 0 = 1 di level 1, akibatnya (0,0) dan (1,1) adjacent dengan sisi diagonal pada angka biner pertama di level satu. (1,0) dan (1,1) adjacent. Karena x = y = 1 akibatnya (1,0) dan (1,1) adjacent dengan sisi vertikal. (1,0) dan (0,1) adjacent. Karena x = 1 y = 0 dan karena x = 1 berbeda dari y = 0, dengan angka biner 2 0 = 1 di level 1, akibatnya (1,0) dan (0,1) adjacent dengan sisi diagonal pada angka biner pertama di level satu. Mulailah membentuk jaringan kupu-kupu dimulai dari sisi kiri dengan mengunakan balikan angka biner. 13 Gambar 10 Bentuk jaringan kupu-kupu BF(1) Kasus 2: Bentuk jaringan kupu-kupu BF(2). Diketahui himpunan simpul V(Q 2 ) = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}, akibatnya himpunan simpul BF(2) yaitu V(BF(2)) = {(00,0), (00,1), (00,2), (01,0), (01,1), (01,2), (10,0), (10,1), (10,2), (11,0), (11,1), (11,2)}. Selanjutnya tentukan balikan angka biner pada himpunan simpul V(Q 2 ). Tabel 3 Angka biner pada jaringan kupu-kupu BF(2) Angka biner Balikan angka biner Dua simpul (x, i) dan (y, j) dengan i dan j adalah level dari jaringan kupukupu akan saling adjacent jika dan hanya jika j = i + 1 saat x = y atau x y tepat di level j. Dalam kondisi yang sama seperti pada jaringan kupu-kupu BF(1)

24 14 dapat diperoleh simpul yang adjacent untuk bentuk jaringan kupu-kupu BF(2) sebagai berikut : (00,0) dan (00,1) (00,0) dan (10,1) (10,0) dan (10,1) (10,0) dan (00,1) (01,0) dan (01,1) (01,0) dan (11,1) (11,0) dan (01,1) (11,0) dan (11,1) (00,1) dan (00,2) (00,1) dan (01,2) (10,1) dan (10,2) (10,1) dan (11,2) (01,1) dan (01,2) (01,1) dan (00,2) (11,1) dan (11,2) (11,1) dan (10,2) Mulailah membentuk jaringan kupu-kupu dimulai dari sisi kiri dengan mengunakan balikan angka biner. Gambar 11 Bentuk jaringan kupu-kupu BF(2) Kasus 3: Bentuk jaringan kupu-kupu BF(3). Diketahui himpunan simpul dari V(Q 3 ) ={(0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,1)}, akibatnya himpunan simpul BF(3) yaitu V(BF(3)) = {(000,0), (000,1), (000,2), (000,3), (010,0), (010,1), (010,2), (010,3), (100,0), (100,1), (100,2), (100,3), (110,0), (110,1), (110,2), (110,3), (001,0), (001,1), (001,2), (001,3), (011,0), (011,1), (011,2), (011,3), (101,0), (101,1), (101,2), (101,3), (111,0), (111,1), (111,2), (111,3)}. Selanjutnya tentukan balikan dari angka biner pada himpunan simpul V(Q 3 ).

25 Tabel 4 Angka biner pada jaringan kupu-kupu BF(3) Angka biner Balikan angka biner Dua simpul (x, i) dan (y, j) dengan i dan j adalah level dari jaringan kupukupu akan saling adjacent jika dan hanya jika j = i + 1 saat x = y atau x y tepat di level j. Dalam kondisi yang sama seperti pada jaringan kupu-kupu BF(1) dapat diperoleh simpul yang adjacent untuk bentuk jaringan kupu-kupu BF(3) sebagai berikut : (000,0) dan (000,1) (000,0) dan (100,1) (100,0) dan (100,1) (100,0) dan (000,1) (010,0) dan (010,1) (010,0) dan (110,1) (110,0) dan (010,1) (110,0) dan (110,1) (001,0) dan (001,1) (001,0) dan (101,1) (101,0) dan (101,1) (101,0) dan (001,1) (011,0) dan (011,1) (011,0) dan (111,1) (111,0) dan (111,1) (111,0) dan (011,1) (000,1) dan (000,2) (000,1) dan (010,2) (100,1) dan (100,2) (100,1) dan (110,2) (010,1) dan (010,2) (010,1) dan (000,2) (110,1) dan (100,2) (110,1) dan (110,2) (001,1) dan (001,2) (001,1) dan (011,2) (101,1) dan (101,2) (101,1) dan (111,2) (011,1) dan (011,2) (011,1) dan (001,2) (111,1) dan (111,2) (111,1) dan (101,2) (000,2) dan (000,3) (000,2) dan (001,3) (100,2) dan (100,3) (100,2) dan (101,3) (010,2) dan (010,3) (010,2) dan (011,3) (110,2) dan (111,3) (110,2) dan (110,3) (001,2) dan (001,3) (001,2) dan (000,3) (101,2) dan (101,3) (101,2) dan (100,3) (011,2) dan (011,3) (011,2) dan (010,3) (111,2) dan (111,3) (111,2) dan (110,3) Mulailah membentuk jaringan kupu-kupu dimulai dari sisi kiri dengan mengunakan balikan angka biner. 15

26 16 Gambar 12 Bentuk jaringan kupu-kupu BF(3) Selanjutnya akan dibahas teorema yang digunakan untuk membuktikan bahwa jaringan kupu-kupu n-dimensi memiliki pelabelan d-lucky dan η dl (BF(n)) = 2. Sebelum membuktikan bahwa jaringan kupu-kupu n-dimensi memiliki pelabelan d-lucky dan η dl (BF(n)) = 2, akan diberikan tiga contoh kasus yang berbeda untuk mengilustrasikan pelabelan d-lucky pada jaringan kupu-kupu. Kasus 1: Pelabelan d-lucky pada jaringan kupu-kupu (BF(1)). Pada level 0 semua simpul diberi label 1 dan pada level 1 semua simpul diberi label 2, kemudian setiap simpul u dan v diberikan label l(u) = 1 dan l(v) = 2. Kasus BF(n) dengan n = 1, terdiri dari kasus level 0 dan level n ganjil. Akibatnya nilai dari c(u) dan c(v) adalah sebagai berikut: Untuk level 0: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6, simpul u incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul u berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2. Untuk level n ganjil: c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 4, simpul v incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 1, dinotasikan dengan N(v) = 1. Kemudian cek nilai c(u) dan c(v) di setiap simpul yang adjacent. Karena c(u) c(v) untuk setiap pasangan simpul yang saling adjacent, akibatnya jaringan kupu-kupu memiliki pelabelan d-lucky. Karena bilangan positif terbesar pada jaringan kupu-kupu adalah 2, maka bilangan d-lucky pada jaringan kupu-kupu adalah 2, dinotasikan dengan η dl (BF(1)) = 2. Gambar 13 Pelabelan d-lucky pada jaringan kupu-kupu BF(1)

27 17 Kasus 2: Pelabelan d-lucky pada jaringan kupu-kupu (BF(2)). Pada level 0 dan level 2, semua simpul diberi label 1 dan pada level 1 semua simpul diberi label 2, kemudian setiap simpul u dan v diberikan label l(u) = 1 dan l(v) = 2. Kasus BF(n) dengan n = 2, terdiri dari kasus level 0, level i ganjil, dan level n genap. Akibatnya nilai dari c(u) dan c(v) adalah sebagai berikut: Untuk level 0: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6, simpul u incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul u berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2. Untuk level i ganjil: c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 8, simpul v incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 1, dinotasikan dengan N(v) = 1. Untuk level n genap: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6, simpul u incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul u berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2. Kemudian cek nilai c(u) dan c(v) di setiap simpul yang adjacent. Karena c(u) c(v) untuk setiap pasangan simpul yang saling adjacent, akibatnya jaringan kupu-kupu memiliki pelabelan d-lucky. Karena bilangan positif terbesar pada jaringan kupu-kupu adalah 2, maka bilangan d-lucky pada jaringan kupu-kupu adalah 2, dinotasikan dengan η dl (BF(2)) = 2. Gambar 14 Pelabelan d-lucky pada jaringan kupu-kupu BF(2) Kasus 3: Pelabelan d-lucky pada jaringan kupu-kupu (BF(3)). Pada level 0 dan level 2, semua simpul diberi label 1. Pada level 1 dan level 3, semua simpul diberi label 2. Kemudian setiap simpul u dan v diberikan label l(u) = 1 dan l(v) = 2. Kasus BF(n) dengan n = 3, terdiri dari kasus level 0, level i ganjil, level i genap, level n ganjil. Akibatnya nilai dari c(u) dan c(v) adalah sebagai berikut: Untuk level 0: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6, simpul u incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul u berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2. Untuk level i ganjil: c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 8, simpul v incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 1, dinotasikan dengan N(v) = 1.

28 18 Untuk level i genap: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 12, simpul u incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2. Untuk level n ganjil: c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 4, simpul v incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 1, dinotasikan dengan N(v) = 1. Kemudian cek nilai c(u) dan c(v) di setiap simpul yang adjacent. Karena c(u) c(v) untuk setiap pasangan simpul yang saling adjacent, akibatnya jaringan kupu-kupu memiliki pelabelan d-lucky. Karena bilangan positif terbesar pada jaringan kupu-kupu adalah 2, maka bilangan d-lucky pada jaringan kupu-kupu adalah 2, dinotasikan dengan η dl (BF(3)) = 2. Gambar 15 Pelabelan d-lucky pada jaringan kupu-kupu BF(3) Berikut diberikan langkah-langkah pelabelan d-lucky pada jaringan kupukupu BF(n). Langkah 1: Berikan label pada simpul di setiap level berturut-turut dengan 1 dan 2 secara bergantian secara vertikal dan dimulai dari level 0 hingga level n. Langkah 2: Misalkan sisi e terdiri dari simpul u dan simpul v, dinotasikan dengan e = (u, v). Selanjutnya berikan label pada simpul u dengan 1 dan simpul v dengan 2, dinotasikan dengan l(u) = 1 dan l(v) = 2, maka anggota tetangga terbuka dari simpul u berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2, dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 1, dinotasikan dengan N(v) = 1. Langkah 3: Tentukan nilai dari c(u) dan c(v) di setiap level dengan aturan c(u) = v N(u) l(v) + d(u) dan c(v) = u N(v) l(u) + d(v) dengan d(u) dan d(v) adalah derajat dari simpul u dan simpul v. Untuk menentukan nilai dari c(u) dan c(v) dibagi menjadi 3 kasus, yaitu kasus di level 0, di level i, terdapat i ganjil dan i genap, serta di level n, terdapat n genap dan n ganjil. Langkah 4: Setelah didapatkan nilai dari masing-masing c(u) dan c(v), cek nilai c(u) dan c(v) untuk setiap pasangan simpul yang adjacent, jika c(u) c(v), untuk setiap pasangan simpul u dan v yang saling adjacent maka diperoleh label l

29 sebagai d-lucky dinotasikan dengan η dl (BF(n)). Jika c(u) = c(v) maka ulangi langkah 3 hingga syarat pelabelan d-lucky terpenuhi. Langkah 5: Ulangi langkah 4 hingga semua simpul pada jaringan kupu-kupu memiliki label d-lucky. Selanjutnya akan dibuktikan Teorema 2.7 yang menyatakan bahwa jaringan kupu-kupu n-dimensi memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d-lucky η dl (BF(n)) = 2. Teorema 2 Jaringan kupu-kupu n-dimensi BF(n), memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d-lucky η dl (BF(n)) = 2. (Miller et al. 2015) Bukti BF(n) memiliki level dimulai dari level 0 sampai dengan level n. Simpul di setiap level berturut-turut dilabeli dengan 1 dan 2 secara bergantian dan bergerak secara vertikal. Tercatat bahwa setiap sisi e = (u, v) memiliki ujung (simpul) di level i dan ujung lainnya di level i + 1 atau i 1 (jika ada) dengan 0 i n. Kasus level 0: Misal u di level 0, u incident dengan 2 sisi, 1 sisi lurus dan 1 sisi silang dan berakhir di level 1. Diberikan label simpul u dengan 1, dinotasikan l(u) = 1 dengan u v dan anggota tetangga terbuka simpul u berlabel 2, dinotasikan N(u) = 2, maka c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6 dengan d(u) adalah derajat dari u. Kasus level i ganjil: Misal v di level i ganjil dan berakhir di level i 1 dan i + 1. Diberikan label simpul v dengan 2, dinotasikan l(v) = 2 dengan u v dan anggota tetangga terbuka simpul v berlabel 1 dinotasikan N(v) = 1, v incident dengan 4 sisi, 2 sisi silang dan 2 sisi lurus,maka c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 8 dengan d(v) adalah derajat dari v. Kasus level i genap: Misal u di level i genap dan berakhir di level i 1 dan i + 1. Diberikan label simpul u dengan 1, dinotasikan l(u) = 1 dengan u v dan anggota tetangga terbuka simpul u berlabel 2 dinotasikan N(u) = 2, u incident dengan 4 sisi, 2 sisi silang dan 2 sisi lurus maka c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 12 dengan d(u) adalah derajat dari u. Kasus level n ganjil: Misal v di level n ganjil, v incident dengan 2 sisi, 1 sisi silang dan 1 sisi lurus serta berakhir di level n 1. Diberikan label simpul v dengan 2, dinotasikan l(v) = 2 dengan u v dan anggota tetangga terbuka simpul v berlabel 1 dinotasikan N(v) = 1, maka c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 4 dengan d(v) adalah derajat dari v. 19

30 20 Kasus level n genap: Misal v di level n genap, v incident dengan 2 sisi, 1 sisi silang dan 1 sisi lurus dan berakhir di level n 1. Diberikan label simpul u dengan 1, dinotasikan l(u) = 1 dengan u v dan anggota tetangga terbuka simpul v berlabel 2, dinotasikan N(v) = 2 maka c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6 dengan d(u) adalah derajat dari u. Berdasarkan kasus tersebut disimpulkan bahwa nilai c(u) dan nilai c(v) untuk setiap pasangan simpul yang adjacent tidak sama, dinotasikan c(u) c(v). Akibatnya jaringan kupu-kupu n-dimensi BF(n) memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d-lucky η dl (BF(n)) = 2. Berdasarkan kasus sebelumnya, algoritme yang dapat digunakan untuk menyelesaikan langkah-langkah pelabelan d-lucky BF(n) dapat dilihat pada Gambar 16. Gambar 16 Diagram pembentukan jaringan kupu-kupu BF(n)

31 Pelabelan d-lucky pada Jaringan Benes Jaringan Benes adalah sebuah graf, dinotasikan dengan BB(n), dengan BB(n) merupakan back-to-back dari jaringan kupu-kupu, yang dilambangkan dengan BF(n). Yang dimaksud dengan back-to-back dari jaringan kupu-kupu adalah sebuah graf yang dicerminkan dengan awalan (kepala) graf yang saling bertemu di bagian tengah jaringan. Jaringan Benes memiliki 2n + 1 level, masingmasing dengan 2 n simpul. Jaringan Benes terdiri atas 2 jaringan kupu-kupu yang berhadap-hadapan, dengan kupu-kupu pertama merupakan cerminan dari kupukupu kedua (Miller et al. 2015). Berdasarkan definisi pembentukan jaringan Benes dapat dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1: Tentukan himpunan simpul BB(n) dengan menentukan himpunan simpul V(Q n ) terlebih dahulu, dengan V(BB(n)) = {(x, i) x V(Q n ), 0 i n}. Langkah 2: Berdasarkan langkah 1, tentukan balikan angka biner dari himpunan simpul V(Q n ) mulai dari yang terkecil hingga yang terbesar. Arti dari balikan angka biner adalah membaca urutan angka biner dari belakang. Langkah 3: Tentukan sisi yang adjacent pada setiap level dengan menggunakan aturan sebagai berikut : Langkah 3.1: Level 0 sampai dengan level n merupakan back to back dari BF(n) akibatnya berdasarkan pembentukan jaringan kupu-kupu untuk menentukan sisi yang adjacent dimulai dari level n menuju level 0 dengan cara sebagai berikut: Dua simpul (x, i) dan (y, j) dihubungkan oleh sebuah sisi dalam BB(n) jika dan hanya jika j = i 1 dan dapat juga dalam kondisi (i) (ii) x = y, atau x berbeda dari y tepat pada angka biner ke 2 k di level j, dengan k = n i. Untuk x = y, simpul dihubungkan dengan sisi vertikal (langsung). Jika x y maka simpul dihubungkan dengan sisi silang (diagonal). Untuk i tetap, simpul (x, i) adalah simpul pada level i dengan 0 i n. Langkah 3.2: Level n sampai dengan level 2n + 1 merupakan jaringan kupu-kupu, akibatnya berdasarkan pembentukan jaringan kupu-kupu sisi yang adjacent di tentukan dengan cara sebagai berikut: Dua simpul (x, i) dan (y, j) dihubungkan oleh sebuah sisi dalam BF(n) jika dan hanya jika j = i + 1 dan dapat juga dalam kondisi (i) (ii) x = y, atau x berbeda dari y tepat pada angka biner ke 2 k di level j, dengan k = i n. Untuk x = y, simpul dihubungkan dengan sisi vertikal (langsung). Jika x y maka simpul dihubungkan dengan sisi silang (diagonal). Untuk i tetap, simpul (x, i) adalah simpul pada level i dengan 0 i n. Langkah 4: Mulailah membentuk jaringan Benes dimulai dari sisi kiri dengan menggunakan balikan angka biner. 21

32 22 Berikut akan diberikan contoh tiga kasus yang berbeda untuk memperoleh bentuk dari jaringan Benes. Kasus 1: Bentuk jaringan Benes BB(1). Diketahui himpunan simpul dari V(Q 1 ) = {0,1}, akibatnya himpunan simpul BB(1) yaitu V(BB(1)) = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1)(1,2)}. Selanjutnya tentukan balikan angka biner pada himpunan simpul V(Q 1 ). Tabel 5 Angka biner pada jaringan Benes BB(1) Angka biner Balikan angka biner Dikarenakan level 0 sampai dengan level 1 merupakan back to back BF(1) maka penentuan sisi yang adjacent dimulai dari level 1 menuju level 0, akibatnya dua simpul (x, i) dan (y, j) dengan i dan j adalah level dari jaringan Benes akan saling adjacent jika dan hanya jika j = i 1 saat x = y atau x y tepat di level j. Akibatnya setiap simpul dalam BB(1) akan saling adjacent jika dalam kondisi sebagai berikut: (0,1) dan (0,0) adjacent. Karena x = y = 0 akibatnya (0,1) dan (0,0) adjacent dengan sisi vertikal. (0,1) dan (1,0) adjacent. Karena x = 0 y = 1 dan karena x = 0 berbeda dari y = 1, dengan angka biner 2 0 = 1 di level 0 dengan k = 1 1 = 0, akibatnya (0,1) dan (1,0) adjacent dengan sisi diagonal pada angka biner pertama di level nol. (1,1) dan (1,0) adjacent. Karena x = y = 1 akibatnya (1,1) dan (1,0) adjacent dengan sisi vertikal. (1,1) dan (0,0) adjacent. Karena x = 1 y = 0 dan karena x = 1 berbeda dari y = 0, dengan angka biner 2 0 = 1 di level 0 dengan k = 1 1 = 0, akibatnya (1,1) dan (0,0) adjacent dengan sisi diagonal pada angka biner pertama di level nol. Dikarenakan level 1 sampai dengan level 2 juga merupakan jaringan kupukupu, akibatnya dua simpul (x, i) dan (y, j) dengan i dan j adalah level dari jaringan Benes akan saling adjacent jika dan hanya jika j = i + 1 saat x = y atau x y tepat di level j. Akibatnya setiap simpul dalam BB(1) akan saling adjacent jika dalam kondisi sebagai berikut: (0,1) dan (0,2) adjacent. Karena x = y = 0 akibatnya (0,1) dan (0,2) adjacent dengan sisi vertikal. (0,1) dan (1,2) adjacent. Karena x = 0 y = 1 dan karena x = 0 berbeda dari y = 1, dengan angka biner 2 0 = 1 di level 2 dengan k = 1 1 = 0, akibatnya (0,1) dan (1,2) adjacent dengan sisi diagonal pada angka biner pertama di level dua. (1,1) dan (1,2) adjacent. Karena x = y = 1 akibatnya (1,1) dan (1,2) adjacent dengan sisi vertikal. (1,1) dan (0,2) adjacent. Karena x = 1 y = 0 dan karena x = 1 berbeda dari y = 0, dengan angka biner 2 0 = 1 di level 2 dengan k = 1 1 = 0 akibatnya (1,1) dan (0,2) adjacent dengan sisi diagonal pada angka biner pertama di level dua. Mulailah membentuk jaringan Benes dimulai dari sisi kiri dengan mengunakan balikan angka biner.

33 23 Kasus 2: Bentuk jaringan Benes BB(2). Gambar 17 Bentuk jaringan Benes BB(1) Diketahui himpunan simpul dari V(Q 2 ) = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}, akibatnya himpunan simpul BB(2) yaitu V(BB(2)) = {(00,0), (00,1), (00,2), (00,3), (00,4)(01,0), (01,1), (01,2), (01,3), (01,4), (10,0), (10,1), (10,2), (10,3), (10,4), (11,0), (11,1), (11,2), (11,3), (11,4)}. Selanjutnya tentukan balikan angka biner pada himpunan simpul V(Q 2 ). Tabel 6 Angka biner pada jaringan Benes BB(2) Angka biner Balikan angka biner Dikarenakan level 0 sampai dengan level 2 merupakan back to back BF(2) maka penentuan sisi yang adjacent dimulai dari level 2 menuju level 0, akibatnya dua simpul (x, i) dan (y, j) dengan i dan j adalah level dari jaringan Benes akan saling adjacent jika dan hanya jika j = i 1 saat x = y atau x y tepat di level j. Dalam kondisi yang sama seperti pada jaringan Benes BB(1) dapat diperoleh simpul yang adjacent pada level 0 sampai dengan level 2 untuk bentuk jaringan Benes BB(2) sebagai berikut: (00,2) dan (00,1) (00,2) dan (10,1) (10,2) dan (10,1) (10,2) dan (00,1) (01,2) dan (01,1) (01,2) dan (11,1) (11,2) dan (01,1) (11,2) dan (11,1) (00,1) dan (00,0) (00,1) dan (01,0) (10,1) dan (10,0) (10,1) dan (11,0) (01,1) dan (01,0) (01,1) dan (00,0) (11,1) dan (11,0) (11,1) dan (10,0)

34 24 Dikarenakan level 2 sampai dengan level 4 juga merupakan jaringan kupukupu, akibatnya dua simpul (x, i) dan (y, j) dengan i dan j adalah level dari jaringan Benes akan saling adjacent jika dan hanya jika j = i + 1 saat x = y atau x y tepat di level j. Dalam kondisi yang sama seperti pada jaringan Benes BB(1) dapat diperoleh simpul yang adjacent pada level 2 sampai dengan level 4 untuk bentuk jaringan Benes BB(2) sebagai berikut: (00,2) dan (00,3) (00,2) dan (10,3) (10,2) dan (10,3) (10,2) dan (00,3) (01,2) dan (01,3) (01,2) dan (11,3) (11,2) dan (01,3) (11,2) dan (11,3) (00,3) dan (00,4) (00,3) dan (01,4) (10,3) dan (10,4) (10,3) dan (11,4) (01,3) dan (01,4) (01,3) dan (00,4) (11,3) dan (11,4) (11,3) dan (10,4) Mulailah membentuk jaringan Benes dimulai dari sisi kiri dengan mengunakan balikan angka biner. Kasus 3: Bentuk jaringan Benes BB(3). Gambar 18 Bentuk jaringan Benes BB(2) Diketahui himpunan simpul dari V(Q 3 ) ={(0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,1)}, akibatnya himpunan simpul BB(3) yaitu V(BB(3)) = {(000,0), (000,1), (000,2), (000,3), (000,4), (000,5), (000,6), (010,0), (010,1), (010,2), (010,3), (010,4), (010,5), (010,6), (100,0),

35 (100,1), (100,2), (100,3), (100,4), (100,5), (100,6), (110,0), (110,1), (110,2), (110,3), (110,4), (110,5), (110,6), (001,0), (001,1), (001,2), (001,3), (001,4), (001,5), (001,6), (011,0), (011,1), (011,2), (011,3), (011,4), (011,5), (011,6), (101,0), (101,1), (101,2), (101,3), (101,4), (101,5), (101,6)(111,0), (111,1), (111,2), (111,3), (111,4), (111,5), (111,6)}. Selanjutnya tentukan balikan dari angka biner pada himpunan simpul V(Q 3 ). Tabel 7 Angka biner pada jaringan Benes BB(3) Angka biner Balikan angka biner Dikarenakan level 0 sampai dengan level 3 merupakan back to back BF(3) maka penentuan sisi yang adjacent dimulai dari level 3 menuju level 0, akibatnya dua simpul (x, i) dan (y, j) dengan i dan j adalah level dari jaringan Benes akan saling adjacent jika dan hanya jika j = i 1 saat x = y atau x y tepat di level j. Dalam kondisi yang sama seperti pada jaringan Benes BB(1) dapat diperoleh simpul yang adjacent pada level 0 sampai dengan level 3 untuk bentuk jaringan Benes BB(3) sebagai berikut : (000,3) dan (000,2) (000,3) dan (100,2) (100,3) dan (100,2) (100,3) dan (000,2) (010,3) dan (010,2) (010,3) dan (110,2) (110,3) dan (010,2) (110,3) dan (110,2) (001,3) dan (001,2) (001,3) dan (101,2) (101,3) dan (101,2) (101,3) dan (001,2) (011,3) dan (011,2) (011,3) dan (111,2) (111,3) dan (111,2) (111,3) dan (011,2) (000,2) dan (000,1) (000,2) dan (010,1) (100,2) dan (100,1) (100,2) dan (110,1) (010,2) dan (010,1) (010,2) dan (000,1) (110,2) dan (100,1) (110,2) dan (110,1) (001,2) dan (001,1) (001,2) dan (011,1) (101,2) dan (101,1) (101,2) dan (111,1) (011,2) dan (011,1) (011,2) dan (001,1) (111,2) dan (111,1) (111,2) dan (101,1) (000,1) dan (000,0) (000,1) dan (001,0) (100,1) dan (100,0) (100,1) dan (101,0) (010,1) dan (010,0) (010,1) dan (011,0) (110,1) dan (111,0) (110,1) dan (110,0) (001,1) dan (001,0) (001,1) dan (000,0) (101,1) dan (101,0) (101,1) dan (100,0) (011,1) dan (011,0) (011,1) dan (010,0) (111,1) dan (111,0) (111,0) dan (110,0) 25

36 26 Dikarenakan level 3 sampai dengan level 6 juga merupakan jaringan kupukupu, akibatnya dua simpul (x, i) dan (y, j) dengan i dan j adalah level dari jaringan Benes akan saling adjacent jika dan hanya jika j = i + 1 saat x = y atau x y tepat di level j. Dalam kondisi yang sama seperti pada jaringan Benes BB(1) dapat diperoleh simpul yang adjacent pada level 3 sampai dengan level 6 untuk bentuk jaringan Benes BB(3) sebagai berikut : (000,3) dan (000,4) (000,3) dan (100,4) (100,3) dan (100,4) (100,3) dan (000,4) (010,3) dan (010,4) (010,3) dan (110,4) (110,3) dan (010,4) (110,3) dan (110,4) (001,3) dan (001,4) (001,3) dan (101,4) (101,3) dan (101,4) (101,3) dan (001,4) (011,3) dan (011,4) (011,3) dan (111,4) (111,3) dan (111,4) (111,3) dan (011,4) (000,4) dan (000,5) (000,4) dan (010,5) (100,4) dan (100,5) (100,4) dan (110,5) (010,4) dan (010,5) (010,4) dan (000,5) (110,4) dan (100,5) (110,4) dan (110,5) (001,4) dan (001,5) (001,4) dan (011,5) (101,4) dan (101,5) (101,4) dan (111,5) (011,4) dan (011,5) (011,4) dan (001,5) (111,4) dan (111,5) (111,4) dan (101,5) (000,5) dan (000,6) (000,5) dan (001,6) (100,5) dan (100,6) (100,5) dan (101,6) (010,5) dan (010,6) (010,5) dan (011,6) (110,5) dan (111,6) (110,5) dan (110,6) (001,5) dan (001,6) (001,5) dan (000,6) (101,5) dan (101,6) (101,5) dan (100,6) (011,5) dan (011,6) (011,5) dan (010,6) (111,5) dan (111,6) (111,5) dan (110,6) Mulailah membentuk jaringan Benes dimulai dari sisi kiri dengan mengunakan balikan angka biner. Gambar 19 Bentuk jaringan Benes BB(3)

37 Selanjutnya akan dibahas teorema yang digunakan untuk membuktikan bahwa jaringan Benes n-dimensi memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d- lucky η dl (BB(n)) = 2. Sebelum membuktikan bahwa jaringan Benes n-dimensi memiliki pelabelan d-lucky dengan bilangan d-lucky η dl (BB(n)) = 2, akan diberikan tiga contoh kasus yang berbeda untuk mengilustrasikan pelabelan d-lucky pada jaringan Benes. Kasus 1: Pelabelan d-lucky pada jaringan Benes (BB(1)). Pada level 0 dan level 2 semua simpul diberi label 1 dan pada level 1 semua simpul diberi label 2, kemudian setiap simpul u dan v diberikan label l(u) = 1 dan l(v) = 2. Kasus BB(n) dengan n = 1, terdiri dari kasus level 0, level i ganjil dan level n. Akibatnya nilai dari c(u) dan c(v) adalah sebagai berikut: Untuk level 0: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6, simpul u incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul u berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2. Untuk level i ganjil: c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 8, simpul v incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul u berlabel 1, dinotasikan dengan N(v) = 1. Untuk level n: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6, simpul u incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 2, dinotasikan dengan N(v) = 2. Kemudian cek nilai c(u) dan c(v) di setiap simpul yang adjacent. Karena c(u) c(v) untuk setiap pasangan simpul yang saling adjacent, akibatnya jaringan Benes memiliki pelabelan d-lucky. Karena bilangan positif terbesar pada jaringan Benes adalah 2, maka bilangan d-lucky pada jaringan Benes adalah 2, dinotasikan dengan η dl (BB(1)) = Gambar 20 Pelabelan d-lucky pada jaringan Benes BB(1) Kasus 2: Pelabelan d-lucky pada jaringan Benes (BB(2)). Pada level 0, level 2, dan level 4 semua simpul diberi label 1 dan pada level 1 dan level 3 semua simpul diberi label 2, kemudian setiap simpul u dan v diberikan label l(u) = 1 dan l(v) = 2. Kasus BB(n) dengan n = 2, terdiri dari

38 28 kasus level 0, level i ganjil, level i genap, dan level n genap. Akibatnya nilai dari c(u) dan c(v) adalah sebagai berikut: Untuk level 0: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6, simpul u incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul u berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2. Untuk level i ganjil: c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 8, simpul v incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 1, dinotasikan dengan N(v) = 1. Untuk level i genap: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 12, simpul u incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2. Untuk level i ganjil: c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 8, simpul v incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 1, dinotasikan dengan N(v) = 1. Untuk level n: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6, simpul u incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul u berlabel 2, dinotasikan dengan N(v) = 2. Kemudian cek nilai c(u) dan c(v) di setiap simpul yang adjacent. Karena c(u) c(v) untuk setiap pasangan simpul yang saling adjacent, akibatnya jaringan Benes memiliki pelabelan d-lucky. Karena bilangan positif terbesar pada jaringan Benes adalah 2, maka bilangan d-lucky pada jaringan Benes adalah 2, dinotasikan dengan η dl (BB(2)) = 2. Gambar 21 Pelabelan d-lucky pada jaringan Benes BB(2) Kasus 3: Pelabelan d-lucky pada jaringan Benes (BB(3)). Pada level 0, level 2, level 4, dan level 6 semua simpul diberi label 1 dan pada level 1, level 3, dan level 5 semua simpul diberi label 2, kemudian setiap simpul u dan v diberikan label l(u) = 1 dan l(v) = 2. Kasus BB(n) dengan n = 3, terdiri dari kasus level 0, level i ganjil, level i genap, level n ganjil dan level n ganjil. Akibatnya nilai dari c(u) dan c(v) adalah sebagai berikut: Untuk level 0:

39 c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6, simpul u incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul u berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2. Untuk level i ganjil: c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 8, simpul v incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 1, dinotasikan dengan N(v) = 1. Untuk level i genap: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 12, simpul u incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2. Untuk level i ganjil: c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 8, simpul v incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 1, dinotasikan dengan N(v) = 1. Untuk level i genap: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 12, simpul u incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 2, dinotasikan dengan N(u) = 2. Untuk level i ganjil: c(v) = u N(v) l(u) + d(v) = 8, simpul v incident dengan 4 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul v berlabel 1, dinotasikan dengan N(v) = 1. Untuk level n: c(u) = v N(u) l(v) + d(u) = 6, simpul u incident dengan 2 sisi dan anggota tetangga terbuka dari simpul u berlabel 2, dinotasikan dengan N(v) = 2. Kemudian cek nilai c(u) dan c(v) di setiap simpul yang adjacent. Karena c(u) c(v) untuk setiap pasangan simpul yang saling adjacent, akibatnya jaringan Benes memiliki pelabelan d-lucky. Karena bilangan positif terbesar pada jaringan Benes adalah 2, maka bilangan d-lucky pada jaringan Benes adalah 2, dinotasikan dengan η dl (BB(3)) = Gambar 22 Pelabelan d-lucky pada jaringan Benes BB(3)