BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang bernorm, sifat topologi pada C[a, b] sebagai ruang bernorm, beserta contohnya. Sub-bab C menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang metrik dan sifat topologi pada C[a, b] sebagai ruang metrik. A. Konsep Dasar C[a, b] pada Ruang Vektor C[a, b] menyatakan himpunan semua fungsi bernilai real yang terdefinisi dan kontinu pada domain terbatas atau pada interval tertutup [a, b]. Dalam kasus ini himpunan semestanya adalah himpunan fungsi-fungsi. Jumlah f + g dari dua fungsi f, g C[a, b] didefinisikan oleh : (f + g)(x) = f(x) + g(x), x [a, b] Sebab penjumlahan dua fungsi kontinu adalah kontinu. Kemudian jika f C[a, b] dan k R, maka perkalian kf didefinisikan oleh : (kf)(x) = kf(x), x [a, b] Sebab perkalian skalar dengan fungsi kontinu adalah kontinu. (Wono Setya Budi, 1995). Dari konsep tersebut dan menurut Definisi 2.1.1, maka diperoleh suatu pernyataan berupa Fakta 3.1.1 sebagai berikut 32
Fakta 3.1.1 Diberikan C[a, b] yang merupakan himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar, maka C[a, b] dengan kedua operasi tersebut merupakan suatu ruang vektor. Bukti : Untuk sebarang f, g, h C[a, b] dan r, s R, maka (i) (f + g)(x) = f(x) + g(x) ( definisi penjumlahan) = g(x) + f(x) = (g + f)(x) ( definisi penjumlahan ) (ii) [(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) ( definisi penjumlahan ) = f(x) + g(x) + h(x) ( definisi penjumlahan ) = f(x) + (g + h)(x) ( definisi penjumlahan ) = [f + (g + h)](x) ( definisi penjumlahan ) (iii)terdapat elemen identitas θ C[a, b] sedemikian sehingga (f + θ)(x) = f(x) + θ(x) = f(x) + 0 = f(x) (iv) Untuk setiap f C[a, b] terdapat f t (x) C[a, b] sedemikian sehingga (f + f t )(x) = 0 f(x) + f t (x) = 0 f(x) + f(x) + f t (x) = f(x) f t (x) = f(x) (v) [r(f + g)](x) = r(f + g)(x) ( definisi perkalian skalar ) 33
= r[f(x) + g(x)] = rf(x) + rg(x) = (rf + rg)(x) (vi)[(r + s)f](x) = (r + s)f(x) ( definisi perkalian skalar ) = rf(x) + sf(x) = (rf + sf)(x) (vii) [r(sf)](x) = r(sf)(x) = rsf(x) = [(rs)f](x) (viii) Ambil 1 R, maka (1f)(x) = 1f(x) = f(x) Contoh 3.1.2 Diberikan C[ 1,1] merupakan himpunan semua fungsi kontinu dengan domain terbatas atau pada interval tertutup [ 1,1], maka C[ 1,1] merupakan suatu ruang vektor. 1. Subruang pada C[a, b] Konsep subruang C[a, b] didasarkan menurut Definisi 2.1.5 dan Teorema 2.1.6 serta telah ditunjukkan pembuktian bahwa C[a, b] merupakan ruang vektor melalui Fakta 3.1.1, sehingga penjelasan subruang pada C[a, b] dengan memberikan contoh. Berikut dua contoh yang masing-masing subruang dan bukan subruang pada C[a, b] 34
Contoh 3.1.3 Diberikan S 1 C[ 1,1] dengan S 1 merupakan himpunan fungsi genap yang kontinu dan bernilai real pada interval tertutup [ 1,1] yang didefinisikan sebagai berikut : S 1 = {f: C[ 1,1] R f( x) = f(x), x [ 1,1]} S 1 merupakan subruang dari C[ 1,1]. Bukti : Ambil sebarang f 1, f 2 S 1 dan k R. Akan ditunjukkan f 1 + f 2 S 1 dan kf 1 S 1. Karena f 1 dan f 2 adalah fungsi genap maka f 1 ( x) = f 1 (x) dan f 2 ( x) = f 2 (x) untuk setiap x [ 1,1]. Sehingga (i) (f 1 + f 2 )( x) = f 1 ( x) + f 2 ( x) ( definisi penjumlahan ) = f 1 (x) + f 2 (x) = (f 1 + f 2 )(x) S 1 ( definisi penjumlahan ) (ii) (kf 1 )( x) = kf 1 ( x) ( definisi perkalian skalar ) = kf 1 (x) = (kf 1 )(x) S 1 ( definisi perkalian skalar ). Contoh 3.1.4 Diberikan C[ 1,1] suatu ruang vektor dan Z C[ 1,1] dengan Z = {f C[ 1,1] f(1) = 1} Z bukan subruang di C[ 1,1], sebab : 35
Z tidak memenuhi syarat definisi penjumlahan yaitu Jika g Z maka (f + g)(1) = 1 Akan tetapi (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 2 1. 2. Kebebasan Linear pada C[a, b] Konsep kombinasi linear, bebas linear, dan bergantung linear pada C[a, b] didasarkan dari Definisi 2.1.8, Definisi 2.1.10, dan Definisi 2.1.12. Karena diketahui bahwa C[a, b] merupakan ruang vektor, Menurut Definisi 2.1.8 maka himpunan fungsi pada C[a, b] dapat membentuk kombinasi linear, berikut contohnya Contoh 3.1.5 Diberikan f C[ 1,1] dengan f(x) = x 2 x, untuk x [ 1,1], Kemudian diberikan vektor-vektor f 1 dan f 2 di C[ 1,1] dengan f 1 (x) = x 2 dan f 2 (x) = x, untuk x [ 1,1], maka f merupakan kombinasi linear dari vektorvektor f 1 dan f 2. Bukti : Jika diberikan skalar k 1 dan k 2, maka dibentuk persamaan k 1 f 1 (x) + k 2 f 2 (x) = f(x) k 1 x 2 + k 2 x = x 2 x Sehingga diperoleh nilai k 1 = 1 dan k 2 = 1 Jadi terbukti bahwa f merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor f 1 dan f 2. Selanjutnya akan dijelaskan mengenai kebebasan linear fungsi di C[a, b]. 36
Karena fungsi-fungsi dalam C[a, b] tidak semua berbentuk polinomial, maka untuk menentukan kebebasan linear dari fungsi-fungsi di C[a, b] dapat menggunakan turunan fungsi C (n 1) [a, b]. Definisi 3.1.6 (Steven J. Leon, 1998) Diberikan vektor f 1, f 2,, f n C (n 1) [a, b] dan didefinisikan fungsi W[f 1, f 2,, f n ](x) pada [a,b] dengan f 1 (x) f W[f 1, f 2,, f n ](x) = 1 (x) f (n 1) 1 (x) f 2 (x) f 2 (x) f 2 (n 1) (x) f n (x) f n (x) f (n 1) n (x) Fungsi W[f 1, f 2,, f n ] disebut Wronskian dari f 1, f 2,, f n. Turunan fungsi C (n 1) [a, b] dapat digunakan untuk menentukan kebebasan linear pada vektor yang berupa fungsi-fungsi di C[a, b] yaitu dengan memakai determinan dari fungsi tersebut. Jika fungsi f 1 (x), f 2 (x),, f n (x) adalah fungsi yang dapat diturunkan n 1 kali pada selang [a, b] dan andaikan f 1 (x), f 2 (x),, f n (x) adalah vektor di C[a, b] yang bergantung linear, maka ada skalar c 1, c 2,, c n yang tidak sama dengan 0 sedemikian sehingga c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) + + c n f n (x) = 0 (1) untuk setiap x [a, b]. Dengan menurunkan fungsi n 1 kali persamaan (1), diperoleh c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) + + c n f n (x) = 0 c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) + + c n f n (x) = 0 37
c 1 f 1 (n 1) (x) + c 2 f 2 (n 1) (x) + + c n f n (n 1) (x) = 0 untuk setiap x [a, b], maka persamaan matriks f 1 (x) f ( 1 (x) f (n 1) 1 (x) f 2 (x) f 2 (x) f 2 (n 1) (x) f n (x) c 1 0 f 2 (x) c 2 ) ( ) = ( 0 ) (2) f (n 1) n (x) c n 0 akan mempunyai penyelesaian nontrivial. Dengan kata lain jika f 1 (x), f 2 (x),, f n (x) bergantung linear untuk setiap x [a, b], maka matriks koefisiennya tidak memiliki invers, sebab determinan dari matriks koefisiennya sama dengan nol.(steven J. Leon, 1998) Selanjutnya diberikan Teorema sebagai berikut. Teorema 3.1.7 (Steven J. Leon, 1998) Diberikan vektor f 1, f 2,, f n C (n 1) [a, b]. Jika terdapat titik x di [a, b] sedemikian sehingga W[f 1, f 2,, f n ](x) 0, maka vektor f 1, f 2,, f n bebas linear. Bukti : Andaikan f 1, f 2,, f n bergantung linear, maka matriks koefisien di (2) tidak memiliki invers untuk setiap x [a, b], sehingga W[f 1, f 2,, f n ](x) sama dengan 0. Keterangan : Andaikan W[f 1, f 2,, f n ](x) = 0 maka f 1, f 2,, f n belum bisa ditentukan apakah bebas linear atau bergantung linear. 38
Contoh 3.1.6 Diberikan vektor f 1 (x) = 3, f 2 (x) = e x, dan f 3 (x) = sin x di C[ 1,1], maka vektor tersebut membentuk vektor yang bebas linear. Bukti : Diketahui f 1 (x) = 3, f 2 (x) = e x, dan f 3 (x) = sin x, maka 3 e x sin x W[3, e x, sin x] = 0 e x cos x = 3e x (sin x + cos x) 0 e x sin x Karena fungsi diatas tidak mempunyai nilai nol untuk setiap x [ 1,1], maka vektor-vektor tersebut bebas linear. Berikut diberikan contoh vektor bebas linear jika nilai Wronskian dari vektor bernilai nol. Contoh 3.1.7 Diberikan vektor f 1 (x) = x 2, f 2 (x) = x x di C[ 1,1], maka Gambar 3.1.1 Grafik f 1 (x) = x 2, f 2 (x) = x x di C[ 1,1] 39
W[x 2, x x ] = x2 x x 2x 2 x = 0 Karena fungsi diatas bernilai nol, maka belum dapat ditentukan apakah vektor tersebut bebas linear. Oleh karena itu perlu ditunjukkan bahwa ax 2 + bx x = 0 untuk setiap x [ 1,1]. Ambil x = 1 dan x = 1, maka a b = 0 (i) a + b = 0 (ii) Dari persamaan (i) diperoleh a = b, kemudian disubstitusikan ke persamaan (ii), sehingga akan diperoleh nilai b = 0 yang berakibat nilai a = 0. Jadi vektor-vektor tersebut bebas linear. Selanjutnya akan diberikan contoh vektor yang bergantung linear. Contoh 3.1.8 Diberikan vektor f 1 (x) = sin 2 x, f 2 (x) = cos 2 x, dan f 3 (x) = 2 di C[ 1,1]. Maka vektor-vektor tersebut bergantung linear, sebab : sin 2 x cos 2 x 2 W[sin 2 x, cos 2 x, 2] = sin 2x sin 2x 0 = 0 2 cos 2x 2 cos 2x 0 Karena fungsi diatas bernilai nol, maka belum bisa ditentukan bahwa vektor tersebut bergantung linear. Oleh karena itu perlu ditunjukkan untuk c 1 sin 2 x + c 2 cos 2 x + 2c 3 = 0 untuk setiap x [ 1,1]. Vektor yang bergantung linear cukup diberikan salah satu solusi yang nilai skalarnya tidak semua nol. 40
Andaikan c 1 = c 2, maka diperoleh c 1 (sin 2 x + cos 2 x) + 2c 3 = 0 Perlu diingat bahwa sin 2 x + cos 2 x = 1, maka c 1 + 2c 3 = 0 c 1 = 2c 3 Ambil c 3 = 1, maka c 2 = 2 dan c 3 = 2 Karena nilai skalar diatas tidak semua bernilai nol, maka vektor-vektor tersebut bergantung linear. Fakta 3.1.9 C[a, b] memuat tak berhingga vektor yang bebas linear. Bukti : Ambil P C[a, b] suatu ruang polinomial pada [a, b], maka {1, x, x 2, } P. Akan ditunjukkan P memuat tak berhingga banyak vektor yang bebas linear. Tahap pertama akan dibuat kombinasi linear dari {1, x, x 2, } P, ambil skalar c 1, c 2, c 3, sehingga diperoleh c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3 + = 0 untuk setiap x [a, b]. Selanjutnya menurunkan fungsi sebanyak (n 1) kali dari persamaan diatas, sehingga diperoleh system persamaan c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3 + = 0 c 2 + 2c 3 x + 3c 4 x 2 + 4c 5 x 3 + = 0 41
2c 3 + 6c 4 x + 12c 5 x 2 + 20c 6 x 3 + = 0 untuk setiap x [a, b]. Kemudian dituliskan dalam bentuk matriks menjadi berikut ini : 1 ( 0 0 x 1 0 c 1 0 c ) ( 2 c ) = ( 0 ). 3 0 1 1! 2! 3! Kemudian dicari nilai dari W[1, x, x 2, ] dan diperoleh 1 W[1, x, x 2, ] = 0 0 x 1 0 0 1 1! 2! 3! Wronskian diatas tidak mempunyai nilai 0 untuk setiap x [a, b], maka dapat disimpulkan bahwa {1, x, x 2, } bebas linear. Jadi P memuat tak berhingga banyak vektor yang bebas linear. Karena P memuat tak berhingga vektor yang bebas linear, dan P C[a, b], maka berakibat C[a, b] memuat tak berhingga vektor yang bebas linear. B. Konsep C[a, b] pada Ruang Bernorm Definisi 3.2.1 ( Darmawijaya, 2012 ) Sebuah fungsi C[a, b] R dikatakan norm* pada C[a, b] jika memenuhi sifat-sifat : (i) f 0, untuk setiap f C[a, b] (ii) f = 0 jika dan hanya jika f = 0 42
(iii) αf = α f, untuk setiap f C[a, b], α R (iv) f + g f + g, untuk setiap f, g C[a, b]. Definisi 3.2.2 Diberikan f C[a, b], dan didefinisikan f sebagai Maka f suatu norm*. f = max f(x) Bukti : Gambar 3.2.1 Grafik f = max f(x) (i) Ambil sebarang f C[a, b], maka f = max f(x) Jelas bahwa f(x) 0, maka f 0 (ii) ( ) Ambil sebarang f C[a, b] dan f = 0, maka Ini menunjukkan bahwa f(x) = 0 Akibatnya f(x) = 0 f = max f(x) = 0 43
( ) Diberikan f(x) = 0, maka f = max 0 = 0 (iii)ambil sebarang f C[a, b] dan α R, maka (iv) Ambil sebarang f, g C[a, b], maka αf = max αf(x) = max α f(x) = α max f(x) = α f f + g = max f(x) + g(x) Perlu dingat bahwa a + b a + b, maka Sehingga, f + g max [ f(x) + g(x) ] f + g = max f(x) + max g(x) f + g = f + g Contoh 3.2.3 Diberikan C[1,2] yang merupakan himpunan semua fungsi kontinu dengan domain terbatas atau pada interval tertutup [1,2], maka C[1,2] merupakan ruang bernorm Fakta 3.2.4 Diketahui bahwa C[a, b] suatu ruang bernorm, maka C[a, b] dengan persamaan f = max f(x) juga memenuhi sifat : 44
f g f g untuk f, g C[a, b], maka Bukti : Ambil sebarang f, g C[a, b], maka f = f max f(x) = max f(x) max f(x) max g(x) + max g(x) = max f(x) g(x) + g(x) Menurut Definisi 3.2.1 bagian (iv) maka diperoleh max f(x) max g(x) + max g(x) max [ f(x) g(x) + g(x) ] max f(x) max g(x) + max g(x) max Contoh 3.2.5 max f(x) max g(x) max f g f g f(x) g(x) + max g(x) f(x) g(x) Diberikan f 1, f 2 C[ 1,1] dengan f 1 (x) = x 2 dan f 2 (x) = x 2 + 1. Akan dibuktikan bahwa f 1 f 2 f 1 f 2. Bukti : f 1 f 2 = max 1 x 1 f 1(x) f 2 (x) = max 1 x 1 ( x2 ) ( x 2 + 1) = max 1 x 1 1 = max 1 x 1 1 = 1 45
f 1 f 2 = max 1 x 1 f 1(x) max 1 x 1 f 2(x) = max 1 x 1 x2 max 1 x 1 x2 + 1 = max 1 x 1 1 max 1 x 1 1 = 0 Sehingga f 1 f 2 = 1 0 = f 1 f 2. Jadi terbukti bahwa f 1 f 2 f 1 f 2. 1. Topologi C[a, b] sebagai Ruang Bernorm Konsep topologi C[a, b] sebagai ruang bernorm telah dijelaskan secara umum melalui Definisi 2.2.8 dan Definisi 2.2.9 serta karena C[a, b] dengan persamaan f = max f(x) terbukti memenuhi sifat pada norm melalui Fakta 3.2.2, maka penjelasan selanjutnya cukup dengan memberikan contoh supaya pemahaman C[a, b] sebagai ruang bernorm lebih mudah dipahami. Berikut contoh bahwa C[a, b] dengan persamaan f = max f(x) juga memenuhi definisi 2.2.8 Contoh 3.2.7 Diberikan (C[ 1,1], ) suatu ruang bernorm dan f C[ 1,1] dengan f(x) = x 2. Maka bola buka dengan pusat f dan jari-jari 5 yaitu B t (f, 5) = {g C[ 1,1] g f < 5} B t (x 2, 5) = {g C[ 1,1] max 1 x 1 g(x) x2 < 5} = {g C[ 1,1] max 1 x 1 [ g(x) x2 ] < 5} 46
= {g C[ 1,1] max g(x) 1 < 5} 1 x 1 = {g C[ 1,1] max g(x) < 6} 1 x 1 Selanjutnya diberikan contoh bahwa C[a, b] sebagai ruang norm memenuhi sifat pada Teorema 2.2.10 Contoh 3.2.10 Diberikan ruang vektor C[0, 1 ] dengan norm 2 f = max f(x). Diberikan juga 0 x 1 2 W suatu himpunan yang memuat semua polinomial pada [0, 1 ] yang merupakan 2 subruang dari C[0, 1 ]. W bukan himpunan tertutup, sebab : 2 Ambil P k W, k N yang didefinisikan sebagai k P k (x) = 1 n + 1 xn = 1 + 1 2 x + + 1 k + 1 xk, n=0 x [0, 1 2 ] Diberikan Maka untuk setiap x [0, 1 2 ], Sehingga P(x) = 1 n + 1 xn, x [0, 1 2 ] n=0 P(x) P k (x) = 1 n + 1 xn 1 n + 1 xn n=0 = 1 n + 1 xn n=k+1 k n=0 1 n n + 1 (1 2 ). n=k+1 47
Karena 1 n=k+1 n+1 (1 2 )n P P k = max P(x) P 0 x 1 k (x), x [0, 1 2 ] 2 1 n n + 1 (1 2 ) n=k+1 konvergen, maka diperoleh P P k 0, k Menurut teorema 2.2.10 maka W himpunan tidak tertutup. C. Konsep C[a, b] pada Ruang Metrik Pengertian C[a, b] telah dijelaskan sebelumnya pada konsep dasar C[a, b] pada ruang vektor. Kemudian menurut Kreyzig bahwa C[a, b] dengan fungsi-fungsi bernilai real f, g, yang merupakan fungsi dengan variabel bebas x yang terdefinisi dan kontinu pada interval tertutup [a, b] didefinisikan sebagai berikut d(f, g) = max f(x) g(x) Gambar 3.3.1 Grafik d(f, g) = max f(x) g(x) Maka menurut konsep tersebut dan menurut definisi 2.3.1, maka diperoleh 48
pernyataan berupa Fakta 3.3.1 sebagai berikut Fakta 3.3.1 Diberikan C[a, b] dengan fungsi d: C[a, b] C[a, b] [0, ) yang didefinisikan sebagai d(f, g) = max f(x) g(x) Maka d(f, g) merupakan metrik dan (C[a, b], d) merupakan ruang metrik. Bukti : Diberikan f(x), g(x), h(x) C[a, b] dengan x [a, b], maka (i) Jelas bahwa d(f, g) R. Ambil sebarang nilai real positif M sedemikian sehingga f(x) < M dan g(x) < M. Sehingga f(x) g(x) f(x) + g(x) < 2M Jadi jelas bahwa d(f, g) berhingga. Karena f(x) g(x) 0, maka jelas untuk d(f, g) 0. (ii) ( ) Diberikan d(f, g) = 0 Maka jelas untuk f(x) g(x) = 0, sehingga f(x) g(x) = 0. Akibatnya f(x) = g(x). ( ) Diberikan f(x) = g(x), maka (iii)d(f, g) = max f(x) g(x) d(f, f) = max f(x) f(x) = max 0 = 0. = max 1(g(x) f(x)) ( definisi perkalian skalar ) = max g(x) f(x) 49
= d(g, f) (iv) d(f, g) = max f(x) g(x) = max f(x) h(x) + h(x) g(x) Karena a + b a + b, maka max ( f(x) h(x) + h(x) g(x) ) = max f(x) h(x) + max h(x) g(x) = d(f, h) + d(h, g). Contoh 3.3.2 Diberikan C[ 1,1] yang merupakan himpunan semua fungsi kontinu dengan domain terbatas atau pada interval tertutup [ 1,1] dengan fungsi d yang didefinisikan menurut Fakta 3.3.1. Maka C[ 1,1] dengan fungsi d merupakan suatu ruang metrik. Konsep himpunan terbatas dalam suatu ruang metrik telah dijelaskan dalam bab II melalui definisi 2.3.3. Selanjutnya konsep himpunan terbatas C[a, b] pada ruang metrik akan dijelaskan dengan memberikan contoh melalui contoh 3.3.3 sebagai berikut. Contoh 3.3.3 Diberikan (C[ 1,1], d) suatu ruang metrik, dan Z C[ 1,1] dengan Z didefinisikan sebagai berikut Z = {f C[ 1,1] f(1) = 0} 50
Maka Z terbatas sebab terdapat bilangan positif M = 1 sedemikian sehingga Sehingga, d(f, g) = d(f, g) = d(f, g) = 0 < 1 max f(1) g(1) 1 x 1 max 0 1 x 1 1. Topologi C[a, b] sebagai Ruang Metrik Selanjutnya mengenai topologi pada ruang metrik C[a, b] telah dijelaskan secara umum melalui Definisi 2.3.7, Definisi 2.3.9, dan Definisi 2.3.11, sehingga pembahasan selanjutnya mengenai topoologi pada ruang metrik C[a, b] dengan memberikan contoh supaya pemahaman topologi pada ruang metrik Ca, b] lebih mudah dipahami, Berikut contoh bola terbuka pada ruang metrik C[a, b] Contoh 3.3.4 Diberikan (C[1,2], d) suatu ruang metrik dan f 1 C[1,2] dengan f(x) = 2, maka bola terbuka dengan pusat f 1 dan berjari-jari 4 yaitu B (f 1, 4) = {g C[1,2] max g(x) 2 < 4} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) 2 < 4} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) < 6} 1 x 2 Contoh 3.3.5 51
Diberikan (C[ 1,1], d), kemudian diberikan juga f 2 C[ 1,1] dengan f(x) = x 2 + 3x, maka bola terbuka dengan pusat f 2 dan berjari-jari 3 yaitu B (f 2, 3) = {g C[1,2] max 1 x 2 g(x) ( x2 + 3x) < 3} = {g C[1,2] max g(x) 2 < 3} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) 2 < 3} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) < 5} 1 x 2 Berikut contoh bahwa dua bola terbuka dengan pusat yang sama pada ruang metrik C[a, b], maka salah satu dari bola terbuka tersebut merupakan himpunan bagian dari bola terbuka yang lain. Contoh 3.3.6 Diberikan (C[0,1], d) dengan d(f 1, f 2 ) = max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) Untuk setiap f 1, f 2 C[0,1] merupakan ruang metrik. Misalkan B (f 1, r 1 ) dan B (f 1, r 2 ) merupakan bola terbuka pada (C[0,1], d) dengan pusat yang sama yaitu f 1 C[0,1] dengan r 1, r 2 > 0. Maka B (f 1, r 1 ) = {f 2 C[0,1] max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) < r 1 }, B (f 1, r 2 ) = {f 2 C[0,1] max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) < r 2 } (i) Jika r 1 = r 2 maka B (f 1, r 1 ) = {f 2 C[0,1] max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) < r 1 = r 2 } = B (f 1, r 2 ) 52
(ii) Jika r 1 > r 2 maka B (f 1, r 2 ) = {f 2 C[0,1] max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) < r 2 < r 1 } (iii)jika r 2 > r 1 maka = B (f 1, r 1 ) B (f 1, r 1 ) = {f 2 C[0,1] max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) < r 1 < r 2 } = B (f 1, r 2 ) Jika Contoh 3.3.4 menjelaskan bola terbuka pada ruang metrik C[a, b], maka Contoh 3.3.7 berikut akan menjelaskan bola tertutup pada ruang metrik C[a, b]. Contoh 3.3.7 Diberikan (C[1,2], d) suatu ruang metrik dan f 1 C[1,2] dengan f(x) = 1, maka bola tertutup dengan pusat f 1 dan berjari-jari 4 yaitu Contoh 3.3.8 B [f 1, 4] = {g C[1,2] max g(x) 1 4} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) 1 4} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) 5} 1 x 2 Diambil dari Contoh 3.3.7, diberikan (C[1,2], d) suatu ruang metrik dan f 2 C[1,2] dengan f 2 (x) = x 2 + 3x, maka bola tertutup dengan pusat f 2 dan berjarijari 3 yaitu B [f 2, 3] = {g C[1,2] max 1 x 2 g(x) ( x2 + 3x) 3} = {g C[1,2] max g(x) 2 3} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) 2 3} 1 x 2 53
= {g C[1,2] max g(x) 5} 1 x 2 2. Ruang Metrik Tidak Lengkap pada C[a, b] Pada subbab ini akan diberikan contoh bahwa (C[a, b], d) merupakan ruang metrik tidak lengkap melalui Contoh 3.3.9 sebagai berikut. Contoh 3.3.10 Diberikan (C[0,3], d) dengan d didefinisikan sebagai berikut 3 d(f, g) = f(x) g(x) dx 0 maka (C[0,3], d) merupakan ruang metrik tidak lengkap. Bukti : (i) Akan dijelaskan bahwa barisan pada (C[0,3], d) merupakan barisan Cauchy. Diberikan grafik fungsi f 1 (x) sebagai berikut Gambar 3.3.2 Grafik fungsi f 1 (x) Untuk x 1 [1, 1 + 3 0 ] = [1,2], maka fungsinya 3.1 f 1 (x) = y 1 = m 1 x 1 + c 54
Ambil ( x 1, y 1 ) = (1,0), dan m 1 = 1 3 0 3.1 Sehingga f 1 (x) = x 1, jadi f 1 (x) = { 0 = 1.1 + c c = 1 = 1 diperoleh 0, x [0,1] x 1, x [1,1 + 3 0 3.1 ] = [1,2] 1, x [1 + 3 0, 3] = [2,3] 3.1 Kemudian diberikan grafik fungsi untuk f 2 (x) sebagai berikut Gambar 3.3.3 Grafik fungsi f 2 (x) Untuk x 2 [1, 1 + 3 0 ] = [1, 3 ], maka fungsinya 3.2 2 f 2 (x) = y 2 = m 2 x 2 + c Ambil ( x 2, y 2 ) = (1,0), dan m 2 = 1 3 0 3.2 0 = 2.1 + c c = 2 Sehingga f 2 (x) = 2x 2 = 2(x 1), jadi = 2 diperoleh 55
f 2 (x) = { 0, x [0,1] 2(x 1), x [1,1 + 3 0 3.2 ] = [1, 3 2 ] 1, x [1 + 3 0 3.2, 3] = [3 2, 3] Kemudian f n (x) dan f m (x) dengan cara yang sama diperoleh grafik sebagai berikut Gambar 3.3.4 Grafik Fungsi f m (x) dan f n (x) dan f n (x) = f m (x) = { { 0, x [0,1] n(x 1), x [1,1 + 3 0 3n ] = [1,1 + 1 n ] 1, x [1 + 3 0 3n, 3] = [1 + 1 n, 3] 0, x [0,1] m(x 1), x [1,1 + 3 0 3m ] = [1,1 + 1 m ] 1, x [1 + 3 0 3m, 3] = [1 + 1 m, 3] Sehingga diperoleh {f 1 (x), f 2 (x),, f m (x),, f n (x),. } Merupakan suatu barisan di C[0,3]. Sekarang akan dibuktikan bahwa d(f m (x), f n (x)) < ε. 56
3 d(f m (x), f n (x)) = f m (x) f n (x) dx, m, n > 1 ε 0 Dari pendefinisian diatas dapat diketahui bahwa d(f m (x), f n (x)) merupakan luas area/daerah yang diarsir pada grafik dibawah ini. Gambar 3.3.5 Grafik Luas Daerah untuk d(f m (x), f n (x)) Untuk mengetahui luas daerah yang diarsir maka dibentuk bangun bidang sebagai berikut Gambar 3.3.6 Penampang Luas Daerah untuk d(f m (x), f n (x)) Sehingga diperoleh luas area sebagai berikut Misal L = Luas daerah yang diarsir pada Gambar 3.5, maka L = ( 1 2. 1. 1 n ) + (1. ( 1 m 1 n )) (1 2. 1. 1 m ) = 1 2n + 1 m 1 n 1 2m 57
= 1 2m 1 2n Jadi diperoleh bahwa d(f m (x), f n (x)) = 1 1 2m 2n Ambil sebarang ε > 0 sedimikian sehingga untuk setiap bilangan asli N > 1 ε dan m, n > N maka d(f m (x), f n (x)) = 1 2m 1 2n < 1 2m < 1 m < 1 N < ε Terbukti bahwa barisan pada C[0,3] merupakan barisan Cauchy. Akan dibuktikan bahwa barisan Cauchy pada C[0,3] diatas memiliki limit yaitu 0. Ambil sebarang ε > 0 sedemikian sehingga untuk setiap N > 1 ε dan m, n > N, maka ( 1 2m 1 1 ) 0 = ( 2n 2m 1 2n ) < 1 2m = 1 2m < 1 m < 1 N < ε Sehingga terbukti bahwa barisan Cauchy pada C[0,3] konvergen ke 0. Berikut gambar grafiknya Gambar 3.3.7 Grafik hasil barisan konvergen pada d(f m (x), f n (x)) 58
Akan tetapi, hal ini berakibat nilai dari f(1) = 1, ini merupakan kontradiksi dimana f(1) = 0, sehingga barisan Cauchy pada C[0,3] tidak konvergen. Jadi terbukti bahwa (C[0,3], d) merupakan ruang metrik tidak lengkap. 59