BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Konvek Definisi Suatu himpunan C di R n dikatakan konvek jika untuk setiap x, y C dan setiap bilangan real α, 0 < α < 1, titik αx + (1 - α)y C atau garis penghubung antara dua titik sebarang di himpunan tersebut masih terletak di dalam himpunan tersebut. Berikut adalah contoh suatu himpunan konvek: x 1 x 2 GAMBAR 2.1 Himpunan Konvek 2.2 Fungsi Konvek Definisi Suatu fungsi ƒ dikatakan konvek jika untuk setiap x 1, x 2 C dan untuk setiap α, 0 α 1 maka ƒ(αx + (1 - α)y) αƒ(x) + (1- α)ƒ(y)

2 adalah konvek. Definisi Suatu fungsi g dikatakan konkaf jika fungsi ƒ = - g Berikut adalah contoh fungsi konvek: f f(x) f(x 2 ) f(x1) 0 x 1 x 2 x GAMBAR 2.2. Fungsi Konvek Berikut adalah contoh fungsi konkaf: g g(x) g(x 2 ) g(x1) g(x) 0 x 1 x 2 x GAMBAR 2.3. Fungsi konkaf Teorema Anggap ƒ adalah suatu fungsi kontinu dan dapat diturunkan sekali. Jika ƒ adalah suatu fungsi konvek yang terdefinisi pada suatu himpunan konvek C maka ƒ(y) ƒ(x) + ƒ(x)(y x) untuk semua x, y C.

3 Bukti. Fungsi ƒ adalah fungsi konvek. Untuk semua α, 0 α 1, ƒ(αx + (1 - α)y) αƒ(x) + (1- α)ƒ( y) atau ƒ(αx + (1 - α)y) αƒ(x) - αƒ( y) +ƒ( y) ƒ(αx + (1 - α)y) α[ƒ(x) - ƒ( y)] +ƒ( y) ƒ(αx + y - αy) α[ƒ(x) - ƒ( y)] +ƒ( y) ƒ(y + α(x - y)) α[ƒ(x) - ƒ( y)] +ƒ( y) untuk 0 < α 1, ƒ(x) - ƒ( y) dan jika α 0 akan diperoleh ƒ(y) ƒ(x) + ƒ(x)(y x) untuk semua x, y C. 2.3 Syarat Perlu Orde Pertama Definisi Titik Minimum Relatif dan Titik Minimum Global Definisi Suatu titik x * dinamakan sebagai titik minimum relatif dari fungsi ƒ di C jika terdapat ε > 0 sehingga ƒ(x) ƒ(x * ) untuk semua x C dalam jarak ε dari x *. Definisi Suatu titik x * dinamakan sebagai titik minimum global dari fungsi ƒ di C jika ƒ(x) ƒ(x * ) untuk semua x C Arah layak Untuk menurunkan syarat perlu orde pertama oleh titik minimum relatif, ide dasarnya adalah memperhatikan pergerakan titik tersebut dengan diberikan beberapa arah dan sepanjang arah yang diberikan fungsi tujuan dapat dipandang sebagai fungsi dari satu variabel. Dengan diberikan diberikan x C dan diberi d sebagai arah layak di x dan jika terdapat suatu > 0 sehingga x + αd C untuk semua 0 α. Teorema (Syarat perlu orde pertama). Anggap C adalah himpunan konvek dan fungsi ƒ C 1 terdefinisi di C. Jika x * adalah titik minimum relatif dari ƒ di C, maka untuk sebarang d R n adalah arah layak di x * berlaku ƒ(x * )d 0.

4 Bukti. Untuk sebarang α, 0 α, titik x(α) = x * + αd C juga definisikan fungsi g(α) = ƒ(x(α)), maka fungsi g memiliki minimum relatif di α = 0. Dari kalkulus biasa g(α) g(0) = g (0)α + o(α) (4) Jika g (0) < 0 maka untuk harga α yang cukup kecil α > 0, sisi kanan dari (4) adalah negatif sehingga g(α) g(0) < 0. Hal ini kontradiksi dengan minimal dari g(0). Dengan demikian g (0) = ƒ(x * )d 0. g g (0) g(x) 0 α x GAMBAR 2.4. Konstruksi untuk bukti Teorema Anggap fungsi ƒ adalah fungsi kontinu dan dapat diturunkan dua kali. Jika fungsi ƒ adalah konvek didalam daerah definisi himpunan konvek dan berisi satu titik interior jika dan hanya jika Hessian matriks H dari ƒ adalah semidefinit positif diseluruh C Bukti. Dari teorema Taylor, ƒ(y) = ƒ(x) + ƒ(x)(y x) + (y x) T H(x + α(y x))(y x) untuk beberapa α, 0 α 1. Jelasnya, jika Hessian semidefinit positif, didapat

5 ƒ(y) ƒ(x) + ƒ(x)(y x) (5) dari teorema yang mengakibatkan fungsi ƒ adalah konvek. Sekarang anggap Hessian tidak semidefinit positif di beberapa titik x C. Anggap y C sehingga (y x) T H(x)(y x) < 0 yang mana y dapat dipilih sehingga untuk semua α, 0 α 1, (y x) T H(x + α(y x))(y x) < 0. Dalam hal ini menurut teorema Taylor, (5) tidak terpenuhi dan mengakibatkan fungsi ƒ tidak konvek. Dari teorema diperoleh ƒ(y) ƒ(x) + ƒ(x)(y x). Anggap terdapat suatu titik x sehingga untuk semua y C berlaku ƒ(x )(y x ) 0 maka ƒ(y) ƒ(x ) + ƒ(x )(y x ) ƒ (x ) dalam hal ini fungsi ƒ memiliki minimum global. ƒ(x )(y x ) 0 oleh teorema syarat perlu titik minimum relatif dapat bahwa y x = d. Jika suatu fungsi ƒ yang kontinu dan dapat diturunkan dua kali maka terdapat suatu α, 0 α 1 sehingga ƒ(y) = ƒ(x) + ƒ(x)(y x) + (y x) T H(αx + (1 - α)y)(y x) disebut sebagai teorema Taylor orde dua. Jika fungsi ƒ adalah fungsi yang kontinu dan dapat diturunkan dua kali maka matriks Hessi dari ƒ di x adalah matriks n x n dan dinotasikan dengan 2 ƒ(x) atau H(x) sebagai H(x) = Karena = sehingga terlihat bahwa matriks Hessi adalah simetri dan Hessian dari fungsi ƒ adalah nilai determinan dari matriks Hessi.

6 2.4 Graph Definisi Suatu graph G adalah suatu himpunan terbatas, takkosong dari himpunan vertices atau titik V beserta dengan sehimpunan edge atau sisi E. Suatu graph G dinotasikan dengan G = (V,E). Berikut adalah contoh gambar graph G. v1 e1 v2 e2 e3 v5 e4 e5 e6 v3 v4 e7 GAMBAR 2.5. Graph dengan tujuh sisi dan lima titik Dari gambar graph G diatas terdapat lima titik dan tujuh sisi yaitu V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 }dan E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 } Definisi Suatu graph G ditinjau berdasarkan bobotnya terdiri atas dua yaitu: 1. Graph berbobot yaitu graph yang memiliki nilai di sisinya dan 2. Graph tak berbobot yaitu graph yang tidak memiliki nilai di sisinya. Berikut adalah graph tak berbobot GAMBAR 2.6. Graph Berbobot

7 Berikut adalah graph berbobot: GAMBAR 2.7. Graph Berbobot Definisi Suatu graph G dibagi atas dua berdasarkan arahnya yaitu 1. Graph berarah yaitu graph yang memiliki arah pada sisi-sisinya dan 2. Graph tak berarah yaitu graph yang tak memiliki arah pada sisi-sisinya. Dari gambar 2.6 dan 2.7 diatas merupakan graph tak berarah sebab tidak didapati arah pada sisi-sisinya. Berikut adalah contoh graph berarah GAMBAR 2.8. Graph Berarah yaitu: Definisi Suatu graph G dibagi atas dua berdasarkan bobot dan arahnya

8 1. Graph berbobot dan berarah yaitu graph yang memiliki arah dan bobot pada sisisisinya dan 2. Graph berbobot dan tak berarah yaitu graph yang memiliki bobot pada sisinya dan tidak memiliki arah pada sisi-sisinya. Dari gambar 2.7 diatas merupakan graph berbobot dan tak berarah sebab terdapat bobot pada sisinya tetapi tidak memiliki arah pada sisinya. Berikut adalah contoh graph berbobot dan berarah: GAMBAR 2.9. Graph Berbobot dan Berarah 2.5 Metode Dijkstra Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mencari jarak lintasan terpendek suatu graph G adalah metode Dijkstra. Untuk mendapatkan jarak terpendek dengan menggunakan metode Dijkstra pada suatu graph terhubung dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: Masukan: Berikan suatu graph G terhubung Keluaran: L(z), panjang jarak terpendek dari a ke z Langkah 1: Atur L(a) = 0 dan semua titik v a, L(v) = α Atur T = V yang mana T adalah himpunan titik yang mempunyai label temporer dan V adalah himpunan titik graph G.

9 Langkah 2: Anggap u adalah suatu titik di T yang mana L(u) adalah minimum dan dalam hal ini merupakan label permanen dari u. Langkah 3: Jika u = z berhenti. Langkah 4: Untuk setiap sisi e = (u,v) insiden dengan u, jika v T, ubah L(v) ke minimum {L(v),L(u) + w(u,v))} Langkah 5 : Ubah T ke T {u} dan kembali ke langkah 2. Contoh Perhatikan gambar graph dibawah ini. Gambar graph W dibawah merupakan gambar Scenic Valley yang merupakan daerah tempat wisata yang memiliki jaringan penerbangan udara. Masing-masing titik diatas menyatakan kota. Apabila angka yang terdapat diantara dua titik sebarang merupakan jarak antar dua kota (dalam satuan kilometer) maka tentukanlah jarak terpendek dari kota 1 ke kota 10 dengan menggunakan metode Dijkstra! GAMBAR Graph tempat wisata scenic valley

10 Solusi. Anggap 1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 9, 10 diganti menjadi a, b, c, d, e, f, g, h, i, j. Sesuai dengan langkah-langkah metode Dijkstra diatas maka jarak terpendek dari graph W diatas dapat dicari sebagai berikut: L(v) 0 α α α α α α α α α T a b c d e f g h i j Iterasi 1 u = a maka L(a) = 0 dan T = T {a}. Adapun titik yang berdekatan dengan a adalah b, c dan d; b, c, d T sehingga L(b) = Min { L(b), L(a) + w ab } = Min {α, 80}= 80 L(c) = Min { L(c), L(a) + w ac } = Min {α, 50}= 50 L(d) = Min { L(d), L(a) + w ad } = Min {α, 70}= 90 Dan minimumnya adalah 50 = L(c) L(v) α α α α α α T b c D e f g h I j Iterasi 2 u = c maka L(c) = 50 dan T = T {c}. Adapun titik yang berdekatan dengan c adalah b, d, g, f; b, d, g, f T sehingga L(b) = Min { L(b), L(c) + w cb } = Min {80, 140}= 80 L(d) = Min { L(d), L(c) + w cd } = Min {90, 120}= 90 L(g) = Min { L(g), L(c) + w gc } = Min {α, 120}= 70 L(f) = Min { L(f), L(c) + w cf } = Min {α, 170}=120 minimumnya adalah 70 = L(d) L(v) α α α α T b d e f g h i j

11 Iterasi 3 u = d maka L(d) = 170 dan T = T {d}. Adapun titik yang berdekatan dengan d adalah f, e; f, e T sehingga L(f) = Min { L(f), L(d) + w df } = Min {170, 40}= 140 L(e) = Min { L(e), L(d) + w de } = Min {α, 100}= 100 minimumnya 100 = L(e) L(v) α α α T b e f g h i j Iterasi 4 u = e maka L(e) = 100 dan T = T {e}. Adapun titik yang berdekatan dengan e adalah f; f T sehingga L(f) = Min { L(f), L(e) + w ef } = Min {140, 160}=140 L(v) α α α T b f g h i j Iterasi 5 u = f maka L(f) = 140 dan T = T {f}. Adapun titik yang berdekatan dengan f adalah g, j; g, j T sehingga L(g) = Min { L(g), L(f) + w fg } = Min {120, 220}= 120 L(j) = Min { L(j), L(f) + w jf } = Min {α, 250}= 250 minimumnya 120 = L(g) L(v) α α 250 T b g h i j Iterasi 6 u = g maka L(g) = 250 dan T = T {g}. Adapun titik yang berdekatan dengan g adalah b, h, i, j; b, h, i, j T sehingga L(b) = Min { L(b), L(g) + w bg } = Min {70, 230}= 70 L(h) = Min { L(h), L(g) + w gh } = Min {α, 210}= 210

12 L(i) = Min { L(i), L(g) + w gi } = Min {α, 180}= 180 L(j) = Min { L(j), L(g) + w gj } = Min {250, 230}= 230 minimumnya 70 = L (b) L(v) T b h i j Iterasi 7 u = b maka L(b) = 70 dan T = T {b}. Adapun titik yang berdekatan dengan b adalah h; h T sehingga L(h) = Min { L(h), L(g) + w gh } = Min {α, 210}= 210 L(v) T h i j Iterasi 8 u = h maka L(h) = 210 dan T = T {h}. Adapun titik yang berdekatan dengan h adalah i; i T sehingga L(i) = Min { L(i), L(h) + w hi } = Min {α, 290}= 290 L(v) T i j Iterasi 9 u = i maka L(i) = 180 dan T = T {i}. Adapun titik yang berdekatan dengan i adalah j; j T sehingga L(j) = Min { L(j), L(i) + w ij } = Min {230, 390}= 230 L(v) T j

13 Iterasi 10 u = j berhenti sehingga jarak terpendek dari 1 ke 10 adalah 230 Km. 2.6 Matriks Matriks secara umum Definisi (Definisi umum dari matriks). Suatu matriks adalah himpunan dari elemen-elemen yang disusun berdasarkan baris dan kolom dalam bentuk bujur sangkar atau persegi panjang yang diberi kurung siku atau kurung biasa. Suatu matriks A dapat dinotasikan sebagai berikut: a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = (a ij ) = am1 a m2... amn yang mana aij menyatakan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j. Dan matriks diatas adalah matriks dengan m baris dan n kolom Mariks Identitas Definisi Suatu matriks Identitas adalah suatu matriks bujur sangkar yang angka-angka pada diagonal utamanya adalah satu sedangkan angka-angka selebihnya adalah nol. Suatu matriks identitas dinotasikan sebagai berikut:

14 I n = Mariks Simetri Definisi Suatu matriks persegi A dikatakan simetri jika A = A T. Contoh Jika diketahui matriks A A = dan A T = Terlihat bahwa matriks A memiliki angka-angka yang sama pada baris dan kolomya, sehingga matriks A adalah matriks simetri Mariks Adjency Definisi Matriks adjency A = (a ij ) dari suatu graph G dengan p titik adalah suatu matriks simetrik ukuran p x p yang mana a i,j = 1 jika vi dan v j berdekatan dan 0 untuk yang lain.

15 Contoh Dari gambar 2.7 sebelumnya maka matriks adjency dari graph tersebut adalah Jelas dari matriks diatas bahwa matriks tersebut adalah matriks simetri karena matriks tersebut sama dengan transposnya. 2.7 Harga Eigen. Definisi Jika A adalah matriks berukuran n x n, maka suatu vektor tak nol x di R n dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah perkalian skalar dari x yaitu Ax = λx untuk beberapa skalar λ. Skalar λ dinamakan harga eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen terhadap λ. Untuk memperoleh harga eigen dari matriks A berukuran n x n adalah dengan cara sebagai berikut: Ax = λix atau ekuivalen dengan (λi A)x = 0. dengan mencari determinan dari (λi A)x = 0 atau det (λi A) = 0 akan memberikan solusi bagi λ. (λi A) = 0 dinamakan persamaan karakteristik sedangkan det (λi A) dinamakan polinomial karakteristik. Contoh Tentukan harga eigen dari matriks A =

16 Solusi. Karena λi A = λ - polinomial karakteristik dari A adalah det (λi A) = det = λ 2-3λ + 2 dan persamaan karakteristik dari A adalah λ 2-3λ + 2 = 0. Serta solusi dari persamaan ini adalah λ = 1 dan λ = 2 yang merupakan harga eigen dari A. 2.8 Bentuk Kuadratik Definisi Suatu bentuk kuadratik dalam x 1, x 2,..., x n adalah suatu pernyataan yang dapat ditulis sebagai [x 1 x 2... x n ] A yang mana A adalah matriks simetri n x n. Jika dianggap x = maka definisi diatas dapat ditulis sebagai x T Ax atau dapat juga

17 ditulis dalam bentuk perkalian keluar adalah x T Ax = a 11 + a a nn +. Berikut adalah contoh bentuk kuadratik dalam x dan y : 2x 2 + 6xy 7y 2 = [x y] Definisi Suatu bentuk kuadratik x T Ax adalah semidefinit positif jika x T Ax 0 untuk semua harga x. Teorema Jika A adalah matriks simetri maka matriks A adalah semidefinit positif jika harga eigen dari A adalah nonnegatif. Bukti. Asumsikan bahwa matriks A adalah semidefinit postif. Anggap λ adalah harga eigen yang berkenaan terhadap vektor eigen x, maka 0 x T Ax = x T λx = λx T x = λ x 2. Karena x 2 > 0 maka λ positif. 2.9 Bentuk Umum Pemrograman Kuadratik Definisi Bentuk umum pemrograman kuadratik dapat dituliskan sebagai berikut: Minimumkan x T Ax + x T c Dengan kendala x = b i, i E x b i, i I yang mana E dan I adalah himpunan-himpunan indeks untuk kendala-kendala persamaan dan kendala-kendala pertidaksamaan. Matriks A adalah matriks semidefinit positif. Jika A adalah matriks semidefinit positif, maka fungsi ƒ adalah fungsi konvek.

18 2.10 Masalah Pembagian Graph Berbobot Ganda Masalah pembagian wilayah dapat dirumuskan sebagai suatu partisi graph berbobot ganda dan dapat dikonversi kedalam model pemrograman kuadratik, yang mana n kabupaten dari suatu provinsi dibagi kedalam q daerah pemilihan sehingga topologi dari masing-masing daerah pemilihan secara geografi adalah teratur dan setiap daerah memiliki ukuran populasi yang sama. Perhatikan gambar berikut: GAMBAR Gambar yang disebelah kiri diatas merupakan denah gambar peta suatu provinsi dengan enam kabupaten dan tanda merupakan ibukota dari masing-masing kabupaten; dan gambar yang disebelah kanan merupakan suatu graph T yang diekstrak dari gambar disampingnya dengan cara menghubungkan garis pada titik-titik yang berdekatan. Anggap n adalah total kabupaten dalam suatu provinsi, q adalah total daerah untuk dibagi dan p i adalah ukuran populasi kabupaten ke-i. Untuk menyelesaikan masalah pembagian wilayah pertama konsepsikan suatu graph adjacent dari H yang mana setiap titik menyatakan suatu kabupaten. Terdapat suatu sisi antara kabupaten v i dan v j berdekatan dalam peta. Matriks adjacent dari H adalah A yang mana, a i,j = 1 jika vi dan v j berdekatan dan 0 untuk yang lain. Matriks H ini digunakan daripada jarak sebenarnya ialah dikarenakan kepadatan dari tiap-tiap kabupaten adalah berbeda satu sama lain. Hal ini ditujukan karena hubungan kedekatan dapat menyatakan keteraturan yang lebih baik.

19 Dengan menggunakan algoritma Dijkstra, dapat ditemukan lintasan terpendek dari sebarang titik. Anggap D menyatakan matriks lintasan terpendek, D ij adalah panjang lintasan terpendek dari titik v i ke v j. Kemudian konsepsikan graph berbobot ganda G(V,E,P(v),D(e)). Dalam graph ini masing-masing titik di V menyatakan suatu kabupaten dari provinsi dan bobot dari P(v i ) = p i dari suatu titik v i mewakili ukuran populasi dari kabupaten. Untuk sebarang pasangan titik v i dan v j terdapat suatu edge (v i,v j ) E. Bobot D ij dari edge v i,v j adalah panjang dari lintasan terpendek antara v i dan v j dalam graph H. Jika tidak ada lintasan antara titik v i dan v j yakni graph H adalah tak terhubung dan bobot dari v i dan v j adalah tak hingga. Dengan perkataan lain, jika graph H itu terhubung maka graph G adalah graph berbobot ganda lengkap. Graph berbobot ganda dapat dinyatakan sebagai lintasan terpendek matriks D. Dengan fakta-fakta diatas dapat dirumuskan masalah pembagian wilayah kedalam masalah partisi graph berbobot ganda: diberikan graph berbobot ganda dengan n titik dan bilangan bulat q, tentukan pembagian dari titik tersebut ke dalam q bagian sehingga bobot jumlah dari semua titik di masing-masing bagian adalah sekecil mungkin. Bobot yang sama jumlah dari semua titik dimasing-masing bagian berkenaan dengan jumlah populasi yang sama di masing-masing daerah pemilihan sedangkan jumlah bobot sisi minimum berkenaan dengan keteraturan dari masingmasing daerah pemilihan.