Orbit Fraktal Himpunan Julia

Vol. 3, No., 6-7, Jauar 7 Orbt Fraktal Hmpua Jula Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa Abstrak Makalah membahas kumpula ttk-ttk yag berada dalam daerah hmpua Jula d ruag kompleks da memperlhatka sebuah algortma utuk membagktka fraktal pada hmpua Jula sekalgus memperlhatka orbt fraktalya. Hmpua Jula dbetuk dar persamaa c, dmaa da c adalah blaga kompleks dega teras ke-. Nla c tergatug pada parameter masuka x da y, yatu c = x + y, la c selalu tetap utuk setap teras. Nla awal dar teras adalah adalah blaga kompleks. Hasl teras aka membetuk orbt yag terbatas da orbt yag tdak terbatas. Hmpua dar semua ttk-ttk yag membetuk orbt yag terbatas aka selalu berada dalam daerah hmpua Jula (flled Jula set), sedagka Hmpua dar semua ttk-ttk yag membetuk suatu orbt yag tdak terbatas dkataka escape set (d luar dar daerah hmpua Jula). Batas atara flled Jula set dega escape set adalah hmpua Jula tu sedr (ut crcle). Utuk meujukka perlaku orbt fraktal pada hmpua Jula dlakuka dega membuat suatu software hasl terpretas algortmaya yag mampu memperlhatka betuk-betuk fraktal Jula secara vsual, bak orbt koverge maupu orbt yag tdak koverge. Kata Kuc hmpua Jula, flled Jula set, escape set, orbt.. Pedahulua Pada tahu 975, Beot Madelbrot memperkealka fraktal utuk pertama kal dalam bukuya yag berjudul A Theory of Fractal Sets. Secara umum, fraktal dapat dkataka sebaga suatu tekk pembagkta ctra atau gambar dega cara melakuka teras pada suatu fugs tertetu [3]. Lewat teras lah, aka ddapatka suatu gambar yag alam. Fugs peghasl fraktal dapat berupa fugs matematka ataupu fugs grafk, salah satuya adalah fraktal yag berbass blaga kompleks sepert hmpua Madelbrot da hmpua Jula. Fraktal keduaya dperoleh dega melakuka teras atas fugs c dega j, j =,, da c adalah blaga kompleks. Iteras dlakuka sampa ddapatka suatu kods bahwa batasdverges. Hmpua Jula dbuat dega memlh ttk tertetu da megalka setap ttk-ttk yag la degaya secara berulag-ulag, kemuda haslya dtambahka ke ttk aslya. Proses teras yag dlakuka utuk suatu fugs adalah melakuka perubaha pada komposs fugs tu sedr secara berulag kal (rekurs). Msalka f adalah fugs dar, Staf Pegajar pada Jurusa Matematka Fakultas MIPA Uverstas Hasaudd Makassar, e-mal akresa@fmpa.uhas.ac.d Mahasswa pada Jurusa Matematka Fakultas MIPA Uverstas Hasaudd Makassar

Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa 63 Iteras kedua dar f yatu f f f 3 f f f f f f f f f f f f f... f maka utuk teras ke- dar da utuk teras ketga adalah. Defs da Teorema Fugs () f, f,..., f,... utuk fugs () f dega ttk awal yag kemuda membetuk suatu uruta blaga, f. Terdapat dua tpe orbt meurut [], yatu orbt fxed pot da orbt perodc pot. Fugs f dkataka orbt fxed pot jka ada ttk sedemka sehgga f. Msalka adalah fxed pot, maka f f f f, sehgga aka membetuk orbt,,,,...,,.... Fugs f dkataka orbt perodc pot jka ada ttk sedemka sehgga f, utuk >. Orbt dar tu dapat juga dkataka dega -cycle. Msalka adalah perodc pot dar perode ke-, maka orbtya dapat dtulska sebaga berkut f,..., f,,..., f ( ),,..., f (),.. Attractg Fxed Pot da Repellg Perodc Pot Ttk o dkataka attractg fxed pot terhadap f jka berada dalam daerah persektara D. Jka D, maka f D, da f,. Ttk dkataka repellg fxed pot pada f jka tdak berada dalam daerah persektara D, D, maka f utuk suatu >. Teorema. D ' Dberka f() memlk ttk, maka attractg, jka, ' ' f. Jka, f da repellg jka f maka dkataka eutral. Jka ttk perodk dega perode utuk f(), maka adalah fxed pot utuk f (). Bukt. Pembukta Teorema dberka secara jelas pada []... Prsoer Set da Escape Set Defs. Jka dberka suatu persamaa c, =,,3, da membetuk suatu orbt,,,.. dega ttk awal, maka orbt tersebut dkataka escape set utuk parameter c apabla

Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa 64,. E jka c adalah prsoer set utuk parameter c P c E. Hal dkemukaka d [4], sehgga P c c merupaka kompleme dar E c. Hmpua Jula utuk parameter c adalah batas dar escape set E c..3. Fugs Ler Msalka fugs f a, dmaa a blaga kompleks kosta yag tdak ol, da adalah suatu blaga kompleks = x + y. Dega meulska a da dalam betuk persamaa polar a e, da r e, maka f a re. Besarya la fugs f aka tergatug pada besarya radus r dega faktor da sudut putar. Dega melakuka teras sepert pada persamaa () maka ddapatka f aa a re. Orbt dar yatu karea re, re, re,, re,... e, maka modulus dar adalah re r e r..4. Persamaa Kuadrat Blaga Kompleks Dega mejau persamaa kuadrat Blaga Kompleks Q c c, () dmaa c adalah blaga kompleks yag kosta. Msalka Q ( ), dega 4 r e, r re, 4, maka orbt d Q adalah berturut-turut re, e..., r e. Jad dapat dketahu bahwa perubaha orbt dar sagat bergatug dega radus dar tu sedr. Jka r <, maka r selama, jad orbt dar aka meuju ke ttk asal dega catata ttk asal tersebut adalah attractg fxed pot pada Q. Jka r >, maka r selama, jad orbt dar aka meuju ke (ubouded). Jka r = da berada dalam lgkara satua, maka r, jad orbt dar aka selalu berada dalam lgkara satua []. 3. Aalss Hmpua Jula Daerah Hmpua Jula (Flled Jula) utuk fugs Q c (3) adalah hmpua dar semua ttk-ttk yag memlk orbt yag terbatas. Hmpua Jula adalah batas atara flled Jula Set da hmpua ttk-ttk yag memlk orbt yag tdak terbatas (escape Set). Tjau persamaa Q, dapat dketahu dar persamaa kuadrat blaga

Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa 65 kompleks bahwa jka, maka orbt aka meuju ke da orbt aka terbatas (bouded). Jka, maka orbt aka selalu berada dalam lgkara satua da orbt juga terbatas (bouded). Jka, maka orbt aka meuju ke tak hgga, da orbt tdak terbatas (ubouded). Dega melhat kumpula dar orbt-orbt tersebut, dapat dketahu bahwa hmpua Jula utuk persamaa (3) d c = merupaka suatu lgkara satua. Teorema. Dberka suatu fugs kuadrat Q() = + c, dmaa c < da ttk awal. Jka hasl teras dar Q() adalah ttk dalam suatu orbt dar dmaa ttk tu memlk la absolut lebh besar dar, maka orbt tersebut adalah escape atau buka flled Jula. Bukt c Q, dega megguaka ketaksamaa segtga, c c karea c, maka (4) da blamaa, maka terdapat > sehgga atau (5) dega mesubstuska persamaa (5) ke persamaa (4) maka ddapatka, jad jka dteras sampa kal, maka ddapatka ( ). Sehgga jka, maka orbt dar aka meuju ke tak hgga atau orbt dar adalah escape set. Utuk membuat fraktal hmpua Jula, harus dtetuka terlebh dahulu la parameter c, yag baga real da majerya dalam terval tutup [-,]. Msalka c = -.5 +.5, da ambl eam ttk (x + y), atara la Ttk = (.,.), Ttk = (.5,.5), Ttk 3 = (.,.88), Ttk 4 = (.,.), Ttk 5 = (.5, -.5), Ttk 6 = (-.5,.5).

Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa 66 Dega melakuka sebayak teras pada masg-masg ttk, maka hasl teras tersebut aka membetuk orbt dar ttk tu sedr da orbt-orbt tulah yag aka memperlhatka betukbetuk fraktal pada hmpua Jula. Orbt = +, c ( ) (.5.5).5. 5 3 c (.5.5) c (.5.) (.5.5).5. (.5.5).5 (.5) tak berhgga Orbt =.5+.5 c (.5.5 ) (.5.5).3. 75 c (.3.75) (.5.5).96.3 3 c (.96.3 ) (.5.5).43.44 tak berhgga Orbt 3 =.+.88, c (..88 ) (.5.5).7. 5 3 c (.7.5) c (.87 (.77) ) (.5.5).87 (.77) (.5.5).34 (.85) tak berhgga Jad orbt, orbt da orbt 3 aka meuju tak berhgga (escape set). Keragama ttk teras dperlhatka pada Tabel berkut. Tabel. Orbt, da 3 yag Meuju Tak Hgga. Orbt Orbt Orbt 3 x Y x Y x Y 3 4 5 6 7 8 9..5 -.5 -.5.8 -.9-3.6-347.46..5. -.5.75 3.34-8.9 3.68.5 -.3 -.96.43 -.5 -..37 -.4.53-8..5.75.3.44.88 -.39.3.46-5.46-6.7. -.7.87 -.34 -. -.4-3.93.79-4.77.88.5 -.77 -.85.7 -.9.4-5.5-334.49

Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa 67 Orbt 4 =.+., c (.. ) (.5.5 ).5. 5 c (.5.5) (.5.5).5. 5 499 c (.48.75 ) (.5.5).48.75 Orbt 5 =.5+(-.5), c (.5 (.5) ) (.5.5).33. 5 c (.33.5) (.5.5).465.344 5 499 c (.48.75 ) (.5.5).48.75 Orbt 6 =.5+.5, c (.5.5 ) (.5.5).688. 5 c (.688.5) (.5.5).9. 56 5 499 c (.48.75 ) (.5.5).48.75 Orbt 4, orbt 5 da orbt 6 tdak meuju tak hgga, tetap koverge ke ttk.48 +.75, sebagamaa yag dtujukka pada Tabel d bawah. Tabel. Orbt 4, 5 da 6 yag Koverge ke.48 +.75. Orbt 4 Orbt 5 Orbt 5 3 4 5 6 7 8 9 ; x Y x Y x y..5 -.5 -.5.5 -.33.5 -.688. -.465.344 -.9.5 -.4.8 -.56.5 -.37.355 -.456.56 -.488.37 -.9.47 -.38.69 -.653.456 -.47.39 -.9.488 -.386.89 -.533.4 -.387.354 -.45.9 -.475.6 -.38.9 -.393.9 -.438. -.5 -.5 -.5 -.688 -.9 -.56 -.456 -.9 -.653 -.9 -.473.5.5.56.47.3.488.4.9.448..48.7

Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa 68 3 4 -.394 -.4 -.48.79.73.76 -.4 -.49 -.49.7.76.75 -.49 -.47 -.49.9.7.76 Dalam betuk pectraa, fraktal hmpua Jula model orbt koverge da tak hgga dtujukka pada Gambar da Gambar berkut, sebaga hasl vsualsas program yag telah dmodfkas ke Bahasa Turbo Pascal dar algortma yag dtamplka dalam [] dega pemrograma megguaka Fortra, da modfkas program d [5] megguaka bahasa C. Gambar. Hmpua Jula, Orbt a =.+.. Pada Gambar d atas dperlhatka orbt melalu ttk-ttk sudut yag meghubugka setap gars puth d daerah hmpua Jula pada persamaa (3), dega ttk awal = yag koverge ke ttk =.48 +.75. Sebalkya pada Gambar, orbtya tdak koverge ke sebuah ttk, jka ttk awal yag dambl terletak d escape set, yag dwakl oleh ttk =.88577. Ttkttk sudut gars puth semak tdak beratura. Gambar Hmpua Jula, orbt a =.+. Gambar. Hmpua Jula, Orbt a =. +.88.

Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa 69 Betuk vsualsas fraktal hmpua Jula yag la dberka oleh betuk fraktal Crab Claws, yag memperlhatka orbt ttk dalam hmpua Jula da d escape set-ya. Pada Gambar 3, dperlhatka hmpua Jula berbetuk keptg dega jepta d kedua ss mrg. Pada jept keptgya terdapat lag keptg dega jepta lag, da seterusya. Ilah yag meyebabka sehgga vsualsas fraktalya dsebut Crab Claws. Gambar 3. Fraktal dar Hmpua Jula Crab Claws. Dar Gambar 3, dperlhatka orbt fraktal utuk ttk awal =, da la masuka c adalah -.4 +.6. Ttk c terletak dalam hmpua Jula, sehgga orbtya aka koverge ke sebuah ttk dalam hmpua Jula. Pada dasarya sembarag ttk c yag dambl d daerah hmpua Jula, aka selalu berorbt koverge ke ttk tersebut. Hasl smulas memberka bahwa ttk koverge dar terasya adalah d sektar ttk = -.7+.399. Kekuraga smulas adalah terbatasya teras hgga teras ke 64. Sebalkya pada Gambar 4, jka ttk c dplh dar escape set-ya, maka terlhat orbtya tdak koverge ke suatu ttk. Gambar 4. Orbt utuk Ttk d Luar Hmpua Jula.

Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa 7 4. Algortma Fraktal pada Hmpua Jula Algortma Hmpua Jula yag dterjemahka ke dalam bahasa program adalah sebaga berkut a. Meetuka bayakya ttk-ttk () dar setap orbt yag aka duj. Meetuka wara pada ttk-ttk yag berada dalam hmpua Jula da meetuka wara pada ttk-ttk yag berada dluar hmpua Jula. b. Iput blaga kompleks c. c. Memlh ttk-ttk dar ruag/bdag utuk duj d. Utuk setap ttk-ttk dar baga bdag yag telah dplh, lakuka perhtuga dar ttk awal orbt dega megguaka fugs Q() = + c. e. Jka terdapat ttk dar suatu orbt terletak d luar lgkara dega radus, hetka teras da wara utuk ttk, msalka wara kug kehtam-htama atau merah kehtam-htama. f. Jka semua dar ttk-ttk dar suatu orbt terletak dalam lgkara dega radus maka membuat wara htam pada hmpua jula. g. Jka semua ttk-ttk yag berada dalam bdag telah dhtug maka selesa. 5. Kesmpula Hmpua Jula merupaka kumpula dar beberapa ttk-ttk yag berada dalam batas atara escape set da prsoer set. Daerah hmpua Jula (flled Jula set) dapat dbetuk apabla memlk radus kurag dar, atau kurag dar c, da harus berada dalam terval x da y. Fugs yag dguaka utuk membagktka fraktal pada hmpua Jula da hmpua Madelbrot adalah sama, yatu c, =,,3,.. da, c blaga kompleks. Dega adaya batua algortma da program utuk melhat secara vsual terhadap fraktal pada hmpua Jula, maka dapat dketahu ttk-ttk orbt maa saja yag merupaka hmpua Jula, daerah hmpua Jula (Flled Jula Set), da d luar daerah hmpua Jula. Ackowledgmets Peuls megucapka terma kash kepada Erc Kuee atas kesedaya utuk dskus, melalu balasa emal da paper yag membatu dalam peulsa makalah. Daftar Pustaka [] E. Kuee. 5. Chaotc Dyamcs ad Fractals. [ Februar 7] [] D. Olver. 997. Memadag Realta dega Fractal Vso. Eds, Cetaka. Peerbt Ad, Yogyakarta. [3] Petge, Jürges, da Saupe. 99. Fractal for the classroom part two Complex system ad Madlebort set. Natoal Coucl of Teachers of Mathematcs, Sprger-Verlag. [4] R. T. Steve. 989. Fractal Programmg C. M&T Publshg, Calfora. http//www.geoctes.com/capecaaveral/457/paper.html. [7 Desember ]