ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA WAKTU HIDUP YANG BERDISTRIBUSI GAMMA PADA DATA TERSENSOR TIPE I DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI JOHANNES HASIBUAN NIM:090823029 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA 2011
PERSETUJUAN Judul Kategori Nama Program studi Departemen Fakultas : ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA WAKTU HIDUP YANG BERDISTRIBUSI GAMMA PADA DATA TERSENSOR TIPE I DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD : SKRIPSI : JOHANNES HASIBUAN : SI MATEMATIKA : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Disetujui di Medan, juni 2011 Komisi pembimbing : Pembimbing II Pembimbin I Prof. Dr. Tulus, M.Si Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP. 19620901 198803 1 002. NIP. 10461225 197403 1 001 Diketahui/ disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002
PERNYATAAN ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA WAKTU HIDUP YANG BERDISTRIBUSI GAMMA PADA DATA TERSENSOR TIPE I DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing- masing disebutkan sumbernya. Medan Johannes Hasibuan 090823029
PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas kasih dan berkatnya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Dalam waktu yang ditetapakan. Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada: 1. Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan kepercayaan kepada saya untuk menyelesaikan skripsi ini 2. Drs. Suwarno Ariswoyo. M.Si dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku pembanding dalam penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan kepercayaan kepada saya dalam menyelesaikan skripsi ini 3. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, semua dosen pada program S1 Matematika 4. Kedua orang tua saya J. Hasibuan dan P. Hutajulu serta kakak dan adik sayaserta seluruh keluarga yang telah mendukung saya selama ini 5. Teman-teman yang telah membantu saya Vera M Siahaan, Sunarto Urjoyo Purba, teman-teman satu jurusan dan keluarga besar FMIPA saya ucapkan terima kasih Akhir kata, penulis mengharapkan semoga tulisan ini berguna bagi yang membacanya. Penulis juga menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu masukan yang sifatnya membangun sangat penulis harapkan.
ABSTRAK Analisis uji waktu hidup adalah salah satu analisis statistik yang banyak digunakan pada dunia industri dan kesehatan. Ada tiga metode yang umum digunakan dalam pengamatan waktu hidup. Sampel lengkap dimana pengamatan berhenti setelah semua sampel yang diamati mati,sensor tipe I pengamatan dilakukan selama unit waktu tertentu, sensor tipe II pengamatan berhenti setelah n kegagalan. Data waktu hidup adalah sampel acak yang mempunyai distribusi peluang. Dengan maximum likelihood dapat diestimasi bentuk dari parameter waktu hidup dari distribusi peluang waktu hidup itu, dan dalam skripsi ini penulis memakai distribusi gamma dan sensor tipe I dari data waktu hidup dengan mengunakan maximum likelihood. Fungsi likelihood r L( t, θ ) = f ( t) 1 F( t) i= 1 dalam mengestimasi sensor tipe I adalah [ ] n r sehingga dapat memudahkan dalam mengetahui karakteristik dari suatu sistem atau komponen waktu hidup dari suatu populasi.
ABSTRACT Lifetime analysis is one of the statistic analysis which is many use in industry and health. There are three general method which is often used in lifetime data analysis. Complete sample which is the observation stoped when all the observation failed, type I censored the observation stopped during at an unit time, type II censor the observation stoped at n failure. Lifetime data is random sample which is has a probability distribution. With maximum likelihood can be estimate the parameter the form of lifetime data from its probability distribution, and in this thesis writer use a gamma distribution and censoring type I of lifetime data and it is estimate by maximum likelihood estimator. The likelihood form of estimating censoring type I is r L( t, θ ) = f ( t) ) i= 1 [ ] n 1 F( t r system or component lifetime data of a population., hence can be easier to know the characteristic of a
DAFTAR ISI Halaman Persetujuan ii Pernyataan iii Penghargaan iv Abstrak v Abstract vi Daftar isi vii Daftar Gambar ix Bab 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 2 1.3 Tinjauan Pustaka 2 1.4 Tujuan Penelitian 5 1.5 Kontribusi Penelitian 5 1.6 Metode Penelitian 5 Bab 2 Landasan Teori 2.1 Ruang Sampel dan Kejadian 6 2.2 Peluang Suatu Kejadian 7 2.3 Peluang acak dan Distribusi Peluang 7 2.3.1 Peubah Acak 7 2.3.2 Distribusi Peluang 7 2.4 Sejarah Teori Keandalan 9 2.5 Konsep Dasar distribusi Tahan Hidup 10
2.6 Sistem Keandalan 15 2.6.1 Sistem Keandalan Seri 15 2.6.2 Sistem Keandalan Paralel 17 2.6.2.1 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif 17 2.6.2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif 19 2.6.3 Kombinasi Sistem Seri dan Paralel 19 2.7 Data Tersensor 22 2.8 Distribusi 23 2.9 Distribusi Kerusakan 24 2.10 Prinsip Dasar Metode Maximum Likelihood 26 Bab 3 Pembahasan dan Hasil 3.1 Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup yang Berdistribusi 27 Gamma Pada Data Tersensor Tipe I dengan metode Maximum likelihood 3.2 Contoh Kasus 31 Bab 4 Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 35 4.2 Saran 36 Daftar Pustaka 37
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Sistem Keandalan Seri 16 Gambar 2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif 18 Gambar 2.3 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif 19 Gambar 2.4 Sistem Seri-Paralel 20 Gambar 2.5 Sistem Paralel-Seri 20