Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab

Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab Effendi Syahril Agah D. Garnadi

Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab Effendi Syahril Agah D. Garnadi e-version : https://dx.doi.org/1.1765/osf.io/kh4u2 Versi : -.1

Contents 1 Pendahuluan 1 1.1 Masalah Optimisasi Dinamis........................... 1 1.2 State Sistem Dinamis............................... 2 1.3 Peubah Kontrol.................................. 2 1.4 Reachability, Controllability dan Observability................. 3 1.5 Fungsional Objektif................................ 3 1.6 Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum..................... 4 2 Kalkulus Variasi 5 2.1 Pendahuluan................................... 5 2.2 Fungsional Dan Variasi.............................. 5 2.3 Syarat Perlu Untuk Optimum : Persamaan Euler............... 6 2.4 Persamaan Euler Yang Lebih Umum...................... 9 2.4.1 Kasus Peubah banyak.......................... 9 2.4.2 Kasus Fungsi f Memuat Turunan ke-n................. 1 2.5 Kasus Khusus Persamaan Euler......................... 11 2.5.1 Fungsi f Tidak Memuat x........................ 11 2.5.2 Fungsi f Tidak Memuat t........................ 12 2.5.3 Fungsi f Tidak Memuat ẋ........................ 13 2.6 Masalah Variasi Dengan Kendala........................ 13 2.6.1 Kendala Titik Dan Persamaan Diferensial............... 13 2.6.2 Kendala Isoperimetris.......................... 14 2.7 Syarat Batas Dalam Masalah Variasi...................... 16 i

2.7.1 Dua Titik Ujung Tetap Dan Syarat Batas Natural........... 16 2.7.2 Titik Ujung Bebas............................ 17 2.8 Syarat Cukup / Sufficiency Conditions..................... 21 2.8.1 Variasi Fungsional............................ 21 2.8.2 Syarat Legendre.............................. 21 2.8.3 Syarat Jacobi............................... 22 2.8.4 Syarat Weierstrass untuk Ekstremal Kuat............... 22 2.8.5 Syarat Legendre-Clebsch......................... 23 2.8.6 Syarat Cukup : Kasus khusus...................... 23 3 Kontrol Optimum : Pendekatan Kalkulus Variasi 24 3.1 Formulasi Masalah Kontrol Optimum...................... 24 3.2 Syarat Perlu : Prinsip Maksimum Pontryagin................. 25 3.3 Syarat Transversalitas Atau Syarat Batas.................... 3 3.3.1 Masalah Waktu Terminal T Tetap.................... 31 3.3.2 Masalah Waktu Terminal T Bebas................... 31 3.4 Syarat Cukup Untuk Kontrol Optimum..................... 33 3.5 Current-Value Hamiltonian............................ 35 3.6 Beberapa contoh masalah nyata kontrol optimum............... 36 3.7 Kontrol Variabel Berbatas............................ 39 3.7.1 Masalah Kontrol Optimum dengan Variabel State Berbatas...... 4 3.7.2 Masalah Kontrol Optimum dengan Kendala Persamaan........ 4 3.7.3 Masalah Kontrol Optimum dengan Variabel Kontrol Berbatas.... 41 3.8 Kontrol Optimum Linier............................. 42 3.9 Soal-soal Latihan................................. 45 3.9.1 Soal-soal Kalkulus Variasi........................ 45 3.9.2 Soal-Soal Kontrol Optimum....................... 48 3.9.3 Soal-soal Ujian.............................. 52 ii

Chapter 1 Pendahuluan 1.1 Masalah Optimisasi Dinamis Masalah pengalokasian optimum dari sumber daya yang terbatas yang memiliki alternatif penggunaannya, baik pada suatu titik waktu maupun pada jangka waktu tertentu, dapat melibatkan optimisasi statis maupun optimisasi dinamis. Pilihan antara mengurangi konsumsi masa kini dan konsumsi yang cukup untuk masa depan, merupakan masalah optimisasi dinamis. Suatu alat yang sangat penting dalam optimisasi dinamis adalah Kalkulus Variasi. Teknik kalkulus variasi ini telah diterapkan dalam masalah ekonomi sejak tahun 1924. Namun demikian, teknik kalkulus variasi memiliki keterbatasan, yang berarti tidak semua masalah dapat diselesaikan dengan teknik kalkulus variasi. Teknik kontrol optimum, mampu mengatasi keterbatasan yang dimiliki oleh teknik kalkulus variasi. Teknik kontrol optimum berkembang pesat sejak ditemukannya teknik program dynamis oleh Richard Bellman pada tahun 1957 dan prinsip maksimum oleh Pontryagin pada tahun 1962. Dengan penemuan tersebut, teknik kontrol optimum yang berkembang mempunyai 2 pendekatan, yaitu pendekatan program dinamis dan pendekatan prinsip maksimum. Dalam kuliah ini, digunakan pendekatan prinsip maksimum, karena lebih mudah dipahami. Pendekatan prinsip maksimum menggunakan teknik yang dikembangkan dalam kalkulus variasi. Oleh karena itu, pembahasan kuliah dimulai dengan pembahasan topik teknik kalkulus variasi. Dengan bekal teknik kalkulus variasi, pembahasan difokuskan pada teknik-teknik kontrol optimum. Secara sederhana, masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol u(t) diantara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal x(t ) pada waktu t kepada state terminal x(t ) pada waktu terminal T, demikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsional objektif yang juga disebut sebagai indeks performance. 1

1.2 State Sistem Dinamis State atau keadaan sistem dinamis adalah koleksi dari bilangan x(t) (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) yang apabila diberikan suatu nilai pada waktu t = t, maka nilainya akan dapat ditentukan pada t t melalui pilihan vektor kontrol u(t) = (u 1 (t), u 2 (t),..., x r (t)). Bilangan x i (t) untuk (1 i n, t t T ) disebut sebagai peubah keadaan atau peubah state, dan ruang keadaan adalah ruang dimensi n yang memuat koordinat x i (t) (1 i n). Dengan cara yang sama, bilangan u i (t) untuk (1 i r t t T ) disebut sebagai peubah kontrol atau peubah kendali. Misalnya, x(t) dapat melambangkan peubah ekonomi, seperti GNP, konsumsi, investasi dan kondisi perekonomian lainnya, serta u(t) mewakili peubah kontrol, seperti kebijakan suku bunga, pengeluaran pemerintah, suplai uang dan instrumen ekonomi lainnya yang dapat dikendalikan. Keadaan atau state suatu sistem pada waktu t, yang disebut dengan sistem dinamis, direpresentasikan oleh sistem persamaan diferensial dalam hal masalah kontinyu, atau sistem persamaan beda untuk masalah diskret. Misalnya, (1.1) atau (1.2) ẋ(t) = f[x(t), u(t), t] x(k + 1) = f[x(k), u(k), k]. Sistem dinamis dapat berbentuk linier dan dapat pula berbentuk tak-linier, juga dapat berbentuk sistem autonomous (sistem tidak memuat t atau k) atau berbentuk sistem nonautonomous, dapat pula memiliki koefisien konstanta atau koefisien peubah pada persamaan diferensial atau persamaan beda. Sistem juga dapat berbentuk deterministik dan juga dapat berbentuk stokastik. Dalam kuliah ini hanya akan dibahas sistem deterministik. 1.3 Peubah Kontrol Sistem dinamis dikontrol atau dikendalikan oleh instrumen atau kontrol yang sesuai. Hanya kontrol yang admissible ( yaitu kontrol yang memenuhi persyaratan yang diberikan) saja yang perlu diperhatikan. Misalnya, jika u i (t) menyatakan proporsi pendapatan nasional yang ditabung untuk membentuk kapital di sektor i, (i = 1, 2,..., r) maka u i (t) 1, i, t dan r 1 u i (t) 1. Secara umum, kendala fisik ini dinyatakan dengan persyaratan bahwa peubah kontrol harus dipilih dari kumpulan kontrol-kontrol yang admissible, yang dilambangkan dengan Ω(u(t)), artinya, kontrol u(t) Ω(u(t)). Untuk ilustrasi di atas, Ω(u(t)) {u i (t) : u i (t) 1, r u i (t) 1} 1 Apabila u(t) hanya fungsi dari t, maka disebut kontrol open-loop, misalnya mengatur mesin cuci untuk berfungsi dalam jangka waktu tertentu. Apabila kontrol u(t) juga merupakan fungsi dari peubah state x(t), yaitu u(t) = u[x(t), t], maka disebut kontrol closed- 2

loop, misalnya pengeluaran pemerintah, u(t), merupakan fungsi dari GNP/PDB, x(t), dan waktu pemilu, t. 1.4 Reachability, Controllability dan Observability Suatu keadaan x 1 dikatakan dapat dicapai (reachable) dari sebarang keadaan x pada waktu t jika kontrol u 1 (T ) Ω(u(t)) dapat ditemukan demikian rupa sehingga x(u 1, x, t 1 ) = x 1 untuk waktu t 1 t. Koleksi dari semua x 1 tersebut disebut reachable states pada waktu t. Istilah controllability merujuk pada kenyataan bahwa beberapa state terminal x 1 dapat dicapai dari state awal x dengan pilihan kontrol u(t)yang tepat, u(t) Ω(u). Jadi, controllability merupakan syarat perlu untuk adanya suatu solusi. Observability adalah kemampuan untuk menentukan state awal x dari observasi data dan output. Output menyatakan hubungan antara peubah state dengan [eubah kontrol, misalnya y(t) = g[x(t), u(t), t]. Masalah observability hanya muncul jika output tidak dapat diukur secara eksplisit. 1.5 Fungsional Objektif Peubah kontrol u(t) harus dipilih dalam rangka memaksimumkan atau meminimumkan fungsional objektif J[u(t)], (fungsional objektif ini merupakan ukuran performance, makanya kadang-kadang juga disebut indeks performance) : (1.3) J[u(t)] = dengan f adalah fungsi bernilai riel. Jika fungsi t f (x(t), u(t), t)dt f (x, u, t) = π(x, p)e rt, atau f = u(c)e rt, maka fungsional J merupakan nilai kini (present value) dari profit π atau utilitas konsumsi yang terdiskon pada tingkat diskon r. Secara umum, terdapat 3 alternatif untuk menyajikan formulasi fungsional objektif ( 1.3), yaitu : 1. (Formulasi Bolza) Formulasi fungsional objektif bentuk Bolza merupakan formulasi yang lebih umum. (1.4) J[u(t)] = S[x(T ), T ] + t f (x(t), u(t), t)dt dengan f dan S adalah fungsi yang kontinu dan dapat diturunkan. Fungsi S[x(T ), T ] dikenal dengan fungsi scrap value pada waktu terminal T. 3

2. (Formulasi Lagrange ) Formulasi Lagrange merupakan bentuk khusus dari ( 1.4), dengan S[x(T ), T ] =, yaitu (1.5) J[u(t)] = t f(x(t), u(t), t)dt 3. (Formulasi Mayer) Formulasi Mayer ini juga merupakan bentuk khusus dari ( 1.4), dengan f(x(t), u(t), t) =, yaitu (1.6) J[u(t)] = S[x(T ), T ] Dengan pendefinisian kembali peubah-peubahnya, maka ke-3 alternatif di atas ekivalen. Misalnya, formulasi Bolza dapat dikonversikan menjadi formulasi Mayer dengan mendefinisikan peubah tambahan x n+1 (t) sebagai x n+1 (t) = t akan menghasilkan J = x n+1 (t) + S[x(T ), T ]. t f(x, u, τ)dτ, x n+1 (t ) = 1.6 Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum Dalam masalah kalkulus variasi dalam bentuk baku, tujuannya adalah untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsional objektif J[x(t)] = f (x(t), ẋ(t), t)dt dengan fungsi kendala atau tanpa kendala; fungsi kendala dapat berupa persamaan diferensial atau persamaan aljabar. Misalnya, ẋ = f(x(t), ẋ(t), t). Dalam bentuk baku, kontrol optimum mempunyai tujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsional objektif J[u(t)] = f (x(t), u(t), t)dt dengan kendala persamaan diferensial ẋ = f(x(t), u(t), t). Apabila ẋ(t) = u(t), maka masalah kalkulus variasi sama saja dengan masalah kontrol optimum. Kenyataannya, masalah kontrol optimum dapat diselesaikan dengan teknik kalkulus variasi (persamaan Euler) dan sebaliknya prinsip Maksimum Pontryagin yang merupakan syarat perlu untuk adanya kontrol optimum dapat diperlakukan sebagai pengembangan dari kalkulus variasi. 4

Chapter 2 Kalkulus Variasi 2.1 Pendahuluan Kalkulus variasi merupakan cabang ilmu matematika yang berkaitan dengan pengoptimuman fungsional. Cabang ilmu ini telah mulai berkembang sejak ditemukannya masalah isoperimetris untuk pertamakalinya sekitar tahun 85 B.C. Akan tetapi, progres yang signifikan dalam cabang ilmu ini baru terjadi sekitar penghujung abad 17 melalui penemuan masalah brachitoschrone, yang solusinya diberikan oleh Newton, de l Hospital, John dan Jacob Bernoulli pada tahun 1696. Dalam bidang ekonomi, penggunaan kalkulus variasi sudah ada sejak tahun 192an, melalui karya Evans (1924 dan 193), Ramsey (1928) dan Hotelling (1931). Evans dan Roos berupaya untuk menemukan harga optimum untuk keseluruhan periode perencanaan, seperti memaksimumkan fungsional keuntungan dari monopolist. Sedangkan Ramsey ingin menemukan program penghematan yang meminimumkan perbedaan tingkat utilitas. Masalah penghematan optimum ini, yang memuat sumber inspirasi dalam teori pertumbuhan ekonomi yang optimum, diselesaikan dengan kalkulus variasi. Sementara itu Hotelling menggunakan kalkulus variasi dalam masalah penambangan optimum dari sumber daya alam. 2.2 Fungsional Dan Variasi Fungsional memainkan peranan penting dalam kalkulus variasi. Fungsional, misalnya norm x = x, atau misalnya J(x) = b a x(t)dt, adalah suatu aturan yang mengkaitkan tiap fungsi x R dengan suatu bilangan tunggal x atau J(x). Terdapat analogi antara fungsi dengan fungsional. Argumen dari fungsi merupakan peubah, misalnya x = x(t), sedangkan argumen dari fungsional merupakan fungsi, misalnya J(x(t)) = b a x(t)dt. Apabila fungsi secara lengkap dapat ditentukan manakala peubahnya diberikan nilai-nilai tertentu, maka 5

suatu fungsional secara lengkap ditentukan oleh pilihan fungsi tertentu dari sekumpulan fungsi yang admissible. Increment atau kenaikan dari argumen fungsi adalah dt = t t, sementara increment dari argumen fungsional, yang kita sebut dengan variasi dan dengan notasi δx merupakan selisih δx = x(t) x(t ). Dalam mempelajari fungsi, kita tertarik untuk menemukan titik yang memberikan ekstremum untuk fungsi, sedangkan dalam pembahasan fungsional kita tertarik untuk menemukan fungsi yang memberikan ekstremum untuk fungsional. Variasi dari fungsional J(x) adalah J(x) = J(x+δx) J(x). Dengan mengambil δx = h sebarang fungsi, maka dengan menggunakan perluasan deret Taylor, maka diperoleh J(x + δx) = = + sehingga diperoleh (2.1) = J(x) + f(x + h, ẋ + ḣ, t)dt f(x, h, t)dt + (hf x + ḣf ẋ)dt (h 2 f xx + 2hḣf xẋ + fẋẋ ḣ 2 )dt + O h 2 f(x, h, t)dt + J(h) = J(x + h) J(x) = φ(h) + Q(h) + O h 2 (h 2 f xx + 2hḣf xẋ + fẋẋ ḣ 2 )dt + O h 2, = δj(h) + δ 2 J(h) + O h 2 dengan φ(h) merupakan suku-suku linear dalam deret Taylor yang kita sebut dengan variasi pertama δj(h) dan Q(h) adalah suku-suku kuadrat yang mengindikasikan variasi kedua δ 2 J(h) dan O h 2 untuk h. Definisi 2.1 Fungsional J(x) dikatakan mencapai maksimum (minimum) lokal atau relatif sepanjang x (t) apabila J(x ) ( ), yaitu J(x ) J(x) (J(x ) J(x)) untuk semua fungsi-fungsi yang cukup dekat dengan x. Fungsional J(x) dikatakan mencapai maksimum (minimum) global sepanjang x (t) apabila J(x ) ( ), yaitu J(x ) J(x) (J(x ) J(x)) untuk semua fungsi x(t) x (t). 2.3 Syarat Perlu Untuk Optimum : Persamaan Euler Misalkan C[, T ] menyatakan kelas semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang [, T ] dan C i [, T ] menyatakan semua fungsi yang didefinisikan di selang [, T ] dan memiliki turunan ke-i yang kontinu. Perhatikan masalah variasi dalam bentuk sederhana, (2.2) J(x) = 6 f(x, ẋ, t)dt

dengan titik ujung A(, x()) dan B(T, x(t )) adalah tetap, f(x, ẋ, t), x(t) C 2 [, T ] dan ẋ dx/dt dan x adalah fungsi bernilai skalar. Permasalahan adalah memilih fungsi x (t) diantara fungsi-fungsi admissible, yaitu semua fungsi x(t) C 2 [, T ] yang memiliki titik awal di A dan titik akhir di B yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional J(x). Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah δj(x) =. Misalkan (2.3) δj(x) = g(t)h(t)dt dengan g(t) C[, T ] dan h(t) sebarang fungsi yang memenuhi h() = h(t ) =. Lema 2.1 ( Lema Dasar ) Misal g(t) C[, T ] dan S himpunan semua fungsi h(t) kontinu dan dapat diturunkan di [, T ] dan h() = h(t ) = dengan T adalah tetap. Jika (2.4) g(t)h(t)dt = untuk semua h S, maka g(t) = untuk semua t [, T ]. Bukti : Misalkan g(t), yaitu g(t) >, pada [, T ]. Dengan sifat kekontinuan, maka g(t) untuk suatu selang [a, b] [, T ], dengan < a < b < T. Misal h(t) (t a)(b t) untuk t [a, b] dan h(t) =, t [a, b]. Jelas bahwa h(t) memenuhi persyaratan lema. Tetapi, g(t)(t a)(b t)dt. Suatu kontradiksi. Dengan demikian, haruslah g(t) =. Teorema 2.1 Misalkan J(x) = f(x, ẋ, t)dt didefinisikan pada C [, T ] dan memenuhi syarat batas x() = x, x(t ) = x T. Maka syarat perlu bagi J(x) untuk memiliki ekstremum adalah fungsi x(t) memenuhi persamaan Euler: (2.5) f x d dt f ẋ =, atau dituliskan dalam bentuk penuh, yang disebut persamaan Euler-Lagrange : (2.6) f x fẋt f xẋ ẋ fẋẋ ẍ =. Bukti : Syarat perlu untuk ekstremum adalah δj(x) =, yaitu (2.7) δj = [f x (x, ẋ, t)h + fẋ(x, ẋ, t)ḣ]dt =, 7

dengan f x f(x, ẋ, t)/ x, fẋ f(x, ẋ, t)/ ẋ dan h(t) adalah fungsi displacement merupakan fungsi kontinu sebarang dan bersifat h() = = h(t ). Dengan melakukan integrasi bagian terhadap suku kedua, diperoleh ḣfẋ = hfẋ T = karena h() = = h(t ). Sehingga diperoleh (2.8) δj = ( d dt f ẋ)hdt ( d dt f ẋ)hdt (f x d dt f ẋ)hdt =, yang pada gilirannya dengan Lema Dasar memberikan persamaan Euler : f x d dt f ẋ =. Contoh 2.1 Tentukan ekstremum dari 1 (aẋ2 +bt)dt, diberikan x() =, x(1) = 2, a. Solusi : Fungsi integran adalah dalam bentuk f(ẋ) = aẋ 2 +bt. Persamaan Euler memberikan d/dt(2aẋ) =, atau ẍ =, karena a. Lakukan integrasi, maka diperoleh ẋ(t) = c dan x(t) = ct + d, dengan c dan d merupakan konstanta yang akan ditentukan nilanya dari syarat batas x() = dan x(1) = 2. Akhirnya diperoleh solusi yang merupakan garis lurus, yaitu x(t) = 2t. Contoh 2.2 Tentukan ekstremum dari 1 f(x, ẋ, t)dt, dengan fungsional objektif didefinisikan oleh f(x, ẋ, t) aẋ 2 + bx, dan persyaratan pada kedua titik ujung diberikan oleh x() = 1 dan x(1) = 5. Solusi : Fungsi f(x, ẋ, t) = aẋ 2 + bx. Maka persamaan Euler f x d f dt ẋ = akan memberikan b d 2aẋ =. Yang terakhir ini akan memberikan ẍ = b/(2a). Dengan melakukan integrasi dua dt kali, maka akan diperoleh solusi umum x(t) = b 4a t2 + k 1 t + k 2. Dengan menggunakan x() = 1 dan x(1) = 5, diperoleh k 1 = 25b/a, diperoleh solusi khusus x(t) = b 4a t2 + 25b/at + 1. k 2 = 1, sehingga 8

Contoh 2.3 Seorang produsen merencanakan produksi dalam rentang waktu [, 1]. Tingkat output pada waktu t = adalah nol dan tingkat output pada waktu terminal t = 1 adalah sebesar 1 satuan produksi. Tentukan tingkat output optimum x(t) apabila produsen dihadapkan pada harga pasar stabil, p = 4 satuan moneter dan fungsi ongkos total ẋ 2 + x 2 yang mengalami diskon pada tingkat suku bunga pasar r =, 2. Solusi : Fungsional objektif yang akan dimaksimumkan oleh investor adalah J(x) = 1 Persamaan Euler memberikan e,2t [4x (ẋ 2 + x 2 )]dt, x() =, x(1) = 1. f x d dt f ẋ = e,2t (4 2x) d dt e,2t ( 2ẋ) =, yaitu menghasilkan ẍ, 2ẋ x = 2. Solusi dari persamaan diferensial ini adalah x(t) = k 1 e λ 1t + k 2 e λ 2t + 2, dengan λ 1, λ 2 =, 1 ±, 1 + 1 merupakan akar dari persamaan karakteristik λ 2, 2λ 1 =, dan 2 merupakan solusi dari persamaan diferensial tak homogen. Konstanta k 1 dan k 2 adalah konstanta integrasi yang dapat ditentukan dari syarat batas x() = dan x(1) = 1. Akhirnya diperoleh solusi khusus, yaitu x(t) = 3, 358e 1,15t 5, 358e,95t + 2. 2.4 Persamaan Euler Yang Lebih Umum 2.4.1 Kasus Peubah banyak Perhatikan fungsional objektif J(x) = f(x, ẋ, t)dt, dengan x = (x 1, x 2,..., x n ) dan ẋ = ( x 1, x 2,..., x n ). Maka, dengan melakukan integrasi bagian terhadap δj dan dengan menggunakan h i () = = h i (T ), i diperoleh : δj = = ( n h i f xi + 1 n h i f xi )dt = 1 (f xi d dt f x i )h i dt, h i (t). 9

Dengan menggunakan Lema Dasar, akan menghasilkan persamaan Euler (2.9) f xi d dt f x i =, i, atau dalam bentuk penuh, persamaan Euler-Lagrange (2.1) f xi f xi t f xi x i x i f xi x i ẍ i =, (1 i n). Contoh 2.4 Tentukan ekstremum untuk 1 ( x 1 2 + x 2 2 + e t )dt dengan syarat batas x 1 () = 1, x 1 (1) = 11 dan x 2 () = 2, x 2 (1) = 6. Solusi : Fungsi integran dalam bentuk f(x 1, x 2, x 1, x 2, t) = x 2 1 + x 2 2 +e t. Persamaan Euler memberikan f xi d dt f ẋ i = d dt 2ẋ i (i = 1, 2), yaitu ẍ i =, ẋ i = k i, dengan solusinya adalah persamaan linier x i (t) = k i (t)+c i, (i = 1, 2). Dengan menggunakan syarat batas, maka diperoleh solusi khusus x 1 (t) = t + 1, x 2 (t) =, 4t + 2. 2.4.2 Kasus Fungsi f Memuat Turunan ke-n Perhatikan fungsional objektif dengan fungsi f memuat turunan ke-n, (n 1) (2.11) J(x) = f(t, x, ẋ, ẍ,..., x n )dt dengan titik ujung tetap x i () = x i, dan x i i (T ) = x T berturut-turut memberikan persyaratan h() = ḣ() =... = hn () =, dan h(t ) = = ḣ(t ) =... = hn (T ). Syarat perlu untuk adanya ekstremum bagi J(x) adalah (2.12) δj = (f x h + fẋḣ + fẍḧ +... + f x nh n )dt =. Integrasi bagian terhadap suku kedua integran menghasilkan fẋḣdt = fẋh T = karena h() = = h(t ). ( d dt f ẋ)hdt ( d dt f ẋ)hdt 1

Integrasi bagian terhadap suku ketiga integran, dan mengulangi integrasi bagian sampai diperoleh suku yang memuat perkalian dengan fungsi h, diperoleh : fẍḧdt = fẍḣ T = d dt f ẍh T + = + ḣ d dt f ẍdt h d2 dt 2 f ẍdt. h d2 dt 2 f ẍdt Penggunaan integrasi bagian secara berulang terhadap suku-suku berikutnya dan dengan menggunakan syarat h() = = ḣ() = ḧ() =... = hn () dan h(t ) = = ḣ(t ) = ḧ(t ) =... = h n (T ), menghasilkan δj = (f x d dt f ẋ + d2 dt f 2 ẍ +... + ( 1) n dn dt f n xn)hdt =. Dengan Lema Dasar, maka diperoleh persamaan Euler-Poisson : (2.13) f x d dt f ẋ + d2 dt 2 f ẍ +... + ( 1) n dn dt n f x n =. Contoh 2.5 Tentukan ekstremum dari 1 (ẍ2 + ẋ + at 2 )dt, dengan x() =, ẋ() = 1, x(1) = 1, dan ẋ(1) = 1. Solusi : Fungsi objektif adalah f(ẍ, ẋ, x, t) = ẍ 2 + ẋ + at 2. Persamaan Euler-Poisson memberikan f x d dt f ẋ + d2 dt f 2 ẍ = d dt 1 + d2 2ẍ =, dt2 yang memberikan x (4) =. Dengan melakukan integrasi secara berulang, maka diperoleh solusi umum x(t) = k 1t 3 6 + k 2t 2 2 + k 3t + k 4, dengan konstanta integrasi k 1, k 2, k 3 dan k 4 ditentukan dari syarat batas yang diberikan. Maka akan diperoleh solusi atau ekstremal x(t) = t. 2.5 Kasus Khusus Persamaan Euler 2.5.1 Fungsi f Tidak Memuat x Fungsional objektif adalah dalam bentuk J(x) = 11 f(ẋ, t)dt,

dengan f tidak memuat x secara ekslpisit. Persamaan Euler akan berbentuk d/dtfẋ =. Ini berarti bahwa fẋ = k, dengan k adalah konstanta. Ini merupakan persamaan diferensial ordo-1, dengan k merupakan konstanta sebarang. Solusinya diperoleh dengan melakukan integrasi ẋ. Jika f bergantung hanya pada ẋ, maka persamaan Euler menjadi d dt f ẋ = fẋẋ ẍ =. Hal ini terjadi hanya jika ẍ =, yang memberikan ẋ = c, dan x(t) = c 1 t + c 2, atau terjadi jika fẋẋ =. Jika fẋẋ memiliki akar nyata, dalam hal ini ẋ(t) = c, maka solusinya adalah x(t) = c 3 t + c 4. Terlihat bahwa manapun yang berlaku, solusi dari persamaan Euler berbentuk persamaan garis lurus x(t) = at + b. Contoh 2.6 Tentukan ekstremum untuk fungsional objektif J(x) = 1 (tẋ + ẋ2 )dt dengan syarat batas x() = 1, x(1) = 1. Solusi : Karena fungsi f(x, ẋ, t) = tẋ + ẋ 2 tidak memuat x, maka persamaan Euler menghasilkan d/dt(fẋ) = t + 2ẋ yang memberikan t + 2ẋ = konstanta, atau ẋ = 1/2t + k 1. Dengan melakukan integrasi secara langsung, diperoleh solusi umum : x(t) = 1 4 t2 + k 1 t + k 2. Dengan menggunakan syarat batas, diperoleh k 1 = 1/4, k 2 = 1, sehingga diperoleh solusi khusus : x(t) = 1 4 t2 + 1 4 t + 1. 2.5.2 Fungsi f Tidak Memuat t Fungsional objektif dalam bentuk Persamaan Euler memberikan J(x) = f(x, ẋ)dt. f x d dt f ẋ = f x fẋx ẋ fẋẋ ẍ Kalikan dengan ẋ memberikan f x ẋ fẋx ẋ 2 fẋẋ ẋẍ d dt (f ẋf ẋ) =. Ini berarti bahwa f ẋfẋ = k. 12

2.5.3 Fungsi f Tidak Memuat ẋ Fungsional objektif dalam bentuk J(x) = f(x, t)dt. Persamaan Euler memberikan f x =. Ini bukan persamaan diferensial, tetapi secara umum merupakan persamaan aljabar tak linier. Umumnya, syarat batas tidak dapat dipenuhi, karena tidak ada konstanta integrasi. Dengan kata lain, solusi ada hanya jika kurva x = x(t) melewati titik batas. 2.6 Masalah Variasi Dengan Kendala Dalam masalah kalkulus variasi, kadangkala terdapat kendala tambahan yang disebabkan oleh kondisi fisik dari permasalahan. Ekstremum dari fungsional didefinisikan dalam kerangka kendala tersebut yang sering dikenal dengan sebutan ekstremum berkendala. Implikasi yang sangat penting dari kendala tersebut adalah variasi δx i bukan lagi merupakan sebarang sehingga Lema Dasar tidak dapat diterapkan. Untuk masalah seperti ini digunakan metoda substitusi atau yang lebih dikenal dengan sebutan pengali Lagrange. Akan dibahas kendala titik, kendala persamaan diferensial dan kendala isoperimetric. 2.6.1 Kendala Titik Dan Persamaan Diferensial Perhatikan masalah menentukan ekstremum fungsional (2.14) terhadap kendala (2.15) f(x, ẋ, t)dt g i (x, ẋ, t) =, (1 i r < n) dengan x merupakan vektor dimensi-n dan ẋ merupakan turunannya terhadap waktu t, serta f(x, ẋ, t) adalah fungsi bernilai skalar. Persamaan g i (x, ẋ, t) = disebut dengan kendala persamaan diferensial. Apabila g i (x, ẋ, t) tidak memuat ẋ maka g i (x, t) = disebut kendala titik. Definisikan fungsi Lagrange L sebagai berikut : (2.16) atau dalam bentuk skalar (2.17) L f(x, ẋ, t) + p.g i (x, ẋ, t) r L f(x, ẋ, t) + p i g i (x, ẋ, t) i=1 13

dengan x() = x dan x(t ) = x T. Definisikan fungsional objektif yang diperluas, J a sebagai berikut (2.18) Variasi δj a adalah (2.19) δj a = = J a L(x, ẋ, p, t)dt. (L x δx + Lẋδẋ + L p δp)dt [(L x d dt L ẋ)δx + L p δp]dt. Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah δj a = dan dipenuhinya kendala yang ada. In berarti bahwa persamaan Euler berikut harus dipenuhi, yaitu : (2.2) (2.21) L x d dt L ẋ =, L p d dt L ṗ =, dengan L x f x + g x p, dan Lẋ fẋ + gẋp, untuk kendala diferensial, dan Lẋ fẋ untuk kendala titik. Karena Lṗ = maka diperoleh L p = g =. Solusi, atau ekstremal akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial yang diberikan oleh persamaan Euler. 2.6.2 Kendala Isoperimetris Pada awalnya, masalah isoperimetric adalah masalah mencari kurva dengan panjangnya l yang melingkari daerah terbesar. Dalam perspektif yang lebih luas, masalah isoperimetric adalah masalah variasi dengan kendala yang diberikan dalam bentuk integral tentu yang mempunyai nilai tertentu. Secara matematis, masalah isoperimetric adalah masalah menentukan ekstremum dari fungsional objektif (2.22) terhadap kendala (2.23) dan (2.24) J(x) = f(x, ẋ, t)dt x i () = x i, x i (T ) = x it, (1 i n) g i (x, ẋ, t)dt = l i, (1 i r < n) dengan l i merupakan konstanta. Kendala ( 2.24) dinamakan kendala isoperimetric. Definisikan fungsi baru y i (t) t g i(x, ẋ, t)dt, dengan y i () =, dan y i (T ) = l i, (1 i r < n). Dengan menurunkan y i (t) terhadap waktu t maka diperoleh ẏ i (t) = g i (x, ẋ, t) atau g i ẏ i =. Dengan cara ini, kendala isoperimetric sudah ditransfer menjadi kendala 14

persamaan diferensial. Jadi, untuk menyelesaikannya, digunakan metode pengali Lagrange. Fungsional yang diperluas diberikan oleh (2.25) J a Persamaan Euler memberikan (2.26) (2.27) = F (x, ẋ, t)dt r [f(x, ẋ, t) + p i (t)(g i ẏ i )]dt i=1 F d x j dt ( F ) ẋ j = (1 i n) F d y j dt ( F ) ẏ j = (1 i r) Selanjutnya, solusi atau ekstremum akan diperoleh dengan menentukan solusi dari persamaan diferensial yang dibentuk oleh persamaan Euler. Contoh 2.7 Maksimumkan J(x) = ẋ2 dt, terhadap kendala x() = x, x(t ) = x T dengan T diberikan, dan (1 + x)dt = l, (l konstanta ). Solusi : Definisikan fungsi y(t) dengan y(t) t (1 + x)dt dengan y() =, y(t ) = l. Maka ẏ(t) = 1 + x(t), dan fungsi Lagrange diberikan oleh L = ẋ 2 + p(1 + x ẏ). Sehingga persamaan Euler memberikan 2ẍ = p, dengan solusinya adalah Syarat batas memberikan x() = x = b x(t) = p 4 t2 + at + b. x(t ) = x T = p 4 T 2 + at + b l = (1 + x)dt = Persamaan yang terakhir ini memberikan (1 + p 4 t2 + at + b)dt p = 12 T 3 (l a 2 T 2 (1 + b)t ). Persamaan di atas akan memberikan kontanta a, b dan p. 15

2.7 Syarat Batas Dalam Masalah Variasi 2.7.1 Dua Titik Ujung Tetap Dan Syarat Batas Natural Perhatikan fungsional objektif (2.28) J(x) = f(x, ẋ, t)dt Syarat perlu terdapatnya ekstremum adalah δj =, dengan (2.29) δj = = (f x h + fẋḣ)dt (f x d dt f ẋ)hdt + hfẋ T =. Karena persamaan Euler harus dipenuhi, yaitu f x d dt f ẋ =, maka suku kedua pada persamaan ( 2.29) haruslah memenuhi (2.3) hfẋ T =. Jika titik awal A(, x ) dan titik terminal B(T, x T ) merupakan dua titik tetap, maka h() = = h(t ), atau X() = x, x(t ) = x T dan persamaan ( 2.3) dipenuhi. Permasalahan seperti ini dikenal dengan sebutan masalah dua titik ujung tetap. Apabila titik ujung x() dan x(t ) tidak diberikan, maka fungsi h(t) tidak lagi memenuhi h() = = h(t ). Sehingga untuk dapat terpenuhinya persyaratan ( 2.3) haruslah dipenuhi (2.31) fẋ = pada t = dan fẋ = pada t = T. Persyaratan ini dikenal dengan sebutan syarat batas natural. Persamaan ( 2.31) akan menentukan konstanta integrasi. Contoh 2.8 Perhatikan masalah brachistochrone yang meminimumkan fungsional objektif dengan T = 1 dan x() = 4. J(x) = 1/ (1 + ẋ 2 )dt, Solusi : Persamaan Euler memberikan ẍ =, yang memberikan solusi x(t) = at + b. Apabila x() = 4 dan T = 1, tetapi x(1) belum ditentukan, maka kita gunakan syarat fẋ t=1 =, yaitu ẋ(1) fẋ t=1 = =, (1 + ẋ 2 (1)) 1/2 memberikan ẋ(1) = a =. Sedangkan x() = 4 memberikan b = 4, sehingga diperoleh solusi khusus x(t) = 4. 16

2.7.2 Titik Ujung Bebas Perhatikan masalah menentukan ekstremum untuk fungsional objektif (2.32) J(x) = t f(x, ẋ, t)dt dengan t, T, x(t ) dan x(t ) semuanya belum diketahui. Untuk memudahkan pembahasan, misalkan t = dan x() = x adalah tetap, sedangkan T dan x(t ) adalah bebas. Variasi pertama adalah (2.33) δj = = (f x h + fẋḣ)dt + f(.) T δt (f x d dt f ẋ)hdt + hfẋ T + f(.) T δt Karena variasi pada titik ujung tidak mempengaruhi variasi dalam selang terbuka (, T ), maka syarat perlu untuk δj = adalah dipenuhinya persamaan Euler, yaitu (2.34) f x d dt f ẋ =. Akibatnya, persamaan ( 2.33) menjadi δj = fẋh T + f(.) T δt =. Dengan menggunakan informasi h(t ) = δx T ẋ(t )δt, menghasilkan Syarat Batas atau Syarat Transversalitas : (2.35) (f(.) T ẋfẋ T )δt + fẋ T δx T =. Syarat batas ini akan menentukan nilai T dan x T. Terdapat 2 kasus yang perlu diperhatikan. Kasus pertama apabila variasi δx T dan δt saling bebas. Akibatnya, koefisien dari δx T dan δt dalam persamaan ( 2.35) masing-masing sama dengan nol, yaitu (2.36) f(.) T ẋfẋ T =, dan fẋ T =, yang secara bersama menghasilkan (2.37) f(.) T = = fẋ T. Kasus kedua apabila titik ujung B(T, x T ) bergerak sepanjang kurva x(t) = g(t). Untuk kasus ini, maka δx T = ġ(t )δt. Dengan substitusi ini ke dalam persamaan ( 2.35) menghasilkan (2.38) (f(.) + [ġ(t ) ẋ(t )]fẋ) t=t δt =. Analisis yang sama berlaku pula untuk kasus titik awal bebas, yaitu apabila t dan x(t ) bebas. Secara umum, Syarat Transversalitas atau Syarat Batas ( 2.35) menjadi (2.39) [f(.) ẋfẋ]δt t=t t=t + fẋδx(t) t=t t=t =. 17

Dengan cara yang sama seperti analisis untuk satu titik ujung tetap, maka untuk kasus variasi δx T dan δt saling bebas, diperoleh (2.4) f(.) t=t t=t = = fẋ t=t t=t dan untuk kasus titik ujung bergerak sepanjang kurva g, akan diperoleh (2.41) [f(.) + (ġ ẋ)fẋ] t=t t=t δt =. Syarat Transversalitas di atas mencakup semua kasus yang ada, sebagai berikut : 1. Apabila kedua titik ujung terletak pada garis lurus t = t dan t = T, maka δt = = δt sehingga suku pertama dalam persamaan ( 2.39) menjadi nol dan persamaan ( 2.39) menjadi fẋδx(t) t=t t=t =. 2. Apabila titik ujung A dan B tetap, yaitu x(t ), x(t ) dan t dan T tetap, maka δt = = δt dan δx() = = δx(t ). Jadi kita mempunyai masalah dua titik ujung tetap, dan konstanta integrasi ditentukan oleh syarat batas pada titik A dan B. 3. Apabila x dan x T tetap, tetapi t dan T bebas, maka δx() = = δx(t ), tetapi δt dan δt. Persamaan ( 2.39) memberikan (f(.) ẋfẋ) t=t t=t =. 4. Titik ujung bebas, yaitu x, x T, t dan T semuanya bebas, maka Syarat Transversalitas ( 2.39) harus dipenuhi. Dalam hal ini, (f(.) ẋfẋ) t=t t=t =, dan fẋ t=t t=t =. 5. Titik ujung bebas, yaitu x(t ), x(t ), t dan T semuanya bebas, tetapi x(t ) dan x(t ) harus bergerak sepanjang kurva x(t ) = g 1 (t ) dan x(t ) = g 2 (T ). Maka konstanta integrasi akan ditentukan oleh [f + (ġ 1 ẋ)fẋ] t=t = dan f + (ġ 2 ẋ)fẋ] t=t =. 6. Kombinasi dari semua kasus-kasus di atas. 7. Kadangkala dalam masalah ekonomi, syarat yang diberikan pada titik ujung tidak selalu dalam bentuk suatu nilai, tapi dibatasi oleh suatu nilai. Misalnya, jumlah produksi x pada waktu terminal haruslah lebih besar dari suatu nilai. 18

Perhatikan masalah memaksimumkan fungsional objektif (2.42) Definisikan J(x) = t f(x, ẋ, t)dt, x(t ) = x, x(t ) x T, (x T diberikan, T tetap.). Maka syarat batas yang harus dipenuhi oleh masalah seperti ini adalah f ẋ t=t, (=, jika x(t ) > x T ). (2.43) (2.44) p(t) f/ ẋ, H f(x, ẋ, t) ẋfẋ f + pẋ. Syarat Transversalitas ( 2.39) dapat dituliskan dalam bentuk (2.45) (Hδt + pδx) t=t t=t =. Untuk kasus waktu awal t dan waktu terminal T bebas, maka H(t ) = = H(T ). Sedangkan untuk kasus x(t ) dan x(t ) belum ditentukan maka p(t ) = = p(t ). Syarat Batas dan Penentuan Konstanta Integrasi Kasus Substitusi Syarat Batas T dan x(t ) δx T = x () = x dua2nya ditentukan δt = x (T ) = x T x(t ) bebas δx(t ) x () = x T ditentukan δt = fẋi t=t = x(t ) = x T tetap δx T = x () = x T bebas δt x (T ) = x T H (f ẋfẋ) t=t = x(t ) dan T δx(t ) x () = x dua2nya belum ditentukan δt fẋ t=t = dan saling bebas H (f ẋfẋ) t=t = x(t ) dan T bebas ẋ(t ) = ġ(t )δt x () = x, x (T ) = g(t ) tetapi x(t ) = g(t ) δx i (T ) = ġ i (T )δt (f + (ġ(t ) ẋ(t ))fẋ) t=t = T tetap x T diberikan fẋ t=t, (=, x(t ) > x T ) x(t ) x T Contoh 2.9 Perhatikan masalah meminimumkan fungsional objektif J(x) dengan J(x) = 2 dengan x() dan x(2) belum ditentukan. (ẋ 2 + xẋ + 2ẋ + 4x)dt 19

Solusi : Persamaan Euler memberikan ẍ = 2, dengan solusinya adalah x(t) = t 2 + k 1 t + k 2. Konstanta k 1 dan k 2 akan ditentukan dari syarat fẋ = 2ẋ + x + 2 =, untuk t =, dan t = 2. Syarat di atas memberikan k 1 = 6, k 2 = 1. Sehingga diperoleh solusi x(t) = t 2 6t + 1. Contoh 2.1 Tentukan ekstremum untuk fungsional objektif J(x) = dengan setiap kasus kendala berikut : (x + ẋ 2 )dt 1. x() = 1, T = 2, x(2) = 1 ( dua titik ujung tetap ). 2. x() = 1, T = 2, x(2) bebas ( titik ujung bebas ). 3. x() = 1, x(t ) = 4, T bebas tetapi T > 2 ( waktu terminal bebas ). Solusi : Persamaan Euler memberikan 1 2ẍ =, yang memberikan solusi x(t) = 1 4 t2 + k 1 t + k 2, dengan konstanta k 1 dan k 2 akan ditentukan untuk setiap kasus sebagai berikut : 1. x() = 1 k 2 = 1, x(2) = 1 k 1 = 4, sehingga solusi adalah x(t) = 1 4 t2 + 4t + 1. 2. x() = 1 k 2 = 1. Untuk menentukan k 1 gunakan fẋ = 2ẋ = pada t = T, yaitu ẋ(t ) =, memberikan k 1 = 1. Jadi, diperoleh solusi x(t) = 1 4 t2 t + 1. 3. x() = 1 k 2 = 1. Untuk menentukan k 1 gunakan persyaratan (f ẋfẋ) t=t =, yang menghasilkan ẋ 2 (T ) + x(t ) =. Ini akan memberikan k 1 = ±1. Untuk k 1 = 1 T = 2. sedangkan untuk k 1 = 1 T = 6. Karena T > 2, maka haruslah k 1 = 1. Sehingga diperoleh solusi optimum adalah x(t) = 1 4 t2 t + 1, T = 6. 2

2.8 Syarat Cukup / Sufficiency Conditions 2.8.1 Variasi Fungsional Perhatikan fungsional objektif (2.46) J(x) = Variasi total dari fungsional objektif adalah J(h) J(x + h) J(x) f(x, ẋ, t)dt. = (f x h + fẋḣ)dt + 1 (f xx h 2 + 2f xẋ hḣ 2 + fẋẋḣ2 )dt + O( h ) 2 δj(h) + δ 2 J(h) + O( h ) 2 = variasi pertama + variasi kedua + orde lebih tinggi dengan O( h ) 2 untuk h. Pada kurva ekstremum, δj(h) = dan J(h) harus memiliki tanda yang sama dengan tanda δ 2 J(h). Untuk memudahkan pembahasan, tuliskan variasi kedua sebagai berikut : (2.47) δ 2 J(h) = 1 2 (f xx h 2 + 2f xẋ hḣ + f ẋẋḣ2 )dt (P ḣ2 + Qh 2 )dt dengan P P (t) 1f 2 ẋẋ; Q Q(t) = 1(f 2 xx d f dt xẋ) dan dengan melakukan integrasi bagian maka diperoleh 2fxẋhḣdt = ( d f dt xẋ)h 2 dt. Untuk masalah meminimumkan, δ 2 J(h), dan untuk masalah memaksimumkan, δ 2 J(h). Untuk fokusnya, kita lihat masalah meminimumkan, dan untuk masalah memaksimumkan, tinggal mengganti tanda yang berlawanan. Akan dilihat kondisi-kondisi yang membuat δ 2 J(h). Akan ditunjukkan bahwa δ 2 J(h), jika dan hanya jika (P ḣ2 + Qh 2 ) untuk semua h(t) yang memenuhi h() = = h(t ). Fungsi h(t) yang memenuhi sifat ini bernilai kecil jika ḣ(t), t (, T ) juga bernilai kecil, tapi sebaliknya tidak berlaku. Apabila fungsi h(t) yang bersifat se[erti di atas dapat ditemukan demikian rupa sehingga h(t) kecil tetapi ḣ(t) besar untuk tin(, T ), maka P ḣ2 mendominasi Qh 2 dalam penentuan tanda dari δ 2 J(h), seperti yang ditunjukkan oleh lema dan teorema berikut. 2.8.2 Syarat Legendre Lema 2.2 Misalkan δ 2 J(h) = (P ḣ2 +Qh 2 )dt didefinisikan untuk fungsi h(t), yang memiliki sifat dapat diturunkan pada t (, T ) dan memenuhi h() = = h(t ). Maka syarat 21

perlu untuk δ 2 J(h) = (P ḣ2 +Qh 2 )dt adalah P (t), t (, T ). Ini disebut Syarat Legendre. Teorema 2.2 (Legendre). Syarat perlu bagi fungsional objektif J(x) = f(x, ẋ, t)dt dengan syarat pada titik ujung x() = x, x(t ) = x T untuk memiliki nilai minimum ( atau maksimum ) untuk semua kurva x = x(t) adalah dipenuhinya syarat Legendre P (t) untuk semua t (, T ). Teorema Legendre ini, sayangnya masih merupakan syarat perlu. Upaya Legendre untuk membuktikannya sebagai syarat cukup untuk optimum mengalami kegagalan. 2.8.3 Syarat Jacobi Upaya Legendre yang gagal, membawa kepada suatu persamaan diferensial linier ordo-2 dalam v, d (P v) + Qv =. dt Teorema 2.3 Perhatikan persamaan diferensial orde-2 (2.48) d (P v) + Qv =. dt Jika P > (< ) dan solusi v(t) untuk semua fungsi v(t) yang dapat diturunkan memenuhi sifat v() = = v(t ), maka δ 2 J > (< ) artinya nilai minimum ( atau nilai maksimum ) telah diperoleh. Ini disebut syarat perlu Jacobi. 2.8.4 Syarat Weierstrass untuk Ekstremal Kuat Teorema 2.4 Definisikan fungsi ekstra E dengan (2.49) E(x, ẋ, p, t) = f(x, ẋ, t) f(x, p, t) (ẋ p)f p dengan p(t, x) adalah fungsi kemiringan/ slope dari ekstremum yang melalui titik (t, x). Apabila Jacobi dipenuhi maka E untuk masalah memaksimumkan dan E untuk masalah meminimumkan. 22

2.8.5 Syarat Legendre-Clebsch Teorema 2.5 Fungsi ekstra E dapat disederhanakan menjadi (2.5) E (ẋ p)2 fẋẋ (t, x, q) 2! dengan q = θẋ + (1 θ)p, ( < θ < 1). Supaya x(t) mencapai minimum ( atau maksimum) adalah cukup dipenuhi syarat Legendre-Clebsch E ( ) yang berarti fẋẋ ( ), atau dalam bentuk yang lebih umum, matriks [fẋẋ ] merupakan semi-definit positif ( atau negatif ) dan syarat Jacobi dipenuhi untuk semua ẋ. 2.8.6 Syarat Cukup : Kasus khusus Teorema 2.6 (Mangasarian). Misalkan f(x, ẋ, t) merupakan fungsi yang dapat diturunkan dua kali dan concave/cembung ( convex/cekung) dalam x dan ẋ. Maka syarat perlu dan syarat cukup untuk x sebagai maksimum ( atau minimum ) dari fungsional J(x) = adalah dipenuhinya persamaan Euler dan x() = x, dan x(t ) = x T. f(x, ẋ, t)dt 23

Chapter 3 Kontrol Optimum : Pendekatan Kalkulus Variasi 3.1 Formulasi Masalah Kontrol Optimum Teori kontrol optimum berkembang secara pesat pada tahun 5-an, dengan adanya penemuan 2 metode penyelesaian masalah kontrol optimum, yaitu dynamic programming yang ditemukan oleh Richard Bellman (1957) dan maximum principle yang ditemukan oleh Pontryagin (1962). Dengan alasan kepraktisan, pembahasan akan difokuskan pada teknik maximum principle, yang dapat didekati dengan metode kalkulus variasi, terutama yang terkait dengan syarat perlu yang tertuang dalam persamaan Euler. Lagi pula, masalah kalkulus variasi dengan kendala persamaan differensial merupakan masalah kontrol optimum, dengan mengganti peubah ẋ dengan peubah kontrol u(t). Perhatikan suatu masalah ekonomi yang berkembang menurut waktu. Pada waktu t, sistem berada dalam keadaan atau kondisi (state), yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan (state variables) x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t), atau dalam bentuk vektor x(t) R n. Dengan nilai t yang berbeda, vektor x(t) me-nempati posisi yang berbeda di ruang R n. Dalam hal ini, kita katakan bahwa sistem bergerak sepanjang suatu kurva di R n. Misalkan proses yang terjadi pada ekonomi (yang membuat x(t) bervariasi/bergerak) dapat dikendalikan atau dikontrol. Artinya, ada fungsi kontrol atau variable controls atau decision variables u 1 (t), u 2 (t),..., u k (t) atau dalam bentuk vektor u(t) R k, k n, yang mempengaruhi proses. [Contoh : pajak, tingkat suku bunga, alokasi investasi, dsb.] Tentunya kita harus mengetahui aturan/hukum/kaidah yang membentuk perilaku ekonomi sepanjang waktu, yang kita sebut dengan dinamika dari sistem. 24

Sistem yang akan kita lihat adalah sistem yang dibentuk oleh sistem persamaan differensial : (3.1) ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) dengan f = (f 1, f 2,..., f n ), f i dan f i / x i adalah kontinu. Misal state dari sistem diketahui pada waktu t sehingga x(t ) = x, x R n. Jika dipilih kontrol u(t) = (u 1 (t), u 2 (t),..., u k (t)) R k yang terdefinisi untuk waktu t t, maka diperoleh sistem x(t). Jadi, x(t) merupakan respons terhadap kontrol u(t), sehingga kadangkadang dituliskan sebagai x u (t). Untuk setiap fungsi kontrol u(t) dan respons x u (t) atau disingkat x(t), dikaitkan suatu bilangan J yang didefinisikan oleh (3.2) J[u(t)] = S[x(T ), T ] + t f (x(t), u(t), t)dt dengan fungsi f adalah suatu fungsi yang diberikan dan S[x(T ), T ] merupakan fungsi scrap. Waktu akhir atau waktu terminal T tidak selalu harus tetap, dan x(t ) dapat saja memiliki batasan tertentu. Definisi 3.1 Misalkan U menyatakan kelas dari semua fungsi yang kontinu bagian. Masalah kontrol optimum (MKO) adalah masalah menentukan fungsi kontrol u (t) diantara fungsi admissible u(t) U yang membawa sistem dari state awal x kepada state akhir/terminal x T yang memenuhi kondisi akhir/terminal, melalui sistem (3.3) ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) sehingga fungsional J mencapai nilai maksimum. Dengan kata lain, masalah kontrol optimum adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif (3.4) max J[u(t)] = S[x(T ), T ] + f (x(t), u(t), t)dt u(t) U t terhadap kendala ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), x(t ) = x, x(t) R n. 3.2 Syarat Perlu : Prinsip Maksimum Pontryagin Teorema 3.1 Misalkan u (t) sebagai kontrol admissible yang membawa state awal (x(t ), t ) kepada target state terminal (x(t ), T ), dengan x(t ) dan T secara umum tidak ditentukan. Misalkan x (t) merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan u (t). Supaya kontrol u (t) merupakan kontrol optimum adalah perlu terdapat fungsi vektor p (t), dan konstanta p demikian rupa sehingga 25

1. p (t) dan x (t) merupakan solusi dari sistem kanonik (3.5) (3.6) ẋ (t) = H p (x (t), u (t), p (t), t) ṗ (t) = H x (x (t), u (t), p (t), t) dengan fungsi Hamilton H diberikan oleh (3.7) H(x, u, p, t) = f (x(t), u(t), t) + p.f(x(t), u(t), t) dengan p 1. 2. H(x (t), u (t), p (t), t) H(x(t), u(t), p(t), t) 3. Semua syarat batas dipenuhi. Bukti : Untuk memudahkan pembahasan, ambil t = dan x() = x. Tuliskan fungsi scrap S[x(T ), T ] dalam bentuk (3.8) S[x(T ), T ] S[x, ] + d S[x(t), t]dt dt sehingga fungsional objektif J dalam persamaan ( 3.2) dapat ditulis dalam bentuk yang berikut : (3.9) (3.1) J[u(t)] = S[x, ] + = S[x, ] + [f (x(t), u(t), t) + d S(x(t), t)]dt t dt [f (.) + S t x ẋ + S t ]dt Suku S[x, ] dapat diabaikan untuk mempermudah pembahasan, karena x() = x sudah tetap, sehingga tidak mempengaruhi proses optimisasi. Tuliskan fungsional objektif yang diperluas J a (u) sebagai berikut (3.11) J a (u) = t L(x, ẋ, p, u, t)dt dengan fungsi L didefinisikan oleh (3.12) (3.13) L(x, ẋ, p, u, t) f (.) + p[f(.) ẋ] + S x ẋ + S t H(x, u, p, t) pẋ + S x ẋ + S t dengan H(x, u, p, t) f (x, u, t) + pf(x, u, t) merupakan fungsi Hamilton. 26

Dengan menggunakan syarat perlu untuk adanya ekstremum pada fungsional objektif yang diperluas, maka (3.14) (3.15) δj a (u) = [(L x d dt L ẋ)δx + L u δu + L p δp]dt + [Lẋδx + (L Lẋẋ)δt] t=t =. Karena persamaan Euler harus dipenuhi, maka haruslah (3.16) L x d dt L ẋ = H x + x (S xẋ + S t ) d dt (S x p) = H x + S xx ẋ + S xt S xx ẋ S xt + ṗ = H x + ṗ =. Ini memberikan (3.17) ṗ = H x Karena δu dan δp adalah sebarang dan saling bebas, maka haruslah L u = dan L p =. Dari pendefinisian fungsi L, maka sehingga diperoleh L u = H u, dan L p = f(.) ẋ = H p ẋ, (3.18) (3.19) H u = ẋ = f(x, u, t) = H p Syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh suku-suku sisanya, yaitu (3.2) [Lẋδx + (L Lẋẋ)δt] t=t =. Tetapi Lẋ = S x p L Lẋẋ H pẋ + S x ẋ + S t ẋs x + ẋp = H + S t sehingga diperoleh syarat transversalitas atau syarat batas (3.21) (S x p)δx t=t + [H(t) + S t ]δt t=t =. Apabila x(t ) dan t dua-duanya belum ditentukan pula, maka syarat batas menjadi (3.22) (S x p)δx t=t t=t + [H(t) + S t ]δt t=t t=t = yang menghasilkan teorema Pontryagin. Catatan : 27

1. H(x (t), u (t), p (t), t) H(x(t), u(t), p(t), t) disebut dengan Prinsip Maksimum Pontryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh H u = dan H uu <, untuk masalah yang kita bicarakan. Jika u U dan U himpunan tertutup, maka H u = tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari H diberikan oleh bagian dalam (interior ) himpunan U. 2. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u, dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah u imax untuk masalah memaksimumkan dan u imin untuk masalah meminimumkan. Jika H fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah u imin untuk masalah memaksimumkan dan u imax untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linier dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum u i adalah kontinu bagian dan loncat dari satu vertex ke vertex lainnya. Ini adalah kasus khusus dari kontrol bang-bang. 3. H(x (t), u (t), p (t), t) H(x(t), u(t), p(t), t) juga mencakup syarat cukup. 4. Vektor p disebut juga vektor adjoint, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoint merupakan shadow price nilai marginal dari vektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan/penurunan untuk setiap kenaikan/penurunan dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J. Sedangkan ṗ mengindikasikan tingkat kenaikan (appresiasi untuk ṗ >,) atau penurunan ( depresiasi untuk ṗ < )dalam nilai dari tiap unit modal. 5. dh/dt = H/ t. 6. ṗ = H x, H u =, ẋ = H p memberikan syarat perlu untuk masalah yang dibicarakan. 7. Syarat batas diberikan oleh persamaan ( 3.22). Apabila fungsi scrap S =, maka persamaan ( 3.22) menjadi (3.23) p(t)δx(t) t=t t=t + H(t)δt t=t t=t =. Khususnya, apabila waktu awal t dan x(t ) telah ditentukan, sedangkan T dan x(t ) belum ditentukan, maka syarat batas menjadi p(t )δx(t ) + H(T )δt =. Contoh 3.1 Minimumkan fungsional objektif J(u(t)) = 1 (x + u 2 )dt dengan kendala ẋ(t) = u(t); x() =, x(1) bebas. 28

Solusi : Dalam masalah di atas, f (x, u, t) = x + u 2, fungsi f(x, u, t) = u(t). Maka fungsi Hamilton adalah sehingga diperoleh H(x, u, p, t) = f (x, u, t) + pf(x, u, t) = x + u 2 + p( u(t)) H u = 2u(t) p(t) u (t) = p(t)/2; H uu = 2 >. ṗ(t) = H x = 1, memberikan p(t) = t + k 1. Karena fungsi scrap S =, dan x(1) belum ditentukan ( dan T = 1), maka syarat batas p(1)δx(1) =, yang memberikan p(1) = 1 + k 1 =, yaitu k 1 = 1, dan p(t) = t + 1. Sistem dinamis menjadi yang memberikan solusi ẋ(t) = u(t) = p(t)/2 = 1 2 ( t + 1) = t 2 1 2, x(t) = t 2 1 2 + k 2 dengan k 2 =, karena x() =. Jadi solusi optimum adalah x (t) = t 2 1 2 p (t) = t + 1 u (t) = t 2 1 2 Contoh 3.2 Minimumkan fungsional objektif dengan kendala ẋ = u(t), x() = 1. J(u(t)) = 1 2 x(1)2 + 1 2 Solusi : Fungsi Hamilton adalah H = 1 2 u2 pu, sehingga H u = u p =. Ini memberikan u(t) = p(t); H uu = 1 >. ṗ = H x =. Ini memberikan p(t) = k, konstanta. Sedangkan ẋ = u = p memberikan 1 u 2 dt x(t) = pt + k 1 == pt + 1, karena x() = 1. Syarat batas p(1) = S x = x(1) memberikan p(1) = x(1) = p + 1, yaitu p (t) = 1 2. Sehingga diperoleh solusi optimum x (t) = 1 2 t + 1, p (t) = u (t) = 1 2. 29

Perhatikan masalah kontrol optimum satu dimensi yang memaksimumkan fungsional objektif J (3.24) max J[u(t)] = f (x(t), u(t), t)dt u(t) U t terhadap kendala (3.25) ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), x(t ) = x, T dan x T tetap dan salah satu dari syarat terminal berikut : 1. x(t ) = x T, 2. x(t ) x T, 3. x(t ) bebas dan kontrol u(t) U. Teorema 3.2 Syarat perlu untuk adanya kontrol optimum adalah (p, p(t)) (, ) dan (3.26) (3.27) (3.28) (3.29) H(x (t), u (t), p (t), t) H(x(t), u(t), p(t), t) ẋ (t) = H p (x (t), u (t), p (t), t) ṗ (t) = H x (x (t), u (t), p (t), t) p = 1 atau p =, dan syarat batas yang sesuai adalah : 1. p(t ) tanpa syarat, 2. p(t ) (= jika x (T ) > x(t )), 3. p(t ) =. 3.3 Syarat Transversalitas Atau Syarat Batas Perhatikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif (3.3) max J[u(t)] = S[x(T ), T ] + f (x(t), u(t), t)dt u(t) U t 3

terhadap kendala (3.31) ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), x(t ) = x, x(t) R n. Maka syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh (3.32) (S x p) x t=t + [H + S t ] t t=t =. 3.3.1 Masalah Waktu Terminal T Tetap Dengan waktu terminal T tetap, maka δt =, dan persamaan ( 3.32) menjadi (3.33) (S x p) x t=t = Terdapat 3 kasus untuk masalah ini, yaitu : Kasus 1 : State terminal (akhir) tetap, x(t ) = x T. Untuk kasus ini, jelas bahwa δx(t ) =, dan persamaan ( 3.32) tidak memberikan informasi apa-apa. Malahan informasi tersebut tidak diperlukan, karena konstanta integrasi akan diberikan oleh x(t ) = x dan oleh x(t ) = x T. Kasus 2 : State Terminal Bebas. Untuk kasus ini, jelas bahwa δx(t ) sehingga diperoleh p(t ) = S x. Apabila tanpa S[x(T ), T ], yaitu S[x(T ), T ] =, maka syarat batas adalah p(t ) =. Kasus 3 : State Terminal berada pada manifold M[x(T ), T ] =. Apabila state terminal berada pada manifold M[x(T ), T ] = dengan M merupakan vektor, maka syarat batas menjadi (3.34) (R x p) x t=t = dengan (3.35) R[x(T ), T ] S[x(T ), T ] + µm[x(t ), T ] dengan µ merupakan pengali Lagrange. Jadi syarat batas atau syarat transversalitas menjadi p(t ) = R x. 3.3.2 Masalah Waktu Terminal T Bebas Syarat batas menjadi (3.36) (R x p) x t=t + [H + S t ] t t=t =. Terdapat 3 kasus untuk masalah ini, yaitu : Kasus 4 : State Terminal x(t ) = x T Tetap Jelas bahwa δx(t ) =, sehingga diperoleh (3.37) H(T ) + S t t=t =. 31

Apabila tanpa fungsi scrap, maka H(T ) =. Kasus 5 : State Terminal x(t ) Bebas, yaitu δx(t ). Maka syarat batas menjadi p(t ) = S x [x(t ), T ], dan H(T ) + S t t=t = Apabila fungsi scrap tidak ada, maka p(t ) = = H(T ). Kasus 6 : State Terminal Bebas, tapi memenuhi M[x(T ), T ] =. Maka syarat batas menjadi p(t ) = R x, H(T ) + R t t=t =, M[x(T ), T ] =. 32

Ringkasan Syarat Batas/Transversalitas Conditions Kontrol Optimum (S x p)δx t=t + [H(t) + S t ]δt t=t =. Kasus Substitusi Syarat Batas Waktu Terminal T tetap ( δt = ) x(t ) = x T tetap δx(t ) = x() = x, x(t ) = x T δt = (tidak ada batasan pada p(t )) x(t ) bebas δx(t ) x() = x yaitu δx(t ) δt = p(t ) = S x State terminal x(t ) δx(t ) x() = x berada pada M(x, t) = δt = p(t ) = S x + M xµ M(x(T ), T ) = Waktu Terminal T bebas ( δt ) x(t ) = x T tetap δx(t ) = x() = x δt x(t ) = x T H(T ) + S t = pada t = T x(t ) bebas δx(t ) x() = x δt p(t ) = S x [x(t ), T ] H(T ) + S t = pada t = T x(t ) tidak diberikan δx(t ) x() = x berada pada manifold δt p(t ) = R x S x + M x M(x(T ), T ) = H(T ) + R t = M = 3.4 Syarat Cukup Untuk Kontrol Optimum Syarat H(x (t), u (t), p (t), t) H(x(t), u(t), p(t), t) dalam Prinsip Maksimum Pontryagin sekaligus memberikan syarat cukup. Variasi total dari fungsional yang diperluas J a (u) adalah J a (u) J a (u) J a (u ) = δj a (u) + δ 2 J a (u) + O(u). Tanpa mempedulikan orde yang lebih tinggi O(u) dan pada saat ekstremum variasi pertama δj a (u) =, maka terlihat bahwa tanda dari J a (u) ditentukan oleh tanda dari variasi kedua δ 2 J a (u), yang harus bertanda tak-positif untuk maslah maksimum dan tak-negatif untuk masalah minimum. Dengan mengabaikan fungsi scrap, yaitu S(x(T ), t) =, maka variasi kedua δ 2 J a (u) diberikan oleh [ ][ ] T 2 δ 2 H 2 H J a (u) = 1/2 ( δx δu ) 2 x x u δx dt δu 2 H u x dengan H xx [δ 2 H/δx i δx j ], merupakan turunan dari H x terhadap x yang dihitung pada (x, p, u, t). Hal yang sama berlaku untuk H ux (= H xu ) dan H uu. 2 H 2 u 33

Teorema 3.3 Kontrol adalah maksimum lokal, dengan kata lain u (t) merupakan kontrol optimum dari fungsional J jika : 1. H u (x (t), u (t), p (t), t) =, t [, T ]; 2. Variasi kedua δ 2 J a (u) (δx, δu) (, ). yang berakibat bahwa pada u = u, 2 H 2 u merupakan matrik definit negatif, adalah definit negatif dan matrik He (Hessian) berikut He = [ 2 H 2 x 2 H u x 2 H x u 2 H 2 u ] Teorema 3.4 Jika f dan f, dan akibatnya H = f +p.f adalah fungsi concave, maka syarat perlu juga merupakan syarat cukup. Teorema 3.5 (Mangasarian Sufficiency Theorem). Misalkan (x, u ) merupakan pasangan admissible. Misalkan U concave dan f i / u j ada dan kontinu. Jika p(t) = (p 1, p 2,..., p n ) dan p = 1 sehingga 1. ṗ i = H x i, i = 1, 2,..., n 2. H u j (u j(t) u j (t), u U 3. Hamiltonian H adalah concave dalam (x, u), t maka (x, u ) merupakan solusi optimum. Jika H strictly concave, maka (x, u ) merupakan solusi tunggal. Teorema 3.6 (The Arrow Sufficiency Theorem). Misalkan (x, u ) merupakan pasangan admissible. Jika p = 1 sehingga p(t) = (p 1, p 2,..., p n ) dan H(x, u ), p, t) H(x, u, p, t), t [, T ] dan u U, 34

Ĥ(x, p, t) = max H(x, u, p, t) dan u U Ĥ(x, p, t) concave, maka (x, u ) merupakan solusi optimum. Jika Ĥ(x, p, t) strictly concave maka x tunggal, sedangkan u belum tentu tunggal. 3.5 Current-Value Hamiltonian Penggunaan teori kontrol optimum dalam masalah ekonomi,fungsi integrand f sering memuat faktor diskon e ρt. Dengan demikian, fungsi integrand f secara umum dapat dituliskan menjadi f (t, x, u) = G(t, x, u)e ρt sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai max V = G(t, x, u)e ρt dt terhadap kendala ẋ = f(t, x, u) ditambah dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk H(t, x, u, p) = G(t, x, u)e ρt + p(t)f(t, x, u). Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan turunan fungsi Hamilton terhadap x dan u, dengan hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru, yang sering disebut dengan Current-Value Hamiltonian. Untuk menerapkan konsep current-value Hamiltonian, diperlukan konsep current-value pengali Lagrange, atau current value fungsi adjoint. Misalkan m(t) menyatakan current-value pengali Lagrange, yang didefinisikan dengan m(t) = p(t)e ρt, yang berimplikasi p(t) = m(t)e ρt. Sehingga fungsi current-value Hamiltonian, yang dinotasikan dengan H c, dapat dituliskan menjadi H c He ρt = G(t, x, u) + m(t)f(t, x, u). Perhatikan bahwa, H c, sebagaimana yang diinginkan, sudah tidak memuat faktor diskon. Juga, perhatikan bahwa H H c e ρt. Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap H c, harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan H juga akan memaksimumkan H c, jadi max H c, t [, T ]. u Persamaan state yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah ẋ(t) = H/ p. Karena H p = f (t, x, u) = H c m, maka persamaan ini disesuaikan menjadi ẋ(t) = H c m. 35

Persamaan untuk peubah adjoint yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah dalam bentuk ṗ(t) = H/ x. Pertama-tama, transformasikan masing-masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoint baru, m(t), kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri, ṗ(t) = ṁ(t)e ρt ρm(t)e ρt. Dengan memanfaatkan definisi H, suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk H x = H c x e ρt. Dengan menyamakan kedua persamaan tersebut di atas, menghasilkan ṁ(t) = H c x + ρm(t). Tersisa sekarang adalah memeriksa kondisi(syarat) batas. Untuk syarat batas p(t ) =, memberikan syarat batas yang sesuai, yaitu m(t )e ρt =. Untuk syarat batas [H] t=t =, menghasilkan syarat batas yang sesuai [H c e ρt ] t=t =. 3.6 Beberapa contoh masalah nyata kontrol optimum 1. Portfolio Selection and Consumption Model Model ini pertama kali dikembangkan oleh R.Merton, dengan merumuskan persamaan diferensial stokastik untuk pertumbuhan kekayaan investor, yang dikenal dengan sebutan budget equation. Misalkan W (t) menyatakan jumlah kekayaan investor pada waktu t, dan yang dapat diinvestasikan pada 2 aset, yaitu pada aset bebas resiko dan aset beresiko. Problem pemilihan portofolio dan konsumsi optimal untuk investor yang hidup T tahun diformulasikan sebagai berikut : (3.38) max J[u, C] = E{ U(C(t), t)dt + B(W (T ), T )} u,c dengan kendala budget equation (3.39) (3.4) dw (t) = (1 u)w rdt + uw (αdt + σdb(t)) Cdt; W () = W, dengan W >, u(t) menyatakan proporsi kekayaan yang diinvestasikan pada aset beresiko pada waktu t dengan u(t) 1, C(t), ( ), menyatakan tingkat konsumsi pada waktu t. Fungsi utilitas U diasumsikan strictly concave dan bequest function B juga concave. 2. Konsumsi versus Investasi 36

Perhatikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif J sebagai berikut : (3.41) terhadap kendala max J(u(t)) = U(1 u(t))dt ẋ(t) = u(t), x() = x, x(t ) x T, u(t) [, T ], x < x T < x + T. Masalah di atas mempunyai interpretasi ekonomi sebagai berikut : Negara menerima bantuan tetap sebesar 1 satuan ekonomi. x(t) dapat menyatakan tingkat infrastruktur pada waktu t, u(t) menyatakan proporsi dari bantuan yang dialokasikan untuk investasi pada infrastruktur pada waktu t, sedangkan 1 u(t) menyatakan bagian dari bantuan yang dialokasikan untuk konsumsi. U menyatakan fungsi utilitas. Periode perencanaan adalah untuk jangka waktu [, T ], x(t ) x T menyatakan bahwa pada akhir periode perencanaan tingkat infrastruktur sekurang-kurangnya berada pada tingkat x T. Masalah perencanaan adalah menentukan berapa banyak dari bantuan yang harus dialokasikan untuk investasi pada infrastruktur supaya tingkat utilitas maksimum. 3. A two-sector model Perhatikan suatu ekonomi yang terdiri atas dua sektor, dimana sektor 1 memproduksi investment goods sedangkan sektor 2 memproduksi consumption goods. Misalkan x i, i = 1, 2, menyatakan jumlah produksi sektor i per satuan waktu, dan misalkan u(t) menyatakan proporsi investasi yang dialokasikan pada sektor 1. Kita asumsikan x 1 = aux 1 dan x 2 = a(1 u)x 1, dengan a merupakan suatu konstanta positif. Kenaikan jumlah produksi per satuan waktu dalam setiap sektor diasumsikan proporsional terhadap besarnya investasi yang dialokasikan pada sektor tersebut. Dengan pemahaman tersebut, kontrol u(t) 1, dan periode perencanaan dimulai pada t =, sehingga x 1 () dan x 2 () diketahui besarnya. Untuk situasi seperti ini, berbagai macam masalah kontrol optimum dapat diinvestigasi. Salah satunya adalah masalah memaksimumkan total konsumsi pada periode waktu [, T ]. Masalah kontrol optimum tersebut, secara matematis dituliskan seperti berikut : dengan kendala : max J(u) = x 2 (t)dt, x 1 = aux 1, x 1 () = x 1, x 1 (T ) bebas x 2 = a(1 u)x 1, x 2 () = x u(t) 1. 2, x 2 (T ) bebas 4. Model pertumbuhan ekonomi neo klasik Menentukan proporsi menabung sehingga memaksimumkan jumlah konsumsi per kapita dan memenuhi persamaan dasar model pertumbuhan ekonomi neo klasik, yang secara matematis diformulasikan sebagai berikut : (3.42) (3.43) max J(s t) = s t 1 (1 s t )f(k t )e ρt dt Dengan kendala k t = s t f(k t ) λk t, k t, 37

dimana k t = kapital per tenaga kerja, s t = proporsi menabung, f(k t ) = output per kapita. 5. Masalah Konsumsi dan Investasi Model Waktu Diskret-Kontinu Formulasi masalah konsumsi dan investasi untuk investor yang memiliki dua instrumen investasi, yaitu aset bebas resiki dan aset beresiko adalah sebagai berikut : Masalah kontrol optimum untuk investor diberikan oleh (3.44) U(x ) max E [ (T,W,V,C) U e δt u(c t ) dt], dengan kendala, untuk n = 1, 2, 3,..., (3.45) x τn+1 = ( 1 ε ) [ x τn W τn ] e r Tn + V τn [ Γ n+1 e r Tn ], dan M t, dan x τn+1. Masalah kontrol optimum di atas diselesaikan dengan cara modifikasi, menjadi seperti berikut U(x ) = max E [ e δτn Q ν 1 (3.46) n {T T,W W,V V} n=1 γ W τ γ n ], terhadap kendala, untuk n = 1, 2, 3,..., (3.47) x τn+1 = (1 ε) [ x τn W τn ] e r Tn + V τn [ Γ n+1 e r Tn ], dimana T n = τ n+1 τ n. Pengaplikasian prinsip keoptimalan Bellman pada U, menghasilkan (3.48) U(x τn ) = 1 max {T n,w τn,v τn } {Qν n γ W τ γ n + e δtn E [U(x τn+1 ) H τn ]}, terhadap kendala, untuk n = 1, 2, 3,..., (3.49) x τn+1 = (1 ε) [ x τn W τn ] e r Tn + V τn [ Γ n+1 e r Tn ]. 6. Optimal Monetary Policy Untuk aplikasi dalam masalah ekonomi, perhatikan model Optimal Monetary Policy yang dikembangkan oleh Peterson dan Lerner (1971). Sistem yang digunakan berdasarkan studi empris Friedman yang sudah dimodifikasi, yaitu : (3.5) a 2 2 d 2 x(t) dt 2 + a dx(t) dt + x(t) = u(t) dengan x(t) menyatakan proportional rate of growth of money income, u m + bṁ dimana m (1/M)(dM/dt) merupakan proportional rate of change of money supply M(t) dan b suatu konstanta. a = konstanta yang merepresentasikan the length of 38

business cycle. Dengan mendefinisikan x = x 1, ẋ = x 2, d2 x(t) = ẋ dt 2 2, maka masalah di atas dapat dituliskan dalam bentuk sistem (3.51) ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) Objektif dari otoritas moneter adalah untuk mencapai rate of growth of national income yang stabil pada waktu mendatang, yaitu x(t ) = x 1T ; ẋ(t ) = dengan cara menggunakan optimal money supply policy. Masalah ini sama saja dengan meminimumkan fungsional objektif J = dt. Dengan demikian, masalah menjadi masalah kontrol optimum yang meminimumkan fungsional objektif (3.52) dengan kendala (3.53) J(u) = dt ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) dengan x() (x 1 (), x 2 ()) = (x 1, x 2 ) diberikan dan x(t ) (x 1 (T ), x 2 (T )) = (x 1T, ), u.1 3.7 Kontrol Variabel Berbatas Perhatikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif J[u(t)] = f (x(t), u(t), t)dt dengan kendala ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), dan kontrol u memenuhi kendala g i (x(t), u(t), t), dan x(t) dan ẋ(t) R n dan u(t) R k. Masalah kontrol optimum di atas dapat ditransformasikan menjadi masalah dengan kendala persamaan. Hal ini dilakukan dengan membuat variable semu ζ sehingga g i (x, u, t) ζ i 2 =. Definisikan fungsi F dengan F = H pẋ + λ(g ζ 2 i ). Teorema 3.7 Misalkan u (t) merupakan kontrol admissible yang mentransfer x() kepada target (x(t ), T ) dan memberikan ekstremal untuk fungsional J. Definisikan fungsi Ĥ = p f + pf + λg. Supaya u (t) adalah optimal, maka perlu terdapat p, p(t) dan λ(t) pada interval waktu [, T ] sehingga : 1. (p, p(t)) (, ), 2. ẋ(t) = Ĥp, 39

3. ṗ(t) = Ĥx, 4. Ĥ u =, atau Ĥ(x, u, p, p) Ĥ(x, u, p, p) 5. λ i, g i, dan λ i g i =. Pada waktu terminal T berlaku Ĥ(T )δt + F Ż δz T =. 3.7.1 Masalah Kontrol Optimum dengan Variabel State Berbatas Masalah kontrol optimum adalah memaksimumkan fungsional objektif J yang diberikan oleh J[u(t)] = f (x(t), u(t), t)dt dengan kendala ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), dan x(t) ϕ(t), x(t), ẋ(t) R n dan u(t) R k. Definisikan Z 2 x(t) ϕ(t). Masalah kontrol optimum di atas ditransformasikan menjadi J[u(t)] = f (x(t), u(t), t)dt dengan kendala ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), dan g(x) Z 2 =, dengan g(x) = x(t) ϕ(t). Kemudian definisikan F = H pẋ + λ(g Z 2 ). Dengan menentukan persamaan Euler dari F, maka diperoleh fungsi Hamiltonian yang dilengkapi : Ĥ = f (x, u, t) + p.f(x, u, t) + λg(x, t) dengan λ merupakan pengali Lagrange. Untuk g > maka λ =, dan untuk g, maka λ. 3.7.2 Masalah Kontrol Optimum dengan Kendala Persamaan Hadirnya kendala persamaan pada masalah kontrol optimum diperlakukan sama seperti pada masalah calculus variasi. Perhatikan masalah kontrol optimum memaksimumkan fungsional objektif J (3.54) dengan kendala (3.55) (3.56) (3.57) max J[u(t)] = f (x(t), u(t), t)dt ẋ i (t) = f(x(t), u(t), t), (1 i n) ψ i (x, u, t) =, (1 i q n) I i (x) φ i (x, u, t)dt l i =, (1 i m) 4

dengan l i = konstanta untuk (i = 1, 2,..., m), f, f i dan φ i diasumsikan fungsi well behaved. Masalah tersebut merupakan masalah kendala isoperimetric dan kendala titik. Seperti pada calculus variasi, kita definisikan fungsi y i, dimana y i t y i () = ; y i (T ) = l i, φ i (x, u, t)dt, (1 i m) ẏ i (t) = φ i (x, u, t), (1 i m). Dengan demikian, kendala isoperimetric sudah ditransfer menjadi kendala dalam bentuk persamaan diferensial. Selanjutnya, trayektori optimal harus memenuhi kendala titik ψ i (x, u, t) =, dengan asumsi bahwa matrik Jacobian [ ψ i / u j ] mempunyai rank q, dengan kata lain ψ i = merupakan persamaan yang saling bebas. Definisikan fungsi Hamiltonian Ĥ dengan (3.58) Ĥ = f (x, u, t) + pf(x, u, t) + λφ(x, u, t) + µψ(x, u, t) Teorema 3.8 Jika u (t) memaksimumkan J maka terdapat p(t), λ dan µ yang tidak semuanya nol sehingga 1. λ i merupakan konstanta 2. p(t) kontinu dan memenuhi (a) ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) (b) ṗ = Ĥx (c) Ĥu = (d) ψ = 3. Ĥ(x, u, p, µ, t) Ĥ(x, u, p, µ, t) untuk semua u (t) yang memenuhi ψ(x, u, t) =. 3.7.3 Masalah Kontrol Optimum dengan Variabel Kontrol Berbatas Perhatikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif (3.59) J[u(t)] = dengan kendala f (x(t), u(t), t)dt (3.6) ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) (3.61) g i (x, u, t) (1 i q r n) Kendala ketaksamaan ditransfer menjadi kendala persamaan dengan mengenalkan peubah semu ξ sehingga (3.62) g i (x, u, t) ξ i 2 =, (1 i q.) 41

Teorema 3.9 Misalkan u merupakan kontrol admissible yang mentransfer (x, ) kepada target (x(t ), T ). Supaya u (t) merupakan kontrol optimum, maka terdapat p(t) dan λ(t) sehingga : 1. ẋ = H p 2. ṗ = H x (H x + λg x ) 3. H u = H u + λg u =, λ i, g i dan λ i g i =. dengan Hamiltonian H = f + pf + λg H + λg. Catatan : Apabila kendala dari peubah kontrol dalam bentuk m i u i M i, m i, M i bilangan yang diberikan, maka H u i Dengan demikian, kendala g menjadi :, jika u i = M i =, jika m i < u i < M i, jika u i = m i (3.63) (3.64) Atau, g i M i u i, (i = 1, 2,..., r) g j u j m j, (j = r + 1,..., 2r). 1 u ζ 2 1 =, u + 1 ζ 2 1 =. 3.8 Kontrol Optimum Linier Masalah kontrol optimum linier adalah masalah kontrol optimum dimana fungsi Hamiltonian merupakan fungsi linier dari peubah kontrol. Sifat linier tersebut dapat muncul pada Hamiltonian karena fungsi objektif dan atau fungsi kendala merupakan fungsi linier dari peubah kontrol. Secara umum, fungsi Hamiltonian dalam bentuk linier dapat dituliskan dalam bentuk berikut : (3.65) H ψ(x, p, t) + σ(x, p, t)u(t) dengan σ(x, p, t) menyatakan kumpulan koefisien dari u(t) yang disebut sebagai switching function, dan ψ(x, p, t) merupakan kumpulan koefisien yang tidak memuat u(t). Secara umum, untuk kontrol yang tidak bounded, kontrol ekstremum tidak ada. Kalau kontrol berbatas, maka kontrol ekstremal tersebut akan terdapat pada batas-batasnya. 42

Misalkan u berbatas, misalnya m i u i M i, i, dengan m i dan M i berturut-turut merupakan nila minimum dan maksimum yang dapat dicapai oleh u i. Apabila m i dan M i merupakan konstanta, maka dapat ditulis sebagai 1 u i 1. Dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin pada masalah seperti ini, maka diperoleh kontrol optimum u i berikut : { 1(atau u Mi ) jika σ i = i > 1(atau m i ) jika σ i < Jadi, kalau u(t) muncul linier dalam fungsi Hamiltonian dan tiap komponen u i berbatas, maka kontrol optimum u i (t) tak kontinu : loncat dari nilai minimum ke nilai maksimum atau sebaliknya sebagai respons terhadap perubahan tanda dari σ i. Dengan alasan ini, maka σ(x, p, t) disebut sebagai switching function dan kontrol u i disebut sebagai kontrol bang bang. Perhatikan sistem berikut : (3.66) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) dengan x adalah vektor dimensi-n, u vektor dimensi-r, A adalah matrik nxn dan B adalah matrik nxr, u i 1, (1 i r). Kontrol harus dipilih sehingga mentransfer sistem dari posisi awal x kepada state akhir x(t ) = dalam waktu minimum. Hal ini berarti bahwa fungsional objektif adalah dalam bentuk meminimumkan waktu, yaitu : min J(u) = dt. Fungsi Hamiltonian diberikan oleh (3.67) (3.68) H 1 + p Ax + p Bu ṗ = H x = A p Switching function σ p B p [b 1, b 2,..., b n ] dengan b i menyatakan kolom ke-i, (1 i r) dari matrik B. Karena u i 1, i dan H fungsi linier dari u, maka kontrol diperoleh, yaitu : 1 untuk σ i p b i > : bang bang u i = 1 untuk σ i p b i < : bang bang undetermined untuk p b i = : singular Untuk kasus di atas, tidak mungkin terjadi p = sehingga p b i =. Jadi, kontrol singular tidak mungkin terjadi. Akibatnya, kontrolnya adalah bang bang. Satu hal yang perlu diingat bahwa dalam masalah meminimumkan waktu, kontrol optimum tidak selalu ada. Apabila tidak ada kontrol admissible yang membawa sistem ke target yang didinginkan, maka kontrol optimum tidak ada. Dalam masalah kontrol optimum, 3 teorema berikut sangat bermanfaat (teorema ini dibuktikan oleh Pontryagin). 1. Existence Theorem : Apabila matrik A merupakan matrik stabil (artinya, semua nilai eigen mempunyai bagian real yang positif), maka untuk titik x, terdapat kontrol optimum yang mentransfer x ke titik origin. 2. Uniqueness Theorem : Jika kontrol optimum ada, maka kontrol tersebut tunggal. 43

3. Switching Theorem : Misal nilai eigen dari matrik A semuanya bernilai real. Maka ada kontrol optimum yang tunggal. Tiap-tiap u i, (1 i r), yang merupakan konstanta piecewise, hanya bernilai maksimum dan minimum, dan mengalami switching tidak lebih dari n 1. Contoh : Optimal Monetary Policy Untuk aplikasi dalam masalah ekonomi, perhatikan model Optimal Monetary Policy yang dikembangkan oleh Peterson dan Lerner (1971). Sistem yang digunakan berdasarkan studi empris Friedman yang sudah dimodifikasi, yaitu : (3.69) a 2 2 d 2 x(t) dt 2 + a dx(t) dt + x(t) = u(t) dengan x(t) menyatakan proportional rate of growth of money income, u m + bṁ dimana m (1/M)(dM/dt) merupakan proportional rate of change of money supply M(t) dan b suatu konstanta. a = konstanta yang merepresentasikan the length of business cycle. Dengan mendefinisikan x = x 1, ẋ = x 2, d2 x(t) dt 2 = ẋ 2, maka masalah di atas dapat dituliskan dalam bentuk sistem (3.7) ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) Objektif dari otoritas moneter adalah untuk mencapai rate of growth of national income yang stabil pada waktu mendatang, yaitu x(t ) = x 1T ; ẋ(t ) = dengan cara menggunakan optimal money supply policy. Masalah ini sama saja dengan meminimumkan fungsional objektif J = dt. Dengan demikian, masalah menjadi masalah kontrol optimum yang meminimumkan fungsional objektif (3.71) dengan kendala (3.72) J(u) = dt ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) dengan x() (x 1 (), x 2 ()) = (x 1, x 2 ) diberikan dan x(t ) (x 1 (T ), x 2 (T )) = (x 1T, ), u.1 Masalah ini merupakan masalah kontrol optimum linier, dan Hamiltonian diberikan oleh (3.73) H 1 (2p 2 /a 2 )x 1 + (p 1 2p 2 /a)x 2 + (2/a 2 )p 2 u Switching function σ = (2/a 2 )p 2 dan optimal policy diberikan oleh u (t) = {, 1 jika p2 (t) >, 1 jika p 2 (t) < Kalau u (t) sudah diperoleh, maka m dan M dapat ditentukan. Karena ṗ = H x = A p dan nilai eigen dari matrik A adalah µ = 1/a ± i/a, maka p 2 (t) = e t /a(c 1 cos t/a + c 2 sin t/a). 44

Fungsi p 2 ini yang bertindak sebagai switching function tidak pernah bernilai nol. State system diperoleh dengan menyelesaikan ẋ(t) = Ax(t) ±, 1b. Karena nilai eigen dari A adalah µ = 1/a ± i/a, maka solusi x adalah (3.74) (3.75) x 1 (t) = ±, 1 + e t/a (c 3 cos t/a + c 4 sin t/a), untuk u = ±, 1 x 2 (t) = 1/ae t/a {(c 4 c 3 ) cos t/a (c 3 + c 4 ) sin t/a} 3.9 Soal-soal Latihan 3.9.1 Soal-soal Kalkulus Variasi 1. Tentukan ekstremum, jika ada, dari fungsional berikut : (a) J(x) = 1 (tx + 2ẋ2 )dt, x() = 1, x(1) = 2. (b) J(x) = 1 txẋdt, x() =, x(1) = 1. (c) J(x) = 2 (2xet + x 2 + ẋ 2 )dt, x() = 2, x(2) = 2e 2 + e 2. (d) J(x) = 2 (x2 + t 2 ẋ)dt, x() =, x(2) = 2. (e) J(x) = 2 (12tx + ẋ2 )dt, x() =, x(2) = 8. (f) J(x) = 5 (t + x2 + 3ẋ)dt, x() =, x(5) = 3. (g) J(x) = 1 (x + xẋ + ẋ + (1/2)ẋ2 )dt, x() = 2, x(1) = 5. 2. Tentukan ekstremum dari fungsional : J(x) = 1 (1 + ẍ 2 )dt, x() =, ẋ() = 1, x(1) = 1, ẋ(1) = 1. 3. Diberikan fungsional objektif J(x) = (x + ẋ2 )dt. (a) Tentukan persamaan Euler dan solusi umum. (b) Tentukan solusi dari persamaan Euler yang memenuhi x() = x, dan x(t ) = x T. (c) Tentukan ekstremum untuk fungsional objektif apabila diberikan x() = 2. 4. Perhatikan masalah meminimumkan fungsional objektif J[x(t)] yang didefinisikan oleh J[x(t)] = [tẋ(t) + ẋ 2 (t)]dt. (a) Tuliskan persamaan Euler dan solusi umumnya. (b) Tentukan solusi yang memenuhi kendala x() = x, x(t ) bebas dan T = 1. (c) Tentukan solusi yang memenuhi kendala x() = 5, x(t ) bebas dan T = 2. (d) Tentukan solusi yang memenuhi kendala x() = 1, x(1) 1. 45

5. Diberikan fungsional objektif J(x) = (tx + x 2 + ẋ 2 )dt. (a) Turunkan persamaan Euler untuk masalah di atas dan berikan solusi umumnya. (b) Tentukan solusi persamaan Euler apabila x() = dan x(2) = e 2. 6. Diberikan fungsional objektif (x2 + ẋ 2 )dt. (a) Tentukan persamaan Euler serta solusi umumnya. (b) Tentukan solusi persamaan Euler sedemikian sehingga x() = x dan x(t ) = x T. (c) Tentukan ekstremum apabila x() = 1, T = 1, x(1) bebas. (d) Tentukan ekstremum apabila x() = T = 1, dan x(1) 1. (e) Tentukan ekstremum apabila x() =, x(t ) = T + 1, (T > 1). 7. Tentukan ekstremum yang memberikan minimum fungsional objektif J(x) = 1 (ẋ 2 1 + ẋ 2 2 + ẋ 1 ẋ 2 )dt, x 1 = x 2 =, x 1 = 1, x 2 1. 8. Tentukan ekstremum untuk masalah pertumbuhan yang memaksimumkan fungsional objektif J(K) = 1 1 ν (bk K) 1 ν e ρt dt, K() = K, K(T ) = K T. 9. Tentukan ekstremum untuk masalah meminimumkan fungsional J(x) = (x 2 + ẋ 2 )dt, x() =, x(t ) = 1, T [1, 2]. 1. Tentukan ekstremum yang meminimumkan fungsional J(x) = (x 2 + ẋ 2 + 3)dt, x() =, x(t ) = 1, T [1/2, ). 11. Tentukan ekstremum yang memberikan minimum fungsional objektif J(x) = π/2 dan (a) x 1 (π/2) = 1, (b) x 2 (π/2) bebas. (ẋ 2 1 + ẋ 2 2 + 2x 1 x 2 )dt, x 1 () = = x 2 (), 12. Selesaikan masalah memaksimumkan fungsional objektif J(x) = 5 ẋ2 dt dengan kendala x() = 1, x(5) = 11 dan 5 (1 + x)dt = 5. 13. Diberikan fungsional objektif J(x) = T 1 + ẋ2 dt. 46

(a) Tentukan persamaan Euler serta solusinya. (b) Tentukan solusi persamaan Euler jika x() = 4, dan x(1) belum ditentukan. (c) Tentukan solusi persamaan Euler apabila x() = 1, sedangkan T dan x(t ) tidak diberikan nilainya, tetapi x(t ) melalui garis g(t) = 11 2t. 14. Perhatikan masalah meminimumkan ongkos pembangunan jalan yang menghubungkan kota A(, 1) dengan jalan raya yang terletak pada g(t) = 11 2t. Asumsikan rata-rata ongkos konstruksi AC = 1 per kilometer. Tentukan ongkos optimum. 15. (Dynamic Monopoly, dikembangkan oleh Evans (1924)). Monopolis memproduksi dan menjual barang x(t) dengan fungsi permintaan diberikan oleh x(t) = ap(t) + b + hp(t) dan fungsi ongkos C(x) = αx(t) 2 + βx(t) + γ, dengan a, b, h, α, β, γ semuanya merupakan konstanta. Monopolis memilih kebijakan harga p(t) yang optimum sehingga memberikan keuntungan π yang maksimum untuk jangka waktu perencanaan T tahun, dengan harga awal p() = p dan harga akhir p(t ) = p T dan waktu terminal T ditentukan. 47

3.9.2 Soal-Soal Kontrol Optimum 1. Diberikan masalah kontrol optimum memaksimumkan fungsional objektif J berikut : (3.76) dengan kendala (3.77) max J(u) = 1 (x + u)dt ẋ = 1 u 2, x() = 1. (a) Tentukan kontrol dan state ekstremal untuk t [, 1]. (b) Periksa apakah kontrol dan state yang diperoleh tersebut merupakan kontrol dan state optimum. (c) Tentukan nilai optimum dari fungsional objektif. 2. Selesaikan masalah kontrol optimum berikut : (a) max e rt (1 u)xdt dengan kendala ẋ = ux, x() = x >, dan kontrol u [, 1]. (b) max e rt (1 u)xdt dengan kendala ẋ = ux, x() =, x(t ) x T, x T < T/2. (c) max 2 (2x 3u)dt dengan kendala ẋ = x + u, u [, 2], x() = 5, dan x(2) bebas. 3. Perhatikan Masalah Kontrol Optimum (3.78) dengan kendala min J[u(t)] = x 2 (1) + 1 u 2 (t)dt ẋ(t) = x(t) + u(t), x() = 1, (a) Tentukan kontrol dan state ekstremal untuk t [, 1]. (b) Periksa apakah kontrol dan state yang diperoleh tersebut merupakan kontrol dan state optimum. (c) Tentukan nilai optimum dari fungsional objektif. 4. Perhatikan Masalah Kontrol Optimum memaksimumkan fungsional objektif (3.79) terhadap kendala J[u(t)] = S[x(T ), T ] + 1/2 u 2 (t) dt, dx 1 (t)/dt = u(t), x 1 () =, dx 2 (t)/dt = x 1 (t), x 2 () =, dengan peubah kontrol u(t) tanpa batas, dan peubah state x(t) = (x 1 (t), x 2 (t)). (a) Apabila T = 1, x 1 (1) = 1, x 2 (1) = 2, dan S =, maka : i. Tentukan ekstremal dari kontrol dan state untuk masalah di atas; 48

ii. Periksa apakah kontrol dan state yang diperoleh tersebut memang kontrol dan state optimum; iii. Hitung nilai optimum fungsional objektif J. (b) Apabila T = 1, x 1 (1), x 2 (1) bebas, S[x(1), 1] = 1/2 [x 2 (1) 2] 2, maka : i. Tentukan kontrol dan state ekstremal untuk masalah di atas; ii. Periksa apakah kontrol dan state yang diperoleh tersebut merupakan kontrol dan state optimum; iii. Tentukan nilai optimum fungsional objektif J. 5. Perhatikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif : (3.8) J[u(t)] = 4 3xdt dengan kendala ẋ(t) = x(t) + u(t), x() = 5, x(4) bebas dan u(t) [, 2]. (a) Tentukan kontrol dan state ekstremal untuk t [, 2]. (b) Periksa apakah kontrol dan state yang diperoleh tersebut merupakan kontrol dan state optimum. (c) Tentukan nilai optimum dari fungsional objektif. 6. Tentukan kontrol optimum untuk masalah berikut : (a) Maksimumkan fungsional objektif J(u) = (1 + u2 ) 1/2 dt terhadap kendala ẋ = u, dan x() = A, x(t ) = A, dengan A dan T diberikan. (b) Maksimumkan fungsional objektif J(u) = 2 (2x 3u)dt terhadap kendala ẋ = x + u, x() = 4 x(2) bebas, dan u(t) [, 2]. 7. Tentukan kontrol, state dan kostate yang memaksimumkan fungsional objektif J(u) = 2 (x u 2 )dt dengan kendala ẋ = u, dan x() =, x(2) bebas dan kontrol u(t) tidak berkendala. 8. Tentukan kontrol, state dan kostate yang memaksimumkan fungsional objektif J(u) = 1 1 2 (x2 + u 2 )dt dengan kendala ẋ = u x, dan x() = 1, x(1) bebas dan kontrol u(t) tidak berkendala. 9. Tentukan kontrol, state dan kostate yang memaksimumkan fungsional objektif J(u) = (t 2 + u 2 )dt dengan kendala ẋ = u, x() = 4, x(t ) = 5, T bebas. 49

1. Tentukan kontrol, state dan kostate yang memaksimumkan fungsional objektif J(u) = 4 3xdt dengan kendala ẋ = x + u, x() = 5, x(4) 3, dan u(t) 2. 11. Tentukan kontrol, state dan kostate yang memaksimumkan fungsional objektif J(u) = dengan kendala ẋ = x + u, x() =, x(1) bebas, dan batasan pada kontrol 1 u(t) 1. 12. Diberikan masalah kontrol optimum untuk meminimumkan fungsional objektif 1 xdt dengan kendala J(u) = 1 2 [T x 2(T ) x 1 (T )] + 1 2 u 2 (t)dt ẋ 1 = x 2 ; x 1 () = 1 ; x 1 (T ) bebas ẋ 2 = u ; x 2 () = 2 ; x 2 (T ) bebas dan (a) kontrol u tidak berbatas, (b) kontrol u 1. 13. Perhatikan masalah memaksimumkan fungsional objektif J(u) = 1 x() = 1, x(1) bebas u(t) [, 1]. (x + u)dt, ẋ = x + u + t, (a) Misalkan x (t), u (t)) merupakan solusi optimum dari masalah di atas. Tuliskan semua syarat yang harus dipenuhi. (b) Tunjukan bahwa p = 1 dan tentukan solusi tunggal persamaan diferensial dari p(t) yang memenuhi syarat batas. (c) Tunjukan bahwa kondisi maksimum mengharuskan u (t) dipilih dari nilai u [, 1], yang memaksimumkan (1 + p(t))u. Tentukan u (t). 14. Perhatikan masalah memaksimumkan fungsional objektif J(s(t)) = (1 s(t))k(t)dt, k(t) = s(t)k(t), k() = k >, k(t ) bebas dan s(t) [, 1], T > 1. (a) Misalkan (k (t), s (t)) solusi dari masalah di atas. Tunjukan bahwa p = 1 dan { 1 jika p(t) > 1 s (t) = jika p(t) < 1 5

(b) Tunjukkan bahwa ṗ = 1+s (t)(1 p(t)) dengan p(t ) =, dan bahwa ṗ < dalam [, T ]. Simpulkan bahwa pada suatu selang (t, T ], p(t) < 1 dengan p(t ) = 1. Tentukan p(t) pada (t, T ] dan tunjukkan bahwa t = T 1. (c) Simpulkan bahwa s (t) = 1 pada [, T 1], dan s (t) = pada (T 1, T ]. (d) Ganti syarat k(t ) bebas dengan k(t ) k T dengan k < K T < k e T, dan tentukan kandidat tunggal untuk optimum. 15. Tentukan fungsi kontrol yang memberikan solusi untuk masalah max 2 (2x 3u u 2 )dt dengan kendala ẋ = x + u, u 2, x() = 5, x(2) bebas. 16. Jumlah populasi ikan dalam suatu danau, apabila tidak diganggu oleh manusia, tumbuh pada tingkat Ṅ(t) = an(t) bn 2 (t) Ikan dapat ditangkap dari danau dan dikonsumsi pada tingkat c(t), menghasilkan utilitas u(c(t)) untuk konsumsi masyarakat dan mengakibatkan pengurangan tingkat pertumbuhan menjadi Ṅ(t) = an(t) bn 2 (t) c(t) Asumsikan utilitas masyarakat di waktu depan memperoleh diskon pada tingkat r. Berikan karakteristik rencana konsumsi ikan untuk memaksimumkan nilai sekarang dari tingkat utilitas yang didiskon. Asumsikan bahwa N() = a/b, dan u >, ü <. 17. Pendapatan individu proporsional terhadap produk human kapital K(t) dan waktu yang digunakan, 1 s(t). Human kapital menyusut secara konstan dengan proporsi b dan sebaliknya bertambah dengan meningkatnya investasi, berupa fungsi konkaf(cembung) dari kapital dan s(t) merupakan proporsi waktu yang didedikasikan untuk pendidikan. Diskusikan program pendidikan-bekerja untuk memaksimumkan pendapatan yang didiskon untuk jangka sisa waktu hidup T dengan kendala max e rt (1 s(t))k(t)dt K = A(sK) a bk, K() = K >, s 1, dengan ketentuan A >, < a < 1, b. 18. Investasi suatu perusahaan haruslah self-financed, yaitu harus dibiayai dari pendapatan (revenues) yang sedang berjalan. Misal R(K) menyatakan revenue bersih yang diperoleh dari modal K. Misalkan C(I) menyatakan biaya melakukan investasi dengan tingkat I. Asumsikan Ṙ >, R <, Ċ >, C >. Diskusikan solusi optimum untuk masalah max e rt [R(K) C(I)]dt dengan kendala K = I bk, K() = K, I R(K). 51

3.9.3 Soal-soal Ujian Ujian Tengah Semester MAT 364 : Kontrol Optimum Jum at : 21 Maret 23 1. Tentukan ekstremum untuk masalah berikut : (a) 1 [ẋ2 + 1tx]dt, dengan kendala x() = 1, dan x(1) = 2. (b) 1 (ẍ2 + ẋ + at 2 )dt, dengan x() =, ẋ() = 1, x(1) = 1, dan ẋ(1) = 1. (c) 2 1 [x + tẋ ẋ2 ]dt, dengan kendala x(1) = 3, dan x(2) = 4. 2. Maksimumkan 5 ẋ2 dt, terhadap kendala x() = 1, x(5) = 11 dan 5 (1 + x)dt = 5. 3. Perhatikan masalah meminimumkan fungsional objektif J[x(t)] yang didefinisikan oleh J[x(t)] = [tẋ(t) + ẋ 2 (t)]dt. (a) Tentukan solusi yang memenuhi kendala x() = 5, x(t ) bebas dan T = 2. (b) Tentukan ekstremum apabila x() =, x(t ) = T + 1, (T > 1). (c) Tentukan solusi yang memenuhi kendala x() = 1, x(1) 1. 4. Tentukan ekstremum untuk masalah pertumbuhan yang memaksimumkan fungsional objektif J(K) = dan waktu terminal T diberikan. 1 γ (bk K) γ e ρt dt, K() = K, K(T ) = K T, < γ < 1, 5. Tentukan ekstremum yang memberikan minimum fungsional objektif J(x) = π/2 dan x 1 (π/2) = 1, x 2 (π/2) bebas. (ẋ 2 1 + ẋ 2 2 + 2x 1 x 2 )dt, x 1 () = = x 2 (), 52

Ujian Tengah Semester MAT 364 : Kontrol Optimum Jum at : April 25 1. Tentukan ekstremum untuk masalah berikut : (a) 1 [ẋ2 + 1tx]dt, dengan kendala x() = 1, dan x(1) = 2. (b) 1 (ẍ2 + ẋ + at 2 )dt, dengan x() =, ẋ() = 1, x(1) = 1, dan ẋ(1) = 1. (c) 2 1 [x + tẋ ẋ2 ]dt, dengan kendala x(1) = 3, dan x(2) = 4. 2. Maksimumkan 5 ẋ2 dt, terhadap kendala x() = 1, x(5) = 11 dan 5 (1 + x)dt = 5. 3. Perhatikan masalah meminimumkan fungsional objektif J[x(t)] yang didefinisikan oleh J[x(t)] = [tẋ(t) + ẋ 2 (t)]dt. (a) Tentukan solusi yang memenuhi kendala x() = 5, x(t ) bebas dan T = 2. (b) Tentukan ekstremum apabila x() =, x(t ) = T + 1, (T > 1). (c) Tentukan solusi yang memenuhi kendala x() = 1, x(1) 1. 4. Tentukan ekstremum untuk masalah pertumbuhan yang memaksimumkan fungsional objektif J(K) = dan waktu terminal T diberikan. 1 γ (bk K) γ e ρt dt, K() = K, K(T ) = K T, < γ < 1, 5. Tentukan ekstremum yang memberikan minimum fungsional objektif J(x) = π/2 dan x 1 (π/2) = 1, x 2 (π/2) bebas. (ẋ 2 1 + ẋ 2 2 + 2x 1 x 2 )dt, x 1 () = = x 2 (), 53

UJIAN AKHIR SEMESTER MAT 364 : KONTROL OPTIMUM Jumat, 23 Mei 23, ( Waktu Tersedia : 15 menit ) 1. Tentukan kontrol dan state optimum untuk masalah berikut : (a) Maksimumkan fungsional objektif terhadap kendala J(u(t)) = 1 (x u 2 )dt ẋ(t) = u(t); x() =, x(1) bebas dan kontrol tidak berbatas. (b) Minimumkan fungsional objektif J(u(t)) = 1 2 x(1)2 + 1 2 1 u 2 dt terhadap kendala ẋ = u(t), x() = 1, x(1) bebas dan kontrol tidak berbatas 2. Diberikan sistem dinamis ẋ 1 (t) = x 2 (t), x 1 () = ẋ 2 (t) = u(t), x 2 () =, dengan peubah state dan peubah kontrol tidak berbatas. Tentukan kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif apabila : J(u(t)) = S(x(T )) 1 2 u2 (t)dt (a) x 1 (1) = 2; x 2 (1) = 3; T = 1; S(x(T )) =. (b) T = 1, x 1 (1), x 2 (1) tidak diberikan, dan S(x(T )) = 1[T x 2 2(T ) x 1 (T )]. (c) x 1 (T ) = 2; x 2 (T ) = 3; T bebas; S(x(T )) =. 3. Tentukan kontrol optimum untuk masalah meminimumkan fungsional objektif (3.81) J(u(t)) = [ax(t) + bu(t) + cu 2 (t)]dt dengan kendala ẋ(t) = u(t), x() = x tetap, T tetap, x(t ) bebas c >. 4. Perhatikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif : (3.82) J[u(t)] = 4 3xdt dengan kendala ẋ(t) = x(t) + u(t), x() = 5, x(4) bebas dan u(t) [, 2]. 54

(a) Tentukan kontrol dan state ekstremal untuk t [, 4]. (b) Periksa apakah kontrol dan state yang diperoleh tersebut merupakan kontrol dan state optimum. (c) Tentukan nilai optimum dari fungsional objektif. 5. Perhatikan masalah memaksimumkan fungsional objektif J(s(t)) = (1 u(t))x(t)dt, ẋ(t) = u(t)x(t), x() = x >, x(t ) bebas dan u(t) [, 1], T > 1. (a) Misalkan (x (t), u (t)) solusi dari masalah di atas. Tunjukan bahwa u (t) = { 1 jika p(t) > 1 jika p(t) < 1 (b) Tunjukkan bahwa ṗ = 1+u (t)(1 p(t)) dengan p(t ) =, dan bahwa ṗ < dalam [, T ]. Simpulkan bahwa pada suatu selang (t, T ], p(t) < 1 dengan p(t ) = 1. Tentukan p(t) pada (t, T ] dan tunjukkan bahwa t = T 1. (c) Simpulkan bahwa u (t) = 1 pada [, T 1], dan u (t) = pada (T 1, T ]. 55

1. Perhatikan Masalah Kontrol Optimum Ujian Akhir Semester MAT 364 : Kontrol Optimum Rabu, 15 Juni 25 min J[u(t)] = x 2 (1) + dengan kendala ẋ(t) = x(t) + u(t), x() = 1. 1 u 2 (t)dt (a) Tentukan kontrol dan state ekstremum untuk t [, 1]. (b) Periksa apakah kontrol dan state yang diperoleh tersebut merupakan kontrol dan state yang optimum, yaitu meminimumkan fungsional J. (c) Tentukan nilai optimum dari fungsional objektif. 2. Perhatikan Masalah Kontrol Optimum max J(u) = 1 1 2 (x2 + u 2 )dt dengan kendala ẋ = u x, dan x() = 1, x(1) bebas, dan kontrol u(t) tanpa batas. (a) Tentukan kontrol dan state ekstremum untuk t [, 1]. (b) Periksa apakah kontrol dan state yang diperoleh tersebut merupakan kontrol dan state yang optimum, yaitu memaksimumkan fungsional J. (c) Tentukan nilai optimum dari fungsional objektif. 3. Selesaikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif J(u) = (t 2 + u 2 )dt dengan kendala ẋ = u, x() = 4, x(t ) = 5, T bebas. 4. Tentukan kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif max J(u) = 2 (2x 3u)dt dengan kendala ẋ = x + u, x() = 5, dan x(2) bebas dan kontrol u [, 2]. 5. Tentukan kontrol, state dan kostate yang memaksimumkan fungsional objektif J(u) = 4 3xdt dengan kendala ẋ = x + u, x() = 5, x(4) 3, dan u(t) 2. 56

PENYELESAIAN MASALAH KONTROL OPTIMUM SEBAGAI MASALAH SYARAT BATAS PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DALAM SCILAB Agah D. Garnadi, Effendi Syahril Abstrak Diuraikan penggunaan rutin bvode di lingkungan SCILAB untuk menyelesaikan masalah syarat batas sistem persamaan diferensial biasa untuk menyelesaikan masalah Kontrol Optimum. Tujuan tulisan ini bersifat pedagogis dengan tujuan pengguna dapat mempergunakan solver bvode untuk memecahkan secara numeric MKO setelah membaca uraian penggunaan pemecahan masalah syarat batas. Penggunaan rutin digambarkan dengan tiga contoh masalah syarat batas, salah satu diantaranya merupakan MSB KO. PENDAHULUAN Persamaan Diferensial Biasa (PDB) sering muncul sebagai model permasalahan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan. Pencarian solusi PDB diperlukan untuk memperoleh interpretasi dari model permasalahan semula. Solusi analitik dari suatu PDB tidak selalu mudah diperoleh, sehingga metode numeric diperlukan untuk mendapatkan solusi permasalahan. Ada kalanya solusi yang sangat spesifik ingin didapatkan dari suatu sistem PDB dengan cara menentukan nilai-nilai awal pada lebih dari satu titik x. Permasalahan seperti ini dikenal dengan nama Masalah Syarat Batas (MSB), yang dapat dinyatakan oleh : Dalam lingkunagn Scilab, sebuah rutin untuk menyelesaikan MSB berdasarkan metode kolokasi disediakan, rutin ini bernama bvode. Metode kolokasi juga digunakan dalam lingkungan MATLAB untuk rutin bvp4c yang disediakannya. Tulisan ini merupakan sebuah tutorial yang memberikan penuntun bagaimana memformulasikan masalah (menyusun perintah), untuk mendapatkan (2) 1 Departemen Matematika, Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam, Jalan Meranti Kampus IPB Dramaga Bogor,1668.

A.D. GARNADI, E. SYAHRIL solusi numerik, dan menggambarkan solusi secara grafis dari MSB yang berasal dari Masalah Kontrol Optimum (MKO) dengan menggunakan rutin bvode. Tulisan ini juga merupakan studi pendahuluan numerik atas ketersediaan lingkungan pemecah masalah numerik (numerical problem solving environment{pse}) yang bersifat open-source sebagai alternatif dari PSE komersial populer MATLAB yang menawarkan rutin bvp4c untuk memecahkan MSB. Tujuan tulisan ini bersifat pedagogis yang menguraikan secara sederhana bagaimana MKO didapatkan solusinya dengan menyelesaikan secara numerik MSB sebuah PDB. Dengan demikian, seorang pemula dapat mempergunakan bvode untuk menyelesaikan MSB yang dihadapinya tanpa kesulitan.selain itu, contoh yang diberikan muncul dari masalah perkuliahan yang biasanya ditemui di tahun ketiga atau keempat di perguruan tinggi.selain itu, tulisan ini bertujuan untuk menyediakan dokumentasi tertulis berbahasa Indonesia.Tujuan lainnya ialah memberikan teladan penggunaan Open Source dilingkungan komputasi matematika di Indonesia, yang secara tidak langsung memberi dukungan pada proyek nasional IGOS (Indonesia Goes Open Source). Tulisan ini disusun dengan urutan sebagai berikut.pertama diuraikan formulasi masalah control optimum, yang dilanjutkan dengan deskripsi dari bvode. Kemudian diperlihatkan penggunaannya untuk sebuah contoh MKO sebagai masalah syarat batas yang diselesaikan menggunakan bvode. Untuk kepentingan pedagogis, diberikan dua contoh MSB yang diselesaikan menggunakan bvode dalam lingkungan Scilab. Kemudian diakhiri oleh kesimpulan serta kemungkinan pekerjaan lanjutan. FORMULASI MASALAH KONTROL OPTIMUM SEBAGAI MASALAH SYARAT BATAS Disini kita inginkan untuk menentukan input u(t) untuk meminimumkan fungsional scalar: dengan diberikana dinamika tak-linear berbentuk: Solutsi persamaan (1) diperoleh melalui Kalkulus Variasi berupa MSB berikut

JMA, VOL. yy, NO.1, JULY 218, 1-xx Serta input kontrol yang merupakan solusi dari: Persamaan (5) tidak trivial untuk menyelesaikannya, karena harus menyelesaikan MSB (3) dan (4) dengan kendala yang bersifat aljabar. DESKRIPSI bvode Rutin bvode yang tersedia dalam PSE Scilab, merupakan perangkat simulasi untuk menyelesaikan MSB.Rutin bvode pada dasarnya mempergunakan pustaka COLNEW yang merupakan perbaikan dari rutin program COLSYS ([1], [2]) yang ditulis mempergunakan FORTRAN dan berlandaskan metode kolokasi.tidak seperti solver PDB pada umumnya, bvode tidak mengharuskan pengguna mengubah persamaan diferensial orde tinggi menjadi sistem persamaan diferensial orde satu. Selain itu, dimungkinkan diberikannya sejumlah syarat di sejumlah titik. Bentuk MSB yang diasumsikan oleh bvode ialah: (3). (4) Dengan merupakan posisi dimana syarat batas berlaju dan. Agar notasi tidak menyulitkan, tuliskan

A.D. GARNADI, E. SYAHRIL Dengan demikian, bentuk umum MSB yang diasumsikan oleh bvode ialah (5). (6) Rutin bvode memiliki kemampuan untuk menyelesaikan MSB yang linear maupun non-linear. Karena itu rutin ini mengharuskan pengguna menyusun sendiri matriks Jacobian dari PDB yang hendak diselesaikan, maka untuk beberapa masalah, tingkat kerumitan yang paling besar akan terasa pada penyusunan matriks Jacobian ini. Seperti halnya fungsi lain pada SCILAB, rutin bvode memiliki tata cara pemanggilan sebagai berikut ini [ z ] = bvode(points,ncomp,m,aleft,aright,zeta,ipar,... ltol,tol,fixpnt,fsub,dfsub,gsub,dgsub,guess); denganz merupakan vektor baris yang berisi solusi numerik dari MSB yang ingin diselesaikan. Komponen z(i,:)merepresentasikan turunan ke-(i-1) dari solusi pada selang domain. Sebagai contoh, z(1,:)menyatakan y, z(2,:)menyatakan y, dan seterusnya hingga z(m *,:)menyatakan y (m*-1). Lima argumen terakhir yang diperlukan bvodeberbentuk fungsi yang harus didefinisikan sendiri oleh pengguna, sedangkan argumen lainnya merupakan informasi yang diperlukan bvode untuk dapat mencari solusi numerik berkaitan dengan MSB yang ingin diselesaikan.berikut adalah penjelasan kegunaan masingmasing parameter yang digunakan oleh bvode. z : Solusi dari PDB yang dievaluasi atas mesh yang diberikan oleh points. Points : Array yang menyimpan titik di selang domain dimana MSB akan dicari solusinya. Ncomp : Jumlah persamaan diferensial. Syaratnya haruslah ncomp 2. M : Vektor dengan panjang ncomp, yang isinya m(j)berupa orde dari persamaan diferensial ke-j. Orde dari persamaan diferensial harus disyaratkanm(j) 4. Aleft : Ujung kiri dari selang domain dimana y didefinisikan. Aright : Ujung kanan dari selang domain dimana y didefinisikan. zeta : Isi zeta(j) berisi titik syarat (batas) tambahan ke-j. Isi harus diurutkan sehingga zeta(j) zeta(j+1). Semua titik syarat tambahan (batas) harus pada titik mesh di semua mesh yang digunakan. Khususnya, titik tersebut harus merupakan bagian dari mesh awal. Perhatikan pula uraian lebih rinci mengenai parameter ipar(11) dan fixpnt di bawah ini. ipar : Array berentri bilangan bulat dengan ukuran sedikitnya 11. Daftar parameter dari ipar akan diuraikan kemudian. ltol : Array dengan panjang yang ditentukan ipar(4). ltol(j)=1menentukan toleransi ke-j di tol mengendalikan error di komponen ke-l dari z(u). Juga dipersyaratkan bahwa

JMA, VOL. yy, NO.1, JULY 218, 1-xx 1 ltol(1)<ltol(2)< <ltol(ntol) mstar. tol : Array dengan panjang yang ditentukan ipar(4). tol(j)menyatakan toleransi pada komponen ke ltol(j) dari solusi z(u). fixpnt : Titik selain aleftdan arightyang akan dimasukkan ke dalam mesh. fsub : Fungsi yang mendefinisikan PD yang ingin dicari solusi numeriknya. dfsub : Matriks Jacobian dari fsub. gsub : Fungsi yang mendefinisikan persamaan syarat batas untuk MSB yang bersangkutan. dgsub : Matriks Jacobian dari gsub. guess : Tebakan awal bagi solusi (jika tersedia). Dari kelimabelas parameter di atas, argumen ipar adalah argumen yang paling panjang.argumen ini memiliki 11 komponen yang secara keseluruhan memberi kesempatan pengguna untuk mengatur setting pada metode numerik yang digunakan bvode.sebagian komponen dari parameter ipar berhubungan langsung dengan beberapa argumen bvode pada daftar parameter di atas. Sebagian besar dari komponen-komponen tersebut memiliki nilai default nol. Karena jumlah komponennya yang terbilang cukup banyak, ada baiknya jika dibuat variabel berdimensi 1 11 yang berisi nilai nol (default) sebelum mengisi komponen-komponen yang tidak bernilai default, yaitu ipar = zeros(1,11);. Isikan masing-masing komponen parameter ipar berdasarkan keterangan yang didaftarkan di bawah ini: ipar(1) : = jika MSB linear dan = 1 jika MSB non-linear. ipar(2) : Banyaknya titik kolokasi per subinterval (=k ) dimana orde maksimum PD k 7. Jika ipar(2)=maka secara default k = max(max m(i)+1,5-max m(i)). ipar(3) : Banyaknya subinterval pada mesh awal ( =n ). Jika ipar(3) = maka secara default n = 5. ipar(4) : Banyaknya komponen solusi beserta turunannya yang diberi toleransi (=ntol), dengan aturan ntol m *. ipar(5) : Nilai yang menentukan banyaknya subinterval maksimum (nmax) pada selang domain. Pilihlah ipar(5)berdasarkan rumus berikut: ipar(5) ipar(5).nsizef di mana nsizef = 4+3m*+(5+kd).kdm+(2m*-nrec).2m*dengan nrec adalah banyaknya syarat batas pada ujung kanan selang domain ipar(5) diperuntukkan evaluasi pada titik-titik selang real. ipar(6) : Nilai yang menentukan banyaknya subinterval maksimum nmax pada selang domain. Pilihlah ipar(6) berdasarkan rumus berikut: ipar(6) nmax.nsizei di mana nsizei = 3+kdm dengan kdm=kd+m*; kd = k.ncomp; ipar(6) diperuntukkan evaluasi pada titik-titik integer. ipar(7) : Kontrol output berikan nilai berikut: = -1 untuk printout diagnostik penuh = untuk printout sederhana. = 1 tanpa printout. ipar(8) : = untuk mesh awal seragam.

A.D. GARNADI, E. SYAHRIL ipar(9) : = jika tidak tersedia tebakan awal bagi solusi. = 1 jika tebakan awal tersedia pada fungsiguess. ipar(1) = jika masalah bersifat reguler. = 1 jika iterasi nonlinear tidak bergantung pada kekonvergenan dari iterasi sebelumnya (hanya digunakan jika ipar(1) =1). = 2 jika proses ingin dihentikan setelah (a)terjadi dua kali nonkonvergen berturut-turut, atau (b)pendekatan galat didapatkan untuk pertama kalinya. ipar(11) : Banyaknya titik selain ujung-ujung selang domain yang akan dimasukkan ke dalam mesh (dimensi dari argumen fixpnt). CONTOH Untuk kepentingan pedagogis, dibahas tiga contoh bagaimana menyelesaikan MSB dengan mempergunakan bvode, dengan contoh terakhir yang berupa contoh MKO sebagai MSB. Selain itu, ditunjukkan pula bagaimana cara menggambar masing-masing komponen solusi numerik yang didapat dari bvode. Contoh 1. Dalam contoh ini diberikan ilustrasi bagaimana mencari solusi numerik dari MSB yang melibatkan parameter yang tidak diketahui. Permasalahannya ialah menghitung nilai eigen dari persamaan Mathieu berikut ini, pada selang, dengan syarat batas, untuk. Solusi dinormalisasi dengan cara menetapkan solusi memenuhi. Permasalahan sesungguhnya ialah mencari nilai yang memenuhi syarat batas. Nilai tebakan awal bagi menjadi keharusan dalam menyelesaikan masalah ini.msb di atas diimplementasikan dalam SCILAB sebagai berikut ini.persamaan diferensialnya didefinisikan dengan skrip berikut. function f=fsub(x, zu) f=-(lambda-2*5*cos(2*x))*zu(1); endfunction Untuk persamaan di atas, diperlukan matriks Jacobian yang ditulis dengan skrip seperti berikut ini. function df=dfsub(x, zu) df=[-(lambda-2*5*cos(2*x)),]; endfunction Sementara syarat batasnya diberikan oleh: function g=gsub(i, zu), select i case 1 then g=zu(1)-1 case 2 then g=zu(2) (7)

JMA, VOL. yy, NO.1, JULY 218, 1-xx case 3 then g=zu(2) end endfunction. Untuk syarat batas tersebut di atas, diperlukan matriks Jacobian, yaitu function dg=dgsub(i, z) select i case 1 then dg=[1,] case 2 then dg=[,1] case 3 then dg=[,1] end endfunction. Berikut sejumlah parameter yang diperlukan, yaitu fixpnt=[ ]; ncomp=1; nrec=1; k=4; nmax=2; kd=n*ncomp; kdm=kd+m; nsizei=kdm+3; ip6=nmax*nsizei; nsizef=4+3*m+(5+kd)*kdm+(2*m-nrec)*2*m; ip5=nmax*nsizef; ipar=[1 2ip5ip61 ] ltol=1:2; tol=[1.e-5,1.e-5]; Karena tebakan awal bagi solusi y tidak tersedia maka fungsi guess didefinisikan seperti di bawah ini. function [zu, mpar]=guess(x) zu=; mpar=; endfunction Jika tebakan awal bagi nilai eigen dipilih = 15, maka untuk menyelesaikan MSB pada persamaan (7) sekaligus mendapatkan nilai pendekatan untuk dapat dilakukan dengan menambahkan loop seperti pada listing berikut, lambda_=15; xpoints=x_low:.1:x_up; for j=:.1:2 lambda=lambda_+j; zu=bvode(xpoints,n,m,x_low,x_up,zeta,ipar,ltol,tol,fixpnt,fs ub,dfsub,gsub,dgsub,guess); if abs(zu(2,$))<j break;

A.D. GARNADI, E. SYAHRIL end end; Untuk melihat gambar grafik solusi numerik untuk y(x) yang dihasilkan bvode dan untuk mengetahui nilai yang didapat dari loop di atas, perintah berikut dengan cepat akan menampilkan keduanya: lambda plot2d(xpoints,zu(1,:)); Dari hasil perhitungan yang dilakukan oleh bvode beserta loop di atas, didapat nilai pendekatan = 16.58 dan gambar grafik solusi y(x) seperti yang terlihat pada Gambar 1. Perhitungan di atas mempergunakan mesh dengan lebar kisi Δx =.1 yang seragam untuk selang [,π]. y(x) x Gambar 1 Fungsi eigen dari persamaan Mathieu terkait dengan nilai eigen yang digunakan dalam artikel Contoh 2. Pada contoh berikut diberikan sebuah MSB yang berasal dari formula kredibilitas yang memungkinkan aktuaris untuk menyeimbangkan dua hal, yaitu keakuratan dan kelinearan [9]. Berikut merupakan MSB untuk kasus di mana sebaran marginal ( ) dari besarnya klaim( ) ialah tak nol pada suatu interval terbatas, lihat Young [1]. dengan (1)

JMA, VOL. yy, NO.1, JULY 218, 1-xx Pada contoh ini, misalkan ) pada interval,, dan Misalkan pula sehingga Dengan demikian, persamaan (1) menjadi Jadi, MSB untuk kasus tersebut ialah dengan MSB di atas diimplementasikan dalam SCILAB sebagai berikut.persamaan diferensialnya didefinisikan dengan skrip berikut. function f=fsub(x, zu) f1=(1-x)/(log(1.5)-log(1/2*x+1)); f2=(1/.25)*((2/((x+2)*log(1.5))+2/(x+2)*zu(1)-2-zu(2)); f=[f1; f2]; endfunction Untuk persamaan di atas, diperlukan matriks Jacobian yang ditulis dengan skrip seperti berikut ini. function df=dfsub(x, zu) df=[,,,,; 1/((x+2)),-1/.25,,,]; endfunction Sementara syarat batasnya diberikan oleh: function g=gsub(i, zu), select i case 1 then g=zu(1)

A.D. GARNADI, E. SYAHRIL case 2 then g=zu(4) case 3 then g=zu(5) case 4 then g=zu(4) case 5 then g=zu(5) end endfunction Untuk syarat batas tersebut, diperlukan matriks Jacobian, yaitu function dg=dgsub(i, z) select i case 1 then dg=[1,,,,] case 2 then dg=[,,,1,] case 3 then dg=[,,,,1] case 4 then dg=[,,,1,] case 5 then dg=[,,,,1] end endfunction MSB di atas, diselesaikan di atas selang [,1] dengan lebar kisi Δt =.1 yang seragam, berikut sejumlah parameter yang diperlukan, yaitu N=2; m=[1 4]; M=sum(m); x_low=; x_up=1; fixpnt=[ ]; xpoints=x_low:.1:x_up; ncomp=2; nrec=2; m=[1 4]; k=4; nmax=2; kd=n*ncomp; kdm=kd+m; nsizei=kdm+3; ip6=nmax*nsizei; nsizef=4+3*m+(5+kd)*kdm+(2*m-nrec)*2*m; ip5=nmax*nsizef; ipar=[,,1,5,ip5,ip6,-1,,,,] ltol=1:5; tol=[1.e-11,1.e-11,1.e-11,1.e-11,1.e-11,1.e-11] dan kita berikan fungsi tebakan awal, yaitu function w=guess(x) w=[,;,]; endfunction

JMA, VOL. yy, NO.1, JULY 218, 1-xx Kemudian untuk memperoleh solusi numerik MSB, diberikan dalam skrip SCILAB berikut zu=bvode(xpoints,n,m,x_low,x_up,zeta,ipar,ltol,tol,fixpnt,fsu b,dfsub,gsub,dgsub,guess) Solusi numerik yang diperoleh, ditampilkan oleh Scilab dengan memberikan skrip berikut ini plot(xpoints,zu(1,:)). Tampilan grafisnya diperlihatkan pada Gambar 2. d(x) x Gambar 2. Solusi optimum (d) dengan h =.25. Contoh 3. Pada contoh berikut diberikan sebuah MSB yang berasal dari Kontrol Optimum. Biasanya, syarat cukup untuk kontrol optimum berupa MSB, yang biasanya lebih mudah menyelesaikannya untuk banyak masalah sederhana. Perhatikan masalah sistem terkontrol dan kita inginkan kontrol v mengendalikan lintasan dari 2 pada saat t= ke -1 pada saat t=1. Dengan demikian, kita inginkan v meminimumkan ongkos kuadratik berikut Fungsi ongkos ini menyebabkan variabel keadaan y dan variabel kontrol v terpenalisasi, sehingga menyebabkan variabel keadaan dan kontrol menjadi kecil. Syarat cukup dapat diperoleh dengan mendefinisikan fungsi Hamiltonian

A.D. GARNADI, E. SYAHRIL dan kita tuliskan masalah syarat batas persamaan diferensial aljabar (8) Bila v dieliminasi, akan diperoleh MSB (9) MSB di atas diimplementasikan dalam SCILAB sebagai berikut ini.persamaan diferensialnya didefinisikan dengan skrip berikut. function w = f(x,z) w1 = z(1)^2-z(2)/2 ; w2 = 2*z(1) - 2*z(1)*z(2) ; w = [w1 ; w2] ; endfunction Untuk persamaan di atas, diperlukan matriks Jacobian yang ditulis dengan skrip seperti berikut ini. function w = df(x,z) w = [2*z(1), -1/2; -2-2*z(2),-2*z(1)]; endfunction Sementara syarat batasnya diberikan oleh: function w =g(i,z) if i==1 then w=z(1)-2, else w=z(1)+1; end endfunction. Untuk syarat batas tersebut di atas, diperlukan matriks Jacobian, yaitu function w=dg(i,z) w=[1 ]; endfunction. MSB di atas, diselesaikan di atas selang [,1] dengan lebar kisi Δt =.1 yang seragam, berikut sejumlah parameter yang diperlukan, yaitu

JMA, VOL. yy, NO.1, JULY 218, 1-xx tt=:.1:1 ; ncomp=2;nrec=1; m=[1 1]; k=4; nmax=2; mstar=2; kd=k*ncomp; kdm=kd+mstar; nsizei=kdm+3; ip6=nmax*nsizei; nsizef=4+3*mstar+(5+kd)*kdm+(2*mstar-nrec)*2*mstar; ip5=nmax*nsizef; zeta = [ 1]; ipar = [1 2, ip5, ip6, ]; er=1.d-3; ltol=1:2; tol = [er,er]; dan kita berikan fungsi tebakan awal, yaitu function w =gs(x) w = [,;,]; endfunction. Kemudian untuk memperoleh solusi numerik MSB, diberikan dalam skrip SCILAB berikut zz = bvode(tt,2,m,,1,zeta,ipar,ltol,tol,,f,df,g,dg,gs); control=-(1/2)*zz(2,:); Solusi numerik yang diperoleh, ditampilkan oleh Scilab dengan memberikan skrip berikut ini plot2d(tt,zz(1,:)); plot2d(tt,control); plot2d(tt,control,style=-1); yang tampilan grafisnya diperlihatkan pada Gambar 3.

A.D. GARNADI, E. SYAHRIL x Gambar 3 Optimum y (garis) dan kontrol v (garis-x) untuk contoh 3. SIMPULAN Telah disampaikan bagaimana Masalah KO dapat diselesaikan sebagai masalah syarat batas, penggunaan MKO sering muncul sebagai model dari berbagai bidang ilmu. Karena untuk mendapatkan solusi analitik tidak selalu tersedia, metode numerik menjadi salah satu cara untuk memperoleh solusinya. Selain itu, dengan tersedianya rutin yang memudahkan pengguna untuk menyelesaikan MSB secara numerik, dimungkinkan melakukan simulasi secara berulang untuk menguji berbagai skenario pemodelan yang menggunakan MKO. Tulisan ini merupakan tutorial bagaiman menggunakan simulasi MSB dalam lingkungan problem solving environment SCILAB yang bersifat open source untuk menyelesaikan MKO. Perlu kiranya pengujian lebih lanjut atas rutin ini, antara lain menguji berbagai kasus di [7], yang memberikan serangkaian contoh MKO sebagai MSB. DAFTAR PUSTAKA [1] Ascher U, Christiansen J, Russel RD. 1981. Collocation Software for Boundary-Value ODEs.ACM Transactions on Mathematical Software. 7(2). [2] Ascher U, Mattheij RM, Russel RD, Numerical Solution of Boundary Value Problem.New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs. [3] Campbell SL. Chancelier JP, Nikoukhah R. 25.Modeling and Simulation in Scilab/Scicos. Springer. [4] Higham DJ, Higham NJ. 2.MATLABGuide. SIAM.

JMA, VOL. yy, NO.1, JULY 218, 1-xx [5] Kierzenka J, Shampine L. 21. A BVP solver on residual control and the Matlab PSE.ACM Transactions on Mathematical Software.27(3): 299-316. [6] Moler CB. 24.Numerical Computing with MATLAB. SIAM. [7] S. N. Avvakumov and Yu.N. Kiselev, 2, Boundary value problem for ordinary differential equations with applications to optimal control, Spectral and evolution problems}, V1, pp 147--155 [8] Layar bantuan SCILAB untuk rutin bvode. [9] Kaas R,Goovaerts M, Dhaene J, Denuit M. 29.Credibility theory. Modern Actuarial Risk Theory: Using R.23-229. [1] Young VR. 1997. Credibility using a loss function from spline theory. Scandinavian Actuarial Journal. 1997(2): 16-185.