Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab

Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab Effendi Syahril Agah D. Garnadi

Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab Effendi Syahril Agah D. Garnadi e-version : https://dx.doi.org/1.1765/osf.io/kh4u2 Versi : -.1

Contents 1 Pendahuluan 1 1.1 Masalah Optimisasi Dinamis........................... 1 1.2 State Sistem Dinamis............................... 2 1.3 Peubah Kontrol.................................. 2 1.4 Reachability, Controllability dan Observability................. 3 1.5 Fungsional Objektif................................ 3 1.6 Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum..................... 4 2 Kalkulus Variasi 5 2.1 Pendahuluan................................... 5 2.2 Fungsional Dan Variasi.............................. 5 2.3 Syarat Perlu Untuk Optimum : Persamaan Euler............... 6 2.4 Persamaan Euler Yang Lebih Umum...................... 9 2.4.1 Kasus Peubah banyak.......................... 9 2.4.2 Kasus Fungsi f Memuat Turunan ke-n................. 1 2.5 Kasus Khusus Persamaan Euler......................... 11 2.5.1 Fungsi f Tidak Memuat x........................ 11 2.5.2 Fungsi f Tidak Memuat t........................ 12 2.5.3 Fungsi f Tidak Memuat ẋ........................ 13 2.6 Masalah Variasi Dengan Kendala........................ 13 2.6.1 Kendala Titik Dan Persamaan Diferensial............... 13 2.6.2 Kendala Isoperimetris.......................... 14 2.7 Syarat Batas Dalam Masalah Variasi...................... 16 i

2.7.1 Dua Titik Ujung Tetap Dan Syarat Batas Natural........... 16 2.7.2 Titik Ujung Bebas............................ 17 2.8 Syarat Cukup / Sufficiency Conditions..................... 21 2.8.1 Variasi Fungsional............................ 21 2.8.2 Syarat Legendre.............................. 21 2.8.3 Syarat Jacobi............................... 22 2.8.4 Syarat Weierstrass untuk Ekstremal Kuat............... 22 2.8.5 Syarat Legendre-Clebsch......................... 23 2.8.6 Syarat Cukup : Kasus khusus...................... 23 3 Kontrol Optimum : Pendekatan Kalkulus Variasi 24 3.1 Formulasi Masalah Kontrol Optimum...................... 24 3.2 Syarat Perlu : Prinsip Maksimum Pontryagin................. 25 3.3 Syarat Transversalitas Atau Syarat Batas.................... 3 3.3.1 Masalah Waktu Terminal T Tetap.................... 31 3.3.2 Masalah Waktu Terminal T Bebas................... 31 3.4 Syarat Cukup Untuk Kontrol Optimum..................... 33 3.5 Current-Value Hamiltonian............................ 35 3.6 Beberapa contoh masalah nyata kontrol optimum............... 36 3.7 Kontrol Variabel Berbatas............................ 39 3.7.1 Masalah Kontrol Optimum dengan Variabel State Berbatas...... 4 3.7.2 Masalah Kontrol Optimum dengan Kendala Persamaan........ 4 3.7.3 Masalah Kontrol Optimum dengan Variabel Kontrol Berbatas.... 41 3.8 Kontrol Optimum Linier............................. 42 3.9 Soal-soal Latihan................................. 45 3.9.1 Soal-soal Kalkulus Variasi........................ 45 3.9.2 Soal-Soal Kontrol Optimum....................... 48 3.9.3 Soal-soal Ujian.............................. 52 ii

Chapter 1 Pendahuluan 1.1 Masalah Optimisasi Dinamis Masalah pengalokasian optimum dari sumber daya yang terbatas yang memiliki alternatif penggunaannya, baik pada suatu titik waktu maupun pada jangka waktu tertentu, dapat melibatkan optimisasi statis maupun optimisasi dinamis. Pilihan antara mengurangi konsumsi masa kini dan konsumsi yang cukup untuk masa depan, merupakan masalah optimisasi dinamis. Suatu alat yang sangat penting dalam optimisasi dinamis adalah Kalkulus Variasi. Teknik kalkulus variasi ini telah diterapkan dalam masalah ekonomi sejak tahun 1924. Namun demikian, teknik kalkulus variasi memiliki keterbatasan, yang berarti tidak semua masalah dapat diselesaikan dengan teknik kalkulus variasi. Teknik kontrol optimum, mampu mengatasi keterbatasan yang dimiliki oleh teknik kalkulus variasi. Teknik kontrol optimum berkembang pesat sejak ditemukannya teknik program dynamis oleh Richard Bellman pada tahun 1957 dan prinsip maksimum oleh Pontryagin pada tahun 1962. Dengan penemuan tersebut, teknik kontrol optimum yang berkembang mempunyai 2 pendekatan, yaitu pendekatan program dinamis dan pendekatan prinsip maksimum. Dalam kuliah ini, digunakan pendekatan prinsip maksimum, karena lebih mudah dipahami. Pendekatan prinsip maksimum menggunakan teknik yang dikembangkan dalam kalkulus variasi. Oleh karena itu, pembahasan kuliah dimulai dengan pembahasan topik teknik kalkulus variasi. Dengan bekal teknik kalkulus variasi, pembahasan difokuskan pada teknik-teknik kontrol optimum. Secara sederhana, masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol u(t) diantara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal x(t ) pada waktu t kepada state terminal x(t ) pada waktu terminal T, demikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsional objektif yang juga disebut sebagai indeks performance. 1

1.2 State Sistem Dinamis State atau keadaan sistem dinamis adalah koleksi dari bilangan x(t) (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) yang apabila diberikan suatu nilai pada waktu t = t, maka nilainya akan dapat ditentukan pada t t melalui pilihan vektor kontrol u(t) = (u 1 (t), u 2 (t),..., x r (t)). Bilangan x i (t) untuk (1 i n, t t T ) disebut sebagai peubah keadaan atau peubah state, dan ruang keadaan adalah ruang dimensi n yang memuat koordinat x i (t) (1 i n). Dengan cara yang sama, bilangan u i (t) untuk (1 i r t t T ) disebut sebagai peubah kontrol atau peubah kendali. Misalnya, x(t) dapat melambangkan peubah ekonomi, seperti GNP, konsumsi, investasi dan kondisi perekonomian lainnya, serta u(t) mewakili peubah kontrol, seperti kebijakan suku bunga, pengeluaran pemerintah, suplai uang dan instrumen ekonomi lainnya yang dapat dikendalikan. Keadaan atau state suatu sistem pada waktu t, yang disebut dengan sistem dinamis, direpresentasikan oleh sistem persamaan diferensial dalam hal masalah kontinyu, atau sistem persamaan beda untuk masalah diskret. Misalnya, (1.1) atau (1.2) ẋ(t) = f[x(t), u(t), t] x(k + 1) = f[x(k), u(k), k]. Sistem dinamis dapat berbentuk linier dan dapat pula berbentuk tak-linier, juga dapat berbentuk sistem autonomous (sistem tidak memuat t atau k) atau berbentuk sistem nonautonomous, dapat pula memiliki koefisien konstanta atau koefisien peubah pada persamaan diferensial atau persamaan beda. Sistem juga dapat berbentuk deterministik dan juga dapat berbentuk stokastik. Dalam kuliah ini hanya akan dibahas sistem deterministik. 1.3 Peubah Kontrol Sistem dinamis dikontrol atau dikendalikan oleh instrumen atau kontrol yang sesuai. Hanya kontrol yang admissible ( yaitu kontrol yang memenuhi persyaratan yang diberikan) saja yang perlu diperhatikan. Misalnya, jika u i (t) menyatakan proporsi pendapatan nasional yang ditabung untuk membentuk kapital di sektor i, (i = 1, 2,..., r) maka u i (t) 1, i, t dan r 1 u i (t) 1. Secara umum, kendala fisik ini dinyatakan dengan persyaratan bahwa peubah kontrol harus dipilih dari kumpulan kontrol-kontrol yang admissible, yang dilambangkan dengan Ω(u(t)), artinya, kontrol u(t) Ω(u(t)). Untuk ilustrasi di atas, Ω(u(t)) {u i (t) : u i (t) 1, r u i (t) 1} 1 Apabila u(t) hanya fungsi dari t, maka disebut kontrol open-loop, misalnya mengatur mesin cuci untuk berfungsi dalam jangka waktu tertentu. Apabila kontrol u(t) juga merupakan fungsi dari peubah state x(t), yaitu u(t) = u[x(t), t], maka disebut kontrol closed- 2

loop, misalnya pengeluaran pemerintah, u(t), merupakan fungsi dari GNP/PDB, x(t), dan waktu pemilu, t. 1.4 Reachability, Controllability dan Observability Suatu keadaan x 1 dikatakan dapat dicapai (reachable) dari sebarang keadaan x pada waktu t jika kontrol u 1 (T ) Ω(u(t)) dapat ditemukan demikian rupa sehingga x(u 1, x, t 1 ) = x 1 untuk waktu t 1 t. Koleksi dari semua x 1 tersebut disebut reachable states pada waktu t. Istilah controllability merujuk pada kenyataan bahwa beberapa state terminal x 1 dapat dicapai dari state awal x dengan pilihan kontrol u(t)yang tepat, u(t) Ω(u). Jadi, controllability merupakan syarat perlu untuk adanya suatu solusi. Observability adalah kemampuan untuk menentukan state awal x dari observasi data dan output. Output menyatakan hubungan antara peubah state dengan [eubah kontrol, misalnya y(t) = g[x(t), u(t), t]. Masalah observability hanya muncul jika output tidak dapat diukur secara eksplisit. 1.5 Fungsional Objektif Peubah kontrol u(t) harus dipilih dalam rangka memaksimumkan atau meminimumkan fungsional objektif J[u(t)], (fungsional objektif ini merupakan ukuran performance, makanya kadang-kadang juga disebut indeks performance) : (1.3) J[u(t)] = dengan f adalah fungsi bernilai riel. Jika fungsi t f (x(t), u(t), t)dt f (x, u, t) = π(x, p)e rt, atau f = u(c)e rt, maka fungsional J merupakan nilai kini (present value) dari profit π atau utilitas konsumsi yang terdiskon pada tingkat diskon r. Secara umum, terdapat 3 alternatif untuk menyajikan formulasi fungsional objektif ( 1.3), yaitu : 1. (Formulasi Bolza) Formulasi fungsional objektif bentuk Bolza merupakan formulasi yang lebih umum. (1.4) J[u(t)] = S[x(T ), T ] + t f (x(t), u(t), t)dt dengan f dan S adalah fungsi yang kontinu dan dapat diturunkan. Fungsi S[x(T ), T ] dikenal dengan fungsi scrap value pada waktu terminal T. 3

2. (Formulasi Lagrange ) Formulasi Lagrange merupakan bentuk khusus dari ( 1.4), dengan S[x(T ), T ] =, yaitu (1.5) J[u(t)] = t f(x(t), u(t), t)dt 3. (Formulasi Mayer) Formulasi Mayer ini juga merupakan bentuk khusus dari ( 1.4), dengan f(x(t), u(t), t) =, yaitu (1.6) J[u(t)] = S[x(T ), T ] Dengan pendefinisian kembali peubah-peubahnya, maka ke-3 alternatif di atas ekivalen. Misalnya, formulasi Bolza dapat dikonversikan menjadi formulasi Mayer dengan mendefinisikan peubah tambahan x n+1 (t) sebagai x n+1 (t) = t akan menghasilkan J = x n+1 (t) + S[x(T ), T ]. t f(x, u, τ)dτ, x n+1 (t ) = 1.6 Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum Dalam masalah kalkulus variasi dalam bentuk baku, tujuannya adalah untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsional objektif J[x(t)] = f (x(t), ẋ(t), t)dt dengan fungsi kendala atau tanpa kendala; fungsi kendala dapat berupa persamaan diferensial atau persamaan aljabar. Misalnya, ẋ = f(x(t), ẋ(t), t). Dalam bentuk baku, kontrol optimum mempunyai tujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsional objektif J[u(t)] = f (x(t), u(t), t)dt dengan kendala persamaan diferensial ẋ = f(x(t), u(t), t). Apabila ẋ(t) = u(t), maka masalah kalkulus variasi sama saja dengan masalah kontrol optimum. Kenyataannya, masalah kontrol optimum dapat diselesaikan dengan teknik kalkulus variasi (persamaan Euler) dan sebaliknya prinsip Maksimum Pontryagin yang merupakan syarat perlu untuk adanya kontrol optimum dapat diperlakukan sebagai pengembangan dari kalkulus variasi. 4

Chapter 2 Kalkulus Variasi 2.1 Pendahuluan Kalkulus variasi merupakan cabang ilmu matematika yang berkaitan dengan pengoptimuman fungsional. Cabang ilmu ini telah mulai berkembang sejak ditemukannya masalah isoperimetris untuk pertamakalinya sekitar tahun 85 B.C. Akan tetapi, progres yang signifikan dalam cabang ilmu ini baru terjadi sekitar penghujung abad 17 melalui penemuan masalah brachitoschrone, yang solusinya diberikan oleh Newton, de l Hospital, John dan Jacob Bernoulli pada tahun 1696. Dalam bidang ekonomi, penggunaan kalkulus variasi sudah ada sejak tahun 192an, melalui karya Evans (1924 dan 193), Ramsey (1928) dan Hotelling (1931). Evans dan Roos berupaya untuk menemukan harga optimum untuk keseluruhan periode perencanaan, seperti memaksimumkan fungsional keuntungan dari monopolist. Sedangkan Ramsey ingin menemukan program penghematan yang meminimumkan perbedaan tingkat utilitas. Masalah penghematan optimum ini, yang memuat sumber inspirasi dalam teori pertumbuhan ekonomi yang optimum, diselesaikan dengan kalkulus variasi. Sementara itu Hotelling menggunakan kalkulus variasi dalam masalah penambangan optimum dari sumber daya alam. 2.2 Fungsional Dan Variasi Fungsional memainkan peranan penting dalam kalkulus variasi. Fungsional, misalnya norm x = x, atau misalnya J(x) = b a x(t)dt, adalah suatu aturan yang mengkaitkan tiap fungsi x R dengan suatu bilangan tunggal x atau J(x). Terdapat analogi antara fungsi dengan fungsional. Argumen dari fungsi merupakan peubah, misalnya x = x(t), sedangkan argumen dari fungsional merupakan fungsi, misalnya J(x(t)) = b a x(t)dt. Apabila fungsi secara lengkap dapat ditentukan manakala peubahnya diberikan nilai-nilai tertentu, maka 5

suatu fungsional secara lengkap ditentukan oleh pilihan fungsi tertentu dari sekumpulan fungsi yang admissible. Increment atau kenaikan dari argumen fungsi adalah dt = t t, sementara increment dari argumen fungsional, yang kita sebut dengan variasi dan dengan notasi δx merupakan selisih δx = x(t) x(t ). Dalam mempelajari fungsi, kita tertarik untuk menemukan titik yang memberikan ekstremum untuk fungsi, sedangkan dalam pembahasan fungsional kita tertarik untuk menemukan fungsi yang memberikan ekstremum untuk fungsional. Variasi dari fungsional J(x) adalah J(x) = J(x+δx) J(x). Dengan mengambil δx = h sebarang fungsi, maka dengan menggunakan perluasan deret Taylor, maka diperoleh J(x + δx) = = + sehingga diperoleh (2.1) = J(x) + f(x + h, ẋ + ḣ, t)dt f(x, h, t)dt + (hf x + ḣf ẋ)dt (h 2 f xx + 2hḣf xẋ + fẋẋ ḣ 2 )dt + O h 2 f(x, h, t)dt + J(h) = J(x + h) J(x) = φ(h) + Q(h) + O h 2 (h 2 f xx + 2hḣf xẋ + fẋẋ ḣ 2 )dt + O h 2, = δj(h) + δ 2 J(h) + O h 2 dengan φ(h) merupakan suku-suku linear dalam deret Taylor yang kita sebut dengan variasi pertama δj(h) dan Q(h) adalah suku-suku kuadrat yang mengindikasikan variasi kedua δ 2 J(h) dan O h 2 untuk h. Definisi 2.1 Fungsional J(x) dikatakan mencapai maksimum (minimum) lokal atau relatif sepanjang x (t) apabila J(x ) ( ), yaitu J(x ) J(x) (J(x ) J(x)) untuk semua fungsi-fungsi yang cukup dekat dengan x. Fungsional J(x) dikatakan mencapai maksimum (minimum) global sepanjang x (t) apabila J(x ) ( ), yaitu J(x ) J(x) (J(x ) J(x)) untuk semua fungsi x(t) x (t). 2.3 Syarat Perlu Untuk Optimum : Persamaan Euler Misalkan C[, T ] menyatakan kelas semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang [, T ] dan C i [, T ] menyatakan semua fungsi yang didefinisikan di selang [, T ] dan memiliki turunan ke-i yang kontinu. Perhatikan masalah variasi dalam bentuk sederhana, (2.2) J(x) = 6 f(x, ẋ, t)dt

dengan titik ujung A(, x()) dan B(T, x(t )) adalah tetap, f(x, ẋ, t), x(t) C 2 [, T ] dan ẋ dx/dt dan x adalah fungsi bernilai skalar. Permasalahan adalah memilih fungsi x (t) diantara fungsi-fungsi admissible, yaitu semua fungsi x(t) C 2 [, T ] yang memiliki titik awal di A dan titik akhir di B yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional J(x). Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah δj(x) =. Misalkan (2.3) δj(x) = g(t)h(t)dt dengan g(t) C[, T ] dan h(t) sebarang fungsi yang memenuhi h() = h(t ) =. Lema 2.1 ( Lema Dasar ) Misal g(t) C[, T ] dan S himpunan semua fungsi h(t) kontinu dan dapat diturunkan di [, T ] dan h() = h(t ) = dengan T adalah tetap. Jika (2.4) g(t)h(t)dt = untuk semua h S, maka g(t) = untuk semua t [, T ]. Bukti : Misalkan g(t), yaitu g(t) >, pada [, T ]. Dengan sifat kekontinuan, maka g(t) untuk suatu selang [a, b] [, T ], dengan < a < b < T. Misal h(t) (t a)(b t) untuk t [a, b] dan h(t) =, t [a, b]. Jelas bahwa h(t) memenuhi persyaratan lema. Tetapi, g(t)(t a)(b t)dt. Suatu kontradiksi. Dengan demikian, haruslah g(t) =. Teorema 2.1 Misalkan J(x) = f(x, ẋ, t)dt didefinisikan pada C [, T ] dan memenuhi syarat batas x() = x, x(t ) = x T. Maka syarat perlu bagi J(x) untuk memiliki ekstremum adalah fungsi x(t) memenuhi persamaan Euler: (2.5) f x d dt f ẋ =, atau dituliskan dalam bentuk penuh, yang disebut persamaan Euler-Lagrange : (2.6) f x fẋt f xẋ ẋ fẋẋ ẍ =. Bukti : Syarat perlu untuk ekstremum adalah δj(x) =, yaitu (2.7) δj = [f x (x, ẋ, t)h + fẋ(x, ẋ, t)ḣ]dt =, 7

dengan f x f(x, ẋ, t)/ x, fẋ f(x, ẋ, t)/ ẋ dan h(t) adalah fungsi displacement merupakan fungsi kontinu sebarang dan bersifat h() = = h(t ). Dengan melakukan integrasi bagian terhadap suku kedua, diperoleh ḣfẋ = hfẋ T = karena h() = = h(t ). Sehingga diperoleh (2.8) δj = ( d dt f ẋ)hdt ( d dt f ẋ)hdt (f x d dt f ẋ)hdt =, yang pada gilirannya dengan Lema Dasar memberikan persamaan Euler : f x d dt f ẋ =. Contoh 2.1 Tentukan ekstremum dari 1 (aẋ2 +bt)dt, diberikan x() =, x(1) = 2, a. Solusi : Fungsi integran adalah dalam bentuk f(ẋ) = aẋ 2 +bt. Persamaan Euler memberikan d/dt(2aẋ) =, atau ẍ =, karena a. Lakukan integrasi, maka diperoleh ẋ(t) = c dan x(t) = ct + d, dengan c dan d merupakan konstanta yang akan ditentukan nilanya dari syarat batas x() = dan x(1) = 2. Akhirnya diperoleh solusi yang merupakan garis lurus, yaitu x(t) = 2t. Contoh 2.2 Tentukan ekstremum dari 1 f(x, ẋ, t)dt, dengan fungsional objektif didefinisikan oleh f(x, ẋ, t) aẋ 2 + bx, dan persyaratan pada kedua titik ujung diberikan oleh x() = 1 dan x(1) = 5. Solusi : Fungsi f(x, ẋ, t) = aẋ 2 + bx. Maka persamaan Euler f x d f dt ẋ = akan memberikan b d 2aẋ =. Yang terakhir ini akan memberikan ẍ = b/(2a). Dengan melakukan integrasi dua dt kali, maka akan diperoleh solusi umum x(t) = b 4a t2 + k 1 t + k 2. Dengan menggunakan x() = 1 dan x(1) = 5, diperoleh k 1 = 25b/a, diperoleh solusi khusus x(t) = b 4a t2 + 25b/at + 1. k 2 = 1, sehingga 8

Contoh 2.3 Seorang produsen merencanakan produksi dalam rentang waktu [, 1]. Tingkat output pada waktu t = adalah nol dan tingkat output pada waktu terminal t = 1 adalah sebesar 1 satuan produksi. Tentukan tingkat output optimum x(t) apabila produsen dihadapkan pada harga pasar stabil, p = 4 satuan moneter dan fungsi ongkos total ẋ 2 + x 2 yang mengalami diskon pada tingkat suku bunga pasar r =, 2. Solusi : Fungsional objektif yang akan dimaksimumkan oleh investor adalah J(x) = 1 Persamaan Euler memberikan e,2t [4x (ẋ 2 + x 2 )]dt, x() =, x(1) = 1. f x d dt f ẋ = e,2t (4 2x) d dt e,2t ( 2ẋ) =, yaitu menghasilkan ẍ, 2ẋ x = 2. Solusi dari persamaan diferensial ini adalah x(t) = k 1 e λ 1t + k 2 e λ 2t + 2, dengan λ 1, λ 2 =, 1 ±, 1 + 1 merupakan akar dari persamaan karakteristik λ 2, 2λ 1 =, dan 2 merupakan solusi dari persamaan diferensial tak homogen. Konstanta k 1 dan k 2 adalah konstanta integrasi yang dapat ditentukan dari syarat batas x() = dan x(1) = 1. Akhirnya diperoleh solusi khusus, yaitu x(t) = 3, 358e 1,15t 5, 358e,95t + 2. 2.4 Persamaan Euler Yang Lebih Umum 2.4.1 Kasus Peubah banyak Perhatikan fungsional objektif J(x) = f(x, ẋ, t)dt, dengan x = (x 1, x 2,..., x n ) dan ẋ = ( x 1, x 2,..., x n ). Maka, dengan melakukan integrasi bagian terhadap δj dan dengan menggunakan h i () = = h i (T ), i diperoleh : δj = = ( n h i f xi + 1 n h i f xi )dt = 1 (f xi d dt f x i )h i dt, h i (t). 9

Dengan menggunakan Lema Dasar, akan menghasilkan persamaan Euler (2.9) f xi d dt f x i =, i, atau dalam bentuk penuh, persamaan Euler-Lagrange (2.1) f xi f xi t f xi x i x i f xi x i ẍ i =, (1 i n). Contoh 2.4 Tentukan ekstremum untuk 1 ( x 1 2 + x 2 2 + e t )dt dengan syarat batas x 1 () = 1, x 1 (1) = 11 dan x 2 () = 2, x 2 (1) = 6. Solusi : Fungsi integran dalam bentuk f(x 1, x 2, x 1, x 2, t) = x 2 1 + x 2 2 +e t. Persamaan Euler memberikan f xi d dt f ẋ i = d dt 2ẋ i (i = 1, 2), yaitu ẍ i =, ẋ i = k i, dengan solusinya adalah persamaan linier x i (t) = k i (t)+c i, (i = 1, 2). Dengan menggunakan syarat batas, maka diperoleh solusi khusus x 1 (t) = t + 1, x 2 (t) =, 4t + 2. 2.4.2 Kasus Fungsi f Memuat Turunan ke-n Perhatikan fungsional objektif dengan fungsi f memuat turunan ke-n, (n 1) (2.11) J(x) = f(t, x, ẋ, ẍ,..., x n )dt dengan titik ujung tetap x i () = x i, dan x i i (T ) = x T berturut-turut memberikan persyaratan h() = ḣ() =... = hn () =, dan h(t ) = = ḣ(t ) =... = hn (T ). Syarat perlu untuk adanya ekstremum bagi J(x) adalah (2.12) δj = (f x h + fẋḣ + fẍḧ +... + f x nh n )dt =. Integrasi bagian terhadap suku kedua integran menghasilkan fẋḣdt = fẋh T = karena h() = = h(t ). ( d dt f ẋ)hdt ( d dt f ẋ)hdt 1

Integrasi bagian terhadap suku ketiga integran, dan mengulangi integrasi bagian sampai diperoleh suku yang memuat perkalian dengan fungsi h, diperoleh : fẍḧdt = fẍḣ T = d dt f ẍh T + = + ḣ d dt f ẍdt h d2 dt 2 f ẍdt. h d2 dt 2 f ẍdt Penggunaan integrasi bagian secara berulang terhadap suku-suku berikutnya dan dengan menggunakan syarat h() = = ḣ() = ḧ() =... = hn () dan h(t ) = = ḣ(t ) = ḧ(t ) =... = h n (T ), menghasilkan δj = (f x d dt f ẋ + d2 dt f 2 ẍ +... + ( 1) n dn dt f n xn)hdt =. Dengan Lema Dasar, maka diperoleh persamaan Euler-Poisson : (2.13) f x d dt f ẋ + d2 dt 2 f ẍ +... + ( 1) n dn dt n f x n =. Contoh 2.5 Tentukan ekstremum dari 1 (ẍ2 + ẋ + at 2 )dt, dengan x() =, ẋ() = 1, x(1) = 1, dan ẋ(1) = 1. Solusi : Fungsi objektif adalah f(ẍ, ẋ, x, t) = ẍ 2 + ẋ + at 2. Persamaan Euler-Poisson memberikan f x d dt f ẋ + d2 dt f 2 ẍ = d dt 1 + d2 2ẍ =, dt2 yang memberikan x (4) =. Dengan melakukan integrasi secara berulang, maka diperoleh solusi umum x(t) = k 1t 3 6 + k 2t 2 2 + k 3t + k 4, dengan konstanta integrasi k 1, k 2, k 3 dan k 4 ditentukan dari syarat batas yang diberikan. Maka akan diperoleh solusi atau ekstremal x(t) = t. 2.5 Kasus Khusus Persamaan Euler 2.5.1 Fungsi f Tidak Memuat x Fungsional objektif adalah dalam bentuk J(x) = 11 f(ẋ, t)dt,

dengan f tidak memuat x secara ekslpisit. Persamaan Euler akan berbentuk d/dtfẋ =. Ini berarti bahwa fẋ = k, dengan k adalah konstanta. Ini merupakan persamaan diferensial ordo-1, dengan k merupakan konstanta sebarang. Solusinya diperoleh dengan melakukan integrasi ẋ. Jika f bergantung hanya pada ẋ, maka persamaan Euler menjadi d dt f ẋ = fẋẋ ẍ =. Hal ini terjadi hanya jika ẍ =, yang memberikan ẋ = c, dan x(t) = c 1 t + c 2, atau terjadi jika fẋẋ =. Jika fẋẋ memiliki akar nyata, dalam hal ini ẋ(t) = c, maka solusinya adalah x(t) = c 3 t + c 4. Terlihat bahwa manapun yang berlaku, solusi dari persamaan Euler berbentuk persamaan garis lurus x(t) = at + b. Contoh 2.6 Tentukan ekstremum untuk fungsional objektif J(x) = 1 (tẋ + ẋ2 )dt dengan syarat batas x() = 1, x(1) = 1. Solusi : Karena fungsi f(x, ẋ, t) = tẋ + ẋ 2 tidak memuat x, maka persamaan Euler menghasilkan d/dt(fẋ) = t + 2ẋ yang memberikan t + 2ẋ = konstanta, atau ẋ = 1/2t + k 1. Dengan melakukan integrasi secara langsung, diperoleh solusi umum : x(t) = 1 4 t2 + k 1 t + k 2. Dengan menggunakan syarat batas, diperoleh k 1 = 1/4, k 2 = 1, sehingga diperoleh solusi khusus : x(t) = 1 4 t2 + 1 4 t + 1. 2.5.2 Fungsi f Tidak Memuat t Fungsional objektif dalam bentuk Persamaan Euler memberikan J(x) = f(x, ẋ)dt. f x d dt f ẋ = f x fẋx ẋ fẋẋ ẍ Kalikan dengan ẋ memberikan f x ẋ fẋx ẋ 2 fẋẋ ẋẍ d dt (f ẋf ẋ) =. Ini berarti bahwa f ẋfẋ = k. 12

2.5.3 Fungsi f Tidak Memuat ẋ Fungsional objektif dalam bentuk J(x) = f(x, t)dt. Persamaan Euler memberikan f x =. Ini bukan persamaan diferensial, tetapi secara umum merupakan persamaan aljabar tak linier. Umumnya, syarat batas tidak dapat dipenuhi, karena tidak ada konstanta integrasi. Dengan kata lain, solusi ada hanya jika kurva x = x(t) melewati titik batas. 2.6 Masalah Variasi Dengan Kendala Dalam masalah kalkulus variasi, kadangkala terdapat kendala tambahan yang disebabkan oleh kondisi fisik dari permasalahan. Ekstremum dari fungsional didefinisikan dalam kerangka kendala tersebut yang sering dikenal dengan sebutan ekstremum berkendala. Implikasi yang sangat penting dari kendala tersebut adalah variasi δx i bukan lagi merupakan sebarang sehingga Lema Dasar tidak dapat diterapkan. Untuk masalah seperti ini digunakan metoda substitusi atau yang lebih dikenal dengan sebutan pengali Lagrange. Akan dibahas kendala titik, kendala persamaan diferensial dan kendala isoperimetric. 2.6.1 Kendala Titik Dan Persamaan Diferensial Perhatikan masalah menentukan ekstremum fungsional (2.14) terhadap kendala (2.15) f(x, ẋ, t)dt g i (x, ẋ, t) =, (1 i r < n) dengan x merupakan vektor dimensi-n dan ẋ merupakan turunannya terhadap waktu t, serta f(x, ẋ, t) adalah fungsi bernilai skalar. Persamaan g i (x, ẋ, t) = disebut dengan kendala persamaan diferensial. Apabila g i (x, ẋ, t) tidak memuat ẋ maka g i (x, t) = disebut kendala titik. Definisikan fungsi Lagrange L sebagai berikut : (2.16) atau dalam bentuk skalar (2.17) L f(x, ẋ, t) + p.g i (x, ẋ, t) r L f(x, ẋ, t) + p i g i (x, ẋ, t) i=1 13

dengan x() = x dan x(t ) = x T. Definisikan fungsional objektif yang diperluas, J a sebagai berikut (2.18) Variasi δj a adalah (2.19) δj a = = J a L(x, ẋ, p, t)dt. (L x δx + Lẋδẋ + L p δp)dt [(L x d dt L ẋ)δx + L p δp]dt. Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah δj a = dan dipenuhinya kendala yang ada. In berarti bahwa persamaan Euler berikut harus dipenuhi, yaitu : (2.2) (2.21) L x d dt L ẋ =, L p d dt L ṗ =, dengan L x f x + g x p, dan Lẋ fẋ + gẋp, untuk kendala diferensial, dan Lẋ fẋ untuk kendala titik. Karena Lṗ = maka diperoleh L p = g =. Solusi, atau ekstremal akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial yang diberikan oleh persamaan Euler. 2.6.2 Kendala Isoperimetris Pada awalnya, masalah isoperimetric adalah masalah mencari kurva dengan panjangnya l yang melingkari daerah terbesar. Dalam perspektif yang lebih luas, masalah isoperimetric adalah masalah variasi dengan kendala yang diberikan dalam bentuk integral tentu yang mempunyai nilai tertentu. Secara matematis, masalah isoperimetric adalah masalah menentukan ekstremum dari fungsional objektif (2.22) terhadap kendala (2.23) dan (2.24) J(x) = f(x, ẋ, t)dt x i () = x i, x i (T ) = x it, (1 i n) g i (x, ẋ, t)dt = l i, (1 i r < n) dengan l i merupakan konstanta. Kendala ( 2.24) dinamakan kendala isoperimetric. Definisikan fungsi baru y i (t) t g i(x, ẋ, t)dt, dengan y i () =, dan y i (T ) = l i, (1 i r < n). Dengan menurunkan y i (t) terhadap waktu t maka diperoleh ẏ i (t) = g i (x, ẋ, t) atau g i ẏ i =. Dengan cara ini, kendala isoperimetric sudah ditransfer menjadi kendala 14

persamaan diferensial. Jadi, untuk menyelesaikannya, digunakan metode pengali Lagrange. Fungsional yang diperluas diberikan oleh (2.25) J a Persamaan Euler memberikan (2.26) (2.27) = F (x, ẋ, t)dt r [f(x, ẋ, t) + p i (t)(g i ẏ i )]dt i=1 F d x j dt ( F ) ẋ j = (1 i n) F d y j dt ( F ) ẏ j = (1 i r) Selanjutnya, solusi atau ekstremum akan diperoleh dengan menentukan solusi dari persamaan diferensial yang dibentuk oleh persamaan Euler. Contoh 2.7 Maksimumkan J(x) = ẋ2 dt, terhadap kendala x() = x, x(t ) = x T dengan T diberikan, dan (1 + x)dt = l, (l konstanta ). Solusi : Definisikan fungsi y(t) dengan y(t) t (1 + x)dt dengan y() =, y(t ) = l. Maka ẏ(t) = 1 + x(t), dan fungsi Lagrange diberikan oleh L = ẋ 2 + p(1 + x ẏ). Sehingga persamaan Euler memberikan 2ẍ = p, dengan solusinya adalah Syarat batas memberikan x() = x = b x(t) = p 4 t2 + at + b. x(t ) = x T = p 4 T 2 + at + b l = (1 + x)dt = Persamaan yang terakhir ini memberikan (1 + p 4 t2 + at + b)dt p = 12 T 3 (l a 2 T 2 (1 + b)t ). Persamaan di atas akan memberikan kontanta a, b dan p. 15

2.7 Syarat Batas Dalam Masalah Variasi 2.7.1 Dua Titik Ujung Tetap Dan Syarat Batas Natural Perhatikan fungsional objektif (2.28) J(x) = f(x, ẋ, t)dt Syarat perlu terdapatnya ekstremum adalah δj =, dengan (2.29) δj = = (f x h + fẋḣ)dt (f x d dt f ẋ)hdt + hfẋ T =. Karena persamaan Euler harus dipenuhi, yaitu f x d dt f ẋ =, maka suku kedua pada persamaan ( 2.29) haruslah memenuhi (2.3) hfẋ T =. Jika titik awal A(, x ) dan titik terminal B(T, x T ) merupakan dua titik tetap, maka h() = = h(t ), atau X() = x, x(t ) = x T dan persamaan ( 2.3) dipenuhi. Permasalahan seperti ini dikenal dengan sebutan masalah dua titik ujung tetap. Apabila titik ujung x() dan x(t ) tidak diberikan, maka fungsi h(t) tidak lagi memenuhi h() = = h(t ). Sehingga untuk dapat terpenuhinya persyaratan ( 2.3) haruslah dipenuhi (2.31) fẋ = pada t = dan fẋ = pada t = T. Persyaratan ini dikenal dengan sebutan syarat batas natural. Persamaan ( 2.31) akan menentukan konstanta integrasi. Contoh 2.8 Perhatikan masalah brachistochrone yang meminimumkan fungsional objektif dengan T = 1 dan x() = 4. J(x) = 1/ (1 + ẋ 2 )dt, Solusi : Persamaan Euler memberikan ẍ =, yang memberikan solusi x(t) = at + b. Apabila x() = 4 dan T = 1, tetapi x(1) belum ditentukan, maka kita gunakan syarat fẋ t=1 =, yaitu ẋ(1) fẋ t=1 = =, (1 + ẋ 2 (1)) 1/2 memberikan ẋ(1) = a =. Sedangkan x() = 4 memberikan b = 4, sehingga diperoleh solusi khusus x(t) = 4. 16

2.7.2 Titik Ujung Bebas Perhatikan masalah menentukan ekstremum untuk fungsional objektif (2.32) J(x) = t f(x, ẋ, t)dt dengan t, T, x(t ) dan x(t ) semuanya belum diketahui. Untuk memudahkan pembahasan, misalkan t = dan x() = x adalah tetap, sedangkan T dan x(t ) adalah bebas. Variasi pertama adalah (2.33) δj = = (f x h + fẋḣ)dt + f(.) T δt (f x d dt f ẋ)hdt + hfẋ T + f(.) T δt Karena variasi pada titik ujung tidak mempengaruhi variasi dalam selang terbuka (, T ), maka syarat perlu untuk δj = adalah dipenuhinya persamaan Euler, yaitu (2.34) f x d dt f ẋ =. Akibatnya, persamaan ( 2.33) menjadi δj = fẋh T + f(.) T δt =. Dengan menggunakan informasi h(t ) = δx T ẋ(t )δt, menghasilkan Syarat Batas atau Syarat Transversalitas : (2.35) (f(.) T ẋfẋ T )δt + fẋ T δx T =. Syarat batas ini akan menentukan nilai T dan x T. Terdapat 2 kasus yang perlu diperhatikan. Kasus pertama apabila variasi δx T dan δt saling bebas. Akibatnya, koefisien dari δx T dan δt dalam persamaan ( 2.35) masing-masing sama dengan nol, yaitu (2.36) f(.) T ẋfẋ T =, dan fẋ T =, yang secara bersama menghasilkan (2.37) f(.) T = = fẋ T. Kasus kedua apabila titik ujung B(T, x T ) bergerak sepanjang kurva x(t) = g(t). Untuk kasus ini, maka δx T = ġ(t )δt. Dengan substitusi ini ke dalam persamaan ( 2.35) menghasilkan (2.38) (f(.) + [ġ(t ) ẋ(t )]fẋ) t=t δt =. Analisis yang sama berlaku pula untuk kasus titik awal bebas, yaitu apabila t dan x(t ) bebas. Secara umum, Syarat Transversalitas atau Syarat Batas ( 2.35) menjadi (2.39) [f(.) ẋfẋ]δt t=t t=t + fẋδx(t) t=t t=t =. 17

Dengan cara yang sama seperti analisis untuk satu titik ujung tetap, maka untuk kasus variasi δx T dan δt saling bebas, diperoleh (2.4) f(.) t=t t=t = = fẋ t=t t=t dan untuk kasus titik ujung bergerak sepanjang kurva g, akan diperoleh (2.41) [f(.) + (ġ ẋ)fẋ] t=t t=t δt =. Syarat Transversalitas di atas mencakup semua kasus yang ada, sebagai berikut : 1. Apabila kedua titik ujung terletak pada garis lurus t = t dan t = T, maka δt = = δt sehingga suku pertama dalam persamaan ( 2.39) menjadi nol dan persamaan ( 2.39) menjadi fẋδx(t) t=t t=t =. 2. Apabila titik ujung A dan B tetap, yaitu x(t ), x(t ) dan t dan T tetap, maka δt = = δt dan δx() = = δx(t ). Jadi kita mempunyai masalah dua titik ujung tetap, dan konstanta integrasi ditentukan oleh syarat batas pada titik A dan B. 3. Apabila x dan x T tetap, tetapi t dan T bebas, maka δx() = = δx(t ), tetapi δt dan δt. Persamaan ( 2.39) memberikan (f(.) ẋfẋ) t=t t=t =. 4. Titik ujung bebas, yaitu x, x T, t dan T semuanya bebas, maka Syarat Transversalitas ( 2.39) harus dipenuhi. Dalam hal ini, (f(.) ẋfẋ) t=t t=t =, dan fẋ t=t t=t =. 5. Titik ujung bebas, yaitu x(t ), x(t ), t dan T semuanya bebas, tetapi x(t ) dan x(t ) harus bergerak sepanjang kurva x(t ) = g 1 (t ) dan x(t ) = g 2 (T ). Maka konstanta integrasi akan ditentukan oleh [f + (ġ 1 ẋ)fẋ] t=t = dan f + (ġ 2 ẋ)fẋ] t=t =. 6. Kombinasi dari semua kasus-kasus di atas. 7. Kadangkala dalam masalah ekonomi, syarat yang diberikan pada titik ujung tidak selalu dalam bentuk suatu nilai, tapi dibatasi oleh suatu nilai. Misalnya, jumlah produksi x pada waktu terminal haruslah lebih besar dari suatu nilai. 18

Perhatikan masalah memaksimumkan fungsional objektif (2.42) Definisikan J(x) = t f(x, ẋ, t)dt, x(t ) = x, x(t ) x T, (x T diberikan, T tetap.). Maka syarat batas yang harus dipenuhi oleh masalah seperti ini adalah f ẋ t=t, (=, jika x(t ) > x T ). (2.43) (2.44) p(t) f/ ẋ, H f(x, ẋ, t) ẋfẋ f + pẋ. Syarat Transversalitas ( 2.39) dapat dituliskan dalam bentuk (2.45) (Hδt + pδx) t=t t=t =. Untuk kasus waktu awal t dan waktu terminal T bebas, maka H(t ) = = H(T ). Sedangkan untuk kasus x(t ) dan x(t ) belum ditentukan maka p(t ) = = p(t ). Syarat Batas dan Penentuan Konstanta Integrasi Kasus Substitusi Syarat Batas T dan x(t ) δx T = x () = x dua2nya ditentukan δt = x (T ) = x T x(t ) bebas δx(t ) x () = x T ditentukan δt = fẋi t=t = x(t ) = x T tetap δx T = x () = x T bebas δt x (T ) = x T H (f ẋfẋ) t=t = x(t ) dan T δx(t ) x () = x dua2nya belum ditentukan δt fẋ t=t = dan saling bebas H (f ẋfẋ) t=t = x(t ) dan T bebas ẋ(t ) = ġ(t )δt x () = x, x (T ) = g(t ) tetapi x(t ) = g(t ) δx i (T ) = ġ i (T )δt (f + (ġ(t ) ẋ(t ))fẋ) t=t = T tetap x T diberikan fẋ t=t, (=, x(t ) > x T ) x(t ) x T Contoh 2.9 Perhatikan masalah meminimumkan fungsional objektif J(x) dengan J(x) = 2 dengan x() dan x(2) belum ditentukan. (ẋ 2 + xẋ + 2ẋ + 4x)dt 19

Solusi : Persamaan Euler memberikan ẍ = 2, dengan solusinya adalah x(t) = t 2 + k 1 t + k 2. Konstanta k 1 dan k 2 akan ditentukan dari syarat fẋ = 2ẋ + x + 2 =, untuk t =, dan t = 2. Syarat di atas memberikan k 1 = 6, k 2 = 1. Sehingga diperoleh solusi x(t) = t 2 6t + 1. Contoh 2.1 Tentukan ekstremum untuk fungsional objektif J(x) = dengan setiap kasus kendala berikut : (x + ẋ 2 )dt 1. x() = 1, T = 2, x(2) = 1 ( dua titik ujung tetap ). 2. x() = 1, T = 2, x(2) bebas ( titik ujung bebas ). 3. x() = 1, x(t ) = 4, T bebas tetapi T > 2 ( waktu terminal bebas ). Solusi : Persamaan Euler memberikan 1 2ẍ =, yang memberikan solusi x(t) = 1 4 t2 + k 1 t + k 2, dengan konstanta k 1 dan k 2 akan ditentukan untuk setiap kasus sebagai berikut : 1. x() = 1 k 2 = 1, x(2) = 1 k 1 = 4, sehingga solusi adalah x(t) = 1 4 t2 + 4t + 1. 2. x() = 1 k 2 = 1. Untuk menentukan k 1 gunakan fẋ = 2ẋ = pada t = T, yaitu ẋ(t ) =, memberikan k 1 = 1. Jadi, diperoleh solusi x(t) = 1 4 t2 t + 1. 3. x() = 1 k 2 = 1. Untuk menentukan k 1 gunakan persyaratan (f ẋfẋ) t=t =, yang menghasilkan ẋ 2 (T ) + x(t ) =. Ini akan memberikan k 1 = ±1. Untuk k 1 = 1 T = 2. sedangkan untuk k 1 = 1 T = 6. Karena T > 2, maka haruslah k 1 = 1. Sehingga diperoleh solusi optimum adalah x(t) = 1 4 t2 t + 1, T = 6. 2

2.8 Syarat Cukup / Sufficiency Conditions 2.8.1 Variasi Fungsional Perhatikan fungsional objektif (2.46) J(x) = Variasi total dari fungsional objektif adalah J(h) J(x + h) J(x) f(x, ẋ, t)dt. = (f x h + fẋḣ)dt + 1 (f xx h 2 + 2f xẋ hḣ 2 + fẋẋḣ2 )dt + O( h ) 2 δj(h) + δ 2 J(h) + O( h ) 2 = variasi pertama + variasi kedua + orde lebih tinggi dengan O( h ) 2 untuk h. Pada kurva ekstremum, δj(h) = dan J(h) harus memiliki tanda yang sama dengan tanda δ 2 J(h). Untuk memudahkan pembahasan, tuliskan variasi kedua sebagai berikut : (2.47) δ 2 J(h) = 1 2 (f xx h 2 + 2f xẋ hḣ + f ẋẋḣ2 )dt (P ḣ2 + Qh 2 )dt dengan P P (t) 1f 2 ẋẋ; Q Q(t) = 1(f 2 xx d f dt xẋ) dan dengan melakukan integrasi bagian maka diperoleh 2fxẋhḣdt = ( d f dt xẋ)h 2 dt. Untuk masalah meminimumkan, δ 2 J(h), dan untuk masalah memaksimumkan, δ 2 J(h). Untuk fokusnya, kita lihat masalah meminimumkan, dan untuk masalah memaksimumkan, tinggal mengganti tanda yang berlawanan. Akan dilihat kondisi-kondisi yang membuat δ 2 J(h). Akan ditunjukkan bahwa δ 2 J(h), jika dan hanya jika (P ḣ2 + Qh 2 ) untuk semua h(t) yang memenuhi h() = = h(t ). Fungsi h(t) yang memenuhi sifat ini bernilai kecil jika ḣ(t), t (, T ) juga bernilai kecil, tapi sebaliknya tidak berlaku. Apabila fungsi h(t) yang bersifat se[erti di atas dapat ditemukan demikian rupa sehingga h(t) kecil tetapi ḣ(t) besar untuk tin(, T ), maka P ḣ2 mendominasi Qh 2 dalam penentuan tanda dari δ 2 J(h), seperti yang ditunjukkan oleh lema dan teorema berikut. 2.8.2 Syarat Legendre Lema 2.2 Misalkan δ 2 J(h) = (P ḣ2 +Qh 2 )dt didefinisikan untuk fungsi h(t), yang memiliki sifat dapat diturunkan pada t (, T ) dan memenuhi h() = = h(t ). Maka syarat 21

perlu untuk δ 2 J(h) = (P ḣ2 +Qh 2 )dt adalah P (t), t (, T ). Ini disebut Syarat Legendre. Teorema 2.2 (Legendre). Syarat perlu bagi fungsional objektif J(x) = f(x, ẋ, t)dt dengan syarat pada titik ujung x() = x, x(t ) = x T untuk memiliki nilai minimum ( atau maksimum ) untuk semua kurva x = x(t) adalah dipenuhinya syarat Legendre P (t) untuk semua t (, T ). Teorema Legendre ini, sayangnya masih merupakan syarat perlu. Upaya Legendre untuk membuktikannya sebagai syarat cukup untuk optimum mengalami kegagalan. 2.8.3 Syarat Jacobi Upaya Legendre yang gagal, membawa kepada suatu persamaan diferensial linier ordo-2 dalam v, d (P v) + Qv =. dt Teorema 2.3 Perhatikan persamaan diferensial orde-2 (2.48) d (P v) + Qv =. dt Jika P > (< ) dan solusi v(t) untuk semua fungsi v(t) yang dapat diturunkan memenuhi sifat v() = = v(t ), maka δ 2 J > (< ) artinya nilai minimum ( atau nilai maksimum ) telah diperoleh. Ini disebut syarat perlu Jacobi. 2.8.4 Syarat Weierstrass untuk Ekstremal Kuat Teorema 2.4 Definisikan fungsi ekstra E dengan (2.49) E(x, ẋ, p, t) = f(x, ẋ, t) f(x, p, t) (ẋ p)f p dengan p(t, x) adalah fungsi kemiringan/ slope dari ekstremum yang melalui titik (t, x). Apabila Jacobi dipenuhi maka E untuk masalah memaksimumkan dan E untuk masalah meminimumkan. 22

2.8.5 Syarat Legendre-Clebsch Teorema 2.5 Fungsi ekstra E dapat disederhanakan menjadi (2.5) E (ẋ p)2 fẋẋ (t, x, q) 2! dengan q = θẋ + (1 θ)p, ( < θ < 1). Supaya x(t) mencapai minimum ( atau maksimum) adalah cukup dipenuhi syarat Legendre-Clebsch E ( ) yang berarti fẋẋ ( ), atau dalam bentuk yang lebih umum, matriks [fẋẋ ] merupakan semi-definit positif ( atau negatif ) dan syarat Jacobi dipenuhi untuk semua ẋ. 2.8.6 Syarat Cukup : Kasus khusus Teorema 2.6 (Mangasarian). Misalkan f(x, ẋ, t) merupakan fungsi yang dapat diturunkan dua kali dan concave/cembung ( convex/cekung) dalam x dan ẋ. Maka syarat perlu dan syarat cukup untuk x sebagai maksimum ( atau minimum ) dari fungsional J(x) = adalah dipenuhinya persamaan Euler dan x() = x, dan x(t ) = x T. f(x, ẋ, t)dt 23

Chapter 3 Kontrol Optimum : Pendekatan Kalkulus Variasi 3.1 Formulasi Masalah Kontrol Optimum Teori kontrol optimum berkembang secara pesat pada tahun 5-an, dengan adanya penemuan 2 metode penyelesaian masalah kontrol optimum, yaitu dynamic programming yang ditemukan oleh Richard Bellman (1957) dan maximum principle yang ditemukan oleh Pontryagin (1962). Dengan alasan kepraktisan, pembahasan akan difokuskan pada teknik maximum principle, yang dapat didekati dengan metode kalkulus variasi, terutama yang terkait dengan syarat perlu yang tertuang dalam persamaan Euler. Lagi pula, masalah kalkulus variasi dengan kendala persamaan differensial merupakan masalah kontrol optimum, dengan mengganti peubah ẋ dengan peubah kontrol u(t). Perhatikan suatu masalah ekonomi yang berkembang menurut waktu. Pada waktu t, sistem berada dalam keadaan atau kondisi (state), yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan (state variables) x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t), atau dalam bentuk vektor x(t) R n. Dengan nilai t yang berbeda, vektor x(t) me-nempati posisi yang berbeda di ruang R n. Dalam hal ini, kita katakan bahwa sistem bergerak sepanjang suatu kurva di R n. Misalkan proses yang terjadi pada ekonomi (yang membuat x(t) bervariasi/bergerak) dapat dikendalikan atau dikontrol. Artinya, ada fungsi kontrol atau variable controls atau decision variables u 1 (t), u 2 (t),..., u k (t) atau dalam bentuk vektor u(t) R k, k n, yang mempengaruhi proses. [Contoh : pajak, tingkat suku bunga, alokasi investasi, dsb.] Tentunya kita harus mengetahui aturan/hukum/kaidah yang membentuk perilaku ekonomi sepanjang waktu, yang kita sebut dengan dinamika dari sistem. 24

Sistem yang akan kita lihat adalah sistem yang dibentuk oleh sistem persamaan differensial : (3.1) ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) dengan f = (f 1, f 2,..., f n ), f i dan f i / x i adalah kontinu. Misal state dari sistem diketahui pada waktu t sehingga x(t ) = x, x R n. Jika dipilih kontrol u(t) = (u 1 (t), u 2 (t),..., u k (t)) R k yang terdefinisi untuk waktu t t, maka diperoleh sistem x(t). Jadi, x(t) merupakan respons terhadap kontrol u(t), sehingga kadangkadang dituliskan sebagai x u (t). Untuk setiap fungsi kontrol u(t) dan respons x u (t) atau disingkat x(t), dikaitkan suatu bilangan J yang didefinisikan oleh (3.2) J[u(t)] = S[x(T ), T ] + t f (x(t), u(t), t)dt dengan fungsi f adalah suatu fungsi yang diberikan dan S[x(T ), T ] merupakan fungsi scrap. Waktu akhir atau waktu terminal T tidak selalu harus tetap, dan x(t ) dapat saja memiliki batasan tertentu. Definisi 3.1 Misalkan U menyatakan kelas dari semua fungsi yang kontinu bagian. Masalah kontrol optimum (MKO) adalah masalah menentukan fungsi kontrol u (t) diantara fungsi admissible u(t) U yang membawa sistem dari state awal x kepada state akhir/terminal x T yang memenuhi kondisi akhir/terminal, melalui sistem (3.3) ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) sehingga fungsional J mencapai nilai maksimum. Dengan kata lain, masalah kontrol optimum adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif (3.4) max J[u(t)] = S[x(T ), T ] + f (x(t), u(t), t)dt u(t) U t terhadap kendala ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), x(t ) = x, x(t) R n. 3.2 Syarat Perlu : Prinsip Maksimum Pontryagin Teorema 3.1 Misalkan u (t) sebagai kontrol admissible yang membawa state awal (x(t ), t ) kepada target state terminal (x(t ), T ), dengan x(t ) dan T secara umum tidak ditentukan. Misalkan x (t) merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan u (t). Supaya kontrol u (t) merupakan kontrol optimum adalah perlu terdapat fungsi vektor p (t), dan konstanta p demikian rupa sehingga 25

1. p (t) dan x (t) merupakan solusi dari sistem kanonik (3.5) (3.6) ẋ (t) = H p (x (t), u (t), p (t), t) ṗ (t) = H x (x (t), u (t), p (t), t) dengan fungsi Hamilton H diberikan oleh (3.7) H(x, u, p, t) = f (x(t), u(t), t) + p.f(x(t), u(t), t) dengan p 1. 2. H(x (t), u (t), p (t), t) H(x(t), u(t), p(t), t) 3. Semua syarat batas dipenuhi. Bukti : Untuk memudahkan pembahasan, ambil t = dan x() = x. Tuliskan fungsi scrap S[x(T ), T ] dalam bentuk (3.8) S[x(T ), T ] S[x, ] + d S[x(t), t]dt dt sehingga fungsional objektif J dalam persamaan ( 3.2) dapat ditulis dalam bentuk yang berikut : (3.9) (3.1) J[u(t)] = S[x, ] + = S[x, ] + [f (x(t), u(t), t) + d S(x(t), t)]dt t dt [f (.) + S t x ẋ + S t ]dt Suku S[x, ] dapat diabaikan untuk mempermudah pembahasan, karena x() = x sudah tetap, sehingga tidak mempengaruhi proses optimisasi. Tuliskan fungsional objektif yang diperluas J a (u) sebagai berikut (3.11) J a (u) = t L(x, ẋ, p, u, t)dt dengan fungsi L didefinisikan oleh (3.12) (3.13) L(x, ẋ, p, u, t) f (.) + p[f(.) ẋ] + S x ẋ + S t H(x, u, p, t) pẋ + S x ẋ + S t dengan H(x, u, p, t) f (x, u, t) + pf(x, u, t) merupakan fungsi Hamilton. 26

Dengan menggunakan syarat perlu untuk adanya ekstremum pada fungsional objektif yang diperluas, maka (3.14) (3.15) δj a (u) = [(L x d dt L ẋ)δx + L u δu + L p δp]dt + [Lẋδx + (L Lẋẋ)δt] t=t =. Karena persamaan Euler harus dipenuhi, maka haruslah (3.16) L x d dt L ẋ = H x + x (S xẋ + S t ) d dt (S x p) = H x + S xx ẋ + S xt S xx ẋ S xt + ṗ = H x + ṗ =. Ini memberikan (3.17) ṗ = H x Karena δu dan δp adalah sebarang dan saling bebas, maka haruslah L u = dan L p =. Dari pendefinisian fungsi L, maka sehingga diperoleh L u = H u, dan L p = f(.) ẋ = H p ẋ, (3.18) (3.19) H u = ẋ = f(x, u, t) = H p Syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh suku-suku sisanya, yaitu (3.2) [Lẋδx + (L Lẋẋ)δt] t=t =. Tetapi Lẋ = S x p L Lẋẋ H pẋ + S x ẋ + S t ẋs x + ẋp = H + S t sehingga diperoleh syarat transversalitas atau syarat batas (3.21) (S x p)δx t=t + [H(t) + S t ]δt t=t =. Apabila x(t ) dan t dua-duanya belum ditentukan pula, maka syarat batas menjadi (3.22) (S x p)δx t=t t=t + [H(t) + S t ]δt t=t t=t = yang menghasilkan teorema Pontryagin. Catatan : 27

1. H(x (t), u (t), p (t), t) H(x(t), u(t), p(t), t) disebut dengan Prinsip Maksimum Pontryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh H u = dan H uu <, untuk masalah yang kita bicarakan. Jika u U dan U himpunan tertutup, maka H u = tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari H diberikan oleh bagian dalam (interior ) himpunan U. 2. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u, dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah u imax untuk masalah memaksimumkan dan u imin untuk masalah meminimumkan. Jika H fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah u imin untuk masalah memaksimumkan dan u imax untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linier dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum u i adalah kontinu bagian dan loncat dari satu vertex ke vertex lainnya. Ini adalah kasus khusus dari kontrol bang-bang. 3. H(x (t), u (t), p (t), t) H(x(t), u(t), p(t), t) juga mencakup syarat cukup. 4. Vektor p disebut juga vektor adjoint, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoint merupakan shadow price nilai marginal dari vektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan/penurunan untuk setiap kenaikan/penurunan dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J. Sedangkan ṗ mengindikasikan tingkat kenaikan (appresiasi untuk ṗ >,) atau penurunan ( depresiasi untuk ṗ < )dalam nilai dari tiap unit modal. 5. dh/dt = H/ t. 6. ṗ = H x, H u =, ẋ = H p memberikan syarat perlu untuk masalah yang dibicarakan. 7. Syarat batas diberikan oleh persamaan ( 3.22). Apabila fungsi scrap S =, maka persamaan ( 3.22) menjadi (3.23) p(t)δx(t) t=t t=t + H(t)δt t=t t=t =. Khususnya, apabila waktu awal t dan x(t ) telah ditentukan, sedangkan T dan x(t ) belum ditentukan, maka syarat batas menjadi p(t )δx(t ) + H(T )δt =. Contoh 3.1 Minimumkan fungsional objektif J(u(t)) = 1 (x + u 2 )dt dengan kendala ẋ(t) = u(t); x() =, x(1) bebas. 28

Solusi : Dalam masalah di atas, f (x, u, t) = x + u 2, fungsi f(x, u, t) = u(t). Maka fungsi Hamilton adalah sehingga diperoleh H(x, u, p, t) = f (x, u, t) + pf(x, u, t) = x + u 2 + p( u(t)) H u = 2u(t) p(t) u (t) = p(t)/2; H uu = 2 >. ṗ(t) = H x = 1, memberikan p(t) = t + k 1. Karena fungsi scrap S =, dan x(1) belum ditentukan ( dan T = 1), maka syarat batas p(1)δx(1) =, yang memberikan p(1) = 1 + k 1 =, yaitu k 1 = 1, dan p(t) = t + 1. Sistem dinamis menjadi yang memberikan solusi ẋ(t) = u(t) = p(t)/2 = 1 2 ( t + 1) = t 2 1 2, x(t) = t 2 1 2 + k 2 dengan k 2 =, karena x() =. Jadi solusi optimum adalah x (t) = t 2 1 2 p (t) = t + 1 u (t) = t 2 1 2 Contoh 3.2 Minimumkan fungsional objektif dengan kendala ẋ = u(t), x() = 1. J(u(t)) = 1 2 x(1)2 + 1 2 Solusi : Fungsi Hamilton adalah H = 1 2 u2 pu, sehingga H u = u p =. Ini memberikan u(t) = p(t); H uu = 1 >. ṗ = H x =. Ini memberikan p(t) = k, konstanta. Sedangkan ẋ = u = p memberikan 1 u 2 dt x(t) = pt + k 1 == pt + 1, karena x() = 1. Syarat batas p(1) = S x = x(1) memberikan p(1) = x(1) = p + 1, yaitu p (t) = 1 2. Sehingga diperoleh solusi optimum x (t) = 1 2 t + 1, p (t) = u (t) = 1 2. 29

Perhatikan masalah kontrol optimum satu dimensi yang memaksimumkan fungsional objektif J (3.24) max J[u(t)] = f (x(t), u(t), t)dt u(t) U t terhadap kendala (3.25) ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), x(t ) = x, T dan x T tetap dan salah satu dari syarat terminal berikut : 1. x(t ) = x T, 2. x(t ) x T, 3. x(t ) bebas dan kontrol u(t) U. Teorema 3.2 Syarat perlu untuk adanya kontrol optimum adalah (p, p(t)) (, ) dan (3.26) (3.27) (3.28) (3.29) H(x (t), u (t), p (t), t) H(x(t), u(t), p(t), t) ẋ (t) = H p (x (t), u (t), p (t), t) ṗ (t) = H x (x (t), u (t), p (t), t) p = 1 atau p =, dan syarat batas yang sesuai adalah : 1. p(t ) tanpa syarat, 2. p(t ) (= jika x (T ) > x(t )), 3. p(t ) =. 3.3 Syarat Transversalitas Atau Syarat Batas Perhatikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif (3.3) max J[u(t)] = S[x(T ), T ] + f (x(t), u(t), t)dt u(t) U t 3

terhadap kendala (3.31) ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), x(t ) = x, x(t) R n. Maka syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh (3.32) (S x p) x t=t + [H + S t ] t t=t =. 3.3.1 Masalah Waktu Terminal T Tetap Dengan waktu terminal T tetap, maka δt =, dan persamaan ( 3.32) menjadi (3.33) (S x p) x t=t = Terdapat 3 kasus untuk masalah ini, yaitu : Kasus 1 : State terminal (akhir) tetap, x(t ) = x T. Untuk kasus ini, jelas bahwa δx(t ) =, dan persamaan ( 3.32) tidak memberikan informasi apa-apa. Malahan informasi tersebut tidak diperlukan, karena konstanta integrasi akan diberikan oleh x(t ) = x dan oleh x(t ) = x T. Kasus 2 : State Terminal Bebas. Untuk kasus ini, jelas bahwa δx(t ) sehingga diperoleh p(t ) = S x. Apabila tanpa S[x(T ), T ], yaitu S[x(T ), T ] =, maka syarat batas adalah p(t ) =. Kasus 3 : State Terminal berada pada manifold M[x(T ), T ] =. Apabila state terminal berada pada manifold M[x(T ), T ] = dengan M merupakan vektor, maka syarat batas menjadi (3.34) (R x p) x t=t = dengan (3.35) R[x(T ), T ] S[x(T ), T ] + µm[x(t ), T ] dengan µ merupakan pengali Lagrange. Jadi syarat batas atau syarat transversalitas menjadi p(t ) = R x. 3.3.2 Masalah Waktu Terminal T Bebas Syarat batas menjadi (3.36) (R x p) x t=t + [H + S t ] t t=t =. Terdapat 3 kasus untuk masalah ini, yaitu : Kasus 4 : State Terminal x(t ) = x T Tetap Jelas bahwa δx(t ) =, sehingga diperoleh (3.37) H(T ) + S t t=t =. 31

Apabila tanpa fungsi scrap, maka H(T ) =. Kasus 5 : State Terminal x(t ) Bebas, yaitu δx(t ). Maka syarat batas menjadi p(t ) = S x [x(t ), T ], dan H(T ) + S t t=t = Apabila fungsi scrap tidak ada, maka p(t ) = = H(T ). Kasus 6 : State Terminal Bebas, tapi memenuhi M[x(T ), T ] =. Maka syarat batas menjadi p(t ) = R x, H(T ) + R t t=t =, M[x(T ), T ] =. 32

Ringkasan Syarat Batas/Transversalitas Conditions Kontrol Optimum (S x p)δx t=t + [H(t) + S t ]δt t=t =. Kasus Substitusi Syarat Batas Waktu Terminal T tetap ( δt = ) x(t ) = x T tetap δx(t ) = x() = x, x(t ) = x T δt = (tidak ada batasan pada p(t )) x(t ) bebas δx(t ) x() = x yaitu δx(t ) δt = p(t ) = S x State terminal x(t ) δx(t ) x() = x berada pada M(x, t) = δt = p(t ) = S x + M xµ M(x(T ), T ) = Waktu Terminal T bebas ( δt ) x(t ) = x T tetap δx(t ) = x() = x δt x(t ) = x T H(T ) + S t = pada t = T x(t ) bebas δx(t ) x() = x δt p(t ) = S x [x(t ), T ] H(T ) + S t = pada t = T x(t ) tidak diberikan δx(t ) x() = x berada pada manifold δt p(t ) = R x S x + M x M(x(T ), T ) = H(T ) + R t = M = 3.4 Syarat Cukup Untuk Kontrol Optimum Syarat H(x (t), u (t), p (t), t) H(x(t), u(t), p(t), t) dalam Prinsip Maksimum Pontryagin sekaligus memberikan syarat cukup. Variasi total dari fungsional yang diperluas J a (u) adalah J a (u) J a (u) J a (u ) = δj a (u) + δ 2 J a (u) + O(u). Tanpa mempedulikan orde yang lebih tinggi O(u) dan pada saat ekstremum variasi pertama δj a (u) =, maka terlihat bahwa tanda dari J a (u) ditentukan oleh tanda dari variasi kedua δ 2 J a (u), yang harus bertanda tak-positif untuk maslah maksimum dan tak-negatif untuk masalah minimum. Dengan mengabaikan fungsi scrap, yaitu S(x(T ), t) =, maka variasi kedua δ 2 J a (u) diberikan oleh [ ][ ] T 2 δ 2 H 2 H J a (u) = 1/2 ( δx δu ) 2 x x u δx dt δu 2 H u x dengan H xx [δ 2 H/δx i δx j ], merupakan turunan dari H x terhadap x yang dihitung pada (x, p, u, t). Hal yang sama berlaku untuk H ux (= H xu ) dan H uu. 2 H 2 u 33