Perluasan permutasi dan kombinasi Permutasi dengan pengulangan Kombinasi dengan pengulangan Permutasi dengan obyek yang tidak dapat dibedakan Distribusi obyek ke dalam kotak
Permutasi dengan pengulangan Contoh 1 Berapa banyak string panjang n yang dapat dibentuk dari alfabet? Karena ada 26 huruf dalam alfabet dan karena setiap huruf dapat digunakan berulang maka ada 26 n string panjang n. Teorema 3 Jumlah permutasi-r dari himpunan dengan n anggota yang memperbolehkan pengulangan adalah n r.
Kombinasi dengan pengulangan Contoh 2 Ada berapa cara untuk memilih 3 buah dari wadah yang berisi rambutan, duku, pisang, dan manggis, jika urutan pengambilan tidak penting, dan setidaknya ada 4 buah dalam setiap jenis buah.
Contoh 3 Ada berapa cara untuk memilih 5 lembar uang kertas dari kotak yg memuat lembaran $1, $2, $5, $10, $20, $50 dan $100? Asumsikan bahwa urutan pengambilan tidak penting dan ada sedikitnya 5 lembar uang kertas utk masing-masing pecahan. Solusi Karena urutan tidak penting dan ke-7 macam uang kertas tersebut dapat dipilih hingga 5 kali, maka problem ini sama dengan menghitung kombinasi-5 dengan pengulangan dari himpunan dengan 7 elemen. Misal kotak mempunyai 7 bagian dan setiap bagian menyimpan 1 macam uang, maka bagian-bagian tersebut dipisahkan oleh 6 pemisah.
Contoh 3 (2) Memilih 5 uang kertas sama artinya dengan menempatkan 6 pemisah dalam 11 tempat (5* + 6 ). ** *** : 3 $1 + 2 $10 * * ** * : $5 + 2 $20 + $50 + $100 Jadi banyaknya cara memilih 5 uang kertas = banyaknya cara menempatkan 6 pemisah dalam 11 tempat = C(11,6) = 462.
Kombinasi dengan pengulangan (2) Teorema 4 Terdapat C(n+r-1,r) kombinasi-r dari himpunan dengan n anggota yang memperbolehkan pengulangan anggota. Contoh 4 Ada berapa banyak solusi dari x 1 + x 2 + x 3 =11, jika x 1, x 2, x 3 bil bulat nonnegatif? Solusi Menghitung solusi = menghitung cara memilih 11 bintang dari himpunan 13 elemen (11 bintang + 2 pemisah). Jadi terdapat C(13,11) macam solusi.
Soal 1 NEW Apakah hubungan antara solusi x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 6, x i bilangan bulat nonnegatif, dengan lintasan terpendek antara A dan B pada grid ini? B A
Soal 2 a. Ada berapa banyak solusi dari x 1 + x 2 + x 3 11, bila x 1, x 2, x 3 bilangan bulat nonnegatif? b. Ada berapa banyak solusi dari x 1 + x 2 + x 3 = 11, bila x 1, x 2, x 3 bilangan bulat dan x 1 1, x 2 2 dan x 3 3?
Solusi: a. Tambahkan variabel baru y yang bernilai bulat nonnegatif, sehingga didapat persamaan x 1 + x 2 + x 3 +y = 11. NEW Solusi pada persamaan diatas sama banyak dengan solusi pada pertaksamaan semula. b. Definisikan y 1 = x 1-1, y 2 = x 2-2, dan y 3 = x 3-3. Maka y i adalah bilangan bulat nonnegatif. x 1 + x 2 + x 3 = 11 (y 1 +1) +(y 2 +2) + (y 3 +3) = 11 y 1 + y 2 + y 3 = 5.
Permutasi dan kombinasi dengan pengulangan Tipe Pengulangan? Rumus r-permutasi r-kombinasi r-permutasi r-kombinasi Tidak Tidak Ya Ya n! ( n r)! n! r!( n r)! n r ( n r 1)! r!( n 1)!
Permutasi dengan obyek yang tak dapat dibedakan Contoh 5 Ada berapa banyak string yang dapat dibuat dengan mengatur kembali huruf-huruf pada kata SUCCESS? Solusi Karena ada beberapa huruf yg sama, maka jawabannya tidaklah sama dengan permutasi 7 huruf. Tapi, banyaknya adalah: C(7,3) utk menempatkan 3 S dalam 7 tempat; C(4,2) utk menempatkan 2 C dalam 4 tempat sisanya; C(2,1) utk menempatkan 1 U dalam 2 tempat sisanya; C(1,1) utk menempatkan 1 E dalam 1 tempat sisanya; Jadi banyak string ada: C(7,3).C(4,2).C(2,1).C(1,1) = 420.
Permutasi dengan obyek yang tak dapat dibedakan (2) Teorema 5 Jumlah permutasi dari n obyek, di mana terdapat adalah: n 1 obyek tipe 1, n 2 obyek tipe 2,, dan n k obyek k, n! n! n! n! 1 2 k
Distribusi obyek ke dalam kotak Contoh 6 Ada berapa banyak cara untuk mendistribusikan satu set kartu pada 4 orang pemain sehingga setiap pemain mendapatkan 5 kartu? Solusi Pemain pertama memperoleh 5 kartu dalam C(52,5) cara Pemain kedua memperoleh 5 kartu dalam C(47,5) cara Pemain ketiga memperoleh 5 kartu dalam C(42,5) cara Pemain keempat memperoleh 5 kartu dalam C(37,5) cara Jadi, secara keseluruhan banyaknya cara adalah C(52,5). C(47,5). C(42,5). C(37,5) 52! 47! 42! 37! 52! 47!5! 42!5! 37!5! 32!5! 5!5!5!5!32!
Distribusi obyek ke dalam kotak Teorema 6 Banyaknya cara untuk mendistribusikan n obyek yang dapat dibedakan ke dalam k kotak yang dapat dibedakan sehingga n i buah obyek ditempatkan dalam kotak i, i=1,2,,k adalah n! n! n! n! 1 2 k
Koefisien Binomial Teorema Binomial (x+y) n = C(n,0)x n + C(n,1)x n-1 y + C(n,2)x n-2 y 2 + + C(n,n-1)xy n-1 + C(n,n)y n. Bukti Menghitung banyaknya x n-j y j, untuk suatu j=0,1,2,,n, sama dengan memilih (n-j) buah x dari n suku (sehingga j suku lainnya dalam perkalian adalah y). Jadi koefisien x n-j y j adalah C(n,n-j).
Koefisien Binomial (2) Akibat 1 1. C(n,j) = C(n,n-j). 2. C(n,0) + C(n,1) + + C(n,n) = 2 n. 3. 4. n k 0 n k 0 ( 1) 2 k k C( n, k) C( n, k) 3 n 0 Bukti 1. Banyaknya cara memilih j dari n elemen sama dengan banyaknya meninggalkan n-j dari n elemen. 2. Pilih x = y = 1. 3. Pilih x = -1 dan y = 1. 4. Pilih x = 1 dan y = 2.
Koefisien Binomial (3) NEW Perhatikan bahwa: ruas kanan Akibat 1 Bag. 2 menyatakan banyaknya subhimpunan dari himpunan dengan n anggota. Dari ruas kiri kita peroleh bahwa subhimpunan ini dapat dikelompokkan berdasarkan banyaknya anggota. Akibat 1 Bag. 3 menyatakan bahwa subhimpunan berukuran ganjil sama banyak dengan subhimpunan berukuran genap.
Identitas dan Segitiga Pascal Identitas Pascal Misal n dan k bilangan bulat positif, n k. Maka, C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k). Bukti Pandang T himpunan dengan n+1 elemen, a T. Misal S = T-{a}. Ada C(n+1,k) buah subhimpunan dari T yang mempunyai k elemen. Suatu subhimpunan dari T dgn k elemen dapat memuat a dan (k-1) elemen S atau memuat k elemen S tanpa memuat a. Jadi, C(n+1,k) = C(n,k-1)+C(n,k).
Identitas Vandermonde Misal m, n dan r bilangan bulat positif, m r dan n r. Maka, r C( m n, r) C( m, r k) C( n, k) k 0 Bukti Pandang dua himpunan A dengan m elemen dan B dengan n elemen. Maka banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah C(m+n,r). Cara lain untuk memilih r elemen dari AUB adalah dengan memilih k elemen dari B dan kemudian r-k elemen dari A, dengan k bilangan bulat, 0 k r. Banyaknya cara untuk melakukan pemilihan tersebut adalah C(m,r-k)C(n,k). Jadi banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah r C( m, r k) C( n, k) k 0
Soal 3 Buktikan C(2n,n) = C(n,0) 2 + C(n,1) 2 + + C(n,n) 2 dengan 3 cara: 1. Menggunakan Identitas Vandermonde. 2. Memandang pemilihan n orang dari 2n orang yg terdiri dari n pria dan n wanita
Soal-soal 1. Latihan 4.5.11 Ada berapa cara untuk memilih 8 uang logam dari sebuah celengan yang berisi 100 uang logam Rp. 500 yang identik dan 80 uang logam Rp. 1000 yang identik. (Solusi: 9) 2. Latihan 4.5.17 Ada berapa string dari 10 digit terner (0,1, atau 2) yang memuat tepat dua digit 0, tiga digit 1, dan lima digit 2? (Solusi: 2520) 3. Latihan 4.5.25 Ada berapa banyak bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 1000000 dengan jumlah dari digit-digitnya adalah sama dengan 19? 4. Latihan 4.5.13 Suatu penerbit mempunyai 3000 buku Matematika Diskrit. Ada berapa cara menyimpan buku-buku tersebut ke dalam tiga gudang jika setiap buku tidak dapat dibedakan? (Solusi: 4504501) 5. Latihan 4.5.39 Ada berapa cara untuk berjalan dari titik (0,0,0) ke (4,3,5) di ruang xyz dengan melangkah sebesar 1 satuan ke arah x positif, 1 satuan ke arah y positif, dan 1 satuan ke arah z positif.