KONSEP DASAR LOGIKA MATEMATIKA Riri Irawati, M.Kom Logika Matematika - 3 sks
Agenda 2 Pengantar Logika Kalimat pernyataan (deklaratif) Jenis-jenis pernyataan Nilai kebenaran Variabel dan konstanta Kalimat terbuka Tabel kebenaran Kata hubung kalimat Negasi Konjungsi Disjungsi Implikasi Biimplikasi atau bikondisional
PENGANTAR LOGIKA 3 Logika merupakan ilmu yang mempelajari aturan - aturan matematika, sains, hukum, dan bidang lainnya. Logika berhubungan dengan Pernyataan. Oleh karena itu, dalam logika hanya terdapat dua kemungkinan kebenarannya, yaitu benar atau salah. Logika (logic) yang berasal dari kata bahasa Yunani logos adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan dengan prinsip-prinsip dari penalaran argumen/pernyataan yang benar dan tepat (valid). Dalam pengoperasian komputer hanya dikenal dua kondisi analog dengan logika yaitu ada atau tidak adanya Aliran Listrik. Kondisi ini dapat diartikan dalam bahasa logika sebagai kondisi True atau False.
Pengantar Logika 4 Masih ingatkah dengan bilangan biner? Sistem bilangan inilah yang digunakan dalam setiap instruksi pada komputer. Instruksi ini pada dasarnya merupakan serangkaian kombinasi logis. Pernyataan dan bukan pernyataan. Kalimat merupakan rangkaian kata - kata yang disusun sedemikian rupa sehingga memiliki arti yang utuh. Kalimat itu sendiri dikelompokan menjadi 2 (dua) kelompok, yaitu : Kalimat pernyataan (deklaratif) dan bukan pernyataan. Ada pun yang menjadi bahasan dalam logika matematika adalah kalimat Pernyataan (deklaratif). Kalimat seperti ini memiliki ciri khusus, yaitu kita dapat menentukan kalimat itu sebagai kalimat yang benar saja atau sebagai kalimat yang salah saja.
Contoh kalimat pernyataan 5 (a) Sembilan adalah bilangan ganjil. (b) Kucing adalah hewan yang tidak suka makan ikan. (c) Ibukota Indonesia adalah Yogyakarta. (d) Pada segitiga siku - siku berlaku kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi - sisi yang lain Penjelasan : Kalimat-kalimat di atas merupakan kalimat pernyataan, mengapa? Karena dari kalimat-kalimat tersebut kita dapat menentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Bahwa (a) dan (d) merupakan kalimat - kalimat yang memiliki nilai kebenaran benar dan kalimat (b) dan (C) adalah kalimat yang nilai kebenarannya salah. Maka dengan demikian dari penjelasan di atas, diperoleh definisi bahwa : Pernyataan adalah kalimat yang hanya mempunyai nilai Benar atau Salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua - keduanya.
Contoh kalimat bukan pernyataan 6 a. x + 5 = 17 b. Jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat. o Apakah kalimat-kalimat diatas merupakan kalimat pernyataan? o Bukan pernyataan. Sebab pada kalimat tersebut kita tidak dapat menentukan nilai kebenarannya, apakah kalimat itu benar atau salah.
Contoh kalimat bukan pernyataan 7 Beberapa kalimat yang termasuk bukan pernyataan di antaranya adalah yang berbentuk kalimat dan harapan. seperti contoh di bawah ini : tanya, perintah (a) Apakah anda sudah Sholat? (b) Tolong buatkan saya kopi! (c) Semoga tahun depan saya dapat naik haji.
Kalimat Pernyataan (Deklaratif) 8 Definisi: Suatu pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat deklaratif yg bernilai benar saja atau salah saja tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Contoh: 1. Sekarang mata kuliah logika matematika. 2. Besok hari minggu.
Pernyataan 9 Biasanya disimbolkan dengan huruf p, q, r, Nilai kebenaran masing-masing dinyatakan dengan B jika benar dan S jika salah.
Jenis-jenis pernyataan 10 1. Pernyataan sederhana 2. Pernyataan majemuk
1. Pernyataan Sederhana 11 Definisi: Pernyataan sederhana adalah pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tidak mengandung kata hubung kalimat. Contoh : 1. Rambut saya berwarna hitam. 2. Ibukota negara Indonesia adalah Jakarta. 3. Matahari terbit pada malam hari.
2. Pernyataan majemuk 12 Definisi: pernyataan majemuk adalah pernyataan yang terdiri dari pernyataan sederhana (satu atau lebih) dengan bermacammacam kata hubung kalimat (connective). Contoh : 1. Saya menyukai warna merah dan hari ini cerah. 2. Adi suka kopi atau lina suka roti.
Nilai Kebenaran 13 Nilai kebenaran pernyataan sederhana tergantung pada realitas yg dinyatakan. Nilai kebenaran pernyataan majemuk tergantung pada nilai kebenaran pernyataanpernyataan sederhana yg menyusunnya dan kata hubung kalimat yg digunakan.
Contoh 14 Tentukan nilai kebenaran dari 5 contoh diatas! 1. Rambut saya berwarna hitam. 2. Ibukota negara Indonesia adalah Jakarta. 3. Matahari terbit pada malam hari.
Variabel dan Konstanta 15 Definisi: Variabel adalah simbol untuk menunjuk suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Konstanta adalah simbol untuk menunjuk suatu anggota tertentu (yang sudah spesifik) dlm semesta pembicaraan.
Kalimat Terbuka 16 Definisi: Kalimat terbuka adalah kalimat yg mengandung variabel, sedemikian sehingga jika kita mensubstitusikan variabel dg konstanta di dalam semesta pembicaraannya, kalimat terbuka itu menjadi pernyataan.
Contoh: 17 1. 4 + x = 7 4 +. = 7 2. p < 5
Latihan 18 Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan proposisi? (a) Apakah ini jawabanmu sudah benar, Bowo? (b) Santi pergi kuliah. (c) 4 adalah angka prima (d) Jawablah pertanyaan ini! (e) Bandung adalah ibukota Jawa Timur. (f) Jam berapakah ini? (g) Musim kemarau di Indonesia adalah panas dan kering. (h) Badu kaya raya dan memiliki banyak harta. (i) 7 + x = 10 (j) Angka 8 adalah anggota bilangan genap.
Tabel Kebenaran 19 Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana. Pada tabel kebenaran terdapat perangkai logika atau operator (ditunjukkan pada tabel dibawah ini); Perangkai Dan (and) Atau (or) Tidak/bukan (not) Jika...maka...(if..then../implies) Jika dan hanya jika (if and only if) Simbol Pada tabel kebenaran hanya digunakan konstanta proposisional T untuk True dan F untuk False, bukan B atau S.
Kata Hubung Kalimat 20 Macam-macam kata hubung kalimat: Negasi Konjungsi Disjungsi Implikasi Biimplikasi/Bikondisional
Negasi [] 21 Definisi Negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang benilai benar jika pernyataan semula salah, dan sebaliknya. Negasi pernyataan p ditulis p. Negasi pada pernyataan biasanya menggunakan kata bukan, tidak benar, tidak.
Tabel Kebenaran Negasi 22 p -p T F F T
Contoh 23 Apa bentuk kebalikan (negasi) dari proposisi berikut? (a) Hari ini adalah hari sabtu. (b) Tidak ada musim hujan di Indonesia. (c) 2 + 3 = 5 (d) Jakarta ibukota RI. (e) Zainal memakai kacamata. (f) Gunung Merapi terletak di 2 Propinsi dan 3 Kabupaten.
Konjungsi [] 24 Definisi: Misalkan A dan B adalah proposisi. Proposisi A dan B, yang disimbolkan dengan AB, adalah proposisi yang bernilai benar, jika A dan B keduanya benar, lainnya pasti salah. Proposisi berbentuk A B disebut konjungsi A dan B. Konjungsi p dan q ditulis p ᴧ q dibaca: p dan q.
Contoh 25 Diketahui : p = Ima anak yang rajin. q = bunga mawar berbau harum. r = 2 + 3 < 6 Tentukan: p ᴧ q, p ᴧ r, q ᴧ r.
Tabel Kebenaran Konjungsi 26 p q p ᴧ q T T T T F F F T F F F F
Disjungsi [] 27 Definisi: Misalkan A dan B adalah proposisi. Proposisi A atau B, yang disimbolkan dengan A B, adalah proposisi yang bernilai salah, jika nilai A dan B keduanya salah, jika lainnya pasti benar. Proposisi berbentuk A B, disebut disjungsi A dan B. Disjungsi p dan q ditulis p v q dibaca: p atau q.
Contoh 28 Diketahui : p : Lia minum kopi. q : Lia minum teh. Tentukan p v q & q v p!
Tabel Kebenaran Disjungsi 29 p q p v q T T T T F T F T T F F F
Implikasi [] 30 Definisi: Misalkan A dan B adalah proposisi. Implikasi dari A implikasi B, yang disimbolkan dengan A B adalah proposisi yang bernilai salah, jika nilai A bernilai benar dan nilai B bernilai salah, dan jika lainnya pasti benar. Pada implikasi ini, A disebut antecedent (hipotesa/premis) dan B disebut consequence (kesimpulan).
Contoh 31 Diketahui : p: Hari ini hujan. q: Saya membawa payung. Tentukan p q & q p!
Tabel kebenaran implikasi 32 p q p q T T T T F F F T T F F T
Biimplikasi [] 33 Definisi: Misalkan A dan B adalah proposisi. Biimplikasi A jika dan hanya jika B, yang disimbolkan dengan AB adalah proposisi yang bernilai benar, jika nilai A bernilai benar dan B bernilai benar, dan nilai A bernilai salah dan nilai B bernilai salah.
Contoh 34 A: Amir mempunyai mobil. B: Amir orang kaya Tentukan A B!
Tabel kebenaran biimplikasi 35 p q p q T T T T F F F T F F F T
Konvers, Invers dan Kontraposisi 36 Definisi: Konvers dari implikasi p q adalah q p Invers dari implikasi p q adalah p q Kontraposisi dari implikasi p q adalah q p
Contoh 37 Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari: Penyelesaian: Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya. Konvers Invers : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil. : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya. Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil.
Tabel Kebenaran konvers, invers dan kontraposisi 38 p q p q q p -p -q -q -p T T T T T T T F F T T F F T T F F T F F T T T T
Kesepakatan penggunaan kata hubung kalimat 39 Logika menggunakan tanda kurung untuk menunjukkan urutan pengerjaan. Jika tidak ada tanda kurung maka disepakati urutan pengerjaan sbb: 1. Negasi 2. Konjungsi, disjungsi 3. Implikasi 4. Biimplikasi
Latihan 40 Diketahui: p = Geometri sangat sukar, q = bahasa sangat menarik, r = logika sangat mudah. 1. Tuliskan secara simbolik pernyataan-pernyataan berikut: a. Tidak benar bahwa logika sangat mudah dan geometri sangat sukar. b. Geometri sangat mudah jika dan hanya jika logika sangat mudah dan bahasa sangat menarik. c. Tidak benar bahwa jika logika matematika sangat mudah maka geometri sangat sukar. 2. Tentukan nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran: a. (p ᴧ q) d. (p q) ( q p) b. (p q) r e. (p q) (((p q) p) q) c. p (q r) f. r (p q)