VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal
PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering menjumpai besaran yang dapat dinyatakan suatu bilangan disertai satuan yang dinamakan besaran skalar. Di samping itu ada besaran yang selain dinyatakan dengan suatu bilangan disertai satuan juga mempuai arah yang dinamakan Vektor. Vektor digunakan sebagai alat bantu untuk menunjukan besar dan arah suatu gaya.
PETA KONSEP
Vektor di R 2 1. PENGERTIAN VEKTOR DI R 2 Vektor di R 2 adalah vektor yang terletak pada bidang datar. Vektor di R 2 dapat digambarkan pada bidang kartesius. Secara geometri, suatu vektor digambarkan dengan anak panah yang mempunyai titik pangkal dan titik ujung.
Vektor di R 2 Panjang anak panah menyatakan besar vektor, sedangkan arah anak panah adalah arah vektor. Vektor pada gambar disamping merupakan vector dengan panjang 3 satuan dan arahnya 30 o sumbu X positif. dari
Vektor di R 2 A. NOTASI VEKTOR Suatu vektor dapat ditulis dengan beberapa cara ; 1. Menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya a, b,c,.y, z 2. Menggunakan huruf kecil dengan tanda anak panah diatasnya, misalnya a, b,c, 3. Menggunakan huruf kecil dengan tanda garis di bawahnya, misalnya a, b, c,
Vektor di R 2 B. VEKTOR POSSISI Y D O C X B Diberikan suatu persegi panjang OBCD yang terletak pada bidang cartesius dengan OB = 8 satuan panjang dan BC = 6 satuan panjang seperti gambar di samping. Koordinat titik B adalah (8,0) maka vektor posisi titik B terhadap O adalah b = 8,0. Koordinat titik C adalah
Vektor di R 2 C(8,6) maka vektor posisi C terhadap O adalah c = 8,6. Koordinat titik D adalah D(0,6) sehingga vektor posisi titik D terhadap O adalah d = 0,6. Dari hasil tersebut, yang dimaksud vektor posisi dari suatu titik terhadap O adalah vektor yang titik pangkalnya terletak pada pangkal koordinat O(0,0) dan titik ujungnya adalah titik itu sendiri.
Vektor di R 2 Dari uraian diatas tampak bahwa suatu vektor di R 2 ditentukan oleh komponen mendatar dan komponen vertikal. Komponen mendatar bernilai positif jika arahnya dari kiri ke kanan dan negatif jika arahnya dari kanan ke kiri. Selanjutnya, komponen vertikal bernilai positif jika arah vektor dari bawah ke atas dan negatif jika arahnya dari atas ke bawah
Vektor di R 2 C. Panjang atau Besar Vektor y C 6 O 8 X Perhatikan gambar disamping. Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat ditentukan panjang atau besar vektor OC = 8 2 +6 2 = 100 = 10
Vektor di R 2 2. OPERASI ALJABAR PADA VEKTOR A. Kesamaan Dua Vektor Dua vektor dikatakan sama apabila keduanya mempunyai besar dan arah yang sama. Misalnya diberikan dua vektor u = u 1, u 2 dan v = v 1, v 2. Vektor u = v jika u 1 = v 1 dan u 2 = v 2
Vektor di R 2 B. Penjumlahan Vektor Misalkan vektor c adalah hasil penjumlahan vektor a dengan vektor b, ditulis c = a + b. a b Vektor c dinamakan resultan dari vektor a dan vektor b. Besar vektor c dapat ditentukan dengan aturan segitiga dan aturan jajargenjang.
Vektor di R 2 1). Aturan segitiga Diketahui dua buah vektor a b seperti gambar di atas. Untuk c = a + b mendapatkan vektor c = a + b, vektor b dipindahkan sedemikian rupa, sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor a. vektor c = a + b adalah suatu vektor yang pangkalnya merupakan titik pangkal vektor a dan ujungnya merupakan titik ujung vektor b.
Vektor di R 2 2). Aturan jajargenjang Cara lain untuk mendapatkan vektor c = a + b adalah dengan a c = a + b b memindahkan vektor b sedemikian rupa sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor a. Vektor c = a + b yang kita cari adalah vektor yang titik pangkalnya dititik pangkal vektor a dan b serta berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh a dan b.
Vektor di R 2 C. Vektor nol dan lawan suatu vektor Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya a -a sama dengan nol dan arahnya sembarang. Vektor nol dinotasikan dengan 0 = 0, 0. Lawan suatu vektor a adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a menghasilkan vektor 0. Lawan vektor a dapat ditulis a yaitu suatu vektor yang panjangnya sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a, seperti gambar disamping.
Vektor di R 2 D. Sifat-sifat Penjumlahan Jika a, b, dan c, adalah vektor-vektor sembarang, pada operasi penjumlahan vektor berlaku sifat-sifat 1. Komutatif a + b = b + a 2. Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) 3. Terdapat unsur identitas, yaitu vektor o sehingga a + 0 = 0 + a = a 4. Setiap vektor mempunyai invers. Invers dari a adalah a sehingga a +(-a)= -a + a = 0
Vektor di R 2 E. Pengurangan Vektor Pengurangan vektor dapat dilakukan dengan menggunakan pengertian invers jumlah suatu vektor. a b = a + (-b) a -b b a-b a (a) (b) Misalkan diketahui vektor a dan b pada gambar (a). Vektor a b diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b, seperti gambar (b)
Vektor di R 2 CONTOH SOAL Tentukan AB, CD, dan EF pada gambar disamping! Penyelesaian ; Komponen mendatar 3 Komponen vertikal 2 Vektor AB = (3,2) Dengan cara yang sama, diperoleh vektor CD= (5,1) dan EF=(-4,1) B A C F E D
Vektor di R 2 3. Perkalian Vektor dengan Skalar A. Pengertian Perkalian Vektor dengn Skalar Jika a adalah suatu vektor dan k adalah bilangan real (skalar), perkalian antara vektor a dengan skalar k ditulis sebagai ka, yaitu suatu vektor yang panjangnya sama dengan k kali panjang vektor a dengan arah ; a. Untuk k>0 maka ka searah dengan vektor a. b. Untuk k<0 maka ka berlawanan arah dengan vektor a. Jika a = (a 1, a 2 ) maka ka = (ka 1, ka 2 )
Vektor di R 2 B. Sifat-sifat Perkalian Vektor dengan Skalar Misalkan vektor a dan b adalah vektor sembarang, sedangkan k dan l adalah sembarang skalar. Perkalian vektor dengan skalar memenuhi sifat-sifat berikut ; 1. ka = k a 2. k(-a)=-ka 3. ka = ak 4. (kl)a = k (la) = a (kl) 5. (k + l)a = ka + la 6. K(a + b) = ka + kb
Vektor di R 2 CONTOH SOAL Diketahui segitiga ABC dengan ruas0ruas garis berarah AC dan AB berturut-turut mewakili vektor c dan b. Ruas garis PQ menghubungkan titik P dan Q, dengan P adalah titik tengah AC dan Q adalah titik tengh BC. Nyatakan QC dalam b dan c. Penyelesaian ; Perhatika QC = ½ BC BC = AC AB = c b Dengan demikian QC = ½ (c b) C P Q A B
Vektor di R 2 4. Perkalian Skalar Dua Vektor A. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor Perkalian vektor dengan vektor dinamakan perkalian skalar dua vektor atau perkalian titik antara dua vektor (dot product). Misalkan diberikan sembarang vektor bukan nol yaitu a dan b. hasil kali dari vektor a dan b ditulis a. b, didefinisikan sebagai berikut ; a. b = a b cos θ
Vektor di R 2 Dengan θ sudut terkecil yang dibentuk oleh a dan b. Hasil kali titik dari vektor a dan b merupakan suatu skalar. Jika a = (a 1, a 2 ) dan b = (b 1, b 2 ) maka hasil kali titik dari vektor a dan b adalah a. b = a 1 b 1 + a 2 b 2
Vektor di R 2 B. sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor Jika u, v dan w adalah vektor-vektor sembarang dan k suatu skalar, berlaku sifat-sifat sebagai berikut ; 1. u. v = v. u 2. u. (v + w) = u. v + u. w 3. k (u. v) = (ku). v = u.(kv) 4. 0. v = v. 0 = 0 5. u. u = u 2
Vektor di R 2 C. Teorema Ortogonalitas Dari rumus dot product, diperoleh teorema ortogonalitas yaitu dua vektor bukan nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika perkalian skalar kedua vektor itu hasilnya sama dengan nol. Jadi vektor u dan v tegak lurus jika dan hanya jika ; u. v = 0
Vektor di R 2 CONTOH SOAL Tentukan nilai a agar vektor u =(8,a) dan vektor v =(3,4) saling tegak lurus. Penyelesaian ; Dua vektor tegak lurus jika hasil kali titik kedua vektor itu sama dengan nol, sehingga u. v = 0 24 4a = 0 4a = 24 a = 6
Vektor di R 2 5. Vektor Basis di R 2 Misalkan terdapat vektor î =(1,0) dan ĵ = (o,1). Dengan memandang komponen-komponen pada vektor tersebut tampak bahwa kedua vektor itu saling tegak lurus dan besar kedua vektor tersebut adalah î = ĵ = 1. setiap vektor u = (u 1, u 2 ) dapat dinyatakan secara tunggal oleh î dan ĵ, yaitu u= (u 1,u 2 )= u 1 (1,0)+ u 2 (0,1)= u 1 î + u 2 ĵ
Vektor di R 2 Dalam hal ini, vektor î dan ĵ dinamakan vektor basis di R2 pada arah sumbu X positif dan sumbu Y positif. Karena î dan ĵ mempunyai panjang satu satuan, vektor î dan ĵ berturut-turut disbut vektor satuan pada arah sumbu X positif dan sumbu Y positif.
Vektor di R 2 o y p x Sebagai contoh, vektor yang mewakili ruas garis berarah OP pada gambar disamping dapat dinyatakan sebagai OP = (3,2) atau OP = 3î + 2ĵ 6. Vektor Satuan Di R 2 Dalam subbab sebelumnya kita telah mengenal vektor-vektor yang searah sumbu X positif dan sumbu Y negatif, yaitu vektor satuan î dan ĵ.
Vektor di R 2 î = (1,0) ; ĵ = (0,1) Selanjutnya, kita juga dapat menentukan vektor satuan yang searah dengan vektor vektor nol. Vektor â = a = 1 (x,y) a x 2 + y 2 a yang bukan satuan yang searah dengan a adalah suatu vektor yang besarnya 1 satuan dan arahnya searah dengan vektor a. jika a =(x, y), vektor satuan dari a, ditulis â, adalah sebagai berikut.
Vektor di R 2 CONTOH SOAL Tentukan vektor satuan dari vektor a = (-3,4) Penyelesaian ; Panjang vektor a adalah a = (-3) 2 + 4 2 = 25 = 5 Vektor satuan dari a adalah â = (-3/5, 4/5) Vektor â panjangnya 1 satuan. Hal ini dapat kita tunjukkan dengaan cara berikut ; â = (-3/5) 2 + (4/5) 2 = 1
Vektor di R 3 Jika vektor pada bidang dikatakan vektor d R 2, vektor pada ruang dikatakan vektor di R 3. 1. Sistem Koordinat Ruang Vektor-vektor dalam ruang dapat digambarkan dalam sistem koordinat ruang yang terdiri dari sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z yang saling berpotongan di titik pangkal O
Vektor di R 3 Sumbu X positif, sumbu Y positif dan sumbu Z positif ditetapkan dengan kaidah tangan kanan. Ketiga sumbu itu membentuk tiga bidang yaitu sumbu X dengan sumbu Y membentuk bidang XY, sumbu X dengan sumbu Z membentuk sumbu XZ, serta sumbu Y dengan sumbu Z membentuk sumbu YZ.
Vektor di R 3 2. Penulisan Vektor di R 3 z 3 A x E 2 O H D F B G 4 C y Perhatiikan gambar disamping. Koordinat titik A(3,0,0) vektor posisinya terhadap titik O adalah a = OA = (3,0,0).dengan cara yang sama diperoleh b = OB = (3,4,0); e = OE = (3,0,2); g = OG = (0,4,2).
Vektor di R 3 3. Vektor Basis Di R 3 Vektor basis pada sumbu X dinyatakan dengan î, vektor basis pada sumbu Y dinyatakan dengan ĵ, dan vektor basis pada sumbu Z dinyatakan dengan k. dengan demikian, setiap vektor pada ruang dapat dinyatakan dalam bentuk v = v 1 î +v 2 ĵ +v 3 k dengan v 1, v 2, v 3 adalah komponen vektor dari vektor v.
Vektor di R 3 z x E 3 A 2 O H D F B G 4 C y Pada gamba disamping, vektor yang mewakili garis berarah OF dapat dinyatakan OF = (3, 4, 2) Atau OF = 3î + 4ĵ + 2k 4. Operasi Aljabar pada Vektor di R3 A. Kesamaan Vektor Jika a = b maka a 1 = b 1, a 2 = b 2 dan a 3 = b 3
Vektor di R 3 B. Penjumlahan Vektor a + b = (a 1, a 2, a 3 ) + (b 1, b 2,b 3 ) = (a 1 +b 1, a 2 +b 2, a 3 +b 3 ) Pada penjumlahan terdapat ; 1. Unsur identitas, yaitu vektor O = (0,0,0) 2. Lawan dari vektor a adalah a = (-a 1, -a 2, -a 3 ) C. Pengurangan Vektor a b = (a 1, a 2, a 3 ) (b 1, b 2, b 3 ) = (a 1 -b 1, a 2 -b 2, a 3 -b 3 )
Vektor di R 3 D. Perkalian Vektor dengan Skalar Jika c = ka maka c = k (a 1, a 2, a 3 ) = (ka 1, ka 2, ka 3 ) 5. Pembagian Ruas Garis A. Pengertian Perbandingan Ruas Garis Misalkan titik T terletak pada ruas garis AB sehingga membagi ruas garis tersebut dengan perbandingan AT : TB = m : n.
Vektor di R 3 Tanda positif atau negatif m dan n menentukan letak titik T pada ruas garis AB dengan pedoman ; 1. Jika m dan n bertanda sama (keduanya bertanda positif atau negatif) maka titik T terletak di antara titik A dan B (titik T membagi ruas garis AB). 2. Jika m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau sebaliknya) maka titik T terletak di luar garis AB.
Vektor di R 3 5 4 7 1-2 -2 A T B A B T T A B (a) (b) (c) Pada gambar diatas, titik T membagi ruas garis AB dengan perbandingan sebagai berikut ; 1. Pada gambar (a), titik T membagi ruas garis AB didalam, dengan perbandingan AT : TB = 1 : 4 2. Pada gambar (b), titik T membagi ruas garis AB di luar, dengan perbandingan AT : TB = 5 : -2
Vektor di R 3 3. Pada gambar (c), titik T membagi ruas garis AB di luar, dengan perbandingan AT : TB = -2 : 7 B. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor Misalkan ruas garis AB terletak pada bidang sehingga vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik T terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AT : TB = m : n.
Vektor di R 3 Jika t adalah vektor posisi titik T, vektor t dapat ditentukan dengan rumus berikut ; a O A t m T b n B t = na + mb, m + n 0 n + m Rumus ini juga berlaku apabila titik T membagi ruas garis AB di luar sehingga m dan n berlawanan tanda.
Vektor di R 3 C. Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat Misalkan titik A (x A, y A, z A ) dan B (x B, y B, z B ). Titik T (x T, y T, z T ) membagi ruas garis AB, dengan perbandingan AT : TB = m : n. Koordinat titik T dapat ditentukan dengan rumus berikut ;
Vektor di R 3 6. Panjang Vektor dalam Ruang Misalkan vektor a terletak didalam ruang sehingga a = a 1 î + a 2 ĵ + a 3 k tampak pada gambar disamping. x a 3 z a a 2 a 1 Panjang vektor a dapat ditentukan dengan rumus ; y a = a 12 + a 22 + a 3 2
Vektor di R 3 7. Jarak Antara Dua Titik di R 3 Misalkan titik A (x A, y A, z A ) dan B (x B, y B, z B ). AB = b a = (x A, y A, z A )- (x B, y B, z B ) = (x A - x B, y A - y B, z A - z B ) Dengan demikian, panjang vektor AB adalah ; AB = (x A - x B ) 2 + (y A - y B ) 2 + (z A - z B ) 2
Vektor di R 3 8. Vektor Satuan di R 3 Vektor satuan dari sembarang vektor a yang bukan vektor nol di R 3, yaitu vektor yang searah dengan vektor dan a besarnya 1 satuan. Jika vektor a=(x,y,z), vektor satuan dari a dapat ditentukan dengan rumus ; â = a = 1 (x,y,z) a x 2 + y 2 + z 2
Vektor di R 3 CONTOH SOAL Tentukan vektor Satuan a = (-2, 6, -3) Penyelesaian ; a = (-2) 2 + 6 2 + (-3) 2 = 7 â = 1/7 (-2,6,-3) = (-2/7, 6/7, -3/7)
Perkalian Skalar Dua Vektor 1. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor Misalkan diberikan sembarang vektor bukan nol yaitu a dan b. hasil kali titik vektor a dan b, ditulis a. b didefinisikan sebaai berikut ; a. b = a b cos θ Jika a =(a 1, a 2, a 3 ) dan b=(b 1, b 2, b 3 ) maka hasil kali titik vektor a dan b adalah a. b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
Perkalian Skalar Dua Vektor 2. Sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor Jika a, b dan c adalah sembarang vektor dalam ruang, sedangkan k adalah sembarang bilangan real, berlaku sifatsifat ; a. Komutatif, a. b = b. a b. Distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan, a. (b + c) = a. b + a. c a. (b c) = a. b a. c c. k(a. b) = ka. b = a. kb d. a. a = a 2 0
Perkalian Skalar Dua Vektor 3. Sudut Antara Dua Vektor Misalkan a dan b adalah vektor di R 2 dan θ adalah sudut yang dibentuk oleh a dan b. hasil kali skalar kedua vektor ini adalah a. b = a b cos θ. Dari rumus ini diperoleh rumus sebagai berikut ; Cos θ = a. b a b
Perkalian Skalar Dua Vektor Dalam bentuk vektor, rumus diatas sama dengan di R 2. hanya yang berbeda adalah bentuk aljabar. Jika a =(a 1, a 2, a 3 ) dan b = (b 1, b 2, b 3 ) maka berlaku rumus ; Cos θ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 12 + a 22 + a 32 x b 12 + b 22 + b 2 3
Perkalian Skalar Dua Vektor CONTOH SOAL Jika u dan v masing-masing adalah vektor satuan dan sudut yang dibentuk antara 60 o, tentukan nilai berikut ; a. u. v b. u. (u + v) Penyelesaian ; a. u. v = u v cos θ = 1.1 cos 60 o =1/2 b. u. (u + v) = u. u + u. v = 1 + ½ = 3/2
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain Dalam geometri bidang, proyeksi ortogonal suatu ruas garis pada ruas gari lain tampak seperti gambar disamping. A O C Proyeksi titik O dan titik A pada ruas garis OB masing-masing adalah titik O sendiri dan tiitik C. oleh karena itu, proyeksi ortogonal ruas garis OA pada ruas garis OB adalah ruas garis OC. B
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain 1. Panjang Proyeksi Ortogonal A Pada gambar disamping, ruas a garis berarah OA mewakili vektor a, ruas garis berarah OB mewakili vektor b, dan ruas garis berarah OC mewakili vektor c. sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah θ. Proyeksi ortogonal OA pada OB adalah OC. O θ c C b B
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain Dari gambar diatas, tampak bahwa c = a cos θ, sedangkan berdasarkan rumus antara dua vektor, kita ketahui ; Cos θ = a. b a b Oleh karena itu, c = a a. b a b = a. b b Nilai c ini adalah panjang proyeksi dari vektor a pada vektor b. karena a. b mungkin bernilai negatif, sedangkan c tidak boleh bernilai negatif,
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain maka pada ruas kanan rumus panjang proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b di atas diberi tanda mutlak. Oleh karena itu, kita dapat rumuskan sebagai berikut. Jika c adalah panjang proyeksi ortogonal dari vektor a pada vektor b maka berlaku rumus ; c = a. b b
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain 2. Proyeksi Vektor Ortogonal A Perhatikan gambar disamping, a ruas garis berarah OC mewakili vektor c sehingga c merupakan proyeksi vektor a pada b. vektor c dinamakan proyeksi ortogonal dari a pada b. vektor c merupakan hasil kali c dengan vektor satuannya, yaitu vektor yang panjangnya 1 satuan dan searah dengan c. Vektor satuan dari c O θ c C b B
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain dinotasikan ĉ. Karena c searah dengan b, vektorsatuan dari c sama dengan vektor satuan dari b. karena ĉ = b maka diperoleh rumus ; c = c b c = a. b b b b Jadi dapat kita simpulkan sebagai berikut, Jika c adalah vektor proyeksi dari vektor a pada vektor b maka berlaku rumus ; c = a. b b b 2
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain CONTOH SOAL Diketahui a = (2, 3, -1) dan b (3, -4, 5) a. Panjang proyeksi ortogonal vektor a pada b! b. Proyeksi a pada b! Penyelesaian ; a. u = b.
Soal-Soal Soal 1 Soal 2 Soal 3 Soal 4 Soal 5 Soal 6 Soal 7 Soal 8 Soal 9 Soal 10
Soal-Soal 1. Diketahui A(3,5,2) dan B(1,-2,6). Vektor posisi AB adalah? a. (2, 7, 4) d. (2, -7, -4) b. (-2, -7, 4) e. (2, 7, -4) c. (-2, -4, -7) 2. Jika v = 2î + 4ĵ - 5k, panjang vektor tersebut adalah? a. 5 c. 7 e. 4 b. 6 d. 4 5
Soal-Soal 3. Agar vektor v = pî - 2ĵ + k dan u = 2pî + pĵ 4k saling tegak lurus, nilai p adalah? a. p= 1 atau p= 2 d. p= -1 atau p= -2 b. p=-2 atau p= 1 e. p= -1 atau p= 2 c. p= 1 atau p= -1 4. Jika P(3, -1, 2), Q(2, 4, 0) dan R(1, 3, -2) maka nilai PQ. QR = a. 12 c. 14 e. 0 b.13 d. 16
Soal-Soal 5. Diketahi titik A(1, 0, 2) dan B(4, 2, -3). Titik P terletak pada AB sedemikian rupa sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika p vektor posisi titik P maka p = a. (9/5, 4/5, -12/5) d. (11/3, 4/3, -4) b. (11/5, 4/5, -12/5 ) e. (2, -6, 11/2) c. (11/7, 4/7, -12/7)
Soal-Soal 6. Panjang dari proyeksi vektor u=- 3 î + 3ĵ +k pada vektor v= 3 î + pĵ +3k adalah 3/2. nilai p =.. a. 2 atau -2 c. -1 atau 1 e. 2 atau 3 b. 2 atau -1 d. 2 atau 1 7. Titik A(3, 2, -1), B(1, -2, 1) dan C(7, p-1, -5) segaris untuk nilai p = a. 13 c. 5 e. -13 b. 11 d. -11
Soal-Soal 8. Diketahui vektor a =(3, -2, 4) dan b=(-5, 4, -1). Vektor c untuk c = 2(3a-b) adalah. a. (-22, 20, 16) c. (-22, 10, 18) e. (28, -20, 26) b. (-11, 20, 8) d. (22, -10, -16) 9. Vektor PQ = (2, 0, 1) dan vektor PR=(1, 1, 2). Jika PS=1/2PQ maka vektor RS= a. (0, -1, -3/2) c. (3/2, 1, 0) e.(1, -1, 1) b. (-1, 0, -3/2) d. (1/2, 0, 1)
Soal-Soal 10.Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60 o, a =4, b = 3 maka a. (a b)=. a. 2 d. 8 b. 4 e. 10 c. 6
SELAMAT BELAJAR
SOAL-SOAL
SOAL-SOAL