Pertemuan ke-0: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 205 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 / 27
Deret Positif: Uji-uji Lainnya Theorem (Uji banding) Misalkan untuk n N berlaku 0 a n b n. Jika b n konvergen maka a n konvergen. 2 Jika a n divergen maka b n divergen. Example Periksa kekonvergenan deret berikut. 2 n 4n 2 5. n 3 n (n + 3). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 2 / 27
Theorem (Uji banding limit) Misalkan a n 0, b n 0 dan lim n ( an b n ) = L. Jika 0 < L <, maka atau bersama-sama divergen. a n dan b n bersama-sama konvergen 2 Jika L = 0 dan b n konvergen maka a n konvergen. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 3 / 27
Example Periksa kekonvergenan deret berikut. 2 n 4n 2 + 5. n3 + 3n 2 5. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 4 / 27
Theorem (Uji hasil bagi) Misalkan a n adalah deret yang suku-sukunya positif dan misalkan pula a n+ lim = ρ. n a n Jika ρ <, maka a n konvergen. 2 Jika ρ >, maka a n divergen. 3 Jika ρ =, maka uji ini tidak memberi kesimpulan (diperlukan uji lainnya). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 5 / 27
Example Periksa kekonvergenan deret berikut. 2 3 5 n n!. 2 n n 40. n n n!. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 6 / 27
Theorem (Uji akar) Misalkan a n adalah deret yang suku-sukunya positif dan misalkan pula lim n (a n) n = R. Jika R <, maka a n konvergen. 2 Jika R >, maka a n divergen. 3 Jika R =, maka uji ini tidak memberi kesimpulan (diperlukan uji lainnya). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 7 / 27
Example Periksa kekonvergenan deret berikut. ( ) n. n=2 ln n ( ) n 2 2 + n2 n 2. + (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 8 / 27
Ringkasan: Untuk menguji apakah deret a n dengan suku-suku positif adalah konvergen atau divergen, perhatikan a n dengan seksama. Jika lim a n = 0, maka menurut uji kedivergenen suku ke-n, a n n adalah divergen. 2 Jika a n mengandung n!, c n dengan c adalah konstanta, atau n n coba gunakan uji hasil bagi. 3 Jika a n hanya mengandung pangkat n c dan konstanta c, maka gunakan uji banding limit. Khususnya jika a n merupakan fungsi rasional dari n, maka pilih b n = n p q dengan p adalah pangkat tertinggi pembilang dan q adalah pangkat tertinggi penyebut pada a n. 4 Jika a n berbentuk (f (n)) n dengan f adalah suatu fungsi, maka gunakan uji akar. 5 Sebagai usaha terakhir, cobalah uji banding, uji integral atau uji jumlah terbatas. 6 Beberapa deret mensyaratkan manipulasi bijak atau trik tertentu untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenannya. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 9 / 27
Deret Ganti Tanda Definition Misalkan {a n } adalah barisan bilangan nyata tak-negatif. Yang dimaksud dengan deret ganti tanda (alternating series) adalah deret yang memiliki bentuk umum atau u n = ( ) n a n = a + a 2 a 3 + a 4 a 5 + u n = ( ) n+ a n = a a 2 + a 3 a 4 + a 5 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 0 / 27
Theorem (Uji deret ganti tanda) Misalkan ( ) n a n atau ( ) n+ a n adalah deret ganti tanda dengan a n > a n+ 0 untuk semua bilangan asli n. Jika lim n a n = 0, maka deret ganti tanda di atas konvergen. 2 Jika jumlah S diaproksimasi dengan jumlah n suku pertama S n, maka kesalahan yang dibuat tidak akan melebihi a n+. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 / 27
Example Buktikan deret harmonik ganti tanda ( ) n+ n adalah konvergen, dan tentukan berapa suku yang harus diambil agar S S n 0.0. 2 Periksa kekonvergenan dari deret ( ) n+ n 3 3 n. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 2 / 27
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Definition (Konvergen mutlak dan konvergen bersyarat) Suatu deret konvergen. u n disebut konvergen mutlak jika u n adalah 2 Suatu deret u n disebut konvergen bersyarat jika u n konvergen tetapi u n adalah divergen. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 3 / 27
Theorem Jika u n konvergen maka u n adalah konvergen. Bukti: Misalkan v n = u n + u n atau u n = v n u n. Karena 0 v n 2 u n, maka berdasarkan uji banding biasa, diperoleh bahwa konvergen. v n adalah Karena u n = v n u n, serta ruas kanannya adalah konvergen, maka ruas kirinya juga konvergen atau u n adalah konvergen. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 4 / 27
Catatan: Untuk memeriksa kekonvergenan u n, kita dapat menggunakan uji-uji kekonvergenan untuk deret positif. Jika u n konvergen, maka dapat kita simpulkan bahwa deret u n adalah konvergen mutlak. Jika u n divergen, maka gunakan uji deret ganti tanda untuk memeriksa kekonvergenan deret u n. Jika u n konvergen, maka berarti deret u n adalah konvergen bersyarat. Jika tidak, berarti u n adalah divergen. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 5 / 27
Uji hasil bagi jika digunakan untuk memeriksa kekonvergenan deret u n, sering juga disebut dengan nama uji pembanding mutlak, yang akan kita tulis kembali pada teorema berikut. Theorem (Uji pembanding mutlak) Misalkan u n adalah deret yang suku-sukunya taknol, dan misalkan pula u n+ lim = ρ. n u n Jika ρ <, maka u n konvergen. 2 Jika ρ >, maka u n divergen. 3 Jika ρ =, maka uji ini tidak memberi kesimpulan (diperlukan uji lainnya). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 6 / 27
Catatan: Pada penggunaan uji pembanding mutlak, jika kita temukan kasus, maka berati deret u n adalah konvergen mutlak. Jika kita temukan kasus 2, maka u n mungkin konvergen bersyarat atau divergen. Untuk membedakannya, gunakanlah uji deret ganti tanda. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 7 / 27
Example Tentukan apakah deret berikut adalah konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen. 2 3 4 5 ( ) n+ n. ( ) n+ 4 n n!. ( ) n! sin n 2. ( ) n+ n. ( ) n+ n n +. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 8 / 27
Bahan Responsi Problem Periksa kekonvergenan deret yang diberikan dan sebutkan jenis uji yang anda gunakan. 2 3 4 k= k= k= k= k k + 3 00 k k! (4k + 6) 4/3 k! k 00 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 9 / 27
Problem Periksa kekonvergenan deret yang diberikan dan sebutkan jenis uji yang anda gunakan. 2 3 4 5 6 n + 5 n 2 n + n 40 n! n n (4n)! 8 n + n 8 n! n2 + 5n + n 2 4 + sin 2 n (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 20 / 27
Problem Periksa kekonvergenan deret yang diberikan dan sebutkan jenis uji yang anda gunakan. 2 3 4 5 6 n=2 ( n 2n + 5 ( 2n n + 5 ( n 2n + 5 ( 2 + 2 n (ln n) 4 ( ) ln n 2 n ) n ) n ) n ) 2 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 2 / 27
Problem Jika a n > 0 untuk semua bilangan asli n dan a n konvergen, maka buktikan a 2 n adalah konvergen. Problem Buktikan bahwa lim n! n n. n n! = 0, dengan menyelidiki kekonvergenan deret nn (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 22 / 27
Problem Buktikan bahwa tiap deret ganti tanda yang diberikan adalah konvergen. Kemudian perkirakanlah kesalahan (galat) yang dibuat oleh jumlah parsial S 9 sebagai aproksimasi dari jumlah S deret tersebut. 2 3 4 ( ) n+ ln (n + 2). ( ) n+ ln (n + 4). n ( ) n+ ln n n. ( ) n+ n n 2 0. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 23 / 27
Problem Buktikan bahwa deret-deret berikut konvergen mutlak. ( 4 n. 5) 2 ( ) n+ 0 2n. n! (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 24 / 27
Problem Tentukan apakah deret yang diberikan adalah konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen. 2 3 4 5 6 ( ) n+ ( ) n+ ( 4) n n 2. ( 4 n. 3) n 0n + 0. n 0n. + 0. sin n n n. ( ) n+. n (n + 9) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 25 / 27
Problem Berikan contoh dua deret a n dan b n yang keduanya konvergen, tetapi a n b n adalah divergen. Problem Buktikan bahwa lim n a n = 0 tidak cukup untuk menjamin kekonvergenan deret ganti tanda Petunjuk: ( ) n+ a n. Bentuklah deret ganti tanda yang berasal dari deret ( n ) 2. n dan (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 26 / 27
Tentang Slide Penyusun: Dosen Departemen Matematika FMIPA IPB Versi: 205 Media Presentasi: L A TEX - BEAMER (PDFL A TEX) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205 27 / 27