REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI

REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI TESIS Oleh DIAN YULIS WULANDARI 137021031/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh DIAN YULIS WULANDARI 137021031/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

Judul Tesis : REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI Nama Mahasiswa : Dian Yulis Wulandari Nomor Pokok : 137021031 Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua (Dr. Mardiningsih, M.Si) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus : 16 Desember 2015

Telah diuji pada Tanggal : 16 Desember 2015 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Mardiningsih, M.Si 2. Prof. Dr. Tulus, M.Si 3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis

PERNYATAAN REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya Medan, 16 Desember 2015 Penulis, Dian Yulis Wulandari i

ABSTRAK Graf kordal dahulu lebih dikenal dengan nama rigid-circuit graphs dan triangulated graphs. Sebuah graf dikatakan graf kordal jika panjang lingkaran dari graf tersebut lebih besar atau sama dengan 4 (empat) dan graf tersebut haruslah chord. Pengkarakteristikan graf kordal sangatlah banyak, salah satunya graf kordal bipartisi. Graf kordal bipartisi adalah graf dengan panjang cycle lebih besar atau sama dengan 6 (enam). Graf tersebut haruslah chord dan memiliki sisi pemisah. Pada penelitian ini penulis mendeskripsikan graf kordal bipartisi yang direpresentasikan menjadi graf pohon dengan mengembangkan algoritma FÃNICÃ GAVRIL. Pertama penulis menentukan terlebih dahulu graf kordal yang juga merupakan graf kordal bipartisi. Selanjutnya graf kordal bipartisi dengan bantuan colouring graph penulis bipartisikan dengan mempertimbangkan clique pada graf tersebut. Kemudian graf kordal bipartisi direpresentasikan menjadi graf pohon dengan bantuan algoritma FÃNICÃ GAVRIL. Penentuan clique dan keterhubungan antara clique yang satu dengan yang lain sangatlah penting dalam merepresentasikan graf kordal bipartisi karena dari keterhubungan clique pada graf kordal dapat di bentuk menjadi representasi pohon. Kata kunci : Representasi pohon dari graf, Graf kordal, Graf kordal bipartisi ii

ABSTRACT Chordal graph formerly better known as rigid-circuit graphs and triangulated graphs. A graph is chordal graphs iff everi cycle of length four and greater has a cycle chord. characterizing chordal graphs very much, one of which is a chordal bipartite graphs. Chordal bipartite graphs is a graph with a cycle length of greater than or equal to 6 (six). The graph should chord and has separator side. In this study, the authors describe the graph represented chordal bipartite graphs which represented into a tree graph with developing FÃNICÃ GAVRIL algorithms. First, the author to determine chordal graph as chordal bipartite graphs. Then chordal bipartite graph with the help of colouring graph bipartited taking into account the clique in the graph. So that chordal bipartite graphs represented into a tree with the help of algorithms FÃNICÃ GAVRIL. Determination clique and connectedness between the clique with each other is very important to represented chordal bipartite graphs because of connectedness can be shape to the tree representation. Keyword: Tree representation of graphs, Chordal graphs, Chordal bipartite graphs iii

KATA PENGANTAR Ucapan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmat-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPAR- TISI. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada : Ibunda Yuli Farida Wahyuni dan Ayahanda Karyadi SP, orang tua yang mencurahkan seluruh kasih sayang dan dukungan kepada penulis. Orang tua yang penulis kagumi dan cintai, yang telah memberi tauladan, membimbing, mengajarkan kesabaran, kerendahan hati dan selalu bersyukur dalam menghadapi kehidupan ini, serta senantiasa memanjatkan doa yang tulus dan ikhlas bagi keberhasilan anak-anaknya. Tiada kata terucap selain syukur juga penulis ucapkan kepada saudari kandung penulis atas kesediaan yang dengan ikhlas selalu memberikan dukungan moril, memberikan nasehat, serta selalu mendo akan, yakni Ayu Karmila, ST dan seluruh keluarga besar yang telah memberikan dukungan dan perhatian. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada: Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor. Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memiv

berikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2013 genap (Bang Julham (Ayah), Kak Aida, Kak Mei, Kak Ayu, Amora, Kristin, Nina) yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Semua pihak yang telah banyak membantu, baik langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan namanya satu persatu, hanya Tuhan yang mampu memberikan balasan terbaik. Mudah-mudahan tesis ini dapat memberi sumbangan yang berharga bagi perkembangan dunia ilmu dan bermanfaat bagi orang banyak. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terima kasih. Medan, 16 Desember 2015 Penulis, Dian Yulis Wulandari v

RIWAYAT HIDUP Dian Yulis Wulandari, Lahir di Sawit Hulu tanggal 13 Juli 1991. Merupakan anak kedua dari pasangan ibu Yuli Farida Wahyuni dan Bapak Karyadi SP. Memiliki seorang saudari kandung bernama Ayu Karmila ST (Mbak). Pertama sekali mengenyam pendidikan tahun 1994 di TK Nusa Indah Sawit Hulu. Dilanjutkan pendidikan formal di SDN 054608 Sawit Hulu pada tahun 1997, SLTP Negeri 1 Sawit Seberang pada tahun 2003, dan SMA Negeri 1 Padang Tualang pada tahun 2006. Minat akan ilmu eksak dan bakat mengajar hingga menyukai anak kecil sudah terlihat sejak SMA. Selesai mengenyam pendidikan SMA tahun 2009 penulis sama sekali tak tau akan melajut pendidikan tingkat kuliah di jurusan apa, sehingga melalui perundingan dengan orang tua dan pertimbangan nilai rapor selama mengikuti pendidikan formal penulis melanjutkan studi di Pendidikan Matematika FKIP UISU Medan. Ketertarikan penulis pada ilmu eksak semakin meningkat, tahun 2013 penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika Universitas Sumatera. Berawal dari kesukaan penulis kepada anakanak hingga membantu mereka mengerjakan tugas-tugas sekolah merupakan awal ketertarikan penulis untuk terjun ke dunia pendidikan dan bertekad menjadi seorang pengajar sekaligus menjadi regenerasi bagi ibu penulis. Semoga niat baik menjadi tenaga pengajar mampu membantu khalayak ramai dan bermanafaat. Amin. vi

DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii x BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Manfaat Penelitian 3 1.5 Metode Penelitian 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5 2.1 Graf 5 2.1.1 Jenis-jenis Graf 7 2.2 Pohon dan Hutan 13 2.3 Pohon Merentang (Spanning Tree) 15 BAB 3 ANALISA GRAF KORDAL 18 3.1 Graf Kordal sebagai Irisan Graf 19 3.2 Graf Kordal Bipartisi 21 vii

3.3 Pewarnaan Graf (Colouring Graph) 24 BAB 4 MENENTUKAN REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI 26 4.1 Analisa Algoritma 27 4.2 Representasi Pohon dari Graf Kordal Bipartisi 32 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 38 5.1 Kesimpulan 38 5.2 Saran 38 DAFTAR PUSTAKA 39 viii

DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 2.1 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Semu 6 2.2 Graf berhingga 8 2.3 Graf tak berhingga 8 2.4 Graf berarah 9 2.5 Graf lengkap K n, 1 n 6 9 2.6 Graf lingkar C n, 3 n 68 10 2.7 Graf teratur derajat 0, 1, dan 2 10 2.8 Dua graf 3-bipartisi 10 2.9 Tiga gambar dari graf bipartisi K 3,3 = K3 2 11 2.10 Graf bipartit G(V 1,V 2 ) 12 2.11 Graf tak-berarah tidak terhubung 12 2.12 (a) Graf berarah terhubung kuat, (b) Graf berarah terhubung lemah 13 2.13 Graf Pohon 14 2.14 Graf lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T 1,T 2,T 3,T 4 16 2.15 Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api. Bobot pada setiap sisi menyatakan panjang rel kereta api ( 100m) (b). Pohon merentang yang mempunyai jumlah jarak minimum 17 3.1 Graf kordal (sumber, Wikipedia) 18 3.2 Graf kordal dan dua representasi pohon (Sumber, Mckee dan Mcmorris, 2006) 19 ix

3.3 Clique pada graf 20 3.4 Perfect elimination bipartite graph yang tidak mengandung kordal. (Sumber: Golumbic, 1978) 22 3.5 Graf C 6, 3K 2,C 8 24 4.1 (a) Graf kordal G dan (b) Representasi pohon dari graf kordal (Sumber: FÃNICÃ GAVRIL, 1974) 27 4.2 Irisan graf subpohon dari pohon adalah graf kordal. 32 4.3 Graf Kordal Bipartisi 34 4.4 Graf Kordal Bipartisi dengan Colouring Graph pada clique 34 4.5 Hasil bipartisi dari Clique 35 4.6 Representasi pohon dari graf kordal bipartisi 35 4.7 Pembagian Clique dengan Colouring Graph 36 4.8 (a) dan (b) hasil representasi pohon dari graf kordal bipartisi 37 x