1. Jika Un suku ke-n dari sutu deret geometri dengan U 1 = x 1/3 dan U 2 = x 1/2, maka suku ke lima dari deret tersebut adalah r = U 2/U 1 = x 1/2 : x 1/3 = x (1/2-1/3) = x 1/6 U 5 = a. (r)4 U 5 = x 1/3. x 4/6 U 5 = x 6/6 = x U 1 = a -4, U 2 = a x maka r = U 2/U 1 = a x /a -4 = a x+4 (ingat sifat eksponen) U8 = a.(r) 7 a 52 = a -4 (a x+4 ) 7 a 52 = a -4 a 7x+28 a 52 = a 7x+24 52 = 7x+24 7x = 28 x = 4 Un = 4 -n dari persamaan ini dapat menentukan a = U 1 = 4-1, U2 = 4-2 2. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah a -4 dan a x. Jika suku kedelapan adalah a 52, maka berapa nilai x? 3. Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4 -n. Maka jumlah tak hingga deret tersebut sama dengan r = U 2/U 1 = 4-2 /4-1 = 4-1 = 1/4 S n = a/[1-r] = 1/4 : [1-1/4] = 1/4 : 3/4 = 1/4 x 4/3 = 1/3 4. Suku-suku suatu barisan geometri takhingga adalah positif, jumlah suku U1+U2 = 45dan U3+U4 = 20, maka berapa jumlah suku-suku dalam barisan tersebut? diketahui : * U 1 + U 2 = 45 a + ar = 45 a (1+r) = 45.. (1) * U 3 + U 4 = 20 ar 2 + ar 3 = 20 r 2 a(1+r) = 20..(2) kita substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) r 2 (45) = 20 r 2 = 20/45 =4/9 r = 2/3 atau -2/3 karena suku-suku deret geometrinya diketahui positif maka r = 2/3 kita menentukan nilai a a (1+2/3) =45 a x 5/3 = 45 a = 45 x 3/5 a = 27 dengan dimikian jumlah suku-suku barisan geometri hingga tersebut adalah S = a/1-r = 27/ (1-2/3) = 27 : 1/3 = 27 x 3 = 81 5. Jika jumlah takhingga deret a + a 0 + a -1 + a -2 + a -3 + adalah 4a, maka nilai a adalah deret dalam soal di atas adalah deret geometri dengan suku pertama (a) = a r = 1/a dan S = 4a kita masukkan ke rumus S = a/[1-r] 4a = a/[1-1/a] 4a = a 2 /[a-1] 4a [a-1] = a 2 4a 2 4a = a 2 (masing-masing ruas di kali 1/a) 4a 4 = a 3a = 4 a = 4/3 6. Coba amati gambar bujur sangkar di bawah. Jika gambar tersebut diteruskan berapa total jumlah luasnya? nilai suku awal = a 2 dan rasio = 1/2 S n = a/[1-r] = a 2 /0,5 = 2a 2
7. Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian yang panjangnya membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka panjang tali semula adalah suku awal = 3 dan U 6 = 96 U n = a.r n-1 96 = 3.r 5 r 5 = 32 r = 2 S 6 = a (1-r 6 )/ 1-r S 6 = 3 (1-2 6 )/ 1-2 = -189/-1 = 189 cm 8. hitung berjalan lurus dengan kecepatan tetap 4 km/jam selama 1 jam pertama. Pada jam kedua kecepatan dikurangi menjadi setengahnya, demikian seterusnya, setiap jam kecepatan mejadi setengah dari kecepatan jam sebelumnya. Berapa km jarak terjauh yang dapat sobat hitung capai? jarak yang ditempuh oleh sobat membentuk deret geometri 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 +. a = 4 b = 1/2 n = a/[1-r] = 4/ [1-1/2] = 4/0,5 = 8 km 9. hitung punya tiga buah bilangan. Tiga buah bilangan tersebut berurutan yang berjumlah 12 dan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika bilangan yang ketiga ditambah 2, maka diperoleh deret geometri. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah? deret aritmatika : U 1 + U 2 + U 3 = 12 misalkan U 1 = a-b ; U 2 = a ; U 3 = a+b U 1 + U 2 + U 3 = 12 a-b + a + a+b = 12 3a = 12 maka kita dapat 4 kemudian deret geometri a-b, a, a+b+2 merupakan deret geometri 4-b, 4, 6+brasio = rasio 4/4-b = 6 + b/4 (kita kali silang) 4 x 4 = (4-b) (6+b) 16 = 24-2b-b 2 b 2 +2b+16-24 = 0 b 2 +2b-8 =0 (b+4) (b-2) = 0 b = -4 atau b = -2 untuk b = -4 maka bilangan dalamb barisan aritmatika tersebut adalah 8,4,0 hasil kalinya = 0 untuk b = 2 maka bilangan dalam barisan aritmatika tersebut adalah 2,4,6 hasil kalinya = 48 10. Diberikan sebuah barisan: 4, 12, 20, 28,... Tentukan suku ke-40 dari barisan di atas! a = 1 b = 12 4 = 8 n = 40 U n = a + (n 1)b U 40 = 4 + (40 1)8 U 40 = 4 + 312 = 316 11. Diberikan sebuah deret: 10 + ( 6) + ( 2) + 2 + 6 +... Tentukan suku ke-17 a = 10 b = 6 ( 10) = 4 n = 17 Un = a + (n 1)b U 17 = 10 + (17 1)4 = 10 + 64 = 54
12. Suku ke-22 dari barisan 99, 93, 87, 81,...adalah... 99, 93, 87, 81,... a = 99 b = 93 99 = 6 Un = a + (n 1)b Un = 99 + (22 1)( 6) Un = 99 + (21)( 6) = 99 126 = 27 13. Rumus suku ke-n barisan adalah U n = 2n (n 1). Hasil dari U 9 U 7 adalah... U 9 = 2n (n 1) = 2(9) (9 1) = 18 (8) = 144 U 7 = 2n (n 1) = 2(7) (7 1) = 14 (6) = = 64 U 9 U 7 = 144 64 = 80 14. Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 50, 45, 39, 32, adalah... Perhatikan polanya adalah sebagai berikut: 50, 45, 39, 32,...,... 5 6 7 8 9 Sehingga suku berikutnya adalah 32 8 = 24 dan 24 9 = 15 15. Seorang pekerja menyusun batu-bata hingga membentuk barisan aritmetika seperti terlihat pada gambar berikut. Tentukan jumlah batu-bata pada susunan ke-8! Dari: 3, 6, 9,... a = 3 b = 3 U8 =... Un = a + (n 1)b U8 = 3 + (8 1)3 = 3 + 7(3) = 3 + 21 = 24 batu-bata 16. Dari sebuah deret aritmetika diketahui bahwa jumlah suku ke-4 dan suku ke-7 adalah 81. Jika deret tersebut memiliki beda 5, tentukan suku pertama deret tersebut! Data: U 4 + U 7 = 81 U 4 = a + 3b dan U 7 = a + 6b sehingga U 4 + U 7 = (a + 3b) + (a + 6b) U 4 + U 7 = 2a + 9b 81 = 2a + 9b 81 = 2a + 9(5) 81 = 2a + 45 2a = 81 45 2a = 36 a = 18 U 1 = a = 18 17. Suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 2. Jika selisih suku ke-6 dan suku ke-4 adalah 14, tentukan suku ke-8! Data : U 1 = a = 2 U 6 = a + 5b U 4 = a + 3b U 6 U 4 = 14 a + 5b (a + 3b) = 14 2b = 14
b = 14/2 = 7 Sehingga suku ke-8 U 8 = a + 7b U 8 = 2 + 7(7) = 2 + 59 = 51 19. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21, maka besarnya suku ke-50 adalah... U n = a + ( n 1 )b U 10 = a + 9b = 41 U 5 = a + 4b = 21 _ 5b = 20 b = 4 a + 4b = 21 a + 4.4 =21 a + 16 = 21 a =5 U 50 = a + ( 50 1 )4 = 5 + 49.4 = 5 + 196 = 201 20. Jumlah n suku pertaman deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n 2 + 5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah. U n = S n S n 1 U 20 = S 20 S 19 = (20 2 + 5.20) (19 2 + 5.19) = 500 456 = 44 21. Seorang penjual daging pada bulan januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah. Diketahui : a = 120 kg, b = 10 kg, n = 10 bln = 1.650 kg 22. Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke n. Jika U 2 + U 15 + U 40 = 165, maka U 19 =. U 2 + U 15 + U 40 = 165 (a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165 3a + 54b = 165 (dibagi 3) a + 18b = 55 Jadi U 19 = a + 18b = 55 23. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = n 2 + 5 / 2 n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah S n = n 2 + 5 / 2 n S 1 = (1) 2 + 5 / 2 (1) = 7/2 S 1 = u 1 = a S 2 = (2) 2 + 5 / 2 (2) = 9 S 2 = u 1 + u 2 = a + (a + b) 9 = 7/2 + (7/2 + b) 9 7 = b 24. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-5 adalah 14 dan suku ke-8 adalah 29. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut, tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut, dan (25). tentukan jumlah 10 suku pertama deret aritmatika tersebut!. Un = a + (n 1)b maka U5 = a + (5 1)b 14 = a + 4b => a = 14 4b U8 = a + (8 1)b 29 = a + 7b 29 = (14 4b) + 7b 15 = 3b b = 5
a = 14 4b a = 14 4.5 a = - 6 Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah 6, dan beda barisannya adalah 5. Suku ke-12 dari barisan tersebut: U5 = a + (5 1)b U12 = 6 + (12 1)5 U12 = 6 + 11. 5 U12 = 49 Jumlah dari deret aritmatika dapat ditulis: Sn = (n/2)(2a + (n 1) b) S10 = (10/2)(2.- 6 + (10 1)5) S10 = 5. (- 12 + 45) S10 = 165 26. Suatu barisan aritmatika suku ke-2 dan suku ke-5 masing-masing 19 dan 31. Tentukan jumlah 30 suku pertama deret aritmatika tersebut! Rumus: Un = a + (n 1)b Maka, U2 = a + (2 1)b 19 = a + b => a = 19 b U5 = a + (5 1)b 31 = a + 4b 31 = 19 b + 4b 31 = 19 + 3b 12 = 3b b = 4 a = 19 b a = 19 4 a = 15 Jumlah dari deret aritmatika dapat ditulis: Sn = (n/2)(2a + (n 1) b) S30 = (30/2)(2.15 + (30 1)4) S30 = 15.(30 + 116) S30 = 2190 27. Dari barisan aritmetika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34. (28). Hitunglah jumlah 18 suku pertama deret aritmetika tersebut! Rumus: Un = a + (n 1)b Maka, U7 = a + (7 1)b 22 = a + 6b => a = 22 6b U11 = a + (11 1)b 34 = a + 10b 34 = 22 6b + 10b 34 = 22 + 4b 12 = 4b b = 3 a = 22 6b a = 22 18 a = 4 Jumlah dari deret aritmatika dapat ditulis: Sn = (n/2)(2a + (n 1) b) S18 = (18/2)(2.4 + (18 1)3) S18 = 9.(8 + 51) S18 = 531
29. Rumus suku ke-n suatu barisan Un = 2n n2. Hitunglah jumlah suku ke-10 dan ke-11 barisan tersebut! Un = 2n n2 Maka, U10 = 2.10 (10)2 U10 = 20 100 U10 = 80 U11 = 2.11 (11)2 U11 = 22 121 U11 = 99 U10 + U11 = 80 + ( 99) U10 + U11 = 179 Barisan-barisan berikut ini mempunyai banyak suku yang berjumlah ganjil. Tentukan suku tengah dari barisan-barisan aritmatika berikut ini: 30. 3, 8, 13,18,, 103 U t = ( U 1+U n) = ( 3+ 103) = 53 31. 17, 19, 21,23,, 97 U t = ( U 1+U n) = ( 17+ 97) =57 32. 8, 14, 20, 26,, 224 U t = ( U 1+U n) = ( 8+ 224) = 116 33. 130, 126, 122, 108,, -26 U t = ( U 1+U n) = ( 130+ (-26)) = 52 34. Banyaknya suku dari barisan aritmatika 5, 8, 11,, 122, 125 adalah U1 = 5 b = 3 Un = 125 Un = a + (n-1)b 125 = 5 + (n-1)3 125 = 5 + 3n -3 125 = 2 + 3n 123 = 3n 41 = n 35. Diketahui suku ke-2 barisan aritmatika 45, sedangkan suku ke-6 nya 37. Tentukan suku ke-5 barisan tersebut! U 2 = 45 U 6 = 37 U 6 = U 2 + 4b 37 = 45 + 4b -8 = 4b -2 = b U 5 = U 2 +3b = 45 + 3(-2) = 39 36. Barisan aritmatika dengan banyaknya suku ganjil mempunyai suku pertam 4, beda antar dua suku berurutan 3 dan suku tengahnya 22. Maka banyaknya suku barisan aritmatika tersebut adalah U 1 = 4 b = 3 U t = 22 U t = (U 1+Un)/2 22 = (4+Un)/2
44 = 4 + Un 40 = Un Un = a + (n-1)b 40 = 4 + (n-1)3 40 = 4 + 3n - 3 40 = 3n +1 39 = 3n 13 = n 37. Diantara -5 dan 5 disisipkan 4 bilangan, sehingga bilangan awal dan sisipannya membentuk barisan aritmatika. Beda antar suku dari barisan tersebut adalah x = -5 y = 5 k=4 b = (y-x)/(k+1) = (-5-(-5))/(4+1) = 10/2 = 2 38. Ditentukan bilangan aasli kurang dari 50. Carilah banyaknya bilangan dari barisan tersebut yang habis dibagi 3! bilangan habis dibagi kurang dari 150 habis dibagi 3 : 3, 6, 9, 12,, 147 b = 3 a = 3 Un = 147 Un = a + (n-1)b 147 = 3 + (n-1)3 147 = 3 + 3n -3 147 = 3n 49 = n 39. Diketahui deret aritmatika U 2+U 3=12 dan U 7=15. Maka jumlah 5 suku pertamanya adalah. U 2 + U 3 = 12 ==== 2a + 3b = 12 x 1 2a + 3b = 12 U 7 =15 ======== a + 6b = 15 x 2 2a + 12b= 30 _ -9b = -18 b = 2 a + 6b = 15 a + 12 =15 a =3 Sn = n/2 { 2a + (n-1)b} S 5 = 5/2{ 2. 3 + (5-1)2} = 5/2 { 6 + 8 } = 5/2 {14} = 35 40. Nyatakanlah, dalam bentuk lengkap Penyelesaian: = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 41. Tulislah 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 dengan notasi sigma Penyelesaian:
n = 6, setiap suku merukan perpangkatan n dengan bilangan pokok 2, bentuk dalam notasi sigma adalah 42. Nyatakanlah sebagai jumlah monomial. Jumlah monomial adalah bentuk penjumlahan dalam notasi sigma yang menyajikan bentuk tiap suku. Penyelesaian: = =
Penyelesaian: 44. Buatlah notasi sigma dari 3 5 + 7 9 + 11 13 Penyelesaian:
46. Penyelesaian:
47. Penyelesaian:
48. Penyelesaian: 1). Nyatakan setiap Notasi sigma berikut dalam bentuk deret dan hitunglah hasilnya : a). k=15k b). k=153k c). i=13(i2+5) d). j=03(j2 2j+1) Penyelesaian : a). k=15k
k=15k=1+2+3+4+5=15 Sehingga deretnya : k=15k=1+2+3+4+5 Jadi, nilai k=15k=15. b). k=153k k=153k=3.1+3.2+3.3+3.4+3.5=3+6+9+12+15=45 Sehingga deretnya : k=153k=3+6+9+12+15 Jadi, nilai k=153k=45. c). i=13(i2+5) i=13(i2+5)=(12+5)+(22+5)+(32+5)=(1+5)+(4+5)+(9+5)=(6)+( 9)+(14)=29 Sehingga deretnya : i=13(i2+5)=(6)+(9)+(14) Jadi, nilai i=13(i2+5)=29. d). j=03(j2 2j+1) j=03(j2 2j+1)=(02 2.0+1)+(12 2.1+1)+(22 2.2+1)+(32 2.3+1
)=(1)+(1 2+1)+(4 4+1)+(9 6+1)=(1)+(0)+(1)+(4)=6 Sehingga deretnya : j=03(j2 2j+1)=(1)+(0)+(1)+(4) Jadi, nilai j=03(j2 2j+1)=6.