Barisan adalah su,sunan bilangan bilangan atau angka angka yang ditulis dengan dipisahkan tanda koma dengan mempunyai pola tersendiri.

Transkripsi

1 Pengertian barisan B A R I S A N Barisan adalah su,sunan bilangan bilangan atau angka angka yang ditulis dengan dipisahkan tanda koma dengan mempunyai pola tersendiri. Berikut ini contoh beberapa barisan : a. 1, 2, 3, 4,. b. -1, 1, -1, 1, -1, c. 4, 9, 16, Barisan barisan pada contoh diatas mempunyai aturan tertentu atau pola tertentu. # Pada a bilangan berikutnya adalah 5 karena setiap bilangan berikutnya ditambah 1 # Pada b bilangan berikutnya adalah 1 karena setiap bilangan berikutnya dikalikan -1 #Pada c bilangan berikutnya adalah 25 sebab barisan tersebut mempunyai aturan yaitu bilangan ke-1 = 4 dimana (1+1) 2 = 2 2 = 4, bilangan ke-2 = 9 dimana (2+1) 2 = (3)2 = 9 bilangan ke-3 =16 dimana (3+1) 2 = 16, maka bilangan ke-4 = 25 dimana (4+1) 2 = (5) 2 =25. Kesimpulan : Jadi aturan yang dimiliki oleh setiap barisan bilangan pada contoh diatas pola bilangan atau aturan tidak tunngal yaitu mempunyai aturan yang tidak sama.

2 Selanjutnya pada materi berikutnya kita akan mempelajari suatu barisan dan deret bilangan dengan pola khusus yang disebut dengan barisan dan deret. B A R I S A N & D E R E T Dari barisan dan deret yang akan kita pelajari adalah : a. Barisan Aritmetika b. Deret Aaritmetika c. Barisan Geometri d. Deret Geometri e. Deret Geometri tak hingga Kegiatan Belajar 1. Barisan Arimetika Tujuan kegiatan ini adalah : *Memahami barisan arimetika *Menentukan unsure ke-n suatu barisan aritmetika Uraian Materi A. Pengertian barisan aritmetika Barisan arimetika adalah susunan bilangan bilangan atau angkaangka yang ditulis dipisahkan tanda koma dan mempunyai beda yang sama antara suku yang satu denga suku berikutnya dimana beda ditulis b

3 Berikut ini beberapa contoh dari barisan arimetika : a. 3, 5, 7, 9, b. 12, 10, 8, 6, c. -8, -6, -4, -2,. Dari contoh diatas Pada a. suku berikutnya adalah 11 karena barisan tersebut mempunyai beda (b)=2 maka setiap suku berikutnya ditambah 2 Pada b. Suku berikutnya adalah 4 karena barisan tersebut mempunyai beda (-2), karena makin kedepan barisan nilainya mengecil atau berkurang maka setiiap suku berikutnya dikurangi 2 atau ditambah dengan -2 Pada c. suku berikutnya adalah 0 karena barisan tersebut mempunyai beda (2) karena makin kedepan barisan bilangan bertambah maka setiap suku berikutnya ditambah 2. Bentuk Umum Barisan Aritmetika U 1, U 2, U 3, U 4, U 5, U 6, U 7, Un a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, a+5b, a+6b, a+(n-1)b Maka : Un = a + (n-1)b Dari bentuk umum barisan aritmetika hal-hal yang harus diperhatikan adalah : U 1 = a yaitu suku pertama U 2 = suku kedua U 3 = suku ketiga Un = suku ke-n

4 b = beda, menghitung beda b= U 2 U 1, atau U 3 U 2, atau U 4 U 3 yaitu suku didepan dikurang suku dibelakangnya. n = nomor suku dimana n = 1,2,3,4,5,. Contoh : Diketahui beberapa barisan a. 1, 5, 9, 13,.. a= b=. U 5 =. b. 10, 7, 4, 1,. a= b=. U 10 =. c. -12, -10, -8, -6, a = b= U 12 =. Penyelesaian : *a. suku pertama (a)=1 beda (b) = 5-1 atau 9-5 atau 13-9 = 4 U 5 = a + 4b ( lihat bentuk umum barisan aritmetika) = =1 +16 = 17 *b. suku pertama (a)=10 beda (b) = 7-10 atau 4-7 atau 1-4 = -3 U 10 = a + 9b (bentuk umum barisan aritmetika ) = (-3) =10 + (-27) = -17 *c. suku pertama (a)= -12 beda (b) = -10 (-12) atau -8 (-10) atau -6 (-8) = atau atau =2 U 12 = a +11b

5 = = =32 Kesimpulan dari contoh diatas : Dalam menyelesaikan soal barisan arimetika harus terlebih dahulu dicari suku pertama dan beda dan untuk menghitung suku keberapa saja yang diminta kembali menggunakan bentuk umum barisan arimetika diatas. Tugas Tentukan suku pertama dan beda dari barisan dibawa ini a. 5, 9,13, 17,.. b. 40, 35, 30, 25,.. c. 21, 15, 9, 3,.. d. -19, -14, -9,.. 2.Buatlah suatu barisan aritmetika paling sedikit 4 suku jika suku Pertama dan beda diketahui : a. a = 8 dan b = 5 b. a = 20 dan b = -3 c. a = -16 dan b = 4 3.Dari barisan berikut ini tentukan besar suku yang dimaksud : a. 1, 4, 7, 10,.. U 15 =.. b. -5, -2, 1, 4,.. U 21 =.. c. 20, 15, 10, 5,. U 15 =.

6 Menentukan Rumus suku ke-n Dari barisan aritmetika yang diketahui kita bias menentukan rumus suku ke-n atau pun sebaliknya dari rumus suku ke-n kita bias menentukan barisannya. Perhatikan contoh contoh berikut! a. 3, 8, 13,.. rumus suku ke-n (Un) =. b. 14, 10, 6,. Rumus suku ke-n (Un) =.. c. -2, 0, 2,.. rumus suku ke-n (Un) =.. Penyelesaian : a. a = 3, b = 8-3 =5 masukan nilai a dan b pada suku ke-n yaitu; Un = a + ( n-1 )b Un = 3 + ( n-1 )5 Un = 3 + 5n 5, maka Un = 5n +3-5 = 5n 2 b. a = 14, b = = -4

7 Masukan nilai a dan b pada suku ke-n yaitu ; Un = a + ( n 1 )b Un = 14 + ( n 1 ) -4 Un = 14 + (-4n + 4 ) = -4n = -4n + 18 c. a = -2, b = 0 (-2) = 0+2 = 2 masukan nilai a dan b pada suku ke-n yaitu; Un = a + ( n 1 )b Menentukan barisan jika rumus suku ke-n diketahui Buatlah barisan bilangan dari rumus suku ke-n yang diketahui a. Un = 3n 10 b. Un = -4n +11 c. Un = 5n 12 Penyelesaian : a. Un = 3n -10 U1 = = 3 10 = -7 U2 = = 6 10 = -4 U3 = = 9 10 = -1 U4 = = = 2 Jadi barisan yang dimaksud : -7, -4, -1, 2, b. Un = -4n + 11 U1 = = = 7

8 U2 = = = 3 U3 = = = -1 U4 = = = -5 Jadi barisan yang dimaksud : 7, 3, -1, -5,. c. Un = 5n -12 U1 = = 5 12 = -7 U2 = = = -2 U3 = = = 3 U4 = = = 8 Jadi barisan yang dimaksud : -7, -2, 3, 8,. MENYELESAIKAN SOAL-SOAL BARISAN ARITMETIKA DENGAN MENERAPKAN BENTUK UMUM Perhatikan beberapa soal berikut ini!

9 1. Tentukan suku pertama dan beda jika diketahui suku tertentu a. U 6 = 5 dan U 12 = -13 b. U 13 = 8 dan U 17 = Suatu barisan aritmetika dimana suku ke-7 adalah 14 dan suku Ke-10 adalah 20 maka hitunglah suku ke-11 3, Tentukan banyaknya bilangan asli antara 10 sampai 50 yang Habis dibagi 4 4. Hitunglah banyaknya bilangan asli antara 60 sampai 100 yang habis dibagi 5 Penyelesaian : 1, a. U 6 = 5 a + 5b = 5 ( lihat bentuk umum barisan) U 12 = -13 a + 11b = -13 _ -6b = 18 b = 18/-6 = -3 Subtitusi nilai b = -3 pada salah satu persamaan diatas missal pada a + 5b = 5 maka didapat a + 5. (-3 ) = 5 a + (-15) = 5 maka a = = 20 jadi suku pertama adalah -3 dan beda adalah b. U13 = 8 a + 12b = 8 U17 = 48 a + 16b = 48 _ -4b = -40 b = -40/-4 =10 Lakukan subtitusi kembali seperti diatas pada alah satu persamaan maka didapat a + 12b = 8 a + 12(10) =8 a =8 maka a = = -108 jadi didapat suku pertama -108 dan beda 10

10 2. Untuk menhitung suku ke-11 cari dulu suku pertama dan beda seperti soal no.1 ubah dulu suku yang diketahui kedalam bentuk umum seperti berikut ini: U7 = 14 a + 6b = 14 U10 = 20 a + 9b = 20 _ -3b = -6 b = -6/-3 = 2 a + 6b = 14 a + 6.(2) =14 a + 12 = 14 maka a = = 2. Maka nilai suku U 11 = a + 10 b masukan nilai a dan b yang didapat diatas U 11 = (2) = = Bilangan asli antara 10 sampai dengan 50 adalah 11,12,13,14,15,16,.. 49 dari bilangan ini yang habis dibagi 3 Adalah : 12, 15, 18, 21, 24,..48 maka dari barisan yang kita buat ini maka didapat suku pertama (a) =12, b = 3 dan Un = 48 Pakai bentuk umum Un = a + 9( n- 1 )b, masukan nilai a, b dan Un maka 48 = 12 + (n 1 )3 48 = n 3 48 = 9 + 3n 3n + 9 = 48 3n = 48 9 maka 3n = 39 n = 39/3 = 13 Jadi banyaknya bilangan asli antara 10 sampai 50 yang habis dibagi tiga adalah : Bilangan asli antara 60 sampai 100 yaitu : 61,62,63,64,65,66,,99 dari bilangan ini yang habis dibagi 5 adalah : 65,70,75,80,85,.,95 maka dari barisan ini kita dapatkan suku pertama (a) =65, b = 5 dan Un = 95 pakai bentuk umum Un = a + ( n- 1 )b masukan nilai a,b dan Un maka 95 = 65 + (n-1)5

11 95 = n 5 95 = 5n = 5n 5n = 35 maka n = 35/5 = 7 Jadi banyaknya bilangan asli yg habis dibagi 5 adalah : 7 Tugas Tentukan suku pertama dan beda dari barisan aritmetika jika diketahui suku-suku tertentu : a. U 3 = 21 dan U 8 = 46 b. U 5 = 28 dan U 11 = Suatu barisan aritmetika dimana suku ke-2 adalah -2 dan suku ke-10 adalah 38 maka hitunglah suku ke Tentukan banyaknya bilangan asli antara 20 sampai dengan 56 yang habis dibagi Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut : a. 3, 7, 11, 15,. b. -10, -7, -4, -1, 5. Buatlah barisan aritmetika minimal empat suku pertama jika rumus suku ke-n diketahui: a.un = 2n -1 b. Un = -3n +10

12 DERET ARITMETIKA Apabila suku-suku suatu barisan aritmetika dijumlahkan,maka diperoleh deret aritmetika.jumlah n suku atau jumlah beberapa suku dari barisan aritmetika disebut Sn jadi : Keterangan: Sn = U1 + U2 + U3 + U Un atau dengan rumus : Sn = ½ n atau dengan rumus : Sn = 1/2n Sn = jumlah n suku atau jumlah beberapa suku = suku terakhir n = banyak suku

13 a = suku pertama b = beda Contoh : 1 Carilah jumlah 15 suku dari barisan barisan berikut : 2, 5, 8,. Penyelesaian : dari barisan diatas dicari dahulu nilai a dan b karena soalnya sudah dalam bentuk barisan maka nilai a dan b langsung didapat yaitu : a =2,b=3 jumlah 15 suku maka n=15 Maka S 15 = ½ n Contoh 2: = ½.15 = 15/2 = 7,5(4+ 42) = 7,5(46) = 345 Carilah semua bilangan asli antara 1 sampai dengan 100 yang habis dibagi 4. Jawab : Bilangan-bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4 ialah : 4, 8,12, 16,.., 96.Bilangan bilangan itu apabila dijumlahkan akan menjadi membentuk deret aritmetika dalam hal ini maka didapat a = 4,b = 4 dan suku terakhir = l =96 maka harus dicari dulu banyak sukunya atau nilai n sbb: a + (n-1)b = l 4 + (n-1)4 =96

14 4 +4n 4 = 96 4n = n = 96 n =96:4 =24 Maka : S n = ½ n Contoh:3 S 33 = ½.24 ( ) = 12 (100) = 1200 atau pakai rumus S 33 = 1/2n S 33 = ½.24 = 12 = 12(8 + 92) = 12(100) = 1200 Suatu perusahaan memproduksi 400 satuan barang pada tahun pertama dan menaikan produksinya tiap tahun dengan 150 satuan.hitunglah besarnya produksi pada tahun ke-9 dan hitunglah hasil produksi selama 9 tahun. Jawab: a =400, b = 150, n= 9 S 9 = ½.9 = 4,5( )= 4,5( )=9000 Tugas 3 1. Carilah jumlah n suku dari deret dibawah ini: a ,. Jumlah 14 suku b , jumlah 20 suku 2. Carilah jumlah bilangan asli dibawah ini : a. Bilangan asli antara 20 sampai dengan 70 yang habis dibagi3 b. Bilangan asli antara 50 sampai 100 yang habis dibagi 5

15 3. Suatu barisan aritmetika diketahui suku ketiga adalah 20 dan suku dan suku kedelapan adalah 45 carilah : a. Suku pertama dan beda b. Suku ke duabelas c. Jumlah 12 suku pertam 4. Banyak pesanan baju toga pada sanggar busana pada bulan pertama sebanyak 75 set, setiap bulannya pesanan naik sebanyak 10 set maka hitunglah banyak pesanan selama satu tahun! 5. Diketahui bilangan asli antara 10 dan 100 yang habis dibagi maka tentukanlah : a. Suku pertama dari barisan itu b. Beda dari barisan itu c. Suku terakhir barisan itu d. Banyaknya suku-suku pada baris tersebut e. Jumlah bilangan bilangan dari barisan itu. Test 1. 1.Tentukan empat suku berikutnya! a. 1, 4, 7, 10, b. 80, 76, 72, 68, 2. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut :

16 a. 6, 9, 12,. b. 16, 12, 10, 3. Buatlah barisan arimetika dari rumus suku ke-n berikut! a. Un = 3n 2 b. Un = -4n +7 4.Carilah suku pertama dan beda dari barisan berikut! a. 3, 5, 7, 9, b. 64, 55, 46, 37, c. -10, -8, -6, -4, 5. Carilah suku yang dimaksud dari barisan berikut! a. 3, 7, 11,. ;suku ke-16 b. -5, -3, -1, ; suku ke Carilah suku pertama, beda dan suku ke-13 jika suku ke-3 adalah 9 dan suku kesepuluh adalah 23! 7. Dari suatu barisan arimetika diketahui suku ke-3 adalah 16 dan suku ke-5 adalah 20. Hitunglah suku ke-20!

17 Test Carilah jumlah 12 suku dari deret : a b Suatu bilangan asli antara 20 sampai 80 yang habis dibagi 6 maka tentukanlah : a. Suku pertama b. Beda c. Suku akhir deret tersebut d. Banyaknya suku tersebut e. Jumlah deret tersebut 3. Carilah jumlah bilangan asli dibawah 50 yang habis dibagi Suatu barisan arimetika dimana suku ke-5 adalah 42 dan suku ke- 8 adalah 27 hitunglah jumlah 20 suku pertama! 5. Suatu perusahaan sepatu pada bulan pertama memproduksi sepatu sebanyak 100 pasang setiap bulannya hasil produksi meningkat sebanyak 25 pasang berapa banyak hasil produksi yang dihasilkan selama setahun!

18 BARISAN GEOMETRI Berikut ini contoh-contoh barisan geometri! a. 2, 4, 8, 16, b. 1, 3,9,27,. c. 27, -9, 3, -1,. d. -3, -6, -12, -24, Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa setiap suku dapat diperoleh dari suku dimukanya dengan mengalikannya terhadap bilangan tertentuyang konstan. Bilangan itu disebut pembanding atau rasio dan disimbulkan dengan r. atau rumus untuk menghitung rasio adalah : U 2 /U 1 = U 3 /U 2 = U 4 /U 3 = U n /U n-1. Dari contoh-contoh diatas kita dapat menghitung rasio dari masingmasing barisan : a. r = 4/2 atau 8/4 atau 16/8 hasilnya sama yaitu r = 2 b. r= 3/1 atau 9/3 atau 27/9 hasilnya sama yaitu r = 3 c. r = -9/27 atau 3/-9 atau -1/3 hasilnya sama yaitu r = -1/3 d. r = -6/-3 = -12/-6 = -24/-12 = 2 Bentuk umum barisan geometri U 1 = a U 2 = ar U 3 = ar 2 U 4 = ar 3 Keterangan : U 1 = a = suku pertama r = rasio n = nomor suku Un = suku ke-n Un = ar n-1

19 Contoh soal. 1.Carilah suku pertama,rasio,dan suku ke-5 dari barisan 3, 6, 12,.. Jawab : a = 3 rasio = 6/3 = 2 U 5 = ar 4 (lihat bentuk umum) U 5 = 3.(2) 4 = 3.( ) = 3.16 = 48 2.

20

21