KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat rahmat-nya lah dan hidayah-nya jualah penulisan makalah ini dapat selesai dengan tepat waktu. Makalah ini disusun untuk dijadikan referensi yang lengkap dan menyeluruh tentang Keterbagian, FBB dan KPK. Makalah ini disusun secara khusus dan sistemika untuk memenuhi tugas dari Mata Kuliah Teori Bilangan dan penyusunannya dilakukan secara kelompok. Substansi yang terdapat dalam makalah ini berasal dari beberapa referensi buku dan literature-literatur lain, ditambah pula dari sumber-sumber lain yang berasal dari media elektronik melalui pengambilan bahan dari internet. Sistematika penyusunan makalah ini terbentuk melalui kerangka yang berdasarkan acuan atausumber dari buku maupun literatue-literatur lainnya. Makalah yang berjudul Keterbagian, FPB, dan KPK ini dapat dijadikan sebagai bahan pembelajaran bagi mahasiswa, dosen atau masyarakat umum dan juga sebagai bahan pembanding dengan makalah lain yang secara substansial mempunyai kesamaan. Tentunya dari konstruksi yang ada dalam makalah ini yang merupakan tugas mata kuliah Teori Bilangan banyak terdapat kekurangan. Oleh karena itu, penulis berharap diberikan kritikan yang membangun kepada para pembaca. Rantauprapat,11 April 2016 Penyusun
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Teori bilangan adalah salah satu cabang pelajaran matematika. Dalam teori bilangan ada bab yang berjudul keterbagian bilangan. Keterbagian bilangan merupakan bagian dasar dari berbagai sifat teori bilangan, oleh karenanya kita sebagai mahasiswa dan mahasiswi pendidikan matematika harus mempelajari dan memahami keterbagian bilangan. Menyikapi hal tersebut kami sebagai penyusun makalah ini berusaha menyajikannya dalam bentuk catatan yang Insya Allah akan menambah pengetahuan kita semua sebagai mahasiswa pendidikan matematika. B. RUMUSAN MASALAH 1. Apa definisi dari keterbagian bilangan? 2. Apa saja sifat-sifat keterbagian bilangan? 3. Bagaimana teorema dalam FPB dan KPK? C. TUJUAN PENULISAN 1. Mengetahui pengertian dari keterbagia. 2. Untuk mengetahui sifat-sifat dari keterbagian. 3. Untuk mengetahui dan mampu menyelesaikan soal-soal FPB dan KPK. BAB II PEMBAHASAN 2.1. Defenisi Keterbagian Keterbagian atau divisibility artinya, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain. Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat sebarang; b pembagi a jika dan hanya jika ada bilangan bulat c sedemikian sehingga a = bc. Jika ba maka b adalah suatu faktor atau suatu pembagi a, dan a adalah suatu kelipatan dari b.
Bilangan bulat a membagi (habis) bilangan bulat b ditulis a b, jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian hingga b = ka. Jika a tidak membagi (habis) b, maka ditulis a b Contoh: 1) 3 12, sebab ada bilangan bulat 4 sedemikian sehingga 12 = (4) 3. 2) 3-30, sebab ada bilangan bulat -10 sedemikian sehingga 30 = (-10)3. Apabila a, b, dan k adalah bilangan-bilangan bulat dengan a 0 dan b = ka, maka k disebut hasil bagi (quotient) dari b oleh a. Maka k disebut sebagai faktor dari b. 2.2. Sifat-Sifat Keterbagian Jika a,b,c bilangan bulat maka berlaku: 1) a b a bc, untuk setiap c bilangan bulat. Bukti Jika d a maka ada suatu bilangan bulat k sehingga a = dk. Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan di atas dengan n, kita peroleh a(n) = dk(n). Dengan menggunakan sifatsifat komutatif, asosiatif, dan ketertutupan perkalian pada bilangan bulat, kita peroleh n.a = d (nk). Jadi d na. 2) (a b, b c) a c. Bukti a b dan b k maka menurut definisi, terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga k = bg = (af)g = a(fg). Jadi, k = a(fg). Akibatnya menurut definisi, a k. 3) (a b, b a) a = ± b. 4) (a b, a c) a (b ± c). Bukti d a mengakibatkan a = md, m suatu bilangan bulat. d b mengakibatkan b = nd, n suatu bilangan bulat a + b = md + nd = (m + n)d Karena m dan n bilangan bulat, m + n juga bilangan bulat, d (a + b). Dengan demikian, d membagi a + b, atau ditulis d (a + b). 5) (a b, a c) a (ax + by) untuk setiap x,y bilangan bulat. Bukti j a dan j b maka terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga dan b =jg sehingga, ka + lb = kjf + ljg = j(kf+lg). Akibatnya, j (ka+lb). Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan c 6) ( a>0, b > 0 dan a b) a b. 7) a b ma mb untuk setiap m bilangan bulat dan m 0 8) ( a b dan a b+c ) a c. 2.3. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Defenisi FPB 2.3.1 Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, maka bilangan bulat d disebut faktor persekutuan dari a dan b jika dan hanya jika d c dan d b. Defenisi FPB 2.3.2
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat yang sekurang-kurangnya di antaranya tidak sama dengan nol, maka Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari a dan b diberi simbol (a,b) adalah suatu bilangan bulat positif, misalnya d, yang memenuhi: Contoh Defenisi 2.3.2 Faktor-faktor bulat dari -12 adalah 1,2,3,4,6,12 Faktor-faktor bulat dari 30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30 Maka Faktor persekutuan yang positif dari -12 dan 30 adalah 1,2,3,6 Jadi Faktor Persekutuan Terbesar dari -12 dan 30 adalah 6 Ditulis dengan singkat menjadi : (-12,30) = 6 Teorema 2.3.1 Jika b = a.q + r, maka (b,a) = (a,r) Contoh Teorema 2.3.1 Carilah (5767,4453) Penyelesaian: Kita gunakan algoritma pembagian (Teorema 2.3.1) 5767 = 1. 4453 + 1314, maka (5767,4453) = (4453, 1314) 4453 = 2. 1314 + 511, maka (4453,1314) = (1314,511) 1314 = 2. 511 + 292, maka (1314, 511) = ( 511, 292) 511 = 1. 292 + 219, maka ( 292, 511) = ( 292,219) 219 = 3. 73 + 0, maka ( 292, 219) = ( 219, 73) Jadi, (5767,4453) = ( 219, 73) Teorema 2.3.2 Apabila a dan b dua bilangan bulat tidak nol, maka a dan b saling prima, jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan bulat x dan y yang memenuhi ax + by = 1 Contoh Teorema 2.3.2 Hitunglah (247,299) dan tentukan bilangan-bilangan bulat m dan n yang memenuhi 247m + 299n = (247,299). Jawab: 299 = 247.1 + 52 247 = 52.4 + 39 52 = 39.1 + 13 39 = 13.3 + 0 Jadi, (247,299) = 13 13 = 52 39.1 = 52 (247) 52. 4)
= (299 247).5 247 = 299.5 + 247.(-6) Jadi m = -6 dan n=5 2.4. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Misalkan kelipatan bulat positif dari 3 adalah 3,6,9,12,15,18,,... Kelipatan bulat positif dari 4 adalah 4,8,12,16,20,24,28,... Maka kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 12,24,36,48,... Sehingga Kelipatan persekutuan terkecil dari 3 dan 4 adalah 12 Defenisi 2.4.1. Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bulat. M adalah kelipatan persekutuan dair a dan b jika dan hanya jika a m dan b m. Defenisi 2.4.2. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua bilangan bulat tidak nol a dan b adalah suatu bilangan bulat positif m ditulis [a, b] = m, apabila memenuhi: i) a m dan b m ii) a c dan b c maka m c. Contoh Defenisi 2.4.2. [6, 8] = 24, maka 6 24 dan 8 24 Kelipatan persekutuan yang lain, misalnya 48,72,96,... masing-masing lebih besar dari 24 Defenisi 2.4.3. Jika c > 0, maka [ca, cb ] = c [a,b] Contoh Defenisi 2.4.3. 1 [105,45 ] = [15. 7, 15.3 ] = 15 [7,3 ] = 315 Defenisi 2.4.4. Jika a dan b bilangan- bilangan bulat yang keduanya positif, maka : Contoh Defenisi 2.4.4. 1) (16,20) = 4 dan [16,20 ] = 80 (a, b) [a,b ] = ab
(16,20) [16,20 ] = 4. 80 = 320 = 16. 20 A. KESIMPULAN BAB III PENUTUP 1. Keterbagian atau divisibility artinya, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain. Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat sebarang; b pembagi a jika dan hanya jika ada bilangan bulat c sedemikian sehingga a = bc. Jika ba maka b adalah suatu faktor atau suatu pembagi a, dan a adalah suatu kelipatan dari b. Bilangan bulat a membagi (habis) bilangan bulat b ditulis a b. 2. Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, maka bilangan bulat d disebut faktor persekutuan dari a dan b jika dan hanya jika d c dan d b. 3. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua bilangan bulat tidak nol a dan b adalah suatu bilangan bulat positif m ditulis i) a m dan b m [a,b] = m, apabila memenuhi: ii) a c dan b c maka m c. REFERENSI : Sukirman,H. 2004. Pengantar Teori Bilangan.Yogyakarta:Universitas Negeri Yogyakarta