METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA JENIS KEDUA Edo Nugraha Putra Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293 edonugraha23@gmail.com ABSTRACT This article discusses the differential transform method based on a Taylor expansion of the kernel on the Volterra integral equation of the second kind. This method can only be applied to the Volterra integral equation of the second kind having kernel k(x t). By comparing the approximated solution to the exact solution through an example, it concludes that the solution obtained using the differential transform method has fast convergence rate to the exact solution. Keywords: Volterra integral equation, Differential transform method, Taylor s theorem ABSTRAK Artikel ini membahas metode transformasi diferensial yang didasarkan pada ekspansi Taylor dengan kernel dari persamaan integral Volterra jenis kedua. Metode ini hanya dapat diterapkan pada persamaan integral Volterra jenis kedua yang memiliki kernel k(x t). Berdasarkan perbandingan kedekatan solusi aproksimasi ke solusi eksak melalui sebuah contoh, terlihat bahwa solusi yang diperoleh dengan menggunakan metode transformasi diferensial memiliki tingkat kekonvergenan yang cepat terhadap solusi eksaknya. Kata kunci: Persamaan integral Volterra, metode transformasi diferensial, teorema Taylor 1. PENDAHULUAN Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan di dunia yang banyak diterapkan dalam berbagai bidang ilmu. Banyak diantara permasalahan yang muncul dapat diselesaikan secara matematis. Salah satu 1
permasalahan yang muncul adalah persamaan integral Volterra linear dan nonlinear jenis kedua dengan kernel k(x t). Terdapat beberapa metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan integral Volterra linear dan nonliear dengan kernel k(x t), diantaranya metode transformasi Laplace yang dijelaskan oleh Wazwaz [7, h.111] dan metode homotopy perturbasi yang dijelaskan oleh Biazar dan Ghazvini [3]. Namun dengan proses yang rumit, penulis tertarik menggunakan metode transformasi diferensial yang dijelaskan oleh Biazar et al. [1] untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra linear dan nonlinear jenis kedua dengan kernel k(x t) menggunakan teknik efisiensi. Artikel ini merupakan review dari artikel yang ditulis oleh Seihe et. al. [6] yang berjudul Numerical method for solving a kind of Volterra integral equation using differential transform method. Pembahasan dimulai di bagian dua dengan menjelaskan metode transformasi diferensial. Selanjutnya di bagian tiga dibahas tentang metode transformasi diferensial untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra jenis kedua dengan kernel k(x t), kemudian di bagian empat menyelesaikan persamaan integral Volterra jenis kedua dengan kernel k(x t) dari beberapa contoh soal. 2. METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL Gubes et al. [4] menjelaskan, metode transformasi diferensial merupakan metode numerik berdasarkan perluasan dari deret Taylor. Metode ini mencoba untuk menemukan koefisien dari perluasan deret fungsi yang tidak diketahui dengan menggunakan data awal pada masalah. Definisi 1 [4] Transformasi diferensial satu dimensi dari fungsi f(x) untuk titik x = x didefinisikan sebagai berikut: F (k) = 1 [ ] d k f(x), k =, 1, 2,..., (1) k! dx k x=x dengan f(x) adalah fungsi dan F (k) adalah transformasi dari fungsi tersebut. Definisi 2 [4] Inverse transfromasi diferensial dari fungsi F (k) didefinisikan sebagai berikut: f(x) = F (k)(x t) k. (2) k= Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2), diperoleh f(x) = k= 1 k! [ ] d k f(x) dx k x=x (x t) k. (3) Dari persamaan (3) dapat dilihat bahwa konsep transformasi diferensial berasal dari perluasan deret Taylor, tapi metode transformasi diferensial 2
tidak mengevaluasi turunan secara simbolis. Namun, turunannya dihitung dengan cara berulang-ulang yang dapat dilihat pada persamaan (1). Dalam pengaplikasiannya, fungsi f(x) pada persamaan (2) dinyatakan ke dalam deret yang terbatas, sehingga dapat ditulis menjadi f(x) = n F (k)(x t) k. (4) k= Jika t =, maka persamaan (4) menjadi f(x) = n F (k)x k. (5) k= Dalam teorema berikut, diperoleh transformasi diferensial untuk dua jenis perkalian fungsi nilai tunggal. Hasil tersebut sangat berguna dalam pendekatan untuk menyelesaikan persamaan integral. Teorema 3 [6] Jika U(k) dan G(k) adalah transformasi diferensial dari fungsi u(x) dan g(x), maka (a) jika f(x) = x n, maka F (k) = δ(k n) { 1, jika k = n, jika k n, (6) (b) jika f(x) = x g(t)dt, maka F (k) = G(k 1), F () =, (7) k (c) jika f(x) = dn u(x), maka dx n F (k) = (k + 1)(k + 2) (k + n)u(k + n), (8) (d) jika f(x) = x u 1 (t)u 2 (t) u n (t)dt, maka F (k) = 1 k k n k n 1 k n 1 = k n 2 = Bukti: Lihat Odibat [5]. k 2 k 1 = U 1 (k 1 )U 2 (k 2 k1) U n (k n k n 1 1), F () =. (9) 3
3. METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA JENIS KEDUA Pada bagian ini dibahas metode transformasi diferensial untuk menyelesaikan persamaan integra Volterra linear dan nonlinear jenis kedua dengan kernel k(x t). Diberikan bentuk persamaan integral Volterra linear jenis kedua dengan kernel k(x t) sebagai berikut: u(x) = f(x) + k(x t)u(t)dt, (1) dengan f(x) merupakan fungsi bernilai real, k(x t) adalah kernel dan u(x) adalah fungsi yang tidak diketahui. Adapun bentuk persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua dengan kernel k(x t) adalah sebagai berikut: u(x) = f(x) + k(x t)(f (u(t)))dt, (11) dengan f(x) merupakan fungsi bernilai real, k(x t) adalah kernel, F (u(t)) adalah fungsi nonlinear dari u(x) dan u(x) adalah fungsi yang tidak diketahui. Pada modifikasi metode transformasi diferensial diberikan kernel k(x t) yang diekspansikan ke dalam bentuk deret Taylor, dengan memisalkan (x t) = v dan (x t ) = v diperoleh k(v) = k(v ) + k (v )(v v ) + k (v ) (v v ) 2 + k (v ) (v v ) 3 +. (12) 2! Dengan mensubstitusikan persamaan (12) ke dalam persamaan (1), diperoleh u(x) = f(x) + + k(v )u(t)dt + k (v ) (v v ) 2 u(t)dt + 2! k (v )(v v )u(t)dt k (v ) (v v ) 3 u(t)dt +. (13) Persamaan (13) dapat diubah ke dalam bentuk u(x) = u (x) + u 1 (x) + + u n (x), untuk u (x) dan u 1 (x) dapat ditulis ke dalam bentuk sebagai berikut: u (x) = f(x), (14) u 1 (x) = k(v )u(t)dt, (15) 4
sedangkan untuk u 2 (x), u 3 (x),..., u n (x) ditulis ke dalam bentuk sebagai berikut: u 2 (x) = k (v )(v v )u(t)dt, u 3 (x) = x k (v ) (v v ) 2 u(t)dt, 2! (16) Dengan menggunakan turunan pada persamaan (16) diperoleh du 2 (x) = d x dx dx d 2 u 3 (x) dx 2 = d2 dx 2 k (v ) (v v ) 2 k (v )(v v )u(t)dt, u(t)dt, 2! (17) Selanjutnya dengan menggunakan metode transformasi diferensial pada persamaan (14), (15) dan (17) diperoleh U (k), U 1 (k), U 2 (k),..., U n (k) yang merupakan transformasi diferensial dari u (x), u 1 (x), u 2 (x),..., u n (x). Sehingga transformasi dari persamaan (13) dapat ditulis ke dalam bentuk sebagai berikut: U(k) = U (k) + U 1 (k) + U 2 (k) + + U n (k), n U(k) = U i (k), (18) i= dengan U(k) merupakan transformasi diferensial dari u(x). Sehingga untuk mendapatkan solusi dari persamaan (1) dan persamaan (11), persamaan (5) pada metode transformasi diferensial dapat ditulis menjadi u(x) = n U(k)x k, n =, 1, 2,..., (19) k= dengan u(x) merupakan solusi dari persamaan integral Volterra linear dan nonlinear jenis kedua dengan kernel k(x t). 4. CONTOH NUMERIK Pada bagian ini diaplikasikan metode transformasi diferensial pada dua buah contoh untuk memperlihatkan efisiensi solusi numerik metode transformasi diferensial. Contoh 1 Selesaikan persamaan integral Volterra linear jenis kedua dengan kernel k(x t) berikut: u(x) = x + u() =, (x t)u(t)dt, (2) 5
dengan menggunakan metode transformasi diferensial dan solusi eksak u(x) = sinh(x). Solusi. Dengan menurunankan persamaan (2) terhadap x, diperoleh du(x) dx = 1 + u(t)dt, (21) dengan menggunakan persamaan (6), (7) dan (8) pada Teorema 3, diperoleh transformasi diferensial dari persamaan (21) sebagai berikut: (k + 1)U(k + 1) = δ(k) + U(k 1), dengan k, (22) k dengan mensubstitusikan k =, 1, 2,... pada persamaan (22), diperoleh U() =, U(1) = 1, U(2) =, U(3) = 1, U(4) =, U(5) = 1 5!, Berdasarkan persamaan (19), solusi dari persamaan (2) adalah atau dapat ditulis u(x) = x + 1 x3 + 1 5! x5 +, u(x) sinh(x). Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik untuk Contoh 1 dapat dilihat pada Tabel 1. 6
Tabel 1: Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik Contoh 1 x u eksak u(x) error.1.116675.116675.2.2133625.2133625.3.34522935.34522934.1.4.417523258.417523251.7.5.52195355.5219531.54.6.6366535822.6366535543.279.7.758583718.758583591.1117.8.888159823.88815612.3721.9 1.26516726 1.2651565.176 1 1.17521194 1.175198413.782936 Dari Tabel 1 terlihat bahwa error dari solusi yang diperoleh dengan menggunakan metode transformasi diferensial cukup kecil yang menunjukkan bahwa solusi numeriknya mendekati solusi eksak. Contoh 2 Selesaikan persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua dengan kernel k(x t) berikut: u(x) = x + sinh(x t)u 3 (t)dt, (23) dengan menggunakan metode transformasi diferensial dan solusi eksak u(x) = x + 1 2 x5 + 1 84 x7 +. Solusi. Dengan mengekspansikan kernel sinh(x t) ke dalam deret Taylor, diperoleh (x t)3 sinh(x t) = (x t) + + sinh(x t) (x t) + (x t)5 5! + (x t)7 7! +, (x t)3. (24) Dengan mensubstitusikan persamaan (24) ke dalam persamaan (23) diperoleh u(x) = x + (x t)u 3 (t)dt + (x t) 3 u 3 (t)dt, (25) persamaan (25) dapat diubah ke dalam bentuk u(x) = u (x)+u 1 (x)+u 2 (x), 7
sehingga dapat ditulis ke dalam bentuk sebagai berikut: u (x) = x, (26) u 1 (x) = u 2 (x) = (x t)u 3 (t)dt, (x t) 3 u 3 (t)dt. Selanjutnya u 1 (x) dan u 2 (x) diturunkan terhadap x, diperoleh untuk u 1 (x), du 1 (x) x = u 3 (t)dt, (27) dx untuk u 2 (x), d 3 u 2 (x) dx 3 = u 3 (t)dt. (28) Berdasarkan persamaan (6), (8) dan (9) pada Teorema 3, transformasi diferensial dari persamaan (26), (27) dan (28) adalah sebagai berikut: untuk persamaan (26), transformasi diferensialnya adalah U (k) = δ(k 1), dengan k, (29) dengan mensubstitusikan k =, 1, 2,... ke dalam persamaan (29), diperoleh U () =, U (1) = 1, U (2) =, Untuk persamaan (27), transformasi diferensialnya adalah (k + 1)U 1 (k + 1) = k 1 k 1 k 1 = l= U(l)U(k 1 l)u(k k 1 1), dengan k, (3) k dengan mensubstitusikan k =, 1, 2,... ke dalam persamaan (3), diperoleh U 1 () =,. =. U 1 (4) =, U 1 (5) = 1 2, 8
Untuk persamaan (28), transformasi diferensialnya adalah (k + 1)(k + 2)(k + 3)U 2 (k + 3) = dengan k. k 1 k 1 k 1 = l= U(l)U(k 1 l)u(k k 1 1), (31) k Dengan mensubstitusikan k =, 1, 2,... ke dalam persamaan (31), diperoleh U 2 () =,. =. U 2 (6) =, U 2 (7) = 1 84, Dari persamaan (18), transformasi diferensial untuk persamaan (23) adalah U(k) = n U i (k), i= kemudian dengan mensubstitusikan k =, 1, 2,... pada persamaan U(k), diperoleh U() =, U(1) = 1, U(2) =, U(3) =, U(4) =, U(5) = 1 2, U(6) =, U(7) = 1 84, Berdasarkan persamaan (19) pada metode transformasi diferensial, solusi dari persamaan (23) adalah u(x) = x + 1 2 x5 + 1 84 x7 +. Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik untuk Contoh 2 dapat 9
dilihat pada Tabel 2. Tabel 2: Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik Contoh 2 x u eksak u(x) error.1.151.151.2.216152.216152.3.3121764.3121764.4.4513955.4513955.5.5157186.5157186.6.639213257.639213257.7.7851548.7851548.8.816633661.816633661.9.9393911.9393911 1 1.51194762 1.51194762 Dari Tabel 2 terlihat bahwa solusi yang diperoleh dengan menggunakan metode transformasi diferensial tidak memiliki error dari solusi eksaknya. Dalam penyelesaian persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua dengan kernel k(x t), metode transformasi diferensial sangat baik digunakan untuk mencari solusi karena memiliki kekonvergenan yang sangat cepat terhadap solusi eksaknya. Dari Contoh 1 dan Contoh 2 terlihat bahwa proses modifikasi yang dilakukan adalah dengan cara membentuk kernel k(x t) ke dalam deret Taylor dan membuat persamaan integral Volterra linear dan nonlinear jenis kedua dengan kernel k(x t) menjadi lebih sederhana dengan menggunakan metode transformasi diferensial yang tidak memerlukan perhitungan yang sulit. 5. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa metode transformasi diferensial berhasil diterapkan untuk mencari atau menemukan solusi dari persamaan integral Volterra linear dan nonlinear jenis kedua dengan kernel k(x t). Pada persamaan integral Volterra linear jenis kedua dengan kernel k(x t), solusi yang diperoleh dengan menggunakan metode transformasi diferensial memiliki error yang sangat kecil dibandingkan dengan solusi eksaknya, langkahlangkah pengerjaannya juga cukup sederhana. Sedangkan pada persamaan integral Volterra nonlinear dengan kernel k(x t), solusi yang diperoleh menggunakan metode transformasi diferensial tidak memiliki error apabila dibandingkan dengan solusi eksaknya, langkah-langkah pengerjaannya juga cukup sederhana dan tidak memerlukan perhitungan yang sulit. Sehingga 1
dapat disimpulkan bahwa metode transformasi diferensial sangat efisien dalam mencari solusi dari persamaan integral Volterra linear dan nonlinear jenis kedua dengan kernel k(x t). Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Leli Deswita, M.Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] J. Biazar, M. Eslami dan M. R. Islam, Differential transform method for special systems of integral equations, Journal of King Saud University Science, 24 (212), 211-214. [2] R. G. Bartle dan R. D. Sherbert, Introduction to Real Analysis, Fourth Edition, John Wiley dan Sons, New York, 211. [3] J. Biazar dan H. Ghazvini, He s homotopy pertubation method for solving system of Volterra integral equation of the second kind, Chaos, Solitons and Fractals, 39 (29), 77-777. [4] M. Gubes, H. A. Peker dan G. Oturanc, Application of differential transform method for El Nino Southern Oscillation model with compared adomian decomposition and varitional iteration methods, Journal of Mathematics and Computer Science, 15 (215), 167-178. [5] Z. M. Odibat, Differential transform method for solving Volterra integral equation with separable kernels, Mathematical and Computer Modelling, 48 (28), 1144-1149. [6] H. Seihe, M. Alavi dan F. Ghadami, Numerical method for solving a kind of Volterra integral equation using differential transform method, Journal of Mathematics and Computer Science, 6 (213), 22-229. [7] A. M. Wazwaz, Linear and Nonlinear Integral Equations: Methods and Applications, Higher Education Press, Beijing, 211. 11