BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Probabilitas Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya tidak pasti (uncertain event). Probabilitas dinyatakan antara (nol) sampai (satu) atau dalam persentase. Probabilitas menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. P(A) =,99 artinya probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi sebesar 99 % dan probabilitas A tidak terjadi adalah sebesar %. Ada tiga hal penting dalam rangka membicarakan probabilitas, yaitu percobaan (experiment), ruang sampel (sample space) dan kejadian (event). Percobaan (experiment) adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 (dua) peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi. Contoh : Kegiatan melempar mata uang akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau angka, kegiatan jual beli saham akan menghasilkan peristiwa membeli atau menjual, perubahan harga-harga akan menghasilkan peristiwa inflasi atau deflasi, pertandingan sepak bola akan menghasilkan peristiwa menang, kalah atau seri. Kegiatan-kegiatan yang menimbulkan peristiwa tersebut dikenal sebagai percobaan.
Ruang sampel (sample space) atau semesta (universe) merupakan himpunan dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan (experiment). Jadi ruang sampel adalah seluruh kemungkinan peristiwa yang akan terjadi akibat adanya suatu percobaan atau kegiatan. Dari kegiatan diatas dapat diperoleh hasil sebagai berikut : Tabel 2. Percobaan dan Hasil PERCOBAAN RUANG SAMPEL Melempar Mata Uang (gambar, angka) Perdagangan Saham (menjual, membeli) Perubahan Angka (inflasi, deflasi) Pertandingan Sepak Bola (menang, kalah, seri) Kejadian (event) adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Kejadian menunjukkan hasil yang terjadi dari suatu percobaan. Dalam setiap percobaan atau kegiatan hanya ada satu hasil. Pada kegiatan jual beli saham, kalau tidak membeli berarti menjual. Pada perubahan harga terjadi inflasi atau deflasi. Dua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi bersamaan. Pada pertandingan sepak bola juga hanya terjadi satu peristiwa, apakah klub sepak bola tersebut menang, kalah atau seri. Tidak mungkin dalam suatu pertandingan sepak bola, misalnya Persipura dan PSM, hasilnya adalah Persipura menang juga kalah. Peristiwa yang mungkin adalah Persipura menang, Persipura kalah, atau seri. Urutan antara percobaan, ruang sampel dan peristiwa yaitu: Tabel 2.2 Urutan Percobaan, Hasil dan Peristiwa Percobaan/ Kegiatan Pertandingan sepak bola antara PSMS VS PSM di Stadion Teladan, Medan, 7 Februari 2 Ruang Sampel PSMS Menang PSMS Kalah Seri, PSMS tidak menang dan tidak kalah Kejadian/ Peristiwa PSMS Menang
Nilai probabilitas dapat dihitung berdasarkan nilai hasil observasi (sifatnya subyektif) tau berdasarkan pertimbangan pembuat keputusan atau tenaga ahli dalam bidangnya secara subyektif. Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu diantara (nol) dan (satu). Pernyataan ini dapat ditulis sebagai P(A), dimana P(A) menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian A. Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama (equally likely) dan jika tepat terdapat sebanyak n hasil yang berkaitan dengan kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah : P(A) = n N Contoh: Didalam kegiatan pengendalian mutu produk, ada buah barang yang diperiksa, ternyata ada 2 buah barang yang cacat atau rusak. Kalau kebetulan diambil secara acak satu saja, berapa probabilitasnya bahwa barang yang diambil adalah barang yang rusak. Dari soal diketahui bahwa: N = buah barang n = 2 buah barang yang rusak A = barang yang diambil secara acak Jadi, probabilitas memperoleh barang yang rusak adalah : P(A) = n N P(A) = 2 =.2 Jika n=, berarti tidak ada barang yang rusak. P(A)= N =, kejadian ini disebut impossible event (tidak mungkin terjadi) tetapi jika N= berarti semua barang rusak P(A)= =, kejadian ini disebut dengan sure event (pasti terjadi).
2.2 Operasi-Operasi Dalam Kejadian Ada beberapa operasi-operasi dalam kejadian yaitu: gabungan (union), irisan (intersection), komplemen (complement), selisih dan kejadian majemuk. 2.2. Gabungan (Union) Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A B, merupakan kejadian yang mengandung semua elemen yang termasuk A atau B atau keduanya. A B = {x : x A atau x B} Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan A B. Gambar 2. Gabungan 2.2.2 Irisan (Intersection) Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A B, merupakan kejadian yang elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan B. A B = {x : x A dan x B } Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakanhimpunan A B.
Gambar 2.2 Irisan 2.2.3 Komplemen (Complament) Komplemen dari kejadian A, dinyatakan dengan Ac, adalah kejadian dari elemenelemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A. Ac = {x : x S, x A} Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan Ac. Gambar 2.3 Komplemen 2.2.4 Selisih Selisih kejadian B dari kejadian A dinyatakan dengan A B adalah kejadian dari elemen-elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. A B = {x : x A, x B}
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan A - B. Gambar 2.4 selisih 2.2.5 Kejadian Majemuk. Bila A dan B mutually exclusive (kejadian yang terpisah), maka : P(A B) = P(A) + P(B) 2. Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 3. Bila K kejadian yaitu A,A 2,...A i,...a k yang mutually exclusive dan membentuk kejadian A, maka : P(A)=P(A A 2 A i A k ) P(A) = k P(A) = P(A i ) i= 4. Bila A dan B independent (bebas), maka : P(A B) = P(A)P(B) 5. Bila A dan B dependent (tidak bebas), maka :
P(A B) = P(A)P(B A) P(A B) = P(B)P(A B), dimana P(A), P(B). 2.3 Probabilitas Bersyarat Peluang terjadinya suatu kejadian A bila diketahui bahwa kejadian B telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(A B). P(A B) P(A B) = P(B) Sama halnya dengan peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketaui bahwa kejadian A telah terjadi dan dinyatakan dengan P(B A). P(A B) P(B A) = P(A) Dengan mengkombinasikan kedua persamaan maka diperoleh : P(A B) = P(A B)P(A B)P(A) P(A B) = P(A B) P(B) = P(A B)P(A) P(B) P(A B) P(A B) = P(B) Contoh: Dari 9 nama, terdapat 5 orang pria dengan status 46 orang bekerja, sedangkan 4 orang lagi tidak bekerja, dan 4 orang wanita dengan status 4 orang bekerja sedangkan 26 orang lagi tidak bekerja. Berapa probabilitas terpilihnya pria dengan status telah bekerja? A = pria terpilih B = orang yang terpilih berstatus bekerja
P(B) = 6 9 = 2/3 P(B A) = 46 9 = 23/45 P(A B) = 23/45 2/3 = 23/3 Dari perhitungan diatas maka diperoleh kemungkinan bahwa nama yang terpilih adalah pria dengan status bekerja adalah sebesar,77 atau 77%. 2.4 TITIK SAMPEL Titik sampel (sample point) merupakan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel. Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dilakukan dengan n 2 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi ketiga dapat dilakukan dengan n 3 cara, dst, maka deretan k operasi dapat dilakukan dengan n, n 2,, n k cara. Contoh: Tiga buah koin (uang logam) dilemparkan sekali. Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel? Koin I dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, muka (M) atau belakang (B) Koin II dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B Koin III dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B Jumlah titik sampel yang dihasilkan = (2) (2) (2) = 8 2.4. Kombinasi (Combbination) Kombinasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk tanpa memperhatikan urutan. Kombinasi berkaitan dengan penentuan banyaknya cara
memilih r obyek dari sejumlah n obyek tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi merupakan sekatan dengan dua sel, sel pertama berisi r obyek yang dipilih dan (n r) obyek sisanya. Jumlah kombinasi dari n obyek yang berlainan jika diambil sebanyak r. C r n = n! r! (n r)! Contoh: Suatu kelas terdiri atas 4 pria dan 3 wanita Banyaknya panitia yang dibentuk yang beranggotakan 2 pria dan wanita? Banyaknya cara memilih 2 dari 4 pria = C 2 4 = 4! 2!(4 2)! = 6 Banyaknya cara memilih dari 3 wanita = C 3 = 3!!(3 )! = 3 Banyaknya panitia yang dapat dibentuk = (6) (3) = 8 2.4.2 Permutasi (Permutation) Permutasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk yang memperhatikan urutan. Banyaknya permutasi n obyek berlainan adalah n! Banyaknya permutasi n obyek berlainan bila diambil r sekaligus P r n = permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n )!. n! r!(n r)!. Banyaknya Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n adalah jumlah obyek jenis pertama, n 2 adalah jumlah obyek jenis kedua,..., n k jumlah obyek ke-k adalah: n! n! n 2! n k!. Banyaknya cara menyekat n obyek dalam r sel bila masing-masing berisi n obyek pada sel pertama, n 2 obyek pada sel kedua, dan seterusnya adalah : n! n!n 2! n k! dengan n + n 2 + + n r = n.
2.5 Distribusi Probabilitas Diskrit Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau melalui rumusan tidak masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku (kelakuan) perubah acak tersebut. Sering di menjumpai, pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang berbeda mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama. Oleh karena itu perubah acak diskrit yang berkenaan dengan percobaan tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas yang sama, dan dapat dinyatakan dengan rumus yang sama. Dalam banyak praktek yang sering di jumpai, hanya memerlukan beberapa distribusi probabilitas yang penting untuk menyatakan banyak perubah acak diskrit. 2.5. Distribusi Seragam Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang semua perubah acaknya mempunyai probabilitas yang sama. Distribusi ini disebut distribusi probabilitas seragam diskrit. Jika perubah acak X mendapat nilai x, x 2,, x k dengan probabilitas yang sama, maka distribusi probabilitas diskrit diberikan oleh: f(x; k) = k, untuk x = x, x 2,, x k Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x.
/k X X2 X3 Xk Gambar 2.5 Distribusi Seragam Rata-rata dan varians dari distribusi seragam diskrit adalah : μ = k i=k x i k 2 = k i= (x i μ)2 k Contoh: Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur dalam ruang sampel S={, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas /6. Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X terdistribusi peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=/6, untuk x =, 2, 3, 4, 5, 6 2.5.2 Distribusi Binomial Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:. Percobaan terdiri atas n-eksperimen yang berulang 2. Tiap-tiap eksperimen memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2- kategori, sukses atau gagal 3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu eksperimen ke eksperimen berikutnya. 4. Tiap eksperimen bebas dengan eksperimen lainnya.
Jadi proses Bernoulli adalah suatu proses dengan ciri-ciri eksperimen berlangsung n kali dan tiap eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama. Untuk setiap eksperimen hanya ada 2 (dua) kejadian yang mungkin terjadi, dimana 2 (dua) kejadian tersebut adalah saling asing dan juga independent satu sama lain. Biasanya 2 (dua) kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian sukses dan kejadian gagal. Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan dengan q, dan p + q =. Dari proses tersebut, yang di definisikan sebagai variabel adalah munculnya kejadian sukses, yang dilambangkan dengan x. Untuk distribusi Binomial semacam itu, bisa dihitung probabilitas x sukses akan muncul dalam n percobaan tersebut dengan rumus : F(x) = P(x, n; p) = C x n )p x q n x = n! x! (n x)! px q n x Dengan: x = munculnya sukses yang ingin di hitung n = jumlah eksperimen p = probabilitas sukses dalam tiap eksperimen q = probabilitas gagal dalam tiap eksperimen = p n-x = jumlah gagal dalam n eksperimen Distribusi binomial mempunyai nilai rata-rata µ = np dan nilai simpangan baku = npq. 2.5.3 Nilai Harapan Distribusi Binomial Untuk mencari rata-rata (µ) digunakan Rumus : E(X) = np (p + q) n = np() n = np Jadi ekspektasi dari distribusi binomial adalah np.
2.5.4 Variansi Distribusi Binomial Var (X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 E[X] 2 = n(n )p 2 q n 2 + (n 2)pq n 3 + + p n 2 + np = n(n )p 2 (q + p) n 2 + np = n(n )p n + np Jadi, Var (X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 = n(n )p 2 + np n 2 p 2 = np(-p) = npq Jadi, varian dari distribusi binomial adalah npq. 2.6 DISTRIBUSI NORMAL Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich Gauss (777-855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan persamaan matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter µ (mean) dan (simpangan baku). Dinyatakan n(x,µ, ) Gabar 2.6 Kurva Normal
Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata µ dan simpangan baku dinyatakan sebagai : Dengan : µ = mean n(x; μ; ) 2π e = simpangan baku π = 3,459... e = 2,7828... 2 x μ 2, untuk < x < Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sebagai berikut: b P(a x b) = f(x)dx a b = a 2π e 2 x μ 2 dx 4 3 2-4 -2 a b 2 4 Gambar 2.7 Luas Derah P(a < x < b) = Luas Daerah Diarsir 2.6. Nilai Harapan Variabel acak Normal E(X) = xf(x)dx
= x = 2π xe /2( z = x μ x = 2π = 2π = 2π x μ x 2π e /2( )2 dx x μ x )2 dx ; z + μ x = x ; dz = dx ; dx = dz (z + μ x )e 2 z2 dz (z + μ x )e 2 z2 dz z e 2 z2 dz + μ x 2π e 2 z2 dz untuk, z untuk, 2π = e 2 z2 dz = z 2π ( ze 2 z2 dz + ze 2 z2 dz) y = 2 z2 ; dy = zdz ; dz = dy z = 2π e y dy + e y dy dy e y z = e y dy = [e y ] dimana, Akibatnya, lim e y = ; maka e y dy = y 2π z e 2 z2 dz = ( + ) = 2π untuk, μ x 2π e 2 z2 dz = μ x 2π ( e 2 z2 dz + e 2 z2 dz) y = 2 z2 z = 2π dy = zdz dz = dy z = μ x 2π dy e y z + dy e y z )
= μ x 2π ( 2 y 2e y dy + = μ x 2π 2π 2 + 2π 2 = μ x 2 y 2e y dy) Sehingga : E[X] = 2π E[X] = + μ x = μ x z e 2 z2 dz + μ x 2π e 2 z2 dz 2.6.2 Variansi Variabel Acak Normal Var (X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 E[X 2 ] = x 2 x μ x 2π e /2( )2 dx = 2π x2 e /2( z = x μ x x μ x )2 dx z + μ x = x dz = dx dx = dz = 2π (z + μ x )2 e 2 z2 dz = 2π (z2 + 2zμ x + μ x ) 2 e 2 z2 dz = 2π z2 e 2 z2 dz + 2π 2zμ x e 2 z2 dz + 2π μ x 2 e 2 z2 dz = 2 2π z2 e 2 z2 dz + 2zμ x 2π z e 2 z2 dz + e 2 z2 dz
= 2 2π z2 e 2 z2 dz + + 2π ( 2π) = 2 2π z2 e 2 z2 dz + μ x 2 μ x 2 untuk, 2 2 2π z2 e 2 z2 dz = 2π z2 e 2 z2 dz + z 2 e 2 z2 dz y = 2 z 2 z = 2y dy = zdz dz = dy z = dy 2y 2π z2 e 2 z2 dz = 2π dy dy 2ye y + 2ye y 2y 2y 2 = 2 2π 2 2 y 2e y dy + 2 y 2e y dd 2y 2y = 2 2π 2 2 ᴦ 2 + 2 2 ᴦ 2 = 2 2π 2π 2 + 2π 2 = 2 Sehingga : E[X 2 ] = 2 + μ x 2 Maka : Var(X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 = 2 + μ x 2 μ x 2 = 2
2.6.3 Distribusi Normal Standar Keluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh rata-rata dan simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas suatu interval dari variabel random kontinu dapat di permudah dengan menggunakan bantuan distribusi normal standard. Distribusi normal standard adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata (μ)= dan simpangan baku ( ) =. Bentuk fungsinya adalah : f(z) = 2π e 2 z2 Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standard di gunakan nilai Z (standard units). Bentuk rumusnya adalah: X μ Z = Dengan : Z = Skor Z atau nilai normal baku X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran µ = nilai rata-rata hitung suatu distribusi = standar deviasi suatu distribusi Nilai Z (standard units) adalah angka atau indeks yang menyatakan penyimpangan suatu nilai variabel random (X) dari rata-rata (µ ) dihitung dalam satuan simpangan baku ( ). 2.6.4 Sifat-sifat Normal Standar Sifat-sifat penting dalam distribusi normal standard yaitu:
) Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x 2) Bentuknya simetrik terhadap x = µ 3) Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada x = µ 4) Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x di mulai dari x = µ + 3 ke kanan dan x = µ 3 ke kiri 5) Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi. Untuk tiap pasang µ dan, sifat-sifat di atas selalu di penuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika makin besar, kurvanya makin rendah (platikurtik) dan untuk makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik). Gambar 2.8 Distribusi Kurva Normal dengan μ Sama dan Berbeda Pada Gambar 2.8 menunjukkan bentuk distribusi dan kurva normal dengan nilai tengah sama dan standart deviasi yang berbeda. Kurva normal demikian mempunyai μ = Md = Mo yang sama, namun mempunyai yang berbeda. Semakin besar, maka kurva semakin pendek dan semakin tinggi nilai, maka semakin runcing. Oleh sebab itu, yang tinggi menunjukkan bahwa nilai data semakin menyebar dari nilai tengahnya (μ). Sebaliknya apabila semakin rendah, maka nilai semakin mengelompok pada nilai tengahnya, sehingga parameter nilai tengah menjadi indikator yang baik bagi ukuran populasi.
Gambar 2.9 Distribusi Kurva Normal dengan μ Berbeda dan Sama Pada Gambar 2.9 menunjukkan bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan μ berbeda dan sama, mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama. Hal demikian bisa terjadi karena kemampuan antar populasi berbeda, namun setiap populasi mempunyai keragaman yang hampir sama. Gambar 2. Distribusi Kurva Normal dengan µ dan Berbeda Pada Gambar 2. menunjukkan bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan μ berbeda dan berbeda. Kurva yang demikian mempunyai titik pusat yang berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena mempunyai setandart deviasi yang berbeda. Kurva demikian relatif banyak terjadi, karena antarpopulasi terdapat perbedaan kemampuan, disamping itu di dalam setiap populasi juga terdapat perbedaan, atau setiap populasi juga mempunyai keragaman yang berbeda.
2.7 Menghampiri Distribusi Binomial Dengan Distribusi Normal Sebagaimana distribusi poisson sebagai penghampir distribusi binomial, maka distribusi binomial dapat juga dihampiri dengan distribusi normal. Penghampiran ini atas dasar teori asimtotik, yaitu dengan memisalkan banyak pengamatan n dan p tetap. Atas dasar pemisalan ini maka : f(x) = P(X = x) = n! x! (n x)! px ( p) n x Pendekatan distribusi normal ini dapat di gunakan untuk pendekatan distribusi binomial, dengan memenuhi beberapa syarat, yaitu : a. Jumlah pengamatan relatif besar (n 3), dan nilai dari np 5 dan n(-p) 5, dimana n = jumlah data dan p adalah probabilitas sukses. b. Memenuhi syarat binomial yaitu mempunyai peristiwa hanya 2 (dua), antara percobaan bersifat independent, probabilitas sukses dan gagal sama untuk semua percobaan dan data merupakan hasil perhitungan. c. Rumus nilai normal untuk mendekati binomial adalah : Z = X np npq d. Faktor korelasi diperlukan dari binomial yang acak diskrit menjadi normal yang kontinu dengan menambah atau mengurang,5 terhadap nilai X.