FUNGSI PELUANG GABUNGAN M A 4 0 8 5 P E N G A N T A R S T A T I S T I K A 14 F E B R U A R I 2013 U T R I W E N I M U K H A I Y A R
ILUSTRASI Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ditawarkan dengan kategori-kategori yang berbeda. Misalkan diperhatikan komponen-komponen yang dimiliki suatu bangunan. Kekuatan bangunan Tinggi bangunan Luas bangunan Luas taman/daerah hijau bangunan... KONTINU Banyak lantai Banyak lift Banyak pintu/tangga darurat Banyak ruangan... DISKRIT Misal peubah acak X menyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y menyatakan tinggi bangunan. Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua peubah acak tersebut dinyatakan oleh f(x, y), yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y. f(x<a, y<b) bermakna distribusi peluang dari kekuatan bangunan bernilai kecil dari a satuan kekuatan dan tinggi bangunan bernilai kecil dari b satuan tinggi.
ILUSTRASI Misalkan peubah acak X 1 menyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X 2 menyatakan banyak lift, peubah acak X 3 menyatakan banyak ruangan. f(x 1, x 2, x 3 ) = P(X 1 =x 1, X 2 =x 2, X 3 =x 3 ) menyatakan distribusi peluang dari kejadian bersama /serentak dari ketiga peubah acak tersebut atau fungsi peluang gabungan dari X 1, X 2, dan X 3. f(10, 15, 50) menyatakan peluang bahwa pada gedung terdapat 5 lantai, 15 lift dan 50 ruangan.
FUNGSI PELUANG GABUNGAN D I S K R I T K O N T I N U 1. P(X=x, Y=y) 0 untuk semua (x, y) 2. x y P( X x, Y y) 1 3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku, P[( X, Y) A] f ( x, y) 1. f(x, y) 0 untuk semua (x, y) 2. f ( x, y) dxdy 1 A 3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku, P[( X, Y) A] f ( x, y) dxdy A
CONTOH 1 Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3 pisang, diambil secara acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel yang terambil, hitung: a. Fungsi peluang gabungan f(x,y) b. P[(X,Y)A] dimana A adalah daerah {(x,y) x + y 2} Jawab: a. Pasangan nilai (x,y) yang mungkin dari kasus di atas adalah; (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1). f(3,0) artinya peluang terambil 3 jeruk dan 1 pisang. Banyak cara yang mungkin, pengambilan 4 sampel dari 8 adalah : 8C 4 = 70. Banyak cara yang mungkin, terambilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah : 3C 3. 3 C 1 =1.3=3. Sehingga f(3,0)=3/70.
3 2 3 3C x 2Cy 3C4xy 4 SOLUSI 1 (, ) x y x y f x y, x 0,1,2,3, y 0,1,2 8 8C4 4 Distribusi fungsi peluangnya: b. y x f(x,y) 0 1 2 3 h(y) 0 0 3/70 9/70 3/70 15/70 1 2/70 18/70 18/70 2/70 40/70 2 g(x) 3/70 5/70 9/70 30/70 3/70 30/70 0 5/70 15/70 1 P[( X, Y ) A] P( X Y 2) P( X 0, Y 1) P( X 0, Y 2) P( X 1, Y 0) P( X 1, Y 1) P( X 2, Y 0) f (0,1) f (0,2) f (1,0) f (1,1) f (2,0) 2 3 3 18 9 35 1 70 70 70 70 70 70 2
CONTOH 2 Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk dibawa pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masingmasing untuk drive in dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acak X dan Y. Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah: 2 ( x 2 y ), 0 x 1,0 y 1 f ( x, y) 3 0, xy, lainnya a. Selidiki apakah f(x,y) adalah fungsi peluang. b. Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas drive in dan walk in masing-masing kurang dari setengah.
a. SOLUSI 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 f ( x, y) dxdy ( x 2 y) dxdy ( x 4 yx) dy (1 4 y) dy 3 3 3 0 0 0 0 0 1 1 2 1 ( y 2 y ) (1 2) 0 3 3 1 f(x,y) adalah fungsi peluang. 0 b. 1/2 1/2 1/2 1/2 2 1 2 P( X 0.5, Y 0.5) ( x 2 y) dxdy ( x 4 yx) dy 3 3 0 0 0 1/2 1/2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2y dy y y 3 4 3 4 3 4 2 4 8 0 0 0
FUNGSI MARJINAL Misalkan peubah acak X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan f(x,y). Notasikan fungsi peluang marjinal untuk X adalah g(x) dan fungsi peluang marjinal untuk Y adalah h(y). Untuk X dan Y diskrit. g( x) f ( x, y) P( X x, Y y) y h( y) f ( x, y) P( X x, Y y) x y Untuk X dan Y kontinu. x g( x) f ( x, y) dy dan h( y) f ( x, y) dx
CONTOH 3 Perhatikan Contoh 1. Tunjukkan bahwa total jumlah kolom dan baris dari distribusi peluang f(x,y) masing-masing adalah distribusi peluang marjinal dari X dan Y. Jawab : 2 3 5 1 g(0) f (0,0) f (0,1) f (0,2) 0 70 70 70 14 3 18 9 30 3 g(1) f (1,0) f (1,1) f (1,2) 70 70 70 70 7 9 18 3 30 3 g(2) f (2,0) f (2,1) f (2,2) 70 70 70 70 7 3 2 5 1 g(3) f (3,0) f (3,1) f (3,2) 0 70 70 70 14
SOLUSI 3 Distribusi peluang peubah acak X adalah : x 0 1 2 3 g(x) = P(X=x) 1/14 6/14 6/14 1/14 Dengan cara yang sama diperoleh distribusi peluang peubah acak Y adalah : y 0 1 2 h(y) = P(Y=y) 3/14 8/14 3/14
CONTOH 4 Perhatikan Contoh 2. Tentukan, a. fungsi peluang marjinal untuk X b. fungsi peluang marjinal untuk Y c. peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan. Jawab : a. Misalkan fungsi peluang marjinal X adalah g(x) 1 1 2 2 2 2 g( x) f ( x, y) dy ( x 2 y) dy ( xy y ) ( x 1) 0 3 3 3 2 ( x 1), 0 x 1 3 0 0
SOLUSI 4 b. Misalkan fungsi peluang marjinal Y adalah h(y) 1 1 2 2 2 1 2 1 h( y) f ( x, y) dx ( x 2 y) dx x 2yx 2y 0 3 3 2 3 2 1 4 y, 0 y 1 3 3 0 0 c. Misalkan peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan adalah P(X<1,5). 1.5 1 1 2 2 1 2 1 P( X 1.5) g( x) dx ( x 1) dx x x (1 2) 0 3 3 3 3 1 0 0
PELUANG BERSYARAT Misalkan X dan Y adalah peubah acak, diskrit atau kontinu. Peluang bersyarat dari peubah acak Y jika diberikan X=x adalah: f ( x, y) f ( y x), g( x) 0 gx ( ) Peluang bersyarat dari peubah acak X jika diberikan Y=y adalah: f ( x, y) f ( x y), h( y) 0 hy ( )
BEBAS STATISTIK Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai fungsi kepadatan peluang gabungan f(x,y) dengan fungsi peluang marjinal masing-masingnya adalah g(x) dan h(y). Peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika, f ( x, y) g( x) h( y) untuk semua (x, y) di dalam daerah definisinya.
CONTOH 5 Perhatikan Contoh 1. Tentukan distribusi peluang bersyarat dari X jika diberikan Y = 1. Hitung P(X=0 Y=1) Jawab : f ( x, y) f ( x,1) f ( x y), h( y) 0 yaitu f ( x 1) hy ( ) 8 14 f(0,1) 2 70 1 f(1,1) 18 70 9 f(0 1), f(1 1) 8 14 8 14 20 8 14 8 14 20 f(2,1) 18 70 9 f(3,1) 2 70 1 f(2 1), f(3 1) 8 14 8 14 20 8 14 8 14 20 Distribusi peluang bersyarat : P(X=0 Y=1) x 0 1 2 3 f(x 1) 1/20 9/20 9/20 1/20
CONTOH 6 Perhatikan Contoh 2. Apakah peubah acak X dan Y saling bebas? Karena, 2 1 2 g( x) h( y) ( x 1) (1 4 y) (4xy 4y x 1) 3 3 9 2 ( x 2 y ) f ( x, y ) 3 Maka X dan Y tidak saling bebas secara statistik.
REFERENSI Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. E D I T E D 2 0 1 1 B Y U M 18