METODE NUMERIK. ROBIA ASTUTI, M.Pd. STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung

METODE NUMERIK ROBIA ASTUTI, M.Pd. STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung

BAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM Metode numerik : Teknik yang di gunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat di pecahkan dengan operasi perhitungan / aritmatika biasa ( tambah, kurang, bagi, kali), dapat menggunakan kalkulator atau komputer. Perbedaan antara metode analitik dan metode numerik i. Penyelesaian dengan metode analitik yaitu: memberikan penyelesaian / (exact) ii. Penyelesaian dengan metode numerik yaitu memberikan penyelesaian /solusi pendekatan(approximation) Pengertian Galat ( Nilai Kesalahan) Galat (error) adalah selisih antara solusi sebenarnya (exact) dengan solusi hampiran /pendekatan (approximation) Tujuan yang harus dicapai dari metode Numerik antara lain :. Dapat memanipulasi penyelesaian suatu perhitungan dengan cepat dan akurat dengan galat yang relatif kecil. Memperkirakan galat atau tingkat kesalahan pada hasil akhir dari suatu perhitungan. Contoh : Nilai sebenarnya = 0 3 dan nilai pendekkatanya = 3,333 Hitunglah galat, galat mutlak, dan galat relatif? Penyelesaian ; Galat : 0 3 3.333 = 0 3 3.333 000 = 3000 = 0.000333 Galat mutlak : 0.000333 = 0,000333 Galat relatif : 3000 0 3 = 0000 = 0.000 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik

BAB II DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT A. Pengertian deret Taylor Sebagian besar metode numerik yang diturunkan berdasarkan pendekatan fungsi kedalam bentuk polinom. Nilai kesalahan atau galat pada penyelesaian numerik harus diihubuungkan dengan seberapa teliti polinom mendekatti fungsi sebenarnya. Alat yang digunakan untuk membuat polinom pendekatan adalah Deret Taylor. Rumus Deret Taylor f(x) = f(x 0 ) + ( x x 0! + ( x x 0 ) m! ) f (x 0 ) + ( x x 0! f (x 0 ) + ) f (x 0 ) + jika x x 0 = h maka f(x)dapat juga ditulis sebagai f(x) = f (x 0 ) + h! f (x 0 ) + h! f (x 0 ) + + hm m! f (x 0 ) + Menggambarkan fungsi f pada selang itu dan R n (x) = f n + (x x n+! 0) Contoh :. Hampiri fungsi f(x) = sin(x) kedakam derat taylor disekitar x o = Penyelesaian : f(x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) sin(x) = sin() + + (x )! (x )^3 3!. cos() + ( c0s() + (x )!. ( sin()) (x )4 sin() + 4! c Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik

Misal x - = h sin(x) = sin() + h cos() h sin() h3 6 cos(0 + h4 4 sin() + = 0,845 + 0,5403h 0,408h 0,090 h 3 + 0,035 h 4. Hampiri fungsi e x berikut ke dalam deret taylor maclaurin Penyelesaian : f(x) = e x f (x) = e x f (x) = e x f (x) = e x... (x e x = e 0 0) +. e (0) (x 0) +. e (0) (x 0)3 +. e (0) +!! 3! = + z + z! + x3 3! + = + x + x! + x3 3! + B. Analisis Galat Menganalisis galat sangat penting didalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik :. Galat pemenggalan Galat pemenggalan di timbulkan akibat penggunaan pendekatan sebagai pengganti rumus yang eksak. Istilah pemenggalan muncul karena banyak metode numerik yang diperoleh dengan pendekatan fungsi menggunakan deret Taylor. Karena deret Taylor merupakan deret yang tak-terhingga, mka untuk pendekatan tersebut deret taylor kita penggal sampai pada suku orde tertentu. Contoh: Pendekatan fungsi cos (x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 3

Penyelesaian : f(x) = cos( x) f (x) = sin( x) f (x) = cos( x) f (x) = sin( x) cos (x) = cos(0) + x 0! (x 0) 3 3! (sin 0) +. ( sin (0)) + (x 0) ( c0s(0)) +! = + x(0) + x x x4 ( ) + (0) +! 3! 4! () + = x + x4 4 +. Galat Pembulatan ( round-of error) Keterbatasan komputer dalam penyajian bilangan real menghasilan galat yang di sebut galat pembulatan. Sebagai contoh /6 = 0,666666666... tidak dapat di nyatakan dengan tepat oleh komputer karena digit 6 panjangnya tidak terrbatas. Komputer hanya mampu mempresentasikan sejumlah digit saja. Misalnya sebuah komputer hanya dapat mempresentasikan bilangan real dalam 6 gigit angka berarti, maka representasi bilangan /6 = 0,666666666... di dalam komputer 6-digit tersebut adalah 0,66667 Galat pembulatannya adalah /6 0,66667 = -0,000000333 Kebanyakan komputer digital mempunyai dua buah cara penyajian bilangan real,yaitu bilangan titik-tetap (fixed point) dan bilangan titikkambang (floating point). Dalam format bilangan titik-tetap setiap bilangan di sajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap, misalnya ; 6,358;0.03;,000. Sedangkan dalam format bilangan titik kambang setiap bilangan di sajikan dengan jumlah digit berarti yang sudah tetap atau disebut juga angka bena,atau angka signifikan (significant figure), misalnya ; Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 4

0.638 X 0 3 dapat ditulis juga 0.638 E + 0.3 0.74 X 0 3 dapat ditulis juga 0.74 E 3 Cara membulatkan ada macam, yaitu : a. pemotongan (chopping), membulatkan ke bawah : perhiungan dengan di bulatkan ke bawah tampa melihat angka tersebut lebih dari atau kurang darri 5. b. pembulatan (rounding),membulatkan ke angka terdekat : perhitungan dengan membulatkan ke atas jika angka tersebut lebih dari atau sama dengan 5,dan di bulatkan ke bawah, jika kurang dari 5. Contoh : Hampiri fungsi f(x) = sin(x) disekitar x 0 = sampai pada orde ke-4 dan carilah galatnya? Penyelesaian : Diketahui f(x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) sin(x) = sin() + c0s i (h) sin() h h3 cos()! 3! + sin() h4 4! + R 4(x) Galatnya : R 4 (x) = cos(e) h5,, < e < x 5! Contoh : Hitunglah hampiran nilai cos (0,) sudut dinyatakan dalam radian, dengan deret maclaurin sampai suku orde ke n = 6 gunakan 7 angka dibeelakang koma, Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 5

Penyelesaian : f(x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) cos(x) = cos(0) + (0, 0)! ( sin(x) (0, 0) + ( cos(x)) +! (0, 0)3 (sin(x) 3! + (0, 0)4 4! (0, 0)5 (cos(x) + ( sin(x) 5! (0, 0)6 + ( cos(x) + 6! = + 0 0. + 0 0.. + 0 0.003333 4 = + 0,006 0 C. Bilangan Titik Kambang Titik kambang adalah suatu nilai yang digunakan dalam program komputer untuk menyatakan suatu bilangan real. Bilangan titik kambang format bilangan real pada komputer berbeda-beda tergantung pada piranti keras dan compiler bahasa pemrogamanya, umumnya disajikan dalam format bilangan titik kambang dan ditulis : x = ±m B 6 = ±0, b, b, b 3,, b n B p Dengan M = mantiesa(real) n basisi 0, B = Basis sistem bilangan yang dipakai (,8,0,6,dsb) P = pangkat (bilangan bulat) nilainya dari p min sampai p maks N = panjang bilangan (bit) mantisa atau presisi Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 6

yang diinginkan sebagai contoh bilangan real 43,7654 dinyatakan sebagai 0,456645 x 0 3 dalam format bilangan titik kambang denga penulisan ilmiah termasuk dalam sistem bilangan titik kambang ini. D. Bilangan Titik Kambang Ternormalisasi Representasi bilangan titik kambang tidak unik karena kita juga bisa menyatakan rumus : x = ±m B n sebagai x = ±mb B p Misal : 45,7654 apat ditulis sebagai 0,457654 x 0 3 atau,457654 x 0 atau 0,0457654 x 0 4 dan sebagainya Agar seragam, sistem komputer menormalisasikan formatnya sehingga semua bilangan mantisa selalu angka signifikan atau bilangan pertama tidak boleh nol. Sebagai konsekuensi penormalan nilai m adalah : B m < Pada sistem bilangan desimal (B = 0) m berkisar antara 0, sampai dan sistem biner (B = ) m antara ½ sampai. E. Pembulatan Padabilangan Titik Kambang Ada dua teknik pembulatan yaitu :. Pemotongan (chooping) Misalkan x adalah bilangan titik kambang dalam basis 0 x = ±0, b, b, b 3,, b n b n 0 p Jika n adalah banyaknya bilangan mantis komputer dan karena banyaknya bilangan mantis x lebih banyak dari bilangan mantis komputer maka x dipotong sampai n digit saja fl chop (x) = ± b, b, b 3,, b n b n 0 p Sebagai contoh fl chop (π) = 0,3459 0 dengan galat sebesar 0, 00000065 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 7

. Pembulatan Ke Digit Terdekat (In-Rounding) Misalkan x adalah bilangan titik kambang dalam basis 0 x = ±0, b, b, b 3,, b n b n 0 p Jika n adalah banyaknya bilangan mantis komputer dan karena banyaknya bilangan mantis x lebih banyak dari bilangan mantis komputer maka x dipotong sampai n digit saja fl chop (x) = ± b, b, b 3,, b n b n 0 p Yang dalam hal ini : b n{ b n+ b n,jika b n+ <5 b n+, jika b n+ <5 n genap,b n+ <5 n ganjil Contohnya, bilangan π = 0,345965358 0 didalam komputer hipotesis dengan 7 bilangan mantis dibulatkan menjadi : fl round (π) = 0,34593 0 dengan galat sebesar 0,000000035 Contoh ini menunjukkan bahwa pembulatan menghasilkan galat yang lebih rendah ketimbang pemotongan. F. Aritmatika Bilangan Titik- Kambang Aritmetika bilangan titik kambang antara lain : a. Operasi Penambahan Dan Pengurangan Penjumlahan (termasuk pengurangan) bilangan yang sangat kecil ke (atau dari) bilngan yang sangat besar menyebabkan timbulnya galat pembulatan Contoh : Hitunglah,557 + 0,0438 = 0,557 0 + 0,438 0 Penyelesaian : 0,557 0 = 0,557 0 0,438 0 = 0,00438 0 = 0,6008 0 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 8

Pengurangan dua bilangan yang hampir sama besar hasilnya mungkin mengandung 0 pada posisi bilangan mantis yang paling berarti (posisi bilangan paling kiri) Contoh : Kurangkan lah 0,56780 0 5 dengan 0,56430 0 5 (5 angka signifikan) Penyelesaian : 0,56780 0 5 0,56430 0 5 0,00350 0 5 Kehilangan angka signifikan dalam mengurangkan dua buah bilangan yang hampir sama besar merupakan sumber galat utama. Hal ini bisa di hindari dengan mengubah metode komputasi yang di gunakan, misalnya : dengan mengelompokan suku-suku perkalian bentuk sekawan, menggunakan deret Taylor. Contoh Diberikan f(x) = x ( x + x ) hitunglah f(500) dengn menggunakan 6 angka signifikan dan pembulatan ke digit terdekat. Penyelesaian : f(500) = 500( 50 500 ) = 500(,3830,3607) = 500(0,03) =,5 (4 angka signifikan) Penyelesaian sebenarnya adalah,7475530074798 Untuk memperoleh hasil yang lebih halus, fungsi f(x)kita susun menjadi bentuk : f(x) = x ( x + x ) ( x + + x ) = x( x + x) ( x + + x ) Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 9

= x [( x + ) ( x ] ( x + + x ) x = x + + x = p(x) Sehingga p(500) = 500 = 500 = 500 =.74758 50 + 500,3830+,3607 44.7437 b. Operasi Perkalian Dan Pembagian Perkalian dan pembagian dua buah bilangan titik kambang tidak memerlukan penyamaan pangkat seperti penjumlahan. Perkalian dapat di lakukan dengan mengalikan ke dua mantis dan menambahkan ke dua pangkatnya. Contoh : Hitunglah perkalian 0,465 0 4 dengan 0,456 0 ( 4 angka signifikan) Penyelesaian : Kalikan mantis 0,465 0,456 0,067733 jumlahkan pangkat 4 + 3 Gabungkan mantis dengan pangkat : 0,067733 0 3 Normalisasi : 0,67733 0 Pembulatan : 0,6773 0 Pemotongan : 0,6773 0 BAB 3 SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR Dalam bidang sains dan rekayasa, para ahli ilmu alam dan rekayasawan sering berhadapan dengan persoalan mencari solusi persamaan lazim disebut akar Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 0

persamaan (roots of equation) atau nilai-nilai nol yang berbentuk f(x) = 0. Beberapa persamaan sederhana mudah ditemukan akarnya. Misalnya x 3 = 0, pemecahannya adalah dengan memindahkan 3 ke ruas kanan sehingga menjadi x = 3, dengan demikian solusi atau akarnya adalah x = 3. Begitu juga persaman kuadratik seperti x 4x 5 = 0, akar-akarnya mudah ditemukan dengan cara pemfaktoran menjadi (x 5)(x + ) = 0 sehingga x = 5 dan x =. Umumnya persamaan yang akan dipecahkan muncul dalam bentuk nirlanjar (non linear) yang melibatkan bentuk sinus, cosinus, eksponensial, logaritma, dan fungsi transenden lainnya. A. Metode Pencarian Akar Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakukan secara lelaran (iteratif). Sampai saat ini sudah banyak ditemukan metode pencarian akar. Secara umum, semua metode pencarian akar tersebut dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besar:. Metode Tertutup atau Metode Pengurung (bracketing method) Metode yang termasuk ke dalam golongan ini mencari akar di dalam selang [a, b]. Selang [a, b] sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Dengan kata lain, lelarannya selalu konvergen (menuju) ke akar, karena itu metode tertutup kadang-kadang dinamakan juga metode konvergen. Seperti yang telah dijelaskan, metode tertutup memerlukan selang [a, b] yang mengandung akar. Sebagaimana namanya, selang tersebut mengurung akar sejati. Tata-ancang (strategy) yang dipakai adalah mengurangi lebar selang secara sistematis sehingga lebar selang tersebut semakin sempit, dan karenanya menuju akar yang benar. Dalam sebuah selang mungkin terdapat lebih dari satu buah akar atau tidak ada akar sama sekali. Secara grafik dapat ditunjukkan bahwa jika: () f(a)f(b) < 0 maka terdapat akar sebanyak bilangan ganjil (Gambar 3.). Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik

a b x a b x (a) (b) Gambar 3. Banyaknya akar ganjil () f(a)f(b) > 0 Maka terdapat akar sebanyak bilangan genap atau tidak ada akar sama sekali. (Gambar 3.) a b x a b x (a) Gambar 3. Banyaknya akar genap (b) Syarat Cukup Keberadaan Akar Gambar 3. memperlihatkan bahwa selalu ada akar di dalam selang [a, b] jika nilai fungsi berbeda tanda (+/ ) di x = a dan x = b. Tidak demikian halnya jika nilai fungsi di ujung-ujung selang sama tandanya, yang mengisyaratkan mungkin ada akar atau tidak ada sama sekali. Jadi, jika nilai fungsi berbeda tanda tanda di ujung-ujung selang, pastilah terdapat paling sedikit satu buah akar di dalam selang tersebut. Dengan kata lain, syarat cukup keberadaan akar persamaan kita tulis sebagai berikut: Jika f(a) f(b) < 0 dan f(x) menerus di dalam selang [a, b], maka paling sedikit terdapat satu buah akar persamaan f(x) = 0 di dalam selang [a, b]. Pendekatan yang kedua adalah dengan mencetak nilai fungsi pada titiktitik absis yang berjarak tetap. Jarak titik ini dapat diatur cukup kecil. Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik

Jika tanda fungsi berubah pada sebuah selang, pasti terdapat minimal satu akar di dalamnya. Program 3. berisi prosedur untuk menemukan selang yang cukup kecil yang mengandung akar. Program ini mencetak tabel titik-titik sepanjang selang [a, b]. Dari tabel tersebut kita dapat menentukan upaselang yang nilai fungsi di ujungujungnya berbeda tanda. Keberhasilan dari pendekatan ini bergantung pada jarak antara titik-titik absis. Semakin kecil jarak titik absis, semakin besar peluang menemukan selang yang mengandung hanya sebuah akar. Bila Program 3. digunakan untuk mencari selang kecil yang mengandung akar pada fungsi f(x) = e x 5x mulai dari a = 0,5 sampai b =,4 dengan kenaikan absis sebesar h = 0., maka hasilnya tampak pada tabel berikut x f(x) 0,50 0,643469 0,40 0,9680 0,30 0,9088 0,0 0,6873 0,0 0,854837 0,00,000000 0,0,0557 0,0,0403 0,30 0,899859 0,40 0,6985 0,50 0,3987 0,60 0,09 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 3

0,70 0,43647 0,80 0,974459 0,90,590397,00,878,0 3,045834,0 3,879883,30 4,780703,40 5,744800 Berdasarkan tabel di atas, selang yang cukup kecil yang mengandung akar adalah [ 0.40, 0.30] dan [0.60, 0.70]. karena nilai fungsi berubah tanda di ujung-ujung selangnya. Selang [0.00,.00] juga dapat kita ambil tetapi cukup lebar, demikian juga [ 0.50,.40], [ 0.30, 0.80], dan seterusnya. Ada dua metode klasik yang termasuk ke dalam metode tertutup, yaitu metode bagidua dan metode regula-falsi. Masing-masing metode kita bahas lebih rinci di bawah ini. a. Metode Bagi Dua Misalkan kita telah menentukan selang [a, b] sehingga f(a)f(b) < 0. Pada setiap kali lelaran, selang [a, b] kita bagi dua di x = c, sehingga terdapat dua buah upaselang yang berukuran sama, yaitu selang [a, c] dan [c, b]. Selang yang diambil untuk lelaran berikutnya adalah upaselang yang memuat akar, bergantung pada apakah f(a)f(c) < 0 atau f(c)f(b) < 0. [a, b] Pendidikan Matematika STKIP MPL Bagi dua Metode di x = Numerik c 4 [a, c] [c, b]

Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai ukuran selang yang baru sudah sangat kecil (lihat Gambar 3.4). Kondisi berhenti lelaran dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut:. Lebar selang baru: a b < ε, yang dalam hal ini ε adalah nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar.. Nilai fungsi di hampiran akar: f(c) = 0. Beberapa bahasa pemrograman membolehkan pembandingan dua buah bilangan riil, sehingga perbandingan f(c) = 0 dibenarkan. 3. Galat relatif hampiran akar: (C baru C lama ) < δ yang dalam hal C baru ini δ adalah galat relatif hampiran yang diinginkan. Dengan mengingat kriteria berhenti adalah b r a r < ε, maka terlihat bahwa R > ln b a ln ε ln() Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 5

yang dalam hal ini R adalah jumlah lelaran (jumlah pembagian selang) yang dibutuhkan untuk menjamin bahwa c adalah hampiran akar yang memiliki galat kurang dari ε. Kasus yang Mungkin Terjadi pada Penggunaan Metode Bagidua. Jumlah akar lebih dari satu Bila dalam selang [a, b] terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar ganjil), hanya satu buah akar yang dapat ditemukan. Cara mengatasinya: gunakan selang [a, b] yang cukup kecil yang memuat hanya satu buah akar.. Akar ganda Metode bagidua tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujungujung selang yang baru. Contoh: f(x) = (x 3) = (x 3)(x 3), mempunyai dua akar yang sama, yaitu x = 3 3. Singularitas Pada titik singular, nilai fungsinya tidak terdefinisi. Bila selang [a, b] mengandung titik singular, lelaran metode bagidua tidak pernah berhenti. Penyebabnya, metode bagidua menganggap titik singular sebagai akar karena lelaran cenderung konvergen. Yang sebenarnya, titik singular bukanlah akar, melainkan akar semu. Cara mengatasinya: periksa nilai f(b) f(a). Jika f(b) f(a) konvergen ke nol, akar yang dicari pasti akar sejati, tetapi jika f(b) f(a) divergen, akar yang dicari merupakan titik singular (akar semu). Pada setiap lelaran pada metode bagidua, kita mencatat bahwa selisih antara akar sejati dengan akar hampiran tidak pernah melebihi setengah panjang selang saat itu. Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 6

Contoh : Temukan akar f(x) = e x 5x di dalam selang [0,] dan ε = 0,0000 Penyelesaian : Cek pemberhentian lelaran R = ln 0 ln 0,0000 ln() = 0 (,59547) 0,693478 = 6,60964 Jadi, dibutuhkan minimal 7 kali lelaran (r = 0 sampai dengan r = 6 sesuai dengan jumlah lelaran pada tabel, agar galat akar hampiran kurang dari ε. Selang [a, b] = [0,] Maka diperoleh a 0 = 0 f(a) = e 0 5(0) = b 0 = f(b) = e 5() =,878 c 0 = b + a Selang baru = f(c) = e 5 ( ) = 0,3987 f(a)f(c) = 0,3987 > 0 Sehingga diperoleh selang baru [c, b] Lebar selangnya b c = 0,5 = 0,5 Hal ini di lakukan sampai lelaran 6, sehingga diperoleh tabel sbb : r a c b f(a) f(c) f(b) Selang baru Lebarnya 0 0,000000 0,500000,000000,000000 0,3987 -,878 (c,b) 0,500000 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 7

0,500000 0,750000,000000 0,3987-0,695500 -,878 (a,c) 0,50000 0,500000 0,65000 0,750000 0,3987-0,084879-0,695500 (a,c) 0,5000 3 0,500000 0,56500 0,65000 0,3987 0,7303-0,084879 (c,b) 0,06500 4 0,56500 0,593750 0,65000 0,7303 0,04807-0,084879 (c,b) 0,0350 5 0,593750 0,609375 0,65000 0,04807-0,07408-0,084879 (a,c) 0,0565 6 0,593750 0,60563 0,609375 0,04807 0,0558-0,07408 (c,b) 0,00783 7 0,60563 0,605469 0,609375 0,0558-0,00085-0,07408 (a,c) 0,003906 8 0,60563 0,60356 0,605469 0,0558 0,007380-0,00085 (c,b) 0,00953 9 0,60356 0,60449 0,605469 0,007380 0,00368-0,00085 (c,b) 0,000977 0 3 4 5 6 0,60449 0,604980 0,605469 0,00368 0,000-0,00085 (c,b) 0,000488 0,604980 0,6055 0,605469 0,000 0,00079-0,00085 (c,b) 0,00044 0,6055 0,605347 0,605469 0,00079-0,000336-0,00085 (a,c) 0,000 0,6055 0,60586 0,605347 0,00079-0,000078-0,000336 (a,c) 0,00006 0,6055 0,60555 0,60586 0,00079 0,00005-0,000078 (c,b) 0,00003 0,6055 0,60570 0,60586 0,00005-0,00004-0,000078 (a,c) 0,00005 0,6055 0,60563 0,60570 0,00005 0,00008-0,00004 (c,b) 0,000008 Jadi hampiran akarnya adalah x = 0,60563 b. Metode Regula-Falsi Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 8

Meskipun metode bagi dua selalu berhasil menemukan akar, tetapi kecepatan konvergensinya sangat lambat. Kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan bila nilai f(a) dan f(b) juga turut diperhitungkan. Logikanya bila f(a) lebih dekat ke nol daripada f(b) tentu akar lebih dekat ke x = a dari pada ke x = b. Mmetode yang memanfaatkan nilai f(a) dan f(b) ini adalah metode regulafalsi atau metode posisi palsu. Dengan metode regula-falsi dibuat garis lurus yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Perpotongan garis tersebut dengan sumbu-x merupakan taksiran akar yang diperbaiki. Garis lurus tadi seolah-olah berlaku menggantikan kurva f(x) dan memberikan posisi palsu dari akar. Untuk mencari nilai C digunakan rumus yang diperoleh dari Gradien garis AB = gradien garis BC f(b) f(a) b a = f(b) 0 b c yang dapat disederhanakan menjadi c = b f(b)(b a) f(b) f(a) Algoritma regula-falsi hampir sama dengan algoritma bagi dua kecuali pada perhitungan nilai c Contoh : Tentukan akar f(x) = e x 5x didalam selang [0,] dengan ε = 0,0000 Penyelesaian : Selang awal [a, b] = [0,] Maka diperoleh : a 0 = 0 f(a) = e 0 5(0) =,000000 b 0 = f(b) = e 5() =,878 c 0 = (,878)() (,878) () =,878 3,878 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 9

= 0,30478 f(c) = e 0,30478 5(0,30478) = 0,89976 Selang baru f(a)f(c) = 0,89976 > 0 Sehingga diperoleh selang baru [c, b] Lebar selangnya b c = 0,30478 = 0,6958 Hal ini dilakukan sampai lelaran, seperti pada tabel berikut : Hampiran akar x = 0,60567 Jumlah lelaran tabel tersebut =, lebih banyak daripada jumlah lelaran metode bagidua. Bila diperhatikan, dari lelaran sampai lelaran, nilai a, b, c tidak pernah berubah, padahal f(c) sudah sangat kecil ( 0). Kasus seperti ini akan terjadi bila kurva fungsinya cekung (konkaf) di dalam selang [a, b]. Akibatnya garis potongnya selalu terletak diatas kurva (bila kurvanya cekung ke atas) atau selalu terletak dibawah kurva (bila kurvanya cekung ke bawah). Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 0

Pada kondisi yang paling ekstrim, b a r tidak pernah lebih kecil dari ε, sebab salah satu titik ujung selang, dalam hal ini b, selalu tetap untuk setiap lelaran r = 0,,,.. titik ujung selang yang tidak pernah berubah itu dinamakan titik mandek (Stagnant point). Pada titik mandek, b r a r = b a r ; r = 0,,, Yang dapat mengakibatkan program mengalami looping. Untuk mengatasi hal ini, kondisi berhenti pada algoritma regulasi-falsi harus kita tambah dengan memeriksa apakah nilai f(c) sudah sangat kecil sehingga mendekati nol. Jadi, kondisi pada repeat-until menjadi Bila perubahan ini diterapkan pada soal pencarian akar diatas dengan ε = 0,0000, lelarannya akan berhenti pada r = dengan akar x = 0,60567 Perbaikan Metode Regula-Falsi Untuk mengatasi kemungkinan kasus titik mandek, metode regulafalsi kemudian diperbaiki (modified false position method). Caranya, pada akhir lelaran r = 0, kita sudah memperoleh selang baru akan dipakai pada lelaran r =. Berdasarkan selang baru tersebut, tentukan titik ujung selang yang tidak berubah (jumlah perulangan > ) - yang kemudian menjadi titik mandek. Nilai f pada titik mandek itu diganti menjadi setengah kalinya, yang akan dipakai pada lelaran r =. Setelah menghitung nilai c 0 pada lelaran r = 0, ujung selang b untuk lelaran r = tidak berubah. Titik b menjadi titik mandek. Karena itu, untuk lelaran r =, nilai f(b) yang dipakai adalah f(b). Begitu juga untuk lelaran r =, nilai f(b) yang Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik

dipakai adalah setengah dari nilai f(b) sebelumnya. Pada akhir lelaran r =, c sudah terletak di bawah kurva y = f(x). Selang yang dipakai selanjutnya adalah [c, c ]. Dengan cara ini kita dapat menghilangan titik mandek yang berkepanjangan. Contoh : Tentukan akar f(x) = e x 5x di dalam selang [0,] dengan ε = 0,0000 dan δ = 0,00000 Penyelesaian : Selang r a c b f(a) f(c) f(b) baru Lebarnya 0 0,000000 0,30478,000000,000000 0,89976 -,878 (c,b) 0,6958 ( ) 0,30478 0,609797,000000 0,89976-0,0905 -,40859 (a,c) 0,305079 0,30478 0,603367 0,609797 0,89976 0,008005-0,0905 (c,b) 0,006430 3 0,603367 0,60559 0,609797 0,008005 0,000035-0,0905 (c,b) 0,004538 4 0,60559 0,60575 0,609797 0,000035-0,000035-0,00960 (a,c) 0,00007 5 0,60559 0,60567 0,60579 0,000035 0,000000-0,000035 (c,b) 0,000008 ( ) Hampiran akar x = 0,60567 Terlihat bahwa jumlah lelarannya berkurang menjadi sepertiga semula. Harus dicatat bahwa metode regula-falsi yang diperbaiki tetap berlaku untuk fungsi yang tidak cekung sekalipun.. Metode Terbuka Tidak seperti pada metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan selang yang memngurung akar. Yang diperlukan hanya sebuah tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang tidak perlu mengurung akar. Inilah Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik

alasan mengapa metodenya dinamakan metode terbuka. Hampiran akar sekarang didasarkan pada hampiran akar sebelumnya melalui prosedur lelaran. Kadangkala lelaran konvergen ke akar sejati, kadangkala ia divergen. Namun, apabila lelarannya konvergen, konvergensinya itu berlangsung sangat cepat dibandingkan dengan metode tertutup. Yang termasuk dalam metode terbuka adalah : a. Metode Leleran Titik Tetap Metode titik tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi f(x) secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi f (x) yang ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen. Kesedrhanaan metode ini karena pembentukan prosedur leleranya mudah dibentuk sebagai berikut : Susunlah persamaan f(x) = 0 bentuklah menjadi prosedur leleran X r+ = g (x) menjadi bentuk x = g (x) lalu Dan terkalah sebuah nilai awal X 0 lalu dihitung nilai X, X, X 3,., yang mudah-mudahan konvergen ke akar sejati sedemikian sehingga f(s) = 0 dan s = g (s) Kondisi berhenti leleran dinyatakan bila : X r+ X r < ε Atau menggunakan galat relative hampiran X r+ X r < δ X r+ Dengan ε dan δ telah ditetapkan sebelumnya. Contoh Carilah akar persamaan f (x) = x x 3 = 0 dengan metode lelran titik tetap gunakan ε = 0.00000 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 3

Penyelesaian : Terdapat beberapa kemungkinan prosedur leleran yang dapat dibentuk a. x x 3 = 0 x = x + 3 x = (x + 3 ) Dalam hal ini g (x) = (x + 3) posedur lelaranya adalah x r+ = ( xr + 3 ). ambil terkaan awal x 0 = 4 Table lelaranya : r x r x r+ x r 0 4.000.0000 3.3665 0.683375 3.03748 0.877 3 3.034385 0.06936 4 3.0440 0.0945 5 3.0038 0.00769 6 3.0070 0.0054 7 3.00043 0.000847 8 3.0004 0.0008 9 3.000047 0.000094 0 3.00006 0.00003 3.000005 0.00000 3.00000 0.000003 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 4

3 3.00000 0.00000 4 3.000000 0.000000 b. x x 3 = 0 x(x ) = 3 x = 3(x ) Dalam hal ini g (x) = 3 (x ) prosedur x r+ = 3/ (x r ) ambil terkaan awal x 0 = 4 leleranya adalah r x r x r+ x r 0 4.000000.500000.500000 6.000000 7.500000 3 0.375000 5.65000 4.6358 0.88858 5 0.99355 0.343803 6 0.0764 0.0869 7 0.990876 0.036748 8 0.00305 0.075 9 0.998984 0.004066 0 0.000339 0.00355 0.999887 0.00045 0.000038 0.0005 3 0.999987 0.00005 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 5

4 0.000004 0.00007 5 0.999999 0.000006 6.000000 0.00000 7.000000 0.00000 c. x x 3 = 0 x = ( x 3 ) Proedur leleranya adalah (x r ) 3 ). ambil terkaan awal x 0 = 4 Table leleranya : i x r x r+ x r 0 4.000.000-6.500.000.500.000 9.65.000 3.5000 3 9.07033 7.4453 4 85.4359 806.36847 Ternyata leleranya divergen. Kriteria Konvergensi Diberikan prosedur lelaran x r+ = g(x r ) (P.3.4) Misalkan x = s adalah solusi f(x) = 0 sehingga f(s) = 0 dan s = g(s). Selisih antara x r+ dan s adalah x r+ s = g(x r ) s = g(x r ) s (x (x r s ) r s) Terapkan teorema nilai rata-rata pada persamaan (P.3.5) sehingga X r+ s = g (t)(x r s) (P.3.5) (P.3.6) Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 6

yang dalam hal ini x r+ < t < s. Misalkan galat pada lelaran ke-r dan lelaran ke- (r+) adalah ε r = x r s dan ε r+ = x r+ s Persamaan (P.4.6) dapat kita tulis menjadi ε r+ = g (t)ε r atau dalam tanda mutlak ε r+ = g (t) ε r K ε r Berapakah batas batas nilai K itu? Misalkan x0 dan x berada didalam selang sejauh h dari s, yaitu s h < x < s + h. Jika lelaran konvergen di dalam selang tersebut, yaitu x0, x, x, x3,... menuju s, maka galat setiap lelaran berkurang. Jadi, haruslah dipenuhi kondisi ε r+ = K ε r K ε r K 3 ε r K r+ ε 0 Kondisi tersebut hanya berlaku jika g (x) K < Karena K <, maka K r+ 0 untuk r ; di sini x r+ s 0. TEOREMA 3.. Misalkan g(x) dan g menerus di dalam selang [a, b] = [s h, s + h] yang mengandung titik tetap s dan nilai awal x0 dipilih dalam selang tersebut. Jika g ' (x) < untuk semua x ε [a, b] maka lelaran x r+ = g(x r ) akan konvergen ke s. Pada kasus ini s disebut juga titik atraktif. Jika g ' (x) > untuk semua x ε [a, b] maka lelaran x r+ = g(x r ) akan divergen dari s. Teorema 3. dapat kita sarikan sebagai berikut: Di dalam selang I = [s h, s + h], dengan s titik tetap, Jika 0 < g ' (x) < untuk semua x ε, maka lelaran konvergen monoton; Jika - < g ' (x) < 0 untuk semua x ε, maka lelaran konvergen bersosilasi; Jika g ' (x) > untuk setiap x ε, maka lelaran divergen monoton; Jika g ' (x) < - untuk setiap x ε, maka lelaran divergen berosilasi. Semuanya dirangkum seperti pada Gambar 3.0.. Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 7

Sebagai catatan keadaan g (x) = tidak didefinisikan. Catat juga bahwa semakin dekat nilai g (x) ke nol di dekat akar, semakin cepat kekonvergenan metode lelaran titik-tetap ini (a) Konvergen monoton : 0 < g (x) < (b) Konvergen berosilasi: - < g (x) < 0 (c) Divergen monoton : g (x) > (d) Divergen berosilasi: g (x) > - Gambar 3.0 Jenis-jenis kekonvergenan Sekarang, mari kita analisis mengapa pencarian akar persamaan x x 3 = 0 pada Contoh 3. dan pencarian akar persamaan x 3 + 6x 3 = 0 pada Contoh 3.3 dengan bermacam-macam prosedur lelaran dan tebakan awal kadang-kadang konvergen dan kadang-kadang divergen. (i) Prosedur lelaran pertama x r+ = x r + 3 g(x) = (x + 3) Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 8

g (x) = x + 3 Terlihat bahwa g (x) < untuk x di sekitar titik-tetap s = 3. Karena itu, pengambilan tebakan awal x0 = 4 akan menghasilkan lelaran yang konvergen sebab g (4) = /[ 8 + 3] = 0.508 < (ii) Prosedur lelaran kedua : x r+ = 3/(x r ) g(x) = 3/(x ) g (x) = 3/(x ) Terlihat bahwa g (x) < untuk x di sekitar titik-tetap s = 3. Karena itu, pengambilan tebakan awal x0 = 4 akan menghasilkan lelaran yang konvergen sebab g (4) = 3/(4 ) = 0.75 < (iii) Prosedur lelaran ketiga : x r+ = (x r 3)/ g(x) = (x 3)/ g (x) = x Terlihat bahwa g (x) > untuk x di sekitar titik-tetap s = 3. Karena itu, pengambilan tebakan awal x0 = 4 akan menghasilkan lelaran yang divergen sebab g (4) = 4 = 4 > (iv) Prosedur lelaran pada Contoh 3.3 : x r+ = ( x 3 r + 3)/6 g(x) = ( x 3 + 3)/6 g (x) = x / Terlihat bahwa g (x) < untuk x di sekitar titik-tetap s = 0.48. Pemilihan x0 =. memang nilai g (x 0 ) > tetapi lelarannya masih tetap konvergen, namun x 0 =.7 terlalu jauh dari titik-tetap sehingga lelarannya divergen. Dapatkah kita menentukan batas-batas selang yang menjamin prosedur lelaran akan konvergen di dalamnya? Temukan jawabannya pada Contoh 3.4 di bawah ini. Contoh 3.4 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 9

Pada Contoh 3.3 di atas, tentukan selang sehingga prosedur lelaran x r+ = ( x r 3 + 3)/6 Konvergen? Penyelesaian: g(x) = ( x 3 + 3)/6 g (x) = x / Syarat konvergen adalah g (x 0 ) <. Jadi, x / < < x < < x > < x < Urai satu per satu (i) x < 0 (tidak ada x yang memenuhi) (ii) x <, dipenuhi oleh x < 0 < x < Jadi, prosedur lelaran x r+ = ( x 3 r + 3)/6 konvergen selang < x <. Kita dapat memilih x 0 dalam selang tersebut yang menjamin lelaran akan konvergen. Contoh 3.5 Gunakan metode lelaran titik-tetap untuk mencari akar persamaan x 3 3x + dalam selang [,] [PUR84] Catatan : Selang [,] ini sebenarnya tidak digunakan dalam proses lelaran sebagaimana halnya pada metode bagidua. Selang ini diberikan untuk memastikan bahwa suatu prosedur lelaran titik-tetap konvergen di dalamnya. Kurva fungsi y = x 3 3x + diperlihatkan pada Gambar 3. Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 30

Gambar 3. Kurva y = x 3 3x + Penyelesaian : (i) x r+ = ( x 3 r + )/3 Tetapi, karena g (x) = x > dalam selang [,], maka prosedur lelaran ini tidak digunakan. (ii) x r+ = (x r 3) Tetapi, karena g (x) = x/(x 3) 3 > dalam selang [,], maka prosedur lelaran ini tidak digunakan (iii) x r+ = 3/x r /x r Ternyata g (x) = ( 3x + )/x 3 di dalam selang [,], yaitu, g (x) naik dari g () = ke g () = /. Jadi, g (x) lebih kecil dari dalam selang [,]. Dengan mengambil x =.5, prosedur lelarannya konvergen ke akar x =.530889 seperti pada tabel berikut ini R 0 X.5.5555556.55306 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 3

43 44 45.530888.530889.530889 Contoh 3.5 menunjukkan bahwa ada dua hal yang mempengaruhi kekonvergenan prosedur lelaran :. Bentuk formula x r+ = g(x r ). Pemilihan tebakan awal x Catatan : Meskipun g (x) > menyatakan lelaran divergen, tetapi kita harus hati-hati dengan pernyataan ini. Sebabnya, walaupun xr divergen dari suatu akar, runtunan lelarannya mungkin konvergen ke akar yang lain. Kasus seperti ini ditunjukkan pada Contoh 3.6 di bawah ini. Contoh 3.6 Tentukan akar persamaan f(x) = x 4x + 3 = 0 dengan prosedur lelaran x r+ = (x r + 3)/4 Penyelesaian : Jika prosedur lelaran x r+ = (x r +3) konvergen ke titik-tetap s, maka limit x r = s r Sehingga s = (s + 3)/4 s 4s + 3 = 0 (s 3)(s ) = 0 Yang memberikan s = atau s = 3. Jadi, lelaran konvergen ke akar x = atau akar x = 3. Dari g(x) = (x + 3)/4 4 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 3

Diperoleh g (x) = x/ Gambarkan kurva y = x dan y = (x + 3)/4 seperti pada Gambar 3.. Prosedar lelaran akan konvergen bila g (x) > < x/ < Atau < x < Sehingga pemilihan x0 dalam selang - < x < menjamin lelaran konvergen ke akar x =. Dari Gambar 3. terlihat bahwa lelaran juga konvergen ke akar x = untuk pemilihan x0 dalam selang < x < 3. Padahal, kalau dihitung, dalam selang < x < 3 g (x) > yang menyatakan bahwa lelarannya divergen. Lelaran divergen dari akar x = 3 tetapi konvergen ke akar x =. Gambar 3. Kurva y = x dan y = (x + 3)/4 Sebagai contoh terakhir metode lelaran titik-tetap, mari kita hitung akar fungsi pada Contoh 3., yaitu f(x) = e x 5x. Contoh 3.7 Hitunglah akar f(x) = e x 5x dengan metode lelaran titik-tetap. Gunakan ɛ = 0.0000. Tebakan awal akar x0 = Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 33

Penyelesaian : Salah satu prosedur lelaran yang dapat dibuat adalah e x 5x = 0 e x = 5x x = e x /5 x x+ = xxxx( xxx(x x) ) 5 Tabel lelarannya : I Xr xr+ - xr 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0.500000 0.57434 0.595948 0.60453 0.60446 0.60500 0.60589 0.60544 0.60560 0.60565 0.60566 0.60567-0.07434 0.074 0.006506 0.00963 0.000593 0.00080 0.000054 0.00006 0.000005 0.00000 0.000000 Hampiran akar x = 0.60567 b. Metode Newton-Raphson 3 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 34

Diantara semua metode pencarian akar, metode Newton-Raphsonlah yang paling terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya. Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus Newton-Raphson, yaitu : a) Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri Dari gambar 3.3, gradien garis singgung di x r adalah m = f (x r ) = y x = f(x r ) 0 x r x r+ atau f (x r ) = f(x r) x r x r+ Sehingga prosedur lelaranmetode Newton-Raphson adalah x r+ = x r f(x r ) f (x r ), f (x r ) 0 b) Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Taylor Uraikan f(x r+ ) disekitar x r kedalam deret Taylor : f(x r+ ) f(x r ) + (x r+ x r )f (x r ) + (x r+ x r ) f (t), x r < t < x r+ Yang bila dipotong sampai suku orde- saja menjadi Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 35

f(x r+ ) f(x r ) + (x r+ x r )f (x r ) Dan karena persoalan mencari akar, maka f(x r+ ) = 0, sehingga : 0 = f(x_r ) + (x r+ ) x r ) f (x r ) atau x r+ = x r f(x r ) f (x r ), f (x r ) 0 Yang merupakan rumus Metode Newton-Raphson. Kondisi berhenti lelaran Newton-Raphson adalah bila x r+ x r < ε Atau bila menggunakan galat relatif hampiran x r+ x r < δ x r+ dengan ε dan δ adalah toleransi galat yang diinginkan. Catatan : Jika terjadi f (x r ) = 0, ulang kembali perhitungan lelaran dengan x 0 yang lain. Jika persamaan f(x) = 0 memiliki lebih dari satu akar, pemilihan x 0 yang berbeda-beda dapat menemukan akar yang lain. Dapat pula terjadi lelaran konvergen ke akar yang berbeda dari yang diharapkan (seperti halnya pada metode lelaran-titik tetap). Contoh Hitunglah akar f(x) = e x 5x dengan metode Newton-Raphson. Gunakan ε = 0,0000. Tebakan awal akar x 0 =. Penyelesaian : f(x) = e x 5x f (x) = e x 0x Prosedur lelaran Newton-Raphson : x r+ = x r ex 5x e x 0x Tebakan awal akar x 0 = Tabel lelarannya : Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 36

i x r x r+ x r 0 0,500000-0,68976 0,8976 0,605444 0,0353 3 0,60567 0,00077 4 0,60567 0,000000 Hampiran akar x = 0,60567 Contoh diatas memperlihatkan bahwa metode Newton-Raphson memerlukan sedikit lelaran, dibandingkan dengan metode bagi dua, metode regula falsi, dan metode lelaran titik tetap. Metode Newton- Raphson sangat berguna untuk menghitung fungsi-fungsi dasar, seperti akar bilangan, nilai e, arcsin (x), dan sebagainya. Secara umum, bila metode Newton-Raphson konvergen, kekonvergenannya itu berlangsung sangat cepat, seperti yang dilukiskan pada gambar 3.4. Titik potong garis singgung fungsi dengan sumbu-x semakin cepat bergerak mendekati akar sejati. Gambar 3.4 Kecepatan konvergensi metode Newton-Raphson sangat cepat Karena metode Newton-Raphson tergolong metode terbuka, maka dalam beberapa kasus lelarannya mungkin divergen. Bahkan, kalau Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 37

kurvanya seperti pada Gambar 3.5 serta pemilihan x 0 yang jauh dari akar sejati, lelarannya akan berosilasi disekitar cekungan lain. Gambar 3.5 Lelaran metode Newton-Raphson yang divergen Membuat grafik fungsi sangat membantu dalam pencarian akar. Grafik fungsi dapat memperlihatkan secara visual lokasi akar sejati. Dengan demikian tebakan awal yang bagus untuk akar dapat diturunkan. Pemilihan tebakan awal sebaiknya cukup dekat dengan akar. Selain itu, kita juga dapat mengetahui apakah fungsi tersebut mempunyai akar atau tidak. Pada kasus tidak ada akar, lelarannya akan divergen berosilasi. Kriteria konvergensi metode Newton-Raphson Apakah persyaratan agar metode Newton-Raphson konvergen? tinjau kembali bentuk umum prosedur lelaran metode terbuka. x r+ = g(x r ) Karena metode Newton-Raphson termasuk metode terbuka, maka dalam hal ini, g(x) = x f(x) f (x) Dengan mengingat syarat perlu agar lelaran konvergen adalah g (x) <, maka g (x) = [f (x)f (x) f(x)f (x)] [f (x)] Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 38

= f(x)f (x) [f (x)] Karena itu, metode Newton-Raphson akan konvergen bila Dengan syarat f (x) 0. f(x)f (x) [f (x)] < c. Metode Secant Modifikasi Metode Newton Raphson dinamakan Metode Secant. Berdasarkan gambar 3.6, dapat kita hitung gradien f (x) = y x = AC BC = f(x r) f(x r ) x r x r sulihkan kedalam rumus newton raphson: x r+ = x r f(x r) f (x r ) sehingga diperoleh: x r+ = x r f(x r)(x r x r ) f(x r ) f(x r ) Yang merupakan prosedur lelaran metode secant. Dalam hal ini, diperlukan dua buah tebakan awal akar, yaitu x 0 dan x. Kondisi berhenti lelaran adalah bila x r+ x r < ε (galat mutlak) atau Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 39

x r+ x r < δ (galat hampiran) x r+ Dengan ε dan δ adalah toleransi galat. Sepintas metode secant mirip dengan metode regula-falsi, namun sesungguhnya prinsip dasar keduanya berbeda, seperti yang dirangkum pada tebel berikut ini : Metode Regula-Falsi Metode Secant Diperlukan dua buah nili awal a dan b ( ujung-ujung selang) sedemikian sehingga f(a)f(b) < 0. Lelaran pertama : Diperlukan dua buah nilai awal x 0 dan x (tebakan awal akar), tetapi tidak harus f(x 0 )f(x ) < 0. Lelaran pertama : Pada lelaran pertama, tidak ada perbedaan antara regula-falsi dan secant. Perbedaan baru muncul pada lelaran kedua. Pada lelaran pertama tidak ada perbedaan antara secant dan regula falsi. Perbedaan baru muncul pada lelaran kedua. Lelaran kedua : Lelaran kedua : Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 40

Perpotongan garis lurus dengan sumbu-x tetap berada didalam selang yang mengandung akar. Perpotongan garis lurus dengan sumbu-x mungkin menjauhi akar. Berdasarkan no diatas, lelarannya selalu konvergen Berdasarkan no. diatas, lelarannya mungkin divergen. Contoh Hitunglah akar (x) = e x 5x dengan metode secant. Gunakan ε = 0.0000. Tebakan awal akar x 0 = 0,5 dan x =. Penyelesaian: I x r x r+ x r 0 0.500000 -.000000 0.500000 3-0.79704.79704 4 0.35035.03077 5-0.79594.030977 6-0.794846 0.00096 7-0.47759 0.3087 8-0.40089 0.07930 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 4

9-0.37494 0.06635 0-0.3750 0.0069-0.3748 0.000083-0.3748 0.000000 Akar x = -0.3748 Ternyata lelarannya mengarah ke akar yang lain, yaitu x = -0.3748 BAB IV SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LANJAR A. Bentuk Umum Sistem Persamaan Lanjar SPL dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut : Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 4

a x + a x + a n x n = b a x + a x + a n x n = b = a n x + a n x + a rn x n = b n Dengan menggunakan perkalian matriks, maka dapat ditulis persamaan : Ax = b A a ij (matriks berukuran n x n) x = x j (matriks berukuran n x ) b = b j (matriks berukuran n x ) Yaitu : a a a 3 a n x b a a a 3 a n x b [ ] [ ] = [ ] a n a n a n3 a nn x n b n Beberapa metode penyelesaian praktis sistem persamaan lanjar adalah : ) Metode Eliminasi Gauss a) Tanpa tata ancang pivoting Matriks yang berbentuk segitiga atas seperti persamaan berikut : a a a 3 a n x 0 a a 3 a n x 0 0 a 33 a 3n x 3 [ 0 0 0 a nn ] [ x n ] = b b b 3 [ b n ] Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulihan mundur Contoh soal : Selesaikan SPL dengan metode Eliminasi Gauss tanpa tata ancang pivoting berikut : x + 3x x3 = 5 4x + 4x - 3x3 = 3 -x + 3x -x3 = Penyelesaian 3 5 [ 4 4 3 3] b b 3 b 3 ( b ) Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 43

3 5 [ 0 7] 0 6 6 b 3 ( 3b ) 3 5 [ 0 7 ] 0 0 5 5 Solusi dengan teknik penyulihan mundur : ~ -5x3 = -5 ; x3 = 3 ~ -x x3 = -7 ; -x = -7 + 3 ; x = ~ x + 3x x3 = 5 ; x = 5-3x + x3 ; x = 5-6+ 3; x = Jadi solusinya adalah x = (,, 3) b) Tata ancang pivoting Prinsip tata ancang pivoting adalah : Jika app= 0, cari baris kdengan akp 0 dan k > p, lalu pertukarkan baris p dan baris k. Contoh soal : Selesaikan SPL berikut dengan metode eliminasi Gauss dengan tata ancang pivoting : x + x + x3 = 3x + 6x = 9 x + 8x+4x3 = 6 Penyelesaian [ 3 6 0 9] b 3b 8 4 6 b 3 b [ 0 0 3 3] b b 3 0 4 [ 0 4 ] 0 0 3 3 Solusi dengan teknik penyulihan mundur : ~ -3x3 = 3 ; x3 = - ~ 4x + x3 = ; 4x = 4 ; x = ~ x + x + x3= ; x = - ; x = Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 44

Jadi solusinya adalah x = (,, -) c. Soal dan Pembahasan Soal Dengan menggunakan 4 angka bena, selesaikan SPL berikut dengan metode eliminasi gauss tanpa tata ancang pivoting dan tata ancang pivoting! 0,0003x +,566x =,569 0,3454x,436x =,08 Penyelesaian a) Tanpa tata ancang pivoting Tentukan operasi baris pertama (0,0003 sebagai pivot) 0,0003,566 [ 0,3454,436,569,08 ] b 5b 0,0003,566 [ 0 804,569 805 ] Solusi dengan teknik penyulihan mundur diperoleh : ~ -804x = -805 ; x=,00 ~ 0,0003x+,566x =,569 ; x = 3,333 Jadi solusinya adalah x = (3,333 ;,00) b. Dengan tata ancang pivoting Baris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga 0,3454 menjadi pivot 0,3454,436 [ 0,0003,566,08,569 ] b 0,00b 0,3454,436 [ 0,568,08,568 ] Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh : ~,568x =,568 ; x =,000 ~ 0,3454x,436x =,08 ; x = 0 Jadi solusinya adalah x = (0,00 ;,000) Solusi ini lebih baik dari solusi a, karena nilainya mendekati nilai sejatinya. Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 45

) Metode Eliminasi Gauss Jordan Solusinya dapat langsung diperoleh dari vektor kolom b hasil eliminasi. Ax = b Ix = b Atau a a a 3 a n b 0 0 0 b a a a 3 a n b 0 0 0 b a 3 a 3 a 33 a 3n b 3 0 0 0 b 3 ( a n a n a n3 a nn b n) ( 0 0 0 b n ) Solusinya : x =b Contoh soal x = b...... x3 = b3 Selesaikan SPL di bawah ini dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss Jordan 3x 0,x 0,x3 = 7,85 0,x 7x 0,3x3 = -9,3 0,3x 0,x +0x3 = 7,4 Penyelesaian 3 0, 0, 7,85 /3. b ( 0, 7 0,3 9,3) 0,3 0, 0 7,4 0,0333333 0,0666667,6667 ( 0, 7 0,3 9,3 ) b 0, b 0,3 0, 0 7,4 b3 0, 3b 0,0333333 0,0666667,6667 ( 0 7,00333 0,933333 9,67) /7, 00333 b 0 0,90000 0,000 70,650 0,0333333 0,0666667,6667 b ( 0, 003333)b ( 0 0,048848,7930) 0 0,90000 0,000 70,650 b3 ( 0, 90000)b 0 0,068069,5356 ( 0 0,048848,7930) 0 0 0,000 70,0843 /0, 000. b3 0 0,068069,5356 b ( 0, 68069)b3 ( 0 0,048848,7930) b ( 0, 048848)b 0 0 7,00003 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 46

0 0 3,00000 ( 0 0,5000) 0 0 7,00003 Jadi solusinya adalah : x = 3,00000, x = -,5000, x3 = 7,00003 Soal dan Pembahasan Soal Diketahui SPL sebagai berikut : 4x x + x3 = 7 4x 8x + x3 = - -x + x +5x3 = 5 Selesaiakan SPL tersebut dengan menggunakan metode eliminasi gauss jordan! Penyelesian 4 7 [ 4 8 ] 4 b 5 5 4 4 4 [ 4 8 ] b +( 4)b 5 5 4 4 4 [ 0 7 0 8] 5 5 b 3 +()b 4 4 4 [ 0 7 0 8] 37 7 b 0 4 4 4 [ 0 0 8] 37 7 b 0 7 7 7 4 4 4 [ 0 0 4 ] 37 0 b 3 + ( ) b 7 7 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 47

4 4 4 [ 0 0 4 ] 33 0 0 b 3 4 [ 4 0 0 0 0 7 4 7 4 3 b + ( ] 4 ) b 0 b 4 4 + ( [ 0 0 4 ] 4 ) b 3 0 0 3 0 0 [ 0 0 4] 0 0 3 Jadi solusinya adalah x = (, 4, 3) 3) Matriks Balikan (Invers Matriks) Untuk matriks x : A = [ a a a a ] Maka matriks balikannya : A - = a.a a.a [ a a a a ] ; a. a a. a 0 Untuk matriks nxn, matriks balikannya dapat diperoleh dengan metode Eliminasi Gauss Jordan [A I] [I A ] a a a n 0 0 0 0 p p p n a a a n 0 0 0 0 p p p n [ ].. [ ] a n a n a nn 0 0 0 0 p n p n p nn A I I A - Metode matriks balikan i) AA - = A - A = I ii) AI = IA = A Berdasarkan dua kesamaan di atas, SPL Ax=b dapat dicari solusinya sbb : Ax = b (kedua ruas dikali A - ) Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 48

A - Ax = A - b Ix = A - b Jadi solusi dari SPL Ax = b adalah x = A - b dengan syarat A - ada, cara mengalikan A - dengan b ini dinamakan metode matriks balikan. Contoh soal Selesaikan SPL berikut dengan matriks balikan x x + x3 = 5 3x + x3 = 0 x + x3 = 5 Penyelesaian 0 0 [ 3 0 0 0] b 3b 0 0 0 b 3 b 0 0 [ 0 3 5 3 0] b 3b 0 0 0 0 0 [ 0 0 0 ] 0 3 5 3 0 b 3 3b 0 0 [ 0 0 0 ] 0 0 5 0 3 5 b 3 0 0 [ 0 0 0 ] 0 0 5 0 3 5 b 3 0 0 b +b [ 0 0 0 ] 0 0 0 3 5 5 0 0 0 b b 3 [ 0 0 0 ] 0 0 0 3 5 5 0 0 0 5 5 [ 0 0 0 ] 0 0 0 3 5 5 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 49

Jadi matriks balikan dari A adalah : 0 5 5 A = 0 [ 0 3 5 5 ] Solusinya adalah x = A -.b x 0 5 5 5 [ x ] = 0 [ x 3 [ 0 0] 3 5 5 5 ] x 0 + 4 3 [ x ] = [ 5 + 0 + 5] = [ 0] x 3 0 + 3 Soal dan Pembahasan Soal Diketahui SPL sebagai berikut : 4x x + x3 = 7 4x 8x + x3 = - -x + x +5x3 = 5 Selesaiakan SPL tersebut dengan menggunakan metode matriks balikan! Penyelesian 4 0 0 [ 4 8 0 0] 4 b 5 0 0 0 0 4 4 4 [ 4 8 0 0] b + ( 4)b 5 0 0 0 0 4 4 4 [ 0 7 0 0] 5 0 0 b 3 + b 0 0 4 4 4 [ 0 7 0 0] 7 b 0 0 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 50

4 4 0 0 0 [ 4 4 0 0 0 0 [ 4 4 0 0 0 0 [ 0 4 0 0 0 0 [ 0 0 0 0 0 0 [ 7 7 6 77 4 4 7 4 7 3 4 7 6 77 54 7 6 77 0 0 7 0 0 ] b 3 + ( ) b 0 0 7 4 0 0 0 7 77 8 7 77 3 77 7 77 ] b 3 0 ] 0 0 ] 0 b + 4 b b + ( 4 ) b 3 ] Solusinya adalah x = A -.b x [ x ] = x 3 x [ x ] = x 3 4 54 3 77 0 7 7 6 77 77 ] [ 7 [ ] 5 4 + 9 5 + 3 + 0 = [ 4 ] 6 [ 3 + 30 3 ] Diperoleh, x = (, 4, 3) 4) Metode Dekomposisi LU a) Bentuk umum matriks Dekomposisi LU A = LU Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 5

a a a 3 a n a a a 3 a n a 3 a 3 a 33 a 3n = [ a n a n a n3 a nn ] 0 0 0 l 0 0 l 3 l 3 0 [ l n l n l n3 ] [ u u u 3 u n 0 u u 3 u n 0 0 u 33 u 3n 0 0 0 u nn ] b) Solusi SPL dengan metode Dekomposisi LU Penyelesaian Ax = b dengan metode Dekomposisi LU adalah sebagai berikut : Ax = b (faktorkan A menjadi L dan U) A = LU jadi; Ax = b LUx = b misalkan Ux = y, maka Ly = b Untuk memperoleh nilai y, y,...,yn, digunakan teknik penyulihan maju. y y y 3 b b b 3 0 0 0 l 0 0 Ly = b l 3 l 3 0 = [ l n l n l n3 ] [ y n ] [ b n ] Dan untuk memperoleh nilai x, x,... xn digunakan teknik penyulihan mundur. u u u 3 u n x 0 u u 3 u n x Ux = y 0 0 u 33 u 3n x 3 [ 0 0 0 u nn ] [ x n ] = y y y 3 [ y n ] Jadi langkah-langkah menghitung solusi SPL dengan metode Dekomposisi LU adalah sebagai berikut :. Bentuklah matriks L dan U dari A Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 5

. Pecahkan Ly = b, lalu hitung y dengan teknik penyulihan maju 3. Pecahkan Ux = b, lalu hitung x dengan teknik penyulihan mundur Contoh soal Carilah solusi SPL dari : x + x x3 = x + x +x3 = 5 -x + x +x3 = Penyelesaian : [ ] b b b 3 ( b ) [ 0 0 3 ] b b 3 0 0 [ 0 0 ] = U 0 0 3 Tukarkan pula b dengan b3 pada matriks L, kecuali elemen diagonalnya, dan pada vektor b. Lalu tempatkan l3= 0, sehingga : 0 0 [ 0] = L 0 [ ] = b 5 Jadi ; 0 0 A = [ ] = [ 0] [ 0 0 ] 0 0 0 3 Lalu cari ly = b y 0 0 [ 0] [ y ] = [ ] 0 y 3 5 Dengan teknik penyulihan maju, maka : ~ y = Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 53

~ -y + y = ; y = + y = + = ~ y + y3 = 5 ; y3 = 5 - y = 5 () = 3 Kemudian cari Ux = y x [ 0 0 ] [ x ] = [ ] 0 0 3 x 3 3 Dengan teknik penyulihan mundur, maka : ~ 3x3 = 3 ; x3 = ~ x = ; x = ~ x + x x3 = ; x = x + x3 ; x = - + ; x = Jadi didapat x = (,, ) Soal dan Pembahasan Soal Diketahui SPL sebagai berikut : 4x x + x3 = 7 4x 8x + x3 = - -x + x +5x3 = 5 Selesaiakan SPL tersebut dengan menggunakan metode matriks Dekomposisi LU! Penyelesian 4 0 0 4 [ 4 8 ] = [ 0 0] [ 4 8 ] 5 0 5 Eliminasi A menjadi matriks segitiga atas : 4 [ 4 8 ] b b 5 4 [ 0 7 0] 5 b 3 ( ) b Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 54

4 [ 0 7 0 ] 0 b 3 ( ) b 4 4 [ 0 7 0 ] 0 0 Maka diperoleh L = [ 0 0 4 0] dan U = [ 0 7 0 ] 0 0 Cari ly = b [ 4 0 0 y 7 0] [ y ] = [ ] y 3 5 4 Dengan teknik penyulihan maju, maka : ~ y = 7 ~ -y + y = - ; y = - - 7 = -8 ~ - y - 4 y + y3= 5 ; y3 = 5 + 7 33 ; y3 = Kemudian cari Ux = y 4 x 7 [ 0 7 0 ] [ x ] = [ 8] 33 0 0 x 3 Dengan teknik penyulihan mundur, maka : ~ 33 x3 = ; x3 = 3 ~ -7x = -8 ; x = 4 ~ 4x - x + x3 = 7 ; x = Jadi didapat x = (, 4, 3) 5) Metode Reduksi Crout LU = A, maka hasil kali L dan U sebagai berikut : 0 0 u u u 3 L = [ l 0] ; U = [ 0 u u 3 ] l 3 l 3 0 0 u 33 u u u 3 a a a 3 [ l u l u +u l u 3 +u 3 ] = [ a a a 3 ] l 3 u l 3 u +l 3 u l 3 u 3 +l 3 u 3 +u 33 a 3 a 3 a 33 Pendidikan Matematika STKIP MPL Metode Numerik 55