PERANGKAT PEMBELAJARAN

PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : TEORI BILANGAN KODE : MKK206515 DOSEN : JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

KONTRAK PEMBELAJARAN TEORI BILANGAN MKK206515 Semester I / 2 SKS Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd. FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

A. Identitas Mata Kuliah Mata Kuliah : TEORI BIANGAN Semester / SKS : I / 2 SKS Pengampu Mata Kuliah : JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd. Kode Mata Kuliah : MKK206515 B. Manfaat Mata Kuliah Setelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat : 1. Mengenal sistem bilangan cacah, sistem bilangan bulat, sistem biangan rasional, dan sistem bilangan real. 2. Menuliskan deret dengan notasi sigma, membuktikan dengan induksi matematika, dan menjabarkan teorema binomial. 3. Mengidentifikasi beberapa sistem matematika. 4. Mengidentifikasi konsep, sifat dan hubungan tentang habis dibagi, faktor persekutuan dan kelipatan persekutuan biangan buat, biaangan prima dan faktorisasi prima. 5. Menjelaskan kongruensi dan menyelesaikan suatu perkongruenan. C. Deskripsi Mata Kuliah Mata kuliah ini akan mendiskusikan beberapa konsep dasar dan penting dalam teori bilangan. Mata kuliah ini juga memberikan wahana kepada mahasiswa untuk berfikir kreatif dalam menyelesaikan suatu permasalahan dalam teori bilangan. Dengan mengacu sasaran di atas, mata kuiah ini diberikan dengan menekankan pada pemberian waktu yang relatif banyak kepada mahasiswa untuk melakukan problem solving dari permasalahan sederhana hingga yang cukup rumit. Adapun bahan mata kuliah ini meliputi: membuktikan sifa-sifat/ hukum-hukum operasi artimatika dalam berbagai sistem bilangan, prinsip induksi, dan teorema binomial. Materi kemudian dilanjutkan dengan teori kongruensi, teorema fermat, fungsi teori bilangan, serta menerapkan kekongruenan untuk membuktikan keterbagian suatu bilangan bulat oleh bilangan bulat. D. Kompetensi Dasar dan Indikator Kompetensi Dasar 1. Membuktikan teorema/rumus dengan cara induksi matematika dan menerapkan teorema binomial pada penjabaran bentuk perpangkatan(a+b) n 2. Menjelaskan definisi dari berbagai sistem matematika 3. Mendefinisikan relasi habis dibagi, factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK. 4. Menjelaskan konsep dasar tentang kekongruenan dan menerapkan konsep kekongruenan untuk untuk membuktikan keterbagian Indikator 1.1 Menggunakan langkah langkah pembuktian dengan induksi matematika 1.2 Menentukan koefisien binomial, menurunkan sifat-sifat koefisien, menerapkan sifat-sifat koefisien binomial dalam memecahkan masalah 1.3 Terampil menggunakan sifat-sifat koefisien binomial dalam perhitungan perhitungan. 2.1 Membuktikan sifat-sifat aljabar dari grupoid, semigrup, dan monoid. 2.2 Memberikan contoh grupoid, semigrup, dan monoid 3.1 Menentukan Factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK berdasarkan definisi. 3.2 Membuktikan beberapa teorema yang berkenaan dengan habis dibagi. 3.3 Membuktikan teorema yang berkenaan dengan factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB dan KPK. 3.4 Mencari FPB dan KPK dari bilangan bulat dengan cara faktorisasi prima dan algoritma Euclides. 4.1 Membuktikan beberapa teorema kekongruenan. 4.2 Membuktikan keterbagian bilangan bulat oleh bilangan bulat dengan dasar konsep kekongruenan. 4.3 Menentukan penyelesaikan perkongruenan linier dengan berdasar pada teorema teorema

suatu bilangan bulat oleh bilangan bulat. perkongruenan dan teorema sisa Cina. E. Organisasi Materi KD 1 KD 2 KD 3 KD 4 F. Pendekatan Dan Strategi Pembelajaran Strategi pembelajaran yang digunakan mengarah pada Active Learning. Metode-metode yang digunakan adalah sebagai berikut : 1. Practice Rehearsal Pairs 2. Kelompok Belajar (The Study Group) 3. Two stay two stray 4. Gallery of Learning 5. The Learning Cell G. Sumber Belajar [1] Herry Sukarman. 1995. Teori Bilangan. Jakarta : Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan Menengah [2] Purwoto. 2000. Teori Bilangan. Surakarta : UNS Press [3] Soehardjo. 1996. Struktur Aljabar. Surakarta : UNS Press [4] Modul Kuliah Teori Bilangan H. Penilaian Dan Kriteria Pembelajaran 1. Presensi dan Keaktifan : 30 % 2. Tugas Terstruktur : 20 % 3. UTS : 20 % 4. UAS : 30 % 100 % I. Jadwal Perkuliahan Pertemuan P E M B E L A J A R A N 1 Materi : Pembuktian dengan induksi matematika 2 Materi : Menentukan koefisien binomial, menurunkan sifat-sifat koefisien, menerapkan sifat-sifat koefisien binomial dalam memecahkan masalah 3 Materi : Terampil menggunakan sifat-sifat koefisien binomial 4 Materi : Membuktikan sifat-sifat aljabar dari grupoid, semigrup, dan monoid. 5 Materi : Memberikan contoh grupoid, semigrup, dan monoid 6 QUIZ 7 REVIEW: Persiapan Ujian Semester

8 Ujian Tengah Semester 9 Materi : Menentukan Factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK berdasarkan definisi. 10 Materi : Membuktikan beberapa teorema yang berkenaan dengan habis dibagi 11 12 13 14 15 Materi : Membuktikan teorema yang berkenaan dengan factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB dan KPK Materi : Mencari FPB dan KPK dari bilangan bulat dengan cara faktorisasi prima dan algoritma Euclides. Materi : Membuktikan keterbagian bilangan bulat oleh bilangan bulat dengan dasar konsep kekongruenan. Materi : Menentukan penyelesaikan perkongruenan linier dengan berdasar pada teorema teorema perkongruenan dan teorema sisa Cina. REVIEW: Persiapan Ujian Semester 16 Ujian Akhir Semester

UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN SILABUS Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Kode Mata Kuliah : MKK206515 Mata Kuliah : TEORI GRAPH Bobot : 2 SKS Semester : I Mata Kuliah Prasyarat : - Standar Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar bilangan, deret, notasi sigma, induksi matematika, dan teorema binomial, serta mampu mengidentifikasi beberapa sistem matematika, menjelaskan sifat keterbagian dan kongruensi kemudian membuktikan beberapa teorema yang berkaitan dengan bilangan. Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok 1. Membuktikan teorema/rumus dengan cara induksi matematika dan menerapkan teorema binomial pada penjabaran bentuk perpangkatan(a+b) n 1.1 Terampil menggunakan langkah langkah pembuktian dengan induksi matematika 1.2 Menentukan koefisien binomial, menurunkan sifat-sifat koefisien, menerapkan sifat-sifat koefisien binomial dalam memecahkan masalah 1.3 Terampil menggunakan sifat-sifat koefisien binomial dalam perhitungan perhitungan. Tatap muka Memberikan cara dan syarat pembuktian dengan induksi matematika Menjelaskan tentang penjabaran binomial Kegiatan terstruktur Membuktikan pernyataan dengan induksi matematika Menentukan penjabaran (a+b) n Post-test Induksi Matematika Teorema Binomial Alokasi Waktu (menit) Sumber/ Bahan/ Alat 3 100 Sumber : Buku panduan mata kuliah Teori Bilangan Alat : Laptop, LCD, Whiteboard Penilaian/ Evaluasi Bentuk evaluasi : Pre-test Post-test Instrumen : Lembar Kerja Individu Lembar Kegiatan kelompok 2. Menjelaskan definisi dari berbagai sistem matematika 2.1 Membuktikan sifat-sifat aljabar dari grupoid, semigrup, dan monoid. 2.2 Memberikan contoh grupoid, semigrup, dan monoid Tatap muka Menjelaskan sifat-sifat aljabar dari grupoid, semigrup, dan monoid Kegiatan terstruktur Membuktikan sifat-sifat aljabar dari grupoid, semigrup, dan monoid Post-test Sistem Matematika 3 100 Sumber : Buku panduan mata kuliah Teori Bilangan Alat : Laptop, LCD, Whiteboard Bentuk evaluasi : Pre-test Post-test Instrumen : Lembar Kerja Individu Lembar Kegiatan kelompok

3. Mendefinisikan relasi habis dibagi, factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK. 4.1 Menentukan Factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK berdasarkan definisi. 4.2 Membuktikan beberapa teorema yang berkenaan dengan habis dibagi. 4.3 Membuktikan teorema yang berkenaan dengan factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB dan KPK. 4.4 Mencari FPB dan KPK dari bilangan bulat dengan cara faktorisasi prima dan algoritma Euclides. Tatap muka Menjelaskan cara menentukan Factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK berdasarkan definisi. Membimbing cara membuktikan beberapa teorema yang berkenaan dengan habis dibagi. Membimbing cara membuktikan teorema yang berkenaan dengan factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB dan KPK. Menjelaskan cara mencari FPB dan KPK dari bilangan bulat dengan cara faktorisasi prima dan algoritma Euclides. Pembagian 4 150 Sumber : Buku panduan mata kuliah Teori Bilangan Alat : Laptop, LCD, Whiteboard Bentuk evaluasi : Pre-test Post-test Instrumen : Lembar Kerja Individu Lembar Kegiatan kelompok 4. Menjelaskan konsep dasar tentang kekongruenan dan menerapkan konsep kekongruenan untuk untuk membuktikan keterbagian suatu bilangan bulat oleh bilangan bulat. 4.1 Membuktikan beberapa teorema kekongruenan. 4.2 Membuktikan keterbagian bilangan bulat oleh bilangan bulat dengan dasar konsep kekongruenan. 4.3 Menentukan penyelesaikan perkongruenan linier dengan berdasar pada teorema teorema perkongruenan dan teorema sisa Cina. Kegiatan terstruktur Menentukan FPB, dan KPK berdasarkan definisi. Membuktikan beberapa teorema yang berkenaan dengan habis dibagi. Mencari FPB dan KPK dari bilangan bulat dengan cara faktorisasi prima dan algoritma Euclides. Post-test Tatap muka Membuktikan beberapa teorema kekongruenan. Membuktikan keterbagian bilangan bulat Menentukan penyelesaikan perkongruenan linier Kegiatan terstruktur Mendiskusikan berbagai permasalahan yang dapat diselesaikan dengan graph Post-test Teorema Sisa 4 150 Sumber : Buku panduan mata kuliah TEORI GRAPH Alat : Laptop, LCD, Whiteboard Bentuk evaluasi : Pre-test Post-test Instrumen : Lembar Kerja Individu Lembar Kegiatan kelompok

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd. Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : TEORI BILANGAN Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 2 SKS Semester : I Pertemuan ke- : 1 s.d 3 Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar bilangan, deret, notasi sigma, induksi matematika, dan teorema binomial, serta mampu mengidentifikasi beberapa sistem matematika, menjelaskan sifat keterbagian dan kongruensi kemudian membuktikan beberapa teorema yang berkaitan dengan bilangan Kompetensi Dasar : 1. Membuktikan teorema/rumus dengan cara induksi matematika dan menerapkan teorema binomial pada penjabaran bentuk perpangkatan(a+b) n. Indikator : 1.1 Menggunakan langkah langkah pembuktian dengan induksi matematika 1.2 Menentukan koefisien binomial, menurunkan sifat-sifat koefisien, menerapkan sifat-sifat koefisien binomial dalam memecahkan masalah 1.3 Terampil menggunakan sifat-sifat koefisien binomial dalam perhitungan. Tujuan : Memembuktikan pernyataan dengan induksi matematika Menentukan koefisien binomial, menurunkan sifat-sifat koefisien, menerapkan sifat-sifat koefisien binomial dalam memecahkan masalah Menggunakan sifat-sifat koefisien binomial dalam perhitungan. MATERI Perhatikan kesamaan-kesamaan berikut : INDUKSI MATEMATIKA 1 = ½ (1 x 2) 1 + 2 = ½ (2 x 3) 1 + 2 + 3 = ½ (3 x 4) 1 + 2 + 3 + 4 = ½ (4 x 5) Bentuk umum dari kesamaan-kesamaan di atas diduga seperti berikut : 1 + 2 + 3 + 4 +... + n = ½ [ n (n +1) ] dengan n N Akan tetapi dugaan tersebut tidak bisa langsung diklaim benar, sehingga dibutuhkan pembuktian. Cara yang dapat digunakan untuk membuktikan kesamaan tersebut adalah dengan Induksi Matematika. Note : Bagaimana membuktikan suatu pernyataan P(n) benar nn? Langkah-langkah pembuktian dengan menggunakan induksi matematika adalah sebagai berikut : a. Tunjukkan bahwa P(n) berlaku benar untuk n = 1 b. Asumsikan bahwa P(n) berlaku benar untuk suatu bilangan asli k c. Buktikan bahwa P(n) berlaku benar untuk n = k + 1

Contoh Soal : Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + 4 +... + n = ½ [ n (n +1) ] benar nn! Bukti : Misalkan P(n) 1 + 2 + 3 + 4 +... + n = ½ [ n (n +1) ] a. Tunjukkan bahwa P(n) berlaku benar untuk n = 1 Perhatikan : Ruas kiri dari P (1) = 1 Ruas kanan dari P(1) = ½ ( 2 x 1 ) = 1 Karena ruas kanan P(n) = ruas kiri P(n) maka telah ditunjukkan bahwa P(n) benar untuk n = 1 b. Asumsikan bahwa P(n) berlaku benar untuk suatu bilangan asli k Asumsi : 1 + 2 + 3 + 4 +... + k = ½ [ k (k +1) ] benar c. Buktikan bahwa P(n) berlaku benar untuk n = k + 1 Jadi harus dibuktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + 4 +... + k + (k+1) = ½ [ (k+1) (k +2) ] benar Perhatikan : 1 + 2 + 3 + 4 +... + k + (k+1) = { 1 + 2 + 3 + 4 +... + k } + (k+1) = ½ [ k (k +1) ] + (k+1) dari asumsi = (k+1) ( ½ k + 1) = (k+1) ½ (k+2) = ½ (k+1) (k +2) Telah ditunjukkan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1 Kesimpulan : P(n) 1 + 2 + 3 + 4 +... + n = ½ [ n (n +1) ] benar nn TEOREMA BINOMIAL Sebelum mempelajari teorema binomial, sebelumnya harus diingat terlebih dahulu tentang kombinasi dari n obyek yang diambil dari r obyek. Kombinasi tersebut dinotasikan dengan : C(n,r) atau ( ) dan dirumuskan : ( ) = ( ) SEGITIGA PASCAL Contoh : Misal ada 3 kotak yang masing-masing berisi 1 bola merah dan 1 bola putih seperti terlihat pada gambar: Dari ketiga kotak tersebut akan diambil masing-masing 1 buah bola dari masing-masing kotak. Berbagai kemungkinan kejadian yang mungkin adalah : Terambil 3 merah : ( ) = 1 cara pengambilan Terambil 2 merah : ( ) = 3 cara pengambilan Terambil 1 merah : ( ) = 3 cara pengambilan Tidak terambil merah : ( ) = 1 cara pengambilan

Jika contoh tersebut digunakan untuk menyatakan suku banyak yang berasal dari (a + x) 3 dengan 3 menyatakan perulangan perkalian unsur yang sama, yaitu : (a + x) 3 = (a + x) (a + x) (a + x) Maka untuk menjabarkan bentuk perpangkatan tersebut dapat kita analogikan dengan kasus pada contoh 1, maka kita peroleh : (a + x) 3 = aaa + aax + axa + xaa + axx + xax + xxa + xxx = a 3 + 3a 2 x + 3ax 2 + x 3 = ( ) a 3 + ( ) a 2 x + ( ) ax 2 + ( )x 3 Dengan argumentasi yang sama dengan ilustrasi di atas diperoleh : (a + x) 0 = ( ) (a + x) 1 = ( ) a + ( ) x (a + x) 2 = ( ) a 2 + ( ) ax + ( ) x 2 (a + x) 3 = ( ) a 3 + ( ) a 2 x + ( ) ax 2 + ( )x 3 (a + x) 4 = ( ) a 4 + ( ) a 3 x + ( ) a 2 x 2 + ( ) ax 3 + ( ) x 4..... (a + x) n =... Koefisien-koefisien pada penjabaran bentuk perpangkatan tersebut dapat disajikan dalam bentuk sebagai berikut : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 dan seterusnya... Bentuk tersebut dikenal dengan nama SEGITIGA PASCAL. Teorema (1 + x) n = ( ) + ( ) x + ( ) x 2 + ( ) x 3 +... + ( ) x k + ( ) x n Teorema Binomial Teorema 1 : ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +... + ( ) = 2 n Teorema 2 : ( ) = ( ) Teorema 3 : ( ) = ( ) + ( ) Teorema 4 : ( ) ( ) = ( ) - ( ) Teorema 5 : k. ( ) = n ( ) Teorema 6 : a. ( ) + ( ) + ( ) +... + ( ) = ( ) b. ( ) + ( ) + ( ) +... + ( ) = ( ) Teorema 7 : ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +... + ( ) = ( )

METODE PEMBELAJARAN Learning Cell LANGKAH PEMBELAJARAN PERTEMUAN 1 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang pembuktian pernyataan. 2. Penyajian Eksplorasi a. Menjelaskan tentang langkah-langkah induksi matematika.. b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok. Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi beberapa pertanyaan tentang pembuktian dengan induksi matematika. b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup menuliskan permasalahan tentang isomorphisme graph. c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II bertanya, dan grup I menjawab. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu sebuah graph dengan ketentuan tertentu, kemudian diminta membuat sebuah graph yang isomorphic dengan graph tersebut. Alokasi Waktu 30 menit 1 1 PERTEMUAN 2 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi Mengulang kembali tentang induksi matematika. b. Motivasi Penjabaran bentuk perpangkatan(a+b) n. 2. Penyajian Eksplorasi a. Menjelaskan tentang teorema Binomial. b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok. Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi contoh permasalahan tentang penjabaran binomial. b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup menuliskan permasalahan bipartisi graph. c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II bertanya, dan grup I menjawab. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diberi permasalahan tentang teorema binomial dan satu buah soal tentang teorema binom. Alokasi Waktu 10 menit 1 1 PERTEMUAN 3

No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi dan motivasi Membahas kembali tentang teorema binomial. 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan soal pengembangan teorema binomial. b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok. Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi contoh permasalahan tentang teorema binomial. b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup menuliskan permasalahan subgraph dan spanning sub graph. c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II bertanya, dan grup I menjawab. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuktikan pernyataan dengan menggunaka teorema binomial.. Alokasi Waktu 10 menit 1 MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Herry Sukarman. 1995. Teori Bilangan. Jakarta : Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan Menengah [2] Purwoto. 2000. Teori Bilangan. Surakarta : UNS Press [3] Soehardjo. 1996. Struktur Aljabar. Surakarta : UNS Press PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian 3. Contoh Instrumen : Terlampir

INDUKSI MATEMATIKA 1. Buktikan bahwa : + + +... + ( ) ( ) = benar nn 2. Buktikan bahwa... = benar nn 3. Buktikan bahwa + + +... + ( ) = benar nn 4. Buktikan pernyataan berikut dengan induksi matematika : 3 p 3p+1 benar p 2, p N 5. Buktikan bahwa 3 4n 1 habis dibagi 80 nn 6. Buktikan bahwa 11 n 4 n habis dibagi 7 nn 7. Buktikan bahwa ( 2 n.2 n 1 ) habis dibagi 3 nn

TEOREMA BINOMIAL 1. Buktikan bahwa ( ) + ( ) + ( ) +... = ( ) + ( ) + ( ) +... = 2 n-1 2. Buktikan bahwa ( ) + 2 ( ) + 3 ( ) +... + n ( ) = n. 2 n-1 3. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 +... + n = ( ) benar nn 4. Berdasarkan teorema 3 dan 1 buktikan pernyataan berikut : ( ) + ( ) + ( ) + 2( ) + ( ) + ( ) +... + ( ) + ( ) = 2 n 5. Berdasarkan teorema 5, 2 dan 7, buktikan pernyataan berikut : ( ) ( ) + ( ) ( ) +... + ( ) ( ) = ( ) ( )

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd. Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : TEORI BILANGAN Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 2 SKS Semester : I Pertemuan ke- : 4 s.d 5 Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar bilangan, deret, notasi sigma, induksi matematika, dan teorema binomial, serta mampu mengidentifikasi beberapa sistem matematika, menjelaskan sifat keterbagian dan kongruensi kemudian membuktikan beberapa teorema yang berkaitan dengan bilangan Kompetensi Dasar : 2. Menjelaskan definisi dari berbagai sistem matematika. Indikator : 2.1 Membuktikan sifat-sifat aljabar dari grupoid, semigrup, dan monoid 2.2 Memberikan contoh grupoid, semigrup, dan monoid Tujuan : Membuktikan sifat-sifat aljabar dari grupoid, semigrup, dan monoid Memberikan contoh grupoid, semigrup, dan monoid. MATERI Definisi : OPERASI BINER Bila S suatu himpunan tak kosong, maka yang dimaksud dengan operasi biner * pada S adalah suatu pemetaan (fungsi) yang mengawankan setiap pasangan berurutan (a, b) S x S dengan tepat satu elemen (a*b) S. SIFAT-SIFAT OPERASI BINER Komutatif Operasi biner * pada himpunan S bersifat komutatif jika dan hanya jika a, b S maka berlaku : a * b = b * a Asosiatif Operasi biner * pada himpunan S bersifat komutatif jika dan hanya jika a, b, c S maka berlaku : (a * b) * c = a * (b * c) Elemen identitas Suatu himpunan S dikatakan memiliki elemen identitas (elemen netral) terhadap operasi biner * jika dan hanya jika es as e * a = a * e = a Elemen invers Himpunan S terhadap operasi biner * mempunyai elemen identitas e dikatakan memiliki elemen invers apabila as, cs a*c = c*a = e. Invers dari a dinotasikan dengan a 1.

SISTEM MATEMATIKA Jika diberikan suatu himpunan tak kosong S dengan operasi biner *, maka : Groupoid Tertutup Semi Group Tertutup Asosiatif Tertutup (S, *) Monoid Asosiatif Memiliki Elemen Identitas Group Tertutup Asosiatif Memiliki Elemen Identitas Memiliki Elemen Invers METODE PEMBELAJARAN Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning LANGKAH PEMBELAJARAN PERTEMUAN 4 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas tentang teorema binomial. 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang sistem matematika. Elaborasi a. Memberikan permaslahan tentang sistem matematika. b. Kegiatan Kelompok Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan penyelesaiannya. Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat yang telah disediakan. c. Diskusi antar kelompok 3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain. 3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan bertanya pekerjaan kelompok lain. Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang sudah dibuat dikerjakan mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Memberikan sebuah himpunan dengan operasi tertentu, kemudian mahasiswa diminta menentukan apakah itu merupakan groupiud, semigroup, monoid, atau group. Alokasi Waktu 1 30 menit 1

PERTEMUAN 5 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Membahas ulang tentang sistem matematika. 2. Penyajian Eksplorasi Meminta mahasiswa menjelaskan tentang ciri-ciri dari groupoid, semigroup, monoid, dan group. Elaborasi a. Memberikan permasalahan tentang sistem matematika. b. Kegiatan Kelompok Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan penyelesaiannya, kemudian setiap kelompok diminta membuat sebuah contoh group Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat yang telah disediakan. c. Diskusi antar kelompok 3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain. 3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan bertanya pekerjaan kelompok lain. Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang sudah dibuat dikerjakan mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai Sistem Matematika Alokasi Waktu 10 menit 2 30 menit 1 MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Herry Sukarman. 1995. Teori Bilangan. Jakarta : Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan Menengah [2] Purwoto. 2000. Teori Bilangan. Surakarta : UNS Press [3] Soehardjo. 1996. Struktur Aljabar. Surakarta : UNS Press PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian 3. Contoh Instrumen : Terlampir

SISTEM MATEMATIKA 1. Q adalah himpunan bilangan rasional. Operasi biner di dalam Q didefinisikan dengan : a b = a + b ab, a, b, Q. Tunjukkan bahwa (Q, ) adalah suatu groupoid! 2. Q adalah himpunan bilangan rasional. Tunjukkan bahwa (Q, ) adalah suatu semi group! 3. R + adalah himpunan bilangan real positif. Tunjukkan bahwa (R +, ) adalah suatu monoid! 4. Jika E = himpunan bilangan bulat genap. Tunjukkan bahwa (E, +) adalah suatu group!

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd. Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : TEORI BILANGAN Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 2 SKS Semester : I Pertemuan ke- : 9 s.d 12 Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar bilangan, deret, notasi sigma, induksi matematika, dan teorema binomial, serta mampu mengidentifikasi beberapa sistem matematika, menjelaskan sifat keterbagian dan kongruensi kemudian membuktikan beberapa teorema yang berkaitan dengan bilangan Kompetensi Dasar : 3. Mendefinisikan relasi habis dibagi, factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK. Indikator : 3.1 Menentukan Factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK berdasarkan definisi 3.2 Membuktikan beberapa teorema yang berkenaan dengan habis dibagi 3.3 Membuktikan teorema yang berkenaan dengan factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB dan KPK 3.4 Mencari FPB dan KPK dari bilangan bulat dengan cara faktorisasi prima dan algoritma Euclides Tujuan : Menentukan FPB, dan KPK berdasarkan definisi Membuktikan teorema pembagian Membuktikan teorema fator Mencari FPB dan KPK dengan algoritma Euclides Definisi 3.1 : MATERI HABIS DIBAGI Bilangan bulat a (a 0) membagi habis bilangan bulat b yang ditulis a b jika dan hanya jika kz b = a.k. Jika a tidak membagi habis b ditulis a b. Teorema 3.1 1. Jika a b dan b c maka a c 2. Jika a b dan a c maka a (b+c) 3. Jika a b maka a b.c untuk sebarang bilangan bulat c 4. Jika a b dan a c maka a (mb+mc) untuk sebarang bilangan bulat m 5. Jika a b dan b a maka a = b atau a = b 6. Jika a b dengan a dan b bilangan bulat positif, maka a < b 7. Jika a b dan b 0 maka a < b PEMBAGIAN BERSISA Untuk bilangan-bilangan bulat a dan b, jika a b maka pembagan itu akan bersisa.

Teorema : a, b Z, a > 0, p, r Z b = a.p + r dengan 0 r a. Jika a b maka r memenuhi ketidaksamaan 0 r a. PEMBAGI BERSAMA TERBESAR Definisi 3.2 : Suatu bilangan d adalah faktor persekutuan dari a dan b jika dan hanya jika d a dan d b. Definisi 3.3 : Ambil a dan b bilangan bulat tak nol, d adalah FPB dari a dan b jika dan hanya jika : 1) d > 0 2) d a dan d b 3) bila e a dan e b maka e d FPB dari a dan b ditulis dengan FPB (a, b). Jika FPB (a, b) = 1, maka dikatakan bahwa a dan b adalah dua bilangan bulat yang prima relatif atau koprim. Teorema 3.2 : Jika b = a.p + r maka FPB (b, a) = FPB (a, r) (Bukti sebagai latihan) Contoh : Ambil 2 buah bilangan 24 dan 9, dengan 9 24 akibatnya diperoleh persamaan berikut : 24 = 9.2 + 6 Perhatikan bahwa : FPB (24, 9) = 3 FPB ( 9, 6) = 3 FPB (24, 9) = FPB (9, 6) = 3 Jadi kalau ingin menghitung FPB (24, 9) bisa dilakukan dengan menyederhanakan menjadi menghitung FPB (9, 6). ALGORITMA EUCLIDES Jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif, dengan menerapkan algoritma pembagian berkali-kali, maka diperoleh persamaan berikut : b = a.p + r dengan 0 r a a = r.q1 + r1 dengan 0 r1 r r = r1.q2 + r2 dengan 0 r2 r1... rj 2 = rj 1.qj + rj dengan 0 rj rj 1 rj 1 = rj.qj+1 Maka FPB (a, b) = rj. Apabila a, b Z, maka : FPB (a, b) = FPB (a, b) = FPB (a, b) = FPB (a, b)

Teorema 3.3 : Jika FPB (a, b) = d maka x, y Z, ax + by = d Contoh : Jika FPB (247, 299) = 13, maka tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan : 247x + 299y = 13! Solusi : Misalkan a = 247 dan b = 299, dengan algoritma Euclides diperoleh : 299 = 247. 1 + 52 247 = 52. 4 + 39 52 = 39. 1 + 13 39 = 13. 3 dari algoritma di atas diperoleh FPB (247, 299) = 13. Akan dicari x, y Z, 247x + 299y = 13. Perhatikan : 13 = 52. 1 39 13 = 52. 1 (247 52. 4) 13 = 52. 5 247 13 = (299 247. 1) 5 247 13 = 299. 5 247. 6 13 = 299 (5) + 247 (6) Jadi diperoleh x = 5 dan y = 6 247x + 299y = 13 Teorema 3.4 : 1. Jika d ab dan FPB (d, a) = 1 maka d b 2. Jika c a dan c b dengan FPB (a, b) = d, maka c d KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL Definisi 3.4 : Jika a1, a2, a3,..., an adalah bilangan bulat tak nol, maka kelipatan persekutuan terkecil (KPK) adalah bilangan bulat positif terkecil diantara kelipatan persekutuan dari a1, a2, a3,..., an. KPK dari a1, a2, a3,..., an dinyatakan dengan KPK [a1, a2, a3,..., an] Teorema 3. 5 : 1. Jika b suatu kelipatan persekutuan dari a1, a2, a3,..., an, maka KPK [a1, a2, a3,..., an] b 2. Jika m 0 maka KPK [ma, mb] = m. KPK [a, b] 3. Jika a dan b bilangan bulat positif, maka KPK [a, b] = ( ) BILANGAN PRIMA dan FAKTORISASI PRIMA Berdasarkan faktornya, bilangan dibagi menjadi 3 yaitu : a. Bilangan Uner b. Bilangan Prima c. Bilangan Komposit

Teorema 3.6 : 1. Setiap bilangan bulat n, dengan n > 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima. 2. Setiap bilangan bulat n, dengan n > 1 dapat dinyatakan sebagai bantuk faktorisasi bilangan-bilangan prima. Definisi 3.5 : Bentuk n = p1 a1. p2 a2. p3 a3..... pk ak disebut representasi n sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima, sering pula bentuk itu disebut bentuk kanonik n. Menentukan FPB dan KPK dengan Bentuk Kanonik Jika c = p1 a1. p2 a2. p3 a3..... pk ak d = p1 b1. p2 b2. p3 b3..... pk bk dengan ai 0 dan bi 0 untuk i = 1, 2, 3,... k maka: FPB (c, d) = p1 min(a1,b1). p2 min(a2,b2). p3 min(a3,b3)..... pk min(ak,bk) KPK (c, d) = p1 maks(a1,b1). p2 maks(a2,b2). p3 maks(a3,b3)..... pk maks(ak,bk) METODE PEMBELAJARAN Practice Rehearsal Pairs LANGKAH PEMBELAJARAN PERTEMUAN 9 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi Mengingatkan tentang FPB dan KPK. b. Motivasi Memberikan gambaran kemudahan menggunakan teorema pembagian dan sisa untuk menentukan FPB dan KPK. 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang Factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK berdasarkan definisi. Elaborasi a. Meminta mahasiswa berkelompok. b. Memberikan mahasiswa permasalahan tentang FPB dan KPK. c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus menyelesaiakan permassalahan yang ada pada LKM. d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran. Eksplanasi Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa tentang FPB dan KPK 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal tentang penentuan FPB dan KPK. Alokasi Waktu 10 menit 10 menit 1 10 menit PERTEMUAN 10 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi Mengulas kembali tentang penentuan FPB dan KPK dengan definisi. 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang beberapa teorema pembagian. Alokasi Waktu 10 menit

Elaborasi a. Meminta mahasiswa berkelompok, dan memberikan mahasiswa beberapa teorema pembagian. b. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus membuktikan teorema yang ada pada lembar kerja. c. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran. Eksplanasi Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa tentang teorema pembagian. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal tentang teorema pembagian 1 10 menit PERTEMUAN 11 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi Mengulas kembali tentang teorema pembagian. 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang beberapa teorema pembagian. Elaborasi a. Meminta mahasiswa berkelompok, dan memberikan mahasiswa beberapa teorema faktor. b. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus membuktikan teorema yang ada pada lembar kerja. c. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran. Eksplanasi Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa tentang teorema pembagian. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal tentang teorema faktor Alokasi Waktu 10 menit 1 10 menit PERTEMUAN 12 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi Mengulas kembali tentang penentuan teorema faktor. 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang penentuan FPB dan KPK. Elaborasi a. Meminta mahasiswa berkelompok, dan memberikan mahasiswa beberapa permasalahan FPB dan KPK. b. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus membuktikan teorema yang ada pada lembar kerja. c. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran. Eksplanasi Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa tentang penentuan FPB dan KPK dengan Algoritma Euclides. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal tentang penentuan FPB dan KPK. Alokasi Waktu 10 menit 1 10 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop

SUMBER BELAJAR [1] Herry Sukarman. 1995. Teori Bilangan. Jakarta : Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan Menengah [2] Purwoto. 2000. Teori Bilangan. Surakarta : UNS Press [3] Soehardjo. 1996. Struktur Aljabar. Surakarta : UNS Press PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian 3. Contoh Instrumen : Terlampir

SOAL 1 1. Buktikan: a a (b 2 1) a (b 4 1) b nz, 2 (n 2 n), 6 (n 3 n) 2. Buktikan bahwa nz + berlaku : a 2 (3 n 1) b 3 (4 n 1) c 4 (5 n 1) 3. Buktikan bahwa : ( 1 + 2 + 3 +... + n ) 3 ( 1 2 +2 2 +3 2 +... +n 2 ) nn. 4. Buktikan bahwa 3 n (n+1)(n+2) nbil. Cacah 5. Andaikan m dan n bilangan ganjil, buktikan bahwa : a 8 (m 2 n 2 ) b 8 (m 4 + n 2 2)

SOAL 2 1. Tentukan FPB (314, 159) dan FPB (1009, 4001)! 2. Tentukan x dan y 314x + 159y = 1! 3. Jika a = 3525, b = 1296, dan FPB(a, b) = d, maka : a. tentukan nilai d b. tentukan x, yz ax + by = d 4. Buktikan : c a.b dan FPB (c, a) = d c b.d 5. Buktikan bahwa FPB (n, n+1) = 1 nz. 6. Andaikan FPB (a, b) = 2 dan FPB (b, 4) = 2. Buktikan bahwa FPB (a+b, 4) = 4!

SOAL 3 1. Tentukan KPK dan FPB dari 135 dan 180! 2. Buktikan : KPK [a, b] = FPB (a, b) a = b 3. m adalah kelipatan persekutuan dari a dan b, buktikan bahwa FPB (a, b) m.

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd. Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : TEORI BILANGAN Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 2 SKS Semester : I Pertemuan ke- : 13 s.d 15 Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar bilangan, deret, notasi sigma, induksi matematika, dan teorema binomial, serta mampu mengidentifikasi beberapa sistem matematika, menjelaskan sifat keterbagian dan kongruensi kemudian membuktikan beberapa teorema yang berkaitan dengan bilangan Kompetensi Dasar : 4. Menjelaskan konsep dasar tentang kekongruenan dan menerapkan konsep kekongruenan untuk untuk membuktikan keterbagian suatu bilangan bulat oleh bilangan bulat.. Indikator : 4.1 Membuktikan beberapa teorema kekongruenan 4.2 Membuktikan keterbagian bilangan bulat oleh bilangan bulat dengan dasar konsep kekongruenan 4.3 Menentukan penyelesaikan perkongruenan linier dengan berdasar pada teorema teorema perkongruenan dan teorema sisa Cina Tujuan : Membuktikan teorema kekongruenan Membuktikan keterbagian bilangan bulat oleh bilangan bulat Menentukan penyelesaikan perkongruenan linier MATERI KONGRUENSI MODULO m Bila ada dua bilangan bulat a dan b dibagi dengan bilangan bilangan bulat positif m dan mempunyai sisa yang sama, maka dikatakan bahwa a kongruen dengan b modulo m, dan dituliskan : a b (mod m) Definisi 4.1 : Dua bilangan bulat a dan b kongruen modulo m [a b (mod m)] jika dan hanya jika m (a b) dengan m Z +. Jika m (a b) maka dikatakan a tidak kongruen dengan b modulo m, dituliskan a b (mod m) Teorema 4.1 : a b (mod m) kz a = m.k + b SIFAT-SIFAT RELASI KONGRUENSI a Refleksi : a a (mod m) b Simetri : a b (mod m) b a (mod m) c Transitif : a b (mod m) dan b c (mod m) a c (mod m)

Teorema 4.2 : 1. a b (mod m) (a+c) (b+c) (mod m) 2. a b (mod m) dan c d (mod m) (a+c) (b+d) (mod m) 3. a b (mod m) dan c d (mod m) (ax+cy) (bx+dy) (mod m) 4. a b (mod m) a.c b.c (mod m) 5. a b (mod m) dan c d (mod m) a.c b.d (mod m) 6. a.c b.c (mod m) dan FPB (c, m) = 1 a b (mod m) 7. a.c b.c (mod m) dan FPB (c, m) = d a b ( ) SISTEM RESIDU MODULO m Definisi 4.2 : Jika a r (mod m) dengan 0 r m, maka r disebut dengan residu terkecil dari a modulo m. Untuk kongruensi ini, { 1, 2, 3,..., (m 1)} adalah himpunan residu terkecil modulo m. Definisi 4.3 : Himpunan-himpunan bilangan bulat r1, r2, r3,..., rm disebut sistem residu lengkap modulo m jika dan hanya jika setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu diantara r1, r2, r3,..., atau rm. Teorema 4.3 (Teorema FERMAT) : Jika p suatu bilangan prima, dan FPB (a, p) = 1 maka a p 1 1 (mod p) Akibatnya : Jika p suatu bilangan prima, maka a p a (mod p) az. Contoh 1 : Berapakah sisa pembagian 5 38 oleh 11? Solusi : 5 38 = 5 30+8 = 5 30. 5 8 = (5 10 ) 3.(5 2 ) 2 Perhatikan bahwa : 5 10 1 mod (11) dari Teorema Fermat 5 10 1 mod (11) (5 10 ) 3 1 3 mod (11) 5 2 3 mod (11) (5 2 ) 4 3 4 mod (11) Sehingga : (5 10 ) 3.(5 2 ) 2 1. 4 (mod 11) 5 38 4 (mod 11) (5 2 ) 4 81 mod (11) (5 2 ) 4 4 mod (11)

Teorema 4.4 : 1. p,q Bil. Prima, p q a p a (mod q) dan a q a (mod p) a p.q 4 (mod p.q) 2. Jika p suatu bilangan prima, maka kekongruenan x 2 1 (mod p) mempunyai tepat dua penyelesaian yaitu 1 dan p 1. Teorema 4.5 (Teorema Wilson) : Jika p suatu bilangan prima, maka (p 1)! 1 (mod p) Teorema 4.6 : KONGRUENSI MODULO 9 1. 10 n 1 (mod 9) nn. 2. Setiap bilangan bulat, kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya. Periksalah kebenaran penjumlahan berikut dengan prinsip kongruensi modulo 9! 275 + 426 + 537 = 1238 Solusi: 275 (2+7+5) (mod 9) 14 (mod 9) 5 (mod 9) 426 (4+2+6) (mod 9) 12 (mod 9) 3 (mod 9) 537 (5+3+7) (mod 9) 15 (mod 9) 6 (mod 9) Sehingga : 275 + 426 + 537 (5+3+6) (mod 9) 14 (mod 9) 5 (mod 9) Perhatikan bahwa: 1238 (1+2+3+8) (mod 9) 14 (mod 9) 5 (mod 9) Perhatikan : 10 (1) (mod 11) 100 = 1010 (1)(1) (mod 11) 1000 = 101010 (1)(1)(1) (mod 11) Sehingga pada umumya 10 n (1) n (mod 11) KONGRUENSI MODULO 11 Apabila b = ak ak 1 ak 2... a2 a1 a0 maka b = ak10 n + ak 110 n + ak 210 n +... + a210 n + a110 n + a010 n

Jadi b (ak10 k + ak 110 k-1 + ak 210 k-2 +... + a210 2 + a110 1 + a010 0 ) (mod 11) b (ak(-1) k + ak 1(-1) k-1 + ak 2(-1) k-2 +... + a2 a1 + a0) (mod 11) b (a0 + a2 + a4 +... ) (a1 + a3 + a5 +... ) (mod 11) Teorema 4.7 : Jika a b (mod m) maka a n b n (mod m) PERKONGRUENAN LINEAR MODULO m PERKONGRUENAN LINEAR Kalimat terbuka yang menggunakan relasi kongruensi disebut perkongruenan. Suatu perkongruenan, jika variabel pangkat tertingginya adalah satu, maka pengkongruenan tersebut dinamakan perkongruenan linear. Bentuk umum perkongruenan linear adalah ax b (mod m), a 0. Teorema 4.8 : 1. Jika FPB (a, m) b maka perkongruenan linear ax b (mod m) tidak memiliki penyelesaian. 2. Jika FPB (a, m ) = 1 maka perkongruenan linear ax b (mod m) memiliki tepat satu penyelesaian. 3. Jika FPB (a, m ) = g maka perkongruenan linear ax b (mod m) akan memiliki penyelesaian jika dan hanya jika g b. Jika g b maka perkongruenan linear ax b (mod m) mempunyai g buah penyelesaian, yang didapatkan dari : x x0 + (mod m) untuk k = 0, 1, 2, 3,..., (g 1) dimana x0 adalah penyelesaian dari : x ( ) Contoh : Selesaikan perkongruenan 6x 9 (mod 21) Solusi : 6x 9 (mod 21) FPB (6, 9) = 3 dan 3 9 akibatnya perkongruenan 6x 9 (mod 21) memiliki 3 penyelesaian. Perhatikan : 6x 9 (mod 21) 2x 3 (mod 7) 2x 10 (mod 7) x 5 (mod 7) Sehingga : x1 = 5, x2 = 12 dan x3 = 19 Jadi Hp = { 5, 12, 19 } Perhatikan permasalahan berikut : TEOREMA SISA BANGSA CINA Tentukan suatu bilangan yang bersisa 2 jika dibagi 3, bersisa 4 jika dibagi 5 dan bersisa 6 jika dibagi 7. Jika bilangan yang dicari dimisalkan dengan x, maka kalimat dari masalah tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut : x 2 (mod 3) x 4 (mod 5) x 6 (mod 7)

Perhatikan : a. x 2 (mod 3) artinya : x = 2 + 3k1... (1) b. x 4 (mod 5) Dari persamaan (1) : x 4 (mod 5) 2 + 3k1 4 (mod 5) 3k1 2 (mod 5) 3k1 12 (mod 5) k1 4 (mod 5) artinya : k1 = 5k2 + 4... (2) berdasar (1) dan (2) diperoleh : x = 2 + 3k1 x = 2 + 3(5k2 + 4) x = 15k2 + 14... (3) c. x 6 (mod 7) Dari persamaan (3) : x 6 (mod 7) 14+ 15k2 6 (mod 7) 15k2 8 (mod 7) 15k2 15 (mod 7) k2 1 (mod 7) k2 6 (mod 7) artinya : k2 = 7k3 + 6... (4) berdasar (3) dan (4) diperoleh : x = 15k2 + 14 x = 15(7k3 + 6) + 14 x = 105k3 + 104 Yang memenuhi ketiga perkongruenan di atas adalah x 104 (mod 105). Sehingga penyelesaian bersama dari perkongruenan x 104 (mod 105) adalah 104. METODE PEMBELAJARAN Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning LANGKAH PEMBELAJARAN PERTEMUAN 13 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas tentang teorema pembagian 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang beberapa teorema kekongruenan. Elaborasi a. Memberikan permasalahan tentang teorema kekongruenan b. Kegiatan Kelompok Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan penyelesaiannya. Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat yang telah disediakan. c. Diskusi antar kelompok 3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain. 3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan bertanya pekerjaan kelompok lain. Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang sudah dibuat dan dikerjakan mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai teorema kekongruenan. Alokasi Waktu

PERTEMUAN 14 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Membahas kembali tentang teorema kekongruenan. 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang sifat keterbagian. Elaborasi a. Memberikan permaslahan tentang sifat keterbagian. b. Kegiatan Kelompok Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan penyelesaiannya. Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat yang telah disediakan. c. Diskusi antar kelompok 3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain. 3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan bertanya pekerjaan kelompok lain. Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang sudah dibuat dan dikerjakan mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai keterbagian bilangan buat. Alokasi Waktu PERTEMUAN 15 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Membahsa kembali tentang keterbagian bilangan bulat. 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang penyelesaian perkongruenan linear. Elaborasi d. Memberikan permaslahan perkongruenan linear. e. Kegiatan Kelompok Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan penyelesaiannya. Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat yang telah disediakan. f. Diskusi antar kelompok 3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain. 3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan bertanya pekerjaan kelompok lain. Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang sudah dibuat dan dikerjakan mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai perkongruenan linear. Alokasi Waktu MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Herry Sukarman. 1995. Teori Bilangan. Jakarta : Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan Menengah

[2] Purwoto. 2000. Teori Bilangan. Surakarta : UNS Press [3] Soehardjo. 1996. Struktur Aljabar. Surakarta : UNS Press PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian 3. Contoh Instrumen : Terlampir

SOAL 1. Buktikan: a p a a 0 (mod p) b x 2 (mod 5) 2x 2 x + 3 4 (mod 5) 2. Buatlah perkongruenan linear modulo 20 yang memenuhi ketentuan berikut : a Tidak memiliki penyelesaian b Memiliki tepat satu penyelesaian c Memiliki lebih dari satu penyelesaian d Memiliki 20 penyelesaian 3. Tentukan penyelesaian dari 4x 6 (mod 18) 4. Buktikan : ax ay (mod p) dengan p, a dan x adalah bilangan prima, maka x y (mod p) 5. Tentukan banyak penyelesaian dari tiap-tiap perkongruenan berikut : a 3x 6 (mod 15) b 6x 11 (mod 15) c 3x 6 (mod 16) d 3x 1 (mod 17) e 6x 1 (mod 10) 6. Tentukan penyelesaian bersama dari sistem perkongruenan berikut ini : 2x 1 (mod 5) 3x 2 (mod 7) 4x 1 (mod 11) 7. Tentukan bilangan positif ganjil terkecil n, n 3 3 n, 5 (n+2), 7 (n+4)!

UJIAN TENGAH SEMESTER GASAL TAHUN AKADEMIK 2014/2015 UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA Jl. Letjend. S. Humardani No. 1, Jombor Sukoharjo. Telp. (0271) 593156 Mata Uji : TEORI BILANGAN Semester/Kelas : I Waktu Ujian : 90 menit Dosen Penguji : JANUAR BUDI ASMARI, M.Pd. Sifat Ujian : CLOSED BOOK Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jawaban yang benar! 1. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa : 2 2 2 k k p - 1 1 k 2 p benar n N 2. Berdasarkan teorema binomial: n 0 3 2 n-2 n-1 n n x a n n x 3 n x a 2 n x a 1 n x a 0 n x a 0 Untuk setiap bilangan real x dan bilangan bulat positif n, tunjukkan bahwa: n n 2 n 2 1 n 1 n 1 x n n 1... x 2 1 x 2 n x 2 1 x 1 n x 2 1 3. Jika O adalah himpunan bilangan bulat ganjil, selidiki apakah (O, ) merupakan groupoid, semigroup, monoid, atau group? SELAMAT MENGERJAKAN.SEMOGA SUKSES!

UJIAN AKHIR SEMESTER GASAL TAHUN AKADEMIK 2014/2015 UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA Jl. Letjend. S. Humardani No. 1, Jombor Sukoharjo. Telp. (0271) 593156 Mata Uji : TEORI BILANGAN Semester/Kelas : I Waktu Ujian : 90 menit Dosen Penguji : JANUAR BUDI ASMARI, M.Pd. Sifat Ujian : CLOSED BOOK Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jawaban yang benar! 1. Selidiki kebenaran pernyatan berikut dengan induksi matematika P(n) := 5 2n 1 habis dibagi 3 nn 2. Jika O adalah himpunan bilangan bulat ganjil, selidiki apakah (O, ) merupakan groupoid, semigroup, monoid, atau group dengan: a, b O a b = a + ab 3. Jika diberikan a= 10587 dan b = 534 serta FPB (a, b) = d maka: a. Tentukan nilai d. b. Tentukan nilai x dan y sedemikian hingga berlaku ax + by = d 4. Selidiki kebenaran pernyataan berikut: 6 3n (n 1) 6 3n (n + 1) 5. Tentukan nilai x yang memenuhi : 4 (x 3), 7 (2x 5), dan 5 (x + 3) SELAMAT MENGERJAKAN.SEMOGA SUKSES!