INSTITUT TEKNOOGI BANDUNG FAKUTAS MATEMATIKA DAN IMU PENGETAHUAN AAM PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No. Bandung, 43 Telp. () 5834, 5347, Fax. () 5645 Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : fisika@fi.itb.ac.id Pekerjaan Rumah- FI- 3 Gelombang SOUTION. a. Hitung nilai rata-rata fungsi-fungsi berikut ini : (i) <sin( t)> dan (ii) <sin ( t)> b. Untuk n,m bilangan bulat hitunglah : π π (i) cos(nx) cos(mx) dx (ii) sin(nx) cos(mx) dx (iii) sin(nπx/) sin(mπx/) dx (Bobot : ) a. ω = π T dengan T:perioda rata-rata fungsi f(t) didefinisikan sbg < f > = T T f(t)dt (i) < sin(ωt) > = T T sin(ωt) dt = 4π [cos(ωt)] T = 4π [cos (4π T T) cos ] = (ii) < sin (ωt) > = T T sin (ωt) dt = T T cos(ωt) dt = [t sin(ωt)] T = T ω b. (i) π cos(nx) cos(mx) dx = = T [T T ω sin(4π)] = π cos[(n m)x] +cos[(n + m)x] dx = m)π] {sin[(n + n m = {sin[(n m)x] + sin[(n+m)x] } π n m n+m sin[(n + m)π] } n + m karena n,m : bilangan bulat, maka n+m dan n-m juga bilangan bulat, akibatnya untuk n m, maka : π cos(nx) cos(mx) dx = sedangkan jika n = m, maka perlu dihitung ulang karena suku sin[(n m)π] Untuk n=m, maka : π π cos(nx) cos(mx) dx = cos (nx) dx = ( + cos (nx)) dx = sin(nx) {x + } n π n m = π
= {π + sin(4nπ) } = π n Sehingga kalau disatukan dengan definisi delta kronecker : (ii) π sin(nx) cos(mx) dx Untuk n m, maka : Untuk n=m: Jadi : (iii) π = = sin(nx) cos(nx) dx sin(nπx/) sin(mπx/) dx Jika n m, maka : Jika n=m maka : sin (nπx/) dx Sehingga secara umum: π cos(nx) cos(mx) dx = π δ nm π sin[(n m)x] +sin[(n + m)x] dx m)π] cos {cos[(n + n m π π sin(nx) cos(mx) dx = = sin(nx) dx π = {cos[(n m)x] n m cos[(n + m)π] cos } n + m + cos[(n+m)x] π } n+m = 4n [cos(nx)] π = [cos(4nπ) cos ] = 4n sin(nx) cos(mx) dx = = cos[(n m)πx ] cos[ (n+m)πx ] dx = m)π] {sin[(n (n m)π = cos (nπx/) dx = ] {sin[(n m)πx (n m)π sin[(n + m)π] } (n + m)π sin(nπx/) sin(mπx/) dx = sin[(n+m)πx ] (n+m)π } = [x sin (nπx nπ )] = [ nπ sin nπ] = sin(nπx/) sin(mπx/) dx = δ nm
. Diberikan fungsi periodik berikut ini: a. Tentukan periodisitasnya b. Turunkanlah deret Fourier Kompleks untuk f(x) (Bobot : ) f(x) a. periodanya = π (misalnya dari π sd 3π ) b. deret Fourier Complexnya : dengan k = π f(x) = C n e inkx n= = π =, sehingga : π f(x) = Cne inx Nilai C n diperoleh dari: n= 3π C n = π f(x)e inx (intervalnya boleh juga dari π sd π, atau sejenisnya, hasilnya akan sama) C n = π π C n = π he inx dx π he inx dx C n = π 3π h inπ i [e e inπ + e inπ e i3nπ ] nπ h inπ nπ ie [ (einπ + e nπ ) π ] = h inπ nπ ie [ cos(nπ)] (Catatan : kalau hanya sampai disini dan tidak disederhanakan maka dapat nilai 8% max nilai bagian ini) Untuk n genap : cos(nπ) =, sehingga hanya suku ganjil yang tak nol. Untuk n ganjil : cos(nπ) = Selanjutnya faktor e i (nπ ) hanya punya dua nilai untuk n bulat : i atau i, sehingga contohnya:
n -5-3 - 3 5 5 3 3 5 nπ i ei( ) n C n h/π 5 3 3 3 Jadi f(x): f(x) = h e i5x [ + π 5 e i3x 3 + e ix + eix ei3x 3 + ei5x 5 +. ] f(x) = h π [ + 5 (e i5x + e i5x ) 3 (e i3x + e i3x ) + (e ix + e ix ) +. ] f(x) = 4h cos 5x [ + π 5 cos 3x 3 + cos x +. ] (Catatan: hasil ini jauh lebih mudah jika diperbolehkan memakai deret sinus-cosinus dari awal, soal ini hanya menunjukkan dengan deret Fourier complex kita tetap bisa mendapatkannnya walaupun lebih sulit prosesnya) 3. Diberikan fungsi kurva Gaussian berikut : f(t) = Ce t /α. a. Jika diinginkan luas di bawah kurva f(t) =, berapakah C? b. Selanjutnya carilah transform Fourier g(ν) dari fungsi tsb. (Bobot : ) a. uas di bawah kurva : Kita pakai hasil integral berikut ini : Sehingga : f(t) C e t α dt = C e t α e βt dt = π β dt = dt = Cα π = C = α π b. Jadi : f(t) = t e α, maka Fourier transformnya : α π g(ν) = α π e Bagian eksponen kita olah jadi kuadrat sempurna: t α e iπνt dt = α π e ( t α +iπνt) dt
maka : α t + iπνt = α (t + iπα νt) = α (t + iπα νt) = α [(t + iπα ν) (iπα ν) ] = [ t + iπα ν ] α g(ν) = α π e π α ν e [ + π α ν t+iπα ν ] α dt akukan substitusi variabel : u = t + iπα ν du = α α dt g(ν) = αν e π e u du = e π α ν π Jadi hasilnya juga fungsi Gaussian. 4. Hubungan dispersi bagi gelombang di air dalam diberikan oleh: ω = gk + Tk3 ρ dengan ω : frekuensi sudut, g: percepatan gravitasi = 98 cm/s, T=7, k: bilangan gelombang, ρ = gr/cm 3 rapat massa air. Semua satuan dalam cgs. a. Apakah satuan T? b. Turunkanlah ungkapan bagi kecepatan grup v g c. Turunkanlah ungkapan bagi kecepatan fasa v d. Turunkalah nilai panjang gelombang ketika v g = v dan hitunglah berapakah kecepatan grup saat itu. (Bobot : ) a. Satuan T karena satuan ω adalah ( s) dan k adalah ( ) serta ρ adalah g cm cm b. Kecepatan grup: c. Kecepatan fasa: v g = dω 3k (g + T dk = ρ ) (gk + k3 T ρ ) 3 maka satuan T :( g s)( cm 3) = g ( cm )3 s
d. Ketika kecepatan fasa = kecepatan grup maka : v = ω k = k (gk + k3 T ρ ) = (g k + kt ρ ) v g = v (g + 3k T ρ ) (gk + k3 T ρ ) = k (gk + k3 T ρ ) (g + 3k T ρ ) = k (gk + k3 T ρ ) (g + 3k T ρ ) = (g + k T ρ ) k T ρ = g k = ρg T = 98 = 3,69 /cm 7 Sehingga π = k λ = π = π =,7 cm λ k 3,69 Jadi panjang gelombang ketika kecepatan fasa sama dengan kecepatan grup adalah λ =,7cm e. Pada kondisi ini kecepatan grupnya = kecepatan fasa: (g + 3k T ρ ) Check: kecepatan fasa: v g = (gk + k3 T ρ ) = (98 + 3 3,69 7 ) (98 3,69 + 3,693 7 ) = 3,5 cm/s v = ( g k + k T ρ ) = (98 3,69 + 3,69 (7) ) = 3,5 cm/s 5. Misalkan paket gelombang ψ(x, t) bersumber dari getaran lokal f(t) di x=, f(t) = { sin (ω t) t τ/ t > τ/ a. Carilah spektrum frekuensi dari f(t). b. Jika medium non dispersive tuliskan bentuk fungsi gelombangnya jika cepat rambatnya v. (Bobot : ) jawab: a. Spektrum g(ω) = FT(f(t)) g(ω) = f(t)e iωt dt = i (eiωt e iωt )e iωt dt = i τ/ (e i(ω ω)t e i(ω +ω)t )dt τ/
g(ω) = i ( ei(ω ω)t i(ω ω) + e i(ω+ω)t τ/ i(ω + ω) ) g(ω) = i ( ei(ω ω)τ/ e i(ω ω)τ/ i(ω ω) τ/ + e i(ω+ω)τ/ e i(ω +ω)τ/ ) i(ω + ω) sin ( (ω ω)τ ) sin ( (ω + ω)τ ) g(ω) = i + (ω ω) (ω + ω) ( ) = i τ (sinc [((ω ω)τ )] + sinc [( (ω + ω)τ )]) b. Jika non dispersive maka gelombang menjalar tanpa berubah bentuk jadi jika cepat rambatnya v, maka: sin (ω (t ± x f(x, t) = { v )) t ± x v τ/ t ± x v > τ/ 6. Gelombang cahaya yang diradiasikan atom hanya muncul sesaat dalam jendela waktu singkat saja. Hal ini berakibat pada efek pelebaran lebar garis spektrum yang dihasilkannya. Misalkan sebuah gelombang cahaya monokromatis dengan frekuensi ν dipancarkan oleh atom sbb: f(t) = { Aeiπν t τ t τ lainnya a. Turunkan spektrum frekuensinya g(ν) dan buatlah grafiknya. b. Daya yang dibawa gelombang cahaya tsb sebanding dengan g(ν). Definisikan lebar distribusi daya ini Δν. sebagai jarak antara kedua minimum pertama yang terdekat dengan pusat distribusi, hitunglah Δν dinyatakan dengan τ. c. Panjang koherensi didefinisikan sebagai = cτ, jika panjang gelombang terkait dengan frekuensi ν adalah λ buktikan bahwa panjang koherensi tsb dapat dinyatakan sbg : = λ Δλ d. Jika untuk suatu berkas diketahui bahwa Δν = 4 Hz dan λ = 693,6 nm, hitunglah Δλ dan panjang koherensinya. (Bobot : ) a. Spektrum τ g(ν) = f(t)e iπνt dt = A e iπ(ν ν)t A dt = i(π(ν ν )) (e iπ(ν ν )τ e iπ(ν ν )τ ) τ
g(ν) = Aτ sin(π(ν ν )τ) π(ν ν )τ = Aτ sinc(π(ν ν )τ) Ini adalah fungsi sinc berpusat di ν = ν. b. posisi g(ν) = terjadi ketika sin(π(ν ν )τ) = yaitu π(ν ν )τ = mπ, m = ±, ±, jadi posisi minimum (yaitu ketika g(ν) = pertama di dekat ν terjadi di: ν = ν ± τ Jika lebar distribusi didefinisikan sebagai Δν sbg jarak antar minimum pertama ini maka: Δν = ( τ ) = /τ c. Jika panjang koherensi didefinisikan sebagai = cτ, maka: dengan τ = Δν = c Δν = λ ν Δν Tetapi secara umum λ = c Δλ c Δν = c Δν Δλ = c Δν ν = c, sehingga: ν ν ν ν Δν ν Δλ = λ ν Δν = λ c = λ Δλ ν Δλ sebab c = λ ν (catatan: soal bagian (c ) di batalkan sebab ada kesalahan soal, interval f(t) semestinya ±τ/, sehingga ada faktor di denominator) d. Jika Δν = 4 hz, λ = 693,6 nm maka Δλ = c ν Δν = λ c Δν = (693,6x 9 ) ( 4 ) 3x 8 =,6x 7 m panjang koherensinya = cτ = c Δν = 3x8 4 =,5x 4 m = 5 km
7. Grafik disamping menunjukkan spektrum gelombang modulator g m (ω) pada modulasi DSB. Nilai ω m = π rad/s. Gelombang pembawanya (carrier wave) adalah gelombang sinusoidal dengan frekuensi c= x 3 π rad/s : g m( ) C( )= C cos ( ct), a. Carilah spektrum gelombang DSB-nya (g DSB (ω)) - m m dinyatakan dalam g m dan buat sketsa spektrumnya. b. Gelombang DSB ini kemudian diterima dan didemodulasi dengan osilator lokal cos (ω C t), carilah spektrum hasil demodulasinya dan buat sketsanya. c. Untuk mendapatkan sinyal modulasi asalnya dipergunakanlah ow Pass Filter dengan frekuensi potong (cut-off) : B, berapakah batas-batas untuk nilai B yang diperkenankan? (Bobot : ) a. Dalam domain waktu gelombang hasil modulasi DSB adalah: ψ DSB (t) = ψ m (t)ψ C (t) = ψ C ψ m (t)cos(ω c t) dengan ω c = x 3 π rad/s Misal Fourier transformnya FT(ψ m (t)) = g m (ω), sehingga ψ m (t) dapat direpresentasikan menggunakan inverse FT: ψ m (t) = π g m(ω )e iω t dω Sehingga gelombang DSB: ψ DSB (t) = ψ C π [eiωct + e iωct ] g m (ω )e iω t dω Spektrum diberikan oleh FT-nya: g DSB(ω) = FT(ψ DSB (t)) g DSB (ω) = ψ C π [eiωct + e iωct ]e iωt g m (ω )e iω t dω dt g DSB (ω) = ψ C g m(ω ) π [ei(ω c ω+ω )t + e i(ω c+ω ω )t ]dt dω g DSB (ω) = ψ C g m(ω )[δ(ω c ω + ω ) + δ(ω c + ω ω )] dω g DSB (ω) = ψ C [g m(ω ω c ) + g m (ω + ω c )] Jadi spektrum DSB berupa spektrum g m (ω)tapi tergeser oleh frekuensi gelombang carrier ±ω c dan amplitudenya dikalikan ψ c
g m( ) ψ C - - -99 ω C ω m ω C ω C + ω m b. 99 π 3 ω ( rad ω C ω m ω C ω C + ω m s ) b. Setelah di mixing dengan osilator lokal gelombang hasilnya adalah : ψ(t) = cos(ω C t) ψ DSB (t)atau ψ(t) = ψ C cos (ω c t) ψ m (t) = ψ c ψ m (t)[cos(ω c ) + ] Spektrumnya diberikan oleh FT-nya g(ω) = FT{ψ c ψ m (t)[cos(ω c ) + ]} = ψ c FT{ψ m (t) cos(ω c )} + ψ C FT{ψ m (t)} g(ω) = ψ C {g m(ω ω C ) + g m (ω + ω C )} + ψ C g m (ω) ψ C g m( ) ψ C - - -99-99 π 3 ω ( rad s ) ω C ω m ω C ω C + ω m c. Sinyal diperoleh kembali dengan membuang frekuensi tinggi, jadi dipergunakan filter lolos bawah (ow Pass Filter) dengan frekuensi cut off B, ω m < B < ω C ω m dalam kasus ini : π 3 < B < 99 π 3 rad /s π 3 < B < 398π 3 rad /s &&&&&&&&&&& OCT 6 &&&&&&&&&&&&