METODE BERTIPE STEFFENSEN SATU LANGKAH DENGAN KONVERGENSI SUPER KUBIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Neng Ipa Patimatuzzaroh Mahasiswa Program Studi S Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru 28293 Indonesia na2493@gmail.com ABSTRACT This article discusses an iterative method obtained through modification of Steffensen s method using a parameter that depends on divided differences. Analysis of convergence shows that the discussed method has super cubic convergence i.e. 3.383. Computational test shows that the discussed iterative method meets the theoretical study conducted. Numerical comparisons of the discussed method with Newton s method Steffensen s method Traub s method and the Petkovic s method conclude that the proposed method is very efficient. Keywords: Nonlinear equation Newton s method Steffensen s method devided difference ABSTRAK Artikel ini mendiskusikan metode iterasi yang diperoleh melalui modifikasi metode Steffensen dengan menggunakan sebarang parameter yang bergantung kepada bentuk beda terbagi. Analisis konvergensi menunjukkan metode iterasi yang dibahas memiliki kekonvergenan super kubik yaitu 3.383. Uji komputasi memperlihatkan bahwa metode iterasi yang dibahas memenuhi kajian teoritis yang dilakukan. Perbandingan numerik metode yang didiskusikan dengan metode Newton metode Steffensen metode Traub dan metode Petkovic menyimpulkan bahwa metode yang diusulkan sangat efisien. Kata kunci: Persamaan nonlinear metode Newton metode Steffensen beda terbagi. PENDAHULUAN Permasalahan matematika dalam berbagai bidang ilmu yang sering muncul adalah bagaimana menemukan solusi dari persamaan nonlinear f(x) = 0. () Repository FMIPA
Metode analitik tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan semua kasus dari persamaan () sehingga metode numerik menjadi alternatif. Metode numerik yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan () adalah metode satu langkah Newton atau lebih dikenal dengan metode Newton dengan bentuk iterasi x n+ = x n f(x n) f (x n ) f (x n ) 0 n = 0 2 (2) yang memiliki orde konvergensi kuadratik [ h. 68-69] dan memerlukan dua kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya sehingga indeks efisiensinya adalah.44. Dalam perkembangannya metode Newton banyak mengalami modifikasi tujuannya adalah untuk mempercepat kekonvergenan dan memperkecil error. Salah satu bentuk modifikasi dari metode Newton adalah dengan mendekati turunan pertama f (x n ) dengan beda terbagi (divided difference) yaitu f (x n ) = f(x n + f(x n )) f(x n ) f(x n ) dan diperoleh metode Steffensen dengan orde konvergensi kuadratik [2 h. 278] dengan bentuk iterasi x n+ = x n f(x n ) 2 n = 0 2. f(x n + f(x n )) f(x n ) Metode Steffensen memerlukan dua kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya sehingga indeks efisiensinya adalah.44. Untuk mempercepat kekonvergenan dan memperkecil error Traub [6 h. 86] memodifikasi metode Steffensen dengan bentuk iterasi dengan dan x n+ = x n f(x n) n = 0 2 f[x n z n ] sign(f (x n )) n = 0 β n = f[x n z n ] n = 2 3 z n = x n + β n f(x n ) n = 0 2 dimana β n merupakan sebarang parameter. Metode Traub memiliki orde konvergensi super kuadratik [6 h. 86] dan memerlukan tiga kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya sehingga indeks efisiensinya adalah.34. Selanjutnya Petkovic [3 h. 884] memodifikasi metode Traub dengan bentuk iterasi x n+ = x n f(x n) n = 0 2 f[x n z n ] Repository FMIPA 2
dengan sign(f (x n )) n = 0 β n = f[x n z n ] + f[x n x n ] f[x n z n ] n = 2 3. dan z n = x n + β n f(x n ) n = 0 2. Metode iterasi yang dikembangkan oleh Petkovic memiliki orde konvergensi kubik [3 h. 884] dan memerlukan tiga kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya sehingga indeks efisiensinya adalah.442. Metode lain yang dapat mempercepat kekonvergenan dan memperkecil error adalah Metode Bertipe Steffensen Satu Langkah yang dikembangkan oleh Zhongli dan Zheng [4 h. 870] yang dibahas pada bagian selanjutnya. Berikut adalah dua definisi dasar yang terkait dengan pembahasan selanjutnya. Definisi (Orde konvergensi) [5 h. 77] Asumsikan bahwa barisan {x n } n=0 konvergen ke α dan misalkan e n = x n α untuk n 0 jika terdapat konstanta positif A 0 dan p > 0 dan x n+ α lim n x n α = lim e n+ p n e n = A p maka barisan tersebut dikatakan konvergen ke α dengan orde konvergensi p. Konstanta A disebut konstanta error asimtotik (asymptotic error constant). Jika p = 2 3 maka orde kekonvergenan dengan barisan {x n } n=0 berturut-turut dikenal dengan istilah linear kuadratik dan kubik. Definisi 2 (Indeks Efisiensi) [6 h. 2] Misalkan p adalah orde konvergensi dengan suatu metode iterasi w adalah banyaknya fungsi yang dievaluasi pada setiap iterasinya maka indeks efisiensi dari metode tersebut adalah p w. Indeks efisiensi digunakan untuk melihat seberapa efisiensi suatu metode iterasi yang digunakan dalam mencari akar suatu persamaan nonlinear. Pembahasan dimulai dengan mendiskusikan penurunan metode Bertipe Steffensen dibagian dua dan dilanjutkan dibagian tiga dengan melakukan analisis konvergensi dari metode yang didiskusikan. Dibagian empat diberikan uji komputasi untuk melakukan perbandingan numerik. 2. METODE BERTIPE STEFFENSEN SATU LANGKAH DENGAN KONVERGENSI SUPER KUBIK Misalkan diberikan pasangan titik (x n f(x n )) dan (z n f(z n )) maka secara sederhana dari kedua titik tersebut dapat dibentuk sebuah garis dengan persamaan f(x) = f(x n ) + f(z n) f(x n ) z n x n (x x n ). Repository FMIPA 3
atau dalam notasi beda terbagi dapat dinyatakan sebagai f(x) = f(x n ) + f[x n z n ](x x n ). (3) Misalkan N (x) f(x) maka persamaan (3) menjadi N (x) f(x n ) + f[x n z n ](x x n ). (4) Selanjutnya misalkan diberikan tiga titik (x n f(x n )) (z n f(z n )) dan (x f(x)) dimana x n z n z n x berdasarkan konsep interpolasi polinomial beda terbagi newton diperoleh f(x) = f(x n ) + f[x n z n ](x x n ) + f[x n z n x](x x n )(x z n ). (5) Misalkan N 2 (x) f(x) dan nilai f[x n z n x] µ n maka persamaan (5) menjadi N 2 (x) = f(x n ) + f[x n z n ](x x n ) + µ n (x x n )(x z n ). Jika f(x) N 2 (x) maka f (x) N 2(x) dimana N 2(x) adalah turunan pertama dari interpolasi polinomial Newton orde dua. Selanjutnya akan dihitung N 2(x n ) dengan menggunakan konsep beda terbagi maka diperoleh [ ] d N 2(x n ) = dx N 2(x) x = x [ n ] d = dx (f(x n) + f[x n z n ](x x n ) + µ n (x x n )(x z n )) x = x n N 2(x n ) = f[x n z n ] + µ n (x n z n ). (6) Karena N 2(x n ) f (x n ) dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke persamaan (2) maka diperoleh x n+ = x n f(x n ) f[x n z n ] + µ n (x n z n ) (7) dimana z n = x n + β n f(x n ) {β n } dan {µ n } adalah barisan konstanta terbatas. Dengan mendefinisikan ( 0 ) n = 0 µ n = + βn f[x n z n ] f[z n x n z n ] n = 2 3 β n f[x n z n ] (8) kemudian substitusikan persamaan (8) ke persamaan (7) maka diperoleh x n+ = x n f[x n z n ] + ( + β n f[x n z n ] f(x n ) ) (f[z n x n ] f[z n z n ]) (9) Repository FMIPA 4
dengan sign(f (x n )) n = 0 β n = f[x n z n ] + f[x n x n ] f[x n z n ] n = 2 3 dan z n = x n + β n f(x n ). Persamaan (9) disebut Metode Bertipe Steffensen satu langkah atau selanjutnya disebut Metode Bertipe Steffensen. 3. ANALISIS KONVERGENSI Teorema 3 Asumsikan f : D R fungsi yang terdeferensialkan dengan akar sederhana α dimana α D D R dan x 0 cukup dekat ke α maka Metode Bertipe Steffensen yang diberikan oleh persamaan (9) memiliki orde konvergensi super kubik. Bukti : Misalkan z n konvergen ke α dengan orde r > yaitu dan misalkan x n konvergen ke α dengan orde p > 2 yaitu Dari persamaan (0) dan () diperoleh dan e z n = c n e r n + O(e r+ n ) (0) e n+ = d n e p n + O(e p+ n ). () e z n = c n e r n + O(e r+ n ) e n = d n e p n + O(e p+ n ) (2) dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (0) dan () maka diperoleh dan e z n = c n d r n e pr n + O(e pr+p+r+ n ) e n+ = d n d p n e p2 n + O(e p2 +2p+ n ). (3) Perhatikan parameter β n yang terdapat pada persamaan (9) misalkan P (x n ) = f[x n z n ] + f[x n x n ] f[x n z n ]. (4) Repository FMIPA 5
Berdasarkan konsep beda terbagi P (x n ) dapat ditulis dalam bentuk dimana P (x n ) = f(x n) f(z n ) x n z n + f(x n) f(x n ) x n x n f(z n ) f(x n ) z n x n (5) sehingga persamaan (5) menjadi P (x n ) = f(x n) f(z n ) e n e z n e n = x n α e z n = z n α (6) + f(x n) f(x n ) e n e n f(z n ) f(x n ) e z n e n. (7) Selanjutnya dengan melakukan ekspansi Taylor untuk f(x n ) di sekitar x n = α yaitu f(x n ) = f(α) + f (α)(x n α) + f (α) 2! atau (x n α) 2 + f (α) (x n α) 3 + O((x n α) 4 ) 3! f(x n ) = f(α)(e n + c 2 e 2 n + c 3 e 3 n) + O(e 4 n). (8) Kemudian dilakukan ekspansi Taylor untuk f(x n ) di sekitar x n = α sehingga diperoleh f(x n ) = f (α)(e n + c 2 e 2 n + c 3 e 3 n ) + O(e 4 n ). (9) Selanjutnya dengan cara yang sama dilakukan ekspansi Taylor untuk f(z n ) di sekitar z n = α sehingga diperoleh f(z n ) = f (α)((e z n ) + c 2 (e z n ) 2 + c 3 (e z n ) 3 ) + O(e z n ) 4. (20) Substitusikan persamaan (8) (9) dan (20) ke persamaan (7) maka diperoleh P (x n ) = f (α)(e n + c 2 e 2 n + c 3 e 3 n) f (α)(e z n + c 2 (e z n ) 2 + c 3 (e z n ) 3 ) + (e n e z n ) + f (α)(e n + c 2 e 2 n + c 3 e 3 n) f (α)(e n + c 2 (e 2 n ) + c 3 (e n ) 3 ) + (e n e n ) f (α)(e z n + c 2 (e z n ) 2 + c 3 (e z n ) 3 ) f (α)(e n + c 2 e 2 n + c 3 e 3 n ) + (e z n e n ) Repository FMIPA 6
atau P (x n ) = f (α) ( e n e z n + c 2 (e 2 n (e z n ) 2 ) + c 3 (e 3 n (e z n ) 3 ) ) + (e n e z n ) + f (α) (e n n +c 2 (e 2 n (e n ) 2 ) + c 3 (e 3 n (e n ) 3 )) + (e n e n ) f (α) ( e z n e n + c 2 ((e z n ) 2 e 2 n ) + c 3 ((e z n ) 3 e 3 n ) ) + (e z n e n ) = f (α)( + c 2 (e n + (e z n )) + c 3 (e 2 n + e n e z n + (e z n ) 2 )) + + f (α)( + c 2 (e n + e n ) + c 3 (e 2 n + e n e n + e 2 n )) + f (α)( + c 2 (e z n + e n ) + c 3 ((e z n ) 2 + e z n e n + e 2 n )) + P (x n ) = f (α)( + 2c 2 e n + c 3 e n e n + c 3 e n e z n c 3 e n e z n + 2c 3 e 2 n) P (x n ) f (α)( c 3 e n e z n ). (2) Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (4) sehingga diperoleh f[x n z n ] + f[x n x n ] f[x n z n ] f (α)( c 3 e n e z n ) (22) maka parameter β n yang terdapat pada persamaan (9) menjadi β n n = 2 3. (23) f (α)( c 3 e n e z n ) Perhatikan bentuk yang terdapat pada persamaan (23) dengan ( c 3 e n e z n ) menggunakan deret geometri untuk r = c 3 e n e z n maka diperoleh atau c 3 e n e z n = ( c 3 e n e z n ) + ( c 3 e n e z n ) 2 ( c 3 e n e z n ) 3 + = + c 3 e n e z n + c 2 3e 2 n (e z n ) 2 + c 3 3e 3 n (e z n ) 3 + c 3 e n e z n Sehingga persamaan (23) menjadi + c 3 e n e z n. β n ( + c 3e n e z n ) (24) f (α) dimana c n = f (n) (α). Selanjutnya perhatikan persamaan (6) yaitu n!f (α) e z n = z n α = (x n + β n f(x n )) α e z n = e n + β n f(x n ) Repository FMIPA 7
atau dalam notasi beda terbagi dapat dinyatakan sebagai e z n = e n + β n f[(x n ) α]e n. (25) Substitusikan persamaan (8) dan (24) ke persamaan (25) sehingga diperoleh ( e z n = e n + f ) (α)(e n + c 2 e 2 n + c 3 e 3 n)( + c 3 e n e z n ) f (α) = e n (e n + c 3 e n e z n e n + c 2 e 2 n + c 2 c 3 e n e z n e 2 n + c 2 3e n e z n e 3 n) = c 3 e n e z n e n e z n = c 3 c n d n e r+p+ n. (26) Perhatikan kembali persamaan (9) jika kedua ruas dikurangi dengan α maka diperoleh f(x n ) x n+ α = x n α f[x n z n ] + ( + β n f[x n z n ] )(f[z n x n ] f[z n z n ]) e n+ = e n f[x n α]e n f[x n z n ] + ( + β n f[x n z n ] )(f[z n x n ] f[z n z n ]) = e n[f[x n z n ] + ( + ) (f[z β nf[x nz n] n x n ] f[z n z n ])] f[x n α]e n f[x n z n ] + ( + )(f[z β n f[x n z n ] n x n ] f[z n z n ]) = e n(f[x n z n ] + ( + )(f[z β n f[x n z n ] n x n ] f[z n z n ]) f[x n α]) f[x n z n ] + ( + )(f[z β n f[x n z n ] n x n ] f[z n z n ]) = e n(f[x n z n α]e z n + ( + )(f[z β n f[x n z n ] n x n z n ])( β n f[x n α])) f[x n z n ] + ( + )(f[z β n f[x n z n ] n x n ] f[z n z n ]) = e n(f[x n z n α]( + β n f[x n α])e n ( + β n f[x n z n ]) f[x nα] f[z f[x nz n] n x n z n ]e n ) f[x n z n ] + ( + )(f[z β n f[x n z n ] n x n ] f[z n z n ]) = e2 n( + β n f[x n α])(f[x n z n α]f[x n z n ] f[x n α]f[z n x n z n ]) f 2 [x n z n ] + ( + )f[x β n f[x n z n ] n z n ](f[z n x n ] f[z n z n ]) = e2 n( + β n f[x n α])(f 2 [x n z n α]e z n f[x n α]f[z n x n z n α]e z n ) f 2 [x n z n ] + ( + )f[x β nf[x nz n] n z n ](f[z n x n ] f[z n z n ]) ( ) f = e 2 (α) f (α) e z 3! n + n( + β n f[x n α]) (f (α)) 2 + e n+ = c 2 3c 2 n d 2 n e +2r+2p n +. (27) Dari persamaan (0) dan (26) diperoleh c n d p n e rp n = c 3 c n d n e r+p+ n (28) Repository FMIPA 8
dan dari persamaan (3) dan (27) diperoleh d n d r n e p2 n = c 2 3c 2 n d 2 n e 2p+2r+ n. (29) Menggunakan persamaan (28) dan (29) diperoleh sebuah sistem persamaan dengan bentuk { pr = r + p + (30) p 2 = 2p + 2r + Apabila persamaan (30) diselesaikan maka akan diperoleh solusi r.839 dan p 3.383. Metode Bertipe Steffensen memerlukan tiga kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya yaitu f(x n ) f (x n ) dan f(z n ). Hal ini membuktikan bahwa Metode Bertipe Steffensen yang diberikan oleh persamaan (9) memiliki orde konvergensi 3.383 (super kubik) dengan nilai indeks efisiensinya adalah.50. 4. UJI KOMPUTASI Pada bagian ini dilakukan uji komputasi dengan menggunakan metode Newton (MN) metode Steffensen (MS) metode Traub (MT) metode Petkovic (MP) serta metode Bertipe Steffensen (MBS). Di bawah ini adalah beberapa contoh fungsi yang digunakan untuk membandingkan metode-metode tersebut. f (x) = x 2 e x 3x + 2. f 2 (x) = 0.5(e x 2 ) 3. f 3 (x) = e x2 + sin(x) 4. f 4 (x) = e x2 +x+2. Dalam menemukan solusi numerik dari beberapa contoh fungsi di atas digunakan program Maple3 dengan toleransi.0 0 32. Tabel : Perbandingan Hasil Komputasi untuk MN MS MT MP dan MBS Metode n x n f(x n ) x n x n f x 0 = 2.2 MN 7 2.649298877672930 8.6703e 42 2.98878e 2 MS 9 2.649298877672930.35305e 49 2.04039e 25 MT 5 2.649298877672930 6.0025e 68 2.63080e 26 MP 4 2.649298877672930 2.99992e 40 9.2347e 4 MBS 3 2.649298877672930 2.09472e 35.39224e 0 Repository FMIPA 9
f 2 x 0 = 2.5 MN 6 2.0000000000000000 9.89253e 42 6.29048e 2 MS 7 2.0000000000000000 2.9430e 59 8.8560e 30 MT 5 2.0000000000000000 2.57379e 8 3.30277e 3 MP 4 2.0000000000000000.2692e 52.44960e 7 MBS 4 2.0000000000000000 3.57260e 90 6.39204e 27 f 3 x 0 = 0.6 MN 6 0.707688709058200 4.20642e 35 3.40508e 8 MS 5 0.707688709058200.07367e 33 2.26746e 7 MT 4 0.707688709058200.08866e 34 5.45490e 4 MP 4 0.707688709058200.26033e 52 2.9057e 8 MBS 3 0.707688709058200 3.2759e 33 2.7835e 0 f 4 x 0 = 0.85 MN 6.0000000000000000 5.64400e 52.26987e 26 MS 7.0000000000000000 3.47623e 37.57576e 9 MT 5.0000000000000000 2.6036e 40 4.442e 6 MP 5.0000000000000000 6.36945e 94 6.27057e 32 MBS 4.0000000000000000 2.32996e 80 2.8825e 24 Keterangan untuk Tabel adalah n menyatakan jumlah iterasi x 0 menyatakan tebakan awal x n menyatakan akar dari fungsi f(x n ) menyatakan nilai fungsi untuk pendekatan akar ke n dan x n x n menyatakan error. Pada Tabel tampak bahwa semua metode yang diujikan telah berhasil mencapai akar yang diharapkan. Secara keseluruhan MBS memerlukan jumlah iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan metode pembandingnya sehingga MBS lebih cepat konvergen ke akar pendekatannya. MBS juga sangat efisien digunakan karena memiliki indeks efisiensi yang tinggi. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Supriadi Putra M.Si. dan Bapak Dr. Imran M. M.Sc. selaku pembimbing yang telah meluangkan waktu pikiran dan tenaga dalam memberikan bimbingan arahan dan nasehat dalam membimbing penulis menyelesaikan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [] Atkinson K. 993. Elementary Numerical Analysis 2 nd Ed. John Wiley & Sons Inc. New York. [2] Gautschi W. 20. Numerical Analysis 2 nd Ed. Birkhauser New York. Repository FMIPA 0
[3] Dzunic J. and M.S. Petkovic 202. A cubically convergent Steffensen-like method for solving nonlinear equations. Applied Mathematics Letter 25: 88 886. [4] L. Zhongli & Q. Zheng. 204. A one-step Steffensen-type Method with Super- Cubic Convergence for Solving Nonlinear Equations. International Conference on Computational Science 29: 870 875. [5] Mathews J. H. 987. Numerical Method for Mathematical Science and Engineer. Prentice-Hall International. Englewood Cliffs New Jersey. [6] Traub J.F. 964. Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs New Jersey. Repository FMIPA