PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan

Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan ring atau bukan b. membuktikan suatu struktur aljabar merupakan ring B. Lembar Kerja Mahasiswa Pengertian ring dapat dibangun dengan memperhatikan Himpunan bilangan bulat Z terhadap dua operasi yang disebut dengan penjumlahan dan pergandaan serta mengingat kembali aksioma dalam grup ditambahkan satu pengertian tertentu :. 1. Coba ingat kembali himpunan bilangan bulat Z! Z = {.., -2, -1, 0, 1, 2,..} = { 0, -1, 1, -2, 2,. } 2. jika pada Z dikenakan dua operasi sederhana, yaitu penjumlahan dan perkalan biasa :, periksalah pertanyaan-pertanyaan berikut dipenuhi atau tidak : I. Apakah (Z,+) merupakan grup komutatif? II. Apakah (Z,x) tertutup dan assosiatif? III. Apakah setiap 3 elemen sebarang a, b, dan c dalam Z berlaku : 1. a x (b + c) = (a x b ) + (a x c) 2. (a + b) x c = (a x c ) + (b x c) Tuliskan secara matematis pertanyaan III. di atas, kemudian negasikan!!! Kalian masih ingat, sifat apa namanya. 3. Diberikan himpunan bilangan bulat Z dengan operasi biner penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan: x,y Z Pengantar struktur Aljabar 56

Pertemuan 13 No. Operasi 1 2 3 4 A x y = x + y -1 x + y + 1 x + y - 2 x + y B x y = x + y - xy x + y + xy 3xy 2xy Coba dianalisa dengan menjawab 3 pertanyaan (I, II dan III) di atas dengan cara memasangkan operasi penjumlahan dan pergandaan, A1B1, A2B1, A3B1, A4B1, A1B2, A2B2, dan seterusnya sesuai dengan definisinya,!. C. Pengertian Ring Struktur aljabar adalah suatu himpunan tidak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*) dan jika S dilengkapi dengan dua operasi biner * dan maka struktur aljabar tersebut dinyatakan (S,*, ) atau (S,,*). Definisi 1.: Suatu struktur aljabar R terhadap dua operasi yang biasanya dikatakan dengan penjumlahan (+) dan pergandaan (*) disebut ring, jika I. (R,+) merupakan group komutatif II. (R,*) tertutup dan asosiatif III. (R,+,*) bersifat distributive (distributive kiri dan kanan) : a, b, c R, 1. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) 2. (a + b) * c = (a * c) + (b * c) Catatan : - ring (R,+,.) seringkali hanya dituliskan suatu ring R dengan tidak menuliskan operasi-operasinya. (Jika kita mengatakan suatu himpunan R adalah ring maka secara implicit di dalam R dikenakan dua operasi Pengantar struktur Aljabar 57

Pertemuan 13 penjumlahan dan pergandaaan yang memenuhi 3 aksioma I, II, dan III) - dibedakan antara elemen identitas dengan elemen netral, yaitu : Elemen identitas terhadap penjumlahan disebut elemen netral atau elemen nol dinotasikan dengan 0, sedangkan Elemen identitas terhadap pergandaan (jika ada) disebut elemen satuan biasanya dinotasikan e atau 1. - Invers elemen a R terhadap penjumlahan ditulis a dan elemen invers dari a terhadap pergandaan (jika ada) ditulis a -1. Contoh : 1. Himpunan bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan sebagai berikut juga merupakan ring, a. b Z a b = a + b + 1 dan a b = a + b + ab - (Z, ) merupakan grup komutatif, sebab: Tertutup : a, b Z, a b = a + b +1 Z Assosiatif : a, b, c Z, (a b) c = (a + b +1) c = (a + b + 1) + c + 1 = a + (b + c + 1) + 1 = a + (b c) + 1 = a (b c) Mempunyai elemen netral Misal u elemen netral maka a Z maka a u = u a = a u a = a dan a u = a u + a + 1 = a a + u + 1 = a u = 1 u = 1 Setiap elemen mempunyai invers Pengantar struktur Aljabar 58

Pertemuan 13 Ambil sebarang a Z dan misalkan b = a maka a b = b a = - 1 a b = 1 dan b a = 1 a + b + 1 = 1 b + a + 1 = 1 b = a 2 b = a 2 Kommutatif a, b Z, a b = a + b + 1 = b + a + 1 = b a - (Z, ) tertutup dan assosiatif : a, b, c Z, i. a b = a + b + ab Z ii. (a b) c = (a + b + ab) c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = a + b + c + ab + ac + bc + abc = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = a + b c + a(b c) = a (b c) - (Z,, ) distributif: a, b, c Z, i. a (b c) = a (b + c + 1) = a + (b + c + 1) + a(b + c + 1) = a + b + c + 1 + ab + ac + a = (a + b + ab) + (a + c + ac) + 1 = a b + a c + 1 = (a b) ( a c) ii. (a b) c = (a + b + 1) c = (a + b + 1) + c + (a + b + 1)c = a + b + 1 + c + ac + bc + c = (a + c + ac) + (b + c + bc) + 1 = (a c) + (b c) + 1 = a c b c Pengantar struktur Aljabar 59

Pertemuan 13 2. Himpunan bilangan bulat Z terhadap penjumlahan ± dan pergandaan yang didefinisikan sebagai berikut : a. b Z a ± b = a + b + 2 dan a b = a + b + ab bukan merupakan ring sebab tidak berlaku sifat distributif : 1, 2, 3 Z (1 ± 2) 3 = (1 + 2 + 2) 3 = 5 3 = 5 + 3 + 15 = 23 (1 3) ± (2 3) = (1 + 3 + 3) ± (2 + 3 + 6) = 7 + 11 + 2 = 20 3. Z, Q, dan R adalah merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa. 4. misalkan M = a b c d a, b, c, d Q maka merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. COBA BUKTIKAN! Tugas kelompok : membuat 1 contoh ring dan 1 contoh bukan ring (karena tidak dipenuhinya sifat distributif) yang ditulis dalam plastic transparan Tugas mandiri : belajar sifat sederhana ring dengan membuat resume Pengantar struktur Aljabar 60

Pertemuan 14 SIFAT-SIFAT SEDERHANA RING A. Pendahuluan Mahasiswa diharapkan sudah memahami pengertian ring beserta bukti formalnya, sehingga target pertemuan ke_14 ini dengan mudah dapat dicerna. Target yang dimaksuk adalah : a. dapat menyebutkan sifat-sifat sederhana ring b. mampu membuktikan sifat-sifat tersebut c. menggunakan sifat-sifat sederhana ring dalam menyelesaikan soal B. Sifat-sifat Sederhana Ring Teorema 1.: Jika R suatu ring maka : a. a.0 = 0.a = 0, a R b. a(-b) = (-a)b = -ab, a, b R c. (-a)(-b) = ab, a, b R d. a(b c) = ab ac, a, b, c R Bukti : Diketahui R adalah ring, maka : a. 0 R dan 0 + 0 = 0 sehingga a.(0 + 0) = a.0 a.0 + a.0 = a.0 distributif a.0 + a.0 = a.0 + 0 0 elemen netral a.0 = 0 kanselasi kiri dengan cara analog, mudah ditunjukkan 0.a = 0. Mahasiswa dipersilakan mencoba b. a, b R, -a, -b R sehingga a + a = 0 dan b + b = 0 a(-b) + ab = a(-b + b) dan (-a)b + ab = (-a + a)b distributif = a0 = 0b 0 elemen netral = 0. = 0 teorema 1.a. Pengantar struktur Aljabar 61

Pertemuan 14 maka a(-b) dan (-a)b masing-masing merupakan invers dari ab, dan elemen invers tunggal sehingga ( a)b = a(-b) = -ab c. a, b R, (-a)(-b) = -(a(-b)) teorema 1.b = -(-(ab)) teorema 1.b = ab sifat sederhana grup d. a, b, c R, a(b c) = a(b + (-c)) definisi b c = b + (-c) = ab + a(-c) distributif = ab + (-(ac)) teorema 1.b = ab ac definisi pengurangan Definisi 2.: Misalkan R suatu ring dan m suatu bilangan bulat positif, didefinisikan a R : i. 0.a = 0 R, dengan 0 Z dan 0 R elemen netral dari ring R. ii. ma = a + a + a +.+ a sebanyak m-suku, dan iii. (-m) a = m(-a) = (-a) + (-a) +. + (-a) sebanyak m-suku Teorema 2.: Misalkan R suatu ring dan m, n bilangan bulat dan a, b R maka : a. (m + n)a = ma + na b. m(a + b) = ma + mb c. m(na) = (mn)a Bukti : sebagai latihan mahasiswa Definisi 3.: Misalkan R suatu ring, didefinisikan a R : a m = a.a.a.a sebanyak m faktor Teorema 3.: Misalkan R suatu ring, m dan n masing-masing bilangan bulat maka a R berlaku: i. a m.a n = a m+n ; ii. (a m ) n = a mn. Pengantar struktur Aljabar 62

Pertemuan 14 Bukti : i. a m. a n = a1. 4243 a. a... a. a14243. a. a... a = a142. a. a... 43 a m faktor n faktor m+ n faktor = a m+ n ii. ( a m ) n m m m = a14243. a... a n faktor = a 142 m+ m+... 43 + m n suku = a mn Contoh : Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4} adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 5, maka : 3 2 = 3x3 = 4, 3 4 = 3x3x3x3 = 4x4 = 1 2.3 = 3+3 = 1, 4.3 = 3+3+3+3 = 1+1 = 2 Definisi 4.: Misalkan R suatu ring dan a R, maka : i. a disebut elemen idempoten jika a 2 = a ii. a disebut elemen nilpoten jika n bilangan bulat sehingga a n = 0. (0 = elemen netral dari R) Catatan : Setiap ring R, pasti elemen 0 merupakan elemen idempoten sekaligus elemen nilpoten, dan elemen satuan dari R (jika ada) pasti merupakan elemen idempoten Contoh : 1. Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 6 maka 3 dan 4 adalah elemen idempoten, sebab 3 2 = 3 dan 4 2 = 4 2. Z 8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 8, maka : 2 3 = 0, 4 2 = 0, 6 3 = 0 maka 2, 4, dan 6 masing-masing adalah elemen nilpoten Pengantar struktur Aljabar 63

Pertemuan 14 Tugas Mandiri : Soal : 1. Buktikan teorema 2. di atas 2. Tunjukkan bahwa suatu ring yang tidak memiliki elemen nilpoten yang bukan 0 jika dan hanya jika 0 merupakan satu-satunya penyelesaian dari x 2 = 0 3. diberikan ring R dengan setiap a dan b dalam R berlaku ab = ba. Tunjukkan bahwa jika a dan b elemen nilpoten maka (a + b) juga elemen nilpoten Pengantar struktur Aljabar 64

Pertemuan 15 TIPE-TIPE RING DAN KARAKTERISTIK RING A. Pendahuluan Dalam pertemuan sebelumnya, telah dipelajari ring beserta contoh-contohnya dan sifat-sifat sederhana ring. Beberapa sifat yang dimiliki suatu ring akan memberi kualifikasi (tipe-tipe) ring, misalnya ring yang memenuhi sifat komutatif terhadap pergandaannya disebut ring komutatif, dan lain sebagainya. Setiap tipe ring akan mempunyai ciri-ciri khusus, dan terkadang ada keterkaitan antara tipe ring yang satu dengan tipe ring lainnya. Di dalam grup, dikenal periode suatu elemen dalam grup. Hal ini erat hubungannya dengan pengertian karakteristik suatu ring, sehingga perlu diingat kembali sifat-sifat periode suatu elemen grup dan teorema Lagrange. Setelah mempelajari materi ini, diharapkan mahasiswa dapat menjelaskan tipe-tipe ring dan memahami karakteristik ring, yaitu : 1. dapat mengklasifikasi suatu ring, apakah dengan elemen satuan, setiap elemen tak nol punya invers, komutatif atau tidak 2. dapat membuktikan klasifikasi di atas 3. dapat menentukan karakteristik suatu ring B. Tipe-tipe Ring Misalkan R adalah suatu ring maka (R,+) adalah grup komutatif, (R,.) tertutup dan assosiatif, serta (R,+,.) distributif. Jika aksioma-aksioma pada (R,.) didefinisikan : II. 3. Mempunyai elemen satuan (elemen identitas) II. 4. Setiap elemen tak nol (bukan elemen netral) mempunyai invers disebut elemen unit. Pengantar struktur Aljabar 65

Pertemuan 15 II.5. memiliki sifat komutatif ( a, b R berlaku ab = ba) Maka dapat didefinisikan beberapa tipe ring sebagai berikut : Definisi 5.: Misalkan R suatu ring maka : 1. R disebut ring dengan elemen satuan jika ring R + II.3 2. R disebut ring dengan setiap elemen tak nol mempunyai invers jika ring R + II.3. + II.4. 3. R disebut ring komutatif jika ring R + II.5. 4. R disebut ring pembagian (division ring) atau lapangan miring (skew-field) jika ring R + II.3. + II.4. 5. R disebut Lapangan (field) jika ring R + II.3. + II.4. + II.5. Contoh : 1. Z, Q, R masing-masing merupakan ring komutatif, ring dengan elemen satuan. 2. Q dan R merupakan lapangan (pasti juga ring pembagian) sedangkan Z bukan lapangan sebab 2 Z dan 2-1 = ½ Z. 3. Z 3, Z 4, Z 5, Z 9 masing-masing merupakan ring komutatif, ring dengan elemen satuan. Z 3, Z 5 merupakan field (lapangan), sedangkan Z 4, Z 9 bukan merupaka lapangan 4. M = a c b d a, b, c, d Q, ad bc 0 adalah merupakan ring pembagian akan tetapi M bukan merupakan ring komutatif sehingga M juga bukan lapangan. C. Karakteristik Ring Telah dibicarakan di materi sebelumnya (pertemuan 2) tentang kelipatan dari suatu elemen ring R, misalkan a R dan n suatu bilangan Pengantar struktur Aljabar 66

Pertemuan 15 bulat positif, maka na = a + a +. + a sebanyak n suku maka na R sebab mempunyai sifat tertutup. Perhatikan ilustrasi berikut : Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5 } maka 6 Z, 6.0 = 6.1 = 6.2 = 6.3 = 6.4 = 6.5 = 0. Tampak bahwa a Z 6 berlaku 6.a = 0 dengan 6 bilangan bulat positif terkecil. Maka dikatakan karakteristik dari Z 6 adalah 6. Definisi 6.: Karaktristik suatu ring R adalah bilangan bulat positif terkecil n (jika ada) sedemikian sehingga na = 0 untuk a R. jika bilangan bulat positif n tersebut tidak ada, dikatakan bahwa karakteristik dari ring R adalah 0 atau tak berhingga. Teorema 4.: Jika R adalah ring dengan elemen satuan 1 maka : R mempunyai karakteristik n > 0 jhj n merupakan bilangan bulat positf terkecil sehingga n.1 = 0. Bukti : Diketahui : R ring dengan elemen satuan 1 ( ) R mempunyai karakteristik n > 0 akan dibuktikan n bilangan bulat positif terkecil sehingga n.1 = 0. R mempunyai karakteristik n berarti n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga n.a =0 untuk a R, dan 1 R maka n.1 = 0 ( ) n merupakan bilangan bulat positf terkecil sehingga n.1 = 0. Akan dibuktikan n karakteristik dari R dan n > 0. n > 0 (diketahui) Ambil sebarang a R maka : n.a = a + a + + a (definisi n.a) = a.(1 + 1 + + 1) (distributif &1 R) = a.( n.1) (definisi n.1) = a.0 (diketahui n.1 = 0) = 0 (sifat sederhana) Pengantar struktur Aljabar 67

Pertemuan 15 Karena n bilangan bulat positif terkecil sehingga a R berlaku n.a = 0 maka n merupakan karakteristik dari R. Tugas Mandiri : Soal : 1. Selidiki apakah struktur aljabar di bawah ini membentuk ring atau tidak (beri alasan), selanjutnya jika merupakan ring, nyatakan apakah ring tersebut komutatif, memuat elemen identitas, merupakan lapangan atau tidak : a. Zn dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo n b. Z+ dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa c. {a + b 2 a, b Z} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa d. {a + b 2 a, b Q} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa e. {ai a R dan i = -1} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa 2. Tunjukkan bahwa a 2 b 2 = (a + b)(a b) untuk setiap a dan b dalam ring R jika dan hanya jika R ring komutatif. a 3. Diberikan N = a Q adalah ring terhadap penjumlahan 0 0 dan perkalian matriks. Selidikilah apakah N merupakan lapangan ataukah tidak? a + bi 0 4. Diberikan K = a, b Z dan i = 1 adalah ring 0 a bi dengan penjumlahan dan perkalian matriks. Selidikilah apakah setiap elemen dalam K yang tidak nol mempunyai invers? Pengantar struktur Aljabar 68

Pertemuan 16 DAERAH INTEGRAL A. Pendahuluan Pertemuan sebelumnya telah dibahas kualifikasi (tipe-tipe) ring, misalnya ring yang memenuhi sifat komutatif terhadap pergandaannya disebut ring komutatif, dan lain sebagainya. Setiap tipe ring akan mempunyai ciri-ciri khusus, dan terkadang ada keterkaitan antara tipe ring yang satu dengan tipe ring lainnya. Pertemuan ke_16 ini masih akan membahas tipe ring yang lain yang terkait dengan elemen pembagi nol. Setelah mempelajari materi ini, diharapkan mahasiswa dapat : 1. menjelaskan elemen pembagi nol dan elemen bukan pembagi nol 2. mengidentifikasi elemen-elemen dalam ring apakah merupakan elemen pembagi nol atau tidak 3. menganalisis suatu ring memuat elemen pembagi nol ataukah tidak 4. membuktikan hubungan elemen bukan pembagi nol dengan elemen invers B. Elemen Pembagi nol dan sifatnya Definisi 7.: Misalkan R suatu ring dan a R, a 0 maka : 1. a disebut elemen pembagi nol kiri jika b R, b 0 sehingga a.b = 0 2. Jika b R, b 0, b.a = 0 maka a disebut elemen pembagi nol kanan, 3. Jika b R, b 0, sehingga a.b = b.a = 0 maka a disebut elemen pembagi nol. 4. a disebut elemen bukan pembagi nol jika ( b R, b 0, ab 0) atau ( ab = 0 b = 0 ) 5. Elemen 0 sering kali disebut elemen pembagi nol tak sejati. Pengantar struktur Aljabar 69

Pertemuan 16 Contoh : 1. Elemen 2, 3 dan 4 dalam Z 6 merupakan elemen pembagi nol sebab : 2.3 = 3.2 = 0, 3.4 = 4.3 = 0. 2. M = a b c d a b, c, d Z penjumlahan dan perkalian matriks maka pembagi nol karena terdapat dan 2 0 0 0 0, adalah ring terhadap 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 = = 3 0 3 0 0 0 0 Perhatikan dari contoh 2. ini, jika diambil A = c 0 ; dan C = d 0 u v a b adalah elemen 0 ; B = M dengan a c atau b d maka AC = BC dan CA = CB tetapi A B. Hal ini menunjukkan bahwa dalam suatu ring tidak berlaku kanselasi kiri ataupun kanan. Akan tetapi suatu gelanggang ring yang tidak memuat elemen pembagi nol mempunyai sifat kanselasi, seperti yang dinyatakan teorema berikut Teorema 5.: Suatu ring tidak memuat elemen pembagi nol jika dan hanya jika ring tersebut berlaku sifat kanselasi Bukti: ( ) Misalkan R ring yang tidak memuat pembagi nol Pengantar struktur Aljabar 70

Pertemuan 16 Akan ditunjukkan bahwa dalam R berlaku sifat kanselasi, sebagai berikut : Ambil a, b, c R dengan a 0 sedemikian sehingga ab = ac dan ba = ca, maka ab ac = 0 dan ba ca = 0 a(b c) = 0 (b c)a = 0 sifat sederhana ring (teorema 1.d.) b c = 0 b c = 0 a 0 dan R tidak memuat p n. b = c b = c ( ) Misalkan R ring yang berlaku sifat pelenyapan Akan ditunjukkan R tidak memuat elemen pembagi nol, sebagai berikut: Ambil a R dengan a 0 sedemikaian sehingga ab = 0 dan ba = 0 untuk suatu b R, maka : ab = 0 = a0 dan ba = 0 = 0a Teorema 1.a.: a0 = 0a = 0 b = 0 b = 0 kanselasi Terlihat a bukan pembagi nol. DKL, ring R tidak memuat elemen pembagi nol. C. Daerah Integral Misalkan R adalah suatu ring maka (R,+) adalah grup komutatif, (R,.) tertutup dan assosiatif, serta (R,+,.) distributif. Jika diberikan aksioma pada (R,.): II.4. Setiap elemen tak nol (bukan elemen netral) bukan merupakan elemen pembagi nol Maka dapat didefinisikan beberapa tipe ring yang lain yang disebut Daerah Integral, sebagai berikut : Definisi 8.: Misalkan R suatu ring maka : R disebut Daerah integral jika R merupakan ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol (ring R + II.3. + II.4. + II.5). Pengantar struktur Aljabar 71

Pertemuan 16 Contoh : 1. Z, Q, R masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, dan tidak memuat pembagi nol sehingga merupakan daerah integral. Q dan R merupakan lapangan sedangkan Z bukan lapangan sebab 2 Z dan 2-1 = ½ Z. 2. Z 3, Z 4, Z 5, Z 9 masing-masing merupakan ring komutatif, ring dengan elemen satuan. Z 3, Z 5 merupakan daerah integral dan merupakan field sedangkan Z 4, Z 9 bukan merupakan daerah integral dan bukan lapangan 3. M = a c b d a, b, c, d Q, ad bc 0 adalah merupakan ring pembagian akan tetapi M bukan merupakan ring komutatif sehingga M juga bukan lapangan. M memuat pembagi nol maka M bukan daerah integral Teorema 6.: Misalkan R adalah ring dengan elemen satuan dan a elemen dalam R yang tak nol. Jika a mempunyai invers maka a bukan pembagi nol Bukti : Diketahui a mempunyai invers maka terdapat b elemen dalam R sehingga ab = ba = 1. Akan ditunjukkan bahwa a bukan pembagi nol Andaikan a elemen pembagi nol maka terdapat c 0 sehingga ac = ca = 0 ac = 0 dan ca = 0 b(ac) = b0 (ca)b = 0b sifat sederhana ring (ba)c = 0 c(ab) = 0 assosiatif 1c = c = 0 c1 = c = 0 sifat sederhana ring kontradiksi dengan c 0, sehingga pengandaian salah dan yang benar bahwa a bukan pembagi nol Pengantar struktur Aljabar 72

Pertemuan 16 Tugas Mandiri : KERJAKAN SOAL DI BAWAH INI, DITAMBAHKAN 1 SOAL TERBUKA Soal : 1. Selidiki apakah struktur aljabar di bawah ini membentuk ring atau tidak (beri alasan), selanjutnya jika merupakan ring, nyatakan apakah ring tersebut lapangan, daerah integral ataukah tidak a. Zn dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo n. b. Z+ dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa c. {a + b 2 a, b Z} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa d. {a + b 2 a, b Q} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa e. {ai a R dan i = -1} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa 2. Jika R adalah ring dengan paling sedikit mempunyai dua elemen dan a R, a 0 terdapat dengan tunggal b R sedemikian hingga aba = a maka tunjukkan R tidak memuat pembagi nol dan berlaku bab = b. a 3. Diberikan N = a Q adalah ring terhadap penjumlahan dan 0 0 perkalian matriks. Selidikilah apakah N merupakan daerah integral, ataukah tidak? a + bi 0 4. Diberikan K = a, b Z dan i = 1 adalah ring 0 a bi dengan penjumlahan dan perkalian matriks. Selidikilah K komutatif, dengan elemen satuan dan memuat pembagi nol ataukah tidak? Apa yang dapat kalian simpulkan? Pengantar struktur Aljabar 73

Pertemuan 17 SIFAT-SIFAT DAERAH INTEGRAL A. Pendahuluan Dua pertemuan sebelumnya telah dibahas kualifikasi (tipe-tipe) ring, Setiap tipe ring akan mempunyai ciri-ciri khusus, dan terkadang ada keterkaitan antara tipe ring yang satu dengan tipe ring lainnya. Misalnya lapangan pasti merupakan ring pembagi tetapi tidak sebaliknya. Bagaimana dengan hubungan antara lapangan dengan daerah integral, akan di bahas pada pertemuan ke_17 ini. Setelah mempelajari materi ini, diharapkan mahasiswa dapat : 1. menjelaskan sifat-sifat daerah integral. 2. menjelaskan hubungan antara derah integral dengan lapangan 3. membuktikan sifat-sifat daerah integral dan hubungannya dengan lapangan. B. Sifat-sifat Daerah Integral Teorema 6. mengatakan bahwa elemen tak nol yang punya invers pasti bukan pembagi nol. Jika diingat kembali aksioma II.4. dan aksioma II.4, maka akibat dari teorema 6. adalah teorema berikut ini : Teorema 7.: - setiap ring pembagian pasti tidak memuat pembagi nol - setiap lapangan merupakan daerah integral Bukti : dengan teorema 6. (sebagai latihan mahasiswa) Catatan : Teorema 6. Dan 7. Tidak berlaku sebaliknya, artinya tidak setiap elemen bukan pembagi nol merupakan elemen unit, contoh 2 Z adalah bukan pembagi nol dan 2 tidak mempunyai invers, sehingga 2 bukan elemen unit. Z adalah ring yang tidak memuat elemen pembagi Pengantar struktur Aljabar 74

Pertemuan 17 nol dan Z bukan ring pembagian. Demikian juga Z daerah integral tetapi Z bukan lapangan. Teorema 8.: Setiap daerah integral berhingga adalah suatu lapangan Bukti : Daerah integral adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat elemen pembagi nol, sehingga untuk menunjukkan bahwa daerah integral berhingga merupakan lapangan, cukup ditunjukkan setiap elemen tak nol adalah elemen unit, sebagai berikut : Misalkan D daerah integral dengan n buah elemen. Ambil sebarang elemen a D dengan a 0, kemudian dibentuk himpunan K = {ax x D, x 0 }. Mengingat sifat tertutup terhadap perkalian pada D maka K D, sehingga dalam K berlaku sifat pelenyapan, yaitu jika ax = ay K maka x = y. hal ini menunjukkan bahwa K terdiri dari (n 1) elemen dari D yang bukan elemen nol. Karena D memuat elemen satuan, misalnya 1 maka 1 K dan a D dengan a 0, terdapatlah x D dengan x 0 sehingga ax = 1. Ini berarti bahwa a -1 = x. Jadi, a D, a 0); a -1 D, dengan kata lain setiap elemen tak nol dalam D merupakan elemen unit. Sehingga D merupakan lapangan. TUGAS KELOMPOK : (DARI RING YANG KALIAN MILIKI) 1. Buatlah review beserta bukti formalnya., apakah merupakan lapangan, daerah integral atau bukan 2. Bentuklah himpunan bagiannya yang juga merupakan ring, Tulis di plastic transparan. (jika tidak diperoleh, cari dari ring yang lain) Pengantar struktur Aljabar 75

Pertemuan 18 SUBRING DAN SIFAT-SIFATNYA A. Pendahuluan Mahasiswa diharapkan mengingat kembali pengertian himpunan bagian yang pernah dipelajari di matakuliah Logika Matematika dan Himpunan serta subgroup di Pengantar Struktur Aljabar I. Subring adalah himpunan bagian dari suatu ring yang merupakan ring juga, sehingga harus diingat pula tentang pengertian ring beserta sifat-sifatnya. Dua hal tersebut akan sangat menentukan pencapaian target pertemuan ke_18 ini. Target yang dimaksud adalah : a. Membedakan himpunan bagian suatu ring merupakan subring atau bukan b. Membentuk suatu subring c. menjelaskan teorema dalam subring d. membuktikan secara formal suatu subring dengan teoremanya B. Pengertian Subring Analog dengan subgrup yang telah dipelajari dalam teori grup, akan dibahas tentang subring dari suatu ring. Definisi 9. : Misalkan (R, +,.) suatu ring dan S R dengan S φ, S disebut subring dari R jika (S, +,.) suatu ring Catatan : Operasi pada S baik penjumlahan maupun perkaliannya harus sama dengan opersi-operasi pada R. Mahasiswa dalam kelompok telah memiliki contoh-contoh subring, namun belum diminta melengkapi bukti formalnya. Berikut ini suatu Pengantar struktur Aljabar 76

Pertemuan 18 teorema yang menyatakan syarat perlu dan cukup agar suatu himpunan tak kosong dari suatu ring merupakan subring, dan teorema inilah yang diperlukan mahasiswa untuk menunjukkan bukti formalnya suatu subring : Teorema 9.: Misalkan R suatu ring dan S R dengan S φ, maka S disebut subring dari R jika dan hanya jika a, b S berlaku (i) a b S, (ii) ab S Bukti ; ( ) Misalkan S subring dari R maka S adalah suatu ring berarti a, b S maka a, b S sehingga berlaku (i) a b S, (ii) ab S ( ) Misalkan S R dengan S φ dan a, b S berlaku (i) a b C S, (ii) ab S harus ditunjukkan S subring dari R, artinya S merupakan ring. Ambil a S menurut (i) a a = 0 dan 0 a S, sehingga jika a, b S maka a, b S dan a ( b) = a + b S dan menurut (ii) ab S. Selanjutnya karena S R dan R suatu ring maka elemen-elemen dalam S memenuhi sifat asosiatif terhadap penjumlahan, komutatif terhadap penjumlahan, asosiatif terhadap pergandaan serta distributif kiri dan kanan. Jadi S suatu ring, dan karena S R dengan S φ sedangkan R siatu ring maka S adalah subring dari R. Contoh : 1. Z = himpunan dari bilangan-bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring. Jika m suatu bilangan bulat dengan m 0 maka M = {ma a bilangan bulat} merupakan subring dari Z, sebab M Z, jelas M himpunan tidak kosong dan x, y M berarti x = ma, Pengantar struktur Aljabar 77

Pertemuan 18 y = mb untuk suatu a, b Z dan a b Z, sehingga x y = ma mb = m(a b) M dan juga xy = (ma)(mb) = m(mab) M. 2. Z 12 = {0, 1, 2,, 11} adalah ring dari bilangan-bilangan bulat modulo 12 maka dengan mudah ditunjukkan bahwa himpunan-himpunan bagian dari Z 12 berikut merupakan subring darinya: P = { 0, 6 } Q = { 0, 4, 8 } R = { 0, 3, 6, 9 } S = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } a b 3. M 2 (Q) = c d perkalian matrik a, b, c, d Q adalah ring terhadap penjumlahan dan M* 2 (Q) = a 0 b a, b Q adalah subring dari M 2 (Q), karena : Jelas M* 2 (Q) φ dan M* 2 (Q) M 2 (Q) (mudah dibuktikan) Ambil sebarang A dan B M* 2 (Q) akan ditunjukkan A B dan AB M* 2 (Q) A dan B M* 2 (Q) maka A = d bilangan rasional. a 0 c 0 dan B = dengan a, b, c, dan b 0 d A B = a 0 b c 0-0 d a c 0 = M* 2 (Q) karena a c dan b 0 b d d Q Pengantar struktur Aljabar 78

Pertemuan 18 AB = a 0 b c 0 0 d ac 0 = 0 bd M* 2 (Q) karena ac dan bd Q. Untuk lebih memantapkan materi tentang subring, diharap mahasiswa membuktikan secara formal subring yang dimilikinya dan membuat atau mencari contoh-contoh yang lain tentang subring disertai buktinya. TUGAS MANDIRI : I. BUATLAH 3 CONTOH SUBRING DENGAN MENULISKAN RING DAN SUBRING YANG DIBENTUKNYA BESERTA BUKTI FORMAL. II. KERJAKAN SOAL-SOAL DI BAWAH INI : 1. Jika A dan B masing-masing adalah subring dari ring R maka tunjukkanlah : a. A B juga subring dari R b. Apakah A B juga subring dari R? c. A + B = {a + b a A dan b B } subring dari R d. Jika R adalah ring dengan elemen satuan apakah A juga ring dengan elemen satuan? 2. Misalkan R adalah ring dari semua matriks ordo 2x2 dengan semua komponennya bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. a 0 a Didefinisikan U = a, b Z dan V = a, b Z b 0 0 b maka selidikilah U dan V masing-masing merupakan subring dari R 3. Jika R adalah ring dan a, b suatu elemen dalam R. Jika didefinisikan S = {ax + by x,y R }maka tunjukkan bahwa S subring dari R. Pengantar struktur Aljabar 79