S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA email : zeamays_hibrida@yahoo.com FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2009
IV. PENDUGAAN PARAMETER Populasi Sampling Sampel N n Rata-rata : μ Simp. Baku : σ Ragam : σ 2 Parameter Rata-rata : x Simp. Baku : s Ragam : s 2 Statistik
IV. PENDUGAAN PARAMETER 1. Parameter = sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi 2. Statistik = sembarang nilai yang menjelaskan ciri sampel Misalkan populasi tanaman padi kultivar IR-64 pada luasan 1 hektar dengan jarak tanam 20 cm x 20 cm yaitu sebanyak 250.000 tanaman, diambil sebuah sampel secara acak berukuran n = 500 tanaman dan diperoleh rata-rata jumlah anakannya 15 anakan. Ukuran Populasi N = 250.000 Ukuran Sampel n = 500, Rata-rata x = 15 Berdasarkan rata-rata sampel (statistik) dapat diduga bahwa ratarata jumlah anakan padi kultivar IR-64 pada luasan 1 ha sebanyak 15 anakan (parameter). Statistik sebagai penduga bagi Parameter yang tidak diketahui. Rata-rata x = 15 sebagai Penduga Titik
IV. PENDUGAAN PARAMETER Nilai dugaan dalam bentuk selang lebih tepat digunakan daripada nilai dugaan dalam bentuk dugaan titik. Nilai dugaan selang : P (a < θ < b)= 1 α, artinya peluang θ terletak diantara a dan b sebesar (1 α). Atau kita yakin sebesar (1 α) 100% bahwa θ ada dalam selang (a,b). Selang : (a < θ < b )disebut Selang Kepercayaan (1 α) 100%. (1 α) disebut Koefisien (Derajat) Kepercayaan (Keyakinan) Nilai statistik a dan b disebut Batas Kepercayaan.
IV. PENDUGAAN PARAMETER Jika nilai α = 5 % maka (1 α ) = 95 % = 0,95. a x b SE SE a = x SE a = x SE SE = Standard Error of Mean (Galat Baku Rata-rata) SE = σ x = σ / n
1. PENDUGAAN RATA-RATA Penggunaan Sebaran t dan z Apa σ ada? Ya Uji - z Tidak n 30? Ya Uji - z Uji - t Tidak
A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel P ( z α/2 < z < z α/2 ) = 1 α P ( z α/2 < (x μ)/σ x < z α/2 ) = 1 α P ( x z α/2. σ x < μ < x + z α/2. σ x ) = 1 α ( x z α/2. σ x ) < μ < ( x + z α/2. σ x ) ( x z α/2. σ/ n ) < μ < ( x + z α/2. σ/ n )
A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel Contoh 1 : Suatu contoh acak 36 mhs tingkat akhir mempunyai IP rata rata 2,60 dan simpangan baku 0,30. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi rata rata IP seluruh mhs tingkat akhir tersebut. Jawab : n = 36 ; Rata rata x = 2,60 dan simp. baku s =0,30 ; α = 0,05 ; α/2 = 0,025 ; z α/2 = z 0,025 = 1,96 x z α/2. s/ n < μ < x + z α/2. s/ n 2,60 (1,96)( 0,30/ 36) < μ < 2,60 + (1,96)(0,30/ 36) (2,60 0,10) < μ < (2,60 + 0,10) 2,50 < μ < 2,70
A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel Contoh 2 : Sebuah lembaga penelitian menghasilkan kedelai Kultivar X. Dari hasil percobaan di 16 lokasi diperoleh rata-rata hasilnya 1,15 t/ha dengan simp. baku 0,20 t/ha. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi rata-rata hasil yang sebenarnya. Jawab : n = 16 ; Rata rata x = 1,15 dan simp. baku s =0,20 ; α = 0,05 ; α/2 = 0,025 ; t α/2(n-1) = t 0,025(15) = 2,131 x t α/2(n-1). s/ n < μ < x + t α/2(n-1). s/ n 1,15 (2,131)( 0,20/ 16) < μ < 1,15 + (2,131)(0,20/ 16) (1,15 0,11) < μ < (1,15 + 0,11) 1,04 < μ < 1,26
B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel ( x 1 x 2 ) t α/2(n1+n2-2).se < (μ 1 μ 2 ) < (x 1 x 2 ) + t α/2(n1+n2-2).se Menghitung SE : 1. Jika Ragam Kedua Sampel Sama ( σ 2 1 = σ 2 2 ) : SE = S g. (1/n 1 + 1/n 2 ) S g 2 = (n 1-1)S 1 2 + (n 2-1)S 2 2 n 1 + n 2 2 2. Jika Ragam Kedua Sampel Tidak Sama ( σ 1 2 σ 2 2 ) : SE = (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 )
B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel Contoh : Pelajaran matematika diberikan kepada 12 siswa kelas A dengan Metode Biasa, dan 10 siswa kelas B dengan Metode Terprogram. Hasil ujian kelas A rata ratanya 85 dengan simpangan baku 4, kelas B rata ratanya 81 dengan simpangan baku 5. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi selisih rata rata populasi, bila diasumsikan kedua populasi menyebar normal dengan ragam sama Jawab : n 1 = 12 ; x 1 = 85 ; s 1 = 4 ; n 2 = 10 ; x 2 = 81 ; s 2 = 5 ; α = 10% ; α/2 = 0,05 ; t α/2(n1+n2-2) = t 0,05(20) = 1,725 (n 1-1)S 1 2 + (n 2-1)S 2 2 (11)(16) + (9)(25) S g 2 = = n 1 + n 2 2 12 + 10 2 S g 2 = 20,05 S g = 20,05 = 4,478
B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel Jawab : n 1 = 12 ; x 1 = 85 ; s 1 = 4 ; n 2 = 10 ; x 2 = 81 ; s 2 = 5 ; α = 10% ; α/2 = 0,05 ; t α/2(n1+n2-2) = t 0,05(20) = 1,725 S 2 g = 20,05 S g = 20,05 = 4,478 SE = S g. (1/n 1 + 1/n 2 ) = (4,478). (1/12 + 1/10) SE = (4,478). (0,083 + 0,100) = (4,478). 0,183 SE = ( 4,478) (0,428) = 1,917 ( x 1 x 2 ) t α/2(n1+n2-2).se < (μ 1 μ 2 ) < (x 1 x 2 ) + t α/2(n1+n2-2).se ( 85 81) (1,725)(1,917) < μ < ( 85 81) + (1,725)(1,917) (4 3,307) < μ < ( 4 + 3,307) 0,693 < μ < 7,307
C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan d t α/2(n-1). S d./ n < μ < d + t α/2(n-1). S d./ n d = Rata-rata dari selisih pengamatan kedua sampel S d = Simp. Baku dari selisih pengamatan kedua sampel Contoh : Pelatihan manajemen agribisnis dilakukan kepada 100 petani andalan agar mampu mengembangkan usahataninya. Setelah beberapa waktu, 6 orang diantara 100 petani andalan tersebut diselidiki keuntungan yang mereka peroleh sebelum dan sesudah pelatihan. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih rata rata populasi.
C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan Petani 1 2 3 4 5 6 Sebelum 40 78 49 63 55 33 Juta Rp Sesudah 58 87 57 72 61 40 Juta Rp Jawab : Sebelum 40 78 49 63 55 33 Jumlah Sesudah 58 87 57 72 61 40 Selisih (d) 18 9 8 9 6 7 57 (d 2 ) 324 81 64 81 36 49 635
C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan n = 6 ; d = 57 ; d 2 = 635 ; α = 5% ; t α/2(n-1) = 2,571 d 2 ( d) 2 /n (635) (57 2 )/6 635 541,5 S d 2 = = = n 1 6 1 5 S d 2 = 18,7 S d = 18,7 = 4,324 d = 57/6 = 9,5 ; 6 = 2,449 ; Sd / n = 4,324/2,449 = 1,765 9,5 (2,571)(1,765) < μ < 9,5 + (2,571)(1,765) 9,5 (2,571)(3,948) < μ < 9,5 + (2,571)(3,948) 9,5 4,538 < μ < 9,5 + 4,538 4,962 < μ < 14,038
D. Pendugaan Proporsi Satu Sampel n 100 : p z α/2. pq/n < π < p + z α/2. pq/n n < 100 : p t α/2(n-1). pq/n < π < p + t α/2(n-1). pq/n Contoh : Contoh acak 200 orang yang membeli pestisida di sebuah toko pestisida selama satu minggu diperoleh informasi sebanyak 60 orang yang suka membeli insektisida X. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya yang suka membeli insektisida X di toko tersebut. Jawab : n = 200 ; p = 60/200 = 0,3 ; q = 0,7 ; pq/n = (0,3)(0,7)/200 = 0,032 ; z α/2 = 1,96
D. Pendugaan Proporsi Satu Sampel n 100 : p z α/2. pq/n < π < p + z α/2. pq/n n < 100 : p t α/2(n-1). pq/n < π < p + t α/2(n-1). pq/n Jawab : n = 200 ; p = 60/200 = 0,3 ; q = 0,7 ; pq/n = (0,3)(0,7)/200 = 0,032 ; z α/2 = 1,96 0,3 1,96(0,032) < π < 0,3 + 1,96(0,032) 0,3 0,063 < π < 0,3 + 0,063 0,237 < π < 0,363 23,7 % < π < 36,3 %
E. Pendugaan Proporsi Dua Sampel (p 1 p 2 ) z α/2.se < (π 1 π 2 ) < (p 1 p 2 ) + z α/2.se SE = (p 1 q 1 /n 1 ) + (p 2 q 2 /n 2 ) Contoh : Suatu studi dilakukan untuk menduga proporsi penduduk suatu kota dan penduduk di sekitar kota tersebut yang menyetujui pembangkit listrik tenaga nuklir. Bila 1200 diantara 2000 penduduk kota dan 2400 diantara 5000 penduduk di sekitar kota yang diwawancarai menyetujui pembangunan tersbut, buat selang kepercayaan 90% bagi proporsi sebenarnya yang setuju. Jawab : n 1 = 2000 ; p 1 = 1200/2000 = 0,60 ; q 1 = 0,40 ; n 2 = 5000 ; p 2 = 2400/5000 = 0,48 ; q 2 = 0,52 SE = (p 1 q 1 /n 1 + p 2 q 2 /n 2 ) = 0,013 ; z α/2 = 1,96
E. Pendugaan Proporsi Dua Sampel Jawab : n 1 = 2000 ; p 1 = 1200/2000 = 0,60 ; q 1 = 0,40 ; n 2 = 5000 ; p 2 = 2400/5000 = 0,48 ; q 2 = 0,52 SE = (p 1 q 1 /n 1 + p 2 q 2 /n 2 ) = 0,013 ; z α/2 = 1,96 (0,60 0,48) 1,96(0,013) < (π 1 π 2 ) < (0,60 0,48) + 1,96(0,013) (0,12 0,025) < (π 1 π 2 ) < (0,12 0,025) 0,095 < (π 1 π 2 ) < 0,145